Objetivos

• Observar cómo cambia la carga del capacitor cuando se varia la capacidad del mismo.• Obtener un valor de la capacidad equivalente de la jaula de Faraday. • Verificar la relación lineal entre la carga y el voltaje en un capacitor.

Fundamentación Teórica

Los Capacitores:

Se llama capacitor a un dispositivo que almacena carga eléctrica sustentando un campo eléctrico.Está formado por un par de superficies conductoras, generalmente en forma de láminas o placas, en situación de influencia total (esto es, que todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra) separadas por un material dieléctrico o por el vacío. Las placas, sometidas a una diferencia de potencial, adquieren una determinada carga eléctrica, positiva en una de ellas y negativa en la otra, siendo nula la variación de carga total. Es decir, que al conectar una de las placas a un generador, ésta se carga e induce una carga de signo opuesto en la otra placa. Por su parte, teniendo una de las placas cargada negativamente (Q-) y la otra positivamente (Q+) sus cargas son iguales y la carga neta del sistema es 0, sin embargo, se dice que el capacitor se encuentra cargado con una carga Q.

Capacitor plano-paralelo:

Capacitor de placas plano-paralelas:

Para entender algunos de los factores que determinan el valor de la capacitancia de un dispositivo consideraremos un capacitor conformado por un par de placas planas paralelas. Si son positivas y negativas las densidades superficiales de carga eléctrica en las superficies de área A, las cargas eléctricas en las placas tienen magnitudes +Q y – Q, respectivamente, con Q = dA. Como las cargas eléctricas en las placas son de diferente tipo, tienden a atraerse, por lo que quedan depositadas en las superficies internas del capacitor. La diferencia de potencial eléctrico para este dispositivo:

∆V=∂d∂s

en donde d es la distancia de separación entre las placas, s es la permisividad eléctrica del vacío. Sustituyendo la expresión para la densidad de carga en términos de la carga eléctrica, tenemos:

∆V= Q.dA . ε 0

Capacitor de placas planas paralelas con cargas de diferente tipo, y líneas de campo en su interior por lo que al compararla con la expresión 1, encontramos que la capacitancia para el capacitor de placas planas paralelas es:

C= A . ε 0d

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Capacidad de un condensador cilíndrico:

El campo existente entre las armaduras de un condensador cilíndrico de radio interior a, radio exterior b, y longitud L, cargado con cargas +Q y –Q, respectivamente, se calcula aplicando la ley de Gauss a la región a<r<b, ya que tanto fuera como dentro del condensador el campo eléctrico es cero.

La aplicación del teorema de Gauss, es similar al de una línea cargada, y  requiere los siguientes pasos:

La dirección del campo es radial y perpendicular al eje del cilindro.

Para calcular el flujo tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r, y longitud L. Tal como se muestra en la figura. El cálculo del flujo, tiene dos componentes

Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son perpendiculares, el flujo es cero.

Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es paralelo al vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie lateral, por lo que,

El flujo total es por tanto; E·2p rL

La carga en el interior de la superficie cerrada vale +Q, que es la carga de la armadura cilíndrica interior

Aplicamos el teorema de Gauss y despejamos el campo eléctrico.

aplicando el teorema de Gauss que el campo en las regiones r<a y r>b es nulo.

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En el primer caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r<a y de longitud L, dicha superficie no encierra carga alguna.

En el segundo caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r>b y longitud L, la carga total encerrada es +Q-Q=0, es nula, el flujo es cero y el campo es cero.

En la figura, se muestra la representación gráfica del campo E en función de la distancia radial r.

La diferencia de potencial entre las placas del condensador se calcula integrando, (área sombreada de la figura).

La capacidad es

La capacidad solamente depende de la geometría del condensador (radio a y radio b de sus armaduras, y longitud L del condensador)

Si el cilindro interior no está completamente introducido en el exterior, sino solamente una longitud x, la capacidad del condensador será

Desarrollo Práctico

Los materiales que se usaron son:

- Paleta de aluminio.- Fuente de voltaje.- Doble jaula de Faraday.- Capacitor de placas plano paralelas.- Electrómetro.

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Se conecta la fuente al capacitor de placas plano paralelas circulares fijando una distancia de separación entre las placas de 6cm.

Se conectó el electrómetro a la jaula de Faraday, y se midió la carga para distintos puntos de las placas (centro y periferia), utilizando una paleta de aluminio. Se fue variando el voltaje de la fuente y se pudo observar que:

Voltaje Carga en la periferia Carga en el centro1000v 2,5v 2v2000v 4,2v 4v3000v 6,5v 6v

Las medidas de las placas que se usaron:

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-Radio= 0,0385m -Distancia entre las placas: 0,06m -Área de cada placa: π .¿

La Ley de Gauss dice que:

ε o∮E .ds=q

E es constante, sale fuera de la integral y la integral del ds es A:

ε oEA=q

Despejamos E

E= qεo A

De la ecuación,

C=Aε0d

Decimos que:

C=0,00465m.2 . (8,85.10−12)

0,06m. ¿0,00318.10−12F

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Las medidas de Doble jaula de Faraday que se uso

Radio interno: 0,048m Radio externo: 0,074m Distancia entre las jaulas: 0,025mLongitud interna: 0,154mLongitud externa: 0,109m

Como dijimos en la teoría, la capacidad de un capacitor cilíndrico es igual a:

C=2π εO L

ln(ReRi

)

En donde L es la longitud interna, Re es el radio externo y Ri es el radio interno

Entonces,

C=2π ε o0,154m

ln( 0,074m0,048m )=19,8 pF

C=1,98 x10−11F

Teniendo ahora la capacidad de la doble jaula de Faraday podemos demostrar cuál es el valor de la carga que esta almacenada en función del diferencial de potencial.

Q=C·V

Donde Q es la carga, C es el valor del capacitor cilíndrico (jaula) y V es el voltaje del electrómetro.

Q=1,98 x 10−11F .2v=3,96 x 10−11c

Q=1,98 x 10−11F .4 v=7,92x 10−11c

Q=1,98 x 10−11F .6v=11,88 x10−11c

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Ahora vamos a mantener la carga constante en el capacitor. Se observó de qué manera varia la diferencia de potencial con respecto a la capacidad

Lo que se hizo fue conectar la fuente al capacitor de placas paralelas, y observar mediante el electrómetro como varia el potencial, variando la distancia de separación entre ellas. Se observó que este solo depende de la separación entre las placas plano paralelas.

Variando la distancia entre las placas se obtuvieron los siguientes resultados:

Distancia voltaje1cm 4v2cm 6v3cm 10v4cm 7v5cm 6v6cm 5v

Conclusiones

- Se comprobó la relación lineal entre la carga y el voltaje.

- Al aumentar la distancia entre las placas disminuye la capacitancia del capacitor.

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