Capitulo 1 - El Incremento y Diferencial de Una Funcion

----------------------------------------------------------------------------CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1--------------------------------------------------------------------------------

1

INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCIONINCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCIONINCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCIONINCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

Este capítulo se limita a presentar incrementos y diferenciales, ya que la diferencial de una

función es uno de los conceptos más importantes del cálculo y, uno de los que tiene

mayor diversidad de aplicaciones, tanto en la formulación de modelos como en el análisis

de errores basados en la linealización de funciones.

Podemos decir, a grosso modo, que su utilidad radica en que una pequeña parte

representativa contiene la información de un todo. La idea general que subyace detrás es

que el todo se forma por la unión de sus partes, de manera que una propiedad global

podría calcularse obteniendo cada una de las contribuciones de los pedazos que lo

forman. Reservaremos su uso en la integración.

En esta sección se ilustra la solución de ejercicios y problemas adecuados, que sirven de

modelos para el desarrollo de ejercicios propuestos en este capítulo, cuyas respuestas

están al final de éste. 1.1.1.1.1.1.1.1. INCREMENTO DE UNA FUNCIÓNINCREMENTO DE UNA FUNCIÓNINCREMENTO DE UNA FUNCIÓNINCREMENTO DE UNA FUNCIÓN ________________________________________________________________________ Definición: El incremento de una función ( )xfy = denotado por y∆ , es el cambio que sufre ésta

cuando la variable independiente x cambia una cantidad x∆ , pasando de x a x + x∆ ,

y está dado por:

( ) ( )xfxxfy −∆+=∆

(1.1)

Si x varía de 1x a 2x y x∆ es el incremento entonces, xxx ∆+= 12

_______________________________________________________________________

• Calcular y∆ cuandox cambia de 1 a 1,1 ; si 13 2 += xy

Tenemos que 1=x

y 1,011,1 =−=∆x luego

Aplicando la definición anterior se tiene:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )2

222

22

36

131363

1313

xxxy

xxxxxy

xxxy

xfxxfy

∆+∆=∆

−−+∆+∆+=∆

+−+∆+=∆

−∆+=∆

Ejemplo 1.11.11.11.1:

Solución:Solución:Solución:Solución:

[------------------------------------------------------------------------------------CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1--------------------------------------------------------------------------------

2

( )( ) ( )21,031,016 +=∆y

63,0=∆y

1.21.21.21.2 DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓNDIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓNDIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓNDIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN _________________________________________________________________________ Definición: Sea ( )xfy = donde f es una función derivable, y sea x∆ un incremento de x.

i. La diferencial dx de la variable independiente x es xdx ∆= . ii. La diferencial dy de la variable dependiente y es :

(1.2) _________________________________________________________________________

• Determina la diferencial de las siguientes funciones:

a) 15 3 −= xy

b) 22 tetu −=

c) ( ) ( )[ ]22 3ln3ln usenusenz ==

d) xarcsenv = Para calcular la diferencial de las funciones, solo basta con hallar la derivada y

multiplicarla por el diferencial de la variable independiente.

a) Para 15 3 −= xy , entonces dxxdy 215=

b) Para 22 tetu −= , entonces ( ) ( )dtttedtettedu ttt 23 1222

222

−=>−= −−−

( ) ( )dxxfxxfdy ´´ =∆=

OBSERVACIÓN: La diferencial de una función es igual al producto de su derivada

por la diferencial de la variable independiente

Ejemplo 1111.2.2.2.2:



3

c) Para ( )usenz 3ln2= , entonces

( )

( ) duuusendz

duuusen

usendz

⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=

3cot3ln6

33cos3

13ln2

d) Para xarcsenv = , entonces

( )2

21

2

212

2

1

1

1

xx

dx

xx

dxdv

dxxx

dv

−=

−=

⋅⋅−

= −

• Sea 12 += xy , hallar y∆ y dy cuando x cambia de 1a 011, .

Aplicando la fórmula (1.1) tenemos que:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2

222

22

2

112

11

xxxy

xxxxxy

xxxy

∆+∆=∆

−−+∆+∆+=∆

+−+∆+=∆

Pero 01,0101,1 =−=∆x , además 1=x , entonces:

( )( ) ( ) 0201,001,001,012 2 =+=∆y

Aplicando la fórmula (1.2), se tiene que:

xdxdy 2= , pero 01,0=∆= xdx ; entonces

( )( ) 02,001,012 ==dy

• Dada la función 654)( 23 +−+= xxxxf calcula y∆ y dy si =∆x 0,1; 0,01; 0,001;

0,0001; y =x 3. Interpreta los resultados obtenidos.

Ejemplo 1111.3.3.3.3:


Ejemplo 1111.4.4.4.4:


4

De la definición de incremento de una función tenemos:

)3()3( fxfy −∆+=∆

54]6)3(5)3(4)3[( 23 −+∆+−∆++∆+= xxx

Desarrollando,

xxxy ∆+∆+∆=∆ 46)(13)( 23

Por otro lado, como 583)( 2 −+=′ xxxf se tiene, de la definición de diferencial, que:

dxdxfdy 46)3(' ==

Sustituyendo 1,0=∆x en las dos expresiones anteriores, incremento y diferencial se

obtiene que:

731,4=∆y y 6,4=dy Para el caso ∆� � 0.01 resulta:

∆ � 0.461301 � � 0.46

En la siguiente tabla se presentan los incrementos de la variable independiente (△x), los

valores de y∆ y de dy y las diferencias entre estas dos cantidades.

Observa que las función es derivable en x=3 y que entre más cercano este △x a cero, más

próxima a cero estará la diferencia △y – dy.

(Tabla 1.1)

En consecuencia, �� sera una mejor aproximación de ∆�en la medida en la que ∆� esté más cercana a cero.

x △△△△x △△△△y dy △△△△y - dy 3 0,1 4,731 4,6 0,131

3 0,01 0,461301 0,46 0,001301

3 0,001 0,046013 0,046 0,000013

3 0,0001 0,00460013 0,0046 0,00000013



5

1.3 1.3 1.3 1.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICAINTERPRETACIÓN GEOMÉTRICAINTERPRETACIÓN GEOMÉTRICAINTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

(Figura 1.1)

Esta interpretación geométrica muestra que ydy ∆≈ ( dy es aproximadamente igual a y∆ )

cuando x∆ este es más cercano a cero )0( ≈∆x . Cuando los incrementos son negativos se

obtiene un resultado análogo.

• El radio r de un círculo se incrementa de cm10 a cm1,10 . Estimar el incremento

en el área del círculo, calculando dA , Comparar el resultado con el cambio real

A∆

(Figura 1.2)

El área A del circulo está dada por 2rA π= , donde r =radio del círculo.

Tenemos cmr 10= y cmdrr 1,0101,10 =−==∆ .

Ejemplo 1111.5.5.5.5:


[------------------------------------------------------------------------------------

6

Hallemos dA

drrdA ⋅= π2 Reemplazando los valores de

( )( )22

1,0102

cmdA

cmcmdA

ππ

==

Ahora, hallamos el cambio real

( ) ( )( )

2,01)1,0()1,0)(10(2

)(2

)(2

2

2

22

22

rrr

rrrr

rrr

rArrAA

ππππ

πππππ

=+=∆+∆=

−∆+∆+=−∆+=

−∆+=∆

Por lo tanto, 01,0dAA π=−∆Esto muestra que la aproximación

• ¿En cuánto aumenta aproximadamente el lado de un cuadrado si su área aumenta

de 29cm a 21,9 cm ?

Sea =x área del cuadrado

=y Lado del cuadrado

Luego 2yx = es el área del cuadrado


------------------------------------------------------------------------------------CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1--------------------------------------------------------------------------------

Reemplazando los valores de r y dr se tiene:

Ahora, hallamos el cambio real A∆

2,01 2

2

cm

r

π

π

2cmπ

Esto muestra que la aproximación dA es muy precisa cuando r∆ es más cercano a cero

aumenta aproximadamente el lado de un cuadrado si su área aumenta

(Figura 1.3)

área del cuadrado

es el área del cuadrado

Ejemplo 1111.6.6.6.6:

--------------------------------------------------------------------------------

es más cercano a cero

aumenta aproximadamente el lado de un cuadrado si su área aumenta


7

Expresemos y en función de x, entonces xy = , además 1,091,9 =−==∆ dxx y 9=x

Para encontrar el aumento aproximado del lado del cuadrado hallamos dy

( )

mdy

dy

dxx

dy

016,0

1,092

12

1

=

=

⋅=

• La arena que se escapa de un recipiente va formando un montículo cónico cuya

altura siempre es igual a su radio. Use diferenciales para estimar el incremento del

radio correspondiente a un aumento de 32cm en el volumen del montículo,

cuando el radio mide cm10

El volumen del montículo cónico viene dado por la ecuación hrV 2

3

1π= donde 10=r

radio del cono y h=altura del cono.

Pero hr = , luego nos queda que 3

3

1rV π=

Debemos estimar el incremento del radio ?==∆ drr

Conocemos el incremento en el volumen 32cmdVV ==∆

Tenemos que 3

3

1rV π= , Hallando dV se tiene que,

(Figura 1.4)

( )cm

cm

cm

r

dVdr

drrdV

πππ

π

50

1

10

2

entonces

2

3

2

2

==⋅

=

⋅⋅=

Por tanto cmdrπ50

1= incremento de radio.

Ejemplo 1111.7.7.7.7:



8

1.4 1.4 1.4 1.4 ERROR RELATIVO Y PORCENTUALERROR RELATIVO Y PORCENTUALERROR RELATIVO Y PORCENTUALERROR RELATIVO Y PORCENTUAL _________________________________________________________________________ Definición: Sea x una medida con un error máximo x∆ . Por definición

i) Error relativo x

x∆=

ii) Error porcentual = (error relativo) (100%)

_________________________________________________________________________ El radio de una esfera mide 30cm y el error máximo en la medición es de 0.15cm.

a) estimar el máximo error que se comete al calcular el volumen de la esfera.

b) estimar el error relativo y porcentual para el valor calculado del volumen

a) Consideremos, r = valor medido del radio = 30cm

dr = r∆ =error máximo en r = cm15.0±

V = volumen de la esfera = 3

3

4rπ

Sea V∆ el cambio de V correspondiente a r∆ . Podemos interpretar V∆ como el error

en el volumen calculado debido al error r∆ . Podemos estimar V∆ en términos de dV

esto es:

drrdVV 24π=≈∆

Remplazando los valores de r = 30cm y dr = 0.15cm obtenemos:

32 1696)540()15.0()30(4 cmcmcmdV ±=±=±= ππ

El error máximo posible en el volumen calculado V debido al error de medición del radio

es, aproximadamente 31696cm±≈ .

El volumen V calculado es

333 36000)30(

3

4

3

4cmcmrV πππ ===

Ejemplo 1111.8.8.8.8:



9

b)

Error relativo 015.036000

)540( ±=±=≈∆=ππ

V

dV

V

V

Error porcentual %5.1%)100).(015.0( ±=±=

Un silo (observa la figura) tiene la forma de un cilindro circular recto coronado por una

semiesfera. La altura del cilindro es de 25 metros (altura que aquí consideraremos exacta);

en tanto que la circunferencia de la base mide 10 metros, con un error máximo en la

medición de 15 centímetros. Calcula el volumen del silo a partir de tales medidas y usa

diferenciales para estimar el error máximo cometido en el cálculo del volumen. Determina

también los errores absoluto y porcentual.

Denotemos con P la circunferencia de la base. Entonces, ΔP = Pexac – Pmed representa el

“error exacto” de tal medición. El problema radica, precisamente, en que es imposible

obtener este “error exacto”. De acuerdo con la información de este ejercicio, lo que

sabemos es que |ΔP| ≤ 0.15; dicho de otra manera, el valor Pexac satisface

Pmed – 0.15 ≤ Pexac ≤ Pmed + 0.15

Figura 1.5: Pequeños errores en la medición de dimensiones grandes tienen efectos

importantes en el cálculo de errores.

El volumen del silo, con las dimensiones proporcionadas, se obtiene sumando el volumen

del cilindro y el volumen de la semiesfera. Tenemos, entonces,

V = V(r) =25πr2 + 2π/3 r

3

Ejemplo 1111.9.9.9.9:



10

Ahora, a partir de Pmed = 2πrmed = 10, π5=⇒r hallamos que:

V = 25π (5/π)2

+ 2π/3 (5/π)3

= 1875π + 250/3π2

≈ 207,387

Para estimar el error cometido en el cálculo anterior necesitamos encontrar ΔV(r). De |ΔP|

≤ 0,15 deducimos que |Δr| ≤ 0,15/2π, luego

ΔV(r) = dV(r) = (50 π r + 2 π r2) dr

De la desigualdad del triangulo para valores absolutos |a + b| ≤ |a| + |b|, concluimos

que:

|ΔV (5/π)| ≈ |dV (5/π)| = | [50π (5/π) + 2π (5/π)2] dr|

≤ (250 + 50/π) |dr|

≤(250 + 50/π) (0,15/2π) = 6,348 m3

Aunque en apariencia es muy grande, este error depende de la magnitud de las

dimensiones que se midieron. Desde este punto de vista, el error relativo es mas

representativo; concretamente

|∆V (5/π)| / V (5/π) ≤ 6,348/207,387 = 0,0306

Es decir, en el cálculo del volumen del silo se cometió un error (porcentual) de únicamente

3,06%.

1.51.51.51.5 APLICAPLICAPLICAPLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL PARA CÁLCULO APROXIMADOACIÓN DE LA DIFERENCIAL PARA CÁLCULO APROXIMADOACIÓN DE LA DIFERENCIAL PARA CÁLCULO APROXIMADOACIÓN DE LA DIFERENCIAL PARA CÁLCULO APROXIMADO _________________________________________________________________________

Cuando el valor absoluto del incremento x∆ de la variable independiente x es pequeño,

la diferencial dy de la función ( )xfy = y el incremento y∆ de dicha función son

aproximadamente iguales entre sí, es decir:

dyy ≈∆

De donde ( ) ( ) ( )dxxfxfxxf ´≈−∆+ , entonces

( ) ( ) ( )dxxfxfxxf ´+≈∆+ (Aproximación lineal)

(1.3) _________________________________________________________________________


11

• Use diferenciales para estimar el valor de 2,4

Para resolver este tipo de ejercicios necesitamos una función y un valor de referencia

donde resulte sencillo el cálculo de la función y tan cercano como se pueda del valor que

queremos obtener.

Para esta estimación aplicamos la fórmula ( ) ( ) ( )dxxfxfxxf ´+≈∆+ , para este caso,

considere que la función es ( ) xxf = y tomemos a 4=x , como punto de referencia

además 2,4=∆+ xx , entonces

dxx ==−=∆ 2,042,4

( ) dxx

xxxxxf ⋅+≈∆+=∆+2

1

( )

05,22,4

05,220

41

20

12

10

2

4

122,4

2,042

142,04

≈⇒

==+=⋅+≈⇒

⋅+≈+⇒

• Calcular el valor aproximado de ( )498,0

Sea ( ) 4xxf = y tomemos 1=x , además 98,0=∆+ xx ; entonces

dxx =−=−=∆ 02,0198,0

Aplicando la fórmula (1.3) se tiene:

Ejemplo 1111.10.10.10.10:


Ejemplo 1111.11.11.11.11:



12

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 92,098,0

08,0198,0

02,014102,01

4

4

4

344

344

≈⇒

−≈⇒

−+≈−⇒

+≈∆+=∆+ dxxxxxxxf

• Calcular el valor aproximado de °61cos

Sea ( ) xxf cos= , tomemos 360 π=°=x ; °=∆+ 61xx

1801

π=°==∆⇒ dxx

Aplicando la fórmula (1.3) se tiene:

48,061cos1802

3

2

161cos

18033cos61cos

cos)cos(

≈°⇒

⋅−≈°⇒

⋅−≈°⇒

−≈∆+

π

πππ sen

senxdxxxx

Ejemplo 1111.12.12.12.12:



13

1.61.61.61.6 FORMULAS DE LA DIFERENCIALFORMULAS DE LA DIFERENCIALFORMULAS DE LA DIFERENCIALFORMULAS DE LA DIFERENCIAL Sean u y v dos funciones derivables de x , ces una constante.

FORMULAS DE LA DIFERENCIAL

Diferencial de una constante

( ) 0=cd

Diferencial de un múltiplo por una constante

( ) cducud =

Diferencial de una suma o resta

( ) dvduvud ±=±

Diferencial de un producto

( ) vduudvuvd +=

Diferencial de un cociente

2v

udvvdu

v

ud

−=

Diferencial de una potencia

( ) dunuud nn 1−=

EJERCICIOS Y PROBLEMASEJERCICIOS Y PROBLEMASEJERCICIOS Y PROBLEMASEJERCICIOS Y PROBLEMAS (1.1)(1.1)(1.1)(1.1)

• Ejercicios 1 y 2 use diferenciales para estimar el cambio en ( )xf , cuando x varia

de a a b

1. ( ) 5364 245 −+−= xxxxf 03,11 == ba

2. ( ) 723 23 −+−= xxxxf 495,3 == ba

3. Hallar el incremento y∆ y la diferencial dy de la función 25 xxy += para

001,02 =∆= xyx


14

4. Calcular la diferencial de la función xy tan= , para 1803ππ =∆= xyx

5. Emplee diferenciales para estimar el incremento en el volumen de un cubo cuando sus

lados cambian de cm10 a cm1,10 .

¿Cuál es el incremento exacto del volumen?

6. La medida del radio de un tronco ha dado 28cm, con un margen de error de cm41 .

Usar diferenciales para determinar el error que se encontrará al calcular con este dato el

área de la sección del tronco.

7. Un tanque cilíndrico abierto tendrá un revestimiento de cm2 de espesor. Si el radio

interior tiene m6 y la altitud es de m10 , calcule mediante diferenciales la cantidad

aproximada de material de revestimiento que se usará.

8. Use diferenciales para estimar (calcular aproximadamente) el valor de:

a) °44tan b) 2,0e c) ( )9,0ln d) 05,1arctan

e) 5 f) °31sen g) ( )301,2 h) 4 17

9. ¿En cuánto aumenta aproximadamente el volumen de una esfera si su radio cmr 15=

se alarga en mm2 ?

10. La medida del lado de un cuadrado es 15cm. Aproximar el porcentaje de error

cometido al calcular el área, si el posible error en la medida del lado es de 0.05cm.

11. Se nos dice que el radio de una esfera es 6cm. Posible error de 0.02cm, usando

diferenciales, estimar el máximo error posible al calcular:

a) El volumen de la esfera.

b) La superficie de la esfera.

c) Hallar los errores porcentuales de a, b.


15

AUTOEVALUACIONAUTOEVALUACIONAUTOEVALUACIONAUTOEVALUACION

1. Si x

xxf1

)( 2 −= , elige la opción que contiene y∆ y dy

a) xxxx

xxy ∆

∆++∆+=∆

)(

12

dxx

xdy

+=2

12

b) xxxx

xy ∆

∆++=∆

)(

12

dxx

xdy

+=2

12

c) xxxx

xy ∆

∆++∆=∆

)(

1 dx

xxdy

+=2

12

d) [ ] xxxy ∆∆+=∆ 2 xdxdy 2=

2. Una caja con forma de cubo tiene en cada una de sus aristas una longitud de 4

centímetros, con un posible error de 0.005 cm. Elige la opción que da el posible

error al calcular el volumen de la caja.

a)�3.2�� b) �1.8�� c) �2.4�� d) �2.8��

3. Indica la opción que contiene el valor de ∆ � � para x=1/2 , ∆� � �0.2 y

� �� .

a) -0.3095 b) 0.04615 c) 0.342 d) 0.052

4. Supón que la ecuación dada por y

xxy6=− define implícitamente la función

)(xfy = . Si (3,2) satisface la ecuación anterior, a partir del concepto de

diferencial, elige la opción que contiene un valor aproximado de )2,3(f .

a)��3.2� � 2.1324 b)��3.2� � 1.9556 c)��3.2� � 1.5413 d)��3.2� � 0.9826

5. Elije la opción que proporciona el volumen de una cascara esférica que tiene un

radio interior de 10 centímetros y un espesor de 2 milímetros.

a) �! � 40"�� b) �! � 60"�� c) �! � 100"�� d) �! � 80"��

6. La distancia l de un objeto se calcula con mediciones angulares hechas en los

extremos de una línea base, de longitud b (considerada como exacta) y normal a la

[------------------------------------------------------------------------------------

16

distancia l. Elige la opción que indica la relación entre el error de la distancia con el

error en la medición del ángulo

a) dllbbd )( 22 +=− θ

b) θdlbbdl )( 22 +=−

c) dllbbd )( +=− θ

d) θdlbdll )( 222 +=−

7. Elige la opción que proporciona el volumen aproximado de un tubo cilíndrico de

pared delgada que tiene un radio interior de

centímetros (considerada exacta) y un espesor

a) b)

------------------------------------------------------------------------------------CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1--------------------------------------------------------------------------------

opción que indica la relación entre el error de la distancia con el

error en la medición del ángulo

Elige la opción que proporciona el volumen aproximado de un tubo cilíndrico de

pared delgada que tiene un radio interior de r centímetros, una altura de

centímetros (considerada exacta) y un espesor △r centímetros.

c) d)

--------------------------------------------------------------------------------

opción que indica la relación entre el error de la distancia con el

Elige la opción que proporciona el volumen aproximado de un tubo cilíndrico de

centímetros, una altura de h


17

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMASRESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMASRESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMASRESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1.11.11.11.1


18

1. 0.06

2. 1.25

3. ∆y=0.009001 ; dy=0.009

4. 45

π=dy

5. dv=30plg3

; △v=30.301plg3

6. 328

5m≈π

7. 3

5

12mπ

8. a) 0.965 b) 1.2 c) -0.10

d) 81,0025,04

≈+π

e) 2.225 f) 0.515 g) 8.06

h) 2.03

9. 565cm3

10. 2

3%

11. a) ±32.88 cmπ b) ± 20.96 cmπ c)

1% ; 2

3%

Capitulo 1 - El Incremento y Diferencial de Una Funcion

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