Cap_23_entropia y La Segunda Ley de La Termodinamica-ejercicios Resueltos-resnick Halliday

- 526-

ENTROPIA y LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICAo

CAPITULO: 25 0

PROBLEMA ••

1. - Una máquina t~rmica de gas ideal

Carnot entre 221 y 127·C absorve

trabaja con un ciclo de , 6.0 x 10 cal a la tempe r~

t u¡:a mayor. ¿Cuánto trabajo por ciclo puede efectuar esta má -quina?

~: T • 1

227 + 273 • 500 °K T2

127 + 273 '00 °K Q • 1

soluciOn :

La etic i encla viene dada por:

e • TI - T2 - T 1

Sabemos t ambi6n que

ES decirl

s OO - 400 SO O

1 • "5

e - W/ Ol - l/S

,

6 x 10' cal.

w • 1 • ( 6 x 10 ) c al x 4 .18 j ou l es / ca l

5

'" 5 . 02 x 104

jou l es

Rpta: I w • 5. 02 x 104

j o ules I 2 . - (a' Una máqui na de Carno t trab~j a e n t re un depÓsit o

to a J2 0 ~ K y un dep Ós ito fr 10 a 260 o K. Si abs orbe

l e, d e c a l or en e l d e pós ito ca l iente, ¿ q u é ::: olnti d a d . de

c a l ien-

SOO jo~

t rab a jo

rinde? (b) SI la misma máqu ina, trabaj a ndo a la inversa, f unci 2

na como refr i gerado r entre los mi s mos dos dep Ósi t o s, ¿qué can t!.

dad de t r aba10 debe a p li<.árse le par a extraer 1000 joules d e ca

lor del d epÓs ito f r101

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- 527-

SoluciOn ;

al ° . • '00 joules J - joule

" . EficienCl~ T@;rmica, • • , , w

(1) • )20-K ", - 0"

• 1 T.

(21 ", T,

T.

_ w

0. -1 - T,

260'~ ° (l -T. 260·K _ -T.

I • 500J (1 - 320·K ) , 1_ . I •

91 , 7SJ' , bl

_ • ,

° . • 10001

Coe ficiente de perfomancc de refrigeraciOn

COPR

• ~IL _ ---'L 120-K

_ 0" - 08

COP R -1 1

0, ~-0. - 1

T. 1

Se ,.be 0, T. que: -- '. 260*K 0.

• 0. 1 O ( T" _ 11 1000J( ]20 oK

11 W - - _ - - 260 ' K -T. • T. T. - 1

1_ 230,77J'l

1,- En una m~quina t~rmica de dos e t apas se abso rbe una c anti -

dad de calor 01 a Ul h) . '..cmpecatur-s T 1 hacilindose un tr a ba j o

Wl

, y se emi te un a cantidad de calor 02 a una tempe r atur a i nf e

rior T2 en la primer~ e tap a . La s egund a ctapa absorv e e l c a l or

despedido por la p r i mo r a, h a ce un t rabaj'O W2

y e mi t e una c a n t i-



-528-

dad de calor O] a una temperatura inferior TJ

.

la eficiencia de la aiquLna ca.blnada es (TI

Soluci6n:

El trabajo efectuado en la primera etapa es:

Wi • 01 - 02

En la sequnda etapa, el trabajo efectuado ea ;

W2 - 02 - 0J

Demuestre que

TJ}/T l · •

El trabajo total realiaAdo en las dos etapas ser!:

W - MI + W2 .. 01 - O]

El rendimiento ser' entonces:

• 01 - O) .. --. al al

Por otro lado.

0110] .. Tl/T]

Por un. propiedad de 1 .. proporciones

O¡ - al T¡ - TI ° - o) • 1 al TI al

De .. -ecuaciones 111 y 121 v_~ que :

111 ,

tendremos :

TI - T) (:.1) • TI

4 . - Una turbina combinada de .ercurio y vapor de aqua t oma va -

por de mercurio .aturado de una c ladera da 46S.6·C . La tur

bina de vapor de aqua recibe vapor a es. temperatura y lo exp u!

sa a un conden •• dor .. l1 .S-C. ¿Cual debe ser la m~xima eficien

c ia de la combinaci6n1

Datos: TI - 468.6 + 21) - 74l.6-K

T) - )1.8 + 27) .. )lO.S·K

Soluci6u I

Como la eficienc.ia depende sola.ente de las temperaturas de en

trada y .alida, y no de l •• sus t ancia. empleadas tendremos por

el proble.a anterior.

TI - T] 741. 6 _ 310. ' e - .. 0.5' 6 SU TI 761 . 6



-529-

S.- Uti lizando la ecuación de es tado de un gas ideal y l a ec~ a·

ción q ue descr ibe un pt:"oceso adiabát.ico para un gas ideal ,

demostrar que I d pendiente . dp/dV, en un diag ra ma'p-V de una ~

diab§.tica se puede escri b ir de la siguiente manera: - ·rp!V y la

de una i50~crma se p uede hacerlo a s1: -p/V. Median te estos re

sult ad os demostra r q ue las ad.lab.1l: i c d s son cup,¡,)s de mayor p e n

diente que l a s isoterma s.

Soluci6 n:

En un proceso a diab~tioo

Se sabe que p v Y .. cte

de riva ndo 2E. vY dV • p.yV

~ . y-1

- yp L dV

VY

...!!E.. _ .:te.. dV V

En un p r oceso isotermico

pv .. n KT

p V _ ete

derivando ambos miembros ~ __ .l!... dV V

y-1 O

- 1 • - ypV ,

T ,. ete

6.- {a} Ha g a la gr&fica exact a de un ciclo de Carnot en un d ia -

grama de P en fu nci6n

punto A corresponde a P ..

rresponde a P g 0.5

ra del depOsito má s

atril;

de V pa ra un mol de gas ideal. El

1.0 atm; T • ] 00 °K, Y el p untoocor -

T - ]OOOK; con sidere que l a t empera tu-

Tome y '"' 1.5.

bJ Calcule gr'~icamente e l traba jo h pcho en este cic l o.

SoluciÓn:

la) Hallemos los puntos principales del ciclo, es deci r

a,b,c y d.

Pa ra el punto a: Pa " 1 at.

La eCuaci6n de estado para un mol es:

V • RT

- p. • 0. 0 82 x

1 100 .. 24.6 litros



-'JO-P. Y"<I. el p un t o b:

P • b

0.5 atm

Vb

RT 0 . 0 82 x JOO • Pb

• O. ,

• 49 . 2 ti tros

Para e l punto e; En la t r aye~

tor i a be. la ecu 3ci6n que

descri be un proce so adiabáti

co para un gas ideal cs;

p v y .. v y h b Pe e

p

f-•

" P

b -,

(2)

•

b

Reemplazando valores en (1) y (2) obtenemos :

Pe - 0.OJ85 atm;

Para el punto d, el cambio

PcV

c .

PdVd y

v .. 44 ] litros e

e. lsot4rmico, es

V ~ -'- • Vb

V e

Reemplazando valores en las dos ecuaciones

•

,

decir :

anteriores

mas: Vd " 221.5 l it los; Pd

" 0 .0370 atm.

Nota: en l a fi9~ra se ha to~do como escala:

1 mm .. 0.01 atm, paca el eje de las p

2 mm 10 litros. para el eje de las V.

tendr:-e

bl El trabaj o cp.alizado es Igual a l !cea encerrada poe el pro-

-

blema] (capítulo 9). En es te caso el trabajo ser! la dife

rencia entre la s !ceas comprendidas entre la curva abe, las or

denadas Va y Ve y el eje de las V y el área c omprendida entre

la curva adc, las ordenadas Va y Vc

y el eje de las V. El tra

bajo resulta W . 1,146.7 8 joules.

Rpta : lb} W - 1, 146.78 joules

7.- En un c i clo de Carnot la dilatac16n isotErmica del gas o

curre a 400-K y la comprelli6n isotérmica a 300-K. DU~'ante



• ~531 -'

la dilatación 5 00 cal dc ene rgí a calor1fica son propo r cionada s

", 1 gas . Dctenr, ioc; al el tr<l.bajo efectua do por e l ga s . d ura nte

la dilataci6n is otlirmic<l , l b} el ca l or e x traído de. '13 .<; d uran

t e l a c~~pres16n lsotérmica (el El trabajo hecho sob r e e l g a s

durante la compresión i ~o té rmica .

Soluci6n :

iI ) Cono el pr oceso des isotérmico la ene r g í a i nte r n a no cambia .

o :lea que aplicando la p rime ra ley de. la termodi n ámica, ten d re

mos: 01 ~ W

1 • 500 x 4. 18 - 2 ,090 joules

bJ El calor extraído del gas duran t e la co~pres16n isoté rm ica

es :

ol Como

O,

,. - '"

T .--1. T, " -, .2 a, T

1 = 50 0 x ;~~ = 375 c a l.

01 pr oceso e. isotérmico tend r emOS ~

. ", - 375 x 4 . 1 8 - 1. 570 j o ules

Rptll.: al w _

2.090 jou l eli:

bl 0- 375 col

el w - 1,5 70 joul es

51 el ciclo de Ca rna t •• recorre • l a inversa, tenemos

un a refrigeraci6n ideal. Se t oma una cantidad de calor 02

a la temperatura infer i or T2 y se expu lsa una cantidad de ca -

loe 01 a l a temperatur a superior TI' La diferencia es el trab~

jo W que debe proporci onarse para hacer f uncionar al ref rigera-·

do[ ; demuest r a que

bl Se define como coeficiente de ejecuci6n k de un refrigerador

la relaci6n del calor extraldo de la fuente frIa al trabajo

necesario para efectuar el ciclo . Demues tre que idealmente.

T, K • __ -=".-

TI - T2

En la pr!ctica la K de los refrigeradores vale de 5 a 6.

SoluciOn;

al El trabajo realizado por el refrigerador serS



-5)2-

0, ([1

Sabemos también <4"'! °1 /° 2 " T1/T2

Aplicando p r opOl C' i altC S

(21

De las ecuaciones· { 1) Y (2) ob t enemos:

bl

w 0 ,

scgtin l.

K

T .• T -1 __ -1._ T,

deflnc16n

0, •

d e l

T, · w· T I -

coef i c i en t e de

"

•

e jecuc i 6n K t end r e mos;

9.- E" "" refriqcrador los s erpent i nes de baja t emperatur.iIo est;§.

a - lJ-C. y el gas comprimido e n el condensador t iene unilo

temporatura do 21~C ¿Co..I51 c. e l coef i c ien te de ejcco..lciOn teOri

ca? .

Soluci6n:

Por el pcoblema ante tlOr sabelftOS que:

K • 260 ., 6. S )00 - 260

Rp t a: I K • 6.5

10 . ¿Cuánto trabajO debe hacerse para t r ans mi t ir un jaul de ca-

lor de un depOsito a ' · C uno a 27·C me diante un retriqer~ -

dor que use un ci c l o de Carnot? ¿De uno q ue est~ a - 7J-C a 0-

tco a 27·C1 lD~ uno que e.té a - l7 )·C a o tro a 27·C 7 lOe uno

que esté a - 22J ·C a otro a 21 · C1

Soluc10n:

(a) e n es t e CASO tenemos 0 2 - 1 j ou1;

Tl

- 21) + 21 • JOO·K; T2

• 213 + 1 - 280· K

Sabemos que;



Pero: w -1

'" .. °2 1 (300 -

2 80

-533--

.. 0.0715 joules

Procediendo igualmente tendremos:

bl Tl

,", 300-'"

T2

- 271 - 71 K 200 - X, o btenemos

"'2 '"' 0. 5 joules

•

el TI = lOO - X; T2

• 273 - 173 ~ lOO-X obtenemos:

dI T .. 300-JC 1

"'3 ., 2 joules

obtenemos "'4 .. 5 jou le s

11. El motor de un refrigerador tiene un re ndimiento de poteoc.::ia

de 200 watta. Si el compartimiento refrigerador está a 270 0

K Y el ai r e exterior a 300-~, supon i e ndo una eficiencia ideal,

¿cuAl es la mAxima cantidad de calor que se puede extraer del

compartimiento de refr i geraci6n e n 10 min?

So lución:

t .. 10 mi no

'" '"' 200 v att.s

W .. Wt.

Sabemos que

P" lO" 0B + ti

0A TA

°8 - ~ 7.70-X

BL-----J

w

O -- ° . 200 v x 600 s = A B

l 20000j

°A .. 300 - « Os 27 0 - «

~ 0" - l' OaO , OOOJ



-534-

ll. ¿C6 mo es la eficiencia de una máquina térmica r eversible en

r elación con el coeficiente de ejecución del refrigerador

revers ible obtenido haciendo operar la mAquina en sentido inver

so?

So luc i Ón:

Hemos vis t o e n los

e _

probl_as

TI - T 2

" -'-"--.-x - " Tl

- T2

•

anteriores que:

("

(" rlltip licando mieMbro a Miembr o las ecuacionea (1) y (2):

(', - T I " .l x , e x • x -. " " , " Rpt a : ¡ex - T/'l

13. En una bomba calorífica , ae ex trae una cantidad de calor 0 2 de ~ a~sfera e xterior a un a temperatura T2 y se introdu

el una cantidad de c a l o r mucho mayor 01 al interior de la casa

a la tempe ra tura TI' efectuando un trabajo w. (al Hacer un dia

grama esquemático de una bomba calorí fica lb) ¿C6mo difiere eS M

ta bomba en principio de un refrigerador? ¿C6mo difi e r e en su u

so práctico? (e) ¿C6mo están relacionados entre 51 01' 02 Y W?

¿Puede invertirse una bomba calorífica para usarse en verano?

Dar una explicaci6n . (e) ¿Oué ventaj a s tiene e s ta l::.':)mba sobre

otros dispositivos de calefacci6n?

Soluci6n:

al ver figura 1

bl La diferencia estA en que la

bomba extrae calor de l exte

rior para introducirla a la -ha

bitaci6n que vendría a ser la

m~quina , en cambio el refr1ger~

dar extrae calor 02 de la máqu~

na al exterior.



-5]5-

dI Si, entonces actuarIa como un refriqerador, es decir ex trae

rIa ca lor de la habitación para eliminarlo al exterior me -

di ante el trabajo realizado por la bomba.

el Su ventaja radica en la econom!a, ya que con un m1nimo traba

jo W absorbe la mayor cantidad de calor 02 del exterior.

1 4 . En una bomba calorífica, se int r oduce calve J~~ ~irc ex~~

rior a -5·C a un salón que está a 17·C, proporcionando la e

nerg!a mediante un motor e16ctrico. ¿Cuántos jou les de ca lor

se hacen entra r al salOn por cada joule d e energ1a el~ctrica

consumida, idealmente?

~: w .. 1 joule

TI = 273 + 11 w 290 0 K

T e 27] - S • 268°K , SoludOo: Sabemos

T,. O - • 2 TI - T 2

268 x 1 290 _ 268

Pero po r o tro lado:

.1!L "

01 - W + 02 ~ 1 + 12 .. 1] Joules

.. 12 j ou l es

Rpta: 11) j o ules

15 . Sup6ng3se que tomáramos como nues tra medida d e temperatura

- liT en lugar de T. La un id ~d de esta nueva med ida podr ía

ser el grado Nivlek (Kelvln escrito al r e v é s) (O NI . Escri bir una

sucesiOn de temperatu r as en ° N que se extienda desde va l ores P2

s1tiv05 haGta valores negativo s de T.

la PAg. 70 2 del texto)

SoludOn:

Respuesta: por ejemplo

(Vé a6e l a nota al pie d e

10) °N, 10-6 eN, _ 10-6 ° N, - 10- ) ° N, e t c.

se deja al e stud i ante pa r a que lo ve r ef i q ue )

16 . (a ) "le mos tra r qu e a l calen t a r de s de Tl has ta T2 una su s tllll

c j a de lIIasa m que tiene un calor e~clfico con s tan t e e , e l

cambio de en t r opt a es:



- 53 6-

T II'Ic l n J..

TI • (b) ¿Dis minuye l a entropla de la sus tan c i a al enf r iar? Si es a

s i, ¿di .. ,,,inI,lYC la entropía total en este proceso? Dar una expl!

cac i6n.

SoluciOn:

(a) Ira Ley dO. dU t dW

Si V • cte -. dW - O

dO .. dU -

{dO -

dU -

TdS

me dT v

TdS - me dT v

J'"., 11 V

si P - cte

~T

dO • dI!

Tds - m e d T p

- Tds

{

dO

dl! - me "T p

dT ds· mcp T -

T (b) S _ S _ mc Ln - '_.

2 l TI

_ ..l Si T 2 ~ TI TI

T, < o 1n--

TI

< 1

- s, - SI < o

S, < SI

11. En u n experimento de c alor espe c i fico se me zc l an 100 9 de

pIorno le - 0 . 03 45 c a l/gC · ) a lOO · C con 20 0 9 d e ag ua a p

20°C . En cont r a r l a dife r e nc i a de e ntropías de l sis tema a l te r

mi n ar l a mez c l a con res pe c t o a su va l or ante s d e mezc l ar.

So l uc16n:

El c ambi o de ent rop í a d e un s i s tema e s i gu a l a l c ambio de entr~



-531-

p!,) de ·~ d('l.l <.1"<1. de las partes que forman e l SlS t CT'1,l .

E n p ri~'~ l u qélo f ha _l ·~'1Ios la t cr.pc !'at<.lra f ina l del SlstC:IIcl.

L'l lo 1 ct;:d i do '" calo!' qanarlo

• .:; (t - t ) t. mc(t - t )

'1' P 1 2 "2 o

donde. 1 .... temoeratu r.l in ic ial del plofllu. , ú

e, ra to rol I ni.cial de l agu.l y t

2 la t emperatura [ini ) ele l

Re.'mploi:.!.1ndo v<.1 1orcs en la. ecua ci60 tenemos:

100 x 0 . 0 34 5flOO - t2

) ~ 200( t2

- 20),

de !:londe L2

.. 21. H·C

~l cambio de e n tropía del plomo se r ~:

m e p p

T ]7] ln(-T-~ ) '" 100 x 0 . 0 34 5 ln( ~2",,;.é'.""]'4 )

0.8eal/-K

El camibo de entrop1a de l a g u a seri :

'r oS "' me In (-;f-) - 200 x 1 lo 2 9 ~9 i" - 0.76 ca l rK

o El camb1 0 de ent r opla d~l 3i5 temo $e rá ;

oS + o S - 0. 8 + 0 . 76 - 1 . 56 cal /- X p

Rpta: 11 . 56 c a l/-K

l a tempe

S I stema ·

18. Se hace que se dilaten cuatro moles d e un gas ideal desda

un v o l u.'l\en VI ~sta un volumen V2

( - 2Vl). (a ) Si l. dila

taci6n es iso térmica a la tempe ratura T ~ 400-K, deducir un. e~

pr~si6n para el t.rabajo efectuado por e l qas que se dilata. lb)

Para la di latac i6n i.sot~rmica que acabamos de describir , dedu -

cir una expres16n para el c~bio de entropía, s i acaso lo hay .

(e ) Sl la dilataci6n fuera reversiblemcntc ad iabitica en lugar

de s er i sotérmica, el cambio de entropía, ¿sería positivo, nQq~

tí.vo o nulo?

solución:

Y2 '" 2 Yl

pV - cte - oRT

OW pOV nRT

p --V--

p

1



- 538-

,¿ti " a RT

V- "'

"r.' • , n R'¡ ~y

l-l ., 1

W nRT 1./1 ",

corr.o ", . , .. v;- V,

W " n RT Ln , Sabemos que n '" 4 , ,. .. 400·K. R .. 8. 3 1 43 J /mol _eK

w _ 4 x 8.31 <13 x 400 I.n 2

G_~2}o . 851 b) dQ " d U t dW

Tds ~ mCvdT pdv

Sabemos que dT • O

T d -.: ., mK r .!!.Y.. V

.rlo n R ~ 1 V

el Si la dilatación f uera adi o.b<1t i c a

dO • O

d, • dO • O T

=>ds O s - c te S ' " S , . O . , S, • S,

19 . Se puede ex trae r calor d el o.gu o. a O·C y a la pre lii6n atInOIi'

férica sin hacer qu e e l agua se congele, si se hace con al

guna agitaci6n de la mi sma. sup6ngase que se enfr í a el agua a

-5.0·C antes que empiece a formarse hielo. ¿Cuál es el cambio

de enrropía por unidad de masa que ocurre durante la congela -



ci6n repen t i f'lil que se efectúa en tonces?

Soluc i 6 n:

s = S m

q

q

~'" S - S hie lo iU;¡Ui!. ., dq '" ~

S hielo

q ., 79.6 ca1 /g T = - 5~ C = 26Ac K

S a gua

s '" O. 297 ca1/g ~ K 1/ agua

•

21. Una barra de 1a t6n es tá en contac t o t~rn1ico con un d e p6si to

de calor a 127"C por u no de sus extremos y co n ~n depósito

de cal o r a 27" C por el otro e xtremo . Calcul a r el cambio total

de entropía que resulta del proceso de conducció n d e 1200 cal a

tr avés de la barra .

pJ:"oc eso ?

¿Cambia l a e ntropí a de la b a rra dUJ:"ante el

T ~ 1 27 + 27 3 = 400" K 1

T2

~ 27 + 273 '" 300 0 K; A ., 1 , 200 ca l

So l uc i6n :

Como TI > T2 pasaJ:"! una cantidad de ca lor del extremo 1

al extremo 2 en un corto intervalo de tiempo. Du ra n te

ese tiempo el cambio de entropía para el ext remo 2 es dO/T2

y

para e l e x tremo 1 es - da/TI '

El cambi o ne t o ser! : dO/T2 - dO/TI

como O es constante .

o T 2

1200 =300 '" 1 cal/"K

Rpta : 11 cal;o K !

~ :.!. Una mol de un gas ideal monoatómico se eleva de un astado

i nicial de pl.f!:¡i6n l' y volumen V a un estado final de pre -

516n 2p y volumen 2v mediante dos procesos diferentes. (1) Se

dildta isot~rmicamcn te hasta que su volumen s e duplic a, y ento~

ces se aumenta su presión a vohll'"len constante hasta l leg ar al



- 540-

estado f i na l . (11) Se c omprime isotén.ica~ntc has ta que s u

presiÓn se duplic., y después se aUDIcnt a su volu~en a p r esiÓn

constante hast,) e l estado fina l. •

Mostrar el re corri do de cad a proceso en un d i agrnma p-V. Para

cada proceso ca l cular en funci6 n d e p y de V, u de T: ( a) al

calor absorbido por e l gas en c.da parte del proceso; (b) el

trabaJO efectuado sobr e e l gas e n cada pilrte del proceso ; (e)

el cambio de e nerqla in te rna del gas Uf - Uj

; (d) el r.: ambi o de

entropía del g as Sf - Si·

SoluciOn:

P2 2P 1 b O' v

V2 2V I

a) En Ir) O - \J' • Q ~ .•. l o)

I ra Ley :

Q' .. "U '.w' AU' - O

Sabemos que

. , O' .. nRT

1 Ln 2

OM • 6U" + w ~ aabeaoa que

O· - me IT -v 2 T,)

"

..J. Lo. ,

I1

, O· ---- -- r

(.u~ ." "". l. . ) y 41 - 1

Eo l.) O '" nRT 1 Ln , ... mC

yl T

2 - . ) ,

Sl n • , U • RT

1 Ln 2 • ..cv

1T2

- T ) , Eo (Ir) En el recorrido de , • •

P1V I PbVb r· " ", Sabeaos que

• V • 2 P1Vb V. V, , , ,

O " O·' • O·v ..... l.)

V,

O·

1 b'

O,

V,



- 541-

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Cap_23_entropia y La Segunda Ley de La Termodinamica-ejercicios Resueltos-resnick Halliday

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