Capitulo 5

Capitulo 5

LA ENSEANZA DE LA PROBABILIDAD. UN PROBLEMA PENDIENTE1.- REVISIN DE CUESTIONES POLMICAS EN LA ENSEANZA DE LAS PROBABILIDADES

"...Y, sin embargo, se puede ensear ciencia". As titulaba Pozo (1987b, p.109) un artculo que cerraba un estudio monogrfico sobre el cambio conceptual y enseanza de las ciencias y cuyo primer prrafo no nos resistimos a transcribir:

El cuadro que ofrecen en conjunto las investigaciones sobre la comprensin y el aprendizaje de la ciencia por los adolescentes puede parecer desolador a ms de un lector: los alumnos tienen serios problemas para aplicar correctamente estrategias de pensamiento formal a tareas cientficas; aunque logren razonar formalmente eso no les asegura la comprensin de los conceptos implicados; adems esa comprensin se ve obstaculizada por la existencia de concepciones espontneas muy persistentes, reacias al cambio y, por si esto fuera poco, decididamente contrarias a los conceptos que se les pretende ensear; as, la simple exposicin a esos conceptos no es suficiente para que los comprendan... pero tampoco pueden habitualmente descubrirlos por s mismos; se hace necesario disear unidades didcticas que al tiempo que expongan los conceptos cientficos bsicos induzcan un aprendizaje activo en los alumnos...pero esas unidades no siempre tienen xito... En definitiva, tal vez ese profesor pesimista pueda haber llegado a la conclusin de que la enseanza de la ciencia no es ya contraintuitiva sino literalmente contra natura ...Y, sin embargo, nosotros pensamos que se puede ensear ciencia a los adolescentes.

Si hemos recogido esta cita tan larga, es porque describe de manera brillante un escenario que, aunque representa el panorama de la enseanza de las ciencias experimentales, se ajusta con precisin a lo que ocurre en el campo de la enseanza de las probabilidades y en general, en la enseanza de las matemticas. El fracaso en esta disciplina se ha instituido como natural en nuestras aulas y la enseanza de las probabilidades y estadstica se relega y muchas veces ni siquiera se intenta a pesar de figurar en los programas oficiales (Carpenter, 1989; DeBeres, 1988).

Hay unas cuantas cuestiones en relacin a la enseanza de las probabilidades que aparecen sistemticamente en la literatura (Austin, 1974; Bauersfeld, 1991; Bentz, 1983; Shulte, 1981): el problema del carcter polidrico del concepto de probabilidad, el problema del currculo probabilstico, el problema de las concepciones probabilsticas y el papel de los profesores, el problema de los mtodos de enseanza-aprendizaje y el papel del ordenador en la enseanza de las probabilidades. Analicemos brevemente cada una de estas cuestiones.

1.1.El problema de la naturaleza polidrica de la probabilidad

Dado el carcter multifactico de la probabilidad es muy difcil que los alumnos puedan comprender las nociones probabilsticas desde un enfoque axiomtico puro. Discutiremos los cuatro enfoques de la naturaleza de la probabilidad relevantes para las matemticas escolares: clsico, frecuencialista, subjetivista y estructural.

Enfoque clsico: de acuerdo a Laplace la probabilidad de un suceso se obtiene mediante la proporcin de resultados favorables a este suceso en el espacio muestral; este enfoque asume la equiprobabilidad de todos los resultados simples del espacio muestral. Los matemticos llaman a esta asignacin de probabilidades una distribucin de probabilidad uniforme. Es un enfoque a priori de la probabilidad que permite el clculo de probabilidades antes de realizar pruebas aleatorias. La probabilidad geomtrica est muy relacionada con este enfoque y reduce la probabilidad a clculo de reas.

En el momento de la aplicacin de este enfoque a un experimento aleatorio real, nos enfrentamos con el problema de decidir cules son los resultados simples que son igualmente probables. La existencia de simetra en el experimento fsico, que permite aplicar el principio de razn insuficiente de Laplace, es una gua poco firme para ayudar en este problema, entre otras cosas, porque el mismo experimento fsico puede revelar diferentes simetras lo que supone el problema de decidir entre ellas. Recordemos, por ejemplo, que en la experiencia aleatoria del lanzamiento de dos dados se proponen tres modelos: Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein y Fermi-Dirac. No cabe duda de que debe encerrar mucha enjundia psicolgica el enfoque de la equiprobabilidad porque una de nuestras principales industrias se construye sobre esta idea: toda forma popular de juego, excepto apuestas en contextos de fuerza o destreza, depende de aparatos aleatorios tales como cartas perfectamente barajadas, dados perfectamente cbicos o ruletas simetricamente divididas. Tales aparatos utilizan una simetra visible para soportar la hiptesis de que los elementos simtricos son igualmente probables.

Enfoque frecuencialista: la probabilidad de un suceso se obtiene o, ms bien, se estima a partir de la frecuencia relativa observada de ese suceso en ensayos repetidos. Es un enfoque a posteriori, experimental, basado en informacin obtenida despus de realizar ensayos reales. La probabilidad es el lmite hacia el que tiende la frecuencia relativa, de este modo, el enfoque frecuencialista implica la teora de lmites y la convergencia. Al aplicar esta definicin, hay dificultades obvias para definir lo que significa 'similar' o 'aleatoriedad' ya que aparece la circularidad. Incluso la nocin de estabilizacin de las frecuencias relativas a largo plazo presenta dificultades en relacin al nmero de ensayos necesarios para lograr dicha estabilidad.

Con esta concepcin de la probabilidad, la mayora de incertidumbres que experimentan los seres humanos no se pueden describir por medio de probabilidades; por ejemplo, "el 100000 dgito decimal de es un 7", "hay ms de 15000 telfonos en Tegucigalpa (Honduras)", etc. Adems puede ser bastante difcil determinar si una particular frecuencia relativa es un estimador apropiado de una probabilidad. El lanzamiento de la moneda es el ejemplo de frecuencias relativas que viene en los libros de texto, pero cmo se debera lanzarla? Los sucesivos lanzamientos se deberan realizar bajo condiciones "substancialmente idnticas" pero no pueden ser absolutamente idnticas porque la moneda caera siempre del mismo lado. Cunta variacin es permisible en el procedimiento de lanzamiento de una moneda, de una tirada a la siguiente? La posicin frecuencialista casi nunca llevara a estimar que la probabilidad de conseguir caras es 1/2. En efecto, en cualquier secuencia de lanzamientos razonablemente larga pero finita, la frecuencia relativa de caras casi nunca ser 1/2; adems, variar de una ocasin a otra. La mejor estimacin frecuencialista de una probabilidad es la frecuencia relativa observada, por tanto los frecuencialistas deben admitir estimaciones como 515/1000 o 5200/10000, al menos que sean bastante sensatos para no recurrir a frecuencias relativas cuando tengan una base mejor para el juicio probabilstico, por ejemplo, la simetra de la moneda.

Enfoque subjetivista: representa el tipo de probabilidad que en el Renacimiento se calificaba como opinin o grado de creencia. En este enfoque, las probabilidades son evaluaciones de situaciones que son inherentes a la mente del sujeto no a las caractersticas del mundo real que nos rodea tal como se asume implcitamente en los dos primeros enfoques. "Las probabilidades son grados personales de creencia acerca de sucesos con incertidumbre" afirman von Winterfeldt y Edwards (1986, p.91).

El enfoque subjetivista o personalista permite una discusin significativa sobre la probabilidad tanto de un suceso nico como de un suceso repetible; la probabilidad de que salga cara en el siguiente lanzamiento de una moneda, la probabilidad de que sea del PSOE el siguiente presidente del gobierno espaol, la probabilidad de que el siguiente beb nacido en determinada familia sea nio, todas esas probabilidades son la misma clase de cantidad aunque varan ampliamente en el grado en que se pueden definir frecuencias relativas relevantes. Desde este enfoque, todas las incertidumbres se pueden medir apropiadamente utilizando probabilidades. Sin embargo, no todas las opiniones numricas acerca de resultados inciertos son probabilidades; las opiniones, para ser tratadas como probabilidades deben ser consistentes. Por ejemplo, sera tonto hacer una apuesta de 3 a 2 en cada uno de los dos caballos que participan en una carrera porque se pierde dinero en cuanto que la ganancia de 2 en un caballo no compensa la prdida de 3 en el otro. La coherencia formaliza esta idea bsica de la que se puede deducir las leyes bsicas de la probabilidad.

El enfoque subjetivo de la probabilidad no supone relativismo cultural o cientfico en el sentido de que no implica que "tu conjetura es tan buena como la ma". Aunque tu opinin inicial sobre la futura conducta de una moneda o sobre cualquier otra hiptesis incierta, puede diferir radicalmente de la de tus vecinos (de ah viene el nombre de probabilidades personales), tu opinin y la suya se vern tan transformadas por una serie de observaciones relevantes que llegarn a ser casi indistinguibles. Esta aproximacin que surge de opiniones inicialmente divergentes es una razn para considerar "objetivas" las inferencias desde las frecuencias relativas.

Todas las probabilidades son condicionadas para el enfoque personalista. Formalmente, se puede establecer una particin en cualquier conjunto de sucesos y una probabilidad es una medida asignada a cada uno de los subconjuntos de la particin. Algunas veces la proposicin a la que se asigna una probabilidad define completamente el conjunto de partida; por ejemplo: "esta bolsa contiene 50 bolas rojas y 50 azules, completamente mezcladas. Uno de nosotros selecciona una, metiendo la mano en la bolsa a ciegas y cogiendo la primera que encuentra. Ser roja". Sin embargo, con mayor frecuencia, la proposicin omite la mayor parte de la informacin que especifica el conjunto de partida; por ejemplo: "la siguiente persona que ver medir al menos 1.70 cm". La posibilidad de que el enunciado sea verdad depende de cuestiones tales como dnde estoy en este momento y cul es la secuencia probable de sucesos que me llevar a ver a alguna persona: puedo estar en casa con mi mujer e hijos, ninguno de los cuales llega a 1.70, puedo estar en un partido de baloncesto Real Madrid-Barcelona, en el primer caso la probabilidad de que se cumpla el enunciado ser muy baja, en el segundo caso aumenta esta probabilidad. La informacin condicionante siempre existe, independientemente de que sea explcita o implcita. Puesto que las probabilidades modelan creencias u opiniones, el tipo ms importante de condicionamiento tiene que ver con la informacin disponible en el momento en que se evala la probabilidad. Las regla fundamental para cambiar las probabilidades cuando se dispone de nueva informacin es el teorema de Bayes. Este teorema es una formalizacin matemtica del proceso de aprendizaje desde la experiencia. El enfoque personalista de la probabilidad se llama con frecuencia Bayesiano.

El enfoque subjetivista trata las frecuencias relativas del siguiente modo: una observacin es un tem de informacin que cambia una probabilidad. Adems, la naturaleza de ese cambio coincide aproximadamente con la preconizada por el enfoque frecuencialista. Consideremos, por ejemplo, el intento de estimar la probabilidad de que una chincheta, lanzada al aire, caiga de cabeza. Si un frecuencialista ha observado que en N lanzamientos r veces la chincheta ha cado de cabeza y N es un nmero razonablemente grande, estar dispuesto a admitir que r/N es una buena estimacin de la probabilidad pedida. Unos personalistas, como von Winterfeldt y Edwards, preferirn como estimacin (r+1)/(N+2), la cual, para N de razonable tamao y r no demasiado prximo a 0 ni a N, es casi indistinguible de r/N. La razn para la preferencia, explicada de modo intuitivo, se basa en el hecho de que ya conocemos algo acerca de la chincheta antes del primer lanzamiento: puede caer de cabeza o de punta. Para N pequeo, r puede ser 0, en cuyo caso el estimador 0/N=0 no parece muy adecuado mientras el estimador 1/(N+2) al menos admite que la chincheta puede caer de cabeza.

El enfoque subjetivista de la probabilidad no ha formado parte de la enseanza tradicional de la teora de probabilidades. La mayora de los libros de texto ensean las probabilidades que tienen que ver con experiencias aleatorias repetibles y que describen sucesos ms que opiniones acerca de proposiciones o enunciados.

Enfoque estructural: la probabilidad formal es un concepto que se define por un sistema de axiomas y el conjunto de definiciones y teoremas que se pueden deducir de esos axiomas. Unas probabilidades se deducen de otras probabilidades de acuerdo a teoremas matemticos, sin justificacin para sus valores numricos en ninguna aplicacin. Para Kolmogorov (1976), la teora de la probabilidad, como disciplina matemtica que es, puede y debe ser desarrollada desde los axiomas, exactamente igual que la geometra y el lgebra. Segn Barnett (1973), este enfoque estructural no clarifica la naturaleza de la probabilidad aunque los teoremas deducidos son un indicador de posibles interpretaciones. Sin embargo, puede servir como una estructura terica para las dos principales concepciones de la probabilidad, la objetivista y la subjetivista. La posicin objetivista abarca los enfoques clsico y frecuencialista; segn esta perspectiva, la probabilidad es un tipo de disposicin de ciertos sistemas fsicos que se relaciona con frecuencias empricas. Algunos teoremas como las leyes de los grandes nmeros, confirman esta relacin. La posicin subjetivista trata la probabilidad como un grado de confianza en proposiciones que expresan incertidumbre. Los axiomas que se basan en una conducta de apuestas "racional", como los de coherencia y consistencia, proporcionan reglas para asignar probabilidades.

Es notable que las teoras estructurales construidas sobre varios sistemas de axiomas son idnticas para objetivistas y subjetivistas si se apartan las variantes subjetivistas ms radicales como la de de Finetti. Esto significa que posiciones competitivas utilizan el mismo lenguaje axiomtico con respecto a la sintaxis; naturalmente, la semntica es diferente. A pesar de la equivalencia formal de los enfoques, se considera que los axiomas de Kolmogorov son una justificacin de la posicin objetivista, especialmente del modelo frecuencialista.El modelo estructural no ayuda a determinar un valor para la probabilidad. En una aplicacin determinada hay que elegir una interpretacin especfica subjetiva u objetiva para determinar el modelo y las probabilidades inherentes. Filosficamente, para el estructuralista no hay forma de decidir qu modelo es mejor (Renyi, 1976).

Un ejemplo estndar de lanzar un dado azul determinado puede ayudar a ilustrar las diferentes posiciones tericas. El modelo clsico asigna una probabilidad de 1/6 al suceso de conseguir un seis, porque se puede asumir que hay seis caras todas ellas igualmente probables. El modelo frecuencialista asigna una probabilidad realizando ensayos repetidos o asignando el mismo valor para el dado azul cuando experiencias con otro dado han producido un resultado de 1/6. En ambos modelos la probabilidad es una caracterstica inherente del dado y el procedimiento de lanzamiento. El modelo subjetivista afirma que la probabilidad es un constructo mental que se puede alterar si se dispone de nueva informacin acerca del dado. Por ejemplo, se puede asignar un valor diferente de 1/6 si el dado es negro o ms pesado o ms pequeo o est suavemente cincelado; por supuesto que se necesita alguna base para tomar la decisin pero dado que no se considera la probabilidad como inherente al objeto, no implica ningn problema lgico que haya valores en conflicto. De hecho, la concepcin subjetivista no rechaza consideraciones de simetra o de frecuencias relativas, ambas son importantes para evaluar probabilidades, pero insiste en que las ideas de simetra o frecuencia hay que hacerlas explcitas y usarlas con cuidado.

Implicaciones educativas: desgraciadamente, la tradicin dualstica de la nocin de probabilidad que analizamos en el captulo 1, todava permanece entre nosotros e interfiere en los debates de investigacin y en las estrategias didcticas en un modo que Shaughnessy (1992) califica de insidioso. Este autor afirma que el hecho de que se discutan los diferentes enfoques de probabilidad que acabamos de describir no es un problema. Lo que es un problema es que algunos investigadores hablan de ello como una batalla a ganar, como si hubiese un nico enfoque correcto de la probabilidad.

Hawkins y Kapadia (1984) se inclinan por el enfoque subjetivista para abordar la enseanza de la probabilidad. No aconsejan un enfoque a priori porque empezar diciendo a los nios que cada resultado es igualmente probable en determinadas situaciones aleatorias (enfoque clsico), no permite una transferencia natural y suave al estudio de situaciones aleatorias con distribuciones no uniformes. Tambin rechazan un enfoque frecuencialista porque esta perspectiva implica, en definitiva, alguna nocin de infinito y adems ciertas situaciones aleatorias no se pueden representar con pruebas repetidas. En resumen, Hawkins y Kapadia aconsejan la enseanza de la probabilidad va probabilidad subjetiva porque descansa en una "base filosfica elegante".

Shaughnessy (1992) est en fuerte desacuerdo con Hawkins y Kapadia y afirma que sera una pesadilla pedaggica basar la enseanza de la probabilidad nicamente en el enfoque subjetivo. Dice que nuestra tarea como educadores matemticos es capacitar a nuestros estudiantes para trabajar con un modelo matematizado de la probabilidad. Hawkins y Kapadia creen que el enfoque subjetivista es ms intuitivo porque todos los nios son felices haciendo valoraciones probabilsticas de un suceso simple, irrepetible. Sin embargo, este enfoque puede reforzar el sesgo de comprensin del azar que Konold (1991) bautiz con el nombre del "enfoque del resultado": algunos sujetos perciben cada ensayo de un experimento aleatorio como un fenmeno individual, separado, y por tanto, creen que su tarea es decidir correctamente cul ser el prximo resultado del experimento ms que estimar la probabilidad de los diversos resultados (describimos este sesgo en el captulo 2).

La entrada de los ordenadores en las aulas refuerza un enfoque frecuencialista en la enseanza de la probabilidad en cuanto que se pueden simular experimentos aleatorios con muchas pruebas repetidas y examinar rpidamente los efectos de cambios de parmetros en esos experimentos. Es posible incluso simular en ordenadores tareas de probabilidad condicionada y por otro lado se pueden representar tareas de revisin de probabilidades sin tener que recurrir al teorema de Bayes (ver discusin del dilema de Monty en el captulo 3).

En su conclusin, Hawkins y Kapadia (1984) afirman que tenemos pocas ideas sobre las concepciones de probabilidad que tienen los nios de diferentes edades y las que tenemos se contradicen con mucha frecuencia. Por contra, Shaughnessy (1992) afirma que hemos aprendido bastante acerca de la comprensin probabilstica de los nios, aunque por supuesto, no es bastante y an no tenemos el dibujo completo. En lo que coinciden Hawkins y Kapadia y Shaughnessy es acerca de las principales cuestiones que la investigacin debera tratar de responder:

a) Qu concepciones sobre la probabilidad tienen los alumnos de diversas edades, en concreto los adolescentes? (contestar esta pregunta ha sido el objetivo de los captulos anteriores de esta tesis).

b) Cmo se podran reforzar o cambiar, si fuera necesario, esas concepciones?, Hay mtodos ptimos de enseanza y aprendizaje de las probabilidades? (contestar esta pregunta es el objetivo de lo que resta de tesis).

No creemos que exista un nico mtodo verdadero y certero de ensear probabilidades que est esperando a ser descubierto. Ms bien hay muchos caminos para introducir los conceptos probabilisticos. Por ejemplo, el modelo de frecuencia relativa trata con datos discretos mientras el modelo de proporcin, especialmente la probabilidad geomtrica, puede tratar con datos continuos. Si adoptamos una perspectiva de modelizacin para la enseanza de la probabilidad, los conflictos entre un enfoque clsico de equiprobabilidad, un enfoque de frecuencia relativa o un enfoque subjetivista, no tienen por qu ser un obstculo en el proceso de enseanza-aprendizaje. Por el contrario, se debe equipar a profesores y alumnos con representaciones mltiples de probabilidad; es lo que Steinbring (1991) llama situaciones significativas. La estadstica en la escuela debe combinar orgnicamente ideas de diferentes tradiciones filosficas, en particular, la estadstica como la matemtica de los fenmenos de masas, la estocstica como la lgica de la incertidumbre, la estadstica como la tcnica que transforma datos en informacin y la estocstica como teora de la decisin.

1.2. El problema del currculo de probabilidades

Est claro que los alumnos de secundaria han de recibir una educacin probabilstica pero no se les puede ensear toda la teora de probabilidades, por tanto hay que seleccionar y secuenciar contenidos, ste es el problema del currculo. Esta seleccin se puede hacer desde tres perspectivas o con tres criterios, no siempre compatibles: epistemolgico, psicolgico y sociolgico. El currculo tradicional descansa en la disciplina acadmica mientras que las necesidades de la sociedad y la psicologa se ajustan mejor a otros enfoques curriculares. Lo que ms influye en el diseo curricular es la tradicin (lo que siempre se ense) y el conocimiento del profesor; en cambio, la motivacin del estudiante es un punto crucial en la construccin curricular que se ignora con demasiada frecuencia.

La mayora de los profesores consideran que las matemticas escolares y el currculo estn estrictamente fijados y jerrquicamente estructurados, de acuerdo al carcter unificado de las matemticas y a su estructura lgica. Desde tal perspectiva, organizan sus actividades de clase segn la estructura de su propio conocimiento matemtico y presentan las matemticas a los alumnos como un objeto ya hecho y de una manera simplificada. Sin embargo, las fuentes de los currcula no pueden descansar exclusivamente en la disciplina misma porque la disciplina como una teora cerrada se organiza segn criterios lgicos que no cubren el amplio espectro de relaciones que estaban activas en la fase de emergencia de la disciplina. Hay que centrarse en ideas que sean intuitivamente accesibles para que los pasos de formalizacin sean razonables y no se restrinja la enseanza slo a conexiones lgicas. Hay que utilizar medios de representacin que sean ms fciles de comprender y hay que integrar la discusin sobre posibles concepciones errneas de la teora lo cual se puede hacer mediante la discusin de paradojas en la clase (por ejemplo, las descritas en el captulo 1). Los principios bsicos del diseo curricular deben ser: la propia disciplina, los intereses de los estudiantes, sus prerrequisitos matemticos, la conexin con sus propias ideas previas y la transferencia de conocimientos, desde dentro hacia fuera del aula y viceversa (Ahlgren y Garfield, 1991).

Aunque hay que reconocer que hay mucha menos tradicin en estudios sobre la enseanza de las probabilidades que en estudios sobre la enseanza de otras ramas de las matemticas como el lgebra o el clculo, sin embargo, se detecta que hay distintos enfoques sobre la instruccin de la probabilidad segn los diferentes entornos culturales. La tradicin continental europea (Alemania, Francia y Espaa) est fuertemente basada en combinatoria y clculo y defiende que la estadstica no se puede ensear y comprender sin una apropiada base de teora de probabilidades. La tradicin anglosajona (Gran Bretaa y EEUU) est basada en un enfoque experimental en el que la probabilidad es slo un posible pero no necesario aspecto de la aproximacin a la estadstica. Es una manifestacin de la controversia racionalismo vs empirismo que analizamos en el captulo de introduccin de esta tesis.

Las diferencias culturales han dirigido a diferentes enfoques del diseo curricular (Borovcnik, 1991). El movimiento de "numerismo estadstico", que consiste en explorar datos sin profundizar en cuestiones de probabilidad, ha crecido en la cultura anglo-americana que pone el acento en la estructuracin de la realidad (el modo de resolver problemas reales). En la cultura continental europea la cuestin central es el desarrollo del pensamiento estocstico y se pone el acento en las conexiones estructurales (el modo en que los conceptos probabilsticos ayudan a estructurar el propio pensamiento). Los profesores anglo-americanos se muestran escpticos ante la posibilidad de estructurar el pensamiento de muchos estudiantes mediante la imposicin de ideas probabilsticas formales (Piazza, 1988).

Una discusin muy interesante se refiere a la relacin de la combinatoria con la teora de probabilidades. Para la tradicin continental europea el dominio de la combinatoria es muy conveniente para la comprensin de las leyes y clculos del azar; todava ms, es absolutamente necesario si se asume que el esquema combinatorio es una herramienta cognitiva que forma parte del pensamiento ms desarrollado el cual es requisito imprescindible para la comprensin de la probabilidad. Por contra, los profesores americanos no se extienden en mtodos combinatorios para calcular probabilidades en espacios muestrales finitos porque consideran que la combinatoria es un tema diferente y ms difcil que la probabilidad. Afirman que los estudiantes de todos los niveles encuentran los problemas de combinatoria confusos y difciles, que el estudio de la combinatoria no supone una mejor comprensin conceptual del azar y que es menos eficaz que otros temas para desarrollar la habilidad de utilizar modelos probabilsticos. En la mayora de los casos evitan todos los problemas de conteo salvo los ms simples.

1.3. El papel de los profesores y el problema de su formacin

Beyth-Marom y Dekel (1983) crearon y experimentaron un currculo entero dirigido a mejorar el razonamiento probabilstico. Uno de sus hallazgos fue que los profesores que enseaban con ellos el nuevo currculo, tenan dificultades en comprender algunos de los conceptos. Roseberry y Rubin (1989) tambin han escrito sobre el problema de las concepciones errneas de los profesores cuando se intenta una intervencin instruccional. Los investigadores encontraron que el conocimiento previo de estadstica de los profesores no estaba estructurado para facilitar el razonamiento y consista en simples frmulas. Estos problemas encontrados en ambas investigaciones alertan sobre la importancia del profesor en cualquier innovacin curricular que se proponga superar las concepciones errneas probabilsticas de los estudiantes; tenemos que tratar primero las ideas errneas de los profesores si pretendemos que sean competentes en la enseanza que imparten, dirigida muchas veces a superar los conceptos errneos de sus alumnos (Charles, 1989; Thompson, 1989).

Por otro lado, los intentos de introducir nuevos temas en la instruccin matemtica (la teora de probabilidades es un tema que resulta novedoso para muchos profesores) y de hacer sugerencias concretas para la aplicacin en el aula son frecuentemente sesgados acerca del papel del profesor. Por encima de todo, el profesor es considerado como un comunicador del conocimiento matemtico. Esto lleva a un esfuerzo de suministrar los nuevos materiales de una forma detallada y pret-a-porter para asegurar que se pueden integrar en la enseanza inmediatamente. Con demasiada frecuencia, tanto los investigadores como los profesores trabajan en base de esta comprensin limitada. Los profesores implcitamente esperan actividades de perfeccionamiento y formacin para utilizar inmediatamente el material mientras esta actitud induce a los educadores e investigadores a desarrollar sugerencias que se puedan aplicar directamente en el aula.

El intento de preparar material de enseanza perfectamente estructurado y finalizado sin intervencin del profesor de aula, ha fracasado. Los problemas de comprensin de los estudiantes requieren una intervencin activa del profesor y ajustes constantes de los materiales de enseanza. El profesor debe intervenir activamente en este proceso ya que debe conformarlo, modificarlo, organizarlo y evaluarlo. Los problemas con el material pret-a-porter ha animado a los profesores ms motivados a desarrollar su propio material. Este papel del profesor tambin se promovi desde la perspectiva del aprendizaje escolar en funcin del desarrollo cognitivo. Esta concepcin del proceso de enseanza-aprendizaje ve al profesor como un decisor activo y organizador de las actividades de clase ya que es l quien est familiarizado con el conocimiento previo y las habilidades de sus alumnos y las condiciones en el aula. Es tremendamente atractiva y til la tarea de que cada profesor intente desarrollar sus propios materiales didcticos pero pensamos que es poco realista esperar que muchos profesores desarrollen materiales completos independientemente unos de otros.

Ambas visiones extremas del papel del profesor no mejoran la enseanza: ni es el profesor un mero transmisor de la materia enseada ni es sensato considerar a todo profesor individual como un diseador de currculo. Las demandas y necesidades de la enseanza en el aula se deben tomar en consideracin cuando se desarrollan materiales y actividades educativas y ello implica que no es posible hacer sugerencias de enseanza que ignoren al profesor. Esta idea es la que ha guiado nuestra propuesta de organizacin semi-elaborada de materiales y de preparacin de profesores que iban a intervenir en el diseo y experimentacin de nuestra metodologa de instruccin.

1.4.El problema de los mtodos de enseanza-aprendizaje

La enseanza tradicional est gobernada por la idea de que el conocimiento matemtico se puede adquirir de un modo lineal. Esto significa que el profesor debe definir inicialmente conceptos bsicos para poder introducir gradualmente los dems elementos de conocimiento en su estructura. Se requieren fundamentos fijos y claros conceptualmente para asegurar el aprendizaje del conocimiento matemtico. La fundamentacin axiomtica contiene, en principio, todo este conocimiento que slo tiene que presentarse de modo aditivo. Dos estrategias de enseanza se ajustan a este enfoque tradicional: la concreta-ingenua y el enfoque lgico, en trminos de Kapadia y Borovcnik (1991).

En la enseanza concreta-ingenua, el profesor se orienta sobre todo a cultivar la intuicin, a hacer la materia concreta y a ilustrarla por medio de ejemplos. La intencin es presentar la materia al alumno de un modo ilustrativo, subdividida en pequeos segmentos y de modo que se pueda representar concretamente. Este metodo de enseanza se practica principalmente en la primaria y a comienzos de la secundaria.

Dentro de la enseanza secundaria se desarrolla otro mtodo de enseanza, lgico o estructural, que enfatiza las conexiones matemticas consistentes. El modo de justificar y organizar el proceso de enseanza-aprendizaje consiste en supeditarlo a la estructura interna del currculo matemtico que est organizado de una manera consistente. Esta concepcin didctica no implica que la estructura lgica de las matemticas se presente inmediatamente para ser aprendida sino que el foco y orientacin de la enseanza consiste en hacer explcita esta estructura. Este mtodo de enseanza se caracteriza por el carcter dominante del patrn pregunta y respuesta en la enseanza directa, la ausencia de trabajo experimental y prctico y tambin por el patrn de enseanza de "los tres pasos" (presentar ejemplos, desarrollar reglas o tcnicas matemticas para los clculos y por ltimo practicar esas reglas por medio de ms problemas o aplicaciones) (Drfler, 1984; Drfler y McLone, 1986). Steinbring (1991) afirma que las consecuencias de este enfoque estructural en la enseanza son: 1) la tendencia a proporcionar un montn de definiciones ( y slo unos pocos teoremas y de stos algunos triviales) lo cual mata la motivacin; 2) la tendencia a definir cosas que sistemticamente no se usan; 3) la obsesin de utilizar tantos trminos especficos de la disciplina como sea posible; y 4) el inters para conseguir formulaciones definitivas, irrecusables desde el principio.

Si nos centramos en la probabilidad tambin los dos mtodos tradicionales de enseanza se basan en el trabajo concreto, uno y en la consistencia, el otro. El enfoque concreto se centra en experimentos y juegos ideales de azar. Para definir la probabilidad se utilizan frecuencias, proporciones numricas y simetras. Opuesto de alguna manera a este modo concreto-intuitivo de enseanza est el mtodo que pone el nfasis en la consistencia interna de los conceptos y en la fundamentacin interior del currculum estocstico. Esto significa que el profesor introduce unos cuantos conceptos bsicos: resultado, suceso, suceso seguro e imposible, espacio muestral, etc. Se entiende que esos conceptos proporcionan una slida fundamentacin para el desarrollo posterior. La intencin especfica es dar definiciones claras de conceptos, libres de dudas y ambigedades. Este mtodo de enseanza casi siempre usa la nocin de probabilidad clsica laplaciana y hace un uso exagerado de la teora de conjuntos y del lgebra booleana.

Frecuentemente hay una sucesin temporal entre esos dos tipos bsicos de enseanza probabilstica. El profesor comienza, en los cursos iniciales, con trabajo concreto. Ms tarde, se desarrolla la teora consistentemente. Sin embargo, no hay discusin acerca de la conexin conceptual entre los dos enfoques; no se discute que una y otra parte son slo una perspectiva diferente del mismo concepto de probabilidad. En nuestra propuesta didctica esta conexin es crucial: es la interaccin entre intuiciones y matemticas la fuente del desarrollo del conocimiento matemtico.

A pesar de esas diferentes perspectivas en los dos tipos bsico de enseanza, ambos parten de la idea de que el conocimiento matemtico puede extenderse e integrarse gradualmente en la estructura global del currculum sumando pequeos elementos pieza a pieza. Por otro lado, ambos enfoques ocultan el significado completo del concepto en cuanto que la probabilidad ni es slo una propiedad emprica ni es slo una propiedad matemtica sino la combinacin de esos dos aspectos. Steinbring (1991) defiende esta tensin entre aspectos empricos y tericos y la no reductibilidad a uno de ellos y afirma que cualquier intento de ensear desde el principio una teora de probabilidad segn su estructura lgico-matemtica, lleva a una circularidad. Ilustra esta afirmacin con el anlisis de las nociones bsicas de probabilidad y aleatoriedad: para poder discutir sobre la aleatoriedad se debe tener previamente un concepto de probabilidad que a su vez exige el concepto de aleatoriedad.

En definitiva, ante la dicotoma: variable lgica de la matemtica versus variable psicolgica del alumno, en la enseanza tradicional se prima la primera variable y se descuida la segunda. En algunas propuestas de innovacin de la enseanza de las matemticas, ocurre lo contrario: se focaliza exclusivamente el proceso de enseanza en el alumno. Como veremos, nuestro enfoque parte de una determinada consideracin epistemolgica de la matemtica y propone una integracin de la variable lgica y la variable psicolgica en un proceso de cambio conceptual que tiene en cuenta las consideraciones que acabamos de realizar.

1.5. El papel de los ordenadores en la enseanza

El significado de los conceptos probabilsticos no slo depende del nivel de la teora y de su representacin sino tambin de los medios de trabajar con ellos. Las herramientas para representar el conocimiento parecen tener un impacto considerable en la adquisicin por los sujetos de este conocimiento. Claramente la llegada de los ordenadores marca un cambio significativo en estas herramientas y por tanto debe provocar algn cambio en el proceso de enseanza-aprendizaje. Por ejemplo, tradicionalmente el nmero se ha definido como la razn de la longitud de la circunferencia a su dimetro; en un contexto computacional se puede definir como 4 veces la probabilidad de que un dardo impacte en una diana circular de radio 1 inscrita en un cuadrado y es muy sugerente disear una simulacin por ordenador de la situacin aleatoria implicada. Sin embargo, hasta hoy, son muy pocos los estudios sobre la influencia del ordenador en el aprendizaje y comprensin de las probabilidades. Parece que esta situacin es temporal y segn informa Shaughnessy (1992) hay gran actividad en el campo, de la que se espera que pronto de resultados. Biehler (1988, 1991) proporciona una panormica del software existente y desarrolla una estructura terica para la investigacin de su eficacia educativa. Todava no hay disponible un paquete estocstico que rena los requisitos tericos y didcticos necesarios pero hay dos tendencias de desarrollo interesantes: desarrollo de paquetes especiales ajustados a las necesidades educativas y utilizacin del software profesional existente en anlisis estadstico y lenguajes estadsticos interactivos.

Hay un acuerdo casi universal entre los investigadores que las simulaciones por ordenador, las hojas de clculo y la utilizacin de ordenadores para realizar anlisis exploratorios de datos son las direcciones que debera seguir la educacin probabilstica (Landerwehr y Watkins, 1986, 1987). Nosotros hemos utilizado una hoja de clculo para que los estudiantes analicen la diferencia entre los conceptos de convergencia funcional y convergencia en probabilidad (Senz, 1992) y para que realicen el tratamiento estadstico de indicadores macroeconmicos (Senz, 1987); tambin hemos diseado una simulacin por ordenador de la ley de los grandes nmeros (Senz y Garca, 1986). El ordenador nos permite investigar situaciones ms reales que los ejercicios tradicionales de clase, los cuales se plantean tratando de evitar el salto que hay entre la complejidad de las situaciones reales y las limitadas destrezas computacionales de los estudiantes.

Ciertamente, los ordenadores han revolucionado las prcticas estadsticas de anlisis de datos y simulacin. Un nuevo tipo de racionalidad se basa en la prueba por simulacin. Los algoritmos iterativos o recursivos llevan a una representacin de los problemas diferente a la que producen los modelos y frmulas cerradas que eran tradicionales en la estocstica. Los mtodos grficos y de visualizacin facilitan la representacin de los modelos con diferentes niveles de abstraccin ofreciendo la posibilidad de interaccin. La programacin implicada no es una mera herramienta tcnica sino que es un instrumento para pensar. Esto puede llevar a una reestructuracin de las matemticas desde un punto de vista algortmico (Papert, 1980).

Con todo hay que conseguir que la utilizacin de la simulacin por ordenador no sustituya completamente a otras representaciones ms concretas de los experimentos aleatorios. Es muy importante que los estudiantes pasen por la experiencia de generar y reunir sus propios datos fsicamente, con aparatos aleatorios (tales como ruletas, dados o monedas) antes de que puedan aceptar o comprender los datos proporcionados por una simulacin electrnica. Es necesario establecer conexiones entre simulaciones concretas y simulaciones por ordenador, en el proceso de enseanza-aprendizaje y estudiar los efectos de la transicin entre las dos representaciones. Este es el propsito que nos gua en nuestra propuesta instruccional.

En definitiva, la literatura sobre la utilizacin de los ordenadores en la enseanza de las probabilidades proporciona muchas sugerencias didcticas pero existe poca investigacin emprica y evaluacin de la utilidad de esas sugerencias. Esta investigacin es absolutamente necesaria para conocer, por ejemplo, cmo se modifican las concepciones de los estudiantes cuando el proceso de enseanza-aprendizaje se realiza en un entorno de ordenadores. O cmo se modifica el papel del profesor en un aula computarizada en la que el profesor ya no es el Orculo de Delfos, de donde procede todo conocimiento, como lo era en el aula tradicional.

2.- EPISTEMOLOGA Y ESTILOS DE ENSEANZA

La naturaleza del conocimiento matemtico y la concepcin que el profesor tiene de este conocimiento determinan el proceso de enseanza en grado muy alto. As, el enfoque educacional de simplificar la materia y explicarla consistentemente se identifica con la estructura lgica, hipottico-deductiva, de las matemticas, tal como hemos tenido ocasin de analizar en el apartado anterior.

Steinbring (1991) presenta un modelo de enseanza de las probabilidades con una slida base epistemolgica que consideramos interesante revisar ya que tiene importantes puntos en comn con nuestra propia propuesta didctica. Tres son las ideas bsicas de su propuesta:

a) La naturaleza terica de la probabilidad: el carcter terico del conocimiento estocstico significa que los conceptos bsicos no pueden definir completamente la probabilidad sino, por el contrario, se forman mientras se desarrolla la teora de probabilidades. Por eso es necesario crear una estructura educacional en la que la relacin entre probabilidad y aleatoriedad y tambin entre las diversas formas de representar la probabilidad permita a los conceptos y la teora revelarse al unsono. El proceso de enseanza debe reflejar la paradoja de que la clarificacin y la comprensin de los conceptos fundamentales slo se pueden alcanzar mediante la teora desarrollada completamente en el curso de la enseanza. Una condicin necesaria para cumplir este requerimiento es evitar el desarrollo de la teora de probabilidades basndose exclusivamente en la frecuencia relativa o en la simetra clsica. Otra condicin es no poner el nfasis exclusivamente en frmulas matemticas y clculos tcnicos porque ello oculta la interpretacin y pensamiento estocstico.

b) Modos de representacin de los conceptos probabilsticos: si en la teora de probabilidades la relacin entre objeto y modelo no se puede ignorar (pensemos, por ejemplo, en el doble significado de la idea de equiprobabilidad como experiencia aleatoria y como distribucin uniforme), permanece la cuestin de cmo desarrollar esta relacin matemticamente. Histricamente se han desarrollado una gran cantidad de medios conceptuales de descripcin y presentacin, con el objeto de caracterizar esta relacin. Hay dos tipos de representaciones para ejemplificar la tensin entre una situacin aleatoria y su modelo estocstico que conviene destacar.

Por un lado estn todos los diagramas relativos a la representacin de las frecuencias. Relevantes para el aula son las tablas, estadillos, diagramas de sectores, grficos de barras, histogramas, poligonales, etc. Por otro lado estn los diferentes tipos de diagramas de rbol que tienen su aplicacin principal en el clculo probabilstico. La comparacin de diferentes representaciones proporciona nuevas ideas sobre las relaciones entre una situacin concreta y su modelizacin estadstica. Cada representacin trata esta relacin de un modo especfico.As, el diagrama de rbol se puede interpretar bien como un diagrama de flujo para realizar un experimento concreto bien como una caracterizacin de todas las posibilidades que ocurren en la conformacin de un modelo. Por tanto, el diagrama de rbol se puede utilizar para describir experimentos especficos y tambin se puede utilizar como un escenario para un gran nmero de experimentos idealizados; tambin puede servir para deducir las reglas de caminos (reglas de adicin y multiplicacin de probabilidades) y para establecer modelos estocsticos como la distribucin binomial.

Las diferentes variantes de grficos estadsticos se pueden utilizar para representar, ordenar y relacionar datos. Es posible hacer comparaciones absolutas y relativas, o bien por areas o por lneas. Las distribuciones caracterizan simultneamente el sistema global de las cantidades observadas y muestran caractersticas salientes especficas como simetras, medias, varianzas, etc. El papel educativo de las representaciones grficas es muy importante. Esas caractersticas especficas de las distribuciones y el anlisis de situaciones aleatorias nos permite comparar distribuciones observadas empricamente con sus posibles modelos matemticos.

Para la instruccin matemtica, los medios de representacin y actividad son de fundamental importancia porque permiten el desarrollo de conceptos y la formacin de nuevo conocimiento. Los diferentes modos de representacin son una expresin del hecho de que la adquisicin de conocimiento procede por etapas y saltos; esto entra en conflicto con una concepcin del desarrollo de la ciencia en la que es posible la adicin de nuevos elementos de conocimiento a la base de una estructura dada.

Las indicaciones didcticas no pueden anticipar la prctica de enseanza en todos sus detalles de tal manera que hagan superfluo el papel del profesor. Qu tipo de propuestas cumplen este difcil requerimiento de contener simultneamente elementos tericos y sistemticos, y orientaciones efectivas para la prctica? Qu clase de materiales de enseanza promueven el papel activo de los profesores y permiten alternativas y desviaciones sin limitarse esos materiales a un enfoque unidireccional y parcial? Steinbring propone la metodologa de sistemas de tareas.

c) Sistemas de tareas: la tarea matemtica desempea un importante papel tanto en la clase como en la comprensin del profesor de la instruccin matemtica. Las tareas son las unidades ms pequeas de actividad de clase que permiten al profesor interrelacionar el contenido comunicativo-social de la instruccin con el contenido especfico de la materia. Los profesores de matemticas frecuentemente piensan y hablan sobre la enseanza en trminos de tareas; las tareas son, de alguna manera, sus conceptos. Sin embargo, utilizan esos conceptos pragmticamente; esos conceptos estn altamente entrecruzados con los requerimientos locales y pierden su significado sin este contexto. El uso apropiado de tareas requiere en principio mucha experiencia prctica y esto se puede observar en lo que se llama un buen profesor.

Las tareas matemticas que tienen sentido no se presentan aisladas. Se conectan siempre a un contexto de un problema ms amplio que comunica significado y coherencia en un cierto grado. En este sentido las tareas matemticas serias son distintas de rompecabezas; no es una forma ptima de enseanza ni la prescripcin de numerosos ejercicios rutinarios ni una mezcla aleatoria de tareas vagamente ligadas entre s. Por tanto es importante desarrollar el concepto de sistema de tareas que est entre esos extremos.

Para que varias tareas individuales formen un sistema deben relacionarse a un objeto comn aunque lo hagan desde diferentes perspectivas. Adems, las tareas deben ser anlogas entre s; el concepto de analoga es de especial importancia para construir y describir sistemas de tarea. Plya (1981) y Freudenthal (1973) aconsejan la bsqueda de problemas anlogos como una estrategia para resolver problemas y explican que el elemento crucial de la analoga descansa en la similitud de ciertos tipos de relaciones. Dos estrategias importantes para construir tareas anlogas son la de variar las constantes del problema y la de cambiar de modelo (se pueden analizar desde esta perspectiva los problemas 5 y 8 de nuestra primera investigacin, p.124). Esas dos formas de analoga representan distintos tipos de requerimiento al alumno: las tareas de un sistema que son anlogas porque consisten en un simple cambio de constantes, tienen el objetivo primario de desarrollar y consolidar destrezas; en el caso de un cambio de modelo entre tareas anlogas, el nfasis se pone en aspectos de comprensin conceptual.

El anlisis del concepto de sistema de tareas como una componente importante del conocimiento profesional de los profesores lo utiliza Steinbring (1991) como un ejemplo de aquellos enfoques didcticos que, en su opinin, son efectivos y tiles para la enseanza de las probabilidades. Para la adquisicin del conocimiento matemtico es necesaria una cierta complejidad de tareas porque es esta caracterstica la que permite acceder al conocimiento terico. Los enfoques de enseanza tienen que proporcionar orientaciones, principios y materiales para la probabilidad escolar que sean consistentes con la base de las dificultades epistemolgicas del conocimiento estocstico. Compartimos esta preocupacin epistemolgica de Steinbring como tendremos ocasin de mostrar en el siguiente captulo.

3.- TEORAS COGNITIVAS Y ESTILOS DE ENSEANZA

La investigacin psicolgica ha estudiado desde diversas perspectivas los procesos cognitivos en la comprensin y aplicacin de los conceptos y leyes probabilsticas y nos parece que sus hallazgos tienen implicaciones interesantes para el proceso de enseanza-aprendizaje de la teora de probabilidades (Falk y Konold, 1991). Como en otros muchos temas, los primeros trabajos sobre la gnesis y desarrollo del concepto de probabilidad fueron realizados en el marco de la teora piagetiana (Piaget e Inhelder, 1951; ver captulo 2): el concepto de probabilidad es uno de los esquemas formales que emergen durante la adolescencia. Si admitimos, siguiendo esta teora, que el pensamiento formal no slo es condicin necesaria sino probablemente suficiente, para acceder al conocimiento cientfico sobre el azar y la probabilidad, la aplicacin educativa consistir bsicamente, o bien, en aguardar pacientemente a que los nios lleguen al periodo de las operaciones formales siguiendo su evolucin intelectual natural, o bien, si se es acrrimo partidario de la intervencin escolar, en disear currcula que fomenten el desarrollo cognitivo del adolescente, facilitando su acceso a las operaciones formales. En cualquier caso, la enseanza de los conceptos de azar y probabilidad, antes del pensamiento formal es intil y despus probablemente superflua, segn una interpretacin extrema de la teora piagetiana.

Los trabajos realizados dentro del enfoque de sesgos cognitivos contradicen la idea piagetiana de que a partir de la adolescencia aplicamos un esquema de probabilidad similar al propuesto por la norma matemtica en todos aquellos problemas profesionales o cotidianos que lo requieran. Diversos autores han proporcionado muchos datos sobre los errores sistemticos que cometen personas adultas, muchas de ellas universitarias y por tanto con pensamiento formal, al juzgar o resolver problemas en situaciones de incertidumbre (Caverni, Fabre y Gonzlez, 1990). Dentro del paradigma de heursticos y sesgos realizamos la primera investigacin de esta tesis.

Otra lnea de investigacin distinta de la anterior en su marco terico y metodologa pero que tambin ha chocado con el retrato intelectual racionalista del adolescente que nos ofrece la teora de Piaget, es la que se engloba bajo las etiquetas de preconceptos, ideas previas, concepciones alternativas o concepciones espontneas (Carey,1988; Driver,1986; Helm y Novak, 1983; etc.). Esta perspectiva se ha mostrado muy fecunda en la enseanza de las ciencias experimentales pero se ha utilizado mucho menos en la enseanza de las matemticas. En este campo se ha propuesto un enfoque basado en la interaccin entre intuiciones y leyes matemticas (Fischbein, 1987), que es el que hemos utilizado en captulos anteriores. Pensamos que ambas perspectivas comparten ideas esenciales, a saber:

a) Los alumnos tienen ideas intuitivas sobre los fenmenos cientficos, previas a cualquier enseanza cientfica; estas ideas previas (intuiciones primarias, para Fischbein) tienen su origen en la experiencia cotidiana de los alumnos y por tanto gozan de un cierto valor predictivo, lo que las hace funcionales y persistentes en la estructura cognitiva humana.

b) Ahora bien, algunas de estas preconcepciones o intuiciones se hallan bastante alejadas del conocimiento cientfico y entran en contradiccin con l, llevando al alumno a errores sistemticos. Es por ello que ensear ciencia no es un proceso simple que consiste en mostrar las teoras cientficas para que los alumnos las aprendan, ignorando sus concepciones alternativas y primarias, sino que es un proceso complejo que consiste en conseguir que los alumnos modifiquen o sustituyan sus ideas intuitivas, pero firmemente arraigadas, sobre los fenmenos naturales por otros conceptos ms avanzados y ms prximos a las teoras cientficas admitidas; es decir, el objetivo de la instruccin debe ser conseguir un revolucionario (en el sentido de Kuhn, 1970) cambio conceptual. Para lograr este avance o cambio conceptual de los alumnos es necesario conectar la ciencia con sus concepciones espontneas y con las experiencias cotidianas en la que stas se basan, partiendo en todo momento de posiciones que reconozcan el carcter constructivo del aprendizaje (Pozo, 1987a).

Compartiendo los dos enfoques las ideas esenciales, el modelo de Fischbein tiene la ventaja, a nuestro parecer, de incorporar explcitamente los heursticos de juicio (accesibilidad, representatividad, anclaje y ajuste) como factores cognitivos de inmediatez que conforman las intuiciones. Por ello elegimos este marco terico para realizar la segunda investigacin de esta tesis que nos permiti perfilar una radiografa completa del sistema de ideas probabilsticas de los adolescentes, establecer una categorizacin de esas ideas segn su aceptacin intuitiva por los adolescentes e investigar la influencia de ciertas variables de la tarea y del sujeto (ao escolar, sexo, estilo cognitivo, conocimientos previos y habilidad matemtica general) en su pensamiento probabilstico.

De las distintas teoras que acabamos de enunciar se siguen distintas estrategias didcticas. La metodologa ms comn es la transmisin expositiva en sus distintas formas (clase magistral, libro de texto convencional, etc.); esta metodologa ignora las ideas previas de los estudiantes y basa la enseanza nicamente en la propia estructura de la materia. La idea que subyace a este planteamiento es que si la estructura de un tpico, por ejemplo teora de probabilidades, se presenta de un modo bien organizado en trminos de relaciones formales entre los conceptos cientficos, esto permitir que los alumnos desarrollen esta estructura conceptual por s mismos. Hay que advertir sobre los problemas inherentes a este enfoque: las ideas previas pueden persistir a lo largo del nivel universitario a pesar de dicha instruccin; se puede producir una compartimentacin del pensamiento de los estudiantes, el conocimiento escolar est separado del conocimiento cotidiano y solamente se usa para contestar problemas "escolares" o preguntas de examen.

La estrategia didctica que se deriva de la concepcin piagetiana tiene como objetivo el facilitar al alumno el dominio del mtodo cientfico y no tanto el de proporcionarle los contenidos de la ciencia; es una estrategia de enseanza por descubrimiento y no una transmisin verbal de conceptos cientficos, que no slo es ineficaz sino contraproducente. En lugar de ensear al alumno uno a uno los conceptos cientficos, es ms eficaz proporcionarle la capacidad de descubrirlos o construirlos por s mismos.

Desde el marco terico de las concepciones espontneas se cuestiona la enseanza por descubrimiento ya que no parece posible que los alumnos generen o inventen en contextos de instruccin, por muy adecuados que sean, los conceptos cientficos bsicos. El alumno, por s slo, a lo ms que accede es a unas concepciones que se hallan bastante alejadas del conocimiento cientfico que se le intenta transmitir y que, de hecho, obstaculizan seriamente su adquisicin. Es decir, no se cuestiona la capacidad de los estudiantes para investigar por s mismos y extraer inferencias de sus observaciones, sino que se afirma que los estudiantes no "descubren" necesariamente lo que se pretende e incluso, en muchos casos, usan la evidencia emprica para reforzar sus nociones previas ms que para estimular el cambio. Desde estas posiciones se postula que, para que se produzca el cambio conceptual, es preciso que el alumno reciba aquellas teoras cientficas que no sea capaz de descubrir por s mismo. Ahora bien, para que esa enseanza receptiva sea eficaz ha de alejarse radicalmente de la vieja enseanza repetitiva tradicional que conduce a un aprendizaje memorstico y no significativo, mantenindose dentro de posiciones constructivistas y acompandose siempre de ejercicios de descubrimiento y consolidacin de los conceptos adquiridos (Ausubel, Novak y Hanesian, 1978; Pozo, 1987a).

Como se ve, el paisaje de la enseanza de las ciencias tiene tantas luces y sombras que cualquier percepcin se presenta borrosa e incluso irreal. La complejidad del proceso de aprendizaje de conceptos cientficos es tal que no hay recetas fciles ni soluciones unvocas sino estrategias igualmente complejas para la enseanza de esos conceptos. Y si no hay un "camino real" a la enseanza de las ciencias experimentales, donde tanto se ha investigado, mucho menos lo hay en el campo, mucho menos explorado, de la enseanza de las probabilidades y estadstica. La estrategia didctica usual en esta disciplina consiste en retrasar el comienzo de la instruccin hasta edades avanzadas del alumno (14 aos), tal como parece deducirse de la concepcin piagetiana, y exponer luego al alumno la teora formal de probabilidades. El resultado es un escaso dominio de los conceptos probabilsticos y un razonamiento probabilstico con sesgos e intuiciones errneas, incluso en alumnos universitarios, como se puede comprobar en las investigaciones anteriores de esta tesis.

4.- CONCLUSIONES

Como se deduce de todo lo dicho en este captulo, la enseanza de la probabilidad es un problema pendiente de resolver porque su solucin no es fcil. No hubiera sido necesario un anlisis como el que hemos realizado a lo largo del captulo para llegar a una afirmacin tan obvia como la que acabamos de hacer pero es que, gracias a este anlisis, sabemos un poco ms acerca del problema de la enseanza de las probabilidades. Por supuesto que no hemos encontrado el "camino real" que conduce a la solucin y es posible que este camino ni siquiera exista pero del anlisis realizado emerge, sobre todo, una idea que consideramos interesante explorar: la idea de la integracin.

Desde la perspectiva psicolgica, parece factible integrar las cuatro tradiciones tericas citadas en el apartado anterior (teora piagetiana, el paradigma de heursticos y sesgos, la teora sobre la intuicin de Fischbein y el enfoque de las concepciones alternativas), no en el terreno de la ciencia cognitiva, donde no es posible o por lo menos supera con mucho la pretensin de este trabajo, sino en el terreno de las estrategias didcticas que es el campo de aplicacin e integracin, el "banco de pruebas" tradicional, de las teoras psicolgicas del aprendizaje. Desde la perspectiva epistemolgica, la propuesta de Steinbring (1991) que revisamos en el apartado 2, nos parece muy sugerente y consistente pero tiene una limitacin o carencia que consideramos muy importante: no contiene una reflexin explcita sobre los procesos cognitivos que se producen en la comprensin y adquisicin de la ciencia probabilstica por los estudiantes; dicho de otro modo, no tiene en cuenta las aportaciones de las diversas teoras cognitivas del aprendizaje.

Funcionar un mtodo de instruccin que se base en la interrelacin explcita de una componente epistemolgica y una componente cognitiva? Que integre la perspectiva de la disciplina a aprender (epistemologa) y la perspectiva del alumno que aprende (psicologa)? Un mtodo de instruccin diseado con esta caracterstica, debe reflejar las implicaciones didcticas que hemos ido obteniendo en esta tesis, a partir de la reflexin histrico-epistemolgica sobre las leyes matemticas de la probabilidad, de la revisin de los paradigmas psicolgicos ms relevantes sobre el pensamiento probabilstico y del anlisis de investigaciones empricas sobre comprensin probabilstica de los adolescentes realizadas desde una perspectiva didctica. Resumimos en la tabla siguiente dichas implicaciones para la enseanza de la probabilidad en el nivel secundario.

PERSPECTIVA DE ANLISISIMPLICACIONES DIDCTICAS.

ASPECTOS A TENER EN CUENTA EN EL PROCESO DE ENSEANZA-APRENDIZAJE

histrico-epistemolgica (captulo 1)-los diversos enfoques de la probabilidad (clsico, frecuencialista, subjetivista, estructural)

-las paradojas y falacias en el desarrollo histrico de la teora matemtica de las probabilidades

psicolgica (captulo 2)-la concepcin de la tarea

-la concepcin del sujeto

-la concepcin de la relacin sujeto-tarea

didctica(captulos 3, 4 y 5)-la naturaleza contingente y constructiva del pensamiento probabilstico

-el sistema de ideas personales en coexistencia (no siempre pacfica) con el sistema formal de la teora de la probabilidad

-la epistemologa de la probabilidad en el aula

-las teoras cognitivas y su influencia en los estilos de enseanza

NLos conceptos de azar e incertidumbre son tan Viejos como la civilizacin misma. Aproximadamente en el 3500 a.C., los juegos de azar eran practicados con objetos de hueso, fueron ampliamente desarrolladas en Egipto y otros lugares. Dados cbicos con marcas virtualmente idnticas a los dados modernos han sido encontrados en tumbas egipcias que datan del ao 2000 a.C.

3. El concepto de Probabilidad ha evolucionado en el transcurso del tiempo. A los algebristas del siglo XVI, Pacioli, Cardano, Tartaglia, se deben las primeras consideraciones matemticas profundas a propsito de los juegos de azar. Fermat y Pascal, esquematizado el tema propuesto, dieron en 1654 la primera definicin de probabilidad. Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admita que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre el nmero de casos favorables y el de casos posibles.

4. PROBABILIDADRama de las matemticas que se ocupa de medir cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso. La probabilidad est basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la Estadstica. Las probabilidades se expresan como fracciones o como decimales que estn entre uno y cero. CensoEs un conjunto de operaciones que renen, elaboran y publican datos demogrficos, econmicos y sociales correspondientes al total los habitantes de un pas o territorio, referidos a un momento determinado o a ciertos perodos dados.

5. Tipos de CensosDe hecho o de facto: implica el empadronamiento de toda la poblacin presente en el territorio en estudio. De derecho o de iure: implica el empadronamiento de toda la poblacin residente en el territorio en estudio (presentes o ausentes). Contino: el que se elabora de forma que los datos obtenidos en cada momento se ajustan fielmente a la realidad del universo estudiado.

6. Tablas estadsticasRecopilaciones numricas bien estructuradas y fciles de interpretar de las que se vale el estadstico para sintetizar los datos obtenidos con el fin de hacer un uso sencillo de ellos o bien para darlos a conocer de forma comprensible.Existen infinidad de tablas estadsticas, pero las ms bsicas son las tablas de frecuencias, las de frecuencias relativas y frecuencias acumuladas, las de frecuencias con datos agrupados en intervalos y las de doble entrada.

7. Tipos de tablas1 Tablas de frecuencia1.1 Frecuencia absoluta o simple1.2 Frecuencia acumulada1.3 Frecuencia relativa simple1.4 Frecuencia relativa acumulada2 Distribucin de frecuencias3 Tablas de doble entrada

8. Juegos de azarExisten en las pirmides de Egipto pinturas que muestran juegos de azar que datan del ao 3500 a. C. y Herodoto se refiere a la popularidad y difusin en su poca de los juegos de azar, especialmente la tirada de astrgalos y dados. Los dados ms antiguos se remontan a unos 3000 aos antes de Cristo y se utilizaron en el juego yen ceremonias religiosas.

9. Los DadosJuegos que tienen en comn la utilizacin de pequeos objetos con forma cubo, por lo general de hueso o de plstico y con varias caras marcadas. La forma ms comn de marcar el dado consiste en numerar las caras con puntos, del 1 al 6. Los puntos estn dispuestos de tal modo que las caras opuestas siempre suman siete.

10. Las CartasLas cartas se fabricaron por primera vez en Francia en 1392 para entretenimiento del rey Carlos VI; esto fue expresado por el padre jesuita Menstrier (1631-1705), quien en un artculo publicado en 1702 en el Journal del Trvoux expuso que el juego simbolizaba la estructura feudal.

11. Principales representantes de la teora de la probabilidad

12. GirolamoCardano (15011576)Mdico, matemtico y astrlogo italiano Era un jugador empedernido y su obra es ms bien un manual para jugadoresEscribi el Libro de los Juegos de Azar, en 1565, aunque no publicado hasta 1663.Trabaj con los conceptos de la definicin clsica de la probabilidadIntrodujo la idea de asignar una probabilidad p entre 0 y 1 a un suceso cuyo resultado se desconoce.

13. Galileo Galilei (1564 1642)La principal contribucin de Galileo a la teora de la probabilidad fue la creacin de la teora de la medida de erroresPuso las bases para el nacimiento de la estadstica.

14. Pierre de Fermat (1601-1665)En su juventud, con su amigo el cientfico y filsofo Blaise Pascal, realiz una serie de investigaciones sobre las propiedades de los nmeros. De estos estudios, Fermat dedujo un importante mtodo de clculo de probabilidades. Tambin se interes por la teora de nmeros y realiz varios descubrimientos en este campo.

15. Blaise Pascal (1623 1662)Los matemticos franceses Blaise Pascal y Pierre de Fermat formulan la teora de la probabilidad a partir de una serie de investigaciones sobre las propiedades de los nmeros. Esta teora ha llegado a ser de gran importancia en los clculos de la fsica terica moderna as como en estadsticas actuariales, matemticas y sociales

16. Christiaan Huygens (16291695)Su inters por la probabilidad naci en 1655 durante el transcurso de un viaje a Pars,Fsico-astrnomo-matemtico maestro de Leibniz, public en 1656 el libro De ratiociniis in ludo aleae (Razonamientos en juegos de azar), el primer libro impreso sobre probabilidad. el cual constaba de un breve prefacio y 14 proposiciones.

17. Jacob Bernoulli (1654 - 1705)En 1689 Jacob Bernoulli public un importante trabajo sobre series infinitas y su ley sobre los grandes nmeros en teora probabilstica. Fue un temprano precursor del uso de la teora probabilstica en medicina y meteorologa en su trabajo Arsconjectandi ("El arte de la conjetura"), publicado de manera pstume en 1713. Se puede decir que con los trabajos de Bernoulli se inicia el establecimiento de la combinatoria como una nueva e independiente rama de las matemticas

18. Abraham de Moivre (1667 1754) Conocido por la frmula de Moivre, la cual conecta nmeros complejos y trigonometra, y por su trabajo en la distribucin normal y probabilidad. Fue elegido un miembro de Royal Society de Londres en 1697, y fue amigo de Isaac Newton y Edmund Halley. De Moivre escribi un libro de probabilidad titulado The Doctrine of Chances.

19. ThomasBayes (1702 -1761)Telogo, matemtico y miembro de la Royal Society desde 1742, Bayes fue el primero en utilizar la probabilidad inductivamente y establecer una base matemtica para la inferencia probabilstica.En reconocimiento al importante trabajo que realiz Thomas Bayes en probabilidad. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadsticos de de todo el mundo.

20. Joseph Lagrange (1736 - 1813)A finales del siglo 18, se volvi evidente que existe analogas entre los juegos de azar y fenmenos aleatorios en fsica, biologa y ciencias sociales. Fue el que estudio las permutaciones por primera vez,invent y madur el clculo de variaciones.

21. Pierre Laplace (1749 - 1827)La publicacin Thorieanalytique des probabilits (1812), en la cual se discuten aplicaciones prcticas de la teora (errores en observaciones; la determinacin de las masas de Jpiter, Saturno y Urano; mtodos de triangulacin para supervivencia; y problemas de geodsicas, en particular la determinacin del meridiano de Francia) y desarrolla el concepto de distribucin normal, descubierta en primera instancia por Abraham de Moivre. Adems, complement el trabajo comenzado por Gauss sobre la teora de errores.

22. Carl F. Gauss (1777 - 1855)En 1801 Gauss public DisquisitionesArithmeticae, su principal trabajo y uno de los ms importantes en la historia de las matemticas. Esta obra cubre temas de teora de nmeros, anlisis matemtico, teora de probabilidades, geometra, fisicomatemtica, astronoma y geodesia. En probabilidad mostr que sta puede representarse por una curva en forma de campana (distribucin gaussiana), que es la base en la distribucin estadstica de datos.

23. Denise Poisson (1781 - 1840)En 1837, en su obra Recherches sur la probabilit des jugements... ("Investigaciones sobre la probabilidad de opiniones") introduce lo que conocemos como la distribucin de Poisson, de los grandes nmeros, mtodo aproximado usado para describir probables ocurrencias de eventos improbables en un nmero grande de ensayos inconexos.

24. Escuela rusa de probabilidadEntre 1850 a 1900 el desarrollo de la probabilidad fue dominada por la escuela rusa de teora probabilstica (Petersburgo), enfatizando en mtodos matemticos rgidos. Las figuras ms prominentes de esta escuela fueron PafnutyChebyshev, y sus discpulos AndreiMarkov y AlexandrLyapunov. Markov se enfoc principalmente en el mtodo de movimientos. l tambin escribi un libro de probabilidad y estadstica, uno de los mejores de su tiempo. Su trabajo influy en muchos otros matemticos y estadsticos famosos .

25. Pearson, Karl (1857 - 1936)Pearson aplic la estadstica a los problemas biolgicos de la herencia y la evolucin, resaltndose la publicaciones realizadas entre 1893-1912 tituladas "Contribuciones de la Matemtica a la teora de la Evolucin", en las cuales se encuentran contribuciones al anlisis de regresin, coeficiente de correlacin el incluy el test de "fi al cuadrado" y fue el quien acu el termino de desviacin estndar.

26. Wiener, Norbert (1894 - 1964)En los aos veinte, logra resolver un importante problema consistente en dar un modelo matemtico preciso y riguroso de un fenmeno aleatorio por excelencia: el movimiento browniano. Tiene este nombre porque fue observado por primera vez por el botnico Robert Brown en 1828, al analizar con el microscopio partculas de polen suspendidas en agua. El modelo que N. Wiener dio para el movimiento browniano, es un gran paso adelante y uno de los ms espectaculares logros de la entonces novedosa teora de las probabilidades.

27. Ronald Fisher (1890 - 1962)En Cambridge en 1912, estudi la teora de errores. introdujo el anlisis de varianza, procedimientos que hoy se usan a lo largo del mundo. En 1922 diuna nueva definicin de estadstica. Su propsito era la reduccin de datos y logr identificar tres problemas fundamentales. (i) la especificacin del tipo de poblacin de la que los datos provienen (ii) la estimacin y (iii) la distribucin. Entre las contribuciones que hizo est el desarrollo de mtodos convenientes para muestras pequeas, el descubrimiento de las distribuciones precisas de muchas muestras estadsticas y la invencin del anlisis de varianza.

28. Pearson, Egon(1895 - 1980)Fue el nico hijo de Karl Pearson. Egon ayud a desarrollar teoras concernientes con aplicaciones de tcnicas estadsticas, teora estadstica y operaciones de investigacin. Junto con Neyman desarroll en enfoque de prueba de hiptesis, el cual fue duramente refutado por Fisher, pero eventualmente aceptado. Durante la Segunda Guerra Mundial, Pearson trabaj en mtodos estadsticos en control de calidad, junto con una nueva disciplina de investigacin de operaciones

29. Neyman, Jerzy (1894 - 1981)Es considerado uno de los grandes fundadores de la estadstica moderna. Trabaj junto con EgonPearson en la teora de prueba de hiptesis, proveyndola de fundamentacin lgica y rigor matemtico. Sus ideas establecieron que las muestras deben ser bastantes grandes, desarroll adems una teora de estudio de muestreo en 1934. La teora de estimacin por juegos de confianza fue el siguiente tema sobre el que investig. Us intervalos de confianza. A principios de este siglo quedaba claro que la teora de la probabilidad requera de un marco terico ms adecuado para su desarrollo y ste se encuentra gracias a los avances logrados en otras reas de la matemtica.

30. Kolmogorov, Andrei (1903 - 1987)A partir de los aos treintaestablece con sus axiomas para el clculo de probabilidades las bases matemticas para asentar la teora.

31. CuriosidadesUn reciente estudio psicopedaggico ha mostrado que los nios de pie grande saben leer mejor que los de pie pequeo. Permitir el tamao del pie medir la capacidad de lectura de los nios? No, desde luego. El estudio se hizo sobre escolares que estn en crecimiento. Todo cuanto se demostr en l es que los nios mayorcitos, cuyos pies son ms grandes, leen mejor que los pequeines.

32. Otro estudio mostr que en cierta ciudad se produjo un sbito aumento de mortalidad por fallo cardaco y un fuerte incremento en el consumo de cerveza. Es posible que beber cerveza sea causa de que aumente la probabilidad de ataque al corazn? No. En ambos casos el aumento fue debido a un veloz incremento de la poblacin. Por igual causa, los ataques al corazn podran ser atribuidos a cientos de otras cosas: aumento del consumo de caf, de chicle, de partidas de tute, o de ver la televisin.

33. UN PROBLEMA HISTRICOUna discusin entre jugadores llev en 1654 a Pierre Fermat y a Blaise Pascal a dar los primeros pasos sobre el clculo de probabilidades. Antoinede Gombaud, caballero de Mr, un noble francs interesado en juegos de apuestas plante a Pascal el siguiente problema: El juego consista en lanzar 24 veces un par de dados y el problema es decidir si era lo mismo apostar a favor o en contra de la aparicin de por lo menos un doble seis

34. SolucinPara calcular la probabilidad de que en 24 tiradas no se saque ningn seis doble, calculamos la interseccin de 24 sucesos de este tipo. La probabilidad de esta interseccin de sucesos es multiplicar 24 veces el nmero 35/36 Es decir sea A = {No sacar un seis doble en una tirada de dos dados} P (A) = 35/36P (A y A y A ........24 veces....y A) = (35/36)24Este numero vale 0,508596121 La probabilidad del suceso contrario, es decir , la probabilidad de que al menos una vez salga un seis doble es 1 P (A y A y A ........ 24 veces....y A) = 1 - (35/36) 24 = 0,491 Luego es ms probable obtener una vez un seis doble en 24 tiradas que obtenerlo al menos una vezEn cambio, para 25 tiradas cambian las cosas pues 1 - (35/36) 25 = 0,505...

35. Recomendaciones para la enseanza/aprendizajeRecomendacionesUso de materiales manipulables Trabajo de grupo cooperativo Discusiones sobre probabilidades Cuestionar y realizar conjeturas Justificacin del pensamiento Escribir acerca de las probabilidadesSolucin de problemas como enfoque de enseanza Integracin de contenidos Uso de calculadoras y computadores Ser un facilitador del aprendizaje Evaluar el aprendizaje como parte integral de la enseanza

36. Recomendaciones para la enseanza/aprendizajeConectar las matemticas a otras materias y al mundo real Conectar tpicos dentro del mismo campo matemtico Aplicar las probabilidadesEntender el significado de conceptos claves como fracciones, decimales, razones, proporciones y porcentajes Recoleccin y organizacin de datos Usar mtodos estadsticos para describir, analizar, evaluar y tomar decisiones

37. No recomendadoPrctica mecnica Memorizacin mecnica de reglas y frmulas Respuestas nicas y mtodos nicos para encontrar respuestas Uso de hojas de ejercicios rutinarios Prcticas escritas repetitivas Prctica de la escritura repetitiva Ensear diciendo Ensear a calcular fuera de contexto Enfatizar la memorizacin Examinar nicamente para las calificaciones Ser el dispensador del conocimiento

38. AplicacionesLas aplicaciones de mtodos estadsticos en las diferentes reas son numerosas; por ejemplo: grficas y tablas estadsticas son usadas frecuentemente por gerentes de ventas para representar hechos numricos de ventas; mtodos de muestreo son empleados por investigadores de mercado, al hacer encuestas sobre las preferencias del consumidor sobre ciertas marcas de artculos competitivos; mtodos de control de calidad, aplicados en produccin, etc. La complejidad en las actividades del quehacer cotidiano en los ltimos aos, ha incrementado el uso de la estadstica para tomar decisiones en cualquier mbito.

39. Por su atencinGracias