Capítulo Analisis en el tiempo

Seales senoidales, anlisis en el

tiempo y fasores. .

1

Ing. C. Contreras.

Parmetros de las seales senoidales:

)sin()( wtVtv mVm = Amplitud de la senoidal.

w = Frecuencia angular dada en radianes/seg.

wt = Argumento de la sinusoidal.

Variacin de la amplitud:

Seal peridica: Se repite la seal despus cierto tiempo llamado perodo de la seal (T).

T : Perodo de la seal (segundos). En el ejemplo T = 2* seg.

= Desfasamiento.

2

Variacin del perodo:

2T

T

3

2T

A menor perodo ms rpido se repite.

Tf

1

Frecuencia: Inverso del perodo.

)sin()( wtVtv m

fT

w

22

12

2

w

22

w

3

32

2

w

El perodo (T) se da en

segundos, la frecuencia (f)

en Hz (ciclos/segundo) y la

frecuencia angular (w) en

radianes/segundo.

3

*180

gradosradianes

gradosradianes _180_

gradosgradosradianes _296.57_180

_1

180*

radianesgrados

360 180

4

Conversin entre radianes y grados.

Parmetros de las seales sinusoidales:

Vmax = Amplitud mxima de la sinusoidal.

w = Frecuencia angular dada en radianes/seg.

wt = Argumento de la sinusoidal.

= Desfasamiento.

)sin()( max wtVtv

)602sin(2127)( ttv

voltsttv )377sin(6.179)(

Valor efectivo o rms (root mean square): Voltaje que se tendra que aplicar en CD para generar la misma potencia en CA. 2

maxVVrms

Tfw

2

2 f = Frecuencia dada en Hertz (ciclos/seg).

T = Perodo de la seal y es dado en seguntos. f

T1

Seal senoidal en el hogar.

voltstfVrmstv )2sin(2)(

seg

radfw 37760**2**2

La frecuencia del voltaje en casa es de 60 Hz.

La seal de voltaje es:

msegsegHz

T 67.1601667.60

1

6

Voltaje en el hogar.

voltsttv )377sin(6.179)( )602sin(2127)( ttv

Variacin del desfasamiento:

Desfasamiento negativo: Atrasada.

Desfasamiento positivo: Adelantada. 7

-30

-60

0

Desfasamiento:

-90

-180

0

Desfasamiento:

+30

+60

0

Desfasamiento:

+90

+180

0

Desfasamiento:

Comparacin seal seno con coseno.

El coseno es un seno adelantado 90 que equivale a decir que el seno es un

coseno atrasado 90.

Decir adelantada 180 es lo mismo que decir atrasada 180.

Decir adelantada 90 es lo mismo que decir atrasada 270. 8

Desfasamientos en forma grfica.

Los ngulos medidos a favor de las manecillas del reloj son negativos (atrasar) y

en contra de las manecillas (adelantar) son positivos.

9

Desfasamientos en forma grfica.

Ejemplos: Obtener las otras tres

formas de escribir la funcin dada.

10

)903(2)180903(2)(

)903(2)(

)1803cos(2)(

)3cos(2)(

tsentsentv

tsentv

ttv

ttv

)903cos(2)180903cos(2)(

)903cos(2)(

)1803(2)(

)3(2)(

tttv

ttv

tsentv

tsentv

Desfasamiento 180.

)3cos(2)( ttv

)3(2)( tsentv

)()cos()( wtsenCwtBwtAsen

Suma de senos con cosenos. El resultado puede ser expresado con una

funcin seno o con un coseno.

Grficamente:

22 BAC

A

B1tan

)90cos()cos()( wtCwtBwtAsen

11

5)4(3 22 C

1.53

3

4tan 1

Ejemplo. )cos()(4)cos(3 wtCwtsenwt

)9.126cos(5)1801.53cos(5 wtwt

)1.143(5)1.5390(5 wtsenwtsen

)9.36(5)1801.143(5 wtsenwtsen

Obtener las cuatro formas del resultado.

12

)1.53cos(5 wt

13

Grfica de la suma de dos seales con poca diferencia de frecuencia.

El desfasamiento se va acumulando hasta que llegan a los 180 que es donde se

cancelan.

Resistencia fija. Resistencia variable.

La resistencia en CA.

tiRtv Voltaje en una resistencia:

14

tsenti 23)(

tsentv 232)(

2R

En la resistencia el voltaje y la corriente van en fase.

tsentv 26)(

Capacitor fijo. Capacitor variable.

El capacitor en CA.

dt

tdvCti Corriente en un capacitor:

15

vCq

2

2vCw

tsentv 23)(

tti 2cos6)(

FC 1

La derivada adelanta 90 la seal.

tsendt

dti 231

En el capacitor la corriente va adelantada 90 que equivale a decir que el

voltaje va atrasado 90.

Inductor fijo. CInductor variable.

El inductor en CA.

dt

tdiLtv Voltaje en un inductor:

16

2

2iLw

tsenti 23)(

ttv 2cos6)(

HL 1

tsendt

dtv 231

En el inductor la corriente va atrasada 90 que equivale a decir que el voltaje

va adelantado 90.

La derivada adelanta 90 la seal.

wtiwtv SS

Anlisis en estado estable (Respuesta forzada) de circuitos lineales en

alterna (AC).

Si a un circuito lineal (solo contiene R, C, L y fuentes lineales) se coloca como

entrada una funcin forzada de frecuencia angular w entonces la salida tambin

ser de frecuencia angular w pero la magnitud y el desfasamiento pueden cambiar.

wtIwtV MM coscos

wtsenIjwtsenVj MM

wtsenIjwtIwtsenVjwtV MMMM coscos

Fuente imaginaria.

Aplicando teorema de superposicin con los dos casos anteriores.

17

Ejemplo 1. Obtener la respuesta forzada i(t) del siguiente circuito si: L=1H, R=2 y vs(t)=10sen(3t)V.

Solo existe una malla por lo que se analizar por mallas.

0 iRdt

diLvs

Suma de voltajes en la malla:

iRdt

diLvs

Anlisis en el tiempo de un circuito en estado estable (Respuesta forzada).

0 RLs vvv

Ecuacin diferencial

del circuito.

Respuesta despus de que ya pas el transitorio (mucho tiempo de estar energizado).

18

La respuesta forzada debe tener la misma frecuencia angular que la fuente pero puede tener desfasamiento diferente.

)3()( tAsenti

Contina Ejemplo 1. 10sen(3t)V(t)vS

Se requiere la primera derivada:

)3cos(3)(

tAdt

tdi

Sustituyendo en la ecuacin diferencial:

)3()2()3cos(3)1()3(10 tsenAtAtsen

)3cos(3)3(2)3(10 tAtsenAtsen

Se expresar la parte derecha de la ecuacin en una funcin senoidal para

poderla comparar con la funcin de la izquierda y obtener los valores

desconocidos.

Voltaje de la fuente:

19

iRdt

diLvs

Ecuacin diferencial.

Contina Ejemplo 1.

31.56

2

3tan

2

3tan 11

A

A

Se obtiene que: )31.563(13)03(10 2 tsenAtsen

Sumando en una senoidal las funciones de la derecha queda:

Por igualdad se debe cumplir: 21310 A 31.560

Despejando se obtiene: 774.2

13

102A

31.56

20

)3cos(3)3(2)3(10 tAtsenAtsen

222 1332 AAAC

)31.563(133 2 tsenAtCsen

)3()( tAsenti

Contina Ejemplo 1.

774.213

102A 31.56

Finalmente queda: )31.563(774.2)( tsenti

21

Forma vectorial:

Simulacin en TINA.

Calcular el desfasamiento en

base a la seal en el tiempo.

7.55360

094.23/2

324

sT

msdesf

22

Contina Ejemplo 1.

Resultado en el tiempo:

V

I

Resultado vectorial:

Ejemplo 1B. Obtener la respuesta forzada i(t) del siguiente circuito si: L=1H, R=2 y vs(t)=10sen(3t)V.


0 RLs vvv

0 iRdt

diLvs


iRdt

diLvs

La respuesta forzada debe ser igual a la fuente solo que puede tener diferente amplitud y desfasamiento. Para evitar el manejo del desfasamiento en el anlisis se trabajar la seal como una suma de seno con un coseno.

)3cos()3()( tBtAsenti

iRdt

diLvs

)3cos()3()( tBtAsenti Donde:

)3(10)( tsentvs

Sustituyendo:

)3cos()3()2()3(3)3cos(3)1()3(10 tBtAsentBsentAtsen

)3(3)3cos(3)(

tBsentAdt

tdi

Agrupando el lado derecho:

)3(23)3cos(32)3(10 tsenBAtBAtsen

Para que la igualdad sea vlida para cualquier valor de t se debe cumplir:

BA 320 BA 2310

Resolviendo las dos ecuaciones : 538.1A

31.2B

Finalmente: )3cos(31.2)3(538.1)( ttsenti

Contina ejemplo 1B.

Forma fasorial: Seales en el tiempo:

)3cos(31.2)3(538.1)( ttsenti

Que equivale a: )3.563(77.2)( tsenti

77.231.2538.1)( 22 ti

3.56

538.1

31.2tan 1

Forma fasorial:

Simulacin:

Contina ejemplo 1B.

Ejemplo 2. Obtener la respuesta forzada v(t) del siguiente circuito:

Un solo nodo por lo que se analizar por nodos:

Suma de corrientes en el nodo superior:

LRCs iiii

)0(

1

0L

t

s ivdtLR

v

dt

dvCi

Derivando para eliminar la integral:

vLRdt

dv

dt

vdC

dt

dis 12

2

Ecuacin diferencial del circuito.

26

Contina ejemplo 2.

vLRdt

dv

dt

vdC

dt

dis 12

2

La respuesta forzada debe tener la misma frecuencia angular que la corriente mas un desfasamiento:

)4cos()( tAtv

)4cos(24)( ttiS

)4(216)(

tsendt

tdiS )4(4)(

tAsendt

tdv)4cos(16

)(2

2

tAdt

tvd

Obteniendo sus derivadas:

Sustituyendo ecuaciones y valores de elementos:

)4cos(16/1

1)4(4

5.

1)4cos(16)5(.)4(216 tAtAsentAtsen

)4cos(16)4(8)4cos(8)4(216 tAtAsentAtsen27

)4cos(16)4(8)4cos(8)4(216 tAtAsentAtsen

Contina ejemplo 2.

)4cos(8)4(8)4(216 tAtAsentsen

AAAC 2888 22

45

8

8tan 1

A

A

Se obtiene: )454(28)4(216 tsenAtsen

Sumando en una senoidal las funciones de la derecha queda:

)454(28 tsenA

28

Por igualdad se debe cumplir: A28216 450

Despejando se obtiene: 2

28

216

A 45

Contina ejemplo 2. )454(28)4(216 tsenAtsen

)4cos()( tAtvSustituyendo en:

)454cos(2)( ttv

Simulacin en TINA:

29

Ejemplo 2B. Obtener la respuesta forzada v(t) del siguiente circuito:



LRCs iiii

t

s vdtLR

v

dt

dvCi

1

Derivando para eliminar la integral:

vLRdt

dv

dt

vdC

dt

dis 12

2

La respuesta forzada debe ser semejante a la fuente de corriente:

)4cos()4()( tBtAsentv

vLRdt

dv

dt

vdC

dt

dis 12

2

)4cos()4()( tBtAsentv )4cos(24)( ttiS

)4(216)(

tsendt

tdiS )4(4)4cos(4

)(tBsentA

dt

tdv

)4cos(16)4(16)(

2

2

tBtAsendt

tvd


)4cos(16)4(16

)4(8)4cos(8)4cos(8)4(8)4(216

tBtAsen

tBsentAtBtAsentsen

Agrupando:

)4cos()88()4()88()4(216 tBAtsenBAtsen

Contina ejemplo 2B.


BA 88216 BA 880

Resolviendo las dos ecuaciones : 41.1A

41.1B

Finalmente: )4cos(41.1)4(41.1)( ttsentv

241.141.1)( 22 tv

45

41.1

41.1tan 1

)454cos(2)( ttvQue equivale a:

)4cos()88()4()88()4(216 tBAtsenBAtsen Contina ejemplo 2B.

Ejemplo 3. Obtener la respuesta forzada i(t) del siguiente circuito:

Un solo nodo por lo que se analizar por nodos. Se obtiene v(t) i(t)=v(t)/R


RCs iii

R

v

dt

dvCis

)4cos(10)( ttis Donde:

Se obtendr primero el voltaje del nodo y despus las corrientes.

La respuesta forzada del voltaje debe tener la misma frecuencia angular que la corriente ms un desfasamiento.

)4cos()( tAtv

+

-

v

33

+

- v

R

v

dt

dvCis

)4cos(10)( ttis )4cos()( tAtv )4(4)(

tAsendt

tdv

)4cos(4

1)4(425.)4cos(10 tAtAsent


Contina ejemplo 3.

Donde:

)4cos(4

)4()4cos(10 tA

tAsent

AAAC4

17

4

22

96.75

4

tan 1A

A

)96.754cos(4

17 tA

34

Contina ejemplo 3.

)96.754cos(4

17)4cos(10 tAt

Sustituyendo la parte derecha queda:

Por igualdad se debe cumplir: A4

1710

Despejando se obtiene: 7.917

40A

96.750

96.75

Sustituyendo en: )4cos()( tAtv

)96.754cos(7.9)( ttv

4

)96.754cos(7.9)()(

t

R

tvti

)96.754cos(43.2)( tti

Finalmente lo que interesa es la corriente en R.

+

- v

35

+

- v

Contina ejemplo 3.

Simulacin en TINA:

)96.754cos(7.9)( ttv

)96.754cos(43.2)( tti

36

Ejemplo 3B. Obtener la respuesta forzada i(t) del siguiente circuito:



RCs iii

R

v

dt

dvCis

)4cos(10)( ttis

+

-

v

Donde:

Se obtendr primero el voltaje del nodo y despus las corrientes.

La respuesta forzada del voltaje debe tener el siguiente formato con la misma frecuencia angular que la corriente:


Rv

dt

dvCis

)4cos(10)( ttis


)4(4)4cos(4)(

tBsentAdt

tdv

)4cos()4(1

)4(4)4cos(4)4cos(10 tBtAsenR

tBsentACt

)4cos(4

)4(4

)4()4cos()4cos(10 tB

tsenA

tBsentAt


Agrupando:

)4cos(4

)4(4

)4cos(10 tB

AtsenBA

t


B

A

40

4

10B

A

Resolviendo las dos ecuaciones : 41.9A 35.2B

Contina ejemplo 3B.

)4cos()4()( tBtAsentv 41.9A 35.2BDonde:

)4cos(35.2)4(41.9)( ttsentv

7.935.241.9)( 22 tv

76

35.2

41.9tan 1

)764cos(7.9)( ttvQue equivale a:

4

)764cos(7.9)()(

t

R

tvti

)764cos(43.2)( tti

Contina ejemplo 3B.

Ejemplo 4. Obtener el voltaje forzante si vC(t)=2cos(8t-53.1) del siguiente circuito:

Analizando por nodos:

RCS iii

505.

10

CCCS v

dt

dvvv

CC

S vdt

dvv 35. Ecuacin del circuito:

40

Donde: 1.538cos2 tvC )1.538()8)(2( tsendt

dvC

tAvS 8cos

Contina ejemplo 4. C

CS v

dt

dvv 35. Ecuacin del circuito:

Sustituyendo: 1.538cos23)1.538()8)(2(5.8cos ttsentA

1068 22 C

13.53

6

8tan 1

)13.531.538cos(10 t

)8cos(10 t

Finalmente:

1.538cos6)1.538(88cos ttsentA

)8cos(108cos ttA 41

Contina ejemplo 4. )8cos(108cos ttA

Relacionando la igualdad se tiene que:

10A 0

tAvS 8cosSustituyendo en :

ttvS 8cos10)(

Simulacin en TINA:

42

Formula de Euler.

senje j cos

Donde: 1jEn circuitos elctricos se utiliza la j ya que la i est reservada para sealar la corriente.

La demostracin se puede realizar utilizado la serie de Taylor alrededor del origen.

Forma geomtrica de la formula de Euler:

Haciendo suma vectorial:

)()cos( senje j

22cos2 ksenjke kj

Formula de Euler generalizada. ,...2,1,0k

43 Cada 2 se repite.

Contina formula de Euler.

Para cualquier magnitud queda:

)()cos( senrjrer j

Donde se cumple que:

22 yxr

x

y1tan

Forma polar: rer j

yjxer j Forma rectangular.

Nota: Cuando se evala la notacin exponencial el ngulo deber estar en

radianes.

44


rsenrjrer j )()cos(

Ejemplos de evaluaciones:

101)()cos(1 jsenje j

45

101)()cos(1 jsenje j

jsenjej

)2

()2

cos(2

12

jsenjej

)2

()2

cos(2

12

Contina formula de Euler. Ejemplos de evaluaciones:

jsenjej

)2

3()

2

3cos(

2

312

3

12222

jjjjj

eeeejj

111 jj

jjj

j

j

11

46

jej

212

jej

2

12

101)()cos( jsenje j

1ln j

jaa

a

a

ln

1lnln

1ln

ln

Sacando logaritmo natural se obtiene:

Contina formula de Euler. Logaritmo natural de nmeros negativos.

Para cualquier nmero negativo.

47

jaa lnln

1lnln je


)()cos( senje j

En senos y cosenos.

2)cos(

jj ee

j

eesen

jj

2)(

48

)()cos( senje j

)cos()cos( )()( sensen

)()cos( senje j

En base a las identidades anteriores se puede

obtener la funcin del coseno y del seno.

Operaciones con nmeros complejos.

rsenrjrer j )()cos(

Notaciones: Exponencial, rectangular y polar.

Suma en rectangular: 21212211 yyjxxjyxjyx

Resta en rectangular: 21212211 yyjxxjyxjyx

Multiplicacin: 2121 2121 jjj errererExponencial:

21212211 rrrrPolar:

Divisin: 2121

2

1

2

1

2

1

2

1

jjj

j

j

er

ree

r

r

er

erExponencial:

212

1

22

11

r

r

r

rPolar:

49


Inverso:

j

j

j erre

re

111

Exponencial:

rrr

111Polar:

Conjugado: jj rere *Exponencial:

rr *Polar:

jyxjyx *Rectangular:

50

Multiplicar por el conjugado.

2* rrererere jjjj

* jjj rererer


Negativo: jyxjyx 1

jjj rerere1

rrr1

Rectangular:

Exponencial:

Polar:

51

Ejemplos:

Evaluar:

La suma se realiza ms fcilmente en forma rectangular:

Evaluar:

52

wtiwtv SS


alterna (AC).

Un circuito lineal con entrada de una funcin forzada de frecuencia angular w

siempre genera respuestas de la misma frecuencia angular w.

wtIwtV MM coscos

wtsenIjwtsenVj MM

wtjMwtj

M eIeV

wtsenIjwtIwtsenVjwtV MMMM coscos

Fuente imaginaria.

Aplicando formula de Euler.

Aplicando teorema de superposicin con los dos casos anteriores.

53

Ejemplo 1. Obtener la respuesta forzada i(t) del siguiente circuito donde el voltaje de entrada es:


0 iRdt

diLvs


iRdt

diLvs

0 RLs vvv

Ecuacin diferencial

del circuito.


alterna (AC).

wtjMS eVtv

54

wtjMS eIti

La corriente vara

en amplitud y fase.

Contina ejemplo 1.

iRdt

diLvs

wtjMS eVtv wtjMS eIti

wtjMS ejwIdt

tdi

Sustituir las ecuaciones en la ecuacin diferencial:

wtjMwtj

M

wtj

M eIReILjweV

jwtjM

jwtj

M

wtj

M eeIReeIjwLeV

Todos los trminos en la ecuacin contienen ejwt por lo que se divide entre l para

eliminarlo. Esto significa que la magnitud y la fase de la corriente no dependen

de ejwt.

jM

j

MM eIReIjwLV

jMM eIjwLRV Finalmente: 55

La corriente vara

en amplitud y fase.

Contina ejemplo 1. jMM eIjwLRV

Despejando la corriente:

jwLR

VeI MjM

Pasar el divisor de rectangular a polar:

R

wLj

Mj

M

eLwR

VeI

1tan222

RwL

jMj

M eLwR

VeI

1tan

222

Por igualdad se debe cumplir:

222 LwR

VI MM

R

wL1tan

56

Contina ejemplo 1.

wtjMS eVtv

wtjMS eIti

222 LwR

VI MM

R

wL1tan

Resultado final:

RwL

wtjM

S eLwR

Vti

1tan

222

Analizar un circuito con funciones exponenciales:

a) Es mucho ms simple ya que es la nica funcin que al derivarse o integrarse

genera la misma funcin.

b) En la ecuacin general del circuito todos los trminos contienen ejwt , lo cual

indica que la frecuencia angular en cualquier parte del circuito es la misma y este

factor podr ser eliminado de la ecuacin.

c) El punto anterior significa que la magnitud y la fase que se buscan no dependen

del factor ejwt 57

Para facilitar el anlisis podemos subirnos a uno de los vectores y los dems vectores se vern estticos manteniendo el desfasamiento entre ellos. Esto

permite prescindir del trmino ejwt y simplificar el anlisis basndolo solo en magnitudes y desfasamientos.

Conclusiones al anlisis en estado estable (Respuesta forzada) de

circuitos lineales con funciones exponenciales con parte imaginaria.

El voltaje o la corriente en cualquier parte del circuito se puede ver como un vector

que rota a una frecuencia angular w pero con diferentes desfasamientos.

58

wtjM eVtv )(

wtjM eIti )(

Anlisis fasorial.

V Mj

M

wtj

M VeVeVFasor voltaje:

I Mj

M

wtj

M IeIeIFasor corriente:

No olvidar que el comportamiento del capacitor y del inductor depende de la

frecuencia angular w por lo que tendr que ser incluida en las ecuaciones que modelan a estos dos elementos.

No se incluye el trmino ejwt.

59

60

wtVtv M cos)(Funcin coseno en funcin del fasor voltaje.

wtVjwtVtv MM coscosRe)(

wtjM eVtv Re)(

jwtjMjjwtM eeVeeVtv ReRe)(

jwtetv VRe)(Finalmente se obtiene:

MM VVjeV

Se utiliza la formula de Euler para expresar la funcin coseno en funcin exponencial.

Fasor voltaje:

El anlisis del circuito se har con la forma fasorial V pero al final habr que

tomar solo la parte real para obtener la funcin en el tiempo v(t).

Ejemplos para obtener el fasor correspondiente a una seal en el tiempo:

61

wtVtv M cos)(

Funcin en el dominio del tiempo. Funcin en el dominio del fasor.

MM VVjeV

wtVti M cos)( MM IIjeI

wtsenVtv M)(

9090 MM VVjeV 90cos)( wtVtv M

wtsenIti M)(

9090 MM IIjeI 90cos)( wtIti M

La funcin siempre tendr que expresarse en coseno para que corresponda

a la parte real de la formula de Euler.

Pasar del dominio en el tiempo al dominio del fasor. Este ltimo

tambin llamado dominio de la frecuencia.

Ejemplos:

62

Ejemplos:

Obtener representacin fasorial:

Recordar:

Obtener representacin fasorial:

63

Obtener la representacin en el tiempo de :

Recordar que:

Obtener la representacin en el tiempo:

64

Ejemplos:

jj

eejj 90290110

Sumar las dos seales utilizando la forma fasorial:

65

Ejemplos:

Representacin fasorial:

Problema anterior grficamente en el tiempo:

En radianes y con w=1 :

Representacin en el tiempo:

66

Representacin fasorial:

Capítulo Analisis en el tiempo

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