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CAPACIDAD Y DESEMPEÑO DEL PROCESO


H. Hernández / P. ReyesSept. 2007

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CONTENIDO

1. Introduccióna. Definiciones básicasb. Objetivosc. Partes fuera de especificacionesd. Variación a corto y a largo plazo

2. Cálculo de la capacidad del procesoa. Condiciones y fórmulas para el estudio de capacidad b. Capacidad a partir de histogramasc. Capacidad a partir de papel de probabilidad normald. Otros índices de capacidad del proceso

3. Cálculo del desempeño de los proceso

4. Capacidad y desempeño de procesos con Minitab

5. Capacidad de procesos no normales

6. Capacidad de procesos por atributos

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1. IntroducciónAl planear los aspectos de calidad de la manufactura, es sumamente importante asegurarse de antemano de que el proceso será capaz de mantener las tolerancias. En las décadas recientes ha surgido el concepto de capacidad del proceso ó habilidad del proceso, que proporciona una predicción cuantitativa de qué tan adecuado es un proceso. La habilidad del proceso es la variación medida, inherente del producto que se obtiene en ese proceso.

1 a. Definiciones básicas. Proceso: Éste se refiere a alguna combinación única de máquinas,

herramientas, métodos, materiales y personas involucradas en la producción.

Capacidad o habilidad: Esta palabra se usa en el sentido de aptitud, basada en el desempeño probado, para lograr resultados que se puedan medir.

Capacidad del proceso: Es la aptitud del proceso para producir productos dentro de los límites de especificaciones de calidad.

Capacidad medida: Esto se refiere al hecho de que la capacidad del proceso se cuantifica a partir de datos que, a su vez, son el resultado de la medición del trabajo realizado por el proceso.

Capacidad inherente: Se refiere a la uniformidad del producto que resulta de un proceso que se encuentra en estado de control estadístico, es decir, en ausencia de causas especiales o atribuibles de variación.

Variabilidad natural: Los productos fabricados nunca son idénticos sino que presentan cierta variabilidad, cuando el proceso está bajo

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control, solo actúan las causas comunes de variación en las características de calidad.

Valor Nominal: Las características de calidad tienen un valor ideal óptimo que es el que desearíamos que tuvieran todas las unidades fabricadas pero que no se obtiene, aunque todo funcione correctamente, debido a la existencia de la variabilidad natural.

1b. Objetivos1

1. Predecir en que grado el proceso cumple especificaciones.2. Apoyar a diseñadores de producto o proceso en sus modificaciones.3. Especificar requerimientos de desempeño para el equipo nuevo.4. Seleccionar proveedores.5. Reducir la variabilidad en el proceso de manufactura.6. Planear la secuencia de producción cuando hay un efecto interactivo de los procesos en las tolerancias.

p = porcentaje de medidas bajo la curva de probabilidad fuera de especificaciones.

1 Douglas C. Montgomery, Introduction to Statistical Quality Control, Second Edition, pp 307

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1c. Partes fuera de especificacionesEn el área sombrada observamos medidas fuera de los límites de especificación.

Para solucionar este problema, podemos reducir la desviación estándar.

También podríamos cambiar la media.

Lo ideal sería, por supuesto cambiar ambas.

1d. Variación a corto plazo y a largo plazoExisten dos maneras de expresar la variabilidad:Variación a corto plazo (Zst) – Los datos son colectados durante un periodo de tiempo suficientemente corto para que sea improbable que haya cambios y otras causas especiales.

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Las familias de variación han sido restringidas de tal manera que los datos considerados, sólo son los que se obtuvieron del subgrupo racional. Ayuda a determinar subgrupos racionales importantes.

Variación a Largo Plazo(Zlt) – Los datos son colectados durante un periodo de tiempo suficientemente largo y en condiciones suficientemente diversas para que sea probable que incluya todos los cambios de proceso y otras causas especiales. Aquí todas las familias de variación exhiben su contribución en la variación del proceso general.

En el caso del corto plazo:Para el cálculo de Z utilizamos las siguientes formulas:

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dónde:

Zst = variación a corto plazo.nom = Valor nominal u objetivoZlt = variación a largo plazo.

Z shift.- A largo plazo los procesos tienen un desplazamiento natural de 1.5 desviaciones estándar, de acuerdo a lo observado por Motorota Inc.

Zlt = Zst-1.5shift

2. Cálculo de la capacidad del procesoAntes de calcular la capacidad del proceso, el proceso debe estar en control estadístico.

2a. Condiciones y fórmulas para el estudio de capacidad del proceso

Para realizar un estudio de capacidad es necesario que se cumplan los siguientes supuestos2:

El proceso se encuentre bajo control estadístico, es decir sin la influencia de fuerzas externas o cambios repentinos. Si el proceso está fuera de control la media y/o la desviación estándar del proceso no son estables y, en consecuencia, su variabilidad será mayor que la natural y la capacidad potencial estará infravalorada, en este caso no es conveniente hacer un estudio de capacidad.

2 J.M. Juran, Análisis y planeación de la Calidad, Tercera Edición Mc. Graw Hill, Pp.404

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Se recolectan suficientes datos durante el estudio de habilidad para minimizar el error de muestreo para los índices de habilidad. Si los datos se componen de menos de 100 valores, entonces deben calcularse los límites de confianza inferiores.

Los datos se recolectan durante un periodo suficientemente largo para asegurar que las condiciones del proceso presentes durante el estudio sean representativos de las condiciones actuales y futuras. En el caso de la industria automotriz se especifican 300 partes mínimo.

El parámetro analizado en el estudio sigue una distribución de probabilidad normal, de otra manera, los porcentajes de los productos asociados con los índices de capacidad son incorrectos y solo se podrán determinar los índices de desempeño del proceso, que no toma en cuenta si el proceso está en control o no.

También es importante al realizar un estudio de capacidad, asegurarnos que la variación en el sistema de medición no sea mayor al 10%.

Para calcular la habilidad o capacidad potencial, primero se determina la desviación estándar estimada de la población como sigue:

donde:Cp = capacidad potencialLSE = límite superior de especificacionesLIE = límite inferior de especificaciones

= desviación estándar a corto plazo

El índice Cp debe

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ser para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)

Los valores Z se determinan como sigue:

Para calcular la habilidad o capacidad real utilizamos la siguiente fórmula:

Para que el proceso cumpla con las especificaciones el Cpk= debe de ser .

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2b. Capacidad a partir de histogramasProcedimiento:1. Seleccionar un proceso específico para realizar el estudio2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso3. Seleccionar un operador entrenado4. El sistema de medición debe tener habilidad (error R&R < 10%)5. Cuidadosamente recolectar la información6. Construir un histograma de frecuencia con los datos7. Calcular la media y desviación estándar del proceso8. Calcular la capacidad del proceso.

Ejemplo 1:Tenemos la siguiente serie de datos:

265 205 263 307 220 268 260 234 299197 286 274 243 231 267 281 265 214346 317 242 258 276 300 208 187 264280 242 260 321 228 250 299 258 267265 254 281 294 223 260 308 235 283200 235 246 328 296 276 264 269 235221 176 248 263 231 334 280 265 272265 262 271 245 301 280 274 253 287261 248 260 274 337 250 278 254 274278 250 265 270 298 257 210 280 269215 318 271 293 277 290 283 258 275

Agrupando los datos por intervalos de clase obtenemos los datos mostrados en la siguiente tabla:

Intervalo de clase

Marca de clase Frecuencia Frecuencia

relativaFrecuencia acumulada

190-209 199.5 6 0.06 0.06210-229 219.5 7 0.07 0.13230-249 239.5 13 0.13 0.26250-269 259.5 32 0.32 0.58270-289 279.5 24 0.24 0.82290-309 299.5 11 0.11 0.93310-329 319.5 4 0.04 0.97330-349 339.5 3 0.03 1

El histograma es el siguiente:

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360330310290260230210190160

40

30

20

10

0

Datos

Freq

uenc

yHistogram of Datos

Observamos que el histograma tiene forma normal.

Calculando la media y la desviación estándar tenemos:Descriptive Statistics: Datos

Variable N N* Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3Datos 99 0 264.19 3.23 32.15 176.00 248.00 265.00 280.00

S = 32.15

La variabilidad del proceso se encuentra en 6 s = 192.90

Si las especificaciones fueran LIE = 200 y LSE = 330

< 1.33, el proceso no es hábil.

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Cpk = menor 1.33, por lo tanto el proceso no cumple especificaciones.

2c. Capacidad a partir de papel normal

Ventajas

1. Se puede observar el comportamiento del proceso sin tomar tantos datos como en el histograma, 10 son suficientes 2. El proceso es más sencillo ya que no hay que dividir el rango de la variable en intervalos de clase como en el histograma. 3. Visualmente se puede observar la normalidad de los datos, si se apegan a la línea de ajuste 4. Permite identificar la media y la desviación estándar aproximada del proceso. Así como la fracción defectiva, el porcentaje de datos entre cierto rango, el Cp y el Cpk.

Procedimiento

1. Se toman al menos n = 10 datos y se ordenan en forma ascendente, asignándoles una posición ( j ) entre 1 y n.

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2. Se calcula la probabilidad de cada posición con la fórmula siguiente: Pj = (j - 0.5) / n

3. En el papel especial normal se grafica cada punto (Xj, Pj)

4. Se ajusta una línea recta que mejor aproxime los puntos

5. Si no hay desviaciones mayores de la línea recta, se considera normal el proceso y se procede a hacer las identificaciones:

La media será el punto en X correspondiente a Pj = 0.5La desviación estándar es la diferencia en X j correspondiente a Pj = 0.5 y Pj = 0.84

Ejemplo 2 . Se tomaron los datos siguientes (Xj) ordenamos los datos y, cálculamos la probabilidad de su posición (Pj)

Pos. J Xj Pj1 197 0.0252 200 0.0753 215 0.1254 221 0.1755 231 0.2256 242 0.2757 245 0.3258 258 0.3759 265 0.425

10 265 0.47511 271 0.52512 275 0.57513 277 0.62514 278 0.67515 280 0.72516 283 0.77517 290 0.82518 301 0.87519 318 0.92520 346 0.975

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Con ayuda del gráfico podemos obtener la media, la desviación estándar y el porcentaje de valores que se encuentran fuera de especificaciones.

El trazo normal es el siguiente:El eje Y es un rango no lineal de probabilidades normales.

El eje X es un rango lineal de la variable que se está analizando.

Si los datos son normales, la frecuencia de ocurrencias en varios valores Xi, puede predecirse usando una línea sólida como modelo. Por ejemplo, sólo más del 20% de los datos del proceso serían valores de 225 o inferiores.

400350300250200150

99

9590

80706050403020

105

1

Xj

Perc

ent

Mean 262.9StDev 38.13N 20AD 0.262P-Value 0.667

Probability Plot of XjNormal - 95% CI

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0.5

X Media

0.84

Desv. Estándar

Xj

Pj

LIE

FracciónDefectiva


2d. Capacidad a partir de cartas de control

En casos especiales como estos donde las variaciones presentes son totalmente inesperadas tenemos un proceso inestable ó impredecible.

Si las variaciones presentes son iguales, se dice que se tiene un proceso “estable”. La distribución será “predecible” en el tiempo.

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?? ?

? ?? ?

Predicción

Tiempo


Cálculo de la desviación estándar del proceso Cálculo de la desviación estándar del proceso

ó (Para cartas de control X-R y X-S respectivamente)

Donde,S = Desviación estándar de la poblaciónd2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - RC4 = Ídem al anterior para una carta X - S

Al final del texto se muestran las constantes utilizadas para las cartas de control.

En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y Rango Medio = Suma rangos / (n -1)

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Ejemplo 3 (carta X - R) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes: = 64.06 , = 77.3Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

Si el límite de especificación es: LIE = 200.

El = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las

especificaciones. Ejemplo 4 (carta X - S) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes: Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

=

C4 para n = 5 tiene el valor 0.94

Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105.

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El

El

Por lo tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones.

Ejemplo 5:De una carta de control X - R (con subgrupos de n = 5), después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes, se obtuvo lo siguiente: Xmedia de medias = 264.06 Rmedio = 77.3

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:m = X media de medias s = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23 [ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]

Si el límite de especificación es: LIE = 200. El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones

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2d. Otros índices de capacidad del proceso

INDICE DE CAPACIDAD Cpm

Es un indicador de capacidad potencial que toma en cuenta el centrado del proceso:

Si donde T es el centro de las especificaciones.

Cuando T es igual a X media del proceso, Cpm = Cp = Cpk

INDICE DE CAPACIDAD Cpkm

Es un indicador de capacidad real que toma en cuenta el centrado del proceso:Si T es el centro de las especificaciones.

Cuando T es igual a X media del proceso, Cpkm = Cpk

3. Cálculo del desempeño de los procesos

Para determinar el Cp y Cpk se requiere que el proceso esté en control estadístico, ya que la desviación estándar de la población se estima con Rango medio / d2 (constante que solo es válida cuando el proceso está en control).

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Para el caso de datos históricos, el proceso no está en control y se puede determinar el desempeño del proceso utilizando la desviación estándar de todos los datos ajustada con una constante C4, denominada Sigma a largo plazo o desviación estándar Overall.

Con la desviación estándar a largo plazo se determinan los índices de desempeño Pp y Ppk no importando si el proceso está en control o no, en este último caso los valores no tienen significado práctico.

Para calcular el desempeño potencial del proceso utilizamos la siguiente fórmula:

donde:Pp = Índice de desempeño potencial

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LSE = límite superior de especificacionesLIE = límite inferior de especificaciones

= desviación estándar estimada a largo plazo

El índice debe ser para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)

Las variables transformadas Z’s son las siguientes:

;

Para calcular el índice de desempeño real del proceso utilizamos la siguiente fórmula:

Para que el proceso cumpla con las especificaciones el Ppk= debe de ser

.33.

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Ejercicio 6De una carta de control X - R (con tamaño de subgrupo n = 5), después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46) se obtuvo lo siguiente:

Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5

a) Determinar la desviación estándar del proceso

b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso

c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de especificaciones

d) Determinar el Cp

e) Determinar el Cpk

f) Determinar el Cpm

g) Determinar el Cpkm

h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores

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4. Capacidad y desempeño de procesos en Minitab

Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02 con

1. Calc > Random data > Normal 2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06

Estándar deviation 32.02 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 200 y LSE = 330

Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de Ryan como sigue:

3. Stat > Basic statistics > Normalita Test 4. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK

El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan normalmente

Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene:

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5. Graph > Probability plot > Normal 6. Graph Variable C1 7. Distribution Normal OK

Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es normal la distribución.

Determinación de la capacidad del proceso con Minitab

Una vez comprobada la normalidad de los datos, determinar la capacidad con:

1. Stat > Quality tools > Capability análisis > Normal2. Single column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper

spec 3303. Estimate R-bar OK

Los resultados se muestran a continuación:

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Interpretación:

La desviación estándar Within se determina en base al Rango medio y d2 (1.128 para n = 2), con esta se determinan los índices de capacidad potencial Cp y Cpk, así como el desempeño Within, lo cual es adecuado para un proceso en control o normal.

La desviación estándar Overall se determina con la desviación estándar de los datos ajustado por el factor C4.

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Opción Six Pack para mostrar toda la información relevante:

Determinar la capacidad con:

4. Stat > Quality tools > Capability Six Pack > Normal5. Single column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper

spec 3306. Estimate R-bar OK


En este caso de la gráfica de probabilidad normal, los datos siguen una distribución normal.

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5. Capacidad de procesos no normales.

Cuando los datos provienen de poblaciones no normales una opción para realizar el estudio de capacidad de procesos es mediante la distribución Weibull o alguna otra distribución que ajuste a los datos.

Ejemplo en Minitab

En una compañía se manufacturan losetas para piso, el problema que se tiene es referente a la deformación en las mismas. Se toman 100 mediciones durante 10 días. El límite superior de especificación (USL) = 3.5 mm Realice un estudio de capacidad con la ayuda de Minitab e interprete los resultados.

Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Factor de forma = 1, Factor de escala = 1 con

8. Calc > Random data > Weibull 9. Generate 100 Store in columns C1 Shape parameter 1.2

Scale parameter 1 Threshold parameter 0 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 0 y LSE = 3.5

Determinar la capacidad con:

7. Stat > Quality tools > Capability análisis > NonNormal8. Single column C1 Distribution Weibull Lower Spec 0 Upper

spec 3.59. OK

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El histograma no muestra evidencia de alguna discrepancia seria entre el modelo y los datos, ya que la curva muestra buen ajuste. Sin embargo observamos que algunos datos caen fuera del límite superior de especificación. Lo cual quiere decir que en algunos casos la deformación será mayor a 3.5 mm.

El índice Ppk y Ppu3 = 0.85 lo cual nos dice que el proceso no es capaz ya que 0.85<.1.33

3 Los índices Pp y Ppk son similares a los índices Cp y Cpk , se refieren a la capacidad del proceso a largo plazo.

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También observamos que PPM > USL 3,795 lo cual significa que aproximadamente 3,795 PPM estarán fuera de los límites de especificaciones.

También se cuenta con la opción Six Pack para esta opción.

6. Capacidad de procesos por atributos

Para el caso de atributos, se tienen varios casos:

a. Fracción defectivaPara productos defectivos calificados como pasa no pasa, se obtiene una carta de control p de fracción defectiva con tamaño de muestra constante con al menos 25 puntos, y una vez que está en control, se determina su p media. La capacidad del proceso es 1-P media.

La capacidad del proceso equivalente para un Cp de debe ser de: Al menos 99.73% para una capacidad de +- 3 sigmas equivalente

a un Cp de 1 Al menos de 99.9936% para un acapacidad equivalente a +-4

sigmas equivalente a un Cp de 1.33. Para otro valor de P la capacidad equivalente en sigmas se

determina dividiendo el valor de P / 2 y obteniendo el valor de Z correspondiente a esa área bajo la curva. La capacidad será de +-Z sigmas.

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b. Número de defectosEn este caso se requiere verificar y en todo caso mantener el proceso en control por medio de una carta C o U con muestra constante por al menos 25 puntos.

La referencia son el número de defectos X que el cliente acepte. Con la línea media indicando el promedio de defectos o C media, entramos a la tabal binomial o de Poisson tomando como Lamda la C media y como X los defectos aceptables por el cliente.

La probabilidad de aceptación mínima debe ser de 99.73% equivalente a un Cp de 1 o de 99.9936% para un Cp de 1.33, cualquier valor inferior indicará falta de capacidad del proceso.

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TABLA DE CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LIMITES DE CONTROL

Las constantes para límites de control en las cartas X-R son:

n A2 D3 D4 d22 1.88 0 3.267 1.1283 1.023 0 2.574 1.6934 0.729 0 2.282 2.0595 0.577 0 2.115 2.3266 0.483 0 2.004 2.5347 0.419 0.076 1.924 2.7048 0.373 0.136 1.864 2.8479 0.337 0.184 1.816 2.97

10 0.308 0.223 1.777 3.078

Las constantes para límites de control en las cartas X-S son:n c4 A A3 B3 B4 B5 B6 .

5 0.940 1.342 1.427 0.000 2.089 0.000 1.9646 0.952 1.225 1.287 0.030 1.970 0.029 1.8747 0.959 1..134 1.182 0.118 1.882 0.113 1.8068 0.965 1.061 1.099 0.185 1.815 0.179 1.7519 0.969 1.000 1.032 0.239 1.761 0.232 1.707

10 0.973 0.949 0.975 0.284 1.716 0.276 1.66911 0.975 0.905 0.927 0.321 1.679 0.313 1.63712 0.978 0.866 0.886 0.354 1.646 0.346 1.61013 0.979 0.832 0.850 0.382 1.618 0.374 1.58514 0.981 0.802 0.817 0.406 1.594 0.399 1.56315 0.982 0.775 0.789 0.428 1.572 0.421 1.54416 0.984 0.750 0.763 0.448 1.552 0.440 1.52617 0.985 0.728 0.739 0.466 1.534 0.458 1.51118 0.985 0.707 0.718 0.482 1.518 0.475 1.49619 0.986 0.688 0.698 0.497 1.503 0.490 1.48320 0.987 0.671 0.680 0.510 1.490 0.504 1.47021 0.988 0.655 0.663 0.523 1.477 0.516 1.45922 0.988 0.640 0.647 0.534 1.466 0.528 1.44823 0.989 0.626 0.633 0.545 1.455 0.539 1.43824 0.989 0.612 0.619 0.555 1.445 0.549 1.42925 0.990 0.600 0.606 0.565 1.435 0.559 1.420

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