Cap_4_dinamica de Las Particulas-i-ejercicios Resueltos-resnick Halliday

DINAMICA DE LAS PARTICULAS! CAPITULO 5.

PR OB L EIIAS. , . Dos bloques, de " S. $ _ , ' . 2 estin unidos -ed i . nte un resor t e li

gero en U~ -es. horizont .1 s in r~a.en to . Obt ener 1, re l.cl6n de ~5 .-c;.el c r.c lones ., y ' 2 cJe.spui!i qve se separ'n un poco y l ue 90 se sue 1 t..,..

f, '"' _,', (1)

r } .. ~"2 (2 ) (1) ... (2 )

, .'

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- 9S-

c:~"pos

sean sus nter.celones mutuas . S i ~ cuer~ parten del pun-to de reposo, demostr ... que 1.5 d i st.nci'$ recorridas por uno y o tro son nver ~ amente proporcionales .. las -asas re~pectlvas de 105 cue rpos.

Apl (; ;Jr>do 1 .. l e y de Newton ;

F d .. ;; pero: d d t

d. F dt - ..

i nt egrando: F

.. t + e l . ..

.. plie.ndo condiciones de fron te r.:

en ( 1):

. F m , ;

o r (O)

chora

d. -'

"

"

d.

" F

F 2.

"

t 1 e ,

(n

O

_. . 12 1

p..ra " - O : 1 O



- 96-

en (2) , . , " ;;

El anlis i s . nterior ; s6 10 fue , onsiderando un solo b loque, en-ton,e s ahora genera l i t ando; p. r . 'id, b loque . bloque (1 ) :

f,

" (Ji

" ,., , ...

b loque (2) : " .

" " '., , ... I' i

pe ro: "

, , (fuerza de inter. "ln mutua )

observando (J) y (" ) podelllO'S ,0n, luf r que las distctnd as re'O -r ridas por 'ada bloque es inversame nt e pro por,i onal a su mas a.

~ Un bloque de /fIaSll '" re,ibe la "dn ~ una fveru a lo l a rgo de una superf"ie horitont,1 s in rozamiento por i ntermedio de una o.u", rda d", lllasa m, ' 01lI0 \ '" ve en la rig. S-\I. Se apli ,a una f uer za P "'n un extremo del , .ble . (a) En,ontrar la ,,-:elera,n del bloque y del ,.ble. lb) En, ontrar la f ve rza qve ejOlrce el ,able

~ob re el bloque M en fu n,in de P, M, Y m.

" ., ,,) Aplic ando I " " , ,,L~ ,,J:~"~~:,:, la l ey de Ne"ton ;

pa ra nue stro '.50:



97-

",a p

'" donde: mT .: M ... m .. . (al Reemp la~ando (a) ~ n el ):

(l '

b) Sea r 1 la fuer~a que ejerce el ca bl e sobre la mas a H.

f 1 :: Ha .

f 1 = H (

s. Un auto tiene inicialmente una velocidad de 50 milh y pesa 3,000 lb; se detiene en una distancia de 20 pies. Encuntrese la fuerza que se necesit6 para frenar y el tiempo que tard6 en detenerse. Suponiendo la misma fuerza de frenada. encontrar la distancia y el tiempo requerido para detener el auto si su velocidad ir.i c ial er6 de 15 mi/h.

Datos: v o

~ SO mI' ~ 73.3 pi~s/seg.

w , 3,000 lb .

~ 1. pie s

Soluci6n :

La des aceleracin que tie ne el ~utomvil se o bt i ene de l a ec uac i 6n:

1ae . . . ( 1) pe r o v :: (1

a :: v!/2e = 73.J]/2x ]O = lJ~.~2 piesi seg 2 De la segunda ley de Ne wton obtenemos:



- 98-

r = rna = ( w/g)a ... (2) r = (3,OOO/32 }134 .42 = 12,600 lb.

El tiempo que tarda el auto en detenerse ser:

b) O,tos :

v at . (3) pero v = O t = v ola = 7 3. 3 /1 34.4 2 = 0.545 seg.

v = 25 mi/h = 36.65 pies /seg. o

El espacio requerido pa r a deteners e ser :

2a e ... (1+ ) v = O

2 2 e = v /2a = 36.65 12 x 13 ~ .4 2 = 5 pies .

o

El tiempo que tarda el auto en de teners e ser :

at ... (5)

t = v la = 36.65/ 1 34 . ~2 = 0. 27 o

Respuesta : al r % 1 2,600 lb. b) e = S pies

tE 0 . 545 t = 0.27 s eg.

6. al Un elect~n avanza un l i nea recta del ctodo de un tubo a baj a pl'esin. a su So nodo, que est e -xactamE- t.e a 1 cm . de distancia. Parte con velo-cidad inicial cero y l l ega el nodo con una ve12 cidad de 6.0 x 10 6 m/seg. Suponga constante la aceleracin y calcule la fuerza sobre el elec tr6n. Tome como masa del elect r 6n 9. 1 x 10- 31 kg.

b) Esta fuerza es de or igen elctri co. Compre la con la fuerza grav itacional sobr e el electr6n que p~ samos por a lto al s uponer mov i mi ento rectil nec. Es vlida l a llip6 te sis?

Datos: e ' v = O o v f = (, x 10 6 m/ ser..; me = 9.1 x 10-

31 kg.



-99-

Solucin:

a) La fuerza elctrica que o~ra sobre e l elect r 6n se-r;

bl

fc"ma ( 1)

La aceleracin del electrn se obt i en e ~e la ecua -ciEln:

v'2 " v 2

b) a " dv dt

Integrando:

- 100-

" 19 . 8 m/s eg? ,

" g = 9 . 8 m/ seg

~ = 8t + c ... el ) Aplicando condicione~ inicia les:

t "O . V" O

O = at O) + e c " O En (1):

v= at .. . (2 )

Reemplazando los valor es de a en (2 ) dichos va l o res fueron calculados en la part e a nterior; por lo tanto:

v v

, = 19.8t mls eg

" '3 . Bt m/ses?

H. Un electr6n es arrojado horizontalmente de un d ispa-rador de electrone s a una ve l ocidad de 1.2 x 107 m/seq den tro de un campo elctrico que ejer ce una r ~Erza vertical cosn tante de " .5 x 10- 1 !) nt. sobre l. La masa del electr6n se puede tomar de 0.1 x 10-15 kg. Determinese la dist ancia verti ca l que se desva el e l ect r'6n durante e l t iempo que ava nza 3 cm. hor i zon ta l mente.

7 -15 Datos: ve = 1.2 x la m/s rg .; fTy = 4. 5 x 1 0 nt .

masa del e l ectrn" 9 .1 x 10- 31 kg.

x " 3 cm. = 3 x 10- 2 m.

Solucin: L

- 101 -

'y " (4.5 x 10-15 )/( 9 .1 x .l.O-J1) = '1.95 x l 01 5 trnlSe/ En este caso, el movimient o del electr6n es seme jante al de un proyectil, porque el elect rn est sometido a una aceleraci n vertical .

La distancia vert ical qu e se desva el e l ectrn se obtiene de la ecuacin :

y = tag60

x t (aX 2 ) /2(Vo

COS60 )2 ... (2 )

pero e = o

4.95 x 1015 K ( 3 x 1 0 - 2 )2 y" 2 x ( 1 . 2 x 1 07 )2

-, = 1 .54 x 10 m.

9. Un via jero espacial cuya masa es de 75 kg . sale de la tierra. Cal cular su peso (a) en la t ierra (b) a 644

2 km . sobN! la tierra (en donde g " 8.1 Jn/~~g l . y ( c ) e n el es~cio interplanetar io. Cul es su ma s a en ca da uno de es t os sitios?

Solucin:

Se sabe que: W " mg ... (1) donde: W peso

m masa

g aceleracin de la gravedad en cada lugar .

Reemplazando valores en (1): a) W = 15 x 9 .e " 735 Newt. b) W ::; 75 x 8.1 ::; 607.5 lIewt. c) W ::; 7 5 x O ::; O

Su masa es de 15 kg. en todos los si tios.

10.Des bloques estn en contacto ( ve r fig. 1 ) en una m~ sa sin fricc in. Se aplica una f uerza hori zonta l .~ un



b l oque. si "

, kg. ;

c untrese la fuer~a d ques o

S:Sil~J.\!ii~n :

j ' ~ : l3J' , : ~ '::..,' ~l/j)ll I "i j-j;~Jjj/l m

-102-

" 1 kg . Y r

contact o entre

L. aceleraci6n ser.!i.:

de donde:

J nt En

lo. dos . blo-

del sistema

: 3/1 + 2 : ,

'" 1 m/seg

Hg. 1 Hac iendo el diag r 41na del cuerpo libre del bloque de

11 - --- .-1 : _

"" Fig . 2

"

masa m1 (figura 2 ) tendre-mas :

r - f 2 ml a . . . ( 2) donde F2 es la fue r za que ejerce el bl oque de ma s a m2 s obre el de masa m1 (fuer -za s de con t a cto ent re los dos bloques) .

De l a ecuaci6n (2) obtenemos: f 2 : F - m1a '" 3- 2(1 )= = 1m.

Respuesta : F2 '" 1 nt .

11. Tres bloques estn cone ctados como se mues tra en l a figura 1 ; en una mas a s in f r icci6n y se jalan a l a 1er echa con una tuerza T3 '" 60 nt. Si m1 = 10 kg .

- --' -"---



Soluci'n:

", -l03~

m g""" "" . , 2 Fl.g. La aceleracin del sis~em4

m)9 ser :

Haga mos el diagrama del cuerpo libr e del b loque de masa m) (ver rir. 2).

T) T2 : mJ" o (21

Hagamos el diagrama del cuer po masa m1 (figura )).

T, "

T, ~ m,' .. .

T, T, m,'

Respuesta: al TI : 10 nt.

b) "2 = 30 nt.

JO

()

"

libre del b loque de

70 ( 1) 1 0 nt .

"' 12. Una esfera cargada de masa 3.0 x 10 kg. est colg~ da de Wl3 C\X!rda. Una f'.lerza el ctrica a c t a hor j :z:ont a l mente sobre la esfera de tal manera qIXl: la C\.It?rda luce . un ngulo de 37 con la vertic~l cuando queda en re-poso. Encuntrese:

al La magnitud de la fuerza elctrica b) La tensin en la ct.enla.

~: m = 3,0 x 10-4 ; e : 37 Solucin:



-104-

Hacemos el diagrama del c uer po li bre de la esfera ca r gada. Como el sist~a est en equi l ibrio tendr e mos:

~7

T

f e

r r x :: O ; F e :: Tscn 31 :: O (1)

mg :: O

'2l De la ecu a c i 6 n (2) obtenemos:

3.0xlO- II (9 . 8) T :: mg /cos37 :: 0.8

r r :: O; Tco s 31 y

:: 3.68 x 10 - 3 nt.

De la e c u a c i 6n (1) s e obtie ne:

Fe :: Tsen31 :: 2. 21 x l O-3 nt .

Re s puesta: r __ -3

a) 2.21 x 10 nt . e

b) T :: 3.68 X 10- J nt.

111 . Calc lese la a c eleracin ascendente ini c ial de u n coh e te de masa 1.3 x 10 11 kg. ~i el empuje i ni -c ia l h~cia arriba de su mot o r es 2 .6 x 10 5 nt. Pu e de omitir el p-es o del c ohete (la atracc in ha -c ia abajo de la t i erra sobre l)?

, ~: m :: 1.3 x 10 kg .

Fa :: 2.6 x 105 nt( e mpu je inicial) So lucin: De la segunda ley de Newton tenemos:

a :: (F - mg)/m ::

:: 10.2 m/seg 2

Fa - mg :: ma . .. (1 ) 2.6x l 0~ ( 1 .3xl01l ) ( 9 . S)

11.3 x 1 04 )

,..',

I



-1050-

El peso del ~ohet e no se puede omitir, porq ue es pre c isamente psta fuerza la que tiene que vencer la fuerza ascendente , . -pura elev~ y s u va l Ol no es :cqteoo comparado con el de l a a scendente .

Respues ta; (a) a : 10.2 ~/se;y] 15 . Un bloque de masa mi = 11 3 . 8 kg, descansa en un plano

i ncl inado liso que forma un ngulo de 30 con respe~ to a l a hori zontal, el cual est unido, me di an t e una cuerda que pasa por una polea pequea sin rozamien t o, con un segundo bloque de masa m2 : 29.2 kg . suspend~ do verticalmente. ( rig. 5-18 ) . (a) Cul es la ace l e racin de cada cuerpo? ( b) ,Cul es la tensin en la cuerda?

So lucin:

N

T

m1 = 43.8 kg.

1ft1 : 29 . 2 kg .

Del diagrama de cuerpo libre para (1) ; T ", Sen JOo " :111 a 1 T ", .en 30

" " . .. ( .l m,



-106-

Para el bloque (2) : W2 -. T 11I2a 2 W - T

_. 2 lb) " 2 111

2 per o! al -" 2; ent onc. s de (., y (b'

T - m19s en 30

m2 9 - T ml "

m2T - 11I11:129sen 30 '"' '" 1m2 - ml T

T

ml l1l 2 19 + 9 en 30) .. m111129(1 + 0 .51

-1 .. "'2 r eempla ::ando reemplaz ando

va l ores T T ::: 257 . 5"

25 7.54 N en ( b )

a ~ a 2 " a l $ 0 . 975 III / S8g 2 Por lo tan'to :

r'-'------"'2 a} .. = 0 .97 5 m/ s eg b ) T " 251 . 5" N

16 . Un mono de 10 k9. e s t A trepando po r una cue r da si n masa,

'- 107-

.,' m M,

,

.' m Reemplazando valores: " rn' 3. ~ 1. S g

Por lo tanto el .ono deber! tener un. aceleracin de 2 por lo menos de 1 .. . 7 III/seg .

b' Del diagratla de cuerpo l i bre para c ada mos:

d. (1) .,' - T .,' O,

Y (2) :

T - .",

",' -

T

." ",

~lT - mmm1g = '"l'"m! - mmT (1II 1+mlll )T = m1mmS + '"lmmS

2811111111 8 T = 111 +m , .

reemplazando valores:

T=1l7.6N En (1) :

T - mm'

m

1 .96 m/seg 2

uno obten~



- 106-

7. Se deja deslizar un bloque Je la parte superior de

un plano i ncli nado sin roz am iento , e 16 m. de la~ go, a parti r del punto de repos o. Llega al extremo inferior del p l ano i nclinado en 14. O seg. Un segun -o do bloque s e dispa ra haci a arr iba por el plano , 3 partir ~el extremo inferior en el se suelta el primer bloque de tal

momento e n que manersa a la base al mismo tiempo que el primer' bloque. (a) Encontrar la acelerac in de cada bloque en el plano inclinado. (b) Cul es la velocidad inicial el segundo bloque? (c) Ilasta dnde sube este blo-

~ue en el plano inclinado?

Soluc in:

a) Para el bloque (1):

,/ " o vvc .,2

, ,-

Reemplaza ndo ,n lo ecua ~' cin anterior : v

" O

" o

'1 o

.t 2 ,-

16 "

a (14 ) 2 --,- . a ~ 2 m/seg

" , m/seg

,

b) Pal"a el bloque (2) : v f o v ", o

" .t, 4 2 porque baja. v t, o 1 o sube y o

v :1 x 2 o

,



- 109-

Vo

:: ~ m/se g.

"

, , 2" e2 v f ~ V

o -

o ~ 16 - 2

-110-

2gsen9 v

. bl t , ...2

v v v

t , .0 , O , O Wsen9 mgsena gsene m m

e) Su velocidad de regreso es v . demostrae i 6n : o Vf "' vi + at

Vf : O + gsena

v f : V o

v o'

gs enS ,

CAlculo de valores para a : 30 0 y vQ : 2 . ~ ~ mIs.

a) 0.61 m. b) 0.5 seg. e) 2.ltlt m/seg.

20. Un elevador que pesa 26700 nt, es jalado hacia arri ha mediante un cable con una acleraci6n de 1 .2 7 mI seg 2 . (al Cul es la tensi6n del cable? (h) CuAl es la tensi6n cuando el elevador estl acelerando ~ c ia abajo a raz6n "d.e 1.22 m/seg 2, . SOluci6n:

T al Aplicando l. ley de Newton :

T W m. T , W

T , ~ a

W

T , W(1 ~l W g

reemplazando valores:

T , 26.700{1g~~ 1)



- 111-

T = 30,023 . 88 Newt.

bl a : 1.22 m/aeg 2 hacia abajo. W T = fila

T = WO - .!.) g Reemplazando valores:

T = 26 700(1 _ 1.22 ) , 9.8

T: 23,376 . 12 Newton

21. Una lmpara cuel ga ver ticalmente de una c uerda en un ascensor que baja. tI ascensor t i ene una retar da cin de 8 pies/15eg 2 antes de detenerse. al Si la t e!! si6n en la c uerda es ~~ 20 lbs. Leu'l es la . asa de la lmpar~? b) Cu&l es la tensin en la cuerda cua~ d~ el asc"ensol" sube co~ una acele racin de B pi es/seg2? Solucin:

al: Una retardacin haci a abajo es igual a una ace-leracin hac:,ia arr"iba. luego por la segunda ley de Hewton obte nemos:

~ _ mg = fila '" (1) de donde:

m = T/(g t al , 20/32 + ~ : 0.5 slug. b) Igualmente que en Ca)

T % .

-112-

22, Una plomada que est suspe ndida del techo de un tren de ferrocar r il funciona como acel er6metro .

(4) Deducir la f rmul a ge ne r al que relaciona l a a -celeracin horizon t al del tren co n el !ngulo e que form a la plomada con l a vertica l. (b) Calcular a 'l cuando e = 20. C"lcular a e c ua ndo a = 0 .1 52 m/seg 2

Solucin:

w

b) Para e = 20" a , .. x I a x 3.57

el ~:

tag

a) Del gr f i co d e ducimos: r = ma

Wt ag e

J ax = gtage l .. (1 )

20'

m/se g ,

a = 0.152 m/seg 2 x

del paso (1): 'x

e = arctag(g)

0.152 e = arctag(~)

l o.". ) 23. Nos referimos a la fig. 5-6. Considrese que l a ma-

sa del bloque es de 29.2 kg. Y que el ngulo e es igual a 30". (a) Encontrar la tensi6n en la cuerda y la fuerza normal que obra sobre el bloque . (b) Si se corta la cuerda , encontrar la aceleraci6n del cloque . No se tome en c uenta el rozami e nto.



- 113-

So luc i n:

N

W~, T

, O

Datos : m = 1 9 . 2 k g. El = 30

a ) Ap l i quemo s e l di a~r~~a d e c u e rpo li bre a l b lo que:

N = mg co s El reemplazando ',al ores ; N , 2 9. 2x 9 . 8x co s3 0o

N , 24 7.8] N. T , rng

" " ,

T , 29.2 x 9. , x s en3 0 T , 1 43 . 08 N.

b) Aplic.ando l a le y de Ne wto n:

rng s en 300 , rna a , g s e n3 0 0

9 . , 1 a , x 2 2

a = 4. 9 m/ s eg 24. Nos rcferiIros a 1

-114-

L-[ ---Ir T bloClue (1) bl oque (2)

Apliquemos: F z m4 par a cada uno: T

- 14 1 . .. (1)

,B - T :c 111 24 2 ... (2 ) pero :

"

" (1) en (2) :

,8 - -la .,' . '

' ,B reemplazando val ores:

l '" J. 21 III/ses 2 en (1):

T = 5B.~ x J.27 '" 190.77 N. h ' 190.17 N. I

25 . Nos referimos a la rig. 5-9a, Sea 1111 '" 0 .5 0 kg . Y m2 '" 1. O kg. Calcular la aceleraci6n de los dos bl2, ques y la' tensi6nde la cuerda.

Soluci6n: .1111 '" 0.5 kg. "'1=1kg.

Diagramas de cuerpo libre:

4J ~ w1 W2



-llS-Aplicando la l ey de Ne wton para cada uno de , los b12 ques:

Bloque (1)

Bloque (2)

Suma ndo: ( a) + ( b ): ., ., ", m2 )a ., . ,

", . ",

Reemplaza ndo '/alores :

a = (~ 11\1" = ( ~ + gJ )9.8 __ '~'-'''"~,'-- r-i-~<

3. 27 II /se,2

Reempla~ando valor es de a e n ( a ) T = 1111 (a1 +g) = 1111 ( a+,) T = 0 . 5{3 . 27 + 9.8) IT. , .53 1

26. Una c adena flexible uni f orme de long i tud 1 , y pe s o por unidad de longitud ~ , pasa sobre una peque " a polea sin fricc i6n y ain ma sa. Se suelta desde una posici6n de equilibrio con una longitud de c adena x colgahdo de un l ado y una longitud 1 - x co lgando del otro lado. (4) I:n qu ci rcunstanc ias a celer a r&1 (b) Suponiendo que se cumplan esas ci r cunsta n cias, encont rar la aceleraci6n ~ en tunci6n de x.

Solyci6p:



- 116-

w = ),1 mg = ),1 F = ma

Diagrama de cue rpo l ibre d e c a da par t e de la c ad p.na:

r' IT1 t, ",

Cvnsiderando la cade na del lado i zquierdo y derecho :

W, ~ ,x

S\lponiendo W, > T,

T-Hr- x) (1)

lx - T . lx 9

a (2)

(1) + (; lx - ), ((-x) "

;"/g a(' - x x,

" "

;" al/g a . 9 L ~ to significa que la cade na cae y no resbala des de el in5tante en que la longitud de una de l a s pa rtes es mayor que la otra, e n ton ces:

a) 1 t- 2x b) a = g ( l - 2xll)

) 1 Un bloque triangular de mas a H, co n ngulos de 30 , 60~ y SUD , descansa sobre el lado 30 0 _90 sobr e una mesa horizonta l. Un bloque cbico , de ma s a m, des

~ansa sob re el lado 60_30 (fig. 5-1S ). (al Qu ~ c eleraci6n horizontal ~ debe tener' N con relaci6n a

l~ mes a para que m quede fija con respecto al blo que t ri a ngu lar, suponiendo que no haya rozamiento



- 117 -

e n los contilctos? (b ) Qu f uel'z a horizontal f . deb e a plica rs e al s i stema para logr a r ese resu ltado , su-po niendo que l il mesa no tiene rozamie nto? ( c ) Supo -ni e ndo q ue no ::;e aplica ningu na fuer1. a a H y que am-has superfi c ie s de contacto carecen de r ozamiento, Describir el mQ~imiento resultiln t e,

Solucin :

Diagrama de c uerpo libr e:

\o! l COS

"

a) Ca lcu lcmo r: la ace l c racin de "m" r c tlpc c t o a "!~ ",

hallemos 'l a c ompo ne n te

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