capitulo 6, demanda

Capítulo 6

Demanda

Propiedades de las Funciones de Demanda

Estática comparativa el estudio de cómo cambia la demanda ordinaria de x1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m) cuando cambian los precios y el ingreso.

Cambios en el precio

¿Cómo cambia x1*(p1,p2,m) cuando p1 cambian, manteniendo p2 y m constantes?

Supongamos que p1 se incrementa, de p1’ a p1’’ y luego a p1’’’.

x1

x2

p1 = p1’

p2 y m permanecen constantes

p1x1 + p2x2 = m

x1

x2

p1= p1’’

p1 = p1’

p1x1 + p2x2 = m


x1

x2

p1= p1’’p1=p1’’’

p1 = p1’

p1x1 + p2x2 = m


x2

x1

p1 = p1’


x2

x1x1*(p1’)

p1 = p1’


x2

x1x1*(p1’)

p1

x1*(p1’)

p1’

x1*

p1 = p1’


x2

x1x1*(p1’)

p1

x1*(p1’)

p1’

p1 = p1’’

x1*


x2

x1x1*(p1’)

x1*(p1’’)

p1

x1*(p1’)

p1’

p1 = p1’’

x1*


x2

x1x1*(p1’)

x1*(p1’’)

p1

x1*(p1’)

x1*(p1’’)

p1’

p1’’

x1*


x2

x1x1*(p1’)

x1*(p1’’)

p1

x1*(p1’)

x1*(p1’’)

p1’

p1’’

p1 = p1’’’

x1*


x2

x1x1*(p1’’’) x1*(p1’)

x1*(p1’’)

p1

x1*(p1’)

x1*(p1’’)

p1’

p1’’

p1 = p1’’’

x1*


x2

x1x1*(p1’’’) x1*(p1’)

x1*(p1’’)

p1

x1*(p1’)x1*(p1’’’)

x1*(p1’’)

p1’

p1’’

p1’’’

x1*


x2

x1x1*(p1’’’) x1*(p1’)

x1*(p1’’)

p1

x1*(p1’)x1*(p1’’’)

x1*(p1’’)

p1’

p1’’

p1’’’

x1*

Curva dedemandaordinaria parael bien 1


x2

x1x1*(p1’’’) x1*(p1’)

x1*(p1’’)

p1

x1*(p1’)x1*(p1’’’)

x1*(p1’’)

p1’

p1’’

p1’’’

x1*



x2

x1x1*(p1’’’) x1*(p1’)

x1*(p1’’)

p1

x1*(p1’)x1*(p1’’’)

x1*(p1’’)

p1’

p1’’

p1’’’

x1*

Curvadeofertapreciopara p1



Cambios en el precio

La curva que contiene todas las canastas que maximizan la utilidad cuando cambia el precio p1 ccon p2 y m constantes, es la curva oferta precio.

El gráfico de las coordenadas de x1 y su precio p1 es la curva de demanda ordinaria del bien 1.

¿Cómo se presenta la curva de oferta precio para las preferencias Cobb-Douglas?

Tomemos:

entonces las funciones de demanda ordinaria para los bienes 1 y 2 son:

U x x x xa b( , ) .1 2 1 2

121

*1 ),,(

p

m

ba

amppx

.),,(2

21*2 p

m

ba

bmppx

y

Observe que x2* no varía cuando cambia p1 Entonces la curva oferta precio es

y la curva de demanda ordinaria parael bien 1 es

una hiperbola rectangular.

x1*(p1’’’) x1*(p1’)

x1*(p1’’)

x2

x1

2

*2 )( pba

bmx

1

*1 )( pba

amx


x1*(p1’’’) x1*(p1’)

x1*(p1’’)

x2

x1

p1

x1*

Curva de demandaordinaria para elbien 1 es

1

*1 )( pba

amx


2

*2 )( pba

bmx

1

*1 )( pba

amx

¿Cómo se presenta la curva de oferta precio para una función de utilidad de bienes complementarios perfectos?

.,),( 2121 xxmínxxU

en consecuencia, las funcionesde demanda ordinaria para losbienes 1 y 2 son:

.),,(),,(21

21*221

*1 pp

mmppxmppx

Con p2 y m fijos, un p1 mayor provoca unmenor x1* y un menor x2*.

.),,(),,(21

21*221

*1 pp

mmppxmppx

.,02

*2

*11 p

mxxp

p x x1 1 2 0 , .* *

x1

x2


p1

x1*21

'*2 pp

mx

21'

*1 pp

mx

x1

x2

p1’

21'

*1 pp

mx

p1 = p1’

m/p2


p1

x1*21''

*2 pp

mx

21''

*1 pp

mx

x1

x2

p1’

p1’’p1 = p1’’

21''

*1 pp

mx

y/p2


p1

x1*21

'''*2 pp

mx

21'''

*1 pp

mx

x1

x2

p1’

p1’’

p1’’’

21'''

*1 pp

mx

p1 = p1’’’

y/p2


p1

x1*

La curva de demandaordinaria para elbien 1 es

21

*2 pp

mx

21

*1 pp

mx

.21

*1 pp

mx

x1

x2

p1’

p1’’

p1’’’

2p

m

y/p2


U x x x x( , ) .1 2 1 2

entonces, la curva de demandaordinaria para los bienes 1 y 2 son

¿Cómo se presenta la curva de oferta precio para una función de utilidad de bienes sustitutos perfectos?

211

2121

*1 ,/

,0),,(

ppsipm

ppsimppx

.,/

,0),,(

212

2121

*2 ppsipm

ppsimppx

y

x2

x1

x2 0*

1

*1 p

mx

p1 = p1’ < p2

’


x2

x1

p1

x1*

x2 0*

1'

*1 p

mx

p1’

p1 = p1’ < p2

1'

*1 p

mx


x2

x1

p1

x1*

p1’

p1 = p1’’ = p2


x2

x1

p1

x1*

x2 0*

1''

*1 p

mx

p1’

p1 = p1’’ = p2

x1 0*

2

*2 p

mx


x2

x1

p1

x1*

x2 0*

2

*1 p

mx

p1’

p1 = p1’’ = p2

x1 0*

2

*10

p

mx

p2 = p1’’


2

*2 p

mx

x2

x1

p1

x1*

2

*2 p

mx

x1 0*

p1’

p1’’’

x1 0*

p2 = p1’’


x2

x1

p1

x1*

p1’

p2 = p1’’

p1’’’

1

*1 p

mx

2

*10

p

mx

2p

m

Curvaofertapreciopara el bien 1

Curva demandaordinaria parael bien 1p2 y m permanecen

constantes

Nos preguntamos con frecuencia “dado el precio del bien 1, ¿cuál es la cantidad demandada del bien 1?

Pero también nos podemos hacer la pregunta a la inversa :“¿A qué precio será demandada una cierta cantidad del bien 1?”

p1

x1*

p1’

Dado p1’, ¿qué cantidades demandada del bien 1?

p1

x1*

p1’

Respuesta: x1’ unidades.

x1’

p1

x1*x1’

La pregunta inversa es:dados x1’ unidadesdemandadas del bien 1,¿cuál es su precio?

p1

x1*

p1’

x1’

respuesta: p1’

Tomando la cantidad demanda como dada y preguntando cuál debe ser el precio, describimos la función inversa de demanda de un bien.

Un ejemplo con preferencias Cobb-Douglas:

1

*1 )( pba

amx

es la función de demanda ordinaria y

*1

1 )( xba

amp

es la función inversa de demanda

Ejemplo de complementos perfectos

21

*1 pp

mx

es la función de demanda ordinaria y

2*1

1 px

mp

es la función inversa de demanda

Cambios en el ingreso

¿Cómo cambia el valor de x1*(p1,p2,m) cuanda cambia m, manteniendo constantes los precios p1 y p2?

x2

x1

Manteniendo fijosp1 y p2.

m’ < m’’ < m’’’

x2

x1x1’’’x1’’

x1’

x2’’’x2’’x2’


m’ < m’’ < m’’’

x2

x1x1’’’x1’’

x1’

x2’’’x2’’x2’

CurvaOferta ingreso


m’ < m’’ < m’’’

La gráfica de la cantidad demandada versus el ingreso se conoce como Curva de Engel.

x2

x1x1’’’x1’’

x1’

x2’’’x2’’x2’


m’ < m’’ < m’’’

CurvaOferta ingreso

x2

x1x1’’’x1’’

x1’

x2’’’x2’’x2’

x1*

m

x1’’’x1’’

x1’

m’m’’

m’’’


m’ < m’’ < m’’’

CurvaOferta ingreso

x2

x1x1’’’x1’’

x1’

x2’’’x2’’x2’

x1*

m

x1’’’x1’’

x1’

m’m’’m’’’

CurvaEngel


m’ < m’’ < m’’’

CurvaOferta ingreso

x2

x1x1’’’x1’’

x1’

x2’’’x2’’x2’

x2*

m

x2’’’x2’’

x2’

m’m’’

m’’’


m’ < m’’ < m’’’

CurvaOferta ingreso

x2

x1x1’’’x1’’

x1’

x2’’’x2’’x2’

x2*

m

x2’’’x2’’

x2’

m’

m’’

m’’’

CurvaEngelManteniendo fijos

p1 y p2.

m’ < m’’ < m’’’

CurvaOferta ingreso

x2

x1x1’’’x1’’

x1’

x2’’’x2’’x2’

x1*

x2*

m

m

x1’’’x1’’

x1’

x2’’’x2’’

x2’

m’

m’’

m’’’

m’

m’’

m’’’

CurvaEngel

CurvaEngel


m’ < m’’ < m’’’

CurvaOferta ingreso

Cambios en el Ingreso y preferencias Cobb-Douglas

Un ejemplo de cálculo de las ecuaciones de Engel para las preferencias Cobb-Douglas.

Las ecuaciones de demanda ordinaria son

U x x x xa b( , ) .1 2 1 2

.)(

;)( 2

*2

1

*1 pba

bmx

pba

amx

Reordenando y despejando m:

*2

2

*1

1

)(

)(

xb

pbam

xa

pbam

Curva Engel para el bien 1


m

m x1*

x2*

*1

1)(x

a

pbam

Curva Engelpara el bien 1

*2

2)(x

b

pbam

Curva Engelpara el bien 2

Cambios en el ingreso y preferencias de bienes complementarios perfectos

Otro ejemplo para estimar las ecuaciones de las curvas de Engel; el caso de bienes complementarios perfectos.


.21

*2

*1 pp

mxx

.,),( 2121 xxmínxxU

Reordenando y despejando m:

*221

*121

)(

)(

xppm

xppm


.21

*2

*1 pp

mxx


x1

x2


x1

x2

m’ < m’’ < m’’’


x1

x2

x1’’x1’

x2’’’x2’’x2’

x1’’’

m’ < m’’ < m’’’


x1

x2

x1’’x1’

x2’’’x2’’x2’

x1’’’ x1*

m

m’

m’’

m’’’CurvaEngel

x1’’’x1’’

x1’

m’ < m’’ < m’’’


x1

x2

x1’’x1’

x2’’’x2’’x2’

x1’’’

x2*x2’’’x2’’

x2’

m’ < m’’ < m’’’


m

m’

m’’

m’’’

CurvaEngel

x1

x2

x1’’x1’

x2’’’x2’’x2’

x1’’’ x1*

x2*x2’’’x2’’

x2’

x1’’’x1’’

x1’

m’ < m’’ < m’’’


m

m’

m’’

m’’’

m

m’

m’’

m’’’

CurvaEngel

CurvaEngel

x1*

x2*x2’’’x2’’

x2’

x1’’’x1’’

x1’

*221 )( xppm

*121 )( xppm


m

m’

m’’

m’’’

m

m’

m’’

m’’’

CurvaEngel

CurvaEngel

Otro ejemplo para la estimación de las ecuaciones de las curvas de Engel; el caso de sustitutos perfectos.


U x x x x( , ) .1 2 1 2

Cambios en el ingreso y preferencias de bienes sustitutos perfectos

211

2121

*1 ,/

,0),,(

ppsipm

ppsimppx

.,/

,0),,(

212

2121

*2 ppsipm

psipmppx

Supongamos que p1 < p2. Entonces

1

*1 p

mx x2 0* y

x2 0* .*11xpm y

x2 0* .*11xpm

y y

x1* x2*0Curva Engel Curva Engel

Cambios en el ingreso

En los ejemplos que hemos visto, la curva de Engel se ha presentado como una función lineal. pregunta: ¿Es siempre así?

respuesta: No. Las curvas de Engel son líneas rectas si las preferencias de los consumidores son homotéticas.

Homoticidad

Las preferencias del consumidor son homotéticas si y solo si

para k > 0. Es decir, la TMgS del consumidor es

la misma en cualquier punto sobre la línea recta desde el orígen.

Û(x1,x2) (y1,y2) (kx1,kx2) (ky1,ky2)pp

Efecto ingreso – un ejemplo no homotético

Las preferencias cuasilineales no son homotéticas.

Por ejemplo:

U x x f x x( , ) ( ) .1 2 1 2

U x x x x( , ) .1 2 1 2

x2

x1

Cada una de las curvas es una copiaverticalmente desplazada de las otras.

Cada una de las curvasintersecta ambos ejes.

x2

x1

x1~

x2

x1

x1~

x1*

y

x1~

CurvaEngel

x2

x1

x1~

x2*

y CurvaEngel

x2

x1

x1~

x1*

x2*y

y

x1~

CurvaEngel

CurvaEngel

Efecto Ingreso

Un bien para el cual la cantidad demandada se incrementa cuando el ingreso se incrementa es un bien normal.

En consecuencia la curva de Engel para bienes normales, tiene pendiente positiva.

Un bien para el cual la cantidad demandada disminuye cuando el ingreso se incrementa es un bien inferior.

En consecuencia la curva de Engel para bienes inferiores tiene pendiente negativa.

x2

x1

Cambios en el ingreso: bienes 1 y 2 son normales

x1’’’x1’’

x1’

x2’’’x2’’x2’

Curvaofertaingreso

x1*

x2*

m

x1’’’x1’’

x1’

x2’’’x2’’

x2’

m’

m’’

m’’’

CurvaEngel

CurvaEngel

m

m’

m’’

m’’’

Cambios en el ingreso: el bien 2 es normal, el bien 1 es inferior

x2

x1

x2

x1

x2

x1

Curvaofertaingreso

x2

x1x1*

m

Curva Engel

x2

x1x1*

x2*

m

m

Curva Engel

Curva Engel

Bienes ordinarios

Un bien es un bien ordinario si su cantidad demandada siempre se incrementa cuando su precio disminuye.

Bienes ordinarios

x1

x2

Manteniendo fijosp2 y m

x1

x2

Curvaofertaprecio


x1

x2

x1*

Curva demandapendiente negativa

El bien 1 esordinario

Ûp1


Curvaofertaprecio

Bienes Giffen

Si, para algunos valores del precio, la cantidad demandada de un bien se incrementa cuando su precio se incrementa, entonces el bien es un bien Giffen.

x1

x2


x1

x2


Curvaofertaprecio

x1

x2

x1*

La curva de demandatiene un tramo conpendiente positiva.

El bien 1 esun bienGiffen

Ûp1


Curvaofertaprecio

Efecto precio cruzado

Si un incremento en p2

– incrementa la demanda del bien 1, entonces el bien 1 es un sustituto bruto del bien 2.

–disminuye la demanda del bien 1, entonces el bien 1 es un complemento bruto del bien 2.

Ejemplo de complementos perfectos:

21

*1 pp

mx

.02

212

*1

pp

m

p

x

entonces

En consecuencia, el bien 2 esComplemento bruto del bien 1.

p1

x1*

p1’

p1’’

p1’’’

yp2’

Se incrementa el precio delBien 2 de p2’ a p2’’ y

p1

x1*

p1’

p1’’

p1’’’

yp2’’

La curva de demandadel bien 1 se desplazahacia adentro-- el bien2 es un complementobruto del bien 1.

Un ejemplo con preferencias A Cobb- Douglas:

2

*2 )( pba

bmx

así

xp2

10

*.

En consecuencia, el bien 1 no esComplemento ni sustituto bruto delBien 2.

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