1

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Como podemos manejar el riesgo bajo algunos suposiciones sobre el

tipo del riesgo

2

CAPM: Una introducción

• ¿Para qué sirve?• Para calcular VPN, necesitamos usar una tasa

de descuento• Pero, en general, el flujo del efectivo tiene

incertidumbre• ¿Cómo podemos tomar cuenta de ese riesgo?• ¿Cómo podemos cuantificarlo?

3

Modelo de Markowitz

• Supongamos que tenemos una variable aleatoria

• Suficiente ver los parámetros de la variable

• Si tenemos mas, debe de tomar cuenta de la relación entre variables: covarianza y correlación entre variables (con n variables, ¿cuantas hay?)

• Pero, cero correlación no significa independencia

4

Diversificación • Supongamos que hay dos acciones en mi portafolio

(X y Y sus rendimientos y P es el rendimiento del portafolio)

• P = aX + (1-a)Y donde a es la ponderación de X en el portafolio

• Calculamos E(P) y Var(P)

• E(P) = aE(X) + (1-a)E(Y)

• Var(P) = a2Var(X) + (1-a)2Var(Y) + 2a(1-a)Cov(X, Y)

5

Ejemplo

• Supongamos Var(X) = Var(Y)

• Entonces, Var(P) = Var(X)[a2 + (1-a)2 + 2a(1-a)r] donde r es la correlación entre X y Y (r=cov(X, Y)/sd(X)sd(Y))

• Podemos concluir que Var(P)Var(X)• Entonces, la curva se ve como una parábola

• Eso depende del nivel de la correlación

6

Riesgo (.)

Rendimiento E(.)

a=1

a=0

Varianza mínima

7

Frontera eficiente

• Min Var (P), nos da

• a = (2Y - rXY)/(2

Y + 2X - 2rXY)

• (también, tenemos que verificar que la condición de primer orden nos da una cosa mínima)

• En caso particular donde X = Y, tenemos a = 0.5

8

Riesgo (.)

Rendimiento E(.)

a=1

a=0

9

Riesgo (.)

Rendimiento E(.)

a=1

a=0

r = -1

r = 0 r = +1

10

Fondos múltiples

• Podemos construir las mismas curvas para cada par de fondos (acciones)

• Podemos construir con cada tres….• Finalmente, vamos a obtener una frontera que

representa todas las combinaciones posibles• Esa frontera, se llama la frontera eficiente• También, podemos construir el portafolio del

riesgo mínimo

11

Riesgo (varianza)

rendimiento

Portafolio delriesgo minimo

fronteraefficiente

12

Conclusión de Markowitz

• ¿Cómo voy a escoger una combinación de varios acciones?

• Eso depende de la preferencia (las curvas de indiferencia) de las personas

• Podemos representar las preferencias de varios personas así….

13

riesgo

rendimientoCurvas deindiferencia

14

riesgo

rendimientoCurvas deindiferencia

optimo

15

riesgo

rendimientoCurvas deindiferencia

Optimorojo

Optimoazul

16

Problema

• Supongamos hay 5,000 acciones• ¿Cuántas covarianzas tenemos que calcular?• Supongamos que tenemos información nueva

cada hora• tenemos que calcular esas cosas una y otra

vez• ¿hay una salida?

17

Método de Sharpe y Lintner

• Hay un fondo sin riesgo (¿qué será?)• Voy a suponer que su rendimiento es rf

• Entonces (rf) = ?• ¿Cómo cambiaría la frontera?• Otros suposiciones : cada persona puede

tener cualquier combinación (incluyendo fondos cortos)

• Cada persona tiene el mismo horizonte

18

Riesgo (varianza)

rendimientofronteraefficiente

rf

19

Riesgo (varianza)

rendimientofronteraefficiente

rf

20

Implicación

• Tenemos que considerar dos fondos: fondo sin riesgo y tangente con frontera eficiente (el portafolio del mercado)

• Todos los portafolios son combinaciones de esos dos fondos

• (el portafolio del mercado es una combinación de todos los fondos)

• (si consideramos mercados de bonos y acciones, todos están allí)

21

riesgo

rendimiento

Portafolio del mercado

rf

Altaaversional riesgo(verde)

Bajaaversional riesgo(azul)

Fondo 1

Fondo 2

22

La línea del mercado capital (Capital Market Line)

• El pendiente de la línea roja es

• [E(rm) - rf]/(rm)

• Entonces, la ecuación de CML es

• E(rP) = rf + ([E(rm) - rf]/(rm))(rP)

23

Derivación del CAPM

• En equilibrio, el mercado tiene todos los fondos hasta que no hay demanda exceso

• Vamos a poner wi = (valor de fondo i en el mercado)/(valor del mercado)

• Consideramos un portafolio donde voy a invertir a% en i y (1-a)% en el mercado

• rP = a(ri) + (1-a)(rM)

• Calculamos E(rP) y (rP)

24

derivación

)()1()()( MiP rEaraErE

2/12222 ])1(2)1([)( imMiP aaaar

Tomando la derivada con respeto a la proporción a

)()()(

MiP rErEa

rE

25

derivación

]42222[

])1(2)1([)(

222

2/1222221

imimmmi

immiP

aaa

aaaaa

r

26

m

mim

mia

P

P

P

P

m

mima

P

MiaP

rErE

ar

arE

rd

rdE

entonces

a

r

rErEa

rE

20

2

0

0

)()(

/)(

/)(

)(

)(

es pendiente el

)(

)()()(

27

m

mim

mi

m

fm

m

fm

rErErrE

entonces

rrE

2

)()()(

,

)(

es CML de pendiente el que sabemos Pero

28

Forma final

• Eso, nos da

• E(ri) = rf + (im/m2)[E(rm) - rf]

• (im/m2) tiene un nombre

• se llama “la beta” i= im/m2 de acción i

• Supongamos que i es el mercado

• Entonces, m = ?

• Beta es una medida de covariabilidad con el mercado beta>1 ó beta<1

29

Lección uno de CAPM

• Security Market Line (SML)

• E(ri) = rf + i[E(rm) - rf]

• Eso nos da una relación lineal entre E(ri) y i

• Entonces, tenemos la recta SML• Supongamos ri es arriba de la recta• rendimiento actual es más que está esperado• gente va a comprar, precio y rendimiento

30

E(ri)

i

SMLri

ri

31

Interpretación de la fórmula

• Beta es una medida de co-variabilidad con el mercado

• El mercado demanda rf como una compensación de un activo sin riesgo

• Entonces, el mercado demanda una cantidad “extra” i[E(rm) - rf] para compensar el riesgo que toma una inversionista en una acción con riesgo

• CAPM cuantifica el riesgo de la acción

32

Beta es aditiva

• Hay dos activos• Supongamos que sabemos las betas de cada

uno• ¿Cómo podemos calcular la beta de un

portafolio con ambos activos?• Esto es la suma ponderada• Ejemplo: beta1=0.5 valor $1000, beta2=1.5

valor $2000. Entonces, beta del portafolio:

33

Una aplicación

• Compañía A está considerando comprar otra compañía B

• B va a producir “cash flow” (flujo de efectivo) de $200 cada año

• B tiene beta de 1.2• el portafolio del mercado tiene rendimiento 15% y

de T-bills tiene 6%• ¿Cuál es el máximo que A va a pagar para

comprar B?

34

Solución

• Tenemos que valuar la compañía B• Sabemos que el flujo es 200 cada año• Necesitamos la tasa de descuento• Utilizamos la fórmula de CAPM

• rB=0.06+1.2(0.15-0.06)=0.168

• VPNB = 200/.168= 1190.48

• Si VPNA=2000, A=1, ¿qué es la beta de la compañía fusionada?

35

Beta en la vida real

• Hay países donde algunas acciones no se venden todos los días

• “comercio ligero” (thin trading)• La beta tal cual no se estima la beta propia• Tenemos que ajustar la beta• Errores en la medida• Si la beta verdadera es 1, la medida puede

decir 0.8

36

Beta de Scholes-Williams

• Primero corremos una regresión de rendimiento de tiempo t con el rendimiento de tiempo t-1 (beta(-1))

• Luego corremos una regresión de rendimiento de tiempo t con el rendimiento de tiempo t+1 (beta(+1))

• Beta (SW)=(beta(-1)+beta(0)+beta(+1))/k donde k=1+2 correlación en serie