Capítulo 3. Modelado de aeronaves

Pág. 33

3.1 Introducción

En el contexto de la Ingeniería, modelar consiste en crear una representación matemática de

un sistema real de forma que, con cierto nivel de exactitud, puedan reproducirse y predecirse

los comportamientos del mismo. No hay que olvidar que un modelo no es más que una

aproximación al mundo real que es siempre demasiado complejo para ser contemplado en su

totalidad. Además, en función de la aplicación, un modelo demasiado detallado puede ser

contraproducente, pues supone un gran costo de desarrollo y computación que puede no

aporta información relevante para el caso a estudio.

La importancia de los modelos en el mundo de la aeronáutica en general, y para los UAS en

particular depende de tres puntos:

- Permiten determinar las actuaciones (performance) del aparato, de forma que es

crucial en el proceso de diseño o rediseño (modificaciones, cargas de pago

específicas…)

- Pueden ser empleados para desarrollar algoritmos de control mediante técnicas de

control basado en modelo, tales como el control predictivo, pole placement…

- Permiten realizar simulaciones que ayudan tanto al entrenamiento de pilotos como al

ajuste y validación del sistema de control de vuelo (FCS, Flight Control System). Esto

resulta de vital importancia, ya que el coste de realizar ensayos en vuelo, así como el

riesgo que supone testar por primera vez un complejo entramado de hardware,

algoritmos de estimación, algoritmos de control es elevadísimo

3.2 Sistemas de referencia

Para describir el movimiento de la aeronave es necesario empelar diferentes sistemas de

coordenadas, ya que diferentes variables se proyectan con mayor facilidad sobre

determinados ejes. Los más relevantes son (Pamadi 2004):

- Sistemas ECEF (Earth Centered Eath Fixed): sistema con origen en el centro

de masas de la Tierra y que se mueve solidariamente a él. El eje x coincide con la

intersección entre el meridiano de Greenwich y el ecuador y el eje z con el de rotación

terrestre.

- Sistema ejes navegación: se define tangente a la superficie de la tierra en un

punto de referencia. El eje apunta hacia el centro de la Tierra y el hacia el norte

- Sistema ejes cuerpo origen en el centro de masas de la aeronave. Las

direcciones son, según cierta referencia, hacia delante, hacia la derecha y

hacia abajo respectivamente. Dos casos particulares son:

Capítulo 3. Modelado de aeronaves

Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos

Pág. 34

- Sistema Ejes estabilidad : El eje coincide con la posición de equilibrio y el

eje es perpendicular al plano de simetría (de haberlo)

- Sistema Ejes viento : El eje está alineado con la corriente aguas arriba.

- Todos estos sistemas pueden apreciarse en la Figura 1.

Fig. 3-1. Sistemas de referencia empleados

3.3 Modelado mecánico

Aunque en la realidad una aeronave se comporta como un sólido deformable, con apreciables

deflexiones, como en el caso de la flexión alar, los efectos aeroelásticos son poco significativos

excepto en casos muy concretos, como el flutter o la divergencia. Así pues puede emplearse en

un amplio régimen de funcionamiento que el modelo como sólido rígido es suficientemente

preciso para analizar la dinámica.

Las ecuaciones que rigen este tipo de cuerpo son las ecuaciones de Euler (Pamadi 2004):

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Capítulo 3. Modelado de aeronaves

Pág. 35

A partir de las cuáles se obtiene el movimiento conocidas las fuerzas, que en el caso de aviones

son:

Donde

- u, v, w son las proyecciones sobre cada eje de la velocidad lineal

- , , y , , son las componentes de los vectores de fuerzas y momentos

torales y

- p, q, r son las componentes del vector velocidad angular

- , , son los ángulos de Euler y sus respectivas derivadas

3.4 Modelado de fuerzas

3.4.1 Fuerzas másicas Son las debidas a la fuerza gravitatoria. Puesto que las ecuaciones se plantean en ejes cuerpo,

la proyección del vector de la gravedad es:

(

( )

( ) ( )

( ) ( ))

3.4.2 Fuerzas aerodinámicas El cálculo de fuerzas aerodinámicas se realiza habitualmente en ejes viento por ser el

planteamiento natural del problema. Las fuerzas en la dirección de los ejes viento se

denominan resistencia, fuerza lateral y sustentación. La transformación de un sistema a otro es

(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)

Asimismo es común sustituir las velocidades ( ) por los valores ( ), siendo

(

) (

)

Por último, para reducir el número de variables independientes, se definen unos coeficientes

adimensionales obtenidos del análisis dimensional de las ecuaciones de Euler:

Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos

Pág. 36

El cálculo de las fuerzas aerodinámicas se reduce a calcular estos coeficientes para condición

de vuelo.

Como la resolución del problema aerodinámico es en sí mismo es muy complejo, es común en

la literatura se emplea la aproximación de Byron que establece una dependencia lineal de cada

fuerza y momento con cada variable. A las pendientes de estas rectas se les denomina

derivadas de estabilidad (Nelson 1998).

Un elemento importante a tener en cuenta con la definición de derivadas de estabilidad es que

si se definen como la derivada respecto un valor adimensional respecto a cada variable, será

un valor dimensional. Para solucionarlo se emplean las derivadas adimensionalizadas que son

de la forma:

Donde si

{ } { }

{ } { }

El cálculo de las derivadas de estabilidad puede realizarse por cuatro medios:

- Modelos analíticos simplificados

- Ensayos experimentales

- Relaciones semiempíricas

- Cálculo numérico

Este último caso es el más empleado por proporcionar una buena aproximación a la realidad

sin necesidad de llevar a cabo costosos ensayos.

Capítulo 3. Modelado de aeronaves

Pág. 37

3.4.3 Cálculo de derivadas de estabilidad El problema aerodinámico se reduce al cálculo de los coeficientes anteriores. Tal y como se

indicó anteriormente se opta por el cálculo numérico.

Existen diferentes algoritmos capaces de resolver el flujo en torno a un avión. De entre ellos

uno de los más eficientes en complejidad frente a precisión es el Vortex Lattice Method o

Método de la malla de torbellinos (Mason 1998).

En él, se suplen las superficies sustentadores por una serie de singularidades de tipo torbellino

y se calculan el campo de velocidades y, a partir de él, el de presiones. Es importante destacar

que el VLM es un método potencial y, por tanto, es incapaz de retener efectos viscosos.

Este algoritmo se encuentra implementado en diferentes software, varios de ellos de carácter

libre. Uno de los más habituales es AVL (Drela, AVL User guide 2006) (Athena Vortex Lattice) o

Tornado (Ltd. 2008).

El funcionamiento básico de estos programas consiste en definir la geometría y las condiciones

de contorno e iniciales mediante una API a modo de preprocesador. Posteriormente se ejecuta

el algoritmo y a continuación se puede acceder a los resultados, entre los cuales, se hallan las

derivadas de estabilidad.

3.4.4 Fuerzas propulsivas El sistema propulsor es la fuente de la energía de la aeronave y, por tanto, responsable último

del movimiento.

Si el motor está alineado con la línea de referencia del avión, las acciones que éste produce

sobre el mismo son, en ejes cuerpo:

( ) (

)

En el caso de aviones de hélice consta de dos elementos claramente diferenciados: el motor y

la hélice. La relación entre ambos es, evidentemente, que la velocidad de giro común a ambos

viene dada por los momentos que cada uno induce en el eje. Matemáticamente:

Así son necesarios los modelos de los momentos producidos.

Una vez determinada la velocidad de giro, el estudio de la hélice proporciona el empuje

obtenido.

3.4.4.1 Motor eléctrico

Existen formas de relacionar la potencia de entrada frente al par producido en un motor

eléctrico. Habitualmente las fuentes de alimentación son de tensión y la variable de control es

un potenciómetro que regula la tensión de entrada, siendo ésta la variable manipulable.

Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos

Pág. 38

Un modelo de motor brushless es (Drela, First order DC electric model 2007):

((

)

)

3.4.4.2 Hélice

Determinar las características de la hélice equivale a calcular los valores del empuje, el

momento resistivo y la potencia necesaria para condición de vuelo. Habitualmente éstas tres

magnitudes se representan de forma adimensional de forma que el número de variables

independientes se minimiza. Así se definen los coeficientes adimensionales de empuje, par y

potencia como2:

Se puede demostrar que los tres coeficientes dependen de una sola variable denominada radio

de avance J, que se define como:

Existen, al igual que en el caso de las derivadas de estabilidad, códigos CFD que proporcionan

los valores ( ), ( ) y ( ).

3.5 Trimado

A priori la condición inicial de cada uno de los estados no es conocida, sino que sólo se

conocen la altura y la velocidad. Para relacionar ambos se impone la condición de equilibrio (se

supone que en el instante inicial el avión está trimado) y se determinan los valores de los

estados y los actuadores asociados. Para ello se realiza una aproximación analítica que

desprecian términos de orden superior (tales como el incremento de resistencia producida por

la deflexión de los alerones frente a la resistencia total del aparato).

El procedimiento se realiza partiendo de una altura de operación y una velocidad de vuelo, a

partir de ellos:

1. Se supone que el avión es simétrico, de forma que si la posición de equilibrio es de

vuelo simétrico, no aparecen fuerzas lateral-direccionales.

2. Se calcula analíticamente el trimado longitudinal suponiendo posición estacionaria.

2 Existen diferentes definiciones de estos coeficientes. Cuál se emplee es independiente

siempre y cuando se sea coherente en el método de cálculo.

Capítulo 3. Modelado de aeronaves

Pág. 39

3. Se calcula numéricamente el punto de funcionamiento del motor

4. Se calcula las acciones de los alerones necesarias para compensar el momento de la

hélice.

Evidentemente este proceso es sólo una aproximación, pero proporciona resultados

satisfactorios.

Una vez determinado el trimado se puede simular para velocidad y altura el vuelo de la

aeronave.

3.6 Programación

La forma de resolverlo es mediante los comandos ode de Matlab. Existen diferentes solvers

que implementan distintos algoritmos. Para decantarse por uno u otro existen dos aspectos a

tener en cuenta: implementación implícita frente a explícita y rigidez del sistema.

Para más información consultar la ayuda de Matlab (Mathworks 2009).

3.7 Linealización

Las técnicas habituales de control se basan en sistemas lineales (transformada de Laplace,

descripción en variables de estado), de modo que, a priori, el sistema descrito no es útil para el

diseño de un controlador.

Para superar esta limitación es habitual recurrir a una linealización del sistema en el punto de

equilibrio (Slotine 1991) de forma que las técnicas de control lineal sean aplicables.

( ) Linealización

Donde

(

)

(

)

Esta linealización puede llevarse a cabo de forma analítica o numérica. Al relizarla según el

primer procedimiento, puede demostrarse que el problema se reduce a dos movimientos

desacoplados: uno longitudinal y otro lateral direccional. De esta forma se reduce las

dimensiones del sistema.

Esta separación presenta la ventaja de permitir analizar y controlar el movimiento de la

aeronave más fácilmente, fundamentalmente mediante la compensación de modos como el

Phogoide, el Short Period, el Dutch Roll y el espiral (Etkin 1959).

3.8 Aplicación

Lo expuesto en los apartados anteriores se ha aplicado al caso del Viewer, un UAV de

pequeñas dimensiones (3,2 m de envergadura, 8 kg de MTOW). La Fig. 3-2 muestra un modelo

Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos

Pág. 40

realizado mediante Diseño asistido por ordenador (CAD, Computer Assisted Design) que

reproduce fielmente la fisionomía del Viewer. Hay que tener en cuenta que este tipo de

representaciones, si bien es cierto que son muy útiles para ciertos aspectos como la creación

de planos o la ubicación de sistemas, es innecesariamente detallado para otros como puede

ser ciertos cálculos aerodinámicos. En efecto, a efectos de sustentación la forma específica del

fuselaje no es significativa. Además, el algoritmo CFD empleado se basa en trabajar con

superficies sustentadoras, siendo su aplicación dudosa para cuerpos esbeltos. Por todo ello, a

efectos aerodinámicos se desarrolló el modelo mostrado en la Fig. 3-3, donde se busca

reproducir fielmente las superficies sustentadoras (ala y estabilizadores) en detrimento del

fuselaje.

Fig. 3-2. Modelo CAD del Viewer

Fig. 3-3. Modelo empleado para el cálculoo aerodinámico

Capítulo 3. Modelado de aeronaves

Pág. 41

Una vez realizado el cálculo aerodinámicos se puede simular el modelo. Los resultados

obtenidos se muestras en las Fig. 3-4 a Fig. 3-7.

Para mostrar los resultados se ha optado por representar para cada variable de control la

evolución de la variable dominante (por ejemplo, ángulo de alabeo en función de los aleones).

Cada figura contiene dos curvas correspondientes a la simulación del sistema real – no lineal

(en azul) y al sistema linealizado numéricamente (en rojo).

Fig. 3-4. Respuesta ante un escalón en δe

Fig. 3-5. Respuesta ante un escalón en δa

Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos

Pág. 42

Fig. 3-6. Respuesta ante un escalón en δr

Fig. 3-7. Respuesta ante un escalón en δT

De las gráficas anteriores puede apreciarse que:

Capítulo 3. Modelado de aeronaves

Pág. 43

1- La respuesta del sistema real (no lineal) es físicamente consistente en el sentido que el

modelo hace lo que cabría esperar. Por ejemplo, al aumentar la potencia aumenta la

velocidad de vuelo.

2- El sistema linealizado muestra un comportamiento muy similar al no lineal

3.9 Otros tipos de aeronaves

En este capítulo se ha tratado el modelado de aeronaves de ala fija, sin tratarse, hasta ahora,

aquellas cuya sustentación se basa rotores. Sin embargo puede apreciarse que existen

numerosos robots aéreos basados en este tipo de plataformas. Principalmente en el mundo de

la investigación, el empleo de helicópteros, quadrotors y aparatos similares llega incluso a

superar a la tipología de avión. Por tanto se dedicará una sección para dar unas pinceladas

acerca del modelado de estos aparatos.

3.9.1 Quadrotors Los quadrotors son un tipo de aeronaves de ala rotatorias muy empleados para el desarrollo

de controladores por su simplicidad y su gran estabilidad.

Un quadrotor consta de una estructura ligera, típicamente cruciforme, que soporta en sus

extremos cuatro rotores. El sentido de giro de dos de ellos es siempre opuesto al de los otros

dos de forma que se obtenga estabilidad de azimuth. El movimiento ascensional se consigue

modificando la potencia de forma uniforme mientras que el giro sobre cualquier eje se

consigue modificando de forma diferencial la potencia de los rotores dos a dos.

Un modelo detallado de la dinámica de un quadrotor puede obtenerse de (Bouabdallah 2005)

Por último comentar que el concepto de quadrotor se ha generalizado y existen aparatos con

diferente número de rotores, denominado como polirrotores y de todas las dimensiones.

Como ejemplo sirva el MD4-1000 de microdrones (diámetro 1,01 m., MTOW 5,550 kg).

3.9.2 Helicópteros Aunque la dinámica de un helicóptero es significativamente más compleja que la de los

quadrotors, las prestaciones y la flexibilidad de peso que estos proporcionan es muy superior a

los anteriores.

La aerodinámica de un helicóptero es un problema complejo en el que, por la interacción de la

estela de cada pala con la siguiente y el fuerte carácter rotacional no es posible aplicar

algoritmos como el VLM.

Existen aproximaciones sencillas de la aerodinámica, de entre la que cabe destacar la teoría

del elemento de pala (BET, Blade Elementum Theory). Textos como (Bramwell 2001) muestran

cómo aplicar el BET para realizar estimaciones de las derivadas de estabilidad.

Para el caso de helicópteros de pequeño tamaño, donde la relación de masas entre rotor

principal y fuselaje es muy significativa, la velocidad rotacional de las palas es mayor y la

Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos

Pág. 44

rigidez de la unión pala-cabeza del rotor es más elevada que la de los habituales rotores

flexibles de los helicópteros habituales, es posible emplear modelos mecánicos específicos que

simplifican las ecuaciones (Du 2008).