CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE CONVERGENCIA DEL MÉTODO BINOMIAL...

CAPÍTULO 5

ANÁLISIS DE CONVERGENCIA DEL MÉTODO BINOMIAL AL MODELO DE

BLACK & SCHOLES

Para la valuación de opciones hay dos modelos ampliamente reconocidos como son el

modelo binomial y el modelo de Black & Scholes, el modelo binomial surgió tiempo

después de que se desarrollara el modelo de Black & Scholes. En este capítulo se

mencionarán dichos modelos y se realizará un análisis de convergencia del modelo

binomial al de Black & Scholes para el cálculo de opciones.

Primero se hará la descripción de los dos modelos y después se hará el análisis de

convergencia citado anteriormente. Pero antes de hacer la descripción de estos dos

modelos se hará una breve introducción de los términos relacionados con las opciones.

Diferentes tipos de Opciones:

De acuerdo a la manera de ejercerse, se reconocen dos tipos básicos de opciones:

- Europeas: Aquellas que sólo pueden ser ejercidas el día de la expiración

estipulada en el contrato.

- Americanas: A diferencia de las anteriores, éstas pueden ser ejercidas en cualquier

momento dentro del período de vida de la opción.

De acuerdo al bien subyacente que se trate, las opciones se clasifican en:

- Opciones sobre acciones: Con éstas se obtiene el derecho de comprar o vender un

determinado número de acciones a un período de tiempo establecido.

103

- Opciones sobre divisas: Con éstas, se obtiene el derecho de comprar o vender

alguna divisa a un tipo de cambio establecido.

- Opciones sobre índices: Se adquiere el derecho de dar o tener un cierto número de

veces un índice. Como un ejemplo, se puede tomar 50 veces el Índice de Precios y

Cotizaciones.

- Opciones sobre futuros: Con estas se adquiere una posición larga o corta de un

contrato de futuros.

Algunos de los términos que se manejarán en este capítulo son:

ST El precio de la acción en el tiempo T.

f El precio de la opción.

E El precio de ejercicio de la opción.

T La fecha de expiración de la opción.

r La tasa de interés libre de riesgo.

Recordando lo dicho en capítulos anteriores, una opción es un contrato que otorga el

derecho, más no la obligación de comprar o vender un bien denominado activo

subyacente a un precio y a una fecha determinados. Lo cual dice que si en la fecha de

expiración para una opción de compra el precio de la acción es inferior al precio de

ejercicio, esto es ST < E, la opción de compra está “fuera del dinero” y su valor es de

cero.

Si el precio de la acción es igual al precio de ejercicio, esto es ST = E, se dice que la

opción está “en el dinero” y su valor también es de cero.

104

Si por el contrario, el precio de la acción es superior al precio de ejercicio a la fecha de

vencimiento, esto es ST > E, se dice que la opción está dentro del dinero y el precio de la

opción en la fecha de expiración es igual a la diferencia que existe entre el precio de la

acción y el precio de ejercicio. Esto es:

f = ST – E, si ST > E (5.1)

Para el caso de opciones de venta sucede exactamente lo contrario:

Si a la fecha de vencimiento el precio de la acción es inferior al precio de ejercicio, esto

es ST < E, se dice que la opción está “dentro del dinero” y su precio al vencimiento será

la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio de la acción. Así:

f = E – ST, si ST < E (5.2)

Por el contrario, si el precio de la acción es superior o igual al precio de ejercicio: ST > E

ó ST = E, la opción se encuentra “fuera del dinero” o “en el dinero” y su valor será de

cero, ya que no se ejerce el derecho otorgado por la opción.

Límites de los valores de las opciones:

Como otro tipo de mercancías o productos, las opciones también se encuentran entre

ciertos límites de precios y es importante conocer dichos límites para la valuación de

opciones.

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El límite superior al inicio para una opción de compra se define como f ≤ S, ya que una

opción de compra otorga el derecho de comprar una acción, es por esto que el precio de

la opción no puede ser mayor al de la acción.

El límite inferior para una opción de compra se define como 0 o S – E según sea el caso

de que la opción sea o no ejercida, ya que para una opción de compra si el valor de la

acción es menor al precio de ejercicio, el límite inferior será de 0, en caso contrario de

que el precio de la acción sea mayor al precio de ejercicio, el límite inferior será de al

menos la diferencia entre el precio de la acción y el precio de ejercicio.

Este límite inferior de la opción es llamado el valor intrínseco, y nos dice cuanto valdría

una opción si la fecha de expiración fuera hoy; es entonces que una opción de compra

tiene valor intrínseco si el precio de la acción en el mercado es mayor al precio de

ejercicio, por otra parte, la opción de venta tendrá valor intrínseco si es que el precio de la

acción en el mercado es menor al precio de ejercicio.

El valor extrínseco de una opción es también conocido como el valor en el tiempo o el

valor presente de la opción durante la vigencia de ésta; es por ello que a medida de que la

opción se acerca a su vencimiento el valor extrínseco de ésta disminuye. Este valor varía

de acuerdo a diferentes factores independientes al valor intrínseco de la opción.

A continuación se analizan diferentes determinantes que afectan al precio de una opción

de compra y el efecto que juegan en el precio, dichos efectos se podrán apreciar mejor

más adelante cuando se mencionen los modelos para el cálculo de opciones:

106

- El precio de la acción: Existe una relación positiva entre el precio de la acción y

el de la opción, por lo que si el precio de la acción aumenta, el precio de la opción

también lo hará.

- El precio de ejercicio: En este caso la relación que existe es negativa, ya que a

medida de que el precio de ejercicio sea mayor, el precio de la opción irá en

decremento.

- La tasa libre de riesgo: La relación que guarda con el precio de la opción es

positiva, por lo que si ésta aumenta, el precio de la opción también lo hará.

- Madurez de la opción: Para las opciones de tipo americano, un mayor tiempo de

expiración provoca que se tengan más oportunidades de ejercer la opción, por lo

tanto hay una relación positiva entre el tiempo de vida de la opción y su precio.

Para las opciones europeas, no existe la certeza en cuanto al efecto que causa la

fecha de vencimiento sobre estas, ya que solamente pueden ser ejercidas al

momento de expiración de la opción

- Volatilidad: A medida de que una acción presente mayor volatilidad el precio de

la opción será más grande, por lo que decimos que se guarda una relación positiva

entre dicho determinante y el precio de la opción.

El precio de las opciones de venta depende de los mismos determinantes que las opciones

de compra, ahora analizaremos el efecto que tienen estos factores en las opciones de

venta:

- El precio de la acción: A medida de que aumente el precio de la acción es menos

probable de que la opción tenga valor intrínseco, o acabe dentro del dinero, por lo

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cual podemos decir que la relación que existe entre el precio de la acción y la

opción de venta es inversa.

- El precio de ejercicio: Mientras el precio de ejercicio sea mayor, las

posibilidades de que la opción termine dentro del dinero son mayores, por lo cual

podemos decir que se guarda una relación positiva entre el precio de ejercicio y el

precio de una opción de venta.

- Tasa de interés libre de riesgo: La relación que existe entre ésta y el precio de la

opción es negativa, esto quiere decir que a mayor tasa de interés menor será el

precio de la opción.

- Fecha de vencimiento: Mientras exista más tiempo para el vencimiento de la

opción, las posibilidades de que esta sea ejercida son mayores, esto es en el caso

de opciones de tipo americano, mientras que para las opciones europeas, no existe

la certeza en cuanto al efecto que causa la fecha de vencimiento sobre estas, ya

que solamente pueden ser ejercidas al momento de expiración de la opción.

- Volatilidad: Al igual que sucede con las opciones de compra, mientras una

acción presente una mayor volatilidad, el precio de la opción será más elevado,

por lo que la relación positiva se mantiene entre la volatilidad y la opción de

venta.

108

5.1 Modelo Binomial:

Esta técnica es muy conocida para la valuación de opciones u otros derivados, y consiste

en generar un árbol de decisiones, conformado por los diferentes caminos que puede

seguir el activo subyacente con el paso del tiempo, conforme transcurre la vida del

derivado financiero.

El supuesto de este modelo es el de que los movimientos de los precios son binomiales a

un período de tiempo denominado como ∆t, representando una parte del tiempo total de

vida de la opción.

En cada una de las divisiones de tiempo o subperíodos, el precio que puede tomar la

acción tiene dos posibilidades, puede ser a la alza o a la baja, es por esto que se denomina

como binomial. Para apreciar el modelo de una forma más clara se presenta el siguiente

ejemplo:

Considere que el precio de una acción es de $50, y suponga que el precio que podría tener

esta acción es de $52 ó $48, supóngase que es una acción que no paga dividendos17 y que

se quiere evaluar el precio de una opción de compra tipo Europea con un precio de

ejercicio de $51 al final de un período de tres meses.

La opción tendrá dos valores al final del vencimiento, ya que si el precio de la acción

resulta ser de $52 el precio de la opción al final del período será de $1, por lo que se

encuentra dentro del dinero; por el contrario, si el precio de la acción baja a $48 al final

del período, la opción no se ejerce y tendrá un valor de $0.

Lo anterior se puede apreciar en el siguiente diagrama:

17 Véase apéndice A

109

$52

$50

$48

Precio de la acción al día de hoy

Figura 5.1 Los dos posibles valores de la acción

Con este ejemplo se puede calcular el precio de la opción, asumiendo que no hay

oportunidades de arbitraje. El portafolio integrado por la acción y la opción va a ser de

forma tal que no haya incertidumbre en el precio de dicho portafolio al final del período

que dure la opción, por ello la ganancia esperada es la tasa de interés libre de riesgo.

Para calcular el precio de la opción, se considerará el portafolio anterior, el cual consiste

en una posición larga con ∆ partes de la acción y una posición corta para un call. El

propósito de calcular el valor de ∆ es el poder hacer que el portafolio se encuentre libre

de riesgo.

De esta forma, se tiene que, si el valor de la acción resulta ser de $52, lo cual es mayor

que el precio de ejercicio, el valor del portafolio es de 52∆ – 1. Este precio consiste en el

valor de las partes de la acción menos el precio de la opción al final del período.

Si por el contrario, el precio de la acción bajara a $48, entonces el valor de las acciones

sería de 48∆ y el precio de la opción sería de $0, ya que la opción no es ejercida. El valor

del portafolio es de 48∆.

Habiendo encontrado el valor del portafolio para las dos posibilidades de precio de la

acción se encuentra el valor de ∆ igualando sus respectivos precios del portafolio. De esta

forma se tiene que:

110

52∆ – 1 = 48∆ (5.3)

Por lo que después de realizar el despeje de ∆ en la ecuación 5.3, se tiene que el valor de

∆ es de 0.25, lo cual da la proporción que guarda el portafolio libre de riesgo, es decir, en

0.25 acciones por una opción, o bien, por cada acción se deben comprar cuatro opciones.

De esta forma se sabe que si el precio de la acción resulta ser de $52, entonces el valor

del portafolio al final del período de vida de la opción de compra es de

$52*(0.25) – $1 = $12

Ahora, si el valor de la acción resulta ser de $18, el valor del portafolio es de

$48*(0.25) = $12

De esta forma se aprecia que aunque el precio de la acción suba o baje el valor del

portafolio va a seguir siendo el mismo; en el caso de incorporar un portafolio libre de

riesgo, en ausencia de oportunidades de arbitraje, se debe ganar la tasa de interés libre de

riesgo, si se supone para este ejemplo que la tasa de interés anual libre de riesgo es del

15% se puede obtener el valor presente del portafolio, el cual es el siguiente:

$12e—0.15*.25 = $11.5583

111

Por otro lado, se sabe que el valor de la acción al día de hoy es de $50, por lo que el valor

presente del portafolio deberá de ser de

$50*(0.25) – f (5.4)

Es entonces que igualando los dos valores al día de hoy del portafolio libre de riesgo de

las ecuaciones 5.6 y 5.7 se obtiene como resultado el precio de la opción al día de hoy.

De esta forma:

$50*(0.25) – f = $11.5583 (5.5)

donde:

f = 0.9417 (5.6)

Después de haber visto este ejemplo, la manera en que se puede llegar a la fórmula

general para el método binomial a un paso sigue el mismo proceso. Supóngase que el

precio de una acción, la cual no paga dividendos, es de S, y que el precio de la opción es

de f, el cual paga al final de un tiempo T. Al igual que el ejemplo anterior, el precio de la

acción puede ser de Su, si el precio de la acción sube, o Sd si el precio de la acción

disminuye al vencimiento de la opción.

El incremento proporcional de la acción cuando sube su precio se define como u – 1, y el

decremento proporcional de la acción cuando su precio disminuye se define como 1 – d.

112

Ahora se denotará a fu como el precio del derivado cuando la acción presenta un

incremento de precio, y fd como el precio del derivado cuando el precio de la acción

presenta un decremento.

Al igual que el ejemplo anterior, se considera un portafolio libre de riesgo, el cual

consiste en una posición larga de ∆ partes de la acción y una posición corta en un

derivado; el valor del portafolio al vencimiento de la opción en caso de que la acción

subiera de precio es

Su∆ - fu (5.7)

De igual forma, el valor del portafolio al vencimiento del derivado en caso de que la

acción presente un decremento en su precio es

Sd∆ - fd (5.8)

Para obtener el valor de ∆ que hace al portafolio libre de riesgo se igualan las ecuaciones

5.10 y 5.11, y despejando ∆ se obtiene

SdSufdfu

−−

=∆ (5.9)

Como se mencionó en el ejemplo anterior, el portafolio libre de riesgo debe obtener como

ganancia la tasa libre de riesgo. Con una tasa libre de riesgo r, el valor presente del

portafolio es de

( ) rTefuSu −−∆ (5.10)

113

Sabiendo que el precio de la acción al día de hoy es de S, el valor del portafolio al día de

hoy será de:

S∆ – f (5.11)

Igualando las dos expresiones anteriores obtenemos:

S∆ – f = (5.12) ( ) rTu efSu −−∆

Al sustituir el valor de ∆ de la ecuación 5.12 en la ecuación 5.15 se obtiene

( ) rTu

dudu efSdSuff

SufSdSuff

S −

−

−−

=−

−−

(5.13)

donde:

( )[ durT fppfef −+= − 1 ] (5.25)18

El valor de p es:

dudep

rT

−−

= (5.26)

Con las fórmulas, 5.25 y 5.26, es posible calcular el precio de un derivado por medio del

modelo binomial a un paso. Sustituyendo los valores del ejemplo anterior, se obtuvo el

mismo resultado del precio de la opción de compra, el cual fue de $0.9417.

18 Véase Apéndice C

114

Como se puede apreciar, en la fórmula 5.25 para el cálculo del precio de la opción, el

valor de p representa la probabilidad “implícita” de que el precio de la acción sea mayor

y el valor de (1 – p) la probabilidad “implícita” de que el precio de la acción sea menor al

final del período de vida de la opción.

Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, se puede apreciar que el precio de la opción

no es otra cosa más que el valor futuro esperado de la opción traído a valor presente por

medio de la tasa de interés libre de riesgo.

Significado de un mundo neutral al riesgo o neutralidad al riesgo:

Para comprender este término, se analizará el valor esperado de la acción al tiempo T

cuando se asume que la probabilidad de que el precio de la acción suba sea p. Dicho valor

esperado es:

( ) ( )SdppSuSE T −+= 1 (5.27)

Ahora, sustituyendo el valor de p, obtenido en la ecuación 5.26 se obtiene:

( ) rTT SeSE = (5.28)

De esta forma se puede apreciar que el valor esperado de la acción no es más que el valor

futuro de la acción llevado con la tasa de interés libre de riesgo. Lo que significa que el

inversionista no tiene una compensación extra por arriesgarse a invertir en acciones

cubriéndose con opciones, ya que solamente recibirá la tasa de interés libre de riesgo, lo

cual es el significado del término neutralidad al riesgo o mundo neutral al riesgo, que

establece que cualquier dependiente del precio de una acción es valuado bajo dos

supuestos:

115

- El rendimiento de los valores que son negociados es la tasa de interés libre de

riesgo.

- Los flujos de efectivo pueden ser valuados descontando los flujos esperados con

la tasa de interés libre de riesgo.

Lo anterior muestra que al inversionista le da lo mismo el hecho de invertir o no en

acciones cubiertas con opciones, ya que su rendimiento esperado es la tasa de interés

libre de riesgo.

El término de neutralidad al riesgo es de suma importancia para un principio de valuación

de opciones conocido con el nombre de valuación de riesgo neutral, el cual establece que

el mundo es neutral al riesgo cuando se valúan precios de opciones y otros derivados.

Para ilustrar mejor este principio de valuación, se retomará el ejemplo trabajado

anteriormente, una acción cuyo precio actual es de $50, y este precio, al final de un

período de tres meses podría ser de $52 ó $48, el derivado a calcular es una opción

europea de compra con un precio de ejercicio de $51, a una tasa anual de interés libre de

riesgo del 15%.

En un mundo neutral al riesgo, debe cumplirse la igualdad de que el valor esperado de la

acción sea igual a la acción llevada a valor futuro con la tasa de interés libre de riesgo,

como se había visto anteriormente, es decir:

( ) 25.*15.05014852 epp =−+ (5.29)

Con lo que se obtiene el valor de p que es de 0.9777. El valor de la opción al día de hoy

se obtiene calculando el valor esperado de ésta y posteriormente trayéndolo con la tasa de

116

interés libre de riesgo, con una probabilidad de 0.9777 de que el precio de la opción al

final de los tres meses sea de $1, y probabilidad de 0.0224 de que el precio de la opción

sea de $0. El valor esperado de la opción al final del período es:

0.9777*1 + 0.3477*0 = 0.9777

Ahora, el valor presente de la opción europea de compra a una tasa libre de riesgo del

15% será de:

9417.0$9777.0$ 25.*15.0 =−e

Cuyo valor es el mismo obtenido anteriormente, ya que dice que en condiciones de

ausencia de arbitraje se obtiene el mismo valor al calcular el precio de la opción por

medio del principio de valuación de riesgo neutral. Siempre y cuando se cumpla con ∆

(Portafolio libre de riesgo).

Modelo binomial para valuar opciones a dos períodos:

Hasta ahora se ha visto la manera de valuar una opción por medio del modelo binomial a

un período, para extender el análisis a más de un período de tiempo se analizará el

cálculo de una opción al día de hoy con dos períodos de tiempo, hacerlo más general a

más períodos, y poder establecer una convergencia de este método con el modelo de

Black & Scholes.

Nuevamente, para comprender mejor el modelo binomial, se analizará un ejemplo, para

después ir a la generalización. Supóngase una acción con valor de $50, cuyo precio puede

117

variar un 4% hacia arriba o hacia abajo, para cada uno de dos períodos de tres meses en

que tiene validez una opción europea de compra con un precio de ejercicio de 51$ a una

tasa de interés libre de riesgo anual del 15%.

Como se hizo en el modelo anterior, el objetivo es encontrar el valor de la opción al día

de hoy, los precios de opciones al vencimiento son los más fáciles para calcular y se

muestran a continuación:

0 1 2$54.08$0.00

$52

$50 $50.00$0.00

$48

$46.08$0.00

Precio actual (Acción)

Figura 5.2 Posibles precios de la acción a dos períodos de tiempo y precios de la opción

de compra al vencimiento. Para calcular el precio de la opción en el período uno se procede a calcular el valor

presente de la opción para cada nodo.

En el nodo en el que el precio de la acción es $48, el precio de la opción de compra es de

$0, ya que ésta no es ejercida en ninguno de los dos casos correspondientes del período

dos. Por otro lado, cuando el precio de la acción es de $52 en el primer período, la opción

de compra se calcula trayendo a valor presente el valor esperado de la opción:

( )[ durT fppfef −+= − 1 ], sustituyendo los valores del problema se obtiene

( ) 9005.20*0223.008.3*9777.025.*15.0 =+−e

118

Ahora, se repite el mismo proceso para calcular el valor de la opción al día de hoy con los

precios que obtuvimos para el primer período; de esta forma se obtiene:

f = 7315.2)0*0223.09005.2*9777.0(25.*15.0 =+−e

El siguiente diagrama describe de una forma más general el ejercicio anterior

Su2

f uu

Suf u

S Sf f ud

Sdf d

Sd2

fdd

ud Figura 5.3 Diagrama general del modelo binomial a dos períodos En la figura anterior se aprecia de manera general lo mostrado en el ejercicio anterior, se

observa que al principio la acción tiene un precio de S y el valor de la opción es de f. Al

primer período la acción puede moverse hacia Su o Sd, y el precio de la opción es fu ó fd.

En el tercer período la acción puede tomar tres diferentes valores, ya sea Su2, Sud o Sd2.

A diferencia del modelo a un período, se definirá a ∆t como el tamaño o longitud de cada

uno de los dos períodos en que se divida el período de vida del derivado, mediante la

fórmula para calcular el precio del derivado para un período podemos obtener de fu y fd,

(5.30) ( )[ uduutr

u fppfef −+= ∆− 1 ]

119

(5.31) ( )[ ddudtr

d fppfef −+= ∆− 1 ]

Para encontrar el valor de f se utilizan los valores de fu y fd para obtener

(5.32) ( )[ ]dutr fppfef −+= ∆− 1

Ahora, al sustituir los valores de fu y fd se obtiene la siguiente expresión

[ ]dduduutr fpfppfpef 222 )1()1(2 −+−+= ∆− (5.33)

donde p2, 2p(1- p) y (1 – p)2 son las probabilidades de que la opción sea fuu, fud o fdd a la

fecha de expiración de la opción.

Generalización del modelo binomial a tres períodos:

Ahora se analizará el modelo binomial a tres períodos aplicando los mismos principios

que se utilizaron para generalizar el modelo anterior. Al igual que la generalización del

modelo binomial a dos períodos, se define a ∆t como la longitud de los períodos de

tiempo en que se divide el período de vida de la opción, que en este caso serían tres. En la

figura 5.4 se muestra el diagrama del modelo binomial a tres períodos con los posibles

valores que puede tomar la acción de acuerdo a los valores u y d, junto con los valores

que puede tomar la opción en cada uno de los nodos.

120

Su3

f uuu

Su2

f uuSu2d

Su f uudf u

S Sudf f ud

Sd Sud2

f d f udd

Sd2

f dd

Sd3

f ddd

Figura 5.4 Diagrama del modelo binomial a tres pasos Utilizando la fórmula obtenida anteriormente para calcular precio de la opción a un paso,

se pueden obtener los valores de fuu, fud y fdd

[ uuduuuTr

uu fpfpef )1()( −+= ∆− ]

]

]

(5.34)

[ udduudTr

ud fpfpef )1()( −+= ∆− (5.35)

[ ddduddTr

dd fpfpef )1()( −+= ∆− (5.36)

El valor de f es:

[ ]ddduuduuuTr fpppfppfpef 32233 )1()1(3)1(3 −+−+−+= ∆− (5.51)19

Así se observa que el procedimiento para continuar con el modelo binomial a más pasos

es el mismo, utilizando los mismos principios que se manejaron para el modelo binomial

a un paso.

19 Véase Apéndice D

121

Se puede generalizar que el precio de una opción es el valor presente del valor esperado

de los precios futuros de la opción, considerando una probabilidad implícita de que suba

el precio de la acción de:

dudep

rT

−−

=

Generalización del modelo binomial para n períodos:

Una vez que se ha visto la forma en que se calcula el precio de la opción para los tres

primeros períodos se hará la generalización para n períodos de tiempo en que se quiera

dividir la vida de la opción. Esto es de suma importancia, ya que como se vio

anteriormente, el procedimiento es bastante largo para tres períodos, además, en la

práctica se llegan a realizar períodos mas grandes para obtener una aproximación que sea

confiable para el cálculo del precio de una opción.

El procedimiento que se utiliza para calcular el precio de la opción mediante la

estimación de los posibles precios que puede tener la acción durante el período de vida de

la opción y la probabilidad de ocurrencia se puede resumir en una serie de pasos que se

muestran a continuación:

a) Determinar un rango que contenga a los posibles precios que pueda tener la

acción durante el tiempo de vida de la opción.

b) Con base en los diferentes precios que pudiera tener la acción, calcular el valor

intrínseco de la opción, y seleccionar sólo aquellos valores que estén dentro del

dinero.

c) Multiplicar cada valor intrínseco por su respectiva probabilidad de ocurrencia.

d) Sumar todos los valores obtenidos en el paso anterior.

122

e) Traer el valor de la suma a valor presente.

La fórmula que describe el proceso anterior para las opciones europeas de compra es la

siguiente:

[ ]0,)1()!()!(

!0

EdSuMaxppkkn

nec knkknkn

k

rT −−−

= −−

=

− ∑ (5.52)

Ahora, para una opción europea de venta, la fórmula es la siguiente:

[ ]0,)1()!()!(

!0

knkknkn

k

rT dSuEMaxppkkn

nep −−

=

− −−−

= ∑ (5.53)

Es importante mencionar el concepto de σ, en el que se representa la volatilidad en el

precio de la acción, y los valores de u y d están determinados por dicha volatilidad. Una

forma para calcular u y d en función de σ es:

teu ∆= σ , y ud 1= (5.54)

y el valor de p es dude tr

−−∆

, donde el valor de ∆t sigue siendo el tamaño o la longitud de

cada uno de los intervalos de tiempo.

123

5.2 Modelo Black & Scholes:

Otro método utilizado para el cálculo de opciones es el modelo de Black & Scholes, el

cual fue desarrollado tiempo antes que el modelo binomial. La diferencia entre estos dos

radica en que en el modelo de Black & Scholes los períodos de tiempo evaluados son

instantáneos y es utilizado únicamente para opciones de tipo europeo.

Las fórmulas para el cálculo de precios de opciones que no pagan dividendos se muestran

a continuación:

- Para la opción de compra, la fórmula es:

)()( 21 dNEedSNc rT−−= (5.55)

Donde

c = Valor de la opción de compra tipo europeo

S = Valor actual de la acción u otro activo subyacente

E = Precio de ejercicio o de vencimiento

r = Tasa de interés libre de riesgo

T = Tiempo de expiración

N = Función de acumulación para la distribución normal estándar

( )T

TrESdσ

σ 2

15.0)/ln( ++

=

( )T

TrESdσ

σ 2

25.0)/ln( −+

=

σ = Volatilidad de la acción u otro activo subyacente

- Para la opción europea de venta, la fórmula es la siguiente:

124

)()( 12 dSNdNEep rT −−−= − (5.56)

Donde p es igual al valor de la opción europea de venta, los demás símbolos tienen el

mismo significado que para la opción europea de compra.

Analizando la fórmula de Black & Scholes, se ve que para una opción de compra, si

el precio de S se hace muy grande es muy probable que dicha opción de compra sea

ejercida ya que, los valores d1 y d2 se hacen muy grandes, por lo que el valor que va a

tomar N (d1) y N (d2) se acercan a uno.

Por otro lado, para el caso de una opción de venta tipo europeo, si el precio de S se

hace muy grande, el precio de la opción de venta tiende a cero, esto es debido a que

los valores de N (-d1) y N (-d2) se encontrarán muy cercanos a cero.

En el caso de la volatilidad, se observa que cuando el valor de σ es muy cercano a

cero, el valor d1 y d2 se acercan a infinito, por lo que los valores de N (d1) y N (d2) se

aproximarían bastante a uno.

Para apreciar mejor el funcionamiento de este modelo, veamos un ejemplo numérico

para una opción de compra tipo europeo que expira en un año. Su precio de ejercicio

es de $100 para una acción que tiene un precio al día de hoy de $90 con una

desviación estándar de 0.3 y una tasa de interés libre de riesgo del 10%.

Lo primero que se calcula son los valores de d1 y d2:

132.01*3.0

)1(*)2/09.01.0()100/90ln(1 =

++=d

125

168.01*3.0

)1(*)2/09.01.0()100/90ln(2 −=

−+=d

Mediante los valores de una tabla Normal se obtiene:

N(0.132) = .5525

N(-0.168) = .4333

Por último queda solamente sustituir estos valores en la fórmula principal para

obtener:

52.10)4333.0(*)(*)100()5525.0(*)90( 1.0 =−= −ec

Es así que el valor de la opción de compra tipo europeo al final de un año es de

$10.52.

Ahora se muestra un ejemplo para el caso de una opción europea de venta,

suponiendo una acción cuyo valor actual es de $90, la cual tiene una volatilidad del

50% mensual, que el precio de ejercicio es de $95 y la tasa de interés es del 5%

mensual y con un tiempo de expiración de tres meses.

Al igual que el ejemplo anterior, primero es necesario calcular los valores d1 y d2, los

cuales son:

[ ] )25.0*5.0/()25.0*))25.0*5.0(05.0()95/90ln(1 ++=d

[ ] 25.0/25.0*)175.0(05407.01 +−=d

04128.01 −=d

126

El valor de d2 es de

[ ] )25.0*5.0/()25.0*))25.0*5.0(05.0()95/90ln(2 −+=d

[ ] 25.0/25.0*)075.0(05407.2 −+−=d

29128.02 −=d

Ahora, utilizando los valores de una tabla de la distribución Normal, se obtiene

N(d1) = N(.04128) = 0.5165

N(d2) = N(.29128) = 0.6179

La opción de venta es de

)5165.0(*90)6179.0(95 )25.0(05.0 −= −ep

p = 95(0.9876)(0.6179)-46.485

p = 57.9726-46.85

p = 11.4876

Es entonces que el valor de la opción europea de venta a tres meses es de $11.4876.

127

5.3 Análisis de Convergencia:

Una vez descritos estos dos modelos, se analizará la convergencia del modelo binomial

para un número de pasos considerable al modelo de Black & Scholes. Como se vio

anteriormente, el modelo binomial es otra herramienta para el cálculo de opciones, pero

para un número de pasos muy grande se vuelve extremadamente largo su cálculo sin la

ayuda de la computadora, por lo que para el desarrollo de esta parte se utilizarán

diferentes herramientas computacionales que faciliten el cálculo del modelo binomial

cuando el número de pasos se vuelve muy grande.

Para poder establecer el número de pasos óptimos para la aproximación del modelo

binomial al modelo Black & Scholes, se manejará un margen de error ε relativamente

pequeño que nos de la seguridad de que los resultados obtenidos en el modelo binomial

sean muy cercanos a los resultados obtenidos por el modelo Black & Scholes.

Además se analizará el efecto que tienen diferentes variables en el comportamiento del

modelo binomial como son la volatilidad, el precio de ejercicio, la tasa de interés y el

tiempo.

En esta parte se presentarán los resultados obtenidos en el análisis que se obtuvo en la

computadora, y más adelante, en el anexo A se mostrará el funcionamiento del programa

utilizado para el análisis de convergencia. Para establecer el análisis se seleccionará el

problema de calcular una opción europea que no paga dividendos sobre una acción con

un precio de $90, un precio de ejercicio de $100 con una tasa de interés libre de riesgo

del 10% y suponiendo una volatilidad en el precio de la acción del 30%. El plazo de vida

de la opción es de un año.

128

Calculando el precio de la opción por medio del modelo Black & Scholes se obtiene un

resultado de $10.51986, ahora se hará el cálculo por medio del modelo binomial para n =

1 hasta n = 10, donde n representa el número de pasos a realizar. A continuación se

muestra el precio de la opción para cada caso junto con la desviación absoluta entre el

resultado obtenido con el modelo Black & Scholes:

Tabla 5.1 Precio y diferencia absoluta obtenidos realizando el modelo a diez pasos

No. Pasos Valor de la Opción Dif. Absoluta

1 11.63129324 1.111433242 2 10.93082782 0.410967824 3 10.51238226 0.007477739 4 10.92909842 0.409238419 5 10.26050933 0.259350672 6 10.85067029 0.330810292 7 10.1513206 0.368539402 8 10.77922971 0.259369707 9 10.21501581 0.304844185

10 10.71973513 0.199875127 Fuente: Elaboración propia

Analizando los resultados obtenidos se observa que para los dos primeros períodos, el

precio de la opción va en descenso, y se pensaría que conforme se sigan realizando más

pasos los valores seguirán bajando hasta llegar a acercarse al resultado de $10.51986

obtenido con el otro modelo.

Sin embargo, el resultado obtenido a tres pasos es de $10.51238226, el cual ya es menor

que el valor obtenido con el modelo Black & Scholes, de igual forma, el valor obtenido

en el cuarto paso es de $10.92909842, el cual ahora es mayor al valor que queremos

llegar mientras que al quinto paso el precio de la opción es de $10.26050933, el cual es

mucho menor al valor obtenido en el tercer paso.

129

Analizando por separado los valores obtenidos en los números pares e impares se aprecia

un comportamiento muy diferente entre estos dos, parecería que a medida de que se van

haciendo más pasos el valor iría descendiendo hasta aproximarse demasiado al valor

obtenido en el modelo B & S, sin embargo, esto no ocurre así, por lo que sería

conveniente apreciar el comportamiento que tienen las series pares e impares a un

número de pasos más grande. A continuación se muestra gráficamente el comportamiento

de las series pares e impares haciendo n = 50 pasos:

Método Binomial(Períodos Impares)

1010.210.410.610.8

1111.211.411.611.8

12

0 10 20 30 40 50 6

Períodos

Pre

cio

de la

Opc

ión

0

Figura 5.5 Comportamiento de la convergencia para pasos impares Fuente: Elaboración propia

Método Binomial(Períodos Pares)

1010.210.410.610.8

1111.211.411.611.8

12

0 10 20 30 40 50 6

Períodos

Pre

cio

de la

Opc

ión

0

Figura 5.6 Comportamiento de la convergencia para pasos pares Fuente: Elaboración propia

130

En las figuras anteriores se puede apreciar el comportamiento que tiene cada serie, en las

dos figuras se nota una oscilación ascendente y descendente alrededor del valor que se

quiere aproximar. Lo que se hubiera esperado hubiera sido una similitud entre las dos

figuras, sin embargo, se observa un comportamiento muy diferente entre estas dos series.

Se muestra gráficamente el comportamiento que tienen las dos series juntas, aquí se

puede observar de una manera más clara la manera en que los valores se van acercando al

valor obtenido en el modelo de B & S.

Método Binomial

1010.210.410.610.8

1111.211.411.611.8

12

0 10 20 30 40 50 6

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

0

Figura 5.7 Comportamiento de la convergencia realizando 50 pasos Fuente: Elaboración propia En la figura anterior se observa la manera en que los valores van oscilando alrededor del

valor que se quiere aproximar, sin embargo, la precisión con la cual se acercan estos

valores todavía no es la esperada si se considera un nivel de error ε de 0.005, por lo que

se requieren más pasos o iteraciones para poder llegar hasta ese nivel de exactitud.

Para observar a partir de que paso se obtendrán valores que se llegarán a aproximar al

valor obtenido en el modelo de B & S y se encontrarán dentro de nuestro intervalo, se

realizó el modelo binomial a 250 pasos. Los resultados obtenidos se muestran

gráficamente en la siguiente figura:

131

Método Binomial

10.4

10.45

10.5

10.55

10.6

0 50 100 150 200 250 300

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

Figura 5.8 Comportamiento de la convergencia realizando 250 pasos Fuente: Elaboración propia

En la figura anterior se aprecia que ahora el nivel de oscilación de los precios de la

opción en cada paso ha ido bajando, aunque en esta figura no se puede apreciar

detalladamente si los valores obtenidos se encuentran dentro de nuestro margen estimado

de error ε, por lo que a continuación se muestra la figura 5.9, la cual ilustra a un intervalo

mucho menor, si la convergencia del modelo binomial está dentro del margen de error. Se

representa el valor absoluto de la diferencia entre el precio obtenido en cada paso del

modelo binomial con respecto al valor de $10.51986 obtenido en el modelo de B & S:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Figura 5.9 Desviación absoluta de los valores obtenidos por el modelo binomial Fuente: Elaboración propia Como se puede apreciar en la figura anterior, hay una gran cantidad de valores que se

encuentran dentro del margen de error establecido, pero todavía no se puede asegurar que

132

los demás valores que se obtengan realizando más pasos sigan estando dentro del nivel de

error.

Por lo que se realizará el promedio de los precios obtenidos en la serie par y la serie

impar para observar si es que obteniendo valores intermedios se llegue a una

convergencia con nuestro margen de error establecido en un principio sin tener que

realizar un número mayor de iteraciones, los resultados obtenidos al realizar la desviación

absoluta del valor promedio entre cada valor par e impar fueron los siguientes:

Desv. Absoluta Promedio

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Figura 5.10 Desviación absoluta del promedio de las series par e impar Fuente: Elaboración propia Comparando la figura anterior con la figura 5.9, se puede apreciar perfectamente que

realizando esta técnica de aproximación los resultados obtenidos fueron mucho mejores

que los obtenidos solamente de la diferencia absoluta de cada valor que se obtuvo en cada

paso del modelo binomial con respecto al resultado obtenido por el modelo Black &

Scholes.

A continuación se verá de que manera la convergencia del modelo binomial para

opciones de compra y venta de tipo europeo, es sensible a cambios en el precio de

ejercicio, la volatilidad de la acción, la tasa de interés y el tiempo. Con este fin se

133

analizará cada variable por separado, es decir, se analizará el efecto que el cambio de una

variable causa en la convergencia dejando las demás variables constantes.

Análisis de la convergencia ante un cambio del precio de ejercicio, opción de compra:

Retomando el ejemplo anterior, y suponiendo que el precio de ejercicio se aleja aún más

del precio de la acción, es decir, que en lugar de ser el precio de ejercicio de $100 sea

ahora de $110, con una volatilidad del 30%, una tasa de interés del 10% y el período de

tiempo a un año, los resultados obtenidos son los siguientes realizando el modelo binomal

a 250 pasos:

Método Binomial

7

7.05

7.1

7.15

7.2

0 50 100 150 200 250 300

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

Figura 5.11 Comportamiento de la convergencia aumentando el precio de ejercicio Fuente: Elaboración propia En la figura anterior se puede apreciar la oscilación del precio de cada paso con respecto

al resultado obtenido al aplicar la fórmula de B & S, el cual es de $7.15833.

Para apreciar si los valores posteriores se encontrarán dentro del margen de error ε de

0.005 se muestra a continuación la figura con las diferencias absolutas y las diferencias

absolutas del promedio entre los precios de las opciones del modelo binomial en cada

paso con respecto al resultado obtenido por el modelo B & S:

134

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Figura 5.12 Comparación de la desviación absoluta y desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Como se puede apreciar en la figura anterior, nuevamente la desviación absoluta del

promedio de las series par e impar resulta ser una mejor aproximación que la desviación

absoluta, ya que comparando las dos figuras se puede asegurar que con la desviación

absoluta del promedio se cumple con el margen de error establecido y que los valores

posteriores al paso 250 se encontrarán dentro de este rango, mientras que la gráfica que

muestra la desviación absoluta de los valores obtenidos en el modelo binomial con

respecto al valor obtenido en el modelo de B & S presenta todavía demasiados valores

fuera del intervalo de error manejado.

Análisis de convergencia con respecto a la volatilidad:

Suponiendo una volatilidad del 60% con los demás datos constantes los resultados

obtenidos se muestran en la siguiente figura:

135

Método Binomial

21

21.05

21.1

21.15

21.2

0 50 100 150 200 250

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

Figura 5.13 Comportamiento de la convergencia al aumentar la volatilidad Fuente: Elaboración propia En la figura anterior se muestra que la oscilación de los precios con respecto al precio de

$21.04004 obtenido con la fórmula de B & S es mucho mayor con respecto a los casos

anteriores. Y nuevamente, para poder apreciar si la convergencia obtenida es la esperada

se muestra la siguiente figura mostrando la desviación absoluta y la desviación absoluta

del promedio:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 100 200 300 400 500


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 100 200 300 400 500

Figura 5.14 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Para obtener un mejor resultado se realizó el modelo binomial a 500 pasos, sin embargo

aunque la gráfica que muestra la desviación absoluta del promedio muestra un

comportamiento más próximo al nivel de confianza, todavía no se tiene la certeza de que

los demás valores se encontrarán también dentro del margen de error de 0.005, mientras

136

que la gráfica que muestra la desviación absoluta presenta todavía un comportamiento

demasiado errático, por lo cual se puede decir que nuevamente la técnica de la desviación

absoluta del promedio resulta ser una herramienta bastante importante para lograr una

mayor aproximación y obtener mejores resultados.

Ahora, con una volatilidad del 20% los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Método Binomial

6.8

6.85

6.9

6.95

7

0 50 100 150 200 250

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

Figura 5.15 Comportamiento de la convergencia al disminuir la volatilidad Fuente: Elaboración propia

A diferencia del caso anterior, aquí se observa que la oscilación es mucho menor, ahora

se muestra la figura con la desviación absoluta y la desviación absoluta del promedio de

los valores obtenidos en cada paso con respecto al valor obtenido con la fórmula B & S:

Figura 5.16 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia

137

La figura anterior muestra que al bajar la volatilidad del precio de la acción, hay un

mayor número de valores observados dentro de nuestro nivel de error, lo cual es indicio

de que a una volatilidad menor se llega a una convergencia más rápidamente tomando un

margen de error establecido.

Convergencia relacionada a la variación en la tasa de interés libre de riesgo:

Al igual que en los análisis anteriores, se mostrará el efecto que causa alguna variación de

la tasa libre de riesgo en la convergencia del modelo binomial. Se ejecutará el modelo

para n = 250 con una tasa del 20%, la cual es mayor a la establecida en el ejemplo

anterior. Dejando los demás datos fijos, los resultados obtenidos se muestran en la

siguiente figura:

Método Binomial

14.7

14.75

14.8

14.85

14.9

0 50 100 150 200 250

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

Figura 5.17 Comportamiento de la convergencia al aumentar la tasa de interés Fuente: Elaboración propia

La figura anterior nos muestra la oscilación que se presenta aumentando la tasa de interés

libre de riesgo, se observa como a medida de que se realizan más pasos la diferencia entre

los valores se va haciendo cada vez más pequeña, para apreciar que tanto es nuestro nivel

de aproximación con un margen de error igual a 0.005 se muestra la diferencia absoluta y

138

la desviación absoluta promedio de cada uno de los valores con respecto al precio

obtenido en el modelo B & S:


Con una tasa del 5%, los resultados fueron los siguientes:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Método Binomial

8.5

8.55

8.6

8.65

8.7

0 50 100 150 200 250

Períodos

Pre

cio

de la

Opc

ión

Figura 5.19 Comportamiento de la convergencia al disminuir la tasa de interés Fuente: Elaboración propia

Como muestra la figura anterior, a una tasa de interés menor a la establecida, no se puede

apreciar si el rango de oscilación es menor con respecto a la figura 5.17, donde se

muestra la convergencia con una tasa de 20%, a comparación de lo ocurrido con la

volatilidad por ejemplo. Para apreciar de una mejor forma el grado de convergencia se

muestra la siguiente figura con la desviación absoluta y la desviación absoluta promedio:

139

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


En la figura anterior se puede apreciar que al bajar la tasa de interés hay un número

mayor de valores dentro de nuestro margen de error tomando en cuenta la gráfica que

muestra la desviación absoluta del promedio. Esto comparado con la gráfica de la figura

5.18, la cual muestra que empieza a haber valores que se encuentran dentro del nivel de

confianza establecido hasta llegar a ejecutar el modelo casi a 100 períodos manejando

una tasa de interés del 20%, tomando en cuenta la desviación absoluta del promedio.

Relación entre el tiempo y la convergencia:

A continuación se muestra el estudio realizado con respecto a la convergencia tomando

en cuenta un tiempo de medio año, los resultados fueron los siguientes:

Método Binomial

5.4

5.45

5.5

5.55

5.6

0 50 100 150 200 250

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

Figura 5.21 Comportamiento de la convergencia al disminuir el tiempo Fuente: Elaboración propia

140

La figura anterior muestra el comportamiento de los precios obtenidos en cada paso, se

observa que el nivel de oscilación es más pequeño, lo cual puede deberse a que a medida

de que el tiempo de vida de la opción es menor, el tamaño de cada uno de los intervalos

de tiempo en que es dividido el período de vida de la opción se hace más pequeño, para

observar si el nivel de convergencia requerido se cumple realizando 250 pasos se muestra

la siguiente figura que contiene a la desviación absoluta y desviación absoluta promedio:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Figura 5.22 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia La figura anterior muestra ahora que manejando un período de medio año los valores se

acercan de una forma más rápida al valor obtenido en el modelo de Black & Scholes, esto

en cuanto a la desviación absoluta promedio, ya que con la desviación absoluta los

valores todavía se encuentran muy dispersos y es difícil el poder apreciar un nivel de

convergencia como el mostrado con la desviación absoluta del promedio.

Ahora, para un período de tiempo de un año y medio, los resultados fueron los siguientes:

Mientras que el resultado obtenido en el modelo de B & S fue de $14.89019, los

resultados obtenidos por el modelo binomial se muestran a continuación:

141

Método Binomial

14.8

14.85

14.9

14.95

15

0 50 100 150 200 250

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

Figura 5.23 Comportamiento de la convergencia al aumentar el tiempo Fuente: Elaboración propia

A diferencia del análisis anterior, se puede observar que ahora la oscilación es mayor a la

mostrada anteriormente cuando el tiempo de vida de la opción es menor, la desviación

absoluta y desviación absoluta del promedio de los valores encontrados en cada paso es la

siguiente:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Figura 5.24 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Como se puede apreciar en la figura anterior, ante una subida en el tiempo de expiración

de la opción, el comportamiento de la convergencia al valor obtenido en el modelo de

Black & Scholes es un poco más errático que cuando se manejó un tiempo de medio año,

con lo que se observa aquí una relación negativa entre el tiempo y el nivel de

convergencia del modelo binomial.

142

Convergencia del método binomial con opciones de venta:

Para realizar este análisis, al igual que el análisis anterior, se trabajó con los mismos

datos manejados para las opciones de compra para el estudio de la convergencia del

modelo binomial al modelo de Black & Scholes.

Para una opción de venta sobre una acción con un precio actual de $90, un precio de

ejercicio de $100, una volatilidad del 30%, tasa de interés libre de riesgo del 10% con un

plazo de un año, el precio obtenido en el modelo Black & Scholes fue de $11.00360,

ahora, aplicando el modelo binomial a 10 pasos los resultados obtenidos se muestran a

continuación:

Tabla 5.2 Precio y diferencia absoluta obtenidos realizando el modelo a diez pasos

Período Valor de la Opción Desv. Absoluta 1 12.11503505 1.111431685 2 11.41456963 0.410966268 3 10.99612406 0.007479296 4 11.41284022 0.409236863 5 10.74425113 0.259352229 6 11.3344121 0.330808735 7 10.6350624 0.368540959 8 11.26297151 0.259368151 9 10.69875762 0.304845742 10 11.20347693 0.199873571

Fuente: Elaboración propia

Al igual que con las opciones de compra, se puede observar un comportamiento diferente

entre los valores obtenidos en los pasos pares y los valores obtenidos en los pasos

impares. Se observa que para este numero de pasos, la diferencia que existe entre los

valores obtenidos con el modelo binomial es grande, si consideramos un margen de error

143

ε de 0.005, por lo que será necesario hacer mas iteraciones para llegar a resultados que

sean favorables para el análisis.

Aplicando el modelo binomial con n = 50 los resultados obtenidos se muestran en las

siguientes figuras:

Método Binomial

10.5

11

11.5

12

12.5

0 10 20 30 40 50 6

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

0


En la figura anterior se aprecia el comportamiento de los valores del modelo binomial

realizando 50 pasos, ahora, el comportamiento de los períodos pares con respecto a los

períodos impares se muestra a continuación en las siguientes figuras:

Método Binomial(Períodos Pares)

10.5

11

11.5

12

12.5

0 10 20 30 40 50 6

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

0

Figura 5.26 Comportamiento de la convergencia realizando 50 pasos (períodos pares) Fuente: Elaboración propia

144

Método Binomial(Períodos Impares)

10.5

11

11.5

12

12.5

0 10 20 30 40 50 6

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

0

Figura 5.27 Comportamiento de la convergencia realizando 50 pasos (períodos impares) Fuente: Elaboración propia

Aunque pareciera que los valores obtenidos realizando 50 pasos se acercan bastante al

precio obtenido con el modelo de B & S, no se encontró ningún nivel de convergencia

cuya diferencia absoluta estuviera dentro de nuestro nivel de confianza, por lo que se

decidió aplicar el modelo binomial con n = 250 para poder comparar los resultados

obtenidos con los resultados manejando opciones de compra.

A continuación se muestra gráficamente la convergencia del modelo binomial al modelo

B & S a 250 pasos:

Método Binomial

10.9

10.95

11

11.05

11.1

0 50 100 150 200 250 300

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión


145

La figura anterior muestra las oscilaciones de los valores en cada uno de los pasos

alrededor del valor de $11.00360. Para apreciar si el nivel de convergencia es el esperado

al realizar las 250 iteraciones se presenta la siguiente figura:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Figura 5.29 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Al igual que las opciones de compra, se observa que obteniendo la desviación absoluta

del promedio se llega a una mejor y más rápida aproximación que además se encuentra

dentro del nivel de confianza establecido. A partir de la iteración número 150

aproximadamente se puede observar que los valores obtenidos no rebasan el rango de

0.005.

Relación de la volatilidad con la convergencia del modelo binomial:

Al igual que con las opciones de compra se aplicó el modelo binomial, pero con una

volatilidad del 60%, los resultados obtenidos fueron los siguientes:

146

Método Binomial

21.4

21.45

21.5

21.55

21.6

0 50 100 150 200 250 300

Períodos

Pre

cio

de la

Opc

ión

Figura 5.30 Comportamiento de la convergencia al aumentar la volatilidad Fuente: Elaboración propia

La figura anterior muestra la gran variación de los precios ocasionada por una volatilidad

bastante elevada. El resultado obtenido utilizando B & S fue de $21.52378, por lo que se

necesitaría realizar un mayor número de pasos para poder lograr la convergencia del

modelo binomial requerida, al igual que ocurrió con las opciones de compra. Para

apreciar lo anterior se presentan las siguientes figuras que describen la desviación

absoluta y desviación absoluta del promedio:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 100 200 300 400 500


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 100 200 300 400 500

Figura 5.31 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia La figura anterior muestra un comportamiento igual o muy parecido en cuanto a los

valores obtenidos para las opciones de compra, por lo que se observa un efecto casi igual

147

al que presenta el modelo binomial en su convergencia ante cambios de sus parámetros

tanto para opciones de compra como de venta.

A continuación se muestran los resultados obtenidos para una volatilidad menor a la

establecida, los resultados fueron los siguientes para una volatilidad del 20%:

Método Binomial

5.5

5.55

5.6

5.65

5.7

0 50 100 150 200 250 300

Períodos

Pre

cio

de la

Opc

ión

Figura 5.32 Comportamiento de la convergencia al disminuir la volatilidad Fuente: Elaboración propia

A diferencia de los resultados obtenidos con una volatilidad muy elevada, en este caso se

puede apreciar que la variación de los precios es mucho menor. Para poder apreciar si hay

algún resultado que se ajuste a nuestro nivel de confianza se muestran la siguiente figura:

Figura 5.33 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


148

La figura anterior nos da una idea más clara de la forma en que la volatilidad afecta en la

convergencia, ya que mientras que con una volatilidad muy elevada, no se encontraron

resultados favorables, teniendo que realizarse el doble de pasos o más, ahora, con una

volatilidad más baja, se encontraron muchos valores muy cercanos a nuestro margen de

error con un número de iteraciones mucho menor.

Relación entre el precio de ejercicio y la convergencia del modelo binomial:

La oscilación de los precios obtenidos en cada paso al aumentar el precio de ejercicio a

$110 se muestra a continuación, el precio obtenido en el modelo Black & Scholes fue de

$16.69045:

Método Binomial

16.6

16.65

16.7

16.75

16.8

0 50 100 150 200 250 300

Períodos

Pre

cio

de la

Opc

ión

Figura 5.34 Comportamiento de la convergencia al aumentar el precio de ejercicio Fuente: Elaboración propia

Para poder apreciar mejor si la manera en que los valores obtenidos en el modelo

binomial se acercan al resultado obtenido en el modelo de B & S es buena, con un

margen de error establecido anteriormente de0.005, se presenta la siguiente figura, la cual

muestra la distancia que guardan los datos obtenidos al aplicar el modelo binomial con

respecto al valor obtenido al valuar la opción con el modelo de B & S:

149

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Figura 5.35 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Se observa también que el comportamiento que se describe en la figura anterior es

bastante parecido a la desviación absoluta y desviación absoluta promedio mostrada en

las opciones de compra, además se puede apreciar que con este número de pasos podría

tenerse la certeza de que los demás valores se encuentren dentro del margen de error ε =

0.005 establecido.

Relación entre la tasa de interés y la convergencia:

Los resultados obtenidos aumentando la tasa de interés a 20% se muestran a

continuación, el precio obtenido por el modelo de Black & Scholes fue de $6.68464:

Método Binomial

6.6

6.65

6.7

6.75

6.8

0 50 100 150 200 250 300

Períodos

Prec

io d

e la

Opc

ión

Figura 5.36 Comportamiento de la convergencia al aumentar la tasa de interés Fuente: Elaboración propia

150

La figura anterior muestra que al duplicar la tasa de interés, el comportamiento de la

convergencia no parece presentar cambios tan visibles como los obtenidos al aumentar la

volatilidad como se pudo observar también en las opciones de compra. A continuación se

muestra la siguiente figura la cual contiene a la desviación absoluta y desviación absoluta

promedio, para poder apreciar si el nivel de convergencia mostrado es suficiente

contemplando nuevamente un margen de error de 0.005:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Figura 5.37 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Aunque pareciera por la figura anterior que los cambios no eran tan visibles, al realizar la

desviación absoluta y desviación absoluta promedio se puede apreciar que los valores

obtenidos todavía se encuentran muy alejados del valor obtenido con el modelo de Black

& Scholes a aproximar.

Ahora, disminuyendo la tasa de interés libre de riesgo el comportamiento de la

convergencia se muestra a continuación en la siguiente figura:

151

Método Binomial

13.7

13.75

13.8

13.85

13.9

0 50 100 150 200 250 300

Períodos

Pre

cio

de la

Opc

ión

Figura 5.38 Comportamiento de la convergencia al disminuir la tasa de interés Fuente: Elaboración propia

Ahora, para poder apreciar si es que hay un valor que está dentro de nuestro nivel de

confianza se muestran las siguientes figuras. El valor obtenido en el modelo B & S fue de

$13.78399:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Figura 5.39 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Al bajar la tasa de interés a un 5%, se puede observar en las gráficas anteriores que el

nivel de convergencia del modelo binomial fue mayor y mejor al obtenido con una tasa

de interés del 20%. A la vez que se muestra que la desviación absoluta del promedio de

las dos series siguió presentando los mejores resultados, ya que se obtuvo al igual que los

casos anteriores, una convergencia mucho mayor con un número menor de iteraciones.

152

Relación del tiempo con la convergencia:

Para un período de medio año, los resultados fueron los siguientes:

El modelo Black & Scholes arrojó un resultado de $10.64381, y la convergencia del

modelo binomial se muestra a continuación en la siguiente figura:

Método Binomial

10.5

10.55

10.6

10.65

10.7

0 50 100 150 200 250 300

Períodos

Pre

cio

de la

Opc

ión

Figura 5.40 Comportamiento de la convergencia al disminuir el tiempo Fuente: Elaboración propia Al igual que en los casos anteriores, se muestra la figura que contiene las gráficas de la

desviación absoluta y desviación absoluta promedio:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Figura 5.41 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Ahora, tomando en cuenta un plazo de 1.5 años los resultados fueron los siguientes:

El valor obtenido en el modelo B & S fue de $10.96098, y el comportamiento de la

convergencia del modelo binomial a 250 pasos es el siguiente:

153

Método Binomial

10.8

10.85

10.9

10.95

11

0 50 100 150 200 250 300

Períodos

Pre

cio

de la

Opc

ión

Figura 5.42 Comportamiento de la convergencia al aumentar el tiempo Fuente: Elaboración propia

Se aprecia que a mayor plazo de tiempo para la expiración de la opción, las oscilaciones

presentadas por los diferentes precios alrededor del valor $10.96098, son mayores.

Ahora, para apreciar si el nivel de convergencia se encuentra dentro del nivel de error al

realizar un total de 250 pasos se muestra la figura de la desviación absoluta y desviación

absoluta promedio:

Desv. Absoluta

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 50 100 150 200 250

Figura 5.43 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Los resultados obtenidos que aparecen en la figura anterior muestran que aumentando el

plazo de vida de la opción, el grado de convergencia es menor, y que al disminuir el

tiempo se llega a tener una convergencia mayor en menos tiempo, por lo que se podría

154

decir que existe una relación negativa entre el tiempo y el nivel de convergencia obtenido

al realizar el modelo binomial.

También se pudo apreciar que no solo en las figuras anteriores el promedio de los valores

pares e impares resultó ser una herramienta bastante importante, sino que en cada

comparación que se hizo con respecto a las diferencias absolutas de cada valor

encontrado en el modelo binomial obtuvo mejores resultados y realizando un menor

número de pasos, por lo que para posteriores análisis será tomada en cuenta esta

herramienta de aproximación.

155

5.4 Aplicación del Modelo Binomial en la Práctica: A continuación se analizará la convergencia del modelo binomial, pero con un nivel de

confianza de 0.05, en la práctica no se maneja un nivel de exactitud tan grande como el

descrito anteriormente, en las lecturas relacionadas referentes al modelo binomial hacen

referencia a un número aproximado de 30 pasos para decir que el nivel de aproximación

es bueno, sin embargo, para casos en los cuales hay una volatilidad en el precio de la

acción muy elevada, el margen de error es elevado.

El nivel de confianza que se encontró en promedio aplicando el modelo binomial a 30

iteraciones fue de 0.1, es por ello que se analizará el número de pasos necesario para

obtener un nivel de confianza de 0.05 del modelo binomial con respecto al modelo de

Black & Scholes para opciones de tipo europeo ya sean de compra o venta, para después

poder aplicar este análisis a opciones de otro tipo como son las americanas, las cuales

pueden ser ejercidas en cualquier momento en la vida de la opción.

En esta parte también se hará la comparación con opciones europeas entre la diferencia

absoluta de cada uno de los pasos del modelo binomial con respecto al valor obtenido por

el modelo B & S, así como la diferencia absoluta del promedio de las series par e impar,

para poder apreciar cual de las dos técnicas presenta los mejores resultados y así poder

aplicar esta técnica a los otros tipos de opciones en los cuales no existe un modelo como

el de Black & Scholes para poder comparar la exactitud de los resultados obtenidos al

realizar el modelo binomial.

Opciones Europeas de compra:

Tomando en cuenta el ejemplo anterior, donde el precio de la acción es de $90, el precio

de ejercicio de la opción es de $100, hay una volatilidad anual del 30%, la tasa de interés

156

libre de riesgo que se maneja es del 10% anual, y el tiempo de vida de la opción es de un

año.

El comportamiento gráfico al realizar el modelo binomial ya ha sido mencionado en el

análisis de la convergencia manejando un nivel de confianza de 0.005, por lo que aquí se

presentarán únicamente el número de pasos requeridos para alcanzar un nivel de

confianza de 0.05 por medio de la desviación absoluta y la desviación absoluta promedio.

A continuación se muestran las siguientes figuras en donde se muestra la desviación

absoluta y la desviación absoluta promedio para opciones de compra:

s

lore

Va

Desviación Absoluta

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Desviación Absoluta Promedio

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Figura 5.44 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Como se puede apreciar en la figura anterior, la convergencia del modelo binomial

utilizando el promedio de las dos series es mucho más rápida que si solamente se maneja

la diferencia absoluta entre cada uno de los valores de cada paso del método binomial.

Ahora se realizará el análisis cambiando diferentes parámetros como volatilidad, precio

de ejercicio, tasa de interés libre de riesgo y tiempo, para poder confirmar si la técnica del

promedio de las dos series resulta ser la más apropiada para análisis posteriores.

157

o Relación de la convergencia con respecto al precio de ejercicio:

A continuación se analizará el comportamiento que presenta la convergencia del modelo

binomial al cambiar el precio de ejercicio. Si el precio de ejercicio fuera de $110 la

convergencia del modelo binomial se comporta de la siguiente manera manejando un

mismo margen de error de 0.05:


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Figura 5.45 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia En la figura anterior se puede apreciar que los valores se encuentran un poco más

dispersos, si se empleara únicamente la desviación absoluta se pensaría en realizar más

pasos del modelo binomial para poder tener la seguridad de que los demás valores

también se encontrarán dentro de nuestro margen de error de 0.05, mientras que con la

desviación absoluta del promedio no sucede lo mismo, ya que se aprecia una mayor

continuidad en cada uno de los puntos que representan la desviación existente entre el

resultado obtenido en el modelo Black & Scholes y el valor intermedio existente entre los

pasos pares y los pasos impares.

158

Al igual que el caso anterior la técnica de la diferencia absoluta promedio resultó ser

mucho más acertada para llegar a la convergencia requerida en un tiempo mucho menor.

Ahora se analizará el efecto que tienen los demás parámetros en la convergencia.

o Relación de la convergencia ante cambios en la volatilidad:

Como se vio anteriormente, ante una mayor volatilidad en el precio de la acción, los

valores obtenidos en cada paso estaban más alejados del valor obtenido en el modelo de

Black & Scholes, a continuación se presenta el comportamiento de la convergencia

aumentando la volatilidad de la acción a un 60%:


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Figura 5.46 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Como se puede apreciar en la figura anterior, ahora los valores presentan una mayor

desviación, aunque con una volatilidad muy elevada, la técnica de la diferencia promedio

sigue presentando excelentes resultados para evaluar la convergencia del modelo

binomial, ya que si se tomara en cuenta únicamente la diferencia absoluta se tendrían que

realizar un mayor número de pasos para alcanzar los resultados requeridos, ahora se

muestran los resultados obtenidos con una volatilidad en el precio de la acción del 15%:

159


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Figura 5.47 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia A diferencia de la figura anterior donde la volatilidad era muy alta, los valores obtenidos

manejando una volatilidad menor son más continuos, y ahora desde los primeros pasos se

pueden apreciar valores que se encuentran dentro del margen de error establecido,

mientras que con una volatilidad muy alta, los valores que empezaban a encontrarse

dentro del margen de error en los pasos mayores a 20 períodos.

Se observa que al igual que las figuras anteriores se sigue mostrando un mejor

desempeño utilizando la diferencia del promedio de las series par e impar, a pesar de que

la figura que muestra la desviación absoluta presenta un comportamiento más moderado.

o Relación de la convergencia ante cambios en la tasa de interés libre de riesgo:

A continuación se muestran los resultados obtenidos con respecto a la convergencia

modificando la tasa de interés en la siguiente figura:

160



0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


La figura anterior muestra el comportamiento de la convergencia con una tasa de interés

del 5%, los cambios al bajar la tasa de interés no son tan grandes como los que se

presentaron al bajar la volatilidad del precio de la acción a 15%, aunque se puede seguir

observando que la convergencia es mayor aplicando la técnica de la diferencia absoluta

del promedio de las dos series, ahora se muestran los resultados obtenidos en la siguiente

figura al aumentar la tasa de interés libre de riesgo a 20%:


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Figura 5.49 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia La figura anterior muestra que al aumentar la tasa de interés libre de riesgo, el

comportamiento que sigue la convergencia es un poco más errático que al bajar la tasa de

161

interés, aunque nuevamente, al aumentar la tasa al doble no se tuvieron los mismos

resultados que se presentaron al duplicar la volatilidad del precio de la acción, lo cual

hace pensar que los cambios que presenta la convergencia ante cambios en la tasa de

interés libre de riesgo no son muy significativos comparándolos junto con otros

parámetros como el de la volatilidad.

o Relación de la convergencia ante cambios en la fecha de expiración:

Toca el turno de ver que pasa con el comportamiento de la convergencia del modelo

binomial si se llegaran a presentar cambios con respecto al tiempo de vida de la opción,

al igual que en los casos anteriores se manejó la posibilidad de que la fecha de expiración

fuera menor y mayor, estos fueron los resultados obtenidos manejando una fecha de

expiración de año y medio, en lugar de un año que se manejó anteriormente:


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Figura 5.50 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia La figura anterior muestra que aumentando el plazo de tiempo para la opción, el

comportamiento que presenta la convergencia es un poco más errático comparado con los

parámetros originales, esto puede parecer lógico ya que se podría pensar que el hecho de

aumentar el tiempo de vida de la opción y realizando un mismo número de pasos con el

162

modelo binomial, el tamaño de los intervalos en que la opción es valuada es más grande

al manejado anteriormente.

Ahora se muestra el caso contrario, es decir, los resultados obtenidos al disminuir el plazo

de vida de la opción a medio año, a diferencia del año que se manejó anteriormente:


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


Como era de esperarse, al disminuir el tiempo de vida de la opción, los valores obtenidos

utilizando el modelo binomial tuvieron una aproximación mayor en menos pasos, a pesar

de esto, se aprecia que en la gráfica que muestra la desviación absoluta, los valores

todavía se encuentran muy dispersos y no presentan un comportamiento muy continuo

como el mostrado en la gráfica de la desviación absoluta del promedio de la serie par e

impar, por lo que al momento de haber analizado los parámetros que intervienen en el

precio de la opción y en la convergencia de este, la técnica de hacer el promedio de las

series pares e impares muestra resultados mucho mejores, a comparación de los vistos en

la desviación absoluta.

163

A continuación se verá la manera en que la convergencia del modelo binomial se

comporta para el caso de opciones de tipo europeo de venta ante el cambio de los mismos

parámetros antes mencionados en el análisis de las opciones europeas de compra.

Relación de la convergencia del modelo binomial para opciones europeas de

venta:

Con los datos originales manejados en el ejemplo anterior, los resultados obtenidos en la

realización del método binomial se muestran a continuación en la siguiente figura:


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Figura 5.52 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia La figura anterior nos muestra el comportamiento de la convergencia comparando las dos

desviaciones absolutas, cabe señalar que lo que se obtuvo fue algo muy similar a los

resultados obtenidos al aplicar el modelo binomial a las opciones de compra.

En la gráfica de la derecha se puede apreciar que aunque una gran cantidad de valores se

encuentran dentro de nuestro margen de error, se pensaría en realizar más pasos para

poder tener la seguridad de que a partir del paso 100 todos los demás valores seguirán

estando dentro del nivel de error establecido, ahora, la gráfica de la izquierda muestra una

convergencia mucho más rápida, ya que los valores no se encuentran tan dispersos, sino

164

que son mucho mas continuos y se aprecia que no harían falta realizar más pasos para

poder tener la certeza de que no habrá más valores que puedan estar fuera de nuestro

margen de error.

A continuación se seguirá con el análisis de la convergencia cambiando uno de los

parámetros que intervienen en el precio de una opción de venta, dejando los demás fijos

para poder apreciar el efecto que tiene en la convergencia del modelo binomial.

o Análisis de la convergencia al aumentar el precio de ejercicio:

Los resultados obtenidos al cambiar el precio de ejercicio de $100 a $110 se muestran en

la siguiente figura:


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


Como se puede apreciar, ahora la mayor parte de los datos obtenidos están más dispersos

del valor obtenido en el método de B & S, lo que nos muestra que con un mayor precio

de ejercicio la convergencia presenta ciertas variaciones, aunque no en un grado muy

elevado, la gráfica de la desviación estándar del promedio muestra una mayor variación,

aunque esta es muy ligera comparada con la gráfica de la derecha, en la cual tampoco se

165

tiene la seguridad de que los valores siguientes se seguirán encontrando dentro del

margen de error de 0.05.

o Análisis de la convergencia al variar la volatilidad de la acción:

Una vez visto el efecto que tiene la variación del precio de ejercicio sobre la

convergencia, se hará el estudio del efecto que causa la volatilidad, al igual que se hizo

con las opciones de compra, se manejará una volatilidad más alta y una más baja a la

establecida en un principio.

Al aumentar la volatilidad a 60% los resultados fueron los siguientes:


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Figura 5.54 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia A diferencia de otros parámetros, se puede observar que el impacto que presenta la

volatilidad en la exactitud del modelo binomial es bastante grande, ya que las variaciones

observadas en la diferencia absoluta son muy diferentes con respecto a las de los casos

anteriores, la gráfica que muestra la desviación absoluta promedio también sufrió fuertes

cambios, aunque a partir del paso 40 aproximadamente se observó un comportamiento

mucho más estable, lo cual muestra que no harían falta el realizar un mayor número de

pasos para estar seguros de que valores posteriores no se encontrarán dentro de nuestro

166

nivel de error. Al disminuir la volatilidad a 15%, los resultados obtenidos se muestran a

continuación: Desviación Absoluta

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Figura 5.55 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Al disminuir la volatilidad del precio de la acción se puede observar un comportamiento

mucho más estable al mostrado en la figura anterior, la gráfica de la desviación absoluta

de los valores que se encuentran dentro del rango de error muestra una dispersión menor,

aunque comparada con la gráfica de la izquierda se puede apreciar que todavía presenta

un comportamiento más errático y menos controlado.

La gráfica que muestra la desviación absoluta del promedio describe un comportamiento

muy controlado y con tendencias a la baja, por lo cual podemos decir que con un menor

número de iteraciones a las 100 que se realizaron se pudo haber alcanzado el nivel de

convergencia requerido.

o Relación de la convergencia al variar la tasa de interés libre de riesgo:

Después de apreciar el efecto tan considerable que presenta la volatilidad en la

convergencia, se verá el comportamiento de cada uno de los valores ante un incremento o

decremento de la tasa de interés libre de riesgo, para las opciones de compra se observó

un cambio significativo al variar en forma ascendente o descendente la tasa de interés y

ahora se mostrará el comportamiento que las opciones de venta presentan.

167

Los resultados obtenidos manejando una tasa de interés del 20% se muestran a

continuación:


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Figura 5.56 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia Como se puede apreciar en la figura anterior, al duplicar la tasa de interés se presentó un

comportamiento un poco más errático en los valores obtenidos, viendo la gráfica de la

desviación absoluta se observa que aunque hay una gran cantidad de valores dentro del

margen de error establecido, no existe la seguridad de que a partir del paso 100 los demás

valores que se obtengan sigan estando a una distancia de al menos 0.05 con respecto al

valor obtenido en el modelo Black & Scholes, sin embargo, la gráfica que muestra la

desviación absoluta promedio muestra una tendencia bastante rápida al valor que se

quiere aproximar sin necesidad de tener que realizar un mayor número de iteraciones, por

lo que se puede decir que representa una técnica más efectiva para obtener una gran

exactitud.

Ahora, con una tasa de interés del 5% los resultados fueron los siguientes:

168


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Figura 5.57 Comparación de la desviación absoluta con la desviación absoluta promedio Fuente: Elaboración propia A diferencia de la figura anterior, el comportamiento obtenido al disminuir la tasa de

interés libre de riesgo fue más estable, aunque la gráfica que muestra la desviación

absoluta sigue presentando una variación en los valores obtenidos más elevada y casi no

se aprecia una continuidad en los valores que haga pensar que se cuenta ya con un grado

de exactitud esperado, por lo que se tendrían que realizar un mayor número de pasos para

poder estar completamente seguros a diferencia de la gráfica que representa la desviación

absoluta promedio.

o Relación de la convergencia ante cambios en el tiempo de vida de la opción: Los resultados obtenidos al aumentar el plazo de vida de la opción a 1.5 años fueron



0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


169

Ahora, manejando un plazo de vida de medio año, los resultados obtenidos se muestran a

continuación:



0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100

Períodos

Valo

res

Fuente: Elaboración propia La relación que fue encontrada acerca del comportamiento de la convergencia ante una

variación, ya sea positiva o negativa con respecto al tiempo de vida de la opción fue

positiva, ya que como lo muestran las figuras anteriores, ante un plazo de tiempo mayor

al establecido originalmente, los valores obtenidos por el modelo binomial se encuentran

un tanto más dispersos al resultado que arrojó el modelo Black & Scholes, y

disminuyendo el tiempo a medio año, hay un mayor número de valores encontrados

dentro del margen de error establecido, y el comportamiento que presentan estos puntos

es mucho más estable.

Opciones Americanas:

A continuación se muestran los resultados obtenidos al aplicar el modelo binomial para el

cálculo de opciones americanas de compra y venta, al igual que con las opciones

europeas, se desarrolló un programa para calcular el precio de la opción con un número

de pasos considerable, la elaboración de este programa para valuar opciones americanas

170

sirvió como parte fundamental para un mejor análisis, ya que sin esta herramienta no se

hubieran podido realizar este tipo de cálculos a un nivel de exactitud elevado.

Aplicación del modelo binomial para evaluar opciones de tipo americano de compra y

venta:

Como se mencionó anteriormente, por la manera de ser ejercidas las opciones se

caracterizan principalmente en americanas y europeas. En esta parte se presentará la

manera en que una opción americana es calculada, así como los resultados obtenidos por

el programa creado para su cálculo.

En cuanto al grado de exactitud del cálculo de opciones americanas, se mostrarán los

resultados obtenidos gráficamente con respecto al promedio de las series par e impar, ya

que como se mostró en los análisis anteriores, esta técnica presentó resultados excelentes

con un número de pasos mucho menor se logró un nivel de exactitud bastante

considerable.

En este tipo de opciones no se puede mostrar la diferencia que se presenta en cada valor

obtenido con respecto al modelo Black & Scholes, debido a que este modelo solamente

es utilizado para calcular opciones de tipo europeo, por lo que solamente se hará una

interpretación tomando como base el análisis hecho anteriormente de la convergencia del

modelo binomial para las opciones americanas, ya que a partir de este análisis se puede

tener un panorama bastante amplio en cuanto al número de pasos necesarios para obtener

una exactitud considerable.

En la interpretación se conserva el margen de error que se desea mantener de 0.05, y para

esto se aplicará el modelo binomial a 50 pasos, ya que como se vio anteriormente, a partir

171

de este número de pasos, los valores posteriores encontrados se siguieron manteniendo

dentro del nivel de error marcado.

Las opciones de tipo americano se distinguen de las de tipo europeo por el hecho de que

las opciones americanas pueden ser ejercidas en cualquier momento comprendido en el

período de vida de la opción, mientras que las opciones europeas solamente pueden ser

ejercidas al momento de la expiración de la opción, ya sea de compra o venta. Es por esto

que la manera en que son valuadas las opciones americanas es diferente al método de

valuación de opciones europeas.

Las opciones americanas son valuadas a través del modelo binomial con el siguiente

procedimiento:

Se utiliza un árbol binomial como el descrito para las opciones europeas, solamente que

aquí se procede período por período, calculando cada uno de los nodos dependiendo si es

conveniente o no el ejercicio de la opción hasta llegar al nodo inicial.

Para apreciar mejor lo descrito anteriormente se muestra el siguiente ejemplo, en el cual

se quiere calcular una opción americana de venta sobre una acción que tiene un precio

actual de $50, el precio de ejercicio de la opción es de $52, el precio de la acción se

puede mover hacia arriba y hacia abajo en un 20%, la tasa de interés libre de riesgo para

este caso es del 5%.

La manera de calcular las probabilidades de que suba o baje el precio de la opción es

igual que con las opciones de tipo europeo, en este caso el valor de p es de 0.6282, y el

valor de 1 – p es de 0.3718. A continuación se muestra una comparación entre la manera

de valuar opciones europeas y americanas por medio del modelo binomial.

172

El árbol binomial utilizado para valuar una opción europea sería el siguiente:

$72.00$0.00

$60$1.41

$50 $48.00$4.19 $4.00

$40$9.46

$32.00$20.00

Figura 5.60 Árbol binomial para opciones europeas Fuente: Elaboración propia

Para poder encontrar el valor de la opción americana se evalúa cada nodo, desde los

últimos hasta el primero para poder apreciar si es óptimo o no el ejercicio de la opción. El

valor que tiene cada nodo es el máximo entre la ecuación:

))1(( duTr fppfef −+= ∆−

y el pago obtenido por ejercer la acción antes de la expiración.

El árbol binomial empleado para valuar la opción americana es el siguiente:

$72.00$0.00

$60$1.41

$50 $48.00$5.09 $4.00

$40$12.00

$32.00$20.00

Figura 5.61 Árbol binomial para opciones americanas Fuente: Elaboración propia

El precio de la opción en este caso fue mayor, y se debe a que en el nodo donde el precio

de la acción es de $40, el pago obtenido por ejercer la opción antes de tiempo es mayor al

173

valor esperado de ejercer un período anterior, por lo que el valor de la opción en ese nodo

es de $12, y el valor de la opción en el nodo principal es de $5.09.

Cabe señalar, que el número de operaciones necesarias para calcular el valor de una

opción americana se incrementa bastante, ya que es necesario evaluar cada uno de los

nodos en cada período para apreciar si es conveniente o no ejercer la opción antes de

tiempo, y para el cálculo de opciones europeas no era necesario, ya que en éstas no es

permitido ejercer la opción antes de su fecha de vencimiento.

A pesar de que con la ayuda de la computadora se reduce bastante el tiempo empleado

para hacer todo tipo de cálculos, el tiempo de CPU que le ocupa al programa

computacional hecho para calcular opciones americanas es mucho mayor al tiempo que

tarda el programa creado para evaluar opciones de tipo europeo.

Presentación y descripción de los resultados obtenidos aplicando el modelo

binomial para valuar opciones americanas:

Al igual que lo hecho con las opciones de tipo europeo, se analizará la manera en que

cambia el comportamiento de los valores obtenidos por medio del promedio de la serie

par e impar de valores obtenidos en cada paso del modelo binomial, ya que como se vio

anteriormente, esta técnica resulta ser mucho mejor para lograr una mayor exactitud

realizando menos iteraciones. El margen de error ε que se estableció fue de 0.05, y el

número de pasos a realizar fue de 50.

En el análisis se supone que se quiere evaluar una opción de venta americana sobre una

acción cuyo precio actual es de $50, el precio de ejercicio de la opción es de $50, la

volatilidad experimentada de la acción es de 40%, la tasa de interés libre de riesgo es de

10% y el período de expiración para la opción es a 5 meses.

174

Al igual que el procedimiento descrito anteriormente, se presentan los árboles de valores

obtenidos por medio del programa computacional realizado para el cálculo de opciones

americanas.

El árbol binomial a un paso se muestra a continuación, el cual nos da un valor de

$5.268097:

5.268097 011.37792

Realizando el modelo a más pasos, el árbol binomial se ve de la siguiente forma:

En dos pasos:

3.989349 0 08.343858 0

15.29532

A tres pasos:

4.644075 1.620105 0 07.918081 3.349418 0

12.89022 6.92461118.02963

A cuatro pasos:

4.137928 1.434401 0 0 07.019846 2.947247 0 0

11.37792 6.055672 016.05557 11.37792069

20.1666998

A cinco pasos:

4.488459 2.162519 0.635984 0 0 06.959743 3.771142 1.301666 0 0

10.36129 6.378043 2.66411557 014.63888 10.31064968 5.452637

18.49510943 14.6388821.9308

Al igual que en las opciones de tipo europeo, se observan las mismas diferencias en

cuanto a los valores obtenidos en los pasos impares y pares, por lo que se ve un mismo

175

comportamiento que el mostrado en las opciones europeas, es por eso que los resultados

obtenidos realizando 50 pasos serán tomados en cuenta del valor intermedio de las dos

series de valores para tener una mejor aproximación.

Los resultados obtenidos realizando un total de 50 pasos se muestran en la figura 5.62:

Convergencia Promedio

3.33.53.73.94.14.34.54.74.95.15.3

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res

Método Binomial

3.33.53.73.94.14.34.54.74.95.15.3

0 10 20 30 40 50 60

Figura 5.62 Convergencia del método binomial para opciones americanas Fuente: Elaboración propia La figura anterior muestra ahora la manera en que los valores se van aproximando a un

valor, el cual parece ser de $4.29, a diferencia de las gráficas donde se muestra el

comportamiento de los valores sin tomar en cuenta los valores intermedios, aquí se

aprecia un comportamiento más continuo y sin tantas oscilaciones alrededor de un valor

determinado.

A continuación se muestran las diferencias encontradas en el comportamiento del modelo

binomial para opciones de venta americanas al variar parámetros como el precio de

ejercicio, volatilidad, tasa de interés y tiempo de expiración.

o Comportamiento del modelo binomial ante cambios en el precio de ejercicio:

Ante un precio de ejercicio de $60, los resultados obtenidos se muestran en esta figura:

176


9.8510.0510.2510.4510.6510.8511.0511.2511.4511.6511.85

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res

Método Binomial

9.8510.0510.2510.4510.6510.8511.0511.2511.4511.6511.85

0 10 20 30 40 50 60

Figura 5.63 Convergencia del método binomial para opciones americanas Fuente: Elaboración propia

Como se puede apreciar en la figura 5.63, con un precio de ejercicio más elevado hay una

mayor oscilación en los datos obtenidos en el modelo binomial como lo muestra la

gráfica del método binomial, mientras que la gráfica que muestra la convergencia

promedio, el grado de oscilaciones es mucho menor y presenta una mayor continuidad en

sus puntos, aunque a diferencia de los resultados obtenidos anteriormente, la gráfica que

muestra la convergencia promedio de la figura 5.62, donde se manejó un precio de

ejercicio de 50, muestra un menor grado de oscilación que la gráfica de la figura 5.63

donde se muestra la convergencia promedio manejando un precio de ejercicio de $60.

o Comportamiento del modelo binomial ante cambios de la volatilidad:

Con una volatilidad mayor a la establecida principalmente de un 60% se muestra a

continuación la siguiente figura que describe la forma en que los precios se fueron

comportando a lo largo de los 50 pasos realizados:

177

Método Binomial

5.75.96.16.36.56.76.97.17.37.57.7

0 10 20 30 40 50 60


5.75.96.16.36.56.76.97.17.37.57.7

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res

Figura 5.64 Convergencia del método binomial para opciones americanas Fuente: Elaboración propia Como se puede observar en la gráfica del método binomial de la figura 5.64 que muestra

el comportamiento de los resultados obtenidos en cada paso establece una mayor

oscilación, esto ocasionado por un aumento en la volatilidad. En la gráfica que muestra la

convergencia del promedio se puede apreciar que hay una oscilación mínima en los

valores obtenidos.

Manejando una volatilidad del 20% los resultados obtenidos se muestran en la figura

5.65:

Método Binomial

0.851.051.251.451.651.852.052.252.452.652.85

0 10 20 30 40 50 60


0.851.051.251.451.651.852.052.252.452.652.85

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res


178

Analizando la figura anterior, se puede observar que ahora la oscilación que presentan

cada uno de los valores es mucho menor comparada con la figura 5.64, lo cual muestra

que con una volatilidad mayor la convergencia es más lenta.

o Comportamiento del modelo binomial ante cambios de la tasa de interés:

Una vez analizado el comportamiento ante un movimiento positivo o negativo de la

volatilidad del precio de la acción se muestra a continuación el comportamiento que

muestra el modelo binomial realizando 50 pasos, pero ahora ante variaciones tanto

positivas o negativas de la tasa de interés libre de riesgo.

Manejando una tasa de interés libre de riesgo del 15% los resultados fueron los

siguientes:

Método Binomial

2.953.153.353.553.753.954.154.354.554.754.95

0 10 20 30 40 50 60


2.953.153.353.553.753.954.154.354.554.754.95

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res


Con una tasa de interés mayor a la establecida, se puede apreciar que el precio de la

opción es menor al precio estimado de la opción con los datos originales, aunque el

comportamiento que presentan los valores obtenidos no presenta una variación muy

179

significativa en cuanto a la oscilación de los valores obtenidos del promedio de las dos

series.

Ahora, disminuyendo la tasa de interés a un 5%:

Método Binomial

3.73.94.14.34.54.74.95.15.35.55.7

0 10 20 30 40 50 60


3.73.94.14.34.54.74.95.15.35.55.7

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res

Figura 5.67 Convergencia del método binomial para opciones americanas Fuente: Elaboración propia La figura 5.67 muestra que al bajar la tasa de interés, el valor estimado de la opción es

mayor, en este caso la diferencia en el comportamiento de los valores no varía mucho con

respecto a los valores obtenidos por el modelo binomial con los datos originales.

También se aprecia aquí que el comportamiento de la convergencia al disminuir la tasa de

interés presenta un rango un poco más grande en el cual se encuentran los valores

obtenidos de las 50 iteraciones y la oscilación de los datos es un poco mayor que cuando

se manejó una tasa del 15%.

o Comportamiento del modelo binomial ante cambios en la fecha de

vencimiento de la opción:

Tomando en cuenta un tiempo de 7 meses, los resultados obtenidos fueron los siguientes:

180

Método Binomial

3.94.14.34.54.74.95.15.35.55.75.9

0 10 20 30 40 50 60


3.94.14.34.54.74.95.15.35.55.75.9

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res


Disminuyendo el tiempo de vida de la opción a dos meses, los resultados obtenidos se

muestran en la siguiente figura:

Método Binomial

1.92.12.32.52.72.93.13.33.53.73.9

0 10 20 30 40 50 60


1.92.12.32.52.72.93.13.33.53.73.9

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res


Como se muestra en las figuras 5.68 y 5.69, el comportamiento del modelo binomial ante

cambios positivos en el tiempo de vida de la opción provoca una oscilación mayor en los

datos obtenidos, aunque el comportamiento del promedio de las series es muy estable, a

comparación del comportamiento en los valores obtenidos en cada paso realizado.

Variando negativamente el tiempo de vida de la opción, el comportamiento del modelo

181

binomial es lo contrario, es decir, la oscilación de los datos obtenidos es menor, como se

puede observar en la figura 5.69.

Hasta ahora se ha visto la manera en que los distintos parámetros afectan el

comportamiento del modelo binomial para las opciones americanas de venta, por lo que a

continuación se presentan los resultados obtenidos con las opciones americanas de

compra.

La figura número 5.70 muestra el comportamiento del modelo binomial realizando un

total de 50 pasos, para encontrar el precio de una opción sobre una acción con un precio

actual de $50, la volatilidad que presenta la acción es de 40%, la tasa de interés libre de

riesgo es del 10%:


5.125.325.525.725.926.126.326.526.726.927.12

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res

Método Binomial

5.125.325.525.725.926.126.326.526.726.927.12

0 10 20 30 40 50 60


Analizando el efecto que presenta cada variable que interviene en el modelo binomial,

para poder apreciar el comportamiento que presenta dicho modelo realizando un total de

50 pasos, se tienen los siguientes resultados:

o Comportamiento del modelo binomial ante cambios en el precio de ejercicio:

Ante un precio de ejercicio de $60, los resultados obtenidos se muestran en la figura 5.71:

182


1.551.751.952.152.352.552.752.953.153.353.55

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res

Método Binomial

1.551.751.952.152.352.552.752.953.153.353.55

0 10 20 30 40 50 60

Figura 5.71 Convergencia del método binomial para opciones americanas Fuente: Elaboración propia En esta figura se puede apreciar que al aumentar el precio de ejercicio, el

comportamiento del modelo binomial no es tan estable, ya que presenta oscilaciones más

pronunciadas que las vistas anteriormente, y no se puede apreciar de una manera muy

clara el número al cual tienden los demás valores obtenidos por el modelo binomial y por

la convergencia promedio, a comparación de lo que se muestra en la figura 5.70 con un

precio de ejercicio de $50.

o Comportamiento del modelo binomial ante cambios de la volatilidad:

Ahora se verá el comportamiento que presentó el modelo binomial ante incrementos y

decrementos en la volatilidad, el cual, como ya se ha visto antes, es un factor muy

importante en el comportamiento de este modelo.

Con una volatilidad del 60% los resultados fueron los siguientes:

183

Método Binomial

7.67.8

88.28.48.68.8

99.29.49.6

0 10 20 30 40 50 60


7.67.8

88.28.48.68.8

99.29.49.6

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res

Figura 5.72 Convergencia del método binomial para opciones americanas Fuente: Elaboración propia Con una volatilidad del 20% los resultados obtenidos se muestran a continuación:

Método Binomial

2.672.873.073.273.473.673.874.074.274.474.67

0 10 20 30 40 50 60


2.672.873.073.273.473.673.874.074.274.474.67

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res

Figura 5.73 Convergencia del método binomial para opciones americanas Fuente: Elaboración propia Después de observar las figuras 5.72 y 5.73 que muestran el comportamiento del modelo

binomial ante una subida o bajada en la volatilidad del precio de la acción, se puede

concluir que hay cambios considerables, ya que el rango de oscilación de los valores

obtenidos con una volatilidad del 60% es mucho mayor al rango de los datos obtenidos al

manejar una volatilidad de solo 20%.

o Comportamiento del modelo binomial ante cambios de la tasa de interés:

184

Al aumentar la tasa de interés libre de riesgo a 15% y dejando los demás datos fijos los

resultados fueron los siguientes:

Método Binomial

5.655.856.056.256.456.656.857.057.257.457.65

0 10 20 30 40 50 60

Períodos

Valo

res


5.655.856.056.256.456.656.857.057.257.457.65

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res

Figura 5.74 Convergencia del método binomial para opciones americanas Fuente: Elaboración propia Con una tasa del 5%:

Método Binomial

4.64.8

55.25.45.65.8

66.26.46.6

0 10 20 30 40 50 60

Períodos

Valo

res


4.64.8

55.25.45.65.8

66.26.46.6

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res


A diferencia de los resultados obtenidos al variar la volatilidad del precio de la acción

que se muestran en las figuras 5.72 y 5.73 donde al subir o bajar la volatilidad de la

acción las oscilaciones de los datos eran muy notorias, al aumentar o disminuir la tasa de

interés libre de riesgo, las variaciones observadas en cuanto a la oscilación de los valores

obtenidos en cada uno de los pasos del modelo binomial es muy poco significativa.

o Comportamiento del modelo binomial ante cambios en la fecha de

vencimiento de la opción:

185

Tomando en cuenta un tiempo de 7 meses, los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Método Binomial

6.46.66.8

77.27.47.67.8

88.28.4

0 10 20 30 40 50 60


6.46.66.8

77.27.47.67.8

88.28.4

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res

Figura 5.76 Convergencia del método binomial para opciones americanas Fuente: Elaboración propia Ahora, con un tiempo de 2 meses:

Método Binomial

2.652.853.053.253.453.653.854.054.254.454.65

0 10 20 30 40 50 60

Períodos

Valo

res


2.652.853.053.253.453.653.854.054.254.454.65

0 10 20 30 40 50 60

Valo

res


Las figuras 5.76 y 5.77, referentes al comportamiento del modelo binomial muestran que

ante un tiempo de expiración mayor de la opción el rango en el cual se encuentran los

datos obtenidos al realizar un total de 50 iteraciones es mayor al obtenido cuando se

reduce el tiempo de vida de la opción, lo cual se puede apreciar mejor en las gráficas de

los valores obtenidos por el modelo binomial en cada paso, que muestran la oscilación de

los valores ante cambios en la fecha de expiración de la opción.

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CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE CONVERGENCIA DEL MÉTODO BINOMIAL...

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