TEMA 1 APROXIMACIÓN NUMÉRICA, ERRORES SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

INTRODUCCIÒN

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales se pueden resolver problemas representados en forma matemática usando operaciones aritméticas elementales +-*/, radicaciòn. El papel de los métodos numéricos en la soluciòn de problemas de ingenierìa se ha incrementado considerablemente con el desarrollo y avance de las computadoras digitales

Computadora: dispositivo que permite procesar informaciòn

Historia:

Abaco (Egipto y China)

Máquina sumadora de Pascal (1642)Suma y resta

Calculadora mecánica de Leibnitz (fines del siglo XVII)

40’sComputadoras electrónicas (tubos al vacìo)ENIAC DÉCADA DE LOS 40’S INTEGRADORA NUMERAL Y COMPUTADO9RA

TRANSISTORES (1960)

CIRCUITOS INTEGRADOS (CHIPS 1970)

COMPUTADORAS PERSONALES PC SUPER , MINI, MICRO, ETC

UN PROGRAMA es un conjunto de instrucciones ordenadas que el usuario da a una computadora

SOFTWARE. Programas y paqueterìas

HARDWARE. Elementos físicos: teclado, monitor, disco duro, drives, ratòn, dvd, quemador, scanner, etc

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ALGORITMO. Secuencia lógica de pasos necesarios para resolver un problema, debe tener un nùmero finito de pasos, ser lo más general posible para tratar cualquier caso particular, debe ser determinístico, es decir no dejar nada al azar.

DIAGRAMA DE FLUJO es una representación gráfica del algoritmo

SIMBOLOGÍA.

Tarea 1 HACER EN EL CUADERNO O NOTAS DE CLASE, UN BREVE RESUMEN DE LA HISTORIA DE LACOMPUTADORA, INVESTIGAR PRINCIPALES INSTRUCCIONES EN LENGUAJE C, SIMBOLOGÍA DE DIAGRAMAS DE FLUJO Fecha :

APROXIMACIÓN NUMÉRICA

Los métodos numéricos constituyen una aproximación numérica a la solución exacta del problema debido a que al auxiliarse de las calculadoras y/o computadoras para realizar los cálculos se originan errores porque dichos aparatos trabajan con un número determinado de cifras.

TIPOS DE ERRORES

ERRORES INHERENTES. (PROPIOS DE LOS DATOS) Son de apreciación ocurren al medir, leer, transmitir o reproducir la información

ERRORES POR TRUNCAMIENTO. Se presentan al utilizar series en los cálculos debido a que las series tienen un número infinito de términos y al hacer cálculos con ellas sólo se usan un número finito de ellos y se truncan los demás. Ocurren también cuando se usan números irracionales e, p, 2, etc.

ERRORES DE REDONDEO. Se presentan debido a que no siempre es posible utilizar todos los dígitos involucrados en las operaciones.

REGLA DEL REDONDEO (SIMÈTRICO) Si el valor del dígito posterior a la última cifra decimal que puede usarse es mayor o igual a 5 se agrega una unidad a dicha última cifra, en caso contrario el número no se aumenta.

Si se desprecian los dígitos siguientes al último a considerar, se le llama REDONDEO TRUNCADO o truncar

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E1E2E3…Em.d1d2d3…dnd n+1dn+2….

Si dn+1≥ 5 hacer dn= 1+dn

En caso contrario dn=dn

Ejemplo

Dado 8.73456465932

decimales Redondear simétricamente Truncar (redondeo truncado)

876543210

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Cómo se cuantifica el error?

x: valor realx1: valor aproximado

Error. Diferencia entre valor real y el valor aproximado , dimensiones

La magnitud del error se puede obtener con los conceptos de error absoluto y error relativo

Error absoluto. Diferencia en valor absoluto del valor real y del aproximado

, si es cantidad física, tiene dimensiones

Error relativo. Es el cociente en valor absoluto del error absoluto y el valor exacto. Se expresa generalmente en porcentaje.

, en decimales

, en % Si es cantidad física, no tiene dimensiones

Ejemplos:

El número e con 5 cifras decimales es igual a 2.71828, obtener el error absoluto y el error relativo que se comete al tomar : a) un término b) dos c) tres d)cuatro e) ocho

De la serie:

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ARITMÉTICA DE PUNTO FLOTANTE

UN NÚMERO DE PUNTO FIJO. Es un entero, puede ser cero o cualquier número positivo o negativo menor que 32768, ejemplos : -5, 34, 10000,3, 0,

NÚMERO DE PUNTO FLOTANTE son números reales, aquellos que se pueden representar como un número comprendido entre 0.1 y 1.0 multiplicado por una potencia de 10, similar a la notación cientìficaEjemplos

0.0, 6.0 –5.24. –0.000287, 15.016, 15E6

No son números de punto flotante: 12,345.6 , 234, 2E7. E5 (no tiene mantisa)

Cuando se expresa como un número entre 0.1 y 1.0 (sin incluirlo) y el primer dígito de la mantisa es diferente de cero se le llama número de punto flotante normalizado

Las máquinas realizan internamente la alineaciòn de los puntos decimales al realizar las operaciones aritméticas, siendo esto la aritmética de punto flotante; se hace la comparaciòn respecto a la mayor potencia y se indican los números respecto a dicha potencia, , se hace la suma y si la máquina sólo puede manejar hasta cierto número de dígitos, efectúa un error.

Dos números exactos pueden producir una cantidad con error cuando se hacen operaciones; por ejemplo consideremos una calculadora ficticia que sólo puede presentar mantisa normalizada de 4 dígitos y que redondea simétricamente a= 0.2222x100, b=0.9999x100, sumándolos dan la cantidad c=a+b=1.2221x100; al presentarlo como número de punto flotante normalizado: c=0.1222x101 introduce un redondeo simétrico

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Se dice que el número P1 se aproxima a P con t dígitos significativos si t es el entero más grade no negativo para el cual se c umple:

Ejemplo. Considere el número 10, para que p1 se aproxime a 10 con dos cifras significativas usando la definición , P1 debe cumplir:

Es decir, cualquier valor de p1 en el intervalo (9.5,10.5) cumple la condición.

En general para t dígitos significativos

si p>0

Por ejemplo si p=1000 y t=4;

999.5<p1<1000.5

El máximo error absoluto o el máximo error relativo que se puede cometer al obtener una c cantidad si se usar redondeo simétrico es 5 x 10 –t

Para el redondeo truncado es 10 x 10-t

PROPAGACIÒN DEL ERROR

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Si se realizan operaciones aritmèticas consecutivas, los errores se pueden aumentar o disminuir segùn la operaciòn de que se trate; lo cual trae efectos en las operaciones siguientes.

EXPRESIONES PARA CALCULAR EL ERROR EN LAS OPERACIONES ARITMÈTICAS

Sean x, y dos cantidades con errores ex, ey, y sus aproximaciones x1, y1

SUMA

x+y=(x1+ex)+(y1+ey)

(x+y)-(x1+y1)=ex+ey

ex+y=ex+ey

RESTA

De manera similar

ex-y=ex - ey

MULTIPLICACIÒN

xy- (xy-x1y1)=( x1+ex)*(y1+ey)=x1y1+eyx1+exy1+exey

x1ey+y1ex+exeyexy=x1ey+y1ex+exey ; si ex y ey tienden a cero, exy=x1ey+y1ex

DIVISION

(x/y)=((x1+ex)/(y1+ey))*(y1-ey)/(y1-ey); simplificando se obtiene

ex/y=(1/y1)ex-(x1/y12)ey; despreciando los productos de errores

Estas expresiones se pueden usar cuando se trabaja con cantidades medidas

En cantidades medidas

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Resoluciòn:

Mìnima divisiòn de la escalaMàximo error en una medición=resoluciòn /2

Por ejemplo, un reloj con marcas a cada minuto, resoluciòn=1 minuto emàxt=0.5 minCinta métrica graduada al mm; resoluciòn 1 mm, error màximo en la longitud=0.5 mm

Con el puro valor , si está bien reportado, podemos saber la resolución y el máximo error en la medición:

Por ejemplo:

2 m, resoluciòn 1 m, error máximo en la longitud=0.5 m

2.1 m resoluciòn 0.1 m, error máximo en la longitud=0.05 m

2.4 m resoluciòn 0.1m , error máximo en la longitud=0.05 m

Para calcular el error máximo en el perímetro de una poligonal:

P= l1+l2+l3+...+ln

emáxp= emáxl1+emáxl2+emáxl3+...+emáxln

Es decir si se conocen las longitudes medidas, se puede obtener la resoluciòn del aparato y el máximo error en el mismo, así que se puede calcular el máximo error en el perímetro

También para otras cantidades por ejemplo el producto para un área

A=BH;

Error máximo en el área

emáxaA=BemáxH+HemáxB + emáxBemáxH

Etc,

Para cocientes por ejemplo Presión= |Fuerza|/Área calcular su error máximo

Etc.

Para el error absoluto también se pueden usar las expresiones anteriores, tomando en cuenta los errores absolutos.

ex+y=ex+ey

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ex-y=ex - eyexy=x1ey+y1ex ex/y=(1/y1)ex+(x1/y12)ey; despreciando los productos de errores

CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD

Un método método numérico es convergente cuando tanto:

Y

O bien

En caso contrario será DIVERGENTE

Un método numérico CONVERGENTE será ESTABLE si la variación del error (absoluto o relativo) respecto al número de iteraciones es aproximadamente LINEAL

Será INESTABLE si la variación del error (absoluto o relativo respecto al número de iteraciones es aproximadamente EXPONENCIAL

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