Capítulo 3-mecanismo-de-cuatro-eslabones

CAPÍTULO 3. MECANISMO DE CUATRO ESLABONES

3.1 CONFIGURACIÓN DE UN MECANISMO DE CUATRO ESLABONES Un mecanismo de cuatro eslabones se conforma con cuatro eslabones y con cuatro pares giratorios, Fig 3.1.a, o al reemplazar un par giratorio por pares prismáticos, constituyendo así la familia de mecanismos manivela biela deslizador, Fig 3.1.b.

2

A

4

C

3B

D

1

4

2

A 4

3B

D1

4

C

a) cuadrilatero articulado b) mecanismo manivela biela deslizador

Figura 3.1 Mecanismo de cuatro eslabones En el mecanismo con cuatro pares giratorios, los eslabones pueden oscilar o dar un giro completo dependiendo de las dimensiones de los eslabones. La ley de Grashof afirma que para un mecanismo plano de cuatro eslabones, la suma de las longitudes más corta y más larga no puede ser mayor que la suma de las longitudes de los eslabones restantes, sí se desea que exista una rotación continúa de sus eslabones.

DA

B

C

C1

C2

1

2

3

4 4

A

B1

3

1D

C

2

4

D

13

C

B2

4

A

A1

A2

B2

B1

D

13

C

B 2

4A

A3

A4

B4

B3

a) giratorio oscilante b) giratorio giratorio

a) oscilante oscilante b) oscilante oscilante

Figura 3.2 Configuraciones del cuadrilátero articulado

SÍNTESIS DE MECANISMOS CAPÍTULO 3 MECANISMOS DE CUATRO ESLABONES

3.2

Dependiendo de la ubicación del eslabón más corto respecto al eslabón fijo se tendrán diferentes configuraciones: sí el eslabón más corto –eslabón 1– es anexo al eslabón fijo, el mecanismo será rotatorio – oscilante; sí el eslabón más corto es opuesto al eslabón fijo el mecanismo es oscilante – oscilante y por último, sí el eslabón corto es el eslabón fijo, será un mecanismo rotatorio – rotatorio. Convencionalmente se denomina como manivela aquel eslabón que puede realizar un giro completo, al eslabón que tiene movimiento de giro alternativo se le denomina balancín o manivela oscilante. El eslabón que sirve de conexión se le denomina acoplador. 3.2 POSICIÓN LÍMITE DEL MECANISMO MANIVELA BALANCÍN En un mecanismo manivela balancín se obtiene una rotación completa de la manivela y una oscilación del balancín. En el análisis de este mecanismo se pueden determinar varios parámetros, entre ellos: el ángulo de oscilación del balancín, las posiciones de la manivela en las que el balancín alcanza sus posiciones límites y la razón de tiempos, entendido como la relación entre el tiempo de avance y el tiempo de retorno del balancín.

θ2 θ1

φ1φ2

Δφ

A

B

C

C1

C2

B1

B2

α

L2-L1L1+L2

1

2

3

4 4

Figura 3.3 Posiciones límites del mecanismo manivela balancín

En la figura 3.3 se tiene un mecanismo de cuatro eslabones con dimensiones L1, L2, L3, L4, el subíndice indica el eslabón correspondiente. Las dos posiciones límites del balancín se presentan cuando la manivela y el acoplador forman un ángulo de 0º ó de 180º. Para encontrar la coordenada angular de la manivela, θ1, y del balancín, φ1, en las que ocurren las posiciones límites del balancín, C1, se encuentra el corte entre el arco con radio L2-L1 y centro en el apoyo fijo de la manivela, y el arco con centro en el apoyo fijo del balancín y radio igual a la longitud del balancín. Del análisis del triángulo AC1D, utilizando la ley del coseno en este triángulo se obtiene las siguientes ecuaciones:

( )( )

2 2 21 2 4 3

11 2 4

cos2

L L L LL L L

+ + −θ =

+ ⋅,

( )2 2 21 2 4 3

13 4

cos2

L L L LL L

+ − −φ =

⋅ Ec 3.1

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

3.3

De manera similar se obtienen las coordenadas en las que se presenta la segunda posición límite del balancín; para este caso, se encuentra el punto C2 después de trazar el arco con centro en el apoyo fijo de la manivela y radio L1+L2. Analizando el triángulo AC2D se determina el ángulo de la manivela, θ2, y del balancín, φ2:

( ) ( )( )

2 2 22 1 4 3

22 1 4

cos 1802

L L L LL L L− + −

θ − =− ⋅

, ( )2 2 22 1 4 3

23 4

cos2

L L L LL L

− − −φ =

⋅ Ec 3.2

El ángulo de oscilación del balancín se obtiene mediante la siguiente expresión:

2 1φ = φ − φ Ec 3.3

La razón de tiempos se establece como la relación entre el tiempo en que el balancín pasa de la posición C1C2 y el tiempo en que retorna. Esta relación se puede obtener fácilmente encontrando el tiempo en que la manivela pasa de la posición B1B2 y el tiempo requerido para pasar de la posición B2B1. Sí la manivela gira a velocidad angular constante, se obtiene la siguiente expresión:

1 2

2 1

ángulo 180ángulo 180

B ABRT

B AB+ α

= =−α

Ec 3.4

3.3 POSICIÓN LÍMITE DEL MECANISMO BIELA MANIVELA Este mecanismo se obtiene al reemplazar un par giratorio por un par prismático. En este mecanismo, la manivela da una revolución mientras que el deslizador genera un movimiento alternativo de traslación. Las posiciones de la manivela en la que se presentan las posiciones extremas del deslizador pueden ser deducidas de la figura 3.4.

2

A

4

3

B

1C

D C1C2

B2

B1

e

s2

s1

Δs

θ2

θ1

α4

L2-L1L2

L1

L1+L2

Figura 3.4 Posiciones límites de un mecanismo biela manivela Para la primera posición límite, configuración en la que se obtiene la posición extrema derecha del deslizador, mostrada en la figura 3.4 por el punto C1, se pueden establecer las siguientes ecuaciones:

( )1 1 1 2 11 2

sin ; cose s L LL L

θ = = + ⋅ θ+

Ec 3.5

Para la segunda posición límite, posición extrema izquierda del deslizador, mostrada en la figura por el punto C2, se pueden establecer las siguientes ecuaciones:


3.4

( ) ( )2 2 2 2 2 2 12 1

sin ; cos 180 ; 180e s L LL L

θ = = − ⋅ θ − θ − = θ + α−

Ec 3.6

El desplazamiento del deslizador se obtiene de las ecuaciones 3.5 y 3.6:

1 2s s sΔ = − Ec 3.7

La razón de tiempos se obtiene mediante la siguiente expresión:

1 2

2 1

ángulo 180ángulo 180

B ABRTB AB

+ α= =

−α Ec 3.8

3.4 ÁNGULO DE TRANSMISIÓN, DESVIACIÓN Y PRESIÓN Es aconsejable tener algún criterio que determine la efectividad con que el movimiento es entregado al eslabón de salida, durante el funcionamiento del mecanismo. Un criterio establecido es el ángulo de transmisión: el ángulo de transmisión γ es el menor ángulo entre la dirección del vector velocidad relativa, vCB, del eslabón conductor y la dirección del vector velocidad absoluta, vC, del eslabón de salida, ambos tomado en el par C, tal como se ilustra en la figura 3-5. El valor óptimo de este ángulo es 90º, la tolerancia recomendada es ± 50º.

2

A

3

B

1

D44

C

γ

γ

δ

γ

δF23

vCBvelocidad relativa

velocidad absoluta

C

Fuerzaestática

vC

Figura 3.5 Ángulo de transmisión y desviación Otro criterio consiste en trabajar con la dirección de la fuerza estática y la velocidad del punto de conexión, término conocido como el ángulo de desviación, δ. El valor óptimo de este ángulo es 0º. En un mecanismo de cuatro barras los ángulos de transmisión y desviación son complementarios. Cada mecanismo requiere del análisis del ángulo de transmisión. Este ángulo varía para cada posición del mecanismo siendo por ello necesario la determinación del rango de valores de transmisión en el funcionamiento del mecanismo, debido a que es un parámetro de diseño crítico. El valor mínimo permisible del ángulo de transmisión depende de las fuerzas y la velocidad de la máquina. En los mecanismos con eslabonamientos, se considera como aceptable un ángulo de transmisión mínimo mayor que 40º. A continuación se realizará el análisis de diversos mecanismos.


3.5

MECANISMO MANIVELA BALANCÍN Es posible encontrar una expresión para el ángulo de transmisión en función de la posición angular de la manivela. El análisis a continuación es basado en la figura 3.6.

A

B

D4

C

γ

γ

δ

dL1

L2

L3

L4

θ

Figura 3.6 Ángulo de transmisión de un mecanismo biela manivela Del Triángulo ABD se obtiene la siguiente expresión:

2 2 21 4 1 42 cosL L L L d+ + ⋅ θ = Ec 3.9

Del Triángulo CBD se obtiene la siguiente expresión:

2 2 22 3 2 32 cosL L L L d+ + ⋅ γ = Ec 3.10

Igualando las ecuaciones 3.9 y 3.10, se obtiene una expresión entre la posición angular de la manivela, θ, y el ángulo de transmisión del mecanismo, γ .

2 2 2 21 4 1 4 2 3 2 32 cos 2 sL L L L L L L L co+ + ⋅ θ = + + ⋅ γ Ec 3.11

Para establecer los valores máximo y mínimo del ángulo de transmisión, se obtiene la derivada con respecto a θ de la última ecuación y se iguala a cero. Al realizar esta operación se obtiene:

1 4

2 3

sind 0d sin

L LL L

θγ= =

θ γ Ec 3.12

La ecuación 3.12 se cumple cuando:

sin 0θ = Ec 3.13

Esta condición se obtiene cuando θ = 0º ó θ = 180º. En la figura 3.7 se presentan las dos posiciones en la que se obtienen los valores del ángulo de transmisión máximo y mínimo. Tomando como referencia la figura 3.7, se puede obtener unas expresiones para el ángulo de transmisión máximo y mínimo. Analizando el mecanismo en la posición en que se presenta el máximo ángulo de transmisión se obtiene:


3.6

( )22 22 3 1 4

máx2 3

acos2

L L L LL L

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟γ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ec 3.14

De manera similar, se obtiene una expresión para el ángulo de transmisión mínimo:

AB D

C

γmáx

L1

L2 L3

L4

A BD

C

γmín

L1

L2 L3

L4

Figura 3.7 Ángulo de transmisión máximo y mínimo

( )22 22 3 4 1

mín2 3

acos2

L L L LL L

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟γ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ec 3.15

MECANISMO DOBLE MANIVELA En un mecanismo de doble manivela se obtienen las mismas condiciones que el mecanismo manivela balancín. Las ecuaciones para los ángulos de transmisión máximo y mínimo de un mecanismo doble manivela son:

( )22 22 3 1 41

máx2 3

cos2

L L L LL L

−⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟γ =⎜ ⎟⎝ ⎠

; ( )22 22 3 4 11

mín2 3

cos2

L L L LL L

−⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟γ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ec 3.16

MECANISMO BIELA MANIVELA El ángulo de transmisión de un mecanismo biela manivela se obtiene a partir de la figura 3.8.

A

B

L1

L2

e

γ

δ

D

4

C

3

F

Eθ

Figura 3.8 Ángulo de transmisión en un mecanismo biela manivela


3.7

Es posible obtener una expresión para el ángulo de transmisión en función de la posición angular de la manivela. Del triángulo AFB se obtiene la siguiente expresión:

1 sinBE BF e L e= − = θ− Ec 3.17

Del triángulo BED se obtiene la siguiente expresión:

2 2sin cosBE L L= δ = γ Ec 3.18

Igualando estas dos ecuaciones se obtiene la relación buscada:

1 2sin cosBE L e L= θ− = γ Ec 3.19

Los valores máximo y mínimo del ángulo de transmisión se obtienen derivando con respecto al ángulo θ, la ecuación 3.19. Después de agrupar términos se obtiene la expresión Ec. 3.20:

1

2

cosd 0d sin

LL

θγ= − =

θ γ Ec 3.20

La anterior se cumple para θ = 90 º y para θ = 270 º. En la figura 3.9 se determinan el ángulo de transmisión y máximo del mecanismo biela manivela.

D4

3

A

B

L1

L2

γmáx

C

A

B

L1

L2

γmín

DC

e e

Figura 3.9 Ángulo de transmisión mínimo y máximo de un mecanismo biela manivela De la figura 3.9 se pueden obtener la ecuación para el ángulo de transmisión máximo y del ángulo de transmisión mínimo:

1 1mín máx

2 2acos ; acos

L e L eL L

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +γ = γ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ec 3.21

El concepto del ángulo de transmisión puede ser extendido a otro tipo de mecanismos. La definición del ángulo de transmisión en un mecanismo depende del eslabón conducido del mecanismo. Por lo tanto, para determinar el ángulo de transmisión, se debe conocer cual eslabón del mecanismo, es el eslabón conductor.


3.8

Por ejemplo, considere el mecanismo de seis eslabones de la figura 3.10. Se define como el eslabón motor al eslabón 1 y al eslabón 5 como el eslabón de salida. En este mecanismo se requiere definir dos ángulos de transmisión. En la primera definición se considera al eslabón 1 como eslabón conductor, al eslabor 2 como acoplador y al eslabón 3 como eslabón de salida. En la figura 3.10 se presentan las fuerzas estáticas sobre el eslabón 3 y la velocidad del punto B del eslabón 3; el ángulo de desviación se define como el ángulo que forma la dirección de la fuerza de reacción entre los eslabones 2 y 3, y la dirección de la fuerza del punto B3; el ángulo de transmisión se define como el ángulo formado entre la velocidad absoluta del punto B3 y la velocidad relativa entre los eslabones 2 y 3. En la segunda definición, se considera al eslabón 3 como acoplador y al 5 como eslabón de salida. Para la determinación de los segundos ángulos de transmisión y desviación se realiza un procedimiento similar, para ello se considera la dirección de la fuerza de reacción en el par F, la velocidad absoluta del eslabón 5 y la velocidad relativa entre los puntos D y F del eslabón 3, considerado como segundo eslabón.

1 2

3

4

5

6

6

A

B

C

D

E

FG

vB4

F23

F43

F53

γF

αFγB

αB

Primeracoplador

Segundoacoplador

Pimer eslabónde salida

Segundo eslabónde salida

vFD

vF

Figura 3.10 Ángulo de transmisión en el mecanismo de la limadora En los mecansimo de levas se tiene un concepto similar al ángulo de desviación. En este tipo de mecanismo se define el ángulo de presión como el ángulo formado entre la fuerza transmitida (normal a la superficie de la leva) y la dirección de la velocidad del seguidor. En la figura 3.11 se presenta esta definición. El ángulo de presión Los mecanismos de leva – seguidor deben ser diseñados tal que los valores máximos del ángulo de presión φmáx no sean superiores a cierta magnitud. En la práctica, para un mecanismo leva seguidor, con movimiento rectilíneo del seguidor φmáx = 30º; para un mecanismo leva seguidor, con movimiento oscilante del seguidor φmáx = 45º. Esta condición puede ser satisfecha, para la ley de movimiento del seguidor, mediante la adecuada elección del radio de la circunferencia primaria.


3.9

γ α

A

BD

C

1

2

3

4

4

Dirección de vB

n

n

Figura 3.11 Ángulo de presión en un mecanismo de leva y seguidor

3.5 DISEÑO DE UN MECANISMO MANIVELA BALANCÍN Se pretende diseñar un mecanismo en el que el balancín oscile un ángulo φ. En este diseño se tendrán en cuenta dos condiciones: la razón de tiempos y el ángulo de transmisión. Se iniciará el estudio para una razón de tiempos igual a la unidad. El procedimiento inicial no tendrá en cuenta el ángulo de transmisión. Este procedimiento está basado en la figura 3.12. En la figura 3.12.a se presenta el balancín en sus posiciones extremas. La dimensión del balancín se elige de acuerdo con las restricciones de espacio. En este caso, la dimensión se determina por la dimensión CD. En este procedimiento gráfico se traza una línea por los puntos extremos C1 y C2. En un punto arbitrario de la línea extendida se ubica el pivote fijo de la manivela, A. Como la razón de tiempos es la unidad, se deduce que la distancia AC1 se corresponde con la posición del mecanismo cuando la manivela y el acoplador están formando 0º y la distancia AC2 corresponde a la posición del mecanismo cuando la manivela y el acoplador están formando 180º. Por lo tanto la dimensión de manivela corresponde a la distancia C1C2. La distancia B1C1 es la dimensión del acoplador. Ya que la ubicación del punto A es arbitraria existen infinitas soluciones. Cada solución tendrá un ángulo de transmisión diferente. En esta solución se requiere comprobar el ángulo de transmisión mínimo y máximo ya sea mediante las ecuaciones 3.14 y 3.15 ó gráficamente. En la figura 3.13 se presentan el procedimiento gráfico para determinar los ángulos de transmisión mínimo y máximo.


3.10

C

C1C2B1B2

A

L1+L2

L2-L1 2L1

φ

D

L3

Figura 3.12 Diseño de un mecanismo manivela balancín

C3

C4

B3

B4

A

D

L3 L3L4

L1

L2

L2

γmáx

γmín

Figura 3.13 Ángulo de transmisión máximo y mínimo Existe un procedimiento analítico para determinar el ángulo de transmisión óptimo, en esta definición se requiere que γmáx = 180 - γmín. Cuando la razón de tiempos es la unidad, se obtienen el siguiente sistema de ecuaciones, ver figura 3.3:

( )2 2 21 2 4 3

13 4

cos2

L L L LL L

+ − −φ =

⋅ Ec 3.22

( )2 2 22 1 4 3

23 4

cos2

L L L LL L

− − −φ =

⋅ Ec 3.23

2 1φ = φ − φ Ec 3.24


3.11

( )22 22 3 1 4

máx2 3

acos2

L L L LL L

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟γ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ec 3.25

( )22 22 3 4 1

mín2 3

acos2

L L L LL L

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟γ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ec 3.26

Resolviendo simultáneamente este conjunto de ecuaciones, adicionando la condición de ángulo de transmisión óptimo, se tendría las siguientes relaciones:

1/ 22

24 mín

1 cos2cos

LL

⎛ ⎞− φ= ⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠

Ec 3.27

( )( )

1/ 222 432 2

4 2 4 mín

1

1 cos

L LLL L L

⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥− ⋅ γ⎣ ⎦

Ec 3.28

1/ 22 231 2

4 4 41,0

LL LL L L

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Ec 3.29

En la figura 3.14 se presenta una carta de diseño para un mecanismo manivela balancín con razón de tiempos igual a 1,0 utilizando la metodología de ángulo de transmisión óptimo.

0 20 40 60 80 100 120 1400

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

L1/L4

L2/L4

L3/L4

γ=50º

γ=40ºγ=30º

γ=50º

γ=40ºγ=30º

φ º

Relación de longitudes

Figura 3.14 Ángulo de transmisión óptimo de un mecanismo manivela balancín


3.12

Cuando en el diseño del mecanismo manivela balancín se específica la razón de tiempos, se modifica el procedimiento de diseño. Utilizando la ecuación 3.4, se determina el ángulo α ilustrado en la figura 3.3. El procedimiento a seguir se desarrolla en la figura 3.15. Inicialmente se elige la longitud de la manivela y las dos posiciones límites del balancín, con ello se ubican las dos posiciones del punto C. Por el punto C1 se dibuja una línea C1X con cualquier inclinación, después se dibuja una línea C2Y por el punto C2 que forme un ángulo α con la primera línea. En la intersección de ambas líneas se ubica el punto A el cual es el pivote fijo de la manivela del mecanismo. La distancia AC1 es la suma de las longitudes de la manivela y el acoplador; La distancia AC2 es la resta de las longitudes del acoplador y de la manivela.

D

L3

L3

L1

L2-L1

L1+L2

φα

2L1 C1C2

B1

B2

A

Y

X

Figura 3.15 Diseño del mecanismo manivela balancín para RT > 1,0 La diferencia de ambas longitudes es el doble de la dimensión de la manivela. Como el diseño del mecanismo queda determinado por la orientación dada a la línea C1X, existen infinitas soluciones. Se hace necesario comprobar el ángulo de transmisión mínimo y máximo, para evaluar la solución obtenida. En la figura 3.16. se comprueban estos ángulos. Existe un procedimiento gráfico para el diseño de un mecanismo manivela balancín con una razón de tiempos especificados y con un ángulo de oscilación del balancín dado. En este procedimiento se pretende obtener un diseño con un ángulo de transmisión óptimo (γmáx = 180 - γmín.). En la figuras 3.15 y 3.16 se diseñan con los siguientes valores: RT = 1,4 (α = 30º) y φ = 78º; el rango del ángulo de transmisión del mecanismo es γmín = 21º; γmáx = 101º.


3.13

L1

B3

B4

C3C4

D

A

L3

L3

L2

L2

γmínγmáx

Figura 3.16 Ángulos de transmisión mínimo y máximo para RT>1,0 En la figura 3.17 se presenta el procedimiento de diseño. En este diseño se elige el eslabón fijo de igual magnitud de la primera solución, con este paso se obtienen la posición de los puntos A y D. En el punto A se traza una línea formando un ángulo (φ/2 - α) con la línea AD y en el punto D se traza un línea formando un ángulo (φ/2) de esta manera se encuentra los puntos E y F. Con centro en estos dos puntos se trazan dos circunferencias con radio r = LEA.

D

φ/2 Lugar geométricode C2

A

E

F

φ/2−α

β1

β2

β3Lugar geométricode C1

Figura 3.17 Diseño gráfico del ángulo de transmisión óptimo


3.14

La circunferencia con centro F es el lugar geométrico de los puntos C1 y la circunferencia con centro E es el lugar geométrico de los puntos C2. Se trazan línea con diferentes valores de β hasta cortar la línea del lugar geométrico de C1 (esta operación equivale a elegir la primera posición limite del balancín). Al encontrar un punto C1 se encuentra el punto C2 con un arco con centro en D y radio DC1 que corta el lugar geométrico de C2, tal como se presenta en la figura 3.17. Al encontrar los puntos C1 y C2 se puede dimensionar el mecanismo y encontrar el ángulo de transmisión mínimo. Tal procedimiento se presenta en la figura 3.18.

β

α

φγmín

C1

C2

C

AD

Figura 3.18 Procedimiento de cálculo del ángulo de transmisión

Para cada ángulo β se encuentra el ángulo de transmisión mínimo y se gráfica como en la figura 3.19. El ángulo de transmisión óptimo es aquel en que se tiene mayor ángulo de transmisión mínimo.

Existe un procedimiento analítico para determinar el ángulo de transmisión óptimo. De la figura 3.3 se obtienen las siguientes ecuaciones:

( ) ( )22 2

3 1 2 4 1 2 4 12 cosL L L L L L L= + + − + ⋅ θ Ec 3.30

( ) ( ) ( )22 23 2 1 4 2 1 4 12 cosL L L L L L L= − + − − ⋅ α + θ Ec 3.31

( ) ( ) ( )2 2 2

3 2 11 cos 1 cos 1 cosL L L⋅ − φ = ⋅ − α + ⋅ + α Ec 3.32

Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones se obtiene un proceso iterativo para encontrar el ángulo de transmisión óptimo. Primero se debe resolver el siguiente polinomio para L2:

4 3 21 2 2 2 3 2 4 2 1 0A L A L A L A L A⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = Ec 3.33


3.15

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 6050 β º

γmín º

Figura 3.19 Ángulo de transmisión mínimo en función de β

donde

( ) ( ) 21 1 1cos cos cos cosA = φ− α ⋅ θ − α + θ⎡ ⎤⎣ ⎦ Ec 3.34

( ) ( )2 2

2 1 1 12 1 cos cos cosA L ⎡ ⎤= ⋅ − α ⋅ θ − α + θ⎣ ⎦ Ec 3.35

( ) ( ) ( ) ( ){ }2 2 23 1 1 1 1 12 2 cos cos cos 2cos cos cos 2 1 cosA L ⎡ ⎤= ⋅ − φ ⋅ θ + α + θ − α θ α + θ − − φ⎣ ⎦ Ec 3.36

( ) ( )3 2 2

4 1 1 12 1 cos cos cosA L ⎡ ⎤= ⋅ + α ⋅ θ − α + θ⎣ ⎦ Ec 3.37

( ) ( ) 245 1 1 1cos cos cos cosA L= ⋅ φ + α ⋅ θ + α + θ⎡ ⎤⎣ ⎦ Ec 3.38

Para cada solución de L2 se encuentra la longitud de los demás eslabones.

( ) ( )1 2

42 1 1 1 1 1

2cos cos cos cos

L LL

L L⋅

=⋅ θ − α + θ + ⋅ θ + α + θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ec 3.39

( ) ( )1/ 22 2

3 1 2 4 1 2 4 12 cosL L L L L L L⎡ ⎤= + + − + ⋅ θ⎣ ⎦ Ec 3.40

Al tener la solución de la dimensión de los eslabones se comprueba el ángulo de transmisión mínimo:

( )22 22 3 4 11

mín2 3

cos2

L L L LL L

−⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥γ =

⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ Ec 3.41


3.16

El procedimiento consiste en asumir un ángulo θ1 = 0º y encontrar las dimensiones de los eslabones con las ecuaciones 3.33 a la 3.40, encontrar el ángulo de transmisión mínimo para solución. Incrementar el ángulo θ1

hasta 90º y resolver cada una de las ecuaciones anteriores. La solución es aquella que obtenga el mayor γmín. En la figura 3.20 se presenta una carta para el diseño de un mecanismo manivela balancín para una razón de tiempos RT = 1,118 (α = 10 º) obtenida mediante el método analítico.

10 20 30 40 50 60 70 80 90

1

2

3

4

5

6

7

8

9

θ1

γmín

180 − γmáx

L2 / L1

L3 / L1

L4 / L1

10

20

30

40

50

60

70

80

90

θ1

γmín

γmáx

L2 / L1

L3 / L1

L4 / L1

φ (º)

Figura 3.20 Diseño de un mecanismo manivela balancín

3.6 DISEÑO DE UN MECANISMO DOBLE MANIVELA Un mecanismo doble manivela es diseñado para transformar un movimiento uniforme en un movimiento de rotación irregular. Este mecanismo es diseñado en serie con otro mecanismo para tener un movimiento característico de velocidad, aceleración, etc. El diseño consiste en tener un buen ángulo de transmisión. En la figura 3.21 se presenta un mecanismo doble manivela en las posiciones donde el ángulo de transmisión es mínimo ó máximo. En el diseño del ángulo de transmisión óptimo se pretende que:

máx mín180γ = − γ


3.17

1

2 3

4

A

B4

C4

B3

C3

D

β1

β2

γmín

γmín

ψu

Figura 3.21 Mecanismo de doble manivela En la figura 3.22 se presenta el método gráfico para el diseño de un mecanismo de doble manivela con ángulo de transmisión óptimo. En este procedimiento se elige la longitud del eslabón fijo, fijando los apoyos A y D. Se elige arbitrariamente la longitud de la contramanivela y las dos posiciones en las que se dan el ángulo de transmisión mínima y máximo, separados un ángulo ψu, puntos B3 y B4. El ángulo de transmisión máximo se elige tal que cumpla γmáx = 180 - γmín.

1

2 3

4

A

B4

C3D

γmínψu

B3

2

3

C4

C3,1

C3,2

C3,3

C4,3

C4,2

C4,1γmín

Figura 3.22 Diseño gráfico del ángulo de transmisión óptimo


3.18

Desde el punto B3 se traza la línea en la que se ubicará el punto C3 formando el ángulo γmín entre las líneas DB3 y B3C3k; se utiliza un procedimiento similar para obtener la línea en la que se ubicará el punto C4 formando el ángulo γmáx = 180 - γmín, entre las líneas AB4 y B4C4k. Eligiendo un radio arbitrario rk se traza un arco desde B4 y B3 cortando las líneas para hallar los puntos C4k y C3k respectivamente. Se unen los dos puntos encontrados. El procedimiento se repite hasta que la línea que une a los puntos C4k y C3k pasa por el punto D, hallando así a los puntos C3 y C4. La distancia entre estos dos puntos es igual al doble de la longitud de la manivela, y el apoyo A se encuentra en el punto medio de estos dos puntos; recuerde que los puntos C3 y C4 representan la ubicación del par de unión entre la manivela y el acoplador en posiciones diametralmente opuesta. El procedimiento analítico es basado en la figura 3.21. De la aplicación de la ley de coseno a los triángulos DB4C4 y DB3C3 se obtienen las siguientes expresiones:

( )22 2

2 3 2 3 mín 1 42 cosL L L L L L+ + ⋅ γ = + Ec 3.42

( )22 22 3 2 3 mín 1 42 cosL L L L L L+ − ⋅ γ = − Ec 3.43

( ) ( )22 2

3 1 4 3 1 4 2 22 cosL L L L L L L+ − − ⋅ − β = Ec 3.44

( ) ( )22 23 1 4 3 1 4 1 22 cosL L L L L L L+ + − ⋅ + β = Ec 3.45

Utilizando la ley de senos, se obtienen las siguientes ecuaciones:

1 4 2

mín 1sin sinL L L+

=γ β

Ec 3.46

1 4 2

mín 2sin sinL L L−

=γ β

Ec 3.47

Por comparación de ángulos se cumple:

2 1180uψ +β = +β Ec 3.48

Sumando la ecuación 3.42 y 3.43 se obtiene:

2 2 2 22 3 1 4L L L L+ = + Ec 3.49

Restando la ecuación 3.43 de la ecuación 3.42, se obtiene:

1 4

mín2 3

cos L LL L⋅

γ =⋅

Ec 3.50

Organizando los términos de la ecuación 3.48 y aplicando la función coseno a ambos lados de la igualdad, se obtiene:

1 2 1 2cos sin sin cos cosuψ = β ⋅ β − β ⋅ β Ec 3.51

Reemplazando los términos cos β1, cos β2, sin β1, sin β2, de las ecuaciones 3.44 a 3.47 en la ecuación 3.51 y simplificando términos, se obtiene la siguiente solución:


3.19

1/ 221

24 2 4

L B C BL A A A

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Ec 3.52

( ) ( ) ( )1/ 22

1 422

4 mín

1 cos 1 cos2cos

u uL LLL

⎡ ⎤+ ψ + − ψ⎢ ⎥=

γ⎢ ⎥⎣ ⎦ Ec 3.53

( )3 1 4

4 2 4 míncosL L LL L L

=⋅ γ

Ec 3.54

donde:

( ) 2mín

1 cos1 cos 1

2cosu

uA⎛ ⎞+ ψ

= + ψ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠ Ec 3.55

( ) 2mín

1 coscos 1 1

cosu

uB⎛ ⎞+ ψ

= ψ − ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠ Ec 3.56

( ) 2mín

cos 1cos 1 1

2cosu

uC⎛ ⎞ψ −

= ψ − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟γ⎝ ⎠ Ec 3. 57

3.7 DISEÑO DE UN MECANISMO BIELA MANIVELA El diseño del mecanismo manivela deslizador consiste en obtener una carrera del deslizador con una relación de tiempos establecida. La excentricidad puede ser asumida o ser un dato de la información. En la figura 3.23 se presenta el procedimiento para el diseño del mecanismo manivela deslizador.

A

B

4

3

1

4

D

L1+L2

L2-L1

C

ΔS

2L1e

α

2

B1

B2

C2 C1X2

X1

Y2

Y1

Figura 3.23 Construcción del mecanismo Inicialmente se trazan dos líneas paralelas X1Y1 y X2Y2 separadas por la distancia e, la cual es la excentricidad del mecanismo. En un punto sobre la línea x1y1 se ubica el pivote fijo del mecanismo A. Con la relación de tiempos exigida se determina el ángulo α de acuerdo con la ecuación 3.8. Se trazan dos líneas que pasen por el punto A y que formen entre sí el ángulo α. Se mide la distancia entre los puntos C1’ y C2’, los cuales son las intersecciones de estas líneas con X2Y2. Se gira las dos líneas alrededor de A hasta obtener la


3.20

distancia S1-2 entre los puntos C1 y C2. La distancia AC1 representa la suma de las longitudes de los eslabones 1 – 2 y la distancia AC2 representa la diferencia de las longitudes de los eslabones 1 – 2.

En la figura 3.24 se determina los ángulos de transmisión mínimo y máximo del diseño obtenido. Si estos ángulos no son convenientes se determina otro valor de excentricidad y se repite el proceso.

A

4

3

1

L2

2

B3

4

D

C1

L2

B4

C4C3

γmínγmáx

1

2

3X2

X1

Figura 3.24 Comprobación del mecanismo En el método analítico, se requiere inicialmente determinar las expresiones que se servirán para obtener las dimensiones de los eslabones del mecanismo manivela deslizador. Estas variables estarán en función de las condiciones de diseño establecidas (razón de tiempos, carrera del deslizador, ángulos de transmisión mínimo o máximo). En el primer análisis, no se incluirá los ángulos de transmisión mínimo o máximo en las expresiones. Basado en la figura 3.23 y 3.4 se pueden establecer las siguientes relaciones obtenidas de la posiciones límite del deslizador:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1sin sinL L L L e+ θ = − θ + α = Ec 3.59

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1cos cosL L L L s+ θ − − θ +α = Δ Ec 3.60

Del manejo algebraico de las ecuaciones 3.59 y 3.60, se obtienen las siguientes expresiones:

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 11

1 1 1 1 1 1 1 1

sin sinsin sin cos cos sin sin cos cos

sL

θ +α − θ ⋅Δ=

θ +α + θ ⋅ θ − θ + α − θ − θ +α ⋅ θ + θ + α Ec 3.61

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1

21 1 1 1 1 1 1 1

sin sinsin sin cos cos sin sin cos cos

sL

θ + α + θ ⋅Δ=

θ +α + θ ⋅ θ − θ + α − θ − θ +α ⋅ θ + θ + α Ec 3.62

1 11 1mín máx

2 2cos ; cosL e L e

L L− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +

γ = γ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ec 3.63


3.21

Utilizando las expresiones 3.61 y 3.62, se obtiene las dimensiones de la manivela y del acoplador, en función del ángulo θ1, configuración en la que se presenta una de las posiciones límites del deslizador. Con estos valores, se obtienen la excentricidad, e, y los ángulos de transmisión mínimo y máximo del mecanismo. En la Figura 3.25, se obtiene la solución de estas variables al variar θ1 y para el caso α = 10º y Δs = 15 cm.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

20

40

60

80

100

120

0

5

10

15

20

25

30

35

40

γmín

180 − γmáx

L1

e

L2

θ1 [º]

L1, L2, L3 γmín, 180 − γmáx [º]

θopt

Figura 3.25 Solución para α = 10º y Δs = 15 unidades Existe un valor óptimo, θ1, resaltado en la figura 3.25; este valor es el correspondiente con el que se obtiene el ángulo de transmisión máximo más alejado de 180º. Un procedimiento basado en las expresiones anteriores, consiste en utilizar las expresiones anteriores e identificar la solución con la que se tiene este valor óptimo. El ángulo de transmisión mínimo es ascendente, contrario al del ángulo de transmisión máximo, el cual tiene un punto de variación. Es posible hallar las expresiones cuando se especifican uno de los dos ángulos de transmisión como criterio de diseño. La primera solución consistiría en obtener la solución de la figura 3.25. Sin embargo, si se quiere encontrar un método más preciso, se requiere adicionar una expresión para el ángulo de transmisión máximo, o del mínimo. De la expresión 3.63 se obtiene:

( )2 máx 1cose L L= π− γ − Ec 3.64 Basado en la geometría de la figura 3.4, se obtiene la siguiente expresión:

( ) ( )2 2 21 22 1 cos 2 1 cosL L s+ α + − α = Δ Ec 3.65

Del manejo algebraico de las expresiones 3.59 y 3.60, se obtiene

( ) ( )( ) ( )2 22 1 1 2 2 1 1 2 1sin cos sin sinL L L L L L s L L− α + + − − α θ = Δ ⋅ − α⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ec 3.66


3.22

Del manejo de las expresiones 3.59 y 3.64, se obtiene: ( )2 máx

11 2

cossin

LL Lπ− γ

θ =+

Ec. 3.67

Reemplazando la expresión 3.67 en la 3.66, y despejando L1 de la 3.65 y reemplazando en la 3.66 se obtiene una expresión para L2:

4 3 24 2 3 2 2 2 1 2 0 0A L A L A L A L A+ + + + = Ec 3.68

siendo

( ) ( ) ( ) ( )2 22 24 sin 2sin 1 cos / 1 cos sin 1 cos / 1 cosA = α + α − α + α + α − α + α

( )( )

máx3

4cos sin1 cos

A sπ− γ α

= −Δ ⋅+ α

( ) ( )( )

( )( )( )

222

2 máx 2

sin 1 cos 1 cossincos1 cos 1 cos1 cos

A s⎡ ⎤α − α − αα⎢ ⎥= Δ ⋅ π − γ − − +

+ α + α⎢ ⎥+ α⎣ ⎦

( )( )

máx31

cos sin1 cos

A sπ− γ α

= Δ ⋅+ α

( ) ( )2

40 2

sin 12 1 cos4 1 cos

A s⎡ ⎤α⎢ ⎥= Δ ⋅ −

+ α⎢ ⎥+ α⎣ ⎦

De la solución del polinomio para L2, dado por la ecuación 3.68, se obtienen cuatro soluciones. En algunos casos se obtienen soluciones imaginarias o negativas, las cuales no se tienen en cuenta. Las soluciones reales y positivas, son las dimensiones del acoplador de una configuración que satisface las condiciones de diseño establecidas (relación de tiempos, ángulo de transmisión máximo y carrera del deslizador). La longitud de la manivela se obtiene de la ecuación 3.65:

( )( )

2 22

12 1 cos

2 1 coss L

LΔ − − α

=+ α

Ec 3.69

3.8 MECANISMOS AFINES (COGNADOS) Suponga que se tiene el diseño de un mecanismo de cuatro eslabones cuyo punto del acoplador genera una trayectoria deseada, pero la ubicación de los pivotes fijos es un inconveniente. Es posible obtener un mecanismo con geometría diferente con un punto del acoplador que genere la misma trayectoria. En la figura 3.26 se tiene un mecanismo a partir del cual se pretende diseñar el mecanismo afín.

El procedimiento de diseño del mecanismo afín se presenta en la figura 3.27. Observe que el eslabón 4 es paralelo al lado DP del eslabón 2 y el lado HP es paralelo al eslabón 1. El eslabón 5 es semejante al acoplador 2, el ángulo formado en el vértice H es igual al ángulo del vértice D. El eslabón 7 es paralelo al lado EP del acoplador y el lado FP es paralelo al eslabón 3, de nuevo se obtiene el eslabón 8 semejante al acoplador y el ángulo del vértice P es igual al ángulo del vértice D. El eslabón 9 es paralelo al lado IP del eslabón 5 y el eslabón 6 es paralelo al lado PG del eslabón 8. Los pivotes ABC forman un triángulo semejante al acoplador del mecanismo original. Los tres mecanismos afines son: 1 – 2 – 3; 4 – 5 – 6; 7 – 8 – 9;


3.23

2

A

3

B

D1

E

PTrayectoría del

punto del acoplador

Figura 3.26 Mecanismo de cuatro eslabones para generar una trayectoria del acoplador

2

A

4

3

B

D1

C

5

6

7

8

9

α

α

α

E

F

G

H

I

P

Figura 3.27 Determinación de los mecanismos afines


3.24

2

A

3

B

D

1

E

P Trayectoría delpunto del acoplador P

Mecanismo original Mecanismo afín

Trayectoría delpunto del acoplador

BC

7

8

9F

Figura 3.28 Generación de trayectoria

Hartenberg and Denavit demuestran que para una posición angular se cumplen las siguientes relaciones de la velocidad angular.

ω1 = ω5 = ω9; ω4 = ω2 = ω7; ω3 = ω8 = ω6;

En la figura 3.29 se presenta el procedimiento de diseño cuando el punto del acoplador está contenido en el lado que une los pivotes.

2

A

3D

1

P


B C

E

9

84

5

G

F

I

H7

Figura 3.29 Procedimiento de diseño


3.25

2

A

3D

1

P


Mecanismo original Mecanismo afín

B

P

C

E

H

B

9

8

7


Figura 3.30 Comprobación de los mecanismos afines

Los tres mecanismos afines son: 1 – 2 – 3; 4 – 5 – 6; 7 – 8 – 9. Los dos mecanismos afines que generan la misma trayectoria, por tener la configuración manivela balancín, son 1 – 2 – 3; 7 – 8 – 9. En la figura 3.30 se presenta la generación de la trayectoria de ambos mecanismos. Chevyshev estableció que es posible generar un mecanismo de cinco eslabones con relación de engranajes igual a 1,0 para generar la misma trayectoria de un mecanismo de cuatro eslabones. En la figura 3.33 se presenta el procedimiento de diseño. El engranaje intermedio 6 garantiza una relación de transmisión unitaria entre los engranajes 4 y 8 y en el mismo sentido.

Figura 3.31 Mecanismo afín de cinco eslabones


3.26

3.9 MECANISMOS DE MOVIMIENTO PARALELO Este tipo de mecanismo es utilizado cuando se requiere producir movimiento sobre una pieza sin producir rotación. Sus aplicaciones son para el transporte de piezas, garantizar la posición angular de algún eslabón, entre otras. A partir de un mecanismo de cuatro eslabones, al cual se le conoce la curva del acoplador, se diseña el mecanismo de movimiento de movimiento paralelo mediante el diseño del mecanismo afín. En los mecanismos afines el punto del acoplador genera la misma trayectoria y su velocidad vectorial es la misma si ambas manivelas tienen la misma velocidad angular y el ciclo se inicia en la posición angular en que ambos puntos del acoplador coincidan. En la figura 3.32 se diseña el mecanismo de movimiento paralelo a partir de los dos mecanismos afines seleccionados (1 – 2 – 3; 7 – 8 – 9). El segundo mecanismo se traslada como un bloque desde el pivote fijo de su manivela, C, hasta la posición del pivote fijo de la manivela del primer mecanismo, A.

2

A

3

B

D1

C

7

8

9

E

F

GC'

P

P'

Figura 3.32 Generación del mecanismo de movimiento paralelo La trayectoria del punto P’ es idéntica a la del punto P. Si se crea un eslabón entre estos dos puntos realizará un movimiento sin rotación cuando la velocidad de los eslabones 1 y 9 sean iguales. Para simplificar el mecanismo, se elimina el eslabón 7 y se crea un solo eslabón para 1 y 9. En la figura 3.33 se presenta el mecanismo simplificado y la trayectoria de varios puntos del eslabón 10.


3.27

2

A

3

B

D1

8

E

G

P

P'

10P''

Trayectoría de P''

Trayectoría de P

Trayectoría de P'

Figura 3.33 Comprobación del mecanismo 3.10 MECANISMOS CON DETENIMIENTO

En algunas aplicaciones se requiere diseñar un mecanismo que produzca un detenimiento en el eslabón de salida cuando hay movimiento en el eslabón de entrada. Un buen procedimiento de diseño consiste en obtener el diseño a partir de las curvas del acoplador. Se pretende encontrar una curva del acoplador en el que se produzca un arco o una línea recta. En la figura 3.34 se presenta una configuración que describe un semi arco, si un eslabón de longitud igual al radio de curvatura tiene su otro pivote en el centro de curvatura cuando el punto del acoplador pase por el semiarco.

AB

C

D1

2

3E

Centro decurvatura

rP

Figura 3.34 Diseño de un mecanismo con detenimiento simple


3.28

El punto E se utiliza para unir el eslabón de salida al mecanismo, garantizando así un detenimiento angular. El tiempo de detenimiento depende del tiempo que requiere el mecanismo para barrer el semiarco de la trayectoria. En la figura 3.35 se termina el proceso de diseño cuando se específica el ángulo de oscilación del eslabón de salida.

F

E

E2

P

Centro decurvatura

Bisectriz

Punto inferiorsobre la bisectriz

Figura 3.35 Diseño del eslabón de salida El eslabón EF es el eslabón de unión entre el mecanismo y el eslabón de salida. Para garantizar un ángulo de oscilación de salida, se procede a recorrer al punto P sobre la trayectoria generada a la vez que el punto E se traslada sobre la bisectriz hasta encontrar el punto inferior, E’. Se ubica el punto F de tal manera que forme un el ángulo de diseño para el eslabón de salida, el cual se va a utilizar como pivote fijo. Las distancias EP y EF determinan las dimensiones de los otros dos eslabones. Al ensamblar el mecanismo es importante verificar la posición del pivote fijo F. En la figura 3.36 se presenta el mecanismo final y se comprueba el ángulo de rotación del eslabón de salida.

AB

C

1

2

3E

P

56

F

B

Figura 3.36


3.29

Si la trayectoria del punto del acoplador describe una semirecta, tal como en la figura 3.37, es posible obtener un mecanismo de 6 eslabones con un eslabón de movimiento angular en el que el eslabón de salida tenga un detenimiento.

A

B

C

D

1

2

3

P

Trayectoría de P

Semirecta

Figura 3.37 Mecanismo con detenimiento angular

En el proceso de diseño se genera un eslabón cuyo pivote fijo esté ubicado sobre la semirecta y se adiciona un deslizador para la unión al mecanismo. Cuando el punto del acoplador se traslade sobre la semirecta, el eslabón de salida se detiene presentando desplazamiento angular en el resto de la trayectoria. En la figura 3.38 se presenta el mecanismo resultante.

Con un mecanismo de cuatro eslabones, en la que un punto del acoplador genere un semiarco, es posible obtener un mecanismo de seis eslabones, en el que el eslabón de salida tenga movimiento lineal con detenimiento, tal como se ilustra en la figura 3.39.

En este mecanismo, ver figura 3.39, se obtiene la dirección del movimiento del deslizador 6, como la bisectriz del semiarco de la trayectoria del acoplador. El eslabón de enlace tiene la dimensión del radio de curvatura del semiarco. Cuando el punto del acoplador se traslade sobre el semiarco el deslizador permanece en el centro de curvatura, punto E de la figura 3.38, y presenta movimiento de traslación en el resto del intervalo. La carrera del deslizador se determina encontrado el punto inferior del eslabón 5 sobre la bisectriz, punto E’ figura 3.39, cuando el punto P se mueve sobre su trayectoria.

Algunas curvas del acoplador permiten diseñar mecanismos con doble detenimiento. Para este procedimiento se requiere de una trayectoria que produzca dos semirectas o dos semiarcos con radio de curvatura de igual magnitud. En la figura 3.40 se presenta un mecanismo cuyo punto del acoplador genera dos semirectas. Para este tipo de trayectorias se genera un eslabón con movimiento angular sobre el que se tiene un eslabón de enlace que desliza sobre él. El pivote fijo se ubica en la intersección de las dos semirectas. Este tipo de mecanismos tiene el inconveniente de generar grandes aceleraciones.


3.30

B

D

1

2

3

C

5

6

Figura 3.38 Mecanismo con detenimiento angular a partir de una semirecta

B

D

1

2

3

C

P

5

6E

BISECTRIZ SEMIARCO

E’

Figura 3.39 Eslabón con movimiento lineal con detenimiento


3.31

B

1

2

3

P

56

C

Trayectoría de P

D

F

Figura 3.40 Mecanismo con doble detenimiento En la figura 3.41 se tiene un mecanismo que genera dos arcos, x y y, cuyos centros de curvatura son, E1 y E2, y sus radios de curvaturas son iguales. El punto P se ubica sobre la bisectriz E1 – E2 de tal forma que el ángulo E1PE2 forme el ángulo de oscilación requerido para el eslabón de salida. En la figura 3.42 se tiene una curva del acoplador en forma de ocho. Para este tipo de configuración se crea un eslabón en el cruce de las dos semirectas. En la figura 3.43 se tiene un mecanismo con doble detenimiento lineal. El punto d es el centro de curvatura del semiarco x y el punto c el del semiarco y. La dirección del movimiento del eslabón de salida es una línea que une estos dos puntos. Los radios de curvatura de ambos arcos son iguales.

1

AB

C

D

E1

F

2

35

6

P

E2

x

y

Figura 3.41. Mecanismo con dos arcos de igual radio


3.32

B

D

1

2

3

C

5

6

A E

P

Trayectoría de P

Figura 3.42 Mecanismo con doble detenimiento

Figura 3.43

3.11 APLICACIONES MÀS COMUNES DE LOS MECANISMOS ARTÌCULADOS Existen gran variedad de aplicaciones de los mecanismos articulados. Entre las configuraciones más utilizadas se encuentran los mecanismos de un grado de libertad de cuatro y seis eslabones. Otras configuraciones son muy escasas. Entre las aplicaciones de estos mecanismos se encuentran los mecanismos de retorno rápido, la generación de líneas rectas, los pantógrafos, los mecanismos de palanca, los mecanismos de movimiento intermitente, los reguladores de velocidad, mecanismos de transporte o de movimiento paralelo 3.11.1 MECANISMOS DE RETORNO RÁPIDO

En las máquinas herramientas se requiere que la carrera de trabajo de la herramienta sea mayor que la del tiempo de retroceso. Con esto se logra tener menores valores de velocidad, y por ende, menores fuerzas de corte, con lo que se conserva la herramienta. Adicionalmente, en la carrera de retorno se tiene un tiempo en el que no se realiza un trabajo útil. En este ciclo sirve para eliminar la viruta de la herramienta. La razón de tiempos, definida como la relación entre el tiempo de trabajo y el tiempo de retroceso, es un parámetro importante en este tipo de aplicaciones. En la figura 3.44 se presenta el mecanismo de retroceso rápido de una limadora común. La carrera de trabajo ocurre cuando la herramienta de corte 5 se desplaza hacia la izquierda; esta carrera tiene lugar mientras la manivela 1 gira el ángulo α, y la de retorno mientras gira el ángulo β. Si la manivela gira a velocidad angular constante la razón de tiempos es proporcional a la relación α/β.


3.33

2

A

4

3

B

D

1

C

E

F,G

5

α

β

ω1

B1B2

AVANCE RETROCESO

Figura 3.44 Mecanismo de la limadora

En la figura 3.45 se presenta el mecanismo de retorno rápido de Withworth utilizado en máquinas herramientas. La carrera de trabajo es el doble de la longitud LCD. La herramienta de corte 5 alcanza sus posiciones limites cuando el par D se encuentra en los cuadrantes horizontales D1 y D2. En la figura se presenta el procedimiento para obtener la relación de tiempos.

AB

C

D

E

1

ω12

3

4

5B1 B2

D2D1

E1E2

α

βAVANCE

RETROCESO

Figura 3.45 Mecanismo de retorno rápido de corredera de Withworth En la figura 3.46 se presenta el mecanismo de la mortajadora. El eslabón 1 es la manivela que gira a velocidad angular nominal constante, el eslabón 3 es la contramanivela que gira a velocidad angular variable que mueve a la herramienta 5 mediante la biela 4. La carrera del eslabón 5 se obtienen cuando el punto E se encuentra en el cuadrante superior e inferior de la circunferencia de su trayectoria alrededor del apoyo fijo D. Con la ubicación del par entre la contramanivela 3 y la biela 4 en sus posiciones E1 y E2 es posible obtener, por


3.34

construcción la posición de la manivela en estas configuraciones y, determinar así, la relación de tiempos entre el ciclo de trabajo y el de retorno. La relación de tiempos para este mecanismo es aproximadamente 2:1.

2

A

4

3

B

D

1

C

E

F,G 5

α

βω1

A

D

B2

B1

C1C2

E1

E1

1

1

2

2

3

3

ω1

AVANCE

RETROCESO

Figura 3.46 Mecanismo de la mortajadora: a) Mecanismo, b) posiciones límite

En la figura 3.47 se presenta el mecanismo de Withworth de retroceso rápido. En la figura se muestra el procedimiento gráfico con el que se obtiene la relación de tiempos. Las posiciones de la manivela en la que se presentan las posiciones límites de la herramienta 5 es simétrica con respecto al eje horizontal.


3.35

2

3

B

D

C

E

α/2 β/2

ω1

B1

5

E1

E2

AVANCE

RETROCESO

Figura 3.47 Mecanismo de Withworth

3.11.2 MECANISMOS PARA OBTENER MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Son mecanismos de eslabonamientos destinados a conseguir que la trayectoria del punto de un eslabón genere, exacta o aproximadamente, una recta. Estos mecanismos evitan la fricción que se produce con el uso de correderas y guías. Algunos mecanismos obtienen una trayectoria rectilínea exacta, otros dan a la pieza un recorrido aproximadamente recto. MECANISMO DE SCOTT RUSELL En la figura 3.48 se presenta el mecanismo de Scott Russell. La trayectoria del punto E se aproxima mucho a una línea recta. La manivela 1 oscila un ángulo 2θ. Las distancias LAB, LBC, LBE, son iguales. Si el punto C se traslada sobre la línea x-x, el punto E se movería sobre la línea y-y. El punto D se encuentra sobre la perpendicular a la línea C-C1 y que pasa por el punto medio. EL punto E pasa por los puntos E, A y E2 y tendrá pequeños desviaciones sobre la línea y-y. Entre mayor sea la longitud del eslabón 3 y menor el ángulo θ menores serán las desviaciones de la trayectoria del punto E a la recta y-y. Este mecanismo se modifica cambiando la relación entre las longitudes de los eslabones, el eslabón 1 se hace mas corto que el eslabón 2, de esta forma se evita que la trayectoria del punto E pase por el apoyo A. Generalmente las dimensiones de los eslabones se eligen para satisfacer la siguiente relación entre las dimensiones:

BCAB

BC BE

LLL L

=


3.36

A

B

C

12

3

E

D

E2

B2

C2

xx

y

y

θ

θ

Figura 3.48 Mecanismo de Scott Russell

En la figura 3.49 se presenta una configuración del mecanismo de Scott Rusell modificado y se muestra la trayectoria del punto E, se observa que es bastante aproximada a una línea recta. Esta aproximación será mayor a menores valores del ángulo θ.

θ

θ

A

B

C

12

3

E

D

E2

B2

C2

Figura 3.49 Mecanismo de Scott Russell modificado

MECANISMO DE PEUCELLIER El mecanismo de Peucellier, figura 3.50, es un mecanismo de línea recta exacta. Los eslabones 3 y 4, con centro de rotación en Q, tienen igual dimensión. Los eslabones 2, 5, 6 y 7 tienen igual dimensión, el eslabón 1, con centro de rotación en A, tiene una longitud igual a la distancia entre apoyos A y Q. El punto P se mueve sobre una línea recta exacta dentro de los límites constructivos. Esta afirmación puede probarse al señalar que sí en cualquier configuración del mecanismo, la línea PP’ es siempre perpendicular a la línea AQ, en el punto P’.


3.37

2

A

31

Trayectoría delpunto P

B

4

5

PC

D

E

6

7

P'B'

Q

Figura 3.50 Mecanismo de Peucellier De la figura 3.50, se pueden establecer las siguientes relaciones:

2 2 2 2QC QD CP PDL L L L− = −

Reagrupando términos: 2 2 2 2QC CP QD PDL L L L− = −

( )( )2 2

QC CP QD PD QD PDL L L L L L− = + −

2 2QC CP QP QBL L L L− = ⋅

Por lo tanto, el producto QP QBL L⋅ es una constante. En la configuración del mecanismo cuando el punto pasa por su punto medio P’ y el punto B a la posición B’, se cumple que QP QB QP' QB'L L L L⋅ = ⋅ . Por lo tanto:

QB' QP

QB QP'

L LL L⋅ =

Los puntos Q, B y B’ están contenidos en una circunferencia con centro en A, por lo que el ángulo QBB’ es recto. En los triángulos BQB’ y PQP’ el ángulo PQP’ es común, y, ya que los lados son proporcionales, los triángulos son semejantes. Como el ángulo BQB’ es recto, también lo es el ángulo PQP’. MECANISMO DE ROBERT La figura 3.51 es un cuadrilátero articulado en el que las dos manivelas AB y CD son iguales y el acoplador BC es la mitad de la distancia entre apoyos AD. El punto P pertenece al acoplador y coincide con el punto medio de la línea de centros AD, cuando el acoplador es paralelo al bastidor. En esta configuración los triángulos ABP, DCP, y BPC son isósceles.


3.38

2

A

4

C

3

B

D

1

4P

Trayectoría de P

Figura 3.51 Mecanismo de Robert En las posiciones cercanas a las posiciones limites, el punto P coincidirá con los apoyos A y D, y en el punto medio de su recorrido, coincide con el punto medio de la línea AD. Las longitudes de los eslabones AB y CD deben ser menores que 0,6 AD, y entre mayor sea, la trayectoria del punto P se aproximará más a la línea AD. MECANISMO DE CHEBYSHEV En la figura 3.52 se presenta el mecanismo de línea recta de Chebyshev. Las proporciones de los eslabones son: LAB = LCD = 5, LAD = 4, LCB = 2, LCP = LPB = 1. En la configuración mostrada, el eslabón 2 se encuentra en posición horizontal. La distancia vertical del punto P hasta los apoyos es de 4 unidades. En la configuración que se corresponde con la posición vertical del eslabón 1 o 3, el punto P se encuentra en las posiciones P1 y P2 respectivamente, a una distancia vertical de 4 unidades. En la figura 351se presenta la trayectoria del punto P entre las posiciones P1 y P2, como se observa, la desviación de la trayectoria del punto P con respecto a la línea P1 y P2 es muy pequeña.

2

3

B

D

C

A

1

P

B2

B1

P1

C1

C2

P2

Figura 3.52 Mecanismo de Chebyshev

En la figura 3.53 no hay problema en reconocer el mecanismo de Chebyshev en el mecanismo de plataforma elevadora, la cual mantiene su paralelismo conservando su altura constante. La distancia LPQ es ½ LCD, R es el punto medio de AD y LRQ = ½ LAD.


3.39

Figura 3.53 Plataforma elevadora MECANISMO DE WATT La primera aplicación de la que se tiene conocimiento es el eslabonamiento en línea recta de Watt el cual fue patentado en 1784. (figura 3.54). Watt inventó su Eslabonamiento de línea recta para guiar el pistón de carrera larga de su motor de vapor en un tiempo en el cual aun no existía maquinaria para pulir ni cortar metal que pudiera realizar movimientos de guía rectos y largos.

2

3

B

DC

1

P

B1

P1

C1

C2

P2

B2

A

Figura 3.54 Mecanismo de Watt El mecanismo mostrado en la figura 3.54 se corresponde con su configuración más simple. Los eslabones 1 y 3 giran alrededor de los apoyos A y D, respectivamente, y están unidos al acoplador 2. En la posición media, los eslabones 1 y 3 son paralelos, y el acoplador 2 es perpendicular a ambos. El punto P es un punto del acoplador que traza una línea aproximadamente recta, dentro de ciertos límites. El principio del mecanismo es que cuando uno de los brazos 1 o 3, desvía al acoplador de la línea recta, el otro brazo ejerce una acción compensadora. Los segmentos BP y CP son inversamente proporcionales a las longitudes de los brazos de los eslabones adyacentes. En la figura 3.55 se presenta una configuración del mecanismo de Watt en la que los eslabones 1 y 3 tienen diferentes dimensiones y el acoplador no es perpendicular a estos eslabones en su configuración media. Si se dan: i) la ubicación de los apoyos fijos A y D, ii) la ubicación de la línea vertical por la que pasa el punto P, y iii) la longitud del punto P, denominada como s, es posible hallar las dimensiones de los eslabones del mecanismo y la ubicación del punto P sobre el acoplador 3.


3.40

2

3

B

DC

1P

B1

P1

C1

C2

P2

B2

A

H

F

Figura 3.55 Mecanismo de Watt

Como primer paso se trazan las líneas AF y DH perpendiculares a la línea por la que pasará el punto P. Las longitudes de los eslabones 1 y 2 se determinan mediante las siguientes relaciones:

2

AB AFAF2

DC DHDH

16

16

sL LL

sL LL

= +

= +

Con estas dimensiones se representan a los pares B y C, posteriormente se traza la línea BC y se ubica al punto P sobre la línea que se pretende generar. Por semejanza de triángulos, es posible definir las siguientes relaciones

FB FP BP

HC HP CP

L L LL L L

= =

Este eslabonamiento de triple balancín se usa todavía hoy en día en automóviles para guiar el eje trasero, figura 3.56. Una de las formas es unir el montaje de Watt a un muelle helicoidal. Se caracteriza este sistema por su buen agarre a la calzada.

Figura 3.56


3.41

MECANISMO DE HOEKENS El mecanismo de Hoekens es un mecanismo manivela balancín con un punto del acoplador que genera una trayectoria con una tramo muy cercano a una línea recta. Las relaciones de los eslabones de este mecanismo son: LAB = 2, LAD = 4, LBC = LCD = 5, LBE = 10. En la figura 3.57 se presenta la configuración de este mecanismo. Este mecanismo también se caracteriza por tener una velocidad aproximadamente constante del punto E en el tramo recto si la velocidad angular de la manivela 1 es constante.

A

B

C

D

1

23

ETrayectoría de E

Figura 3.57 Mecanismo de Hoekens

3.11.3 MECANISMO DE MOVIMIENTO INTERMITENTE El movimiento intermitente es una sucesión de movimientos y detenimientos. Un detenimiento es un lapso de tiempo en el que el eslabón de salida permanece estacionario, en tanto que el eslabón de entrada continua moviéndose. Hay muchas aplicaciones en maquinaria que se necesita este movimiento intermitente. Así, los mecanismos intermitentes se caracterizan por comunicar paros temporales en cada ciclo a sus eslabones. CRUZ DE MALTA El mecanismo de Cruz de Malta, figura 3.58, o de Ginebra proporciona una salida intermitente a partir de una entrada de velocidad constante. El mecanismo está formado por dos discos. Un motor a velocidad constante impulsa la entrada. El de entrada está graduado al que se le acopla un pasador B. El otro disco dispone de una serie de ranuras radiales (cómo mínimo 3) formando un ángulo entre ellos. Durante el giro entorno al eje de entrada engranará con una de las deslizaderas de la rueda de salida obligándola a describir un giro hasta que deje de contactar con la deslizadera. Transcurrido un cierto ángulo de la entrada volverá a engranar con otra ranura, con lo que el movimiento de la rueda de salida se reanudará. El resultado es la rotación intermitente de la rueda de Ginebra. El cuerpo 3, solidario al eslabón conductor 1, sirve para frenar a la rueda 2 cuando el pin B se encuentra fuera de las guías. El número de ranuras determina el número de detenciones del mecanismo, y el tamaño de la rueda limita el número máximo de paros o detenciones. Las relaciones geométricas de la cruz de malta regular son:

sinr L n= ⋅ π donde L es la distancia entre los centros de la cruz de Malta, r es el radio de la manivela, y n es el número de ranuras radiales


3.42

A

B

C

1

2

ω1

3

Figura 3.58 Cruz de Malta MECANISMOS DE TRINQUETE Una rueda, provista de los adecuados dientes, que recibe movimiento circular intermitente de un órgano oscilante o alternativo es llamada rueda de trinque. En la figura 3.59 se muestra una forma sencilla de este mecanismo. El brazo de empuje 2, pivotea sobre el eje de la rueda dentada y entonces el eje se mueve hacia atrás y hacia delante para accionar la rueda 1. La uña de empuje del brazo 2, hace girar la rueda dentada en sentido antihorario y no trabaja durante el movimiento de regreso del brazo en sentido horario. La uña de retén, 3, impide que la rueda del trinquete cambie de dirección de giro mientras regresa la uña de empuje. Se utiliza en llaves de trinquete para tuercas, montacargas...

1ω2

2

3

Figura 3.59 Mecanismo de trinquete Encontramos ejemplos corrientes de este mecanismo en las bicicletas (el llamado piñón libre), o en los mecanismos de dar cuerda a los relojes, o el freno de mano de un coche que tenemos en la siguiente figura 3.60. Cuando el conductor desea soltar el freno de mano empieza tirando un poco más de la palanca de freno para contrarrestar la fuerza sobre el trinquete y después pulsa el botón del extremo de la palanca para alzar el trinquete de retención del arco dentado del freno.


3.43

Figura 3.60 Freno de mano

EL PANTOGRAFO El pantógrafo es un mecanismo articulado de cuatro eslabones dispuestos tal que formen un paralelogramo tal como se ilustra en la figura 3.61. La ubicación de los puntos P y Q es tal que la línea que los une pasa por el apoyo fijo A. Al darse un movimiento cualquiera del punto P, el punto Q describe una trayectoria semejante ampliada. La relación de amplificación es dada por la relación de las distancias de los puntos mencionados hasta el punto A.

B1

P1

C1

C2

P2

B2

A D1

D2

Q2

Q1

Figura 3.61 Mecanismo de pantógrafo En la configuración mostrada, el punto P, ubicado sobre el eslabón CD, se traslada desde P1 hasta P2 por una trayectoria deseada. De la figura se deduce:

1 1 1

1 1 1

AP B C=AQ B Q

También se satisface:

2 2 2

2 2 2

AP B C=AQ B Q


3.44

Dado que la distancia entre los pares B y C es constante, se tiene:

1 1 2 2B C B C= y 1 1 2 2B Q B Q= Por lo que se cumple:

1 2

1 2

AP AP=AQ AQ

Es decir que la relación de las distancias de los puntos P y Q hasta el apoyo A es constante. Ya que los triángulos ABQ y PCQ son semejantes en todas las posiciones, el punto P siempre estará sobre la recta que une los puntos A y Q. Por lo que los movimientos angulares de los puntos P y Q alrededor de A son los mismos. El movimiento de los puntos P y Q alrededor del apoyo A, puede ser descrito por un ángulo y un radio vector. Ya que los movimientos angulares de los puntos alrededor de A son los mismos y las distancias hasta el punto A conservan siempre la misma proporción, la trayectoria del punto Q es semejante a la del punto P pero amplificada.

YUGO ESCOSES El yugo escoses es un mecanismo para convertir el movimiento de rotación de una manivela en un movimiento lineal o viceversa, figura 3.62. El pistón, u otra pieza reciprocante, está directamente acoplado al deslizador del yugo mediante una ranura sobre el que desliza el pin de la pieza rotacional.

1

2

3

Figura 3.62 Yugo escocés

La ventaja de este mecanismo comparado con el mecanismo manivela acoplador deslizador consiste en que permite:

• Par de salida altos con un cilindro de tamaño pequeño. • Pocas partes móviles. • Operación más suave • Mayor porcentaje en el tiempo de espera en el punto muerto superior con lo que se mejora la

eficiencia del mecanismo


3.45

In an engine application, elimination of joint typically served by a wrist pin, and near elimination of piston skirt and cylinder scuffing, as side loading of piston due to sine of connecting rod angle is eliminated. Entre las desventajas están

• Desgaste rápido de las ranuras en el yugo causado por la fricción de deslizamiento y las presiones de contacto altas.

• Menor porcentaje del tiempo de espera en el punto muerto inferior reduciendo el tiempo de vacío para los motores de dos tiempos.

• La forma del movimiento del pistón es una onda seno pura si se tiene velocidad angular constante. MECANISMOS DE PALANCA Cuando el mecanismo manivela acoplador deslizador se acerca al punto muerto superior indicado por las posiciones de los eslabones 3, 4 y 5 de la figura 3.63, hay un aumento rápido de la relación entre la resistencia Q y la fuerza vertical en el par B, P. En la configuración mostrada, α es el ángulo de los eslabones 2 y 3 con la línea de acción de C.

A

B

CDE

1

2

34

56 6

6

Q

P

α

Figura 3.63 Mecanismo de palanca Si los eslabones 2 y 3 tienen igual longitud, se cumple:

2 tanPQ= α

Este medio de vencer una gran resistencia con una fuerza pequeña formando un ángulo llano entre dos eslabones es conocido como efecto de palanca. El mecanismo de palanca se utiliza en distintas configuraciones en quebrantadoras, prensas, remachadoras neumáticas, alicates, embragues de fricción, etc. ACOPLE DE OLDHAM El acople de Oldham es un acoplamiento flexible utilizado para transmitir velocidad angular constante uniforme entre ejes paralelos, figura 3.64.


3.46

Figura 3.64 Acople de Oldham ACOPLE DE HOOKE O JUNTA UNIVERSAL Esta junta, figura 3.65.a, es un mecanismo esférico empleado para conectar dos ejes que se cortan, se utiliza más ampliamente en el sector automotriz. Tiene, en esencia, la forma mostrada en la figura 3.65.b; consta de dos horquillas circulares, 2 y 4, articuladas mediante la cruceta rectangular 3. Considerando la mitad de la horquille b de 2, y df de 4, están unidos por el eslabón bd, formando así un mecanismo espacial concéntrico. El eslabón conductor 2 y conducido 4 dan giros completos en el mismo tiempo, aunque la relación de velocidad es variable.

Fig 3.65 Acople de Hooke

Por relaciones trigonométricas se puede establecer la siguiente relación entre los ángulos de rotación de los eslabones 2 y 4:

tan cos tanφ = β⋅ θ La relación de velocidades angulares se obtiene diferenciando esta relación:

2 2 24

2 2 2 22

d cos sec cos sec cos secd sec 1 tan 1 cos tan

ω φ β⋅ θ β⋅ θ β ⋅ θ= = = =

ω θ φ + φ + β⋅ θ

La última igualdad, se obtiene reemplazando la relación entre los ángulos θ y φ. Simplificando términos, se obtiene:

42 2

2

cos1 sin sin

ω β=

ω − β⋅ θ


3.47

Ya que la función sin2 θ, varía entre 0 y 1, la relación de velocidades angulares varía entre cos β y 1/ cos β, ya que el ángulo β es el ángulo que forman los ejes conectados y es constante. MECANISMO ARTICULADO DE PARALELAS Estos son aplicaciones del mecanismo articulado de cuatro eslabones, en el que sus eslabones forman un paralelogramo. La máquina universal de delineación, figura 3.66, es un ejemplo de su uso actual por la combinación de los paralelogramos ABCD y EFGH en los que el anillo de acoplamiento CDEF es una característica importante. Este anillo guía a la cabeza P. Las dos reglas graduadas 1 y 2 son solidarias y perpendiculares entre sí, y pueden girar sobre P. Por medio de un cículo graduado y un tornillo de presión es posible inclinarlas para que formen el ángulo que se desee con un línea determinada, con lo que también sirve de transportador de ángulos.

A B

CD

E

F

G

H

P

1

2

Figura 3.66 Máquina universal de delineación

Una de las aplicaciones más comunes de los mecanismos articulados de paralelas es para el transporte de movimiento de materiales. Al obtener mecanismos con paralelogramos, se tienen eslabones con movimiento en el plano sin girar. En la figura 3.67 se presenta un mecanismo en el que se obtiene el movimiento intermitente del material transportado. La característica fundamental del movimiento es que todos los puntos del elemento móvil del transporte, eslabón 4, describen trayectorias idénticas.

1

2

3

5

6

4

8

8

8

8

Figura 3.67

Capítulo 3-mecanismo-de-cuatro-eslabones

Engineering

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