UNIDAD 1APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES

Aproximación numérica y problema de caja negra.Sistema numérico de punto flotante.Error de redondeo.Error significativo.Error de truncamiento.Error absoluto.Error relativo.Convergencia.

OBJETIVO DE MÉTODOS NUMÉRICOS

El objetivo de Métodos Numéricos es resolver problemas numéricos complejos utilizando operaciones simples de la aritmética, con el fin de desarrollar y evaluar métodos para calcular resultados numéricos a partir de los datos proporcionados.

Los métodos de cálculo se denominan algoritmos.

X

Y

Un método numérico se puede definir como un sistema formado por datos de entrada, un algoritmo y una salida, que aporta una aproximación a una solución.

Para encontrar la respuesta más adecuada a un problema, éste se representa esquemáticamente a través de una caja negra.

MÉTODO NUMÉRICO

UNIDAD 1APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES La

• La aproximación numérica aparece de la diferencia entre las matemáticas

computacionales y las matemáticas exactas.

Matemáticascomputacionales

Matemáticasexactas

PRECISIÓN

FINITA INFINITA

LA CAJA NEGRALa caja negra negra representa la relación que existe entre los datos de

entrada y los de salida. Relación establecida mediante una función

matemática.

FUNCIÓNMATEMÁTICA

DATOS DE

ENTRADA

DATOS DE

SALIDA

LA CAJA NEGRAPor lo general se busca una entrada que genere una salida determinada

Factorespolíticos

Déficit en el

Gasto Público

Tasa de

desempleo

Eventodeportivo

Jugadores

Seleccionados

Éxito en la

competencia

LA CAJA NEGRA

FUNCIÓNMATEMÁTICA

Valor del

Dominio

Valor del

Codominio

2468

10

4163664

100

X2

LA CAJA NEGRA (EJEMPLO 1)

Si se tienen los siguientes valores de entrada y salida de una caja negra, y además se conoce que éstos se interrelacionan linealmente,

ENTRADA SALIDA5 5.24 4.25

¿ Cómo calcularían la entrada para que se

produzca una salida de 5?

LA CAJA NEGRA Solución del ejemplo 1

FUNCIÓNLINEAL

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

5.24.25

Y = mX + b

4.255.2

0123456

5 4

ENTRADA

SALID

A

54

LA CAJA NEGRA Solución del ejemplo 1

m = 0.95 b = 0.45 F(X) = 0.95 X + 0.45

X = 4.7894 0

2

4

6

ENTRADA

SALID

A

Serie1 0.5 1.4 2.4 3.3 4.3 5 5.2

0 1 2 3 4 4.79 5

EJERCICIO 1 (CAJA NEGRA) Suponga que en el problema de

caja negra, una entrada de 0 produce una salida de 7 y una

entrada de 5 origina una salida de 9.

¿Cuál sería la entrada si la salida objetivo es de 10?

Obtenga la solución analítica y gráficamente.

Si en una situación de caja negra se obtiene una salida de

2 y además, se conoce que una entrada de 2 produce 1 y una entrada de 1 origina una

salida de 3? ¿ Sería una buena entrada un

valor de 1.5 ?

EJERCICIO 2 (CAJA NEGRA)

Dependiendo de la fuente que los produzca, los errores en que se incurre

al utilizar las computadoras para resolver problemas aritméticos, se

pueden clasificar como: Error inherente. Error de truncamiento.

Error por redondeo. Error significativo.

Error propagado. Error absoluto. Error relativo.

TIPOS DE ERRORES

TIPOS DE ERRORES Errores

inherentes. Errores propios de

los datos. Se producen al

leer una magnitud en algún dispositivo de medición, debido a la imprecisión en los instrumentos o a error humano.

Error de truncamiento. Se presentar al utilizar

series en los cálculos. Como las series de las funciones trigonométricas Sen (X), Cos (X), etc.

Las series tienen un número infinito de términos y para hacer cálculos se utiliza un determinado número de dígitos.

Se presenta también en los números irracionales como П, e, etc.

Se genera al reemplazar un número real por un número de máquina más cercano.

Es consecuencia de la naturaleza finita del sistema numérico, que tiene una longitud de palabra finita.

TIPOS DE ERRORES Error por

redondeo. Se origina de la

imposibilidad de manejar en operaciones aritméticas todos los dígitos resultantes de una operación.

TIPOS DE ERRORES Error

significativo. Expresa que el

número de cifras significativas es menor de lo esperado.

Error propagado. Error de salida provocado

por un error de entrada.

ERROR DE PROCESO

Error de

entrada

Error propagado +

Error delproceso

ERRORES CUANTIFICABLES

Error Absoluto(E. A)

Siempre es positivo.Matemáticas puras.

E. A. = valor exacto – valor calculado

Error relativo(E. R.)

Generalmente se pone en forma porcentual.Matemáticas aplicadas.

E. R. = valor exacto-valor calculado

valor exacto 

E. R.= valor exacto-valor calculado

 

valor calculado

EJEMPLO 1 (ERRORES) Si la máquina con la que labora

tiene la capacidad de trabajar con 6 dígitos y el número con el que se realizarán cálculos es el 0.12345678.

Defina el error absoluto y el error relativo.

SOLUCIÓNEJEMPLO 1 (ERRORES)

ERROR ABSOLUTO = 0.00000078

ERROR RELATIVO = 0.000006318

Suponga que se debe evaluar la función

F(t) = a t 2 + b t + c

Donde a= 5, b= 7, c= -30X r =3.01 y X = 3

• ¿Cuál es el error absoluto?• Determina el error relativo.

EJEMPLO 2 (ERRORES)

SOLUCIÓNEJEMPLO 2 (ERRORES)

ERROR ABSOLUTO = 0.375

ERROR RELATIVO (ENTRADA)= 0.3322 E -2 (SALIDA) = 1.02 E -2

FUNCIÓNF (X)

X = 3

X = 3.01

F(X) =36

F(X) = 36.3705

ERROR RELATIVO0.3322 E -2

ERROR RELATIVO1.02 E -2

OBSERVAR QUE EL ERROR RELATIVO PROPAGADO ES CASI TRES VECES MAYOR QUE EL ERROR RELATIVO DE ENTRADA

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Una empresa que se dedica a manufacturarlápices labiales, evalúa la aceptación de su producto Cmediante la ecuación a X3 + b X2 + X = 4,donde a representa la estabilidad del proceso, cuyo valor es de 7 y la variable X es el deslizamiento.

Por otro lado, el deslizamiento X se determina a través de la relación log Y.

Los datos Y leídos en un día, en los instrumentosindicadores del proceso son los siguientes: 0.124, 0.66,0.724, 0.3804, 0.3605, 0.4434, 0.215, 0.4303, 0.1111, 0.212.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Sin embargo, sólo se inspeccionarán aquellos datosque originen un deslizamiento que se encuentra enel rango [ 0.3, 0.83].

Para que el lote se comercialice sin problemas,requiere que C sea menor a 9.534 y mayor a 4.2733.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

•Construya la caja negra que representa elproblema.•Indique los valores de entrada y de salida.•Informe cuáles son los datos de salida de los lotesque se aceptan para su venta. Trunque el valor a 2 decimales.•¿Cuántos y cuáles lotes se aceptarán?•Muestre el valor de los lotes que no se aceptan.Redondee el resultado al número entero inmediatoinferior.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

•Identifique en la caja negra los errores que se generan.•Cuantifique los errores absoluto, relativo y porcentual.•Si el costo de la producción de cada lote es de $200.00,¿A cuánto asciende la pérdida diaria de la empresa, enfunción de la producción?

CONVERGENCIA La convergencia es la aproximación

numérica a la solución de un modelo matemático, hasta un cierto número de cifras, considerando un rango o tolerancia.

En un método numérico para encontrar la respuesta “X” más adecuada a un problema representado a través de un modelo matemático se producen “n” términos de una sucesión X1, X2, X3, ..., X n, (soluciones aproximadas), para determinar la convergencia de la respuesta.

Los criterios para determinar si un método numérico converge son:

• En el intervalo [Xn, Xn-2] 

Xn - Xn-1 < Xn-1 – Xn-2 

• En el intervalo [Xn, Xn-1] 

Xn – Xn-1 ≤ Tolerancia 

• En el intervalo [Xn, Xn-1] 

Xn – Xn-1 ≥ Error absoluto

Serie de Maclaurin, Sen (x) La expansión en serie de Maclaurin para sen(x) es: 

Establezca el valor exacto de sen (x), si x =4 radianes utilizando la calculadora y determine el valor de la expansión usando de 1 a 9 términos. Asimismo, escriba en una tabla la magnitud de los errores absoluto, relativo, absoluto porcentual y relativo porcentual. Trunque los resultados a milésimas.

!7!5!3

)(753 xxx

xxsen

Serie de Maclaurin, e(x)

Calcule el valor de la e(x) mediante la expansión en serie de Maclaurin:

 

Elabore una tabla para desglosar el valor, el error absoluto y el error relativo que se producen al utilizar de 1 a 10 términos, cuando x = 2. Trunque la solución a milésimas.

!!321

32

)(

nxxx

xen

x