capítulo 4_p

41

CAPÍTULO 4

SEDIMENTACIÓN DE SISTEMAS PARTICULADOS

Se denomina sedimentación el asentamiento de una partícula, o una suspensión de partículas, en un fluido por efecto de una fuerza externa, que puede ser la gravedad, una fuerza centrífuga o cualquier otra fuerza de cuerpo. Por muchos años ingenieros e investigadores del campo de la Tecnología de Partículas han estado buscando una ecuación simple que relacione la velocidad de sedimentación de suspensiones de partículas en un fluido con su tamaño, forma y concentración. Un objetivo tan simple ha requerido un enorme esfuerzo y ha sido solucionado solamente en parte. Los trabajos de Newton (1687) y Stokes (1844) de flujo alrededor de una partícula y las investigaciones mas recientes de Lapple (1940), Heywood (1962), Brenner (1964), Batchelor (1967), Zenz (1966), Barnea y Mitzrahi (1973) y muchos otros, hasta los de Concha y colaboradores (1979-1986), han establecido una teoría heurística, esto es, basada en principios fundamentales de la mecánica, pero con un mayor o menor grado de intuición y empirismo. Estos trabajos resuelven primero la sedimentación de una partícula en un fluido y luego introducen correcciones debido a la interacción entre partículas, mediante las cuales la sedimentación de una suspensión se ve dramáticamente disminuida. Este enfoque que usa principios de la mecánica de partículas ha recibido el nombre de enfoque discreto.

La sedimentación discreta ha sido exitosa para establecer ecuaciones constitutivas en los procesos de sedimentación, esto es, para establecer las propiedades de sedimentación de un determinado material particulado en un determinado fluido. Sin embargo, para analizar un proceso de sedimentación y obtener patrones de comportamiento que permitan predecir capacidades de tratamiento y diseño de equipos, se ha recurrido a otro enfoque que utiliza la mecánica de medio continuo como base para analizar el movimiento de suspensiones. Este es el enfoque continuo. En este capítulo presentaremos y analizaremos el enfoque discreto.

4.1 SEDIMENTACIÓN DISCRETA

La física del proceso de sedimentación más elemental, el asentamiento de una partícula sólida en un fluido, se conoce desde hace bastante tiempo. La ecuación de sedimentación de una esfera fue propuesta por Stokes en 1851 y puede considerarse como el punto de partida de toda discusión de los procesos de sedimentación. Stokes demostró que la velocidad terminal de una esfera en un fluido es directamente proporcional a la diferencia de densidades entre el sólido y el fluido, al cuadrado del

42 Manual de Filtración & Separación

radio de la esfera, a la fuerza de gravedad e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido. Esta ecuación se basa en un balance de fuerzas sobre la partícula. Sin embargo, la ecuación obtenida es válida solamente para movimientos muy lentos, ya que para aquellos más rápidos es necesario desarrollar expresiones más elaboradas. El problema radica en la fuerza hidrodinámica entre la partícula y el fluido.

Consideremos el flujo incompresible sobre una esfera sólida. Las ecuaciones que describen este fenómeno son las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes (Concha y Barrientos 1993). Desgraciadamente esta última ecuación es no-lineal e imposible de resolver analíticamente en forma general. Por ello, se ha buscado mecanismos para resolverla en casos particulares.

Se ha demostrado que el número de Reynolds, fRe du= ρ µ , donde ρf, d y u son

la densidad, el diámetro y la velocidad de la partícula y µ es la viscosidad del fluido, expresión adimensional que representa la razón entre las fuerzas convectivas y difusivas en la ecuación de Navier-Stokes, es un importante parámetro en la caracterización del flujo. Cuando el número de Reynolds es pequeño, (Re→0), como por ejemplo Re<10-3, las fuerzas convectivas pueden ser despreciadas en la ecuación de Navier-Stokes, obteniéndose lo que se denomina el flujo de Stokes. Equation Section 4

4.1.1 Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Stokes

Debido a la linealidad de la ecuación diferencial, la velocidad, la presión y la fuerza hidrodinámica son funciones lineales de la velocidad relativa sólido-fluido. Para la fuerza hidrodinámica, los parámetros de proporcionalidad dependen del tamaño y forma de la partícula (6πR) y de la viscosidad (µ) del fluido:

DF 6 Ru= − πµ (4.1)

Es usual escribir la fuerza hidrodinámica en su forma adimensional, conocida como coeficiente de arrastre:

DD 2 2

f

FC

1 2 u R=

ρ π (4.2)

donde ρf es la densidad del fluido. Reemplazando (4.1) en (4.2) se obtiene el coeficiente de arrastre de una esfera en régimen de Stokes:

D24

CRe

= (4.3)

4.1.2 Balance macroscópico sobre una esfera en régimen de Stokes

Supongamos que tenemos una pequeña esfera inmersa en un fluido y suspendida mediante un hilo. La esfera, de densidad mayor que el fluido, está en equilibrio y el balance de fuerzas sobre ella debe ser cero. Las fuerzas que actúan son: (1) la fuerza de

Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados 43

gravedad, que atrae la esfera hacia abajo, (2) la fuerza de empuje del fluido, esto es, la fuerza ejercida por la presión en el fluido que rodea la partícula, que la impulsa hacia arriba y (3) la fuerza de resistencia del hilo que soporta la partícula. El balance de fuerzas da:

hilo gravedad empuje0 F F F= + + (4.4)

hilo p p f p0 F V g V g= − ρ + ρ (4.5)

( )hilo p f p pF V g V g= ρ − ρ ≡ ∆ρ (4.6)

Fgravedad

Fempuje

Fhilo

Fig. 4.1 Equilibrio sobre una esfera sumergida en un fluido.

Si en un instante se corta el hilo, se produce un desbalance de las fuerzas y, de acuerdo a la ley de Newton, la partícula debe acelerar. La aceleración inicial se puede obtener del nuevo balance de fuerzas en la que ya no existe la resistencia del hilo. La figura 4.2a muestra este nuevo balance. Una vez que la partícula se pone en movimiento aparece una nueva fuerza, la fuerza de arrastre entre el sólido y fluido que se opone al movimiento y que es proporcional a la velocidad relativa entre el sólido y el fluido, y como este último está inmóvil, es la velocidad que adquiere la partícula.

Fg=-ρpVpg

Fe= ρfVpg

Fg=-ρpVpg

Fe= ρfVpg

u(t)

Fd=-6πPRu

Fig. 4.2a Antes del movimiento. Fig. 4.2b Inicio de movimiento.

p

p

(t 0

t 0

ma ) V g

a( ) g

=

=

= ∆ρ

∆ρ=ρ


gravedad empuje arrastre

p p p

ma(t) F F F

V a(t) V g 6 Ru(t)

= + +

ρ = ∆ρ − πµ

2

p p

9a(t) g u(t)

2 R

∆ρ µ= −ρ ρ

(4.7)

Debido al aumento de la velocidad u con el tiempo, el segundo término de (4.7) crece mientras el primero permanece constante, llegando un momento en que el segundo término de (4.7) se hace igual al primero y, por lo tanto, la aceleración se anula. La velocidad a la cual se anula la aceleración se denomina velocidad terminal u∞ y es una característica de la partícula y del fluido. Despejando u∞ desde (4.7) para a(t) 0= , resulta:

2 22 R g 1 d g

u9 18∞

∆ρ ∆ρ= =µ µ

(4.8)

Esta expresión se conoce como ecuación de Stokes, es válida para pequeños números de Reynolds y fue deducida por este investigador en 1851.

Ejemplo 1

Calcular la velocidad terminal de sedimentación de una esfera de cuarzo de densidad 2.65 g/cm3 y 10µm de diámetro en agua a 20 °C.

La viscosidad del agua a 20°C es de 0.01 g/cm-s, entonces, aplicando la ecuación (4.8) resulta:

2

31 (2.65 1.00) (10 10000) 981u (10) 9.0 10 cm /s

18 0.01−

∞− × ×= = ×

Dinámica de la sedimentación

La ecuación (4.7) representa la dinámica de la sedimentación gravitacional. Ordenemos y escribamos explícitamente:

2

p p

1u(t) u(t) g 0

18 d

µ ∆ρ+ − =ρ ρ

�

cuya solución es: 2

2p

1 d g 18u(t) 1 exp t

18 d

∆ρ µ= − − µ ρ (4.9)

El término entre paréntesis dentro del exponencial se denomina número de Stokes y el término que multiplica el paréntesis en término de la derecha es la velocidad terminal, como vimos en (4.8).


Ejemplo 2

Determinar cuanto tiempo necesita una partícula esférica de cuarzo de 10, 50 y 100µm para llegar a la velocidad terminal.

La figura siguiente muestra la evolución de las velocidades de las esfera versus el tiempo al aplicar la ecuación (4.9). La velocidad terminal para d=100, 50 y 10 µm es de 0.899, 0.225 y 0.00899 cm/s y el tiempo para llegar a estos valores es de 0.0179, 0.0038 y 0.0002 segundos, según la ecuación (4.8). Como esto tiempos son muy cortos, generalmente no se los toma en cuenta y se supone que una partícula llega a su velocidad terminal instantáneamente.

0.01000

0.10000

1.00000

0.0001 0.001 0.01

Tiempo en segundos

Vel

ocid

ad e

n cm

/s

d=10 µm

d=50 µm

d=100 µm

Velocidad de sedimentación versus tiempo.

4.1.3 Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Euler

Cuando el número de Reynolds tiende a infinito (Re→∞), las fuerzas viscosas desaparecen y la ecuación de Navier-Stokes se transforma en la ecuación de Euler de flujo invíscido (Gurtin 1981). En este caso, la componente tangencial de la velocidad sobre la superficie de la esfera es una función lineal de la velocidad relativa sólido-fluido y la componente radial es nula:

3

u ( ) sen u2θ

θ = θ y ru 0= (4.10)

pero la presión ya no es lineal y responde a la ecuación de Bernouilli (Batchelor 1967):

2 2f fp( ) 1 2 u p 1 2 u =constanteθθ + ρ = + ρ


2

2f

u1p( ) p u 1

2 uθ

θ − = ρ − (4.11)

Reemplazando (4.10) en (4.11), la presión adimensional, o coeficiente de presión sobre la esfera, definida por: ( ) 2

p fC p( ) p (1 2) u= θ − ρ queda expresada para el régimen de

Euler por:

2p

9C 1 sen

2= − θ (4.12)

La figura 4.3 muestra esta relación en forma gráfica, donde p(θ) y uθ son la presión y la velocidad para un ángulo θ sobre la superficie de la esfera y p y u corresponden a los valores de estas variables en el flujo lejos de la esfera.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Angulo θ en radianes

Coe

ficie

nte

de p

resi

ón C

p

Fig. 4.3 Coeficiente de presión en función de la distancia sobre la superficie de la esfera en un flujo invíscido (Schlichting 1968, p21).

Para un flujo invíscido estacionario, la fuerza de arrastre es cero. Esto se debe a que, no habiendo viscosidad en el fluido, no hay fricción con la partícula y el efecto de la presión se anula debido a la simetría de la esfera.

4.1.4 Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Prandtl

Cuando el número de Reynolds tiene valores intermedios, las fuerzas convectivas tienen el mismo orden de magnitud que las fuerzas viscosas, y el flujo puede dividirse en dos partes, un flujo invíscido lejano a la partícula y un flujo viscoso


muy cerca de ella donde la viscosidad juega un papel importante. Esta figura forma la base de la Teoría de Capa Límite (Schlichting 1968).

En el flujo sin viscosidad externo (a la capa límite) se puede aplicar las ecuaciones de Euler y las distribuciónes de velocidad y presión se las puede obtener de las ecuaciones (4.10) y (4.11). En la capa límite y, debido a la viscosidad, se establece un importante gradiente de velocidad que permite que la condición de no-deslizamiento del fluido respecto al sólido se cumpla en la superficie de la partícula.

La pérdida de energía en la capa límite, originada por la disipación viscosa, retarda el flujo y, en un cierto punto de la superficie de la esfera, el flujo cambia de dirección ayudado por el gradiente de presión adverso que allí existe. Este fenómeno fuerza al fluido hacia fuera, alejándolo de la superficie de la esfera y produciendo lo que se conoce como separación de la capa límite. La separación de la capa límite sobre una esfera ocurre a un ángulo, denominado ángulo de separación, dado por (Lee and Barrow, 1968):

0.1s 214Re para 24<Re<10.000−θ = (4.13)

El valor del ángulo de separación es de θs=155.7 para Re=24 y θs=85.2 para Re=10.000. Para valores del Reynolds excediendo 10.000, el ángulo de separación disminuye lentamente desde θs=85.2 para llegar a 84° y mantenerse en este valor hasta Re≈150.000 (Tomotika 1937, Fage 1937, Amai 1938, Cabtree et al 1963).

Debido a la separación de la capa límite, la región de líneas de corriente cerrada detrás de la esfera contiene un anillo de vórtice que aparece a Re≈24. La figura 4.4. muestra una situación similar para el flujo alrededor de un cilindro, donde se aprecia la separación de la capa límite y la formación de una estela.

Fig. 4.4 Flujo alrededor de un cilindro a varios números de Reynolds.


El grosor “δ”de la capa límite se define como la distancia desde la superficie hasta el lugar en que la velocidad vθ ha alcanzado el 99% de su valor del flujo externo invíscido y se ha determinado que es proporcional a Re-0.5. Es así como en el punto de separación el grosor de la capa límite se puede expresar en la forma:

01 2R Re

δδ = (4.14)

McDonald (1954) da un valor de 0 9.06δ = . Taneda (1956) calculó el tamaño de la región cerrada detrás de la esfera y concluyó que para Re >130 el anillo de vórtice comienza a oscilar y que a número de Reynolds mayores el fluido rompe la zona cerrada formando una estela. Ver figura 4.5.

Fig.4.5 Tamaño de la zona de vórtices detrás de una esfera a números de Reynolds intermedios. (Taneda 1956).

La separación de la capa límite previene la recuperación de la presión en la parte posterior de la esfera, más allá del punto de separación, resultando una distribución asimétrica, con una mayor presión en el frente que en la región posterior de la esfera. La figura 4.6 muestra el coeficiente de presión sobre la esfera en un flujo invíscido y en capa límite. Se observa que después del punto de separación la presión, a números de Reynolds cercanos a Re≈150.000, tiene un valor aproximadamente constante,

denominado presión base, igual a *bp 0.4≈ − ∂ ∂ (Fage 1937, Lighthill 1963, p.108,

Goldstein 1965, pp. 15 y 497, Schlichting 1968, p. 21).


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Angulo θ en radianes

Coe

ficie

nte

de p

resi

ón C

p

Fig. 4.6 Coeficiente de presión en función de la distancia sobre la superficie de la esfera en un flujo invíscido y en capa límite.

La asimetría de la distribución de presión sobre la esfera explica el origen de la fuerza hidrodinámica de forma, la magnitud de la cual está directamente relacionada con la posición del punto de separación. Mientras más atrás se encuentre el punto de separación en la esfera, menor será la fuerza de interacción. Para una esfera sumergida en un fluido a alto número de Reynolds, el punto de separación se mantiene constante para un amplio rango de números de Reynolds superiores a 10.000, como ya hemos visto, y debido a ello, la fuerza de interacción debe permanecer relativamente constante, excepto cuando el régimen de flujo cambia de laminar a turbulento. Al mismo tiempo, la fuerza de interacción viscosa debido a la fricción dentro de la capa

límite disminuye en proporción a 1 2Re− . De estas consideraciones se puede observar que a números de Reynolds del orden de 1.000, la fuerza de interacción viscosa ha disminuido lo suficientemente para que su contribución a la fuerza de interacción total sea despreciable. Es así como entre Reynolds del orden de 10.000 y 150.000 el coeficiente de arrastre as aproximadamente constante e igual a DC 0.44≈ .

Para números de Reynolds mayores a 150.000 el carácter del flujo cambia tornándose turbulento en el frente de la esfera. El aumento de la energía cinética que la turbulencia trae, permite que el flujo en la capa límite pueda avanzar mas lejos en la superficie de la esfera, corriendo el punto de separación a valores cercanos a 110° y haciendo que la presión base aumente. Estos fenómenos traen como consecuencia una disminución brusca de la fuerza hidrodinámica, la que a Reynolds mayores aumenta nuevamente a una mayor velocidad. La figura 4.7 muestra un gráfico de datos experimentales del coeficiente de arrastre, o fuerza hidrodinámica adimensional,


considerados estándares, versus número de Reynolds. Estos datos muestran el efecto indicado.

0.01

0.10

1.00

10.00

100.00

1000.00

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

Número de Reynolds Re

Coe

ficie

nte

de a

rras

tre

CD

Fig. 4.7 Coeficiente de arrastre CD versus número de Reynolds Re, según datos estándar de Lapple and Shepherd (1940). Ver también Perry (1963, p. 5.61).

4.1.5 Coeficiente de arrastre para una esfera con 0<Re<150.000

La figura 4.7 muestra cómo varía el coeficiente de arrastre con el número de

Reynolds y confirma que para Re→0, 1 2DC Re−∝ y para Re>>1, DC 0.44→ . Con el

objetivo de encontrar una ecuación general que relacione el coeficiente de arrastre y el número de Reynolds, utilizaremos el concepto de capa límite y recordaremos que, para una posición determinada en la superficie de la esfera, la presión dentro de la capa límite es igual a la presión existente inmediatamente fuera de ésta antes del punto de separación, y es una constante después de este punto. Recordemos también que tanto el punto de separación como la presión base son constantes.

Consideremos un sistema formado por una esfera de radio R y su capa límite de espesor δ sumergidos en un flujo a alto número de Reynolds (Abraham 1970). Aproximemos por a R= + δ al radio de este sistema, según se muestra en la figura 4.8

Fuera de la esfera de radio "a", y hasta el punto de separación, el flujo es invíscido y la distribución del coeficiente de presión está dada por (4.12):


Fig. 4.8 Modelo físico para una esfera en flujo en capa límite.

2p

9C 1 sen

2= − θ

Por lo tanto, dentro de la capa límite, y hasta el punto de separación, la distribución de presión estará dada por:

2 2f

1 9p( ) u 1 sen

2 2 θ = ρ − θ

(4.15)

y más allá del punto del punto de separación esta será:

2 *f b

1p( ) u p

2θ = ρ (4.16)

Sobre el sistema de radio "a" en consideración, esfera más capa límite, la fuerza hidrodinámica se reduce al arrastre de forma debido a la presión, ya que la viscosidad está confinada dentro del interior de la esfera de radio "a". Por lo tanto la fuerza hidrodinámica está dada por:

a

D SF p( )cos dS= θ θ∫v (4.17)

El elemento de superficie de la esfera de radio a en coordenadas esféricas es:

2dS a sen d d= θ θ φ (4.18)

donde φ es la coordenada azimutal. Reemplazando en (4.17) obtenemos:

2

D 0 0F p( )sen cos d d

π π= θ θ θ θ φ∫ ∫

Integrando (4.17) en φ resulta:


2D 0

F 2 a p( )sen cos dπ

= π θ θ θ θ∫ (4.19)

Como el valor de pθ es diferente antes y después del punto de separación, dividamos la integral en dos partes, de 0 a θs y de θs a π:

( )s

s

2D 0

F 2 a p( )sen d(sen ) p( )sen d(sen )θ π

θ= π θ θ θ + θ θ θ∫ ∫

Sustituyendo los valores de p(θ) de (4.15) y (4.16) para cada caso e integrando resulta:

2 2 2 4 * 2D f s s b s

1 9 1F a u sen sen p sen

2 16 2 = π ρ θ − θ − θ

(4.20)

Reemplazando a=R+δ y definiendo la función ( )*s bf ,pθ en la forma:

( )* 2 4 * 2s b s s b s

1 9 1f ,p sen sen p sen

2 16 2θ = θ − θ − θ (4.21)

podemos escribir(4.20) en la forma:

( )2

2 2 *D f s bF u R 1 f ,p

R

δ = ρ π + θ (4.22)

En términos del coeficiente de arrastre podemos escribir:

( )2

*D s bC 2f ,p 1

R

δ = θ + (4.23)

Definiendo el nuevo parámetro C0 en la forma:

( )*0 s bC 2f ,p= θ (4.24)

y reemplazando la razón δ/R de (4.14), podemos escribir finalmente:

( )2

* 0D 0 s b 1 2

C C ,p 1Re

δ = θ + (4.25)

Si calculamos el valor de C0 para θs=84° y *bp 0.4= − , se obtiene ( )f 84, 0.4 0.142− =

y C0 resulta ser 0C 0.284 0.28= ≈ . Usando este valor y el valor de δ0=9.06, obtenemos:

2

D 1 2

9.06C 0.28 1

Re = +

(4.26)

La expresión (4.26) representa el coeficiente de arrastre para una esfera en régimen de capa límite. Una comparación de la simulación con esta función y los datos experimentales estándar se muestra en la figura 4.8.


Los datos experimentales estándar de Lapple and Shepherd (1940) para partículas esféricas se muestran en la tabla 4.1. y figura 4.7.

4.1.6 Velocidad de sedimentación de una esfera

Hemos visto, que cuando una partícula sedimenta a velocidad terminal se establece un balance entre las fuerzas de gravedad, fuerzas de empuje y fuerza hidrodinámica en la forma:

gravitacional empuje hidrodinamicaF F F 0+ + =

por lo tanto:

( )hidrodinamica gravitacional empujeF F F= − + ≡ peso neto de las partículas

( )D p p f p pF V ( g) V g V g= − ρ − + ρ ≡ ∆ρ (4.27)

donde ∆ρ es la diferencia de densidades entre sólido y fluido. La expresión (4.27) implica que la fuerza hidrodinámica para partículas en sedimentación se conoce de antemano y es independiente de la forma de la partícula. Para una partícula esférica resulta:

3D

4F R g

3= π ∆ρ (4.28)

y el coeficiente de arrastre será:

DD 2 2 2

f f

F 4 dgC

1 2 u R 3 u

∆ρ= ≡ρ π ρ

(4.29)

donde d=2R es el diámetro de la esfera. Como el número de Reynolds está definido por:

f

f

duRe

ρ=µ

(4.30)

mediante la combinación de éste y el coeficiente de arrastre, se puede definir dos números adimensionales (Heywood 1962):

2 3fD 2

f

g4C Re d

3

∆ρρ= µ

23f

D f

Re 3u

C 4 g

ρ= ∆ρµ

(4.31)


Tabla 4.1 Coeficiente de arrastre en función del número de Re*

Re CD CDRe2 Re/CD d*=(CDRe2)1/3 u*=(Re/CD)1/3

0.1 240.00 2.4 4.17E-04 1.34 7.47E-020.2 120.00 4.8 1.67E-03 1.69 1.19E-010.3 80.00 7.2 3.75E-03 1.93 1.55E-010.5 49.50 12.4 1.01E-02 2.31 2.16E-010.7 36.50 17.9 1.92E-02 2.62 2.68E-01

1 26.50 26.5 3.77E-02 2.98 3.35E-012 14.60 58.4 1.37E-01 3.88 5.15E-013 10.40 93.6 2.88E-01 4.54 6.61E-015 6.90 172.5 7.25E-01 5.57 8.98E-017 5.30 259.7 1.3 6.38 1.10

10 4.10 410.0 2.4 7.43 1.3520 2.55 1.02E+03 7.8 1.01E+01 1.9930 2.00 1.80E+03 15.0 1.22E+01 2.4750 1.50 3.75E+03 33.3 1.55E+01 3.2270 1.27 6.22E+03 55.1 1.84E+01 3.81

100 1.07 1.07E+04 93.5 2.20E+01 4.54200 0.77 3.08E+04 259.7 3.13E+01 6.38300 0.65 5.85E+04 461.5 3.88E+01 7.73500 0.55 1.38E+05 909.1 5.16E+01 9.69700 0.50 2.45E+05 1.40E+03 6.26E+01 11.19

1000 0.46 4.60E+05 2.17E+03 7.72E+01 12.952000 0.42 1.68E+06 4.76E+03 1.19E+02 16.823000 0.40 3.60E+06 7.50E+03 1.53E+02 19.575000 0.39 9.63E+06 1.30E+04 2.13E+02 23.517000 0.39 1.91E+07 1.79E+04 2.67E+02 26.18



1000000 0.13 1.30E+11 7.69E+06 5.07E+03 197.403000000 0.20 1.80E+12 1.50E+07 1.22E+04 246.62

*Lapple and Shepherd 1940.


0,01

0,10

1,00

10,00

100,00

1000,00

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000

1E+07


Coe

ficie

nte

de a

rras

tre

CD

Fig. 4.9 Coeficiente de arrastre versus número de Reynolds. La línea continua corresponde a la simulación con la ecuación (4.26) y los círculos a datos estándar de Lapple y Shepherd (1940).

Concha y Almendra (1979a) definieron los parámetros característicos del sistema sólido-fluido P y Q:

1 32

f

f

3P

4 g

µ= ∆ρρ (4.32)

1 3

f2f

g4Q

3

∆ρµ= ρ

(4.33)

de forma que las ecuaciones (4.31) y se pueden escribir en la forma:

3

2 3D

dC Re d *

P = =

(4.34)

3

3

D

Re uu *

C Q

= ≡

(4.35)

Las expresiones (4.34) y (4.35) definen un tamaño d* y una velocidad u* adimensionales, que son características del sistema sólido-fluido. Multiplicando estas dos ecuaciones podemos verificar que:

Re d *u *= (4.36)

Reemplazando las expresiones (4.25) y (4.36) en (4.34) obtenemos (Concha y Almendra 1979a):


( )

( )2

23 00 1 2

d * C 1 u *d *u *d *

δ = +

( )3 2

1 2

0 1 20

d *u *d * u *d* 0

C+δ − =

Resolviendo esta ecuación algebraica de segunda grado obtenemos:

21 223 20

1 2 20 0

1 4u* 1 d* 1

4 d* C

δ = + − δ (4.37)

21 2

2 3 200 1 2

0

1 4d* C u* 1 1 u *

4 C−

δ = + + (4.38)

La primera ecuación se conoce con el nombre de ecuación de Concha y Almendra para una esfera. Estas dos ecuaciones son generales, para esferas sedimentando a cualquier número de Reynolds. La primera ecuación permite calcular la velocidad de sedimentación de una partícula esférica de diámetro adimensional d* y la segunda permite calcular el diámetro adimensional de una partícula esférica que adquiere una velocidad de sedimentación adimensional de u*.

Para el caso de la esfera, podemos introducir los valores de C0=0.28 y δ0=9.06, para obtener:

( )( )21 23 220.52u* 1 0.0921d * 1

d*= + − (4.39)

( )( )21 22 3 2d* 0.07u* 1 1 68.49u *−= + + (4.40)

La figura 4.10 muestra la comparación entre los valores de sedimentación simulados y los calculados desde los datos experimentales estándar (ver Tabla 4.1).

Ejemplo 3

Para realizar cálculos de sedimentación de partículas esféricas es necesario conocer los parámetros de tamaño P y velocidad Q, que dependen de las propiedades del sólido y del fluido. Construya una tabla para estos parámetros en función de la densidad del sólido. Suponga que la densidad del agua es de 1 g/cm3 y su viscosidad 0.01 g/cm-s.

La definición de P y Q es de ( )1 32f fP 3 4 g= µ ∆ρρ y ( )1 32

f fQ 4 g 3= ∆ρµ ρ . El resultado

se muestra en la tabla que sigue.


1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

1,00E+02

1,00E+03

1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05

Diámetro adimensional d*

Vel

ocid

ad a

dim

ensi

onal

u*

Fig. 4.10 Velocidad adimensional versus tamaño adimensional para la sedimentación de esferas según la ecuación (4.39) y comparación con datos experimentales estándar de Cd versus Re de Lapple and Shepherd 1940.

Ejemplo 4

Calcular la velocidad de sedimentación de esferas de cuarzo de densidad 2.65 g/cm3 de los siguientes diámetros: 10 µm, 50 µm, 100 µm, 300 µm, 500 µm, 1 mm 5 mm y 1 cm a 20 °C. La ecuación que predice la velocidad de sedimentación es:

( )( )21 23 220.52u* 1 0.0921d* 1

d*= + − , con * *d d P y u Q u= = ×

Para calcular velocidades de sedimentación a otras temperaturas es necesario disponer de la densidad y viscosidad del fluido en esas condiciones.

Las correlaciones para las densidades con la temperatura T en °C son:

7 2 4 2agua 9.0 10 T 2.0 10 T 1.56 10 (g / cm s)− − −µ = × − × + × × (4.41)

7 4aire 5.0 10 T 2.0 10 (g / cm s)− −µ = × + × × (4.42)

Las correlaciones para las viscosidades con la temperatura T en °C son:

6 2 5 3agua 4.0 10 T 6.0 10 T 1.0004 (g / cm )− −ρ = − × − × + (4.43)

6 3 3aire 3.0 10 T 1.3 10 (g / cm )− −ρ = − × + × (4.44)


Tabla de resultados del ejemplo 3.

ρs (g/cm3) ρf (g/cm3) µf (g/cms) P (cm) Q (cm/s) ρs (g/cm3) ρf (g/cm3) µf (g/cms) P (cm) Q (cm/s)

1.10 1 0.0100 9.1470E-03 1.0933E+00 3.35 1 0.0100 3.1934E-03 3.1314E+001.15 1 0.0100 7.9906E-03 1.2515E+00 3.40 1 0.0100 3.1711E-03 3.1535E+001.20 1 0.0100 7.2600E-03 1.3774E+00 3.45 1 0.0100 3.1494E-03 3.1752E+001.25 1 0.0100 6.7396E-03 1.4838E+00 3.50 1 0.0100 3.1282E-03 3.1967E+001.30 1 0.0100 6.3422E-03 1.5767E+00 3.55 1 0.0100 3.1076E-03 3.2179E+001.35 1 0.0100 6.0245E-03 1.6599E+00 3.60 1 0.0100 3.0876E-03 3.2388E+001.40 1 0.0100 5.7622E-03 1.7354E+00 3.65 1 0.0100 3.0681E-03 3.2594E+001.45 1 0.0100 5.5404E-03 1.8049E+00 3.70 1 0.0100 3.0490E-03 3.2798E+001.50 1 0.0100 5.3492E-03 1.8694E+00 3.75 1 0.0100 3.0304E-03 3.2999E+001.55 1 0.0100 5.1819E-03 1.9298E+00 3.80 1 0.0100 3.0123E-03 3.3198E+001.60 1 0.0100 5.0338E-03 1.9866E+00 3.85 1 0.0100 2.9945E-03 3.3394E+001.65 1 0.0100 4.9013E-03 2.0403E+00 3.90 1 0.0100 2.9772E-03 3.3588E+001.70 1 0.0100 4.7817E-03 2.0913E+00 3.95 1 0.0100 2.9603E-03 3.3780E+00

1.75 1 0.0100 4.6730E-03 2.1400E+00 4.00 1 0.0100 2.9438E-03 3.3970E+001.80 1 0.0100 4.5735E-03 2.1865E+00 4.05 1 0.0100 2.9276E-03 3.4158E+001.85 1 0.0100 4.4820E-03 2.2311E+00 4.10 1 0.0100 2.9118E-03 3.4343E+001.90 1 0.0100 4.3974E-03 2.2741E+00 4.15 1 0.0100 2.8963E-03 3.4527E+001.95 1 0.0100 4.3189E-03 2.3154E+00 4.20 1 0.0100 2.8811E-03 3.4709E+002.00 1 0.0100 4.2457E-03 2.3553E+00 4.25 1 0.0100 2.8663E-03 3.4889E+002.05 1 0.0100 4.1772E-03 2.3940E+00 4.30 1 0.0100 2.8517E-03 3.5067E+002.10 1 0.0100 4.1129E-03 2.4314E+00 4.35 1 0.0100 2.8375E-03 3.5243E+002.15 1 0.0100 4.0524E-03 2.4677E+00 4.40 1 0.0100 2.8235E-03 3.5417E+002.20 1 0.0100 3.9953E-03 2.5029E+00 4.45 1 0.0100 2.8098E-03 3.5590E+002.25 1 0.0100 3.9413E-03 2.5372E+00 4.50 1 0.0100 2.7963E-03 3.5761E+002.30 1 0.0100 3.8901E-03 2.5706E+00 4.55 1 0.0100 2.7831E-03 3.5931E+002.35 1 0.0100 3.8415E-03 2.6032E+00 4.60 1 0.0100 2.7702E-03 3.6098E+002.40 1 0.0100 3.7952E-03 2.6349E+00 4.65 1 0.0100 2.7575E-03 3.6265E+002.45 1 0.0100 3.7511E-03 2.6659E+00 4.70 1 0.0100 2.7450E-03 3.6430E+002.50 1 0.0100 3.7089E-03 2.6962E+00 4.75 1 0.0100 2.7328E-03 3.6593E+002.55 1 0.0100 3.6686E-03 2.7258E+00 4.80 1 0.0100 2.7207E-03 3.6755E+002.60 1 0.0100 3.6300E-03 2.7548E+00 4.85 1 0.0100 2.7089E-03 3.6915E+002.65 1 0.0100 3.5929E-03 2.7832E+00 4.90 1 0.0100 2.6973E-03 3.7075E+002.70 1 0.0100 3.5574E-03 2.8111E+00 4.95 1 0.0100 2.6858E-03 3.7232E+002.75 1 0.0100 3.5232E-03 2.8384E+00 5.00 1 0.0100 2.6746E-03 3.7389E+002.80 1 0.0100 3.4902E-03 2.8651E+00 5.05 1 0.0100 2.6635E-03 3.7544E+002.85 1 0.0100 3.4585E-03 2.8914E+00 5.10 1 0.0100 2.6527E-03 3.7698E+002.90 1 0.0100 3.4279E-03 2.9172E+00 5.15 1 0.0100 2.6420E-03 3.7850E+002.95 1 0.0100 3.3983E-03 2.9426E+00 5.20 1 0.0100 2.6315E-03 3.8002E+003.00 1 0.0100 3.3698E-03 2.9676E+00 5.25 1 0.0100 2.6211E-03 3.8152E+003.05 1 0.0100 3.3422E-03 2.9921E+00 5.30 1 0.0100 2.6109E-03 3.8301E+003.10 1 0.0100 3.3154E-03 3.0162E+00 5.35 1 0.0100 2.6009E-03 3.8449E+003.15 1 0.0100 3.2895E-03 3.0400E+00 5.40 1 0.0100 2.5910E-03 3.8596E+003.20 1 0.0100 3.2644E-03 3.0633E+00 5.45 1 0.0100 2.5812E-03 3.8741E+003.25 1 0.0100 3.2400E-03 3.0864E+00 5.50 1 0.0100 2.5716E-03 3.8886E+003.30 1 0.0100 3.2164E-03 3.1091E+00 5.55 1 0.0100 2.5622E-03 3.9029E+00

Tabla de resultados del ejemplo 4

d (µm) d* u*oo uoo (cm/s) Re oo

1 2.7832E-02 3.37E-05 9.4E-05 9.3798E-0710 2.7832E-01 3.35E-03 9.3E-03 9.3189E-0450 1.3916E+00 7.84E-02 2.2E-01 1.0916E-01

100 2.7832E+00 2.80E-01 7.8E-01 7.7900E-01300 8.3497E+00 1.55E+00 4.3E+00 1.2970E+01500 1.3916E+01 2.91E+00 8.1E+00 4.0473E+01

1000 2.7832E+01 5.83E+00 1.6E+01 1.6214E+025000 1.3916E+02 1.90E+01 5.3E+01 2.6373E+03

10000 2.7832E+02 2.86E+01 8.0E+01 7.9666E+03


Los gráficos que siguen muestran las correlaciones de estas variables entre 0 y 100°C (Droguett 2000).

y = 5E-07x + 0.0002

R2 = 0.9996

y = 9E-07x2 - 0.0002x + 0.0156

R2 = 0.9983

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Temperatura (ºC)

visc

osid

ad a

gua

(g/c

m-s

)

0.00E+00

5.00E-05

1.00E-04

1.50E-04

2.00E-04

2.50E-04

visc

osid

ad a

ire (

g/cm

-s)

Fig. 4.11 Viscosidades del agua y aire a diversas temperaturas.

y = -3E-06x + 0.0013

R2 = 0.9931

y = -4E-06x2 - 6E-05x + 1.0004

R2 = 0.9993

0.955

0.960

0.965

0.970

0.975

0.980

0.985

0.990

0.995

1.000

1.005

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Temperatura (ºC)

dens

idad

agu

a (g

/cm

3)

0.00E+00

2.00E-04

4.00E-04

6.00E-04

8.00E-04

1.00E-03

1.20E-03

1.40E-03

dens

idad

aire

(g/

cm3)

Fig. 4.12 Densidades del agua y aire a diversas temperaturas.


Ejemplo 5

Calcular la velocidad de sedimentación de una esfera de cuarzo de 300 µm en agua a 60 °C. Considere:

3 3 3agua agua0.982 g / cm , 6.84 10 g / cms , P 2.796 10 , Q 2.4903− −ρ = µ = × = × =

*3

300d 10.730

10000 2.796 10−= =

× ×

*u 2.14 y u 2.14 2.4903 5.34 cm s∞ ∞= = × = .

4.1.7 Sedimentación de una suspensión de esferas

Cuando una esfera que sedimenta se encuentra rodeada de otras esferas se produce entorpecimiento en el asentamiento de cada una de ellas. Al trasladarse una partícula de una posición a otra, puede encontrar ocupado el nuevo lugar y colisionará con la partícula que lo ocupa desviándose de su trayectoria. Mientras más partículas existan en la suspensión mayor oportunidad existirá para que se obstaculicen entre ellas. El resultado es que la velocidad efectiva de sedimentación disminuirá al aumentar la concentración de la suspensión. Como la obstaculización en la sedimentación de una partícula depende del volumen del espacio ocupado y no de su masa, la variable apropiada para describir este fenómeno es la fracción del espacio ocupada por el sólido, esto es, la fracción volumétrica de sólidos.

Concha y Almendra (1979b) postularon que para una suspensión de partículas esféricas, todas de la misma densidad y diámetro, la ecuación (4.39) sigue siendo válida con parámetros P y Q reemplazados por P(ϕ) y Q(ϕ). Para mostrar que se trata de la suspensión usemos las letras U* y D* en vez de u* y d* de una partícula individual:

( )( )21 23 220.52U* 1 0.0921D* 1

D*= + − (4.45)

donde supondremos que:

( ) ( )d u

D* y U*P Q

= =ϕ ϕ

(4.46)

Es costumbre considerar las propiedades de una suspensión, tal como la viscosidad, como el producto de la misma propiedad del fluido y una función de la concentración. Siguiendo este ejemplo, supongamos que las propiedades P(ϕ) y Q(ϕ) de la suspensión se relacionan con las propiedades del sólido y fluido en la forma:

( ) ( ) ( ) ( )p qP Pf y Q Qfϕ = ϕ ϕ = ϕ (4.47)

Entonces, reemplazando en (4.46) resulta:


( ) ( )p q

d * u *D* y U*

f f= =

ϕ ϕ (4.48)

Con estas definiciones, la ecuación (4.45) se puede escribir en la forma:

( ) ( ) ( )( )21 23 2 3 2p q p

20.52u* f f 1 0.0921f d* 1

d *−= ϕ ϕ + − (4.49)

Esta expresión, conocida con el nombre de ecuación de Concha y Almendra para suspensiones de esferas, permite calcular la velocidad de sedimentación de partículas esféricas de cualquier tamaño a cualquier concentración. Para ello es necesario conocer los parámetros fp(ϕ) y fq(ϕ).

Expresiones asintóticas para la velocidad

Para valores pequeños del número de Reynolds, Re→0, se cumplen las siguientes expresiones para (4.39) y (4.49):

3 2

3 2 3 2p

0.0921d * 1

0.0921d * f 1−

<<<<

Tomando en cuenta estas consideraciones, las ecuaciones (4.39) y (4.49) se reducen a:

( ) ( )2

* 2 2p q

2* 2

0.0921u 20.52 d* f f

2

0.0921u 20.52 d *

2

−

∞

= ϕ ϕ

=

En esta expresión hemos usado los símbolos * *u y u∞ para indicar la velocidad de una partícula en un medio infinito y la misma partícula en una suspensión. El cuociente entre estas dos expresiones resulta ser:

Para Re→0 ( ) ( )*

2p q*

uf f

u−

∞

= ϕ ϕ (4.50)

Haciendo una deducción similar para valores altos del número de Reynolds, Re→∞, para (4.39) y (4.49) se cumple:

3 2

3 2 3 2p

0.0921d* 1

0.0921d* f 1−

>>

>>

y las ecuaciones (4.39) y (4.49) se reducen a:

( ) ( )* 1 2 1 2

p q

* 1 2

u 20.52x0.0921xd * f f

u 20.52x0.0921xd*

−

∞

= ϕ ϕ

=


El cuociente entre estas dos expresiones es:

Para Re→∞ ( ) ( )*

1 2p q*

uf f

u−

∞

= ϕ ϕ (4.51)

Formas funcionales para fp(ϕ) y fq(ϕ)

Varios autores han presentado ecuaciones para expresar la velocidad de sedimentación de suspensiones en función de la velocidad de sedimentación de una partícula en un medio infinito y la concentración. La tabla 4.1 muestra algunas de estas expresiones.

Tabla 4.2 Expresiones para las velocidades de sedimentación asintóticas

R. y Zaki

Concha y Almendra Massarani

fp(ϕ) (1-ϕ)-1.51 2 31 3

2 3 3 4 1.83

(1 )(1 0.75 )

(1 1.2 ) (1 1.45 )

− ϕ + ϕ

− ϕ + ϕ − ϕ

( ) ( )

( )

2 31 3

1.83

0.087 1 0.75 exp 2.37(1 )

1 1.45

+ ϕ − ϕ

− ϕ

fq(ϕ) (1-ϕ)0.64 1 34 1 3

2 3 3 1.83

(1 ) (1 0.75 )

(1 1.2 ) (1 1.45 )

− ϕ + ϕ

− ϕ + ϕ − ϕ

( ) ( )( )( )

1 341 3

1.83

1 0.75 0.087 exp 2.37(1 )

1 1.45

+ ϕ − ϕ

− ϕ

La figura 4.13 muestra la velocidad adimensional U* para suspensiones de esferas de cualquier tamaño y densidad versus el tamaño adimensional D*. Esta curva es universal.

La figura 4.14 muestra una simulación de la velocidad de sedimentación adimensional u* de partículas de tamaño adimensional d* para varios valores de la concentración. Esta figura puede ser usada para analizar el estado de flujo en un lecho poroso.

Veremos mas adelante que para un medio poroso la velocidad de percolación q está dada por:

s rq v (1 )v= − − ϕ (4.52)

donde s fq v (1 )v= ϕ + − ϕ y r s fv v v= − es la velocidad relativa sólido-fluido. Para un flujo bifásico esta velocidad de percolación recibe el nombre de velocidad volumétrica.

La figura 4.14 separa el plano en tres regiones, la región de lecho fijo entre el eje de las abscisas y ϕ=0.585, la región de lecho fluidizado entre 0.585>ϕ>0 y la región de transporte hidráulico o neumático entre ϕ=0 y el eje de las ordenadas. Wen and Yu (1966) y Barnea and Mednick (1975) muestran que la velocidad inicial de fluidización corresponde a una concentración de ϕ=0.585.


Figura 4.13. Velocidad adimensional U* para suspensiones de esferas de cualquier tamaño y densidad versus el tamaño adimensional D*, junto a datos experimentales (Concha y Almendra 1979).

1.00E-04

1.00E-03

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+00

1.00E+01

1.00E+02

0.01 0.1 1 10 100 1000

Diámetro adimensional d*

Vel

ocid

ad a

dim

ensi

onal

u*

ϕ=0

ϕ=0,1

ϕ=0,2

ϕ=0,3

ϕ=0,4

ϕ=0,5

ϕ=0,585

Fig. 4.14 simulación de la velocidad de sedimentación adimensional u* de partículas de tamaño adimensional d* para varios valores de la concentración a 20°C.


Consideremos como un ejemplo que un flujo en un lecho poroso, formado por partículas esféricas de tamaño adimensional d*=1, el fluido percola a través del lecho a una velocidad adimensional dada por u* a una temperatura de 20°C. Si la velocidad u* aumenta su valor, éste se puede calcular de la figura 4.11 trazando una recta vertical en

*d 1= . El fluido percolará a través del lecho fijo hasta que se alcance la velocidad * 4u 2.9 10−= × , momento en el cual el lecho se expandirá. El lecho permanecerá

fluidizado al aumentar la velocidad hasta * 2u 2 10−= × y de ahí en adelante las partículas comenzarán a dejar el lecho al aumentar su velocidad.

Ejemplo 5

Calcular la velocidad de sedimentación de una suspensión de monotamaño de esferas de 150 µm a 15 °C con una concentración de 40% de sólidos en peso.

Los parámetros son: 40

0.202.65 (100 40) 40

ϕ = =× − +

3agua agua0.9959 , 0.01280 , P 4.2385 10 , Q 3.0329−ρ = µ = = × =

p qf (0.2) 1.40066 , f (02) 0.86692= =

*3

150d 3.5390

4.2385 10−= =

×

( ) ( ) ( )( )21 23 2 3 2p q p

20.52u* f f 1 0.0921f d * 1

d*−= ϕ ϕ + −

*u 0.423 y u 0.423 3.0329 0.128 cm s= = × =

Ejemplo 6

Calcular la velocidad de fluidización de una suspensión monotamaño de partículas de cuarzo de 150 µm de diámetro y densidad 2.65 g/cm3 a 15°C y una concentración de 40% de sólidos en peso. Calcular, además, a que velocidad de precolación las partículas indicadas comenzarán a ser transportadas.

La velocidad de precolación es s rq v (1 )v= − − ϕ . Como rv u= , y a la velocidad de

transporte 0ϕ = , q(0) u(0)= − . Del problema anterior podemos calcular:

q (1 0.20) 1.28 1.024 cm s= − − × =

El transporte comenzará cuando la concentración tienda a cero. Como *d 3.539= ,

*u 0.423= y q u(0) 1.28 cm s= − = −


4.1.8 Sedimentación de partículas isométricas

Las partículas no-esféricas tienen un comportamiento diferente a las esféricas durante la sedimentación. Mientras que las partículas esféricas caen en una trayectoria vertical, las partículas no-esféricas, vibran rotan y siguen una trayectoria espiral. Varios autores han estudiado la sedimentación de partículas isométricas, esto es, partículas con un alto grado de simetría tales como tetraedros, octaedros y dodecaedros, con tres ejes de simetría mutuamente perpendiculares e iguales. Entre ellos Wadell (1932, 1934), Pettyjohn and Christiansen (1948) and Christiansen and Barker (1965). Sus trabajos indican que las partículas isométricas siguen trayectorias verticales a números de Reynolds pequeños, pero rotan, vibran y tienen trayectorias helicoidales para números de Reynolds entre 300 y 150.000.

Pettyjohn y Christiansen (1948) demostraron que la velocidad de sedimentación de partículas isométricas en régimen de Stokes se podía describir mediante la siguiente expresión:

p

e

u0.843log

u 0.065

ψ = (4.53)

donde ue es la velocidad de sedimentación de una esfera que tiene el mismo volumen que la partícula (esfera equivalente), entonces:

2e

ef

d gu

18∆ρ=

µ (4.54)

en esta expresión de es el diámetro equivalente o diámetro de la esfera equivalente.

Para el rango de números de Reynolds entre 2.000<Re<17.000, estos mismos autores proponen la siguiente expresión:

ee

f D

d g4u

3 C

∆ρ=

ρ (4.55)

con el coeficiente de arrastre CD dado por:

DC 5.31 4.88= − ψ (4.56)

Como hemos dicho, por sobre Re=300, las partículas comienzan a rotar y oscilar. Para tomar en cuanta este comportamiento, Barker (1951) sugirió introducir como nueva variable la densidad de la partícula. Él propone la siguiente corrección:

( ) ( )1 18D DC , C−ψ λ = λ ψ (4.57)

donde λ es el cuociente de densidades entre el sólido y el fluido:p fλ = ρ ρ . Los datos

de Pettyjohn y Christiansen (1948) y de Barker (1951) se pueden graficar según la figura 4.15.


Fig. 4.15 Datos de Pettyjohn y Christiansen (1948) y de Barker (1951) graficados como coeficiente de arrastre versus número de Reynolds, utilizando como tamaño el diámetro equivalente.

Coeficiente de arrastre y velocidad de sedimentación

Toda la información anterior se puede usar para desarrollar una ecuación que describa el coeficiente de arrastre y la velocidad de sedimentación de una partícula isométrica (Concha y Almendra 1979b).

Supongamos que las ecuaciones (4.25) y (4.38) son válidas para partículas isométricas, con valores de C0 y δ0 como funciones de la esfericidad ψ y del cuociente de densidades λ (Concha y Barrientos 1986):

( ) ( ) ( ) 2

0D 0 1 2

,C , C , 1

Re�

δ ψ λψ λ = ψ λ +

(4.58)

( )

( ) ( )

21 220* 3 2

p 1 2 20 0

,1 4u 1 d* 1

4 d * C , ,

�

� �

δ ψ λ = + − ψ λ δ ψ λ (4.59)

Donde el número de Reynolds queda definido con el diámetro equivalente. Supongamos, además, que se cumple:

( ) ( ) ( )0 0 A CC , C f fψ λ = ψ λ� (4.60)

( ) ( ) ( )0 0 B D, f fδ ψ λ = δ ψ λ� (4.61)


donde C0 y δ0 son los parámetros para una esfera.

Hemos ya demostrado, que para una esfera a Re→0, la velocidad se puede aproximar por:

*2

* ee 2

0 0

du

C=

δ (4.62)

Del mismo modo para una partícula isométrica tenemos:

( ) ( )

*2* ep 2

0 0

du

C , ,=

ψ λ δ ψ λ�

(4.63)

Como el diámetro de es el mismo para la esfera y la partícula, reemplazando (4.60) y (4.61) en (4.63) y haciendo el cuociente entre (4.63) y (4.62) resulta:

Re→0 ( ) ( ) ( ) ( )*

2 2e eA B C D*

pp

u uf f f f

uu≡ = ψ ψ λ λ (4.64)

Por otra parte para Re→∞, se puede comprobar que:

( ) ( )D 0

D 0

C , C ,

C C

ψ λ ψ λ=

�

(4.65)

y reemplazando la expresión

Re→∞, ( ) ( ) ( )D

A CD

C ,f f

C

ψ λ= ψ λ (4.66)

Para determinar las funciones fA, fB, fC y fD, usaremos las ecuaciones propuestas por Pettyjohn y Christiansen (4.53) y (4.56) y (4.57) por Barker (1951). De (4.64) y (4.53) podemos escribir:

( ) ( ) ( ) ( )2 2B DA Cf f f f 0.843log

0.065

ψψ ψ λ λ = (4.67)

( ) ( ) 11|8A C

5.42 4.75

5.42 4.75f f

−−

ψψ λ = λ (4.68)

De (4.57) y (4.68)se puede concluir que:

( )A5.42 4.75

0.67f

− ψψ = (4.69)

( ) 118Cf λ = λ (4.70)

Como en régimen de Stokes no hay efecto de la densidad, (4.67) implica que:


( ) ( ) ( )2 1 118 1 36D DC yf f f− − −λ = λ = λ λ = λ (4.71)

por lo tanto

( )1 2

B5.42 4.75f 0.843log

0.67 0.065

−

− ψ ψψ = (4.72)

Coeficiente de arrastre y velocidad de sedimentación modificados

Introduciendo los valores de fA, fB, fC y fD en la ecuación (4.58) podemos escribir:

( )

( ) ( ) ( )( )

2

D 00

A C B D

C ,C 1

f f Re f )f

ψ λ δ= +ψ λ ψ λ

(4.73)

Definiendo el coeficiente de arrastre modificado CDM y el número de Reynolds modificado ReM en la forma:

( )

( ) ( )D

DMA C

C ,C

f f

ψ λ=

ψ λ (4.74)

( ) ( )M 2 2B D

ReRef f

=ψ λ

(4.75)

Si se grafica todos los datos experimentales como CDM versus ReM se obtiene la curva unificada de la figura 4.16.

Un resultado similar se obtiene para la velocidad de sedimentación. Definiendo el diámetro equivalente adimensional unificado *

eMd y la velocidad adimensional

modificada *Mu en la forma:

( )

( ) ( ) ( )( )*e*

eM 2 31 2 2 1 2 2B DA C

d ,d

f f f f

ψ λ=

ψ ψ λ (4.76)

( )

( ) ( )*p*

eMB D

u ,u

f f

ψ λ=

ψ λ (4.77)


Fig. 4.16 Datos experimentales de Pettyjohn y Christiansen (948) y Barker (1951) graficados como CDM versus ReM par partículas isométricas.

La curva unificada de *pMu versus *eMd para los datos de Pettyjohn y Christiansen

(1948) y de Christiansen y Barker (1965) se muestra en la figura 4.17.

Fig. 4.17 Curva unificada de *pMu versus *

eMd para los datos de

Pettyjohn y Christiansen (1948) y de Barker (1951) se muestra en la figura 4.16.


Los datos experimentales que se utilizaron para desarrollar las expresiones anteriores consisten en 419 puntos, incluyendo datos de esferas, cubos, octaedros y tetraedros y cubren el siguiente rango de parámetros:

0.1 cm <de< 1.6 cm 1.7 g/cm3 <ρs< 11.2 g/cm3 0.67 <ψ< 1 0.87 g/cm3 <ρs< 1.43 g/cm3 9x10-3 g/cm-s <µ< 900 g/cm-s 5x10-3 <Re< 2x104

Con los siguientes valores para la esfericidad (Happel and Brenner 1965):

Esfera ψ=1.000 Octaedro cúbico ψ=0.906 Octaedro ψ=0.846 Cubo ψ=0.806 Tetraedro ψ=0.670

Ejemplo 7

Calcular la velocidad de sedimentación de un cubo de cuarzo de 1mm de lado, densidad 2.65 g/cm3 en agua a 25°C.

Por definición la esfericidad es la razón entre la superficie de la esfera equivalente y la superficie de la partícula. Para un cubo de lado a la superficie y volumen son

2 3cubo cuboS 6a y V a= = . La esfera equivalente tiene el mismo volumen a3, por lo que su

diámetro será:

( ) ( ) ( )1 31 3 1 33ed 6V 6a 6 a= π = π = π

La esfericidad es: ( )2 3 1 32

2

6 a0.806

66a

π π π ψ = = =

( )A

5.42 4.75 5.42 4.75 0.806f 2.3754

5.42 4.75 5.42 4.75

− ψ − ×ψ = = =− −

( )1 2 1 2

B

5.42 4.75 5.42 4.75 0.806 0.806f 0.843log 0.843log

5.42 4.75 0.065 5.42 4.75 0.065

0.67581

− −− ψ ψ − × ψ = × = × − − =

6 2 5 3f 4.0 10 25 6.0 10 25 1.0004 0.9964 (g / cm )− −ρ = − × × − × × + =

( )1 18

1 18C

2.65f 0.9473

0.9964

−− ψ = λ = =

( )1 36

1 36D

2.65f 1.0274

0.9964 ψ = λ = =


( )0 B D, 9.08 f ( )f ( ) 9.08 0.6758 1.0275 6.305�δ ψ λ = × ψ λ = × × =

( )0 A CC , 0.28 f ( )f ( ) 0.28 2.3753 0.9471 0.6299� ψ λ = × ψ λ = × × =

7 2 4 2agua 9.0 10 25 2.0 10 25 1.56 10 0.0112 (g / cm s)− − −µ = × × − × × + × = ×

1 3 1 32 2f

f

3 3 0.0112P 0.003877

4 g 4(2.65 0.9964) 0.9964 980.1

µ ×= = = ∆ρρ − × ×

1 3 1 3

f2 2f

g4 4 (2.65 0.9964) 0.0112 980.1Q 2.900

3 3 0.9964

∆ρµ × − × × = = = ρ ×

* ed 0.1d 25.79

P 0.003877= = =

( )( ) ( )

21 220* 3 2

p 1 2 20 0

21 22 2 3

(1/ 2) 2

,1 4u 1 d * 1

4 d* C , ,

6.0557 4 25.7961 1 9.07

25.796 0.6299 6.3050

�

� �

δ ψ λ = + − ψ λ δ ψ λ

× = + − = ×

*pu Q u 2.9 9.07 26.3 cm /s= × = × =

4.1.9 Sedimentación de una suspensión de partículas arbitrarias

En un estudio realizado por Concha y Christiansen (1986) se realizó experimentos de fluidización con tres tipos de partículas, caliza (densidad 2.71), cuarzo (densidad 2.64) y arena de río (densidad 2.70 a 2.79). Los datos experimentales obtenidos se entregan en la tabla 4.3 y la figura 4.18 muestra el coeficiente de arrastre para estas partículas en función del número de Reynolds, usando el diámetro equivalente como medición del tamaño:

eD 2

f p

d g4C

3 u

∆ρ=ρ

Concha y Christiansen (1986) extendieron la validez del coeficiente de arrastre y de la velocidad de sedimentación definidas para una suspensión de esferas, para ser utilizadas para una suspensión de partículas de forma arbitraria. Para ello, realizaron experimentos de fluidización con tres tipos de partículas irregulares, mostradas en la tabla 4.3, y usaron el concepto de esfericidad ya definido para partículas isométricas. Es así como estas variables pueden ser definidas en la forma:


Tabla 4.3 Velocidades de fluidización de partículas de forma arbitraria en agua a 20°C.

up(ϕ) cm/s de

cm

ρp

(g/cm3)

Re∞

ϕ=0.0 ϕ=0.1 ϕ=0.2 ϕ=0.3 ϕ=0.4

Caliza

0.0148 2.71 1.87 1.273 0.820 0.490 0.248 -

0.0216 2.71 4.89 2.282 1.517 0.961 0.512 0.244

0.0306 2.71 11.2 3.627 2.523 1.682 0.981 0.496

0.0443 2.71 25.2 5.725 4.159 2.909 1.879 1.056

0.0615 2.71 46.3 7.583 5.835 4.353 2.939 1.853

0.0956 2.71 86.6 10.181 8.045 6.182 4.579 3.056

0.1239 2.71 163 13.285 10.763 8.505 6.512 4.643

0.1859 2.71 324 17.556 14.294 11.631 8.940 6.873

0.2374 2.71 492 20.873 17.210 13.870 10.967 8.779

0.3292 2.71 811 24.802 21.051 17.526 14.238 11.385

0.5060 2.71 1111 27.629 23.672 19.914 16.371 13.570

Cuarzo

0.0138 2.64 1.62 1.186 0.708 0.386 0.187 -

0.0207 2.64 4.46 2.171 1.372 0.821 0.411 -

0.0286 2.64 9.48 3.336 2.152 1.319 0.698 0.330

0.0420 2.64 22.1 5.290 3.665 2.432 1.423 0.743

0.0600 2.64 43.1 7.238 5.253 3.672 2.428 1.329

0.0834 2.64 78.8 9.509 7.292 5.428 3.732 2.334

0.1192 2.64 144 12.210 9.791 7.659 5.688 3.865

0.1732 2.64 279 16.213 13.258 10.587 8.204 6.111

0.2373 2.64 457 19.494 16.107 13.088 10.344 7.883

0.3338 2.64 767 23.143 19.594 16.268 13.174 10.327

0.4005 2.64 1031 25.926 22.095 18.477 15.086 11.937

Arena

0.0354 2.70 15.0 4.277 3.005 2.025 1.190 0.625

0.0425 2.70 23.1 5.473 3.919 2.698 1.716 0.930

0.0586 2.72 43.5 7.486 5.601 4.050 2.665 1.588

0.0833 2.76 85.6 10.354 7.992 5.984 4.275 2.791

0.1196 2.79 165 13.983 10.930 8.359 6.168 4.342

0.1735 2.79 322 18.712 14.386 10.979 8.605 6.495

0.2344 2.79 5.9 21.874 17.192 13.333 10.636 8.192

0.3287 2.79 848 25.980 20.882 16.807 13.617 10.681

0.4018 2.79 1208 30.277 23.819 19.382 15.741 12.380


0,10

1,00

10,00

100,00

1000,00

10000,00

0,1 1 10 100 1000 10000


Coe

ficie

nte

de a

rras

tre

CD

Caliza

Cuarzo

Arena

ϕ=0.0

ϕ=0.1

ϕ=0.2

ϕ=0.3

ϕ=0.4

Fig. 4.18 Coeficiente de arrastre para suspensiones de partículas irregulares de caliza, cuarzo y arena en función del número de Reynolds, usando el diámetro equivalente como medición del tamaño a cinco valores de concentración (Concha y Christiansen 1986).

( ) ( ) ( ) 2

0D 0 1 2

, ,C , , C , , 1

Re�

δ ψ λ ϕψ λ ϕ = ψ λ ϕ +

(4.78)

( ) ( )( ) ( )

21 220* 3 2

p 1 2 20 0

, ,1 4u , , 1 d * 1

4 d* C , , , ,

�

� �

δ ψ λ ϕ ψ λ ϕ = + − ψ λ ϕ δ ψ λ ϕ (4.79)

donde ψ es la esfericidad, λ el cuociente de densidades del sólido y el fluido y ϕ la concentración de sólido. Al igual que en el caso de suspensiones de esferas y de partículas isométricas, supondremos que las contribuciones de estos parámetros se puede separar:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 A C EC , , C f f fψ λ ϕ = ψ λ ϕ� (4.80)

( ) ( ) ( ) ( )0 0 B D F, , f f fδ ψ λ ϕ = δ ψ λ ϕ� (4.81)

y que los valores de fA a fD son los definidos por las expresiones (4.69), (4.72), (4.70) y (4.71). Concha y Christiansen (1986):

( )A5.42 4.75

f0.67

− ψψ =


( )1 2

B5.42 4.75

f 0.843log0.67 0.065

−− ψ ψ ψ =

( ) 1 18Cf

−λ = λ

( ) 1 36Df λ = λ

Basados en los datos de la tabla 4.3 encontraron las siguientes expresiones para las funciones fE y fF:

0.89957

Ef 1 2.23151

ϕ= + − ϕ (4.82)

1.4191

F1

f 1 1.65561

= + ϕ − ϕ

(4.83)

Obviamente que los parámetros numéricos de las dos expresiones anteriores son solamente válidos para las partículas cuyos datos están en la tabla 4.3.

Factor de forma hidrodinámico

Uno de los problemas encontrados para usar estas ecuaciones es que los valores de la esfericidad geométrica, de terminada para las partículas por cualquier método, no ha podido ser correlacionado con los valores de la velocidad de fluidización o sedimentación, como por ejemplo con los valores de la tabla 4.3. Por ello Concha y Christiansen (1986) definieron una esfericidad hidrodinámica efectiva. Para ello, usaron las ecuaciones fA a fD, definidas para partículas isométricas, y re-calcularon el valor de la esfericidad de los datos de la tabla 4.3. Como la forma de estas partículas no era igual para todo el rango de tamaños, se escribió la esfericidad hidrodinámica como una función del tamaño de partícula. En el caso de los datos de la tabla 4.3 esa función fue:

20 1 e 2 eA A d A dψ = + + (4.84)

con los valores de A0, A1 y A2 indicados en la tabla 4.4.

Tabla 4.4 Parámetros de la ecuación (4.84)

Parámetro Caliza Cuarzo Arena

A0 0.81540 0.87806 0.80399

A1 -0.27614 -1.13983 0.04100

A2 -0.03624 1.56763 -0.33082

Error relativo % 1.5 1.2 1.6


Según los cálculos anteriores, la esfericidad hidrodinámica efectiva de una partícula de forma arbitraria quedaría definida como: "la esfericidad de una partícula isométrica que sufre el mismo arrastre (volumen) y tiene la misma velocidad de sedimentación que la partícula".

Coeficiente de arrastre y velocidad de sedimentación modificados

Se puede obtener una correlación única para el coeficiente de arrastre y la velocidad de sedimentación de suspensiones de partículas de forma arbitraria, definiendo un coeficiente de arrastre modificado y una velocidad de sedimentación modificada:

( )

( ) ( ) ( )D

DMA C E

C ,C

f f f

ψ λ=

ψ λ ϕ (4.85)

( ) ( ) ( )M 2 2 2

B D F

ReRe

f f f

= ψ λ ϕ

(4.86)

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )*e*

eM 1 3 2 32 2 2A C E B D E

d ,d

f f f f f f

ψ λ=

ψ ψ ϕ ψ λ ϕ (4.87)

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )*p*

pM 1 3 1 32 2 2B D F A C E

u ,u

f f f f f f−

ψ λ=

ψ λ ϕ ψ λ ϕ (4.88)

Las figuras 4.19 and 4.20 muestran las correlaciones unificadas para los datos de la tabla 4.3.

Ejemplo 8

Calcular la velocidad de fluidización de una suspensión de 35% de sólidos en peso de partículas de cuarzo de 250 micrones y densidad 2.65 g/cm3 en agua a 25°C. Del problema 7 tenemos la siguiente información:

3 3f s f

A B C D

0.9964 g cm , 2.65 g cm , 0.0112 g cms , P 0.003877 , Q 2.900

f ( ) 2.3754 , f ( ) 0.67581 , f ( ) 0.9473 , f ( ) 1.0274

ρ = ρ = µ = = =ψ = ψ = λ = λ =

0.9964 350.1684

2.65 (100 35) 0.9964 35

×ϕ = =× − + ×

0.89957

E

0.1684f 1 2.2315 1.5305

1 0.1684 = + = −

1.4191

F

0.1684f 1 1.6556 0.1684 1.0207

1 0.1684 = + × × = −


1,0E-01

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

1,0E+03

1,0E-01 1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04

Número de Reynolds Modificado ReM

Coe

ficie

nte

de A

rras

tre

Mod

ifica

do C

DM

Fig. 4.19 Coeficiente de arrastre unificado versus número de Reynolds modificado para partículas de caliza, cuarzo y arena (Los mismos datos de la figura 4.16 de Concha y Christiansen 1986)

0.1

1

10

100

1 10 100 1000

Tamaño adimensional d*

Vel

ocid

ad a

dim

ensi

onal

u*

Fig. 4.20 Velocidad de sedimentación unificada versus tamaño modificado para partículas de caliza, cuarzo y arena. (Concha y Christiansen 1986).


( ) ( )0 B D F, . 9.08 f ( )f ( )f 9.08 0.6758 1.0275 1.0207 6.4357�δ ψ λ ϕ = × ψ λ ϕ = × × × =

( ) ( )0 A C EC , 0.28 f ( )f ( )f 0.28 2.3753 0.9471 1.5305 0.9641� ψ λ = × ψ λ ϕ = × × × =

4

3

d 250 10d* 6.448

P 3.877 10

−

−

×= = =×

( ) ( )( ) ( )

21 220* 3 2

p 1 2 20 0

, ,1 4u , , 1 d * 1

4 d* C , , , ,

�

� �

δ ψ λ ϕ ψ λ ϕ = + − ψ λ ϕ δ ψ λ ϕ =

( ) ( )

( ) ( )

21 22 3 2

1 2 2

6.4357 4 6.435711 1 2.44

4 6.448 0.9641 6.4357

× = + − =

*r pv u Q u 2.9 2.44 7.076 cm s= = × = × =

La velocidad de fluidización q está dada por:

rq (1 )v (1 0.1684) 7.076 5.884 cm s= − − ϕ = − − × = −

La dirección del flujo es contraria al de sedimentación de las partículas.

4.2 REFERENCIAS

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CAPÍTULO 5

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