Capítulo 4. Técnicas de control aplicadas a...

Capítulo 4. Técnicas de control aplicadas a aeronaves

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4.1 Introducción

En la aviación actual, el empleo de los sistemas de control es un elemento crucial. Es evidente

que en el caso de los UASs es imprescindible disponer de un sistema de control de capaz de

seguir un plan de vuelo, pero la necesidad de los sistemas de control va más allá.

Por un lado, ha de tenerse en cuenta que la envolvente de vuelo de un avión es típicamente

muy amplia, cubriendo grandes rangos de presión dinámica. Esto hace que, aunque se diseñe

una aeronave para poseer ciertas propiedades de estabilidad (absoluta y relativa), ésta puede

degradarse e incluso perderse en puntos de la envolvente, siendo necesario ayudar al piloto

mediante un controlador.

Existen además otros casos en que el Sistema de Control de vuelo (FCS) es fundamental, como

en el diseño de aviones de combate modernos que, para mejorar su maniobrabilidad, son

diseñados de forma inestable siendo únicamente pilotables mediante un sistema de control

adecuado.

Los autopilotos también pueden emplearse para elementos menos críticos, como reducir la

carga de trabajo de las tripulaciones (como en el caso de aviones comerciales de larga

autonomía) o para mejorar la eficiencia del vuelo (consumo de combustible, reducción de

ruidos...).

En este capítulo se expondrán las características generales de las diferentes estrategias de

control para posteriormente aplicar las más potentes de ellas en aplicaciones concretas. En

concreto se intentará controlar la dinámica del navion, una aeronave que, si bien es tripulada,

es vastamente empleada en el mundo del control por ser bien conocida su dinámica y por

poseer características representativas de un amplio segmento de aeronaves.

4.2 Características del control de aeronaves

Desde un punto de pista de la Teoría de Control las aeronaves son sistemas multivariables, no

lineales y sujetos a restricciones con una dinámica rápida.

La no linealidad suele afrontarse mediante linealización que depende del punto de operación,

obteniéndose diferentes modelos en cada uno de ellos. Cada avión posee una zona de

operación amplia denominada envolvente de vuelo (Fig. 4-1). Esta envolvente depende de

muchos parámetros, tales como geometría (por ejemplo empleo de flaps o variación de la

flecha del ala), másicos (combustible, carga de pago), condiciones meteorológicas… En

Capítulo 4. Técnicas de control

aplicadas a aeronaves

Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos

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cualquier caso, el rango de operación para una configuración dada puede expresarse mediante

diferentes variables, siendo las más comunes la velocidad y el factor de carga. Sin embargo, en

nuestro caso es más representativo emplear el Mach y la altura.

Fig. 4-1: Ejemplo envolvente de vuelo de una aeronave

Donde cada línea representa una restricción que no puede ser físicamente sobrepasada y

por tanto el movimiento de la aeronave se constriñe al área delimitada por estas limitaciones.

4.3 Control basado en PID

Las técnicas clásicas de control se basan en realimentar la señal a controlar, compararla con la

referencia a seguir y generar una señal del control que depende del error obtenido. La opción

más extendida en el mundo del control es emplear una relación del tipo proporcional,

derivativa e integral, es decir:

El ajuste de las ganancias K permite modificar la dinámica del sistema, aunque ha de tenerse

en cuenta que un controlador PID sólo posee tres grados de libertad y puede ser insuficiente

para estabilizar sistemas lineales de orden mayor a dos o no lineales.

El control PID se ha empleado con gran éxito al mundo de las aeronaves (Pamadi 2004).

Existen tres aspectos clave para su empleo:


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- Ajuste de los parámetros: puede realizarse de dos formas: según el análisis entrada-salida

o en base a modelo. El primer planteamiento consiste en ir probando diferentes entradas y

analizar la respuesta. A raíz de aquí se modifican las ganancias de los controladores

- Planificación de ganancias (Gain Scheduling): el ajuste de los controladores depende del

punto de operación de la aeronave. Como se mostró en 4.2, la envolvente de operaciones

de la aeronave es amplia y da lugar a múltiples dinámicas. Por tanto, será necesario ajustar

diferentes valores de las ganancias para diferentes puntos de operación, estableciéndose

un compromiso entre número de puntos calculados y robustez de los mismos. En cualquier

caso en necesario definir una lógica, tal como una máquina de estados, que sea capaz de

gestionar las transiciones entre diferentes puntos.

- Tratamiento multivariable: la implementación de controladores PID en sistemas MIMO

puede producir algunas dificultades a la hora de plantear el control. Existen dos

metodologías para resolver este problema. La primera se basa en emplear un controlador

desacoplante de modo que el sistema final sea equivalente a un conjunto de sistemas

SISO. El otro enfoque consiste en realizar asignaciones entrada-salida de modo que cada

salida sea controlada por una sola señal de control. Como existen interacciones internas, el

controlador de cada sistema SISO debe ser capaz de cancelar esos efectos cruzados como

se tratasen de perturbaciones.

4.4 Otras técnicas de control

Las limitaciones del control clásico, control multivariable, tratamiento de restricción y carácter

subóptimo llevaron a desarrollar algoritmos más potentes de control. En esta sección se

comentarán, a grandes rasgos, algunas de ellas

- LQR

- Control Predictivo

- Control Robusto

4.4.1 Control LQR El diseño de un controlador lineal cuadrático (Gopal 1984) (LQR de sus siglas en inglés) es un

procedimiento de optimización de asignación de polos. Se basa en realimentar el sistema con

estado con un matriz de ganancia K tal que minimice una función de coste cuadrática definida,

en tiempo discreto, como:

∑( ( ) ( ) ( ) ( ))

Donde Q y R son las matrices de coste del estado y de control respectivamente.

El mínimo de la función de coste J viene dado por la ecuación de Ricatti:

Donde S es la solución a obtener.


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Con esto la ley de control LQR viene dada por

( ) ( )

El LQR presenta la ventaja frente al PID de tratar de forma directa el aspecto multivariable y de

poseer un carácter óptimo

4.4.2 Control predictivo El control predictivo tiene como objetivo resolver de forma óptima, problemas de control y

automatización de procesos industriales que se caractericen por presentar un comportamiento

dinámico complicado, multivariable, y/o inestable (Díaz 2006). La estrategia de control en que

se basa este tipo de control, utiliza el modelo matemático del proceso a controlar para

predecir el comportamiento futuro de dicho sistema, y en base a este comportamiento futuro

puede predecir la señal de control futura.

Puede definirse como una estrategia de control que se basa en la utilización de forma explícita

de un modelo matemático interno del proceso a controlar (modelo de predicción), el cual se

utiliza para predecir la evolución de las variables a controlar a lo largo de un horizonte

temporal de predicción especificado por el operador, de este modo se puede calcular las

variables manipuladas futuras (señal de control futura) para lograr que en dicho horizonte, las

variables controladas converjan en sus respectivos valores de referencia.

El MPC se enmarca dentro de los controladores óptimos, es decir, aquellos en los que las

actuaciones responden a la optimización de un criterio. El criterio a optimizar, o función de

coste, está relacionado con el comportamiento futuro del sistema, que se predice gracias a un

modelo dinámico del mismo, denominado modelo de predicción.

El intervalo de tiempo futuro que se considera en la optimización se denomina horizonte de

predicción. Dado que el comportamiento futuro del sistema depende de las actuaciones que

se aplican a lo largo del horizonte de predicción, son éstas las variables de decisión respecto a

las que se optimiza el sistema. La aplicación de estas actuaciones sobre el sistema conduce a

un control en bucle abierto.

La posible discrepancia entre el comportamiento predicho y el comportamiento real del

sistema crean la necesidad de imponer cierta robustez al sistema incorporando realimentación

del mismo. Esta realimentación se consigue gracias a la técnica del horizonte deslizante que

consiste en aplicar las actuaciones obtenidas durante un periodo de tiempo, tras el cual se

muestrea el estado del sistema y se resuelve un nuevo problema de optimización. De esta

manera, el horizonte de predicción se va deslizando a lo largo del tiempo.

Una de las propiedades más atractivas del MPC es su formulación abierta, que permite la

incorporación de distintos tipos de modelos de predicción, sean lineales o no lineales,

monovariables o multivariables, y la consideración de restricciones sobre las señales del

sistema. Esto hace que sea una estrategia muy utilizada en diversas áreas del control. El CPBM


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es una de las pocas técnicas que permiten controlar sistemas con restricciones incorporando

éstas en el propio diseño del controlador (Bordons 1995).

Estas características han hecho del control predictivo una de las escasas estrategias de control

avanzado con un impacto importante en problemas de ámbito industrial Por tal motivo es

importante resaltar que el control predictivo se ha desarrollado en el mundo de la industria, y

ha sido la comunidad investigadora la que se ha esforzado en dar un soporte teórico a los

resultados prácticos obtenidos.

Merece la pena destacar que el control predictivo es una técnica muy potente que permite

formular controladores para sistemas complejos y con restricciones. Esta potencia tiene un

precio asociado: el coste computacional y la sintonización del controlador. Recientes avances

en el campo del MPC proveen un conocimiento más profundo de estos controladores,

obteniéndose resultados que permiten relajar estos requerimientos. Así por ejemplo, se han

establecido condiciones generales para garantizar la estabilidad (Mayne 2001), condiciones

bajo las cuales se puede relajar el carácter optimal del controlador garantizando su estabilidad

(Scokaert & Mayne 1998).

Entre las ventajas se pueden citar:

- Formulación en el dominio del tiempo, lo cual le permite ser una técnica flexible,

abierta e intuitiva.

- Permite tratar con sistemas lineales y no lineales, mono y multivariables utilizando la

misma formulación para los algoritmos del controlador.

- La ley de control responde a criterios de optimización.

- Permite la incorporación de restricciones en la síntesis o implementación del

controlador.

- Brinda la posibilidad de incorporar restricciones en el cálculo de las actuaciones

Sus principales limitaciones son

- Requiere el conocimiento de un modelo dinámico del sistema suficientemente preciso.

- Requiere un algoritmo de optimización, por lo que solo se podría implementarse por

medio de una computadora.

- Requiere un alto coste computacional, lo que hace difícil su aplicación a sistemas

rápidos.

- Hasta hace relativamente poco, no se podía garantizar la estabilidad de los

controladores, especialmente en el caso con restricciones. Esto hacía que el ajuste de

estos controladores fuese heurístico y sin un conocimiento de cómo podían influir los

parámetros en la estabilidad del sistema.

El control predictivo puede entenderse como una generalización del control LQR en el que

ahora la función de coste no se establece entre el instante presente y un tiempo indefinido,

sino que se optimiza el seguimiento en un tiempo específico.


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Matemáticamente, esto se impone modificando la funcional a optimizar J de la siguiente forma

(Camacho 1999)

( ) ∑ ( )[ ( | ) ( )] ∑ ( )[ ( )]

Donde N1 y N2 mínimo y máximo horizonte de coste y ( ) y ( )pesos de ponderación y ω la

referencia a seguir.

La resolución de esta ecuación puede abordarse de forma analítica en el caso de ausencia de

restricciones o de forma numérica de forma general.

4.4.3 Control Robusto Las técnicas de control robusto permiten, dada una planta nominal y una serie de

incertidumbres sobre la misma, garantizar ciertas características de comportamiento de la

familia de plantas asociadas mediante el empleo de un único controlador. Es decir, el control

robusto tiene una doble vertiente: contra la incertidumbre como frente a los distintos

comportamientos en diferentes puntos de operación (Stengel 1991).

Uno de los algoritmos de control robusto más extendido es el , que dada una planta

generalizada P(s), busca calcular un controlador K(s) que atenúe la relación entre la energía del

vector objetivo, z, y la del vector de perturbaciones, ω, siendo γ la atenuación conseguida

(Corchero 2004).

Fig. 4-2: Planta generalizada en la nomenclatura del problema Hoo

La elección del vector objetivo determina el tipo de problema y los parámetros que se tienen

en cuenta. Del estudio de las ecuaciones habituales de los sistemas dinámicos puede

expresarse la respuesta de un sistema en función de una serie de funciones denominadas de

sensibilidad S, y de sensibilidad complementaria T.


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( )

( )

( )

Fig. 4-3: Esquema general de la planta con perturbaciones y ruidos

De la inspección de las ecuaciones anteriores Puede concluirse que existen requisitos

contradictorios. En efecto, un buen seguimiento de referencias a valores de T en torno a la

unidad, sin embargo la insensibilidad al ruido conlleva T<1. Este problema puede resolverse

por separación en frecuencia. Así, habitualmente el ruido posee una frecuencia mucho más

alta que las de la planta, lo que permite cumplir ambos objetivos.

Así, existen ciertas limitaciones a las formas de las funciones de sensibilidad

Fig. 4-4: Funciones de sensibilidad para en función de la frecuencia

Para imponer cotas a las funciones de sensibilidad se emplean las funciones de ponderación,

definidas como


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Donde es la función de ponderación de la función de sensibilidad { } y se diseña de

forma que sea una cota superior de la función de sensibilidad para todo , es decir

| ( )| | ( )| | ( ) ( )|

Así, el comportamiento queda definido por las funciones de sensibilidad, y éstas perfiladas por

las funciones de de ponderación. Una de las formas de llegar a un compromiso de estas

funciones, que en su formulación de S/T/KS busca minimizar la expresión

4.5 Control Predictivo aplicado a aeronaves

4.5.1 Implementación Hasta ahora se ha mostrado de forma general cómo afrontar el problema del cálculo de un

controlador predictivo para una aeronave empleando Matlab, así como las ventajas e

inconvenientes que esto conlleva. A continuación se expone el procedimiento concreto

seguido y los resultados obtenidos

4.5.1.1 Proceso de ajuste de controladores

Para poder definir y simular los controladores empleando las herramientas anteriormente

descritas es necesario seguir una serie de pasos

1- Partir de un modelo no lineal en simulink

2- Definir un punto de equilibrio y calcular el estado y la posición de los controles

asociados con el comando trim. Linealizar el sistema con la función linmod y

descomponerlo en uno longitudinal y otro lateral dado por un conjunto de matrices

3- Definir sendos sistemas lineales a partir de las matrices asociadas con la función ss. Es

altamente recomendable que, al definir el sistema, se definan mediante strings los

nombres de las entradas y salidas

4- Calcular un MPC básico para cada sistema con la función mpc

5- Abrir la GUI mpctool e importar los dos modelos con sus respectivos controles básicos

6- Realizar un ajuste avanzado

a. límites de las entradas, la tasa de cambio de los actuadores y la salidas

b. Definir lo suave o fuerte que serán las restricciones

c. Introducir perturbaciones

d. Introducir ruido en las medidas

7- Exportar el controlador al Workspace

8- Definir un modelo en Simulink empleando el bloque MPC controller.


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9- Simular los controladores con sus respectivos modelos y una referencia a seguir.

4.5.1.2 Parámetros de los controladores

En cuanto a los ajustes específicos del controlador, se especifican a continuación:

4.5.2 Restricciones Existen dos tipos de restricciones, las de los actuadores, y la de la salida. Las primeras son

límites físicos de los actuadores, ya sea de su posición como de su tasa de cambio. La segunda

se refiere a la señal de salida, que ha de garantizarse que esté dentro de unos límites.

Las limitaciones de los actuadores habitualmente se afrontan mediante saturaciones de los

controles, pero esto supone que la solución es subóptima e incluso puede convertir el sistema

en inestable. El control predictivo permite tratar directamente con las restricciones para

afrontar estos problemas

Las limitaciones a la salida son muy importantes, ya que permiten acotar el comportamiento

dentro de unos límites deseables o incluso de seguridad (por ejemplo la altura de vuelo ha de

ser superior a la del terreno o la velocidad debe de ser superior a la de entrada en pérdida).

Existen otras formas de imponer restricciones, como forzar una respuesta transitoria de la

señal (por ejemplo para asegurar que la salida sigue de forma monótona a la referencia) o para

garantizar que la aeronave se mueve dentro de la región de validez del la linealización, a partir

de la cual se ha obtenido el controlador.

Dejando a un lado los valores de las restricciones de las salidas, que se especificarán más

adelante, las asociadas a las actuadores son:

- Superficies de control ( ) están limitadas por efectos de desprendimiento de

la corriente. Un valor conservador puede ser el valor de 0.3 rad ( ). Respecto a la

tasa de cambio, se ha supuesto que cada instante (0.1s) puede cambiar hasta 0.05 rad

( ).

- Control de potencia (δT) está escalado a la unidad. Por tanto el valor máximo es 1 y el

mínimo cero, pero ha de terse en cuenta que se expresa respecto al lineal, de forma

que lo extremos dependen del punto de operación

4.5.3 Ajuste del controlador Dejando a un lado las restricciones, que vienen dadas por las limitaciones físicas o de

seguridad del sistema, los parámetros a ajustar desde el punto de vista del control son los

horizontes de control y las funciones de peso.

Puesto que el valor de los coeficientes es relativo a los otros, inicialmente, se decide poner

para las salidas las funciones de peso igual a la unidad. Respecto a los actuadores, para todas

las señales de control se penaliza con un 0.1 el cambio del actuador (se prima la respuesta a la

energía de control). El peso de la señal de control, y no de su incremento, se penaliza con un

0.1 para el motor, pero es nulo para las superficies aerodinámicas (mantener el servo en una

posición no consume energía).


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A continuación se detalla el proceso de ajuste para ambos modos

4.5.3.1 Modo longitudinal

Imponiendo una referencia de 2 m/s a la velocidad y 10 m de altura, con unas restricciones de

(0,3), (0,12) respectivamente, se realizan simulaciones para distintos horizontes de predicción

(p) y control (m).

4.5.3.2 Caso 1: p=m=10

Fig. 4-5. Control Predictivo. Variables longitudinales. Caso 1


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4.5.3.3 Caso 2: p=m=15



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4.5.3.4 Caso 3: p=m=20



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4.5.3.5 Caso 4: p=m=25



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4.5.3.6 Caso 5: p=m=30


A la vista de esto resultados se ve cómo aumentando el horizonte de control va mejorando la

respuesta del sistema, con el consiguiente costo computacional. La mejora es evidente hasta

un horizonte de 25, siendo la mejora aumentando a 30 muy pequeña. La mejora relativa de 20

a 25, aunque significativa es pequeña y la elección de una de las dos depende de la potencia

de cálculo disponible y las especificaciones de performances de la aeronave. En nuestro caso

tomaremos 25.

Una vez fijados los horizontes, ha de tenerse en cuenta que el comportamiento anterior es un

poco ficticio, ya que los constrains se han ajustado para la referencia elegida. Es decir, puesto

que se deseaba que el avión aumentase su altura y su velocidad se ha impuesto como mínimo

el 0 y como máximo un valor algo superior para evitar la sobreoscilación. Un caso más realista


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debería permitir valores positivos y negativos y mayores márgenes de operación en términos

absolutos.

Para unas restricciones de (-5,5) para la velocidad y (-100,100) para la altura, con horizontes

de 25 instantes, se obtiene:

Fig. 4-10. Control Predictivo. Variables longitudinales. Ajuste de pesos

Aunque la altura presenta una respuesta adecuada, puede apreciarse un comportamiento

claramente indeseable de la velocidad, que disminuye hasta su valor mínimo para cambiar

posteriormente al máximo. La razón de esta respuesta inadecuada radica en los pesos de la

función de coste. En efecto, inicialmente ambos poseían el mismo cote unidad, pero las

variaciones de altitud son mucho mayores que la de velocidad, por lo que el controlador tiende

a penalizar mucho la altura, ignorando la velocidad. Para evitar este efecto se definen unos


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nuevos pesos de 11 y 1 para la velocidad y la altura3 (un incremento de 10 m/s se penaliza

tanto como 110 m de altura).

Fig. 4-11. Control Predictivo. Variables longitudinales. Selección pesos ponderación

4.5.4 Modo lateral-direccional Siguiendo un razonamiento similar al del caso anterior, se eligen unos horizontes de 25 y unos

valores de ponderación de 20 y 10 para la guiñada y el alabeo (se toman de orden 10 porque

típicamente los ángulos en radianes son pequeños y la salida ha de primar frente al control).

3 Estos valores se obtienen tras un proceso de ajuste para conseguir minimizar el efecto de no monoticidad de la respuesta.


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Como se referencia se impone seguir unos ángulos de 0.3 radianes (unos 17 ). Este tipo de

excitación se correspondería con un viraje coordinado, en el que para mantener la condición

de vuelo simétrico el avión se alabea a la vez que guiña.

4.5.4.1 Caso 1: p=m=25

Fig. 4-12. Control Predictivo. Variables laterales. Caso 1


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4.5.4.2 Caso 2: p=m=10

Fig. 4-13. Control Predictivo. Variables laterales. Caso 2

Puesto que arenas puede apreciarse diferencia entre ambas, se reduce el horizonte de control

a 10, lo que supone ahorro de tiempo de cálculo. Reducir más aún el horizonte puede ser

excesivo para otro topo de excitaciones.

4.5.5 Simulaciones Con los ajustes anteriores se llevaron a cabo una serie de simulaciones. Un aspecto clave a la

hora de realizar las simulaciones es que ha de tenerse en cuenta que aunque los controladores

se hayan ajustado mediante modelos lineales, la planta real es un sistema no lineal. Por tanto

los MPCs han de ser lo suficientemente robustos para hacer frente a las incertidumbres.


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Con este fin de creó un modelo de simulink que contuviese tanto el sistema no lineal con sus

controladores longitudinales y laterales como los sistemas linealizados con sus respectivos

MPCs. El esquema de modelo puede apreciarse en la Fig. 4-14.

Fig. 4-14. Diagrama de simulink para comparar la respuesta del sistema completo frente a los linealizados

Para facilitar la comprensión del modelo, se ha asignado un código de colores.

- Bloques azules contienen controladores predictivos

- Bloques en naranja contienen modelos de sistemas

- Bloques en verdes contienen referencias

- Bloques en amarillo son simplemente para exportar señales al worspace

- Bloques en blanco son bloques auxiliares que hacen operaciones intermedias

Con estas claves, el diagrama consta de tres partes diferentes que se corresponden con tres

modelos distintos (bloques naranjas). En de la esquina superior izquierda es el modelo no

lineal. El de la parte inferior izquierda es el modelo linealizado longitudinal y el ubicado en la

parte inferior derecha representa la dinámica lateral direccional. Los modos linealizados tienen

cada uno su propio controlador, el modo no lineal necesita ambos.

Los bloques intermedios en blanco se emplean para transformar la salida del sistema de

valores absolutos a valores incrementales respecto a la posición de equilibrio, que son los que

se emplean en los sistemas linealizados y, por tanto, en los MPCs.

Por último indicar que los bloques de referencias contienen un prefiltro para suavizar las

respuestas. Este prefiltro se ajustó como un sistema de primer orden de ganancia unitaria y

constante de tiempo de cinco segundos.

A continuación se muestran los resultados obtenidos al simular este sistema. Para las variables

a controlar se incluye la referencia original, la señal suavizada mediante el prefiltro, la

respuesta del sistema linalizado y la del no lineal.


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4.5.6 Dinámica longitudinal La respuesta de la salida longitudinal sigue fielmente a la referencia, tanto para el sistema

lineal como para el no lineal. El error en régimen permanente es inapreciable y sólo una

pequeña sobreoscilación que empeora la actuación del control en el sistema no lineal (Fig.

4-15 y Fig. 4-16).

Las señales de control, representadas en Fig. 4-17 y Fig. 4-18, muestran cómo el control no

lineal produce una salida mucho más oscilante para el timón de profundidad y un una energía

de control mayor para la señal del motor.

4.5.6.1 Variables controladas

Fig. 4-15. Simulaciones con modelo no lineal. Velocidad

Fig. 4-16. Simulaciones con modelo no lineal. Altitud


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4.5.6.2 Variables Manipulables

Fig. 4-17. Simulaciones con modelo no lineal. Timón de profundidad

Fig. 4-18. Simulaciones con modelo no lineal. Control de potencia

4.5.7 Dinámica lateral-direccional En la Fig. 4-19 y Fig. 4-20 puede apreciarse cómo tanto el sistema lineal como el no lineal

siguen de forma precisa la referencia. Asimismo se pone de manifiesto que aunque el sistema

no lineal siga la referencia adecuadamente, posee una respuesta más lenta que el lineal y,

principalmente, muestra un error en régimen permanente inferiores al 5%.


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La Fig. 4-21 y Fig. 4-22 muestran que las señales de control muestran una evolución similar,

siendo las no lineales ligeramente inferiores.

4.5.7.1 Variables controladas

Fig. 4-19. Simulaciones con modelo no lineal. Alabeo

Fig. 4-20. Simulaciones con modelo no lineal. Guiñada


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4.5.7.2 Variables manipulables

Fig. 4-21. Simulaciones con modelo no lineal. Alerones

Fig. 4-22. Simulaciones con modelo no lineal. Timón de dirección

4.5.8 Control predictivo en tiempo real Existen dos limitaciones al trabajo desarrollado hasta ahora. La primera de ellas es cómo

exportar los controladores calculados con mpctool, ya que el bloque es transparente al usuario

y no se dispone de acceso al código. Este problema puede ser solventado mediante el uso de

Real Time Workshop, una herramienta de Matlab que permite generar código C de sistemas en

tiempo real (The Mathworks 2010).


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La otra gran limitación, que en realidad es la gran cortapisa de los controladores predictivos, es

el costo computacional. Sin embargo el incremento de la potencia de cálculo de los sistemas

embarcados, unido a los bajos requisitos de los controladores sintonizados (muestreo de 0.1 s,

horizontes de 10 y 25 instantes), la ejecución en tiempo real no debería ser un problema.

4.6 Control aplicado a aeronaves

Se mostrará la capacidad de este algoritmo para garantizar, para toda la envolvente de vuelo,

ciertas características de estabilidad mediante un único controlador. Para el caso del Navion, la

envolvente de vuelo viene determinada por:

Como representación de estos rangos de comportamiento se toman tres puntos característicos

Fig. 4-23. Envolvente de vuelo del Navion y puntos seleccionados

4.6.1 Análisis de control Como punto de partida tomemos un modelo de la dinámica lateral-direccional de la aeronave

en variables de estado

Donde y es el vector de salida, x, el vector de estado y u el vector de control

( ) x=( ) ( )


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La elección de estas variables requiere cierta discusión. Como se indica en apartados

anteriores, el avión es un sistema subactuado que requiere decidir que variables emplear.

Por actuaciones del avión, son especialmente de interés

- el ángulo de resbalamiento β, que determina la alineación de la corriente incidente

con el plano de simetría del avión.

- el ángulo de alabeo , que determina la inclinación del plano de punta de alas

respecto al horizonte.

Sin embargo, la función de transferencia del ángulo de alabeo presenta un polo nulo con las

consecuentes dificultades (no cumple estabilidad MIMO, problema mal condicionado…). Por

ello se toma como variable la velocidad angular de alabeo, p, que por simple integración

proporciona

Es bien conocido que el sistema puede cambiarse a notación de funciones de transferencia,

que, si bien contiene menos información del sistema por omitir el estado completo, presenta

ciertas ventajas de manipulación y de comprensión de la planta. La matriz de funciones de

transferencia sería

[ ] [

] [ ]

En nuestro caso, sustituyendo los valores numéricos

G=

Al tener un sistema multivariable caben dos estrategias de control:

- Tratarlo como dos sistemas monovariables independientes, cada uno con su

controlador. Los efectos cruzados serían tratados por cada controlador como

perturbaciones a compensar. Esto presenta la ventaja de simplificar la síntesis del

controlador, pero ha de garantizarse una cota para los efectos cruzados que permita la

viabilidad.

- Tratarlo como un sistema completo, contemplando las dinámicas cruzadas. Esto da

lugar a controladores más potentes pero más costosos de calcular.

Como criterio para la elección de uno u otro suele emplearse la matriz de ganancias relativas,

definida como

( ) ( ) ( ( ))


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Particularizando para se obtiene

( ) [

]

Es matriz de ganancias relativas permite desacoplar el control, es decir, controlar el sistema

2x2 como dos sistemas monovariables. Esto ha de considerarse desde el punto de vista de los

requisitos de diseño y coherencia de modelado. Si en las hipótesis simplificativas hemos

descartado maniobras agresivas (como vuelo a altos ángulos de ataque), ahora hemos de

esperar una respuesta lenta propia de un sistema estable, que permite este tipo de control.

Así, la asignación queda

δa→p δr→β

Cabe plantearse si este resultado es válido para toda la envolvente de vuelo, por lo que se

calcula también para los otros dos puntos de operación

( ) [

] ( ) [

]

Con lo que se valida la hipótesis desacoplante en toda la envolvente.

Una vez dividido el sistema en dos monovariables se procede a la simplificación de los mismos.

En efecto, en la matriz de funciones de transferencia se obtuvieron sistemas de tercer orden

que pueden resultar demasiado costosos para computar. Es conveniente, de cara a los

desarrollos que siguen simplificar estas expresiones. Para ello se emplean los siguientes

criterios

- El sistema ha de conservar la ganancia estática

- Polos y ceros próximos pueden cancelarse si son estables

- Las dinámicas lentas son poco significativas frente a las rápidas.

Con esto las funciones de transferencia que se obtienen son

( )

( )


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( )

Como prueba de la bondad de aproximación realizada, así como para mostrar el

comportamiento de la planta, se muestran las gráficas comparativas de una entrada en

escalón a las funciones originales (en azul) y a las simplificadas (en verde)


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Fig. 4-24: Modelo simplificado frente a original

4.6.2 Cálculo de controladores y simulaciones

4.6.2.1 Control de alabeo

El primer paso es calcular las incertidumbres y definir una función de ponderación que las

acote

Fig. 4-25: Incertidumbre y función de ponderación para p


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Fig. 4-26: Función de transferencia del sistema completo para p

Fig. 4-27: Función de sensibilidad y su ponderación para p


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Fig. 4-28: Función de sensibilidad complementaria y su ponderación para p

El algoritmo con estas funciones de sensibilidad proporciona el controlador

Con factor de atenuación

Fig. 4-29: Simulación en bucle cerrado para p

4.6.2.2 Control de resbalamiento

Se calcula las incertidumbres y se escoge la función de ponderación de sensibilidad

complementaria de forma que sea cota superior de éstas


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Fig. 4-30: Incertidumbre y función de ponderación para beta

Fig. 4-31: Función de transferencia del sistema completo para


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Fig. 4-32: Función de sensibilidad y su ponderación para beta

Fig. 4-33: Función de sensibilidad complementaria y su ponderación para beta

El algoritmo computa estas funciones y calcula, iterativamente el controlador

Que proporciona un factor de atenuación


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Y la simulación en bucle cerrado es

Fig. 4-34: Simulación en bucle cerrado para beta

Puede apreciarse una lenta respuesta del sistema. Tras intentar mejorarla se alcanzó el límite

que impone incertidumbre. En efecto, la respuesta del sistema viene determinada por

frecuencia de corte de , que se ha maximizado con las restricciones anteriores.

4.6.3 Simulación sistema completo Los controladores anteriores, calculados para los sistemas simplificados monovariables, han de

ser testados para el caso de planta completa. La Fig. 4-35 muestra la simulación del sistema

completa con el controlador, donde se muestra la referencia (en azul) y el seguimiento (en

verde).

Fig. 4-35: Simulación del sistema completo en bucle cerrado


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Puede apreciarse como hasta que el valor de β no se estabiliza, no es capaz de hacerlo el

alabeo. El problema radica que precisamente el primer sistema posee una dinámica lenta,

como se comentó en el apartado correspondiente.

4.7 Análisis de las técnicas de control empleadas

En este capítulo se han aplicado técnicas modernas de control para superar las limitaciones

tradicionales del control clásico, a saber, carácter multivariable, optimal, restringido y robusto.

Si bien es cierto que no se ha resuelto el problema completo de realiza la implementación de

un control que reúna todas estas características en tiempo real, el trabajo realizado debe

entenderse como un demostrador de las capacidades de estas técnicas y un primer paso para

su aplicación en sistemas embarcados.

El control predictivo ha mostrado la posibilidad de controlar de forma efectiva la dinámica

completa de un avión mediante sendos controladores linealizados para los modos longitudinal

y lateral-direccional.

Empleando herramientas de diseño de Matlab, se han ajustado los parámetros del controlador

a partir de una combinación de fenomenología física y simulaciones iterativas, obteniendo una

respuesta suficientemente precisa y poco costosa computacionalmente.

Por último, se indican los pasos para generar código C en tiempo real que permita la

implementación de sistemas en tiempo real.

El control robusto ha demostrado cómo es posible, mediante un único controlador, controlar

una aeronave de ala fija en toda su envolvente de vuelo. Aunque la incertidumbre, que es

como el sistema trata las diferencias asociadas al punto de linealización, sea muy acusada el

método es capaz de proporcionar controladores robustos monovariables. Sin embargo, las

prestaciones de la planta en bucle cerrada son mejorables y requieren de otras estrategias que

permita solventar las limitaciones impuestas por las grandes incertidumbres garantizando una

dinámica lo suficientemente rápida.

Quizás, la mejor forma de aunar la facilidad del tratamiento multivariable y el carácter óptimo

y restrictivo del control predictivo con la naturalidad del tratamiento de la robustez del es

mediante el control predictivo robusto. Sin embargo dado los tiempos característicos de la

dinámica de las aeronaves y el costo computacional asociado, requeriría de una potencia de

cálculo que escapa a las capacidades de la mayoría de los sistemas embarcados actuales.

Finalmente, cabe destacar que todos los desarrollos expuestos han sido programados de

forma que sean directamente aplicables a cualquier aeronave sin más que ajustar los

parámetros correspondientes.

Capítulo 4. Técnicas de control aplicadas a...

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