Ejemplo: Uso del Concreto Armado

Concreto Armado 1 - 116

CAPITULO 8

Ejemplo de Introduccin al

Diseo en Concreto Armado

Lecturas:

8.1 Captulo 18 (Concreto Preesforzado) del libro Diseo de Concreto Reforzado. Cuarta Edicin. McCorman. Editorial Alfaomega.

8.2 Concreto Pretensado: Algunos Conceptos Fundamentales. Hctor Gallegos. Revista El Ingeniero Civil.

8.3 El Postensado en la Construccin de Edificios. Bijan O. Aalami.

8.1Introduccin

Con la finalidad de presentar algunas ideas preliminares relacionadas con el diseo y con el comportamiento en flexin de un elemento de concreto armado, analizaremos un elemento simple bajo diversas condiciones de refuerzo y agrietamiento de la seccin transversal.

El elemento que emplearemos para la discusin, es una viga simplemente apoyada de 5 m de luz, con seccin transversal 0.30x0.60 m, fabricada con un concreto de f(c = 210 kg/cm2. . La solicitacin externa proviene de una carga uniformemente distribuida aplicada sobre la viga, producto de su peso propio y de las cargas muertas y vivas.

Analizaremos diversas situaciones, a saber:

8.2Viga sin armadura de refuerzoEste es un ejercicio meramente terico, ya que en la realidad es muy raro encontrar vigas esbeltas como esta (la esbeltez es 5.0/0.6 ( 8.3) construidas de concreto simple, es decir sin armadura de refuerzo. La idea de este anlisis es la de demostrar la escasa, por no decir casi nula, resistencia que tendra una viga de estas proporciones si fuera construida sin refuerzo de acero.

El concreto simple se utiliza en algunos elementos de poca esbeltez en los cuales las dimensiones de la seccin transversal son comparables con las luces del elemento y en los que los esfuerzos de traccin por flexin son bajos. Algunos elementos estructurales de concreto simple suelen ser: zapatas, muros de gravedad, calzaduras, losas completamente apoyadas sobre el piso (pavimentos).

Las principales hiptesis que haremos para el anlisis son:

Las secciones planas permanecen planas.

El comportamiento del concreto en traccin y compresin es lineal hasta la falla de la seccin por traccin (( = E () .

No hay posibilidad de una falla por cortante, ni de pandeo lateral.

El mdulo de rotura en traccin por flexin del concreto se puede estimar mediante la ecuacin fr = 2 (f(c ( 29 kg/cm2Si recordamos que la falla en traccin del concreto simple es frgil, con un diagrama esfuerzo - deformacin que se puede idealizar como se muestra en la figura 8-1, tendremos que la viga colapsar cuando la seccin central, la ms solicitada, alcance el esfuerzo fr.

Para la seccin central de la viga, donde ocurre el momento mximo, tendremos que la resistencia nominal ser:

Mn ( 5,220 kg-m (resistencia nominal de la seccin)La carga nominal que producira la falla de la seccin y en consecuencia el colapso de la viga ser:

La carga proveniente solamente por el peso propio de la viga es:

Por lo tanto para esta viga sin refuerzo, el peso propio representa cerca del 25% de la carga de falla.

Es claro que en el anlisis anterior no hemos considerado para nada el coeficiente de seguridad. Hemos mencionado que la falla de este elemento ser frgil sin previo aviso, en consecuencia el coeficiente de seguridad deber ser alto. Para concreto simple el factor de reduccin de resistencia () que seala el ACI es de 0.65 y si suponemos que la carga que acta sobre la viga est asociada casi toda con carga muerta, tendremos:

Mn ( Mu

0.65 Mn = 1.5 MservicioPor lo tanto la carga mxima, en condiciones de servicio, que podremos aplicar a esta viga de manera segura ser 1,670 (0.65/1.5) ( 720 kg/m es decir, prcticamente el peso propio de la viga.

Vuelvo a insistir, el caso que acabamos de analizar es hipottico, en la realidad una viga con esta seccin transversal y luz no se hara de concreto simple, se hara de concreto reforzado. El concreto simple, por la poca resistencia en traccin y por su falla frgil, se utiliza en elementos secundarios en los cuales las dimensiones del elemento son tales que los esfuerzos de traccin son bajos.

8.3Seccin reforzada con 10 cm2 de acero en traccin

Supongamos que la viga se refuerza con dos barras de acero corrugado Grado 60, con un rea de 5 cm2 cada una, tal como se muestra en la figura 8-2. Supongamos que la distancia entre el fondo de la viga y el centroide del acero de refuerzo es de 5 cm, lo que equivale a aceptar un recubrimiento libre de aproximadamente 3.7 cm, en consecuencia el peralte efectivo d ser de 55 cm.Las hiptesis que haremos son:

Las secciones planas permanecen planas.

El comportamiento del concreto, bajo cargas de servicio, en traccin y compresin es lineal elstico. Sabemos que esta suposicin es razonable para esfuerzos de compresin hasta 0.4 a 0.5 de f(c. No hay posibilidad de una falla prematura por cortante, ni por pandeo lateral.

La resistencia (mdulo de rotura) en traccin por flexin del concreto (fr) se puede estimar en 29 kg/cm2. Existe una perfecta adherencia entre concreto y acero.

La figura 8-3 muestra las relaciones esfuerzo deformacin que utilizaremos para el acero y el concreto.

8.3.1Seccin sin fisurar

Analicemos el comportamiento de la seccin antes de que se produzca la fisuracin del concreto por efecto de la traccin por flexin, la resistencia mxima del concreto en traccin por flexin ser fr. La figura 8-4 muestra el estado de esfuerzos y deformaciones en la seccin antes que se produzca la fisuracin de la seccin.

Utilizaremos la seccin transformada no agrietada, incluyendo el aporte del acero, para calcular los esfuerzos en el concreto y en el acero:

Calcular el centro de gravedad de la seccin transformada ( Momentos estticos respecto al borde superior), equivale a calcular la posicin del eje neutro c:

1,880 c = 30x60x30 + 80x55 => c ( 31.1 cm

Momento de inercia de la seccin transformada no agrietada:

Itr = (1/12)x30x603 + 30x60x(1.1)2 + 80x(55 - 31.1)2 ( 588,000 cm4El valor de Itr calculado representa un 9% de incremento respecto al momento de inercia de la seccin bruta sin acero de refuerzo.

El momento flector que ocasiona el agrietamiento por traccin concreto en traccin, es:

El momento de agrietamiento de la seccin es Mcr = 5,900 kg-m, por encima de este valor se espera que el concreto en traccin se agriete.

Calculemos los esfuerzos en el concreto y en el acero un instante antes de alcanzar el momento de agrietamiento Mcr:

Comparando el momento de agrietamiento con el de la seccin no reforzada vemos que hay un 13% de incremento (5,900 vs. 5,220 kg-m). Obviamente el concreto armado no se desarroll para mejorar la resistencia de una seccin en flexin, como en este caso, tan solo en un 13%. Para cuantificar el incremento de resistencia que produce la presencia del acero de refuerzo, tendremos que analizar que sucede con la seccin luego de que el concreto en traccin se haya agrietado. A partir del agrietamiento del concreto se puede decir que el acero empieza a trabajar realmente.

A diferencia del caso anterior, cuando el momento flector en la seccin alcance el valor de agrietamiento por flexin, no se producir una falla frgil de la seccin ni el colapso de la viga. La presencia del acero de refuerzo, el cual tomar las tracciones que el concreto no es capaz de soportar y permitir seguir incrementando la carga externa, de manera segura, sin el colapso de la viga.

8.3.2Seccin fisurada

Solo por curiosidad, analicemos los esfuerzos en la seccin un instante despus de ocurrido el agrietamiento del concreto. Para ello apliquemos un momento flector ligeramente superior (un 10% mayor) al que origina el agrietamiento (Mcr) digamos unos 6,500 kg-m.

Las hiptesis para el anlisis sern las mismas, con la diferencia que introduciremos una adicional: el aporte del concreto en traccin se desprecia. Esto significa que todo el concreto que est en traccin, por debajo del eje neutro, no ser considerado en los clculos de resistencia. Esta hiptesis permite simplificar los clculos, sin embargo para momentos flectores de poca intensidad en condiciones de servicio, no es realista, pero s conservadora. El diagrama de esfuerzos y de las fuerzas resultante en el concreto y el acero ser el indicado en la figura 8.5.

Utilizaremos la seccin transformada agrietada (figura 8-6) para calcular los esfuerzos en el concreto y en el acero.

La posicin del eje neutro (c) se obtiene calculado el centroide de la seccin, en este caso calcularemos la suma de los momentos estticos de las reas respecto del eje neutro:

30 c (c/2) = 90 (55-c)

c = 15.41 cm

El momento de inercia de la seccin transformada agrietada se obtiene mediante:

La inercia se ha reducido, al agrietarse la seccin, de 588,000 a 178,000 cm4. En este caso, la inercia fisurada o completamente agrietada es aproximadamente el 33% de la inercia bruta. Calculemos los esfuerzos mximos en el concreto y el acero en la seccin fisurada:

La figura 8-7 permite comparar los esfuerzos en el concreto y en el acero antes y despus del agrietamiento. Es importante notar el fuerte incremento en el esfuerzo del acero en traccin al agrietarse la seccin. Para un momento externo un 10% mayor que el que produce el agrietamiento de la seccin, el esfuerzo de compresin en el concreto ha aumentado de 31 a 56 kg/cm2 (81% de incremento) y el esfuerzo en el acero de 215 a 1,300 kg/cm2 (6 veces).

8.3.3Capacidad mxima de la seccin por Esfuerzos Admisibles Calculemos la capacidad de la seccin utilizando el Diseo (en este caso anlisis) por Esfuerzos Admisibles (WSD) que fuera presentado en la seccin 5.4. Las Normas fijaban, para el diseo en flexin, los siguientes esfuerzos admisibles para la compresin en el concreto y la traccin en el acero:

Concreto:fc admisible = 0.45 f(c = 0.45x210 ( 95 kg/cm2Acero:

fs admisible = 0.5 fy

= 0.5x4,200 = 2,100 kg/cm2

Cuando el acero alcance su esfuerzo admisible, la seccin ya se encontrar agrietada por flexin, en consecuencia los clculos se harn utilizando las propiedades de la seccin transformada agrietada. Para que esto sea vlido, tendremos que suponer que el concreto se comporta linealmente hasta alcanzar su esfuerzo admisible.

Los esfuerzos en el concreto y en el acero as como los momentos mximos (Mad) que ser posible aplicar, sin sobrepasar los esfuerzos admisibles son:

La capacidad de la seccin est controlada por el esfuerzo admisible en el acero, por lo tanto el momento flector admisible es 10,500 kg-m aproximadamente. Para esta intensidad del momento flector, el esfuerzo mximo en el concreto ser fc = 90 kg/cm2 aproximadamente con una deformacin correspondiente de (90/220,000) ( 0.41x10-3. El acero estar trabajando a 2,100 kg/cm2 con una deformacin correspondiente de (2,100/2x106) ( 1.05x10-3.8.3.4Capacidad ltima o mxima de la seccin

El valor del momento que produce el mximo esfuerzo admisible en el acero calculado en 8.3.3, no es la capacidad mxima o ltima de la seccin, es decir el valor para el cual se agota la capacidad de la seccin. Una vez que se superan los esfuerzos admisibles, la seccin no falla, esta tiene an una reserva de resistencia que es justamente la que aprovecha el Diseo por Resistencia.

Para calcular la resistencia nominal de la seccin, utilizaremos las siguientes hiptesis:

Las secciones planas permanecen planas.

No hay posibilidad de una falla prematura por cortante, ni por pandeo lateral.

Existe una perfecta adherencia entre concreto y acero.

Se desprecia el aporte del concreto en traccin a la resistencia de la seccin.

El acero de refuerzo tiene un diagrama de comportamiento elastoplstico perfecto, con una plataforma de fluencia ilimitada con fy = 4,200 kg/cm2 que se inicia con una deformacin de fluencia y = 0.0021. El mdulo de elasticidad del acero se considera Es = 2x106 kg/cm2.Adicionalmente a las hiptesis anteriores, es necesario conocer el diagrama esfuerzo deformacin del concreto en compresin. Este se puede obtener de ensayos de laboratorio o utilizando uno de los muchos modelos disponibles o asumiendo un diagrama racional simplificado. En general el comportamiento en compresin, de probetas en laboratorio, tendr un diagrama similar al mostrado en la figura 8-9, en donde se ha supuesto (0 = 0.002 y (cu = 0.003.

Asumiremos, con cargo a verificacin, que la falla de la seccin se producir por agotamiento del concreto comprimido y que al acero de refuerzo est en fluencia, esto conducir a una falla dctil de la seccin. Bajo estas suposiciones el diagrama de esfuerzos y deformaciones en la seccin ser similar al indicado en la figura 8-10.

Admitamos que el concreto de esta viga tiene el mismo valor (f(c) que el correspondiente concreto de la probeta de laboratorio, esto significa admitir k2 =1 en la figura anterior. Desconocemos la posicin del eje neutro c y el valor de k1. Para superar este inconveniente y mientras no tengamos otro modelo mejor, asumamos para el concreto un diagrama esfuerzo deformacin parablico como el mostrado en la figura 8-11, en el cual, por simplicidad, se ha eliminado la rama descendente de la curva.

El diagrama de esfuerzos en el concreto y las resultantes de las fuerzas de compresin y traccin, se indica en la figura 8-12.

Volumen de compresiones:Cc ( 2/3 c b fc

Traccin en el acero

T = As fy = 10x4,200 = 42,000 kg.

Equilibrio Cc = T

2/3 c b fc = As fy(c = 10 cmResistencia Nominal de la seccin (Momentos respecto a Cc):

Mn = 42,000x(55 0.375x10) ( 21,500 kg-mLa verificacin de las deformaciones en el acero, para comprobar su fluencia tal como se supuso inicialmente, se realiza con el diagrama de deformaciones mostrado en la figura 8-13. Se comprueba que el acero tiene una deformacin alrededor de cuatro veces mayor que la de fluencia.

Utilizaremos, a manera de verificacin, las frmulas para calcular la resistencia nominal deducidas a partir de las hiptesis del ACI, estas sern presentadas posteriormente en el Capitulo 9.

Se aprecia que la aproximacin que hicimos al utilizar una parbola para el concreto en compresin, fue para este caso particular, bastante acertada.

A continuacin se presenta un resumen de los diversos anlisis realizados:

a) Seccin sin acero de refuerzo

b) Seccin con As = 10 cm2 Justo antes del agrietamiento

c) Seccin con As = 10 cm2 Despus del agrietamiento

4) Seccin con As = 10 cm2 Capacidad por Esfuerzos Admisibles

5) Seccin con As = 10 cm2 Capacidad Nominal (Ultima)

8.4Seccin preesforzada

Analizaremos el comportamiento de la viga cuando se introduce en ella un preesfuerzo inicial mediante un cable o una barra no adherida al concreto.

8.4.1Preesfuerzo en el centro de gravedad de la seccinSupongamos que antes de aplicar las cargas externas, colocamos a lo largo de la viga en el centroide de la seccin, un cable no adherido de alta resistencia, de tal modo que permita aplicar una precompresin de 40 toneladas estables. La precompresin estable significa que a la fuerza inicial aplicada mediante un gato, se le han descontado las prdidas provenientes, en este caso, del flujo plstico y la retraccin del concreto y del embutimiento del anclaje.

La fuerza estable de 40 ton producir un esfuerzo de compresin en la seccin de 22 kg/cm2 aproximadamente, al cual se sumarn posteriormente los esfuerzos producidos por las cargas externas.

La situacin que hemos planteado es una simplificacin burda de lo que se llama el concreto precomprimido o preesforzado. Ciertamente un cable en el centro de gravedad no es lo ms eficiente y un concreto de 210 kg/cm2 es de resistencia demasiado baja para este tipo de construccin, sin embargo el ejemplo permitir formarse una idea de lo que es el preesforzado.

Nuevamente asociaremos la falla de la viga al instante en el cual el esfuerzo de traccin (ft) ocasionado por las cargas externas supere la resistencia en traccin por flexin del concreto (fr), la falla, al no haber acero de refuerzo adherido, ser frgil sin previo aviso.

Los esfuerzos en la seccin central de la viga (la ms esforzada) se obtendrn por superposicin de los esfuerzos iniciales de compresin ms los esfuerzos originados por las cargas externas:

En consecuencia el momento de agrietamiento de la seccin, asociado a una falla frgil, ser 9,200 kg-m. Los esfuerzos en la seccin en el instante del agrietamiento son:

La presencia de la precompresin, como era de esperar, ha modificado el momento de agrietamiento y en consecuencia la resistencia de la seccin, de 5,220 (caso de la viga sin ningn refuerzo) a 9,200 kg-m, lo que equivale a un incremento en la capacidad de la viga del 75% aproximadamente. Ntese que en los clculos no se ha considerado ningn coeficiente de seguridad.

8.4.2Cable de preesfuerzo excntricoAnalicemos la viga para las mismas 40 toneladas de preesfuerzo inicial, con la diferencia de que el cable recto no adherido se coloca 0.20 m por debajo del centroide de la seccin. En esta situacin adems de la fuerza axial, tendremos un momento flector producido por la excentricidad del cable de 40x0.2 = 8 ton-m, tal como se indica en la figura a continuacin:

Ser necesario investigar los esfuerzos en la seccin cercana a los apoyos, donde la flexin originada por las cargas externas es nula, y en la seccin central de mximo momento positivo.

Seccin del apoyo:

Seccin central:

Esfuerzos en la seccin central:

1)

fibra superior

2)

fibra inferiorDe 1)-22 + 44 - fc = 0.45x210 -95

fc = - 117 kg/cm2De 2)-22 - 44 + ft = 29

ft = + 95 kg/cm2La condicin que controla es la segunda, es decir la resistencia en traccin por flexin del concreto. El momento externo mximo que es posible aplicar a la seccin central de la viga es: Mmax = ft S = 95x18,000 = 17,100 kg-m. Este momento externo causar el agrietamiento por flexin de la seccin y en consecuencia, para este caso particular, la falla de la viga.

Para concluir, verifiquemos los esfuerzos en la seccin central de la viga para un momento externo de 17.1 ton-m.

15.41

fc= 56 kg/cm2

(relacin modular)

Fig. 8-3 Diagramas esfuerzo deformacin supuestos.

(= 10/(30x55) ( 0.6 %

Fig. 8-2 Seccin reforzada con 10 cm2 de acero

fc

fr

h/2

h/2

t

t

rotura

fr

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Fig. 8-1 Comportamiento en traccin del concreto y esfuerzos en la seccin

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

d = 0.55

0.05

0.3

4,200

y

s

E = 2x106 kg/cm2

y = 0.0021

f(c

( 0.4 @ 0.5 fc

s

c

c

cu

Acero

Concreto

lineal

Fig. 8-4 Deformaciones y esfuerzos en la seccin antes de la fisuracin

5

55

30

31.1

Eje Neutro

(n - 1) As

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(n 1) As = (9-1)x10= 80 cm2

Atr = 30x60 + 80 = 1,880 cm2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Fig. 8-5 Fuerzas en el concreto y en el acero luego del agrietamiento.

30 cm

c= 15.41

55 - c

d= 55

nAs = 9x10 = 90 cm2

Fig. 8-6 Seccin transformada agrietada.

EMBED Equation.3

Fisurada

Sin fisurar

fc= 31 kg/cm2

fc= 56 kg/cm2

31.1

15.41

fs= 215 kg/cm2

fs= 1,300 kg/cm2

Mcr=5,900 kgm

M= 6,500

EMBED Equation.3

Itr 588,000 cm4

Icr 178,000 cm4

As fs

fc

n As= 90 cm2

Icr ( 178,000 cm4

39.59

15.41

30 cm

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

c = 10 cm

fc = 210 kg/cm2 = fc

17.1

42.9

+ 29 kg/cm2

- 73 kg/cm2 ( 0.35 f(c

- 95

- 22

- 22

+ 95

17.1 t-m

40 ton

8 t-m

- 44

+ 44

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

17.06

42.94

+29 kg/cm2

-73 kg/cm2 0.35 fc

-51

+51

-22

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED PBrush

EMBED PBrush

Fig. 8-11 Diagrama supuesto para el concreto en compresin

( = -a (2 + b (

a = f(c / ((0)2

b = 2 f(c / (0

(0 = (cu = 0.002

Icr ( 178,000 cm4

Fig. 8-10 Esfuerzos y deformaciones en la seccin

Fig. 8-9 Diagrama esfuerzo deformacin del concreto comprimido,

fs = 4,200 kg/cm2 = fy

15.41

fc = 90 kg/cm2 = 0.43 fc

10,500

fs = 2,100 kg/cm2 = 0.5 fy

Icr ( 178,000 cm4

6,500

fs = 1,300 kg/cm2 ( 0.3 fy

Itr = 588,000 cm4

fs = 215 kg/cm2 ( 0.05 fy

29 kg/cm2

31 kg/cm2

31.1

5,900

28.9

Ig = 540,000 cm4

30

29 kg/cm2

29 kg/cm2

30

5,220 kg-m

EMBED Equation.3

Mn = 21,450 kg-m

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Fig. 8-13 Deformaciones en la seccin

EMBED Equation.3

s = 0.009 ( 4.3 y

EMBED PBrush

Fig. 8-12 Esfuerzos internos y fuerzas resultantes

EMBED PBrush

EMBED PBrush

Fig. 8-8 Esfuerzos y seccin transformada agrietada.

Fig 8-7 Esfuerzos en la seccin no fisurada y fisurada.

EMBED Equation.3

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