CAPITULO 4

a) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 4.60 m por encima de la misma, los puntos 1 y 2

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

Siendo el nivel de referencia el punto 1, entonces: P1=0; Z1=0; P2=0

Sustituyendo en la Ec. de Bernuolli:

81.92

60.481.92

122

2

2V

Problema 2. Un chorro de agua es descargado por una boquilla, de 2.5 cm

de diámetro, en dirección vertical y ascendente; suponemos que el chorro

permanece circular y que se desprecian las pérdidas de energía durante el

ascenso.

a) Calcular el diámetro de chorro, en un punto de 4,60 m sobre la boquilla ,

si la velocidad del agua al salir es de 12 m/seg.

b) Determinar la presión que debe de leerse en el manómetro M, si el

diámetro en la tubería es de 0.10 m y el desnivel (Z1-Z2) es de 0.4 m.

Considere despreciable la pérdida de energía entre las secciones 0 y 1.

c) Si el chorro forma con la horizontal un ángulo de 45° y se desprecia la

fricción con el aire, determinar la altura máxima que alcanzará y la magnitud

de la velocidad en ese punto.

Problema 1. Por el interior de un gran conducto circular

de 0.3 m de diámetro fluye agua con velocidad que

siguen la distribución señalada en la figura, según la ley

V=0.0225-r2 (en m/seg. ). Determinar la velocidad media

con que el agua sale por las tuberías de 0.05 m de

diámetro.

Sabemos: = 0.0225 – r2, r = 0.15 m., dA = 2 r dr

.

000795.020225.0315.0

0

2

0Seg

mdrrrQ

r

Ad

Dado que la tubería se bifurca en dos, el gasto equivale: Q = 2V·A

La velocidad en los tubos es:

.

2024.0

4

05.0

1

2 2 Seg

mQV

dA=2rdr

Figura del problema 1

Figura del problema 2

De donde obtenemos: V2 = 7.33 m/seg

El gasto en la boquilla esta dado por:

Q1 = V1 A1 = (12 m/seg)( · 0.025²/4) = 0.0589 m3/seg

Y además sabemos que Q1 = Q2, de donde V2 = Q2 /A2 = Q1 /A1

smDD

V /33.70075.0

4/·

0589.0222

Despejando el diámetro obtenemos: D2 = 0.032 mts.

b) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 0.40 m por abajo de ella, puntos 1 y 0

10

2

00

0

2

11

1

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

Donde: P1 = 0, Z1-Z0 = 0.40

Sustituyendo:

81.9281.92

1240.0

2

00

2VP

V0 = V1 · (D1/ D0)² = 12 (0.025 / 0.10)² = 0.75 m/s

Sustituyendo en la ecuación V0

81.92

75.0

81.92

1240.0

22

0

P

aguadecolumnademtsP

.71.70

c) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y el punto donde alcanza la altura máxima el chorro, puntos 1 y 2.

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

VEn el punto máximo = (12m/seg)(cos 45º) = 8.48 m/seg

donde: P1 = 0, Z1 = 0, P2 = 0

La velocidad en el punto más alto se obtiene: V2 = Vcos

Sustituyendo:

81.92

4512

81.92

122

2

2

Cos

Z

Despejando obtenemos: Z2 = 3.67 mts

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

Donde: Z1 = Z2; V2 = 0 ya que es una zona de estancamiento y las h12 0, por lo tanto nos queda la ecuación de

la siguiente manera:

Por otra parte obtenemos que la diferencia de presiones se calculara por la regla de los manómetros, esto es de la

siguiente manera:

P1 – h1- hgh + h2 = P2

P2 – P1 = (h2-h1) -hgh = h - hgh

Resultando:

Despejando V1 nos queda que es .85 m/s y el gasto seria

Q = A · V

Q = [( · 0.30²)/4] · .85 ]

QTubo= 0.06 m3/seg

Donde : P1 = 0; V1 = 0; z3 = 0; P3 = 0; h13 0.

Problema 4. Para el sifón -mostrado en la figura- calcular la velocidad

del agua, el gasto y la presión en la sección 2, en el supuesto de que las

perdidas fuesen despreciables.

Planteamos una Bernoulli entre el deposito y la salida de sifón, puntos 1 y

3.

13

2

33

3

2

11

1

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

12

2

1

2

PP

g

V

)(12 hghPP

1000

)8501000()(

2

2

1

hh

g

V hg

Problema 3. En una tubería de 0.30 m de diámetro

escurre agua; para medir la velocidad se ha instalado

un tubo de Pitot -como se muestra en la figura- donde

el líquido empleado el la medición tiene un = 850

Kg/m3, Calcular la velocidad V para h=0.25m y el

gasto en la tubería.

Planteamos una Ecuación de Bernoulli entre los puntos

1 y 2 para conocer el gasto, donde el punto 1 se

selecciona debajo del manómetro y sobre del eje del

tubo, y el punto 2 se selecciona en la entrada del tubo

de pitot.

Figura del problema 3

Figura del problema 4

Sustituyendo: g

V

260.3

2

3 V3 = 8.4 m/seg

Calculando el área del tubo:

22

031416.04

20.0·mA

Evaluando el gasto con los datos anteriores obtenemos que:

Q= 8.4(0.031426) = 0.2639 m3/seg

Para conocer la presión en 2 planteamos una Bernoulli entre los puntos 2 y 3.

23

2

33

3

2

22

2

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

Donde: P3 = 0; Z3 = 0; 013 h

Sustituyendo:

81.92

4.8

81.92

4.84.522

BP

De la Ec. anterior botemos:

aguadecolumnademtsPB .4.5

En la ecuacion anterior, salvo las cotas que son iguales (Z1=Z2), y las perdidas que son despreciables,

aparentemente las demás variables son incógnitas, quedando nuestra ecuacion de la siguiente manera:

g

VPEp

g

VP

22

2

22

2

11

Ahora, por otra parte las velocidades se pueden expresar de la siguiente manera

y la potencia de la bomba quedaría de la siguiente manera

Problema 5. Si la bomba -de la figura- desarrolla 5CV sobre

el flujo, ¿cuál es el gasto?

Para dar solución al problema, seria plantear una bernoulli

entre los puntos 1 y 2 que están en la entrada y en la salida del

manómetro.

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

VZ

PEp

g

VZ

P

4

2

22

2

4

1

22

1 826.0

2;

826.0

2 D

Q

g

V

D

Q

g

V

·

)/·

75)(5(

···

Q

CV

segmkgCV

Q

PotEpEpQPot

Figura del problema 5

y la diferencia de presiones la calculamos con la regla de los manómetros

P1+ h1+Hg(0.9) - h2 = P2

P2 – P1 = Hg + 0.9 + (h1-h2) = Hg · 0.9 - · 0.9

Por lo tanto nos quedaría de la siguiente manera:

HgPP )9.0(12

1

1000

1360090.012

PP

aguadecolumnademtsPP

.34.1112

Sustituyendo todos los términos anteriores en nuestra bernoulli original nos quedaría de la siguiente manera:

quedándonos finalmente un polinomio de tercer grado en términos del gasto

por ultimo dando solución a este polinomio, el gasto seria Q=0.032m3/seg.

./456.2545

18segm

CosVBoquilla

Planteamos una Bernoulli entre 1 y 2, para conocer la presión en 2.

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

En donde: P1 = 0; Z2 = 0; 012 h

V2 = VBoquilla · (DBoquilla/ DB)² = 25.456 ( 0.10 / 0.25 )² = 4.073 m/seg

Sustituyendo:

81.92

073.4

81.92

1820

2

2

2

P

Problema 6. La velocidad en el punto 1, de la figura, es de 18m/seg

¿Cuál es la presión en el punto 2, si se desprecia la fricción?

Debido a que la trayectoria del fluido es de tipo parabólico, la velocidad

en el punto más alto (1) solo presenta componente en el eje X la cuál es

constante durante el recorrido. En base a lo anterior y por métodos

trigonométricos, obtenemos la velocidad en la boquilla

QD

Q

D

Q 375.826.0826.034.11

4

2

2

4

1

2

375.34.1179.304 3 QQ

Figura del problema 6

aguadecolumnademtsP

.67.352

Q = 0.114 m3/seg

Aceite = 770 Kg/m3

P1 = 0.56 Kg/cm² = 5600 Kg/m²

P2 = 0.35 Kg/cm² = 3500 Kg/m²

Planteamos una Bernoulli entre los puntos 1 y 2, siendo V1 = V2

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

Sustituyendo valores:

1210.6770

35005.1

770

5600h

8.77 = 10.64 + h12

h12 = -1.87 Las perdidas salen negativas ya que se considero que el flujo es en sentido

contrario, entonces:

h21 = 1.87

Problema 7. Un aceite fluye por el tubo circular de 0.20 m de

diámetro, que se muestra en la figura; el flujo es permanente y el gasto es

de 0.114 m3/seg . El peso específico del aceite es 770 Kg/m3. La presión

y condiciones de elevación son P1 = 0.56 Kg/cm² ; h1 = 1.5 m P2 = 0.35

Kg/cm² ; h2 = 6.10 m. Determinar la dirección del flujo y la disipación

de energía entre los puntos 1 y 2. (Las presiones son manométricas)

Figura del problema 7

CAPITULO 8

Problema 1. Agua a 10°C es forzada a fluir en un tubo capilar D=0.8mm y 70m de longitud. La diferencia de

presiones entre los extremos del tubo es de 0.02 Kg/cm2. Determinar la velocidad media, el gasto y el numero de

Reynolds para = 0.0133 cm2/seg.

En este problema se maneja un tubo horizontal de diámetro constante, implica que Z1=Z2, por lo tanto V1=V2.

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

Por lo que respecta a calcular la velocidad, el problema consiste en seleccionar adecuadamente la formula para el

coeficiente de fricción, y como se nos da viscosidad se usara Darcy.

ahora bien el coeficiente de friccion se calculara con f = 64/NR debido a que se supone que es un flujo laminar es

decir con numero de Reynolds menor de 2000. Por otra parte el NR se calculara con la formula NR = (VD) / .

Entonces sustituyendo en nuestra ecuación de perdidas lo pasado tenemos que:

sustituyendo valores obtenemos

despejando la velocidad no queda que es V=4.2x10-4 m/s o bien 0.042 cm/s.

Por ultimo el gasto y el numero de Reynolds se calculan con V=0.042 cm/s.

aguadecolumnademts

mkg

mkg

PPh 2.0

1000

200

3

221

12

mtsg

V

D

Lf 2.0

2

2

2

2

2

·2

···642.0

2

64

2.02

64

Dg

vLV

g

V

D

L

VD

g

V

D

L

Nr

2.0)62.19()108.0(

)70)(1033.1(6423

6

x

Vx

2526.00133.0

)08.0)(042.0(

.

/0002.0042.0·4

·08.0· 3

2

VDNr

scmVAQ

Problema 2. Un enfriador de aceite consiste de tubos de 1.25 cm de diámetro interior y 3.65 m de longitud. El

aceite, con un peso específico de 900 Kg/m3, es forzado a una velocidad de 1.83 m/seg. El coeficiente de

viscosidad a la entrada es 0.28 poises y, a la salida, de 1 poise; puede considerarse que dicho coeficiente varía

como una función lineal de la longitud. Determinar la potencia requerida para forzar el aceite a través de un

grupo de 200 tubos semejantes en paralelo.

Para empezar debemos convertir las unidades al sistema técnico:

2

.·002854.0

1.98

28.028.0

m

segKgpoises

2

.·.010193.0

1.98

11

m

segKgpoise

Estimación de la densidad:

4

2

2

3 .·.743.91

/81.9

/.900

m

segKg

segm

mKg

g

Calculamos las viscosidades cinemáticas de entrada y salida

.

101108.3743.91

002854.0 25

seg

mxEntrada

.

10111.1743.91

010193.0 24

seg

mxSalida

Obtenemos el coeficiente de fricción de entrada y de salida DVDVNr

f·

64

·

6464

Debido a que la viscosidad va cambiando junto con la trayectoria, nos vemos obligados a usar diferenciales para

obtener las perdidas en el tubo, sin olvidar que g

V

D

Lfh

2

2

:

65.3

0

265.3

02

)(g

V

D

dLLgdhh f

08703.00125.0·83.1

101108.3·64 5

x

fEntrada

31084.0125.0·83.1

10111.1·64 4

x

fSalida

f = g (L) = f Entrada + [( f Salida - f Entrada) / 3.65 ] L

Numéricamente resulta: f = g (L) = 0.08703 + 0.06132 L

65.3

0

2

)62.19()0125.0(

)83.1()·06132.008703.0(dL

Lh

h = 9.9153 mts

Q = A V = ( 1.2272 x 10-4 ) (1.83) = 2.2457x10-4 m3/seg.

Ep = h

seg

mKgxEpQPot

·.8022.400)9153.9()900()102457.2(200···200 4

Pot = 5.239 H. P.

Problema 3. Agua a 5° C es bombeada a un tubo de cobre, liso, a una velocidad de 1.53 m/seg. Si el tubo tiene

2.5 cm. De diámetro y 46 m. de longitud, calcular la diferencia de presiones requeridas entre los extremos del

tubo; use la fórmula de Nikuradse, para tubos lisos.

Primero calculamos el número de Reynolds y posteriormente el coeficiente de fricción:

07.29423

./0000013.0

025.0./53.12

segm

msegmDVNr

0235.0

74.5ln

325.12

9.0

f

Nr

f

De donde f = 0.0236, sustituyendo en Darcy:

m

g

segm

m

mh 18.5

2

./53.1

025.0

460236.0

2

h = 5.18 mts.

Problema 4. Aceite, con peso especifico de 800 Kg/m3 y con una viscosidad cinemática de 0.1858 cm2/seg., se

bombea a un tubo de 0.15 m de diámetro y 3050 m de longitud. a) Encontrar la potencia requerida para bombear

127 m3/h . b) si el aceite se calienta hasta que su viscosidad cinemática sea de 0.01858 cm2/seg, determinar la

potencia –ahora requerida- para bombear la misma cantidad de aceite que antes.

Para resolver este problema es necesario determinar primero el número de Reynolds, mediante el gasto podemos

determinar la velocidad:

V = Q / A = [(127 m3/h)(1 h / 3600seg.)] / 0.018 = 1.99 m /seg.

66.16065

./00001858.0

15.0./99.12

segm

msegmDVNr

Dado la magnitud del número de Reynolds utilizamos la formula de Swamme para encontrar f :

51.2log2

1 fNr

f

sustituyendo valores:

51.2

66.16065log2

1 f

f

De donde f = 0.0273

Sustituyendo en Darcy:

m

g

segm

m

mh 04.112

2

./99.1

15.0

30500273.0

2

Pot = Q h = ( 0.0353 m3/seg.)(800 Kg/m3)(112.04 m) = 3164.01 Kg . m/seg.

Pot = (3164.01 Kg. m/seg.)(1 Hp / 76.5 Kg. m /seg.) = 41.36 Hp

Pot = 41.36 Hp

Para el inciso b aplicamos el mismo procedimiento:

6.160656

./000001858.0

15.0./99.12

segm

msegmDvNr

51.2

6.160656log2

1 f

f

De donde f = 0.0163

m

g

segm

m

mh 08.67

2

./99.1

15.0

30500163.0

2

Pot = Q h = ( 0.0353 m3/seg.)(800 Kg/m3)(67.08 m) = 1894.34 Kg.m/seg.

Pot = 24.76 Hp.

Problema 5. Determinar el diámetro de la tubería vertical necesaria para que fluya un líquido, de viscosidad

cinemática v = 1.5 x 10-6 m2/seg, con número de Reynolds de 1800.

Planteando una Bernoulli obtenemos que las pérdidas son:

g

V

D

L

DVh

2·

64 2

Tomando en cuenta que h = L y simplificando todo lo anterior resulta:

2··2

··641

Dg

V

L

h

en donde no conocemos la velocidad, pero si sabemos que Nr = 1800 y por lo tanto la velocidad la dejamos en

términos del Nr.

DD

NrV

DVNr

1800·;

·

Sustituyendo la velocidad en la ecuacion anterior tenemos:

1 = (115200 v ²) / (2 · g · D3)

Despejando el diámetro tenemos

D = 2.36 x 10-3 m

D = 0.236 cm

Problema 6. Calcular el gasto que fluye en el sistema indicado en la figura, despreciando todas las pérdidas

excepto las de fricción

62

642

Dg

VLvh

Es necesario determinar el valor de v para poder obtener el valor de la V, y para ello conocemos lo siguiente:

v = / y que = /g

Sustituyendo valores:

= 800/9.81 = 81.55 y además = 0.1 / 98.1 = 0.001 Por lo que:

v = 0.001/81.55 = 0.0000122

Sustituyendo en la ecuación de pérdidas:

2006.062.19

8.4000012.064 Vh

Despejando: V = 1.132 m/seg.

Por lo que el gasto:

Q = 0.032 lps

. 12

2

22

2

2

11

1

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

En donde: P1 = P2 = 0, V1 = V2 = 0, Z2 = 0

Por lo que: h12 = 6

Usando la ecuación de Darcy: g

V

D

Lfh

2

2

Sabemos que: f = 64 / Nr y además Nr = V.D / v

Sustituyendo en la ecuación de Darcy obtenemos:

Figura del problema 6

Problema 7. Cuando el gasto de agua en un tubo liso dado es de 114 lt/seg., el factor de fricción es f = 0.06 ¿

Qué factor de fricción se esperaría si el gasto aumenta a 684 lt/seg.

f = 64 / Nr ==> NR = 64 / f = 64 / 0.06 = 1067 < 2000 flujo laminar

Si el gasto es seis veces mayor: 114 x 6 = 684 lps

Podemos esperar que: Nr = 6400, es decir, seis veces mayor que el original.

Con el diagrama de Moody para tubos lisos:

f = 0.035

Otra manera de calcularlo es utilizando la formula de Blasiss:

035.06400

3164.03164.025.025.0

Nrf

Problema 8. Agua sale de un tubo horizontal nuevo (fierro fundido) de 0.305m de diametro. Para determinar la

magnitud del gasto en la tuberia, dos manometros separados 610m, indican una diferencia de presion de 0.141

kg/cm2. Estimar el gasto.

Para poder estimar el gasto, se tiene que las perdidas serian las siguientes:

h = 1.41m

Ahora planteando la ecuacion de perdidas por Hazen Williams, se tiene el gasto siguiente:

En donde h=1.41m, CH=130, D=0.305 y L=610, por lo tanto el gasto seria Q = 0.0602 m3/s.

Problema 9. El flujo turbulento plenamente desarrollado en un tubo liso es con una velocidad media de 0.61

m/seg. Determinar la velocidad máxima al centro del tubo con: a) NR=1000. b) NR = 105

a) Debido a que en este inciso nos encontramos con un flujo laminar usaremos la siguiente ecuacion expuesta

con anterioridad:

2

MAXvV

Por lo tanto:

./22.1./61.0·2·2 segmsegmVvMAX

3

2

21

/1000

/1410

mkg

mkgPPPh

852.1

87.4852.1.

.645.10Q

DC

Lh

H

852.1

1

87.4852.1

.645.10

..

L

DChQ H

b) Para este caso, dado el número de Reynolds, es necesario recurrir a la siguiente formula:

R

rRLn

ff

V

vMAX ·

85.2

875.31

y = R-r es decir, es el complemento de r

con r = 0, observamos que y = R

R

RLn

ff

V

vMAX 0·

85.2

875.31

Si r = R:

R

RRLn

ff

V

vMAX ·

85.2

875.31

R = 0, lo cual nos indica el lugar donde se presenta la velocidad máxima ( V = vMAX ), por lo que obtenemos

finalmente:

8

75.31f

V

vMAX

donde: 2

9.0

74.5

·7.3

325.1

NrDLn

f

El valor de se tomó como cero, debido a que se esta trabajando con un tubo liso.

f = 0.0116

Sustituyendo:

8

0116.075.31

61.0MAXv

Vmax = 0.697 m/seg

Problema 10. En una prueba realizada con una tubería de 15cm de diámetro se ha medido una diferencia

manometrica de 350mm, en un manómetro de mercurio conectado a dos anillos piezometricos, separados 50m.

El gasto era de 3000 lt/min, esto equivale a 0.05 m3/s. ¿Cuál es el factor de fricción f?

Para dar solución a este problema se tiene que la ecuación de perdidas es la siguiente:

donde L=50m, D=.15m, y la velocidad y las perdidas se calcularían de la siguiente manera:

Como el gasto es de 0.05 m3/s y el D=.15m, se tiene que la velocidad seria V=Q/A y esto seria igual a 2.82m/s.

Ahora, si sabemos que el peso especifico es igual a 13600 kg/m3, la presión del mercurio seria la siguiente:

g

V

D

Lfh

2

2

P = (13600 kg/m3)(.350m) = 4760 kg/m2

por lo que se tiene que P/ = 4.76m = h estas serian las perdidas.

sustituyendo y despejando la ecuación de perdidas que se planteo al principio del problema se tiene que

Problema 11. Determinar la pérdida de energía que se produce en un tramo de 1000 m, al mantener una

velocidad de 5 m/seg en una tubería de 12 mm de diámetro, v = 4 x 10-6 m2/seg.

El número de Reynolds esta dado por:

NR = ( V · D ) / v = (5 m/seg · 0.012 m) / 4 x 10-6 = 15000

Calculo del factor de fricción:

2

9.0

74.5

·7.3

325.1

NrDLn

f

Para la obtención del valor del factor de fricción, con la anterior ecuacion, se tomó la siguiente consideración:

= 0, ya que se trataba de un tubo liso.

2

9.0

74.5

325.1

NrLn

f

f = 0.028

Sustituyendo en la ecuacion de pérdidas de Darcy:

mg

V

D

Lfh 16.2973

62.19

5

012.0

1000028.0

2

22

h = 2973.16 m

Problema 12. ¿ Qué diámetro de tubería de fierro galvanizado para que sea hidraulicamente lisa para un número

de Reynolds de 3.5 x 105, la tubería de fierro galvanizado tiene una rugosidad absoluta de = 0.15 mm?

En el Diagrama de Moody para un Nr = 3.5 x 105, y para un tubo liso obtenemos:

0002.0

D

Sustituyendo y despejando:

mmmm

D 7500002.0

15.0

D = 750 mm

035.0)82.2)(50(

)62.19)(15.0)(76.4(2.22

LV

ghDf

Problema 13. ¿ Cuál será el diámetro de una tubería nueva de fierro galvanizado, para que tenga el mismo factor

de fricción para Re = 10 5, que una tubería de fierro fundido de 30cm. de diámetro?

Para una tubería nueva de fierro fundido: = 0.25 mm; con los datos anteriores calcularemos

el factor de fricción:

fNrDf

51.2

·71.3log2

1

ff 510

51.2

3.071.3

00025.0log2

1

f = 0.019

Con el valor obtenido y la rugosidad absoluta (0.15 mm) del fierro galvanizado obtenemos el tamaño del

diámetro:

019.010

51.2

·71.3

00015.0log2

019.0

15D

D = 0.185 m.

Problema 14. Calcular el factor de fricción para el aire, a presión atmosférica y a 15 ° C, que fluye por una

tubería galvanizada de 1.2 m de diámetro, a velocidad de 25 m/seg.

La viscosidad cinemática del agua a 15 °C es 16 x 10 –6, la cual, es necesaria para la estimación del número de

Reynolds.

1875000

./000016.0

2.1./5.2·2

segm

msegm

v

DVNr

La rugosidad absoluta presenta una magnitud de 0.15 mm, sustituyendo:

fNrDf

51.2

·71.3log2

1

ff 187500

51.2

2.171.3

00015.0log2

1

f = 0.0137

Problema 15. Calcular el diámetro de una tubería nueva, de fierro fundido, necesaria para transportar 300 lt/seg.

de agua a 25 ° C, a un km. de longitud y con una perdida de energía de 1.20 m.

Para este problema utilizaremos la ecuación de Hazen-williams

852.1

87.4852.1

675.10Q

D

L

Chh

El coeficiente Ch para una tubería nueva de fierro fundido es de 130, sustituyendo encontramos:

852.1

87.4852.1300.0

1000

130

675.102.1

D

Despejando:

D = 0.64 m.

Problema 16. Aceite, de viscosidad cinemática v = 2.79 cm2/seg, fluye en un ducto cuadrado de 5 x 5 cm. con

una velocidad media de 3.66 m/seg. a) Determinar la caída de presión por cada 100 m de longitud del conducto.

b) Determinar la caída de presión por cada 100 m de longitud, si las dimensiones del ducto cambian a 2.5 x 10

cm. c) Determinar la misma caída de presión, si el ducto tiene una sección triangular equilátera de 2.5 cm. de

lado.

Planteamos una ecuación de Bernoulli entre un punto a la entrada y otro a la salida:

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

Donde: Z1 = Z2 y V1 = V2

Sustituyendo:

h12 = (P1 – P2) /

Para resolver este problema nos apoyaremos en la equivalencia entre el diámetro y el radio hidráulico: D = 4 RH

Donde:

mojado

ducto

P

ARH

a) Para solucionar este inciso calcularemos el área y perímetro con los datos proporcionados.

Aducto = (0.05m) (0.05m) = 0.0025 m2

Pmojado = 4 (0.05) = 0.2 m

Sustituyendo:

mm

mRH 0125.0

2.0

0025.0 2

y D = 4 (0.0125m) = 0.05 m

Estimación del número de Reynolds:

91.655

./000279.0

05.0./66.3·2

segm

msegm

v

DVNr

Calculo del factor de fricción:

0976.091.655

6464

Nrf

Sustituyendo en la ecuación de Darcy para pérdidas: g

V

D

Lfh

2

2

12

m

gh 23.133

2

66.3

05.0

1000976.0

2

12

h12 = 123.23

b) Para este inciso sólo cambiamos las magnitudes de los lados

Aducto = (0.025m) (0.1m) = 0.0025 m2

Pmojado = 2 (0.025 + 0.1) = 0.25 m

Sustituyendo:

mm

mRH 01.0

25.0

0025.0 2

y D = 4 (0.01m) = 0.04 m

El número de Reynolds:

73.524

./000279.0

04.0./66.3·2

segm

msegm

v

DVNr

Calculo del factor de fricción:

122.073.524

6464

Nrf

Sustituyendo en la ecuación de Darcy para perdidas: g

V

D

Lfh

2

2

12

m

gh 18.208

2

66.3

04.0

100122.0

2

12

h12 = 208.18 m

c) En este caso varia la forma en que se calcula el área y perímetro, ya que se trata de un triángulo equilátero

Aducto = (0.025m) (0.15m) = 0.000375 m2

Pmojado = 3 (0.025) = 0.075 m

mm

mRH 005.0

075.0

000375.0 2

y D = 4 (0.005m) = 0.02 m

El número de Reynolds esta dado por:

37.262

./000279.0

02.0./66.3·2

segm

msegm

v

DVNr

Calculo del factor de fricción:

244.037.262

6464

Nrf

Sustituyendo en la ecuación de Darcy para perdidas: g

V

D

Lfh

2

2

12

m

gh 73.832

2

66.3

02.0

100244.0

2

12

h12 = 832.73 m

Problema 17. Utilizando el diagrama universal de Moody dar respuesta a las siguientes preguntas: a) ¿ Para que

tipo de flujo la pérdida de fricción varia con el cuadrado de la velocidad? b) ¿ Cuál es el factor de fricción para

Re = 10 5 –en un tubo liso- para /D = 0.001 y para /D = 0.0001? c) ¿ Para qué rango del número de Reynolds,

es constante el factor de fricción, en un tubo de fierro fundido y de 152 mm de diámetro? d) Suponiendo que la

rugosidad absoluta de un tubo dado se incrementa en un periodo de 3 años, a tres veces su valor inicial, ¿ tendría

ello mayor efecto en la pérdida en flujo turbulento, para números de Reynolds altos o bajos? e) ¿ Para qué tipo

de flujo f depende únicamente de Re? f) ¿ Para qué tipo de flujo f depende únicamente de Re y /D? g) Si el

factor de fricción es 0.06, para un tubo liso, ¿ Cuál sería el factor de fricción para un tubo de rugosidad relativa

/D = 0.001, con el mismo número de Reynolds? h) Lo mismo para f = 0.015.

a) Turbulento

b) Tubo liso con /D = 0.001 f = 0.0185; con /D = 0.0001 f = 0.022

c) Re 6.8 x 10 5

d) No tendría ningún efecto, por tratarse de un flujo turbulento

e) Para flujo laminar y turbulento para tubos lisos

f) Para el flujo en zona de transición

g) No existe

h) f = 0.02 según el diagrama de Moody

Problema 18. Aire a 15ºC fluye en un conducto rectangular de 61x 122 cm, fabricado con una lamina de

aluminio liso a un gasto de 274 m3/min

a) Determinar la caída de presión en 100 mts.

b) Determinar el diámetro necesario de un conducto cilíndrico del mismo material para transportar este gasto

con las mismas perdidas.

Para la solución se supone que el tubo es colocado horizontalmente, entonces se procede a plantear una ecuación

de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, entre los cuales hay 100mts de longitud.

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

VZ

P

g

VZ

P

donde: Z1 = Z2, V1 = V2

21

12

pph

En este problema el fluido es el aire y, por lo tanto, la única ecuación de pérdidas que podemos utilizar es la de

Darcy

g

V

RH

Lf

g

V

D

Lf

pph

242

22

2112

Donde debemos reemplazar el diámetro por el radio hidráulico (RH), D = 4 RH.

ADucto= (1.22) (0.61) = 0.744 m2 Perímetro = 2 ( 1.22 + 0.61 ) = 3.66 m

El radio hidráulico está definido como el cociente del área y el perímetro mojado.

mm

m

PERIMETRO

ARH DUCTO 213.0

66.3

744.0 2

4RH = 0.852

./13.6

)60)(744.0(

./2742

3

segmsegm

minm

A

QV

La viscosidad cinemática del aire a 15ºC es v = 16 x 10-6

Nr = VD / v = V( 4RH ) / v = [(6.13) (0.852)] / 16 x 10 –6 = 326,422.5

Obtenemos el coeficiente de fricción usando el valor de f para tubo liso

0132.05.326422

3164.03164.025.025.0

Nrf

A continuación calculamos las pérdidas:

mts

gh 98.2

2

14.6

852.0

1000132.0

2

12

( P1 - P2 ) / AIRE = 2.98 mts

ahora bien, como el aire se encuentra a 15°C, según la tabla de la pagina 23 del Sotelo, el peso especifico del aire

a esa temperatura es de 1.225 Kg/m3, lo que nos quedaría de la siguiente manera,

P1 - P2 = (1.225 Kg/m3)(2.98mts)= 3.65 Kg/m2

P1 - P2 = 3.65 Kg/m2

Para poder dar solución al inciso b, se tiene lo siguiente, el tubo esta horizontal, por lo tanto la diferencia de

presiones serian las perdidas, y si las perdidas se calculan por Darcy nos queda la siguiente ecuación,

Como se debe de tener el mismo gasto y las mismas perdidas tenemos que

Donde se conoce, el gasto, las perdidas, la longitud y el coeficiente de fricción seria,

Por ultimo sustituyendo y resolviendo para D obtenemos que,

g

V

D

Lf

PPh

2

2

2112

5

2

12

)0826.0(

D

LQfh

25.0

25.0

··

4

3164.0

··

43164.0

D

Qf

D

QVDNR

NRf

5

2

25.0

12

·

··

4

3164.0)0826.0(

D

QL

D

Q

h

D = 0.94 mts

Problema 19. Agua fluye con un gasto de 17.1 lps en un tubo horizontal de 150mm de diámetro, el cual se

ensancha hasta un diámetro de 300mm. a) Estimar la perdida la perdida de energia entre dos tubos en el caso de

ampliación brusca.

Para la solución del inciso A de este problema, de la ecuación de continuidad se despeja la velocidad para

encontrarla.

por lo tanto la formula de las perdidas en la ampliación seria la siguiente:

esta surge de la ecuación 8.17 de la pagina 299 del Sotelo Avila.

Por lo tanto nuestras perdidas serian:

segm

D

Q

A

QV 242.0

)3.0(

)0171.0(4422

g

V

D

Dh

21

2

2

2

2

1

2

2

mh 0269.062.19

)242.0(1

)15.0(

)31.0( 22

2

2

5

2

25.0

6

)56.4)(100(

1016

)56.4(4

3164.0)0826.0(

98.2D

Dx