CAPITULO 7

Estudio de Circuitos en Rgimen Transitorio

Teora de Circuitos I

Estudiaremos el comportamiento dinmico de los circuitos cuando se producen perturbaciones, originadas por apertura o cierre de llaves, o por variaciones sbitas en la alimentacin.

Circuito Dinmico: Incluye Capacitores, Inductores, o ambos. La energa no se disipa en forma de calor, sino que queda almacenada en el campo elctrico (en C) o magntico (en L).

El comportamiento de las formas de onda de tensin y corriente quedar definido por ecuaciones diferenciales cuyo orden depende del nmero de almacenadores que tenga el circuito.

Propiedades bsicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo Memoria:

Memoria:

Las condiciones inciales son equivalentes, desde el punto de vista externo, a los siguientes cicuitos:Es importante tener en cuenta la polaridad/sentido de circulacin de la condicin inicial para el modelo !!!

Continuidad: Propiedades bsicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo Si la forma de onda de corriente ic(t) en un capacitor lineal ( ten-sin vL(t) en un inductor ) permanece acotada en un intervalo ce-rrado [ta, tb], entonces la tensin vc(t) en el capacitor ( corriente iL(t) en un inductor ) es una funcin continua en el intervalo abierto (ta, tb).

Continuidad:

Una forma de demostrar matemticamente esta propiedades a partir de las relaciones VA de los respectivos elementos CAPACITORINDUCTORPara que exista la derivada la tensin vC(t) en el capacitor y la corriente iL(t) en un inductor deben variar en forma continua. Luego,

Energa almacenada en un capcitor o Inductor invariante en el tiempo:

Sea un capacitor lineal C con una tensin inicial vC(t1) = V y una carga q(t1) = C V

En t1 se cierra el interruptor

Anlogamente, para un inductor lineal L con una corriente inicial i(t1) = I o un flujo inicial (t1) = L I .

Por LKT sabemos que:Planteo de ecuaciones en regmenes transitorios vS(t) : Excitacin o funcin forzante (puede ser cte o vble en el tiempo)Las ecuaciones diferenciales por s mismas, no permiten obtener la so-lucin real del problema, sino que deben complementarse con las con-diciones iniciales, o condiciones de conmutacin vistas anteriormente.

Como ya sabemos la solucin para una variable cualquiera x(t) para una ecuacin diferencial lineal tendr la forma: Rgimen transitorio, libre y forzadoPara los circuitos se puede demostrar que la ecuacin homognea aso-ciada slo puede tener raices reales negativas o complejas con parte real negativa y las soluciones sern del tipo:SolucinHomogneaSolucinParticular

Circuitos constituidos por resistencias e inductancias o resistencias y capacitores. Grficamente,Rgimen transitorio en circuitos de primer orden Aplicando T. de Thevenin o de Norton podemos reemplazar N, tal que:Aplicando LKT en la mallaAplicando LKC en un nudo

Cuando la red N contiene solo fuentes de continua, vth(t) = Vth y iN(t) = iN son constantes podemos escribirCircuitos alimentados con fuentes de valor cte. Mtodo de inspeccinPero como ya sabemos esta ecuacin tendr una solucin de la forma: Para el caso del capacitor, x(t)= Vc(t):

La evolucin de la variable de estado ( vC(t) o iL(t) ) queda unvocamente determinada por tres parmetros: estado inicial x(0), estado final o de equilibrio x(), y constante de tiempo Circuitos alimentados con fuentes de valor cte. Mtodo de inspeccinEl mtodo puede usarse para hallar la tensin entre cualquier par de nudos j y k, o la corriente en cualquier rama j, en una red lineal de primer orden alimentada por fuentes de continua.

Observacin:Solo puede utilizarse en circuitos donde el equivalente de Thevenin o Norton exista y posea Rth 0 o GN 0 respectivamente.

Propiedades de las ondas exponencialesLa evolucin de la variable de estado ( vC(t) o iL(t) ) queda tendr un comportamiento estable o no dependiendo de la constante de tiempo Diremos que es estable si la solucin homognea tiende asintticamen-te a cero cuando t tiende a infinito. Caso contrario, podr ser inesta-ble o marginalmente estable. Caso estable > 0

Propiedades de las ondas exponencialesec. homogenea asoc ? Caso marginalmente estable Caso inestable < 0

Clculo del tiempo transcurrido entre dos instantes dados A partir de la ecuacin deducida para el metodo de inspeccin sabemos que cualquier punto de la evolucin verifica que:Con lo cul podemos calcular el intervalotranscurrido entre 2 instantes planteando esta ecuacin para 2 instantes, diviendo miembro a miembro y tomando el logaritmo. As, se obtiene que:

Con C.I. nulas, por el mtodo de inspeccin:Si a su vez i(0) = 0, tenemos:Representacin grfica de la respuestaLuego, por la ley de Ohm:

Representacin grfica de la respuesta: constante de tiempo( tiempo que tarda la ilibre, en reducirse a un valor igual a 1/e )

Determinacin grfica de tAplicando inspeccin y suponiendo que transcurri un tiempo largo antes de cerrar S, tenemos:ifinal = 0Luego, la evolucin temporal en la malla que se cortocircuito ser:

C

C0

D

Pag 16 Ej 1) Determinar la corriente i(t) y la tensin vx(t) para t 0, siendo i(0-) = 1 A

Pag 17 Ej 5) En el siguiente circuito, la llave se abre en t = 0, exci-tando la red con un escaln de corriente IDC. Obtener y graficar v0(t).

Rgimen transitorio en circuitos de 2do orden - Respuesta libre:Hallar v(t) debido a la liberacin de energa almacenada en L, en C o en ambas Hallar i(t) debido a la liberacin de energa almacenada en L, en C o en ambas - Respuesta forzada:

Rgimen transitorio en circuitos de 2do orden Por LKT en la malla tenemos:Como tenemos ahora una EDO de orden 2 necesitaremos 2 condicio-nes iniciales, que podrn ser independientes o depenmdientes

Rgimen transitorio en circuitos de 2do orden - Calculo de respuesta libreEl polinomio asociado resulta:Ojo, vale solo para serie RLC

Circuitos de 2do orden RLC paraleloPor LKC en el nudo:

Rgimen transitorio en circuitos de 2do orden 1. Si > 0 > 0 ambas races son reales, negativas y distintas y la respuesta se denomina sobreamortiguada, estando representada por la suma de dos exponenciales decrecientes, con constantes de tiempo 1 y 2

Rgimen transitorio en circuitos de 2do orden 2. Si = 0 ambas races sern reales e iguales, y se dice que la respuesta posee amortiguamiento crtico

Rgimen transitorio en circuitos de 2do orden 3. Si 0 < < 0 ambas races son complejas conjugadas una de otra, y la respuesta se denomina subamortiguada, estando representada por una senoide que decae exponencialmente.

Rgimen transitorio en circuitos de 2do orden 4. Si = 0 y o > 0 la respuesta ser sin prdidas, es decir, una senoide pura con una frecuencia angular de oscilacin igual a o

Anlisis solucin completa RLC serie Al igual que para primer orden la solucin completa puede pensarse como la superposicin de la respuesta libre y la forzada: Rgimen sobreamortiguado > o > 0 ambas races son reales y distintas 1 2 a) Anlisis respuesta libre

Anlisis solucin completa RLC serie Rgimen sobreamortiguadob) Anlisis respuesta forzada (c.i. nulas)vC(t) ?

Pag 24 Ej 2) Luego de haber estado en la posicin 1 un tiempo sufi-cientemente largo, la llave L conmuta en t=0 a la posicin 2.

Hallar y graficar la evolucin vC(t) para t 0.

Anlisis solucin completa RLC serie Amortiguamiento crtico = o ambas races reales e iguales 1= 2 = a) Anlisis respuesta libreb) Anlisis respuesta forzada (c.i. nulas)

Determinar la tensin de salida vc(t) para t>0 seg. Suponer que el circuito ha alcanzado el rgimen permanente en t = 0-.

Forma general de las constantes de integracin para regimen libreRegimen Sub o SobreamortiguadoReemplazando (1) en (2), tenemos:Para la tensin en el capacitor:Reemplazando (1) en (2), tenemos:

Anlisis solucin completa RLC serie Regimen subamortiguado0 < < o races complejas conjugadas 12 = - j da) Anlisis respuesta libreComo ya sabiamos:Trabajando matemticamente y utilizando la igualdad de Euler:

b) Anlisis respuesta forzada (c.i. nulas)Anlisis solucin completa RLC serie

Pag 32 Ej 2) La llave en el siguiente circuito se abre en t = 0 seg, luego de haber permanecido cerrada un tiempo suficientemente largo.Calcular iL(t) para t 0.

En t = 0 seg las llaves S y S estn en la posicin 1. En t = 1 mseg conmutan a la posicin 2. Calcular la evolucin temporal de vR(t)

1F

+

10V

vR(t)

+

t=0

20V

1H

1

2

1

2

S

S

t=0

Pag 32 Ej 4) En t = 0 los almacenadores estn descargados y la llave en la posicin 1. El sistema evoluciona hasta t = 0,5 s y la llave conmuta a la posicin 2. Calcular y graficar cualitativamente iL(t) para t 0.

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