Capitalizacion, Actualizaciony Equivalencia Financiera

En esta Unidad aprenders a:

Describir los efectos esencialesde la capitalizacin compuesta.

Resolver problemas financierosen capitalizacin compuesta.

Diferenciar entre inters nominal e inters efectivo.

Calcular operaciones de descuento de efectos comerciales en capitalizacincompuesta.

Resolver problemas de equivalencia de capitales en capitalizacin compuesta.

5

4

3

2

1

05Capitalizacin, actualizacin y equivalencia financiera en capitalizacin compuesta

5. Capitalizacin, actualizacin y equivalencia financiera en capitalizacin compuesta

5.1 Capitalizacin compuesta

61

Llamamos capitalizacin compuesta a la ley financierasegn la cual los intereses producidos por un capital encada periodo se agregan al capital para calcular losintereses del periodo siguiente, y as sucesivamente,hasta el momento de cierre de la operacin financiera.En la prctica financiera, la capitalizacin y la actuali-zacin compuesta se utilizan en aquellas operacionesfinancieras con una duracin superior al ao.

Si denominamos:

C0 : Capital inicial.

n : Duracin de la operacin.

i : Tipo de inters anual en tanto por uno. Repre-senta la cantidad de dinero que se obtieneanualmente por euro invertido.

Cs : Montante del ao s, o capital final en el ao s.

Is : Intereses del ao s, cuyo valor ser Cs1 i.

IT : Inters total, IT = I1 + ... + In.

Cn : Capital final o montante.

A. Capital final o montante

Partiendo de la definicin anterior, la capitalizacin com-puesta consiste en un proceso de acumulacin de losintereses al capital para producir conjuntamente nuevosintereses, periodo tras periodo, hasta llegar al momentofinal de la operacin financiera. Por tanto, para determi-nar el valor del capital final es necesario ir calculando lossucesivos montantes al final de cada ao.

Al final del 1.er ao:

C1 = C0 + I1

como I1 = C0 i, entonces:

C1 = C0 + C0 i = C0 (1 + i)

Al final del 2. ao:

C2 = C1 + I2

Como I2 = C1 i, entonces:C2 = C1 + C1 i = C1 (1 + i)

Como C1 = C0 (1 + i), entonces:C2 = C0 (1 + i) (1 + i) = C0 (1 + i)2

Al final del 3.er ao:C3 = C2 + I3

Como I3 = C2 i, entonces:C3 = C2 + C2 i = C2 (1 + i)

Como C2 = C0 (1 + i)2, entonces:C3 = C0 (1 + i)2 (1 + i) = C0 (1 + i)3

Y as sucesivamente; por aplicacin del mtodo concu-rrente llegamos a la conclusin de que al final del aon:

Cn = Cn1 + In

Como In = Cn1 i, entonces:

Cn = Cn1 + Cn1 i = Cn1 (1 + i) =

= C0 (1 + i)n1 (1 + i) = C0 (1 + i)n

Expresin que nos permite calcular el montante o capi-tal final partiendo del capital inicial.

Grficamente, obtendremos una curva exponencial alrelacionar aos y montante (vase la Figura 5.1).

Cn = C0 (1 + i )n

Cn Cn = C0 (1 + i)n

C0C1 C2 Cn

I1

I2

0 1 2 n

IT


Fig. 5.1. Representacin grfica del montante.

B. Capital inicial

Sabiendo que Cn = C0 (1 + i )n y despejando C0 resulta que:

o bien:

La expresin (1 + i)n recibe el nombre de factor deactualizacin, puesto que al aplicarla sobre el capitalfinal obtenemos el valor del capital inicial o actual.

O bien, IT = Cn C0 ; de donde en el

supuesto de conocerse los intereses.

C. Clculo de los intereses totales

Partiendo de Cn = C0 + IT los intereses generados sernla diferencia entre el capital final y el capital inicial:

IT = Cn C0 = C0 (1 + i)n C0 = C0 [(1 + i)n 1]

IT = C0 [(1 + i )n 1]

C0 = Cn IT

C0 = Cn (1 + i )nCC

in

n0 1=

+( )

5. Capitalizacin, actualizacin y equivalencia financiera en capitalizacin compuesta5.1 Capitalizacin compuesta

62

La seora Sancho deposita en un banco 10 000 euros, aplazo fijo durante tres aos a un inters compuesto del4 % anual.

Halla la cantidad que recibir al cabo de los tres aos quedura la operacin financiera.

Solucin

C0 = 10 000 ; n = 3 aos

i = 0,04 por uno anual ; Cn = ?

Cn = C0 (1 + i )n

Sustituyendo:

Cn = 10 000 (1 + 0,04)3 = 10 000 1,043 = 11 248,64

Cn = 11 248,64

1

Casos prcticos

Calcula el capital inicial que, colocado a un inters del 4% anual durante cinco aos, produjo un montante o capi-tal final de 100 000 euros.

Solucin

C0 = ? ; n = 5 aos

i = 0,04 por uno anual ; Cn = 100 000

C0 = Cn (1 + i )n

Sustituyendo:

C0 = 100 000 (1 + 0,04)5 = 82 192,71

C0 = 82 192,71

2

Casos prcticos

D. Clculo del tipo de inters

A partir de la frmula del capital final o montante,vamos a despejar i:

; ;

De donde:

o bien

E. Clculo del tiempo

Del mismo modo que en el apartado anterior, y par-tiendo de Cn = C0 (1 + i)n, tomando logaritmos:

log Cn = log C0 (1 + i)n

Y desarrollando la expresin:

log Cn = log C0 + n log (1 + i)

Despejando n:

nC C

in

=

+( )log log

log0

1

iCC

n n=

0

1

1iCC

nn= 0

1

CC

inn0

1= +CC

in n0

1= +( )C C in n= +0 1( )



63

Determina la cantidad que tendr que ingresar el seorBlasco en concepto de intereses por un prstamo de100 000 euros dentro de cuatro aos en un banco, si eltipo de inters compuesto pactado es del 4,5 % anual.

Solucin

C0 = 100 000

i = 0,045

n = 4 aos

IT = ?

IT = C0 [(1 + i)n 1]

Sustituyendo:

IT = 100 000 [(1 + 0,045)4 1] = 19 251,860

IT = 19 251,86

3

Casos prcticos

Calcula el tipo de inters al que estuvieron colocados90 000 euros durante cuatro aos, si se convirtieron en107 327 euros.

Solucin

C0 = 90 000 ; i = ?

n = 4 aos ; Cn = 107 327

Sustituyendo:

Inters = 4,5 %

i =

=

107 32790 000

1 0 04514 ,

iCC

n n=

0

1

14

Casos prcticos

5. Capitalizacin, actualizacin y equivalencia financiera en capitalizacin compuesta5.1 Capitalizacin compuesta

64

Cuntos aos han pasado desde que en una entidadfinanciera se depositaron 500000 euros, al 5 % de interscompuesto, si hoy se reciben 670 047,80 euros?

Solucin

C0 = 500 000

i = 0,05 por uno anual

n = ?

Cn = 670 047,80

Sustituyendo:

Tiempo = 6 aos

=

=5,8261058 5,69897

0,0211892996

n =

+( ) =log 670 047,80 log 500 000

log 1 0,05

nC C

in

=

+( )log log

log0

15

Calcula el tiempo necesario para que un capital colocadoal 4% de inters compuesto se duplique.

Solucin

Cn = 2 C0

i = 0,04

n = ?

Cn = C0 (1 + i)n

Sustituyendo:

2 C0 = C0 (1 + 0,04)n ; 2 = (1 + 0,04)n

Tomando logaritmos:

log 2 = n log (1,04)

n = 17 aos + 0,6729 aos

1 ao 12 meses

0,6729 x meses

8,0748 meses

x = 8 meses + 0,0748 meses

1 mes 30 das

0,0748 x das

2 das

x = 2 das

n = 17 aos, 8 meses y 2 das

x =

=30 0 0748

1,

x =

=12 0 6729

1,

n = =log

log ,,

21 04

17 6729

6

Casos prcticos

C0

Cn


5.2 Comparacin entre capitalizacin compuesta y simple

65

Segn hemos visto en los apartados anteriores, losmontantes obtenidos en la capitalizacin compuesta ysimple son:

Capitalizacin compuesta Capitalizacin simple

Cn = C0 (1 + i)n Cn = C0 (1 + n i)

Como se puede observar, estas dos expresiones se dife-rencian entre s por los factores de capitalizacin:(1 + i)n para la capitalizacin compuesta, y (1 + n i)para la capitalizacin simple.

Si damos valores a ambas frmulas, comprobamos quepara n = 0 y n = 1 el valor de Cn coincide, siendo dife-rente para los restantes valores. En el caso de que nest comprendida entre 0 y 1, observa la Figura 5.2.

De la comparacin anterior podemos decir que el mon-tante de capitalizacin es mayor en la capitalizacinsimple en periodos inferiores al ao, igual para un aoy menor en periodos superiores al ao.

Por tanto, las operaciones financieras superiores a unao utilizarn el inters compuesto, en operaciones aun ao ser indiferente el uso de un sistema de capita-lizacin u otro y en las operaciones inferiores a un ao,habitualmente, se adoptar la capitalizacin simple.

Fig. 5.2. Comparacin de los montantes en interscompuesto y simple para valores de n entre 0, 1 y ms.

Calcula el capital final en capitalizacin compuesta y simple de100 000 euros colocados a un tipo de inters del 5 % anual. Pri-mero, si el periodo de capitalizacin es de seis meses; segundo,si es de un ao, y tercero, si el periodo de capitalizacin es decinco aos.

Solucin

C0 = 100 000 euros

i = 0,05

n = 0,5 ao, 1 ao y 5 aos

Cn = ?

7

Casos prcticos

Cn (compuesto) = C0 (1 + i )n

C0 (1 + i )

0 1 Nmero de aos

C0

Cn (simple) = C0 (1 + n i )

Cn

Tabla. 5.1. Comparacin de sistemas de capitalizacin.

Cn (simple) = Cn (compuesta)

Cn (simple) = Cn (compuesta)

Cn (simple) > Cn (compuesta)

Cn (simple) < Cn (compuesta)

n = 0

n = 1

0 < n < 1

n > 1

CapitalesTiempo

Cn = 100 000 (1 + 0,05)0,5 == 102 469,51 euros

Cn = 100 000 (1 + 1 + 0,05)1 == 105 000 euros

Cn = 100 000 (1 + 5 + 0,05)5 == 125 000 euros

Cn = 100 000 (1 + 0,5 0,05) = 102 500 euros

Cn = 100 000 (1 + 10,05) = 105 000 euros

Cn = 100 000 (1 + 5 0,05) = 125 000 euros

6 meses

1 ao

5 aos

Capitalizacin compuestaCn = C0 (1 + i)n

Capitalizacinsimple

Cn = C0 (1 + n i )Tiempo

5.2 Comparacin entre capitalizacin compuesta y simple

Habitualmente, en las operaciones financieras corrien-tes se fija el tipo de inters anual aplicable, y elmomento de hacer efectivo el inters se correspondecasi siempre con fracciones de ao. En las operacionesfinancieras siempre debe aparecer la Tasa Anual Equi-valente (TAE), aunque los periodos de capitalizacinestn fraccionados en semestres, trimestres, meses,etctera.

Al realizar el clculo matemtico, el tipo de inters yla duracin de la operacin financiera deben estarmedidos en las mismas unidades de tiempo.

Tantos equivalentes son aquellos que, aplicados a unmismo capital, producen idntico montante o capitalfinal durante el mismo tiempo, aunque se refieran aperiodos diferentes de capitalizacin.

A. Inters nominal

Entendemos por inters nominal el tanto proporcionalanual (J (m)); se obtiene multiplicando m veces el tipode inters de un periodo fraccionado (i(m)).

De donde, si queremos calcular el tipo de inters de lafraccin de ao a que corresponde, debemos simple-mente dividir el inters nominal entre el nmero deveces que estn incluidos los periodos de abono o cargode intereses en el ao (m).

m : Frecuencia de fraccionamiento o nmero de vecesque est incluido el periodo de referencia en unao (meses, trimestres, semestres).

En todo contrato financiero deben aparecer tanto elinters nominal como el efectivo o Tasa Anual Equiva-lente (TAE).

B. Inters efectivo o Tasa AnualEquivalente (TAE)

El inters efectivo o Tasa Anual Equivalente es el tipode inters i realmente abonado o cargado a las opera-ciones financieras en un ao.

Por ejemplo, un euro invertido un ao al tanto i propor-ciona un capital final igual a Cn = C0 (1 + i)1. El mismoeuro invertido durante el mismo periodo de tiempo, perocon frecuencias de capitalizacin referidas al tanto i(m),proporciona un capital final igual a (1 + i(m))m.

Para que el tanto i sea equivalente financieramente ai(m), los dos capitales finales, por definicin, han de seriguales, por lo que:

Si realizamos una serie de operaciones matemticas,podemos obtener:

a) El tipo de inters efectivo anual o Tasa Anual deEquivalencia (TAE), en funcin del tipo fraccionado:

b) O bien el tipo de inters efectivo de un periodofraccionado en funcin del tipo de inters efec-tivo anual (TAE):

i = (1 + i(m))m 1

(1 + i) = (1 + i(m))m

iJm

mm

( )=

( )

J (m) = m i(m)

5. Capitalizacin, actualizacin y equivalencia financiera en capitalizacin compuesta5.3 Tantos equivalentes en inters compuesto

66

5.3 Tantos equivalentes en inters compuesto

Halla el inters nominal anual correspondiente al 2 % efectivosemestral.

Solucin

i(2) = 0,02m = 2

J (m) = ?

J (m) = m i(m)

Sustituyendo:

J (m) = 2 0,02 = 0,04

J (m) = 4 %

8

Casos prcticos


5.3 Tantos equivalentes en inters compuesto

67

(1 + i) = (1 + i(m))m ;

(1 + i)1/m = 1 + i(m)

Despejando i(m):

C. Comparacin entre el tipo de inters nominal y el efectivo

Dado que en algunos documentos mercantiles seexpresa el tipo de inters nominal solamente, es nece-sario poder calcular el tipo de inters efectivo en fun-cin del nominal.

Para ello basta con sustituir en la frmula de equivalenciade tantos el valor i(m) por el correspondiente nominal:

i = (1 + i(m))m 1 ;

De donde:

Si comparamos la Tasa Anual Equivalente, i, y el tipo deinters nominal, J (m), podemos observar que: i > J (m)

El tanto real anual (TAE) es el que debemos conocerpara comparar diferentes operaciones financieras condistintos periodos de capitalizacin.

iJm

m m

= +

1 1

( )

iJm

mm

( )( )

=

i(m) = (1 + i)1/m 1

1 1+( ) = + ( )i im m mm ( )

Fig. 5.3. Comparacin entre tipo de inters nominalefectivo y de un periodo fraccionado.

Calcula la TAE correspondiente al 2 % efectivo semestral.

Solucin

i (2) = 0,02 ; m = 2i = ?

i = (1 + i (m))m 1

Sustituyendo:

i = (1 + 0,02)2 1 = 0,0404

i = 0,0404

Cul ser el inters efectivo semestral si la TAE es del 6 %?

Solucin

i = 0,06 ; m = 2 ; i(2) = ?

i (m) = (1 + i)1/m 1

Sustituyendo:

i(2) = (1 + 0,06)1/2 1 = 0,029563

i(2) = 0,029563

Calcula la tasa anual equivalente si el tipo de inters nominalanual es del 8 %. Capitalizacin mensual.

Solucin

J(m) = 0,08 ; m = 12 ; i = ?

Sustituyendo:

TAE = 8,29995 %

i = +

=1

0 0812

1 0 08299512

,,

iJm

m m

= +

1 1

( )

11

10

9

Casos prcticos

iTAE

J (m)

i (m)

Se entiende por capitalizacin fraccionada cuando elperiodo de capitalizacin no es anual, como, por ejem-plo, semestres, bimestres, meses.

En este caso, hemos de trabajar con un tipo de intersreferido al periodo de capitalizacin (tanto fraccio-nado), ya que, como sabemos, el tanto fraccionadodebe venir medido en la misma unidad de tiempo; porejemplo, periodo de capitalizacin semestral, tantosemestral y el tiempo expresado en semestres.

La frmula del capital final o montante para capitaliza-cin fraccionada ser:

Cn = C0 (1 + i(m))nm

C0 : Capital inicial.

i (m) : Tanto fraccionado, referido al periodo decapitalizacin.

n m : Tiempo total de la operacin, medido en lamisma unidad que el tanto fraccionado.

A. Capitalizacin en tiempo fraccionado

Entendemos la capitalizacin compuesta en tiempofraccionado como la operacin financiera en la que eltiempo de capitalizacin no es un nmero exacto deperiodos (aos). Para calcular el capital final en estetipo de capitalizacin existen las soluciones siguientes:

Convenio exponencial. El clculo del capital final serealiza mediante la aplicacin de la frmula generalde capitalizacin compuesta.

Convenio lineal. Capitaliza a inters compuesto unnmero exacto de aos y a inters simple la fraccinrestante.

Cn = C0 (1 + i)n (1 + m i)

Cn = C0 (1 + i)n + m

5. Capitalizacin, actualizacin y equivalencia financiera en capitalizacin compuesta5.4 Capitalizacin fraccionada

68

5.4 Capitalizacin fraccionada

Halla el montante de capitalizacin de 400 000 euroscolocados al 3 % de inters semestral con capitalizacinmensual durante cuatro aos.

Solucin

C0 = 400 000

i(2) = 0,03

n = 4 aos

m = 12 meses

Cn = ?

Cn = C0 (1 + i (m))nm

Hemos de poner el tanto de inters y el tiempo, con refe-rencia al periodo de capitalizacin.

(1 + i (2))2 = (1 + i (12))12

Si efectuamos una serie de operaciones matemticas,obtenemos:

i (12) = (1 + i(2))1/6 1

i (12) = (1,03)1/6 1 = 0,0049386

Cn = 400 000 (1 + 0,0049386)412 = 506 707,4993

Cn = 506 707,50

12

Casos prcticos

La actualizacin o descuento compuesto es toda ope-racin financiera consistente en la sustitucin de uncapital futuro por otro con vencimiento presente. Es,por tanto, una operacin inversa a la capitalizacincompuesta, existiendo una completa identidad entreambas, por lo que todas las particularidades que hemosestudiado en la capitalizacin compuesta son aplica-bles a la actualizacin (vase la Figura 5.4).

Llamaremos:

D : Descuento.

Cn : Nominal o cantidad a pagar en el vencimiento.

C0 : Efectivo o cantidad pagada realmente.

A. Descuento racional compuesto (Dr)

Es la cantidad que en concepto de intereses genera elefectivo desde su pago hasta el vencimiento del nomi-nal. Por tanto, el clculo de los intereses se har sobreel efectivo:

Dr = Cn C0

Dr = C0 (1 + i)n C0 = C0 [(1 + i)n 1]

Dr = C0 [(1 + i)n 1]

Si sustituimos C0 en la frmula anterior por su valor enfuncin del nominal, segn

entonces:

; Dr = Cn [1 (1 + i)n]DC

iiT

nn

n=

+( ) +( ) 1 1 1

CC

in

n0 1=

+( )

D = Cn C0


5.5 Actualizacin compuesta o descuento compuesto

69

Calcula el montante de 300 000 euros al 5 % de interscompuesto anual durante tres aos y seis meses. Conve-nio exponencial y lineal.

Solucin

C0 = 300 000 ; i = 0,05

Tiempo = 3 aos y 6 meses ; Cn = ?

Convenio exponencial: Cn = C0 (1 + i)n+m

Cn = 300 000 (1 + 0,05)3+0,5 = 355 863,7914

Cn = 355 863,79

Convenio lineal: Cn = C0 (1 + i)n (1 + m i)

Cn = 300 000 (1 + 0,05)3 (1 + 0,5 0,05) =355 969,6875

Cn = 355 969,69

13

Casos prcticos

Fig. 5.4. Descuento compuesto.

Cn C0

0 n

Descuento

5.5 Actualizacin compuesta o descuento compuesto

B. Descuento comercial compuesto (Dc)

Es la cantidad que en concepto de intereses genera elnominal desde el momento del pago del efectivo hastasu propio vencimiento. Por tanto, el clculo de los inte-reses se har sobre el nominal.

Dado un nominal Cn, al que se le aplica un descuento porperiodo en tanto por uno de d, en el momento Cn1, habrdisminuido Cn d, por lo que podremos escribir:

Cn1 = Cn Cn d = Cn (1 d)

Cn2 = Cn1 Cn1 d = Cn1 (1 d) =

= Cn (1 d) (1 d) = Cn (1 d)2

Cn3 = Cn2 Cn2 d = Cn2 (1 d) =

= Cn (1 d)2 (1 d) = Cn (1 d)3

Siguiendo sucesivamente:

C0 = C1 C1 d = C1 (1 d) =

= Cn (1 d)n1 (1 d) = Cn (1 d)n

Si expresamos el descuento en funcin del nominal:

Dc = Cn Cn (1 d)n = Cn [1 (1 d)n]

Ahora se pueden obtener el tanto de descuento y eltanto de inters equivalentes; para ello, bastar conhacer Dc = Dr.

Los tantos i y d sern equivalentes cuando, al ser apli-cados a los mismos capitales durante el mismo periodode tiempo, dan valores actuales o efectivos iguales, olo que es lo mismo, tienen el mismo descuento.

Cn [1 (1 d)n] = Cn [1 (1 + i )n]

De donde, simplificando:

Eliminando exponentes: , por lo que:

e

Independientemente de cul sea el valor de n.

id

d=

1d

ii

=

+1

11

1 =

+d

i

11

1( ) =

+d

in

n( )

Dc = Cn [1 (1 d)n]

C0 = Cn (1 d)n

5. Capitalizacin, actualizacin y equivalencia financiera en capitalizacin compuesta5.5 Actualizacin compuesta o descuento compuesto

70

La empresa Rozas, S.A., tiene en este momento una letrade cambio de 50 000 euros pendiente de pago, con ven-cimiento dentro de dos aos. Cul ser el importe querecibir Rozas, S.A., en caso de que se quiera descontardicha letra en una financiera que trabaja al 8,1 % anualde descuento a inters compuesto?

Solucin

Cn = 50 000 ; n = 2 aos ; i = 0,081 ; C0 = ?

a) Descuento racional:

Dr = Cn [1 (1 + i )n]

Sustituyendo:

Dr = 50 000 [1 (1 + 0,081)2] = 7 212,332

C0 = Cn Dr

C0 = 50 000 7 212,33 = 42 787,67

C0 = 42 787,67

b) Descuento comercial:

Dc = Cn [1 (1 d)n]

Sustituyendo:

Dc = 50 000 [1 (1 0,081)2] = 7 771,95

C0 = Cn Dc

C0 = 50 000 7 771,95 = 42 228,05

C0 = 42 228,05

14

Casos prcticos


5.6. Tanto medio en capitalizacin compuesta

71

Dados los capitales C1, C2, ..., Ck, colocados durante elmismo tiempo n, pero a los tipos i1, i2, ..., ik, existe untipo ih que, aplicado a dichos capitales durante elmismo tiempo, produce un idntico montante total.Este tipo recibe el nombre de tanto medio.

Matemticamente:

C1 (1 + ih)n + C2 (1 + ih)n + ... + Ck (1 + ih)n =

= C1 (1 + i1)n + C2 (1 + i2)n + ... + Ck (1 + ik)n

Simplificando la expresin:

Desarrollando:

Despejando ih:

ih

C i

C

s sn

s

k

ss

k

n

=

+

=

=

( )1

11

1

1

( )

( )

1

11

1

+ =

+=

=

i

C i

Ch

ns s

n

s

k

ss

k

( ) ( )1 111

+ = +==

i C C ih n s s s ns

k

s

k

C i C is h n s sn

s

k

s

k

( )1 111

+ = +( )==

Qu tanto a inters compuesto se aplic en una opera-cin de descuento que dur tres aos y que supuso undescuento comercial de 1 000 000 de euros para un mon-tante de 5 000 000 de euros?

Solucin

Cn = 5 000 000 ; n = 3 aos ; Dc = 1 000 000

Tanto de descuento:

Dc = Cn [1 (1 d)n]

Sustituyendo:

1 000 000 = 5 000 000 [1 (1 d)3]

= (1 d)3 ; 0,8 = (1 d)3

d = 1 0,92831777 = 0,07168223

Tanto de descuento 7,17 %

Tanto de inters:

Sustituyendo:

Tanto de inters 7,72 %

i =

=0 07168223

1 0 071682230 077217341

,,

,

id

d=

1

0 8 13 , = d

115

15

1 1 3= ( )d

15

Casos prcticos

5.6 Tanto medio en capitalizacin compuesta

5. Capitalizacin, actualizacin y equivalencia financiera en capitalizacin compuesta5.7. Equivalencia de capitales en capitalizacin compuesta

72

El seor Jimnez, que posee tres inversiones en diferen-tes entidades financieras a inters compuesto durante dosaos, desea saber cul es la rentabilidad media de las mis-mas. Calcula dicha rentabilidad sabiendo que las inversio-nes son:

8 700 euros al 4 % anual.10 000 euros al 5 % anual.12 300 euros al 6 % anual.

Solucin

Cs (1 + is)n Cs (1 + is)n

8 700 1,0816 9 409,9210 000 1,1025 11 025,0012 300 1,1236 13 820,28

31 000 34 255,20

Tanto medio 5,12 %

ih =

=

34 255 2031 000

1 0 511929

12,

,

i

C i

Ch

s sn

s

k

ss

k

n

=

+

=

=

( )1

11

1

1

16

Casos prcticos

Diremos que dos o ms capitales son equivalentes si susvalores actuales son equivalentes para un mismo tipode inters, referidos a un mismo momento.

Supongamos dos capitales, C1 y C2, con vencimiento enn1 y n2, respectivamente; para que sean equivalentesen capitalizacin compuesta ha de ocurrir queC1(1 + i)n1, que es el valor actual del primer capital,sea igual a C2 (1 + i )n2, que es el valor actual delsegundo capital, referidos al momento 0; es decir, talcomo aparece en la Figura 5.5.

C1 (1 + i )n1 = C2 (1 + i)n2

Para buscar otro momento de equivalencia cualquieran, procederemos a multiplicar ambos trminos de laigualdad anterior por (1 + i)n:

C1(1 + i)n1 (1 + i)n = C2(1 + i)n2 (1 + i)n

Operando:

C1(1 + i)nn1 = C2(1 + i)nn2

El valor de n puede ser:

a) Inferior a n1 y n2: en este caso, la expresin anteriorse convierte en la actualizacin de ambos capitalesdesde su vencimiento hasta n (vase la Figura 5.6).

Fig. 5.5. Capitales equivalentes.

5.7 Equivalencia de capitales en capitalizacin compuesta

n1

C10

n1 n2

n2

C2

n1n

C1n

n1 n2

C2n2 n


Dados los capitales C1, C2, C3, ..., Ck con vencimiento enn1, n2, ..., nk, se pueden sustituir por un nico Cn convencimiento en n siempre que exista una equivalenciafinanciera.

Para su clculo partimos de:

Cn(1 + i)n =

= C1(1 + i )n1 + C2(1 + i)n2 ++ Ck(1 + i)nk

Abreviando y despejando:

o C C in s n n

s

ks= +

=

( )11

C

C i

in

sn

s

k

n

s

=

+

+

=

( )( )

1

11

C i C in n s n

s

ks( ) ( )1 1

1

=+ +

=

Ci

Ci

Ci

Ci

nn n n

knk( ) ( ) ( )

...( )1 1 1 1

1 21 2+

=

++

++ +

+


5.8 Sustitucin de varios capitales por uno nico

73

b) Intermedio entre n1 y n2: en este caso, la expresinanterior se convierte para el primer trmino de laigualdad en el montante producido por C1 entre suvencimiento y n, y para el segundo en la actuali-zacin de C2 desde su vencimiento hasta n (vasela Figura 5.7).

c) Superior a n1 y n2: en este caso, la expresin repre-senta el montante de C1 y C2 desde su vencimientohasta n (vase la Figura 5.8).

De lo visto hasta ahora se puede concluir que, en capi-talizacin compuesta, para un tipo de inters dado, doscapitales equivalentes en un momento cualquiera loson tambin en cualquier otro.


Fig. 5.8. Capitales equivalentes.nn1

C1nn1 n2

C2n2n

C1n

n1 n2C2

nn2

nn1

Si la sociedad Rizos, S.A., tiene tres capitales de 30 000, 40 000y 60 000 euros, con vencimiento a los dos, tres y cuatro aos,respectivamente, y se desean sustituir por un nico capital convencimiento a los cinco aos, cul deber ser el importe delmismo si el tipo de inters aplicado es del 5 % compuesto anual?

Solucin

Cs (1 + i)nns Cs (1 + is)nns

30 000 (1 + 0,05)52 34 728,7540 000 (1 + 0,05)53 44 100,0060 000 (1 + 0,05)54 63 000,00

141 828,75

Cn = 141 828,75

C C in s n n

s

ks= +

=

( )11

17

Casos prcticos

5.8 Sustitucin de varios capitales por uno nico

Cuando en un caso de vencimiento comn la suma delos nominales de los capitales a ser sustituidos es igualal nominal del capital que los sustituye, se puedehablar de vencimiento medio.

Es decir, si:

Entonces:

n

C C i

i

s sn

s

k

s

ks

=

+

+

==

log log ( )log ( )

1

111

C C C C C Ck n ss

k

n1 21

+ + + = ==

;

Hablamos de vencimiento comn cuando en un mo-mento n se produce la sustitucin de un conjunto decapitales con diferentes vencimientos por uno nico.

Hay que despejar n de la frmula del apartado anterior.

Tomando logaritmos: Y despejando n:

n

C C i

i

n sn

s

ks

=

+

+

=

log log ( )log( )

1

11

log log ( ) log ( )C C i n in s n

s

ks1 1

1

+ = +

=

log log ( ) log ( )C C i in s n

s

kns= + +

=

1 11

log log

( )

( )C

C i

in

sn

s

k

n

s

=

+

+

=

11

1

5. Capitalizacin, actualizacin y equivalencia financiera en capitalizacin compuesta5.9 Vencimiento comn

74

5.9 Vencimiento comn

5.10 Vencimiento medio

Calcula el vencimiento comn de tres capitales de3 000 000, 5 000 000 y 7 000 000 de euros, con venci-miento a los tres, cuatro y cinco aos, respectivamente, sise desea sustituirlos por uno nico de 17000000 de euros,aplicando un 4% anual en capitalizacin compuesta.

Solucin

Cn = 17 000 000

Cs (1 + i)ns Cs (1 + is)ns

3 000 000 0,88899636 2 666 989,085 000 000 0,85480419 4 274 020,957 000 000 0,82192711 5 753 489,77

12 694 499,80

= 7,446 aos

n = 7,446 aos

1 ao 12 meses x = 5,352 meses0,446 x meses 1 mes 30 das x 11 das0,352 x das


n =log log ,

log ,17 000 000 12 694 499 80

1 04

18

Casos prcticos


5.10 Vencimiento medio

75

Cul ser el vencimiento medio de tres capitales de100000, 200000 y 300000 euros, con vencimiento a tres,cuatro y cinco aos, respectivamente, aplicando un 4,5 %en capitalizacin compuesta?

Solucin

Cs (1 + i)ns Cs (1 + is)ns

100 000 0,87629660 87 629,660200 000 0,83856134 167 712,268300 000 0,80245105 240 735,315

600 000 496 077,243

1 ao 12 meses x = 3,852 meses0,321 x meses

1 mes 30 das x = 26 das0,852 x das


n =

=

log log ,log ,

,600000 496077 243

1 0454 321

n

C C i

i

s sn

s

k

s

ks

=

+

+

==

log log ( )log ( )

1

111

19

Cul ser el vencimiento medio de tres capitales de47 500, 21 250 y 42 300 euros, con vencimiento a un aoy tres meses el primero, un ao y nueve meses el segundoy dos aos el tercero, sabiendo que se aplica capitaliza-cin trimestral a inters compuesto y una TAE del8,244 %?

Solucin

a) Clculo del tipo trimestral

i(4) = (1 + i )1/4 1 = 1,082441/4 1 = 0,02

b) Resolucin

Cs (1 + i)ns

47 500 0,905730821 250 0,8705601

300 000 0,8534903

111 050

Cs (1 + is)ns

43 022,2118 499,4036 102,64

97 624,25

= 6,506 trimestres

n = 6,506 trimestres o 1 ao, 7 meses y 15 das

n =log log ,

log ( , )111050 97624 25

1 02

= +

=

C is ns

( )11

3s

=

=

Css 1

3

n

C C i

i

s sn

ss

s

=

+

+

==

log log ( )log ( )

1

11

3

1

3

20

Casos prcticos

5. Capitalizacin, actualizacin y equivalencia financiera en capitalizacin compuestaActividades

76

Conceptos bsicos

Capitalizacin compuesta. Es la ley financiera segn la cuallos intereses de cada periodo se agregan al capital para calcular los intereses del periodo siguiente, y as sucesiva-mente, hasta el momento de cierre de la operacin financiera.

Tantos equivalentes. Son aquellos que, aplicados a un mismocapital, producen idntico montante o capital final durante elmismo intervalo de tiempo, aunque se refieran a diferentesperiodos de capitalizacin.

Inters nominal. Es el tanto proporcional anual; se obtiene mul-tiplicando m veces el tipo de inters de un periodo fraccionado.

Inters efectivo o Tasa Anual Equivalente (TAE). Es el tipode inters realmente abonado o cargado a las operacionesfinancieras en un ao.

Capitalizacin compuesta en tiempo fraccionado. Es la ope-racin financiera en la que el tiempo de capitalizacin no esun nmero exacto de periodos (aos).

Actualizacin o descuento compuesto. Es toda operacinfinanciera consistente en la sustitucin de un capital futuropor otro con vencimiento presente. Es la operacin inversa dela capitalizacin.

Equivalencia de capitales. Dos o ms capitales son equiva-lentes cuando sus valores actuales son equivalentes para unmismo tipo de inters, referidos a un mismo momento.

Sustitucin de varios capitales por uno nico. Dados loscapitales C1, C2, C3, ..., Ck, con vencimiento n1, n2, n3, ..., nk,se puede sustituir por uno nico Cn con vencimiento en nsiempre que exista una equivalencia financiera.

Vencimiento comn. Es el momento en el que se produce lasustitucin de un conjunto de capitales con diferentes venci-mientos por uno nico.

Vencimiento medio. Es un caso especfico del vencimientocomn que se da cuando la suma de los nominales de los capi-tales a ser sustituidos es igual al nominal del capital que loconstituye.

Cuando n es superior a n1 y n2

Cuando n es intermedio a n1 y n2

Cuando n (momento de equivalencia) es inferior a n1 y n2

iTAE

J (m)

i (m)

Fig. 5.9. Comparacin entre tipo de inters nominal efectivo y deun periodo fraccionado.

n1n

C1n

n1 n2

C2n2 n

nn1

C1nn1 n2

C2n2n

C1n

n1 n2C2

nn2

nn1

Fig. 5.6.

Fig. 5.7.

Fig. 5.8.


Actividades

77

Cn = C0 + IT

C0 = Cn (1 + i)n

C0 = Cn (1 + i)n

IT = C0 [(1 + i)n 1]

J (m) = m i (m)

i = (1 + i (m))m 1

i (m) = (1 + i)1/m 1

Cn = C0 (1 + i)n+m

Cn = C0 (1 + i)n (1 + m i)

Dr = Cn [1 (1 + i)n]

Dc = Cn [1 (1 d)n]

C

C i

in

sn

s

k

n

s

=

+

+

=

( )( )

1

11

id

d=

1

di

i=

+1

iJm

m m

= +

1 1

( )

n

C C i

i

n sn

s

ks

=

+

+

=

log log ( )log ( )

1

11

i

C i

Ch

s sn

s

k

ss

k

n

=

+

=

=

( )1

11

1

1

iJm

mm

( )( )

=

nC C

in

=

+

log loglog ( )

0

1

iCC

nn= 0

1

Capitalizacin y actualizacin compuesta

5. Capitalizacin, actualizacin y equivalencia financiera en capitalizacin compuestaActividades

78

Actividades

1. La seora Blasco deposita en un banco 150 000 euros, aplazo fijo durante dos aos a un inters compuesto del4 % anual. Calcula la cantidad que recibir al cabo de losdos aos que dura la operacin financiera.

R: 162 240

2. El seor Ruedas desea saber la cantidad que recibir den-tro de cuatro aos, si en este momento deposita en unbanco 100000 euros al 4 % de inters compuesto anual.

R: 116 985,9

3. Calcula el capital inicial que, colocado a un inters del3 % anual durante cuatro aos, produjo un montante ocapital final de 140 000 euros.

R: 124 388,19

4. Halla el capital inicial que produjo un montante de13 400,96 euros al 4 % anual durante seis aos.

R: 10 590,97

5. Calcula la cantidad que tendr que ingresar el seorJimnez en concepto de intereses por un prstamo de200 000 euros dentro de cinco aos en un banco, si eltipo de inters compuesto pactado es del 5 % anual.

R: 55 256,32

6. La sociedad MIGAS, S.A., firma un contrato con una enti-dad financiera por el que recibe 2 000 000 de euros, quedebe devolver a los cuatro aos. Qu cantidad entregaren concepto de intereses si el tipo es del 8 % anual?

R: 720 978,92

7. Calcula el tipo de inters al que estuvieron colocados800 000 euros durante tres aos si se convirtieron en899 891,2 euros.

R: 4 %

8. Halla el tipo de inters que transform un capital inicialde 400 000 en 550 015 al cabo de los tres aos.

R: 11,2 %

9. Cuntos aos han pasado desde la colocacin en unaentidad financiera de 5 000 000 de euros, al 4,5 % deinters compuesto, si hoy se reciben 5 962 593 euros?

R: 4 aos

10. Si un capital de 140000 euros al 5 % se ha convertido en170000 , cunto tiempo dur la operacin financiera?

R: 3 aos, 11 meses y 22 das

11. Calcula el tiempo necesario para que un capital colocadoal 3 % de inters compuesto se duplique.


12. Halla el capital final en capitalizacin compuesta y sim-ple de 1 000 000 de euros, colocados a un tipo de inte-rs del 4 % anual; en primer lugar, si el periodo de capi-talizacin es de seis meses; en segundo, si el periodo decapitalizacin es de un ao, y en tercero, si el periodode capitalizacin es de seis aos.

R: Realiza el cuadro correspondiente

13. Determina el inters nominal anual correspondiente al1,8 % efectivo semestral.

R: 3,6 %

14. Calcula la TAE correspondiente al 1,8 % efectivo semes-tral y con el 1 % efectivo mensual.

R: 3,63 % y 12,68 %

15. Cul ser el inters efectivo semestral y mensual si laTAE es del 4,5 %?

R: 2,22 % y 0,36 %

16. Calcula la Tasa Anual Equivalente si el tipo de intersnominal anual es del 6 %. Capitalizacin mensual.

R: 0,06168 por uno

17. Halla el montante de capitalizacin de 300 000 euroscolocados al 2 % de inters semestral con capitalizacinmensual durante cuatro aos.

R: 351 497,81

18. Determina el montante de 300000 euros al 4 % de inte-rs compuesto anual durante cuatro aos y seis meses.Convenio exponencial y lineal.

R: 357 907,90 y 357 976,72

19. La empresa Limusinas, S.A., tiene en este momento unaletra de cambio de 50000 euros, pendiente de pago, convencimiento dentro de tres aos. Cul ser el importeque recibir Limusinas, S.A., en caso de que se quieradescontar dicha letra, en un banco que trabaja al 6 %anual de descuento a inters compuesto?

R: 41 529,20

20. Qu tanto a inters compuesto se aplic en una opera-cin de descuento que dur dos aos y que supuso un des-cuento de 100000 , para un montante de 500000 ?

R: 10,55 %

21. La empresa Castaos, S.L., adeuda un efecto comercialde 400 000 euros con vencimiento dentro de tres aos.Dado que se desea adelantar el pago, cunto deberentregar si el acreedor accede aplicando el descuentocomercial con un tipo del 8 % anual?

R: 311 475,20

22. El seor Juan Tenorio, que posee tres inversiones endiferentes entidades financieras a inters compuestodurante tres aos, desea saber cul es la rentabilidadmedia de las mismas. Calcula dicha rentabilidad sabiendoque las inversiones son:

18 000 euros al 4 % anual.

20 000 euros al 5 % anual.

32 300 euros al 5,5 % anual.

R: 4,97 %

23. Si la sociedad Risas, S.A., tiene tres capitales de400000, 800000 y 1 000000 de euros, con vencimientoa los dos, tres y cuatro aos, respectivamente, y sedesean sustituir por un nico capital con vencimiento alos cinco aos, cul deber ser el importe del mismo siel tipo de inters aplicado es del 6 % compuesto anual?

R: 2 435 286,4

24. Tres capitales de 300 000 euros cada uno, con venci-miento a los dos, tres y cuatro aos, respectivamente,van a ser sustituidos por uno nico dentro de un ao.Cul habr de ser su importe si se aplica un tipo deinters del 6 % anual?

R: 801 903,585

25. Calcula el vencimiento comn de tres capitales de60 000, 50 000 y 90 000 euros, con vencimiento a losdos, tres y cinco aos, respectivamente, si se desea sus-tituirlos por uno nico de 180 000 euros, aplicando un4,5 % anual en capitalizacin compuesta.

R: 1 ao y 2 meses

26. Cul ser el vencimiento medio de tres capitales de1 000 000, 2 500 000 y 5 000 000 de euros, con venci-miento a tres, cuatro y cinco aos, respectivamente,aplicando un 4,75 % en capitalizacin compuesta?


27. La seora Manuela coloca 25000 euros en una cuenta dealta remuneracin. Calcular el saldo disponible en lacuenta corriente al cabo de 8 meses si las nicas anota-ciones mensuales corresponden a los abonos de intere-ses de la cuenta con una TAE del 6 %.

R: 25 990,27


Actividades

79

Capitalizacion, Actualizaciony Equivalencia Financiera

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