Cap.-2_Probabilidades (3).doc

7/25/2019 Cap.-2_Probabilidades (3).doc

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Ing. Estadstico Jorsi Balczar Gallo

NOCIONES DE PROBABILIDADES

INTRODUCCIN

Consideremos el tpico proceso azaroso de revoleo de

una moneda al aire. Se puede saber en el momento

de tirarla si caer cara o ceca? Podramos contestar,

con la misma fe en la ciencia que los fsicos de fines de

siglo diecinueve, que si conocemos exactamente la

geometra densidad de la pieza, la posici!n inicial,

medimos cuidadosamente el impulso inicial su punto

de aplicaci!n, consideramos adecuadamente la

resistencia del aire estamos seguros en qu" punto de su traectoria ser

interceptada por el dorso de la mano, estaremos en condiciones de prever

cuntas vueltas dar antes de posarse, con ello predecir si la cara o la ceca

aparecern arriba o aba#o. $s decir que controlando el tiro podremos apostar,

seguros de ganar. Por supuesto que el control de todas esas condiciones es

s!lo posible en un laboratorio, por lo que los c%icos del equipo del barrio

pueden quedarse tranquilos& $l arco con el sol de frente les toca a veces 'por

esa maldita suerte( no por decisi!n directa del referee, qui"n se limita a tirar

mecnicamente una moneda en condiciones siempre irrepetibles fuera de su

control.

La Estadstica y la Probabilidad

$l estudio de con#unto del factor de azar revela que respeta lees aproximadas,

es decir dentro de un cierto margen de error. $l estudio de tales lees

aproximadas se llama estadstica, palabra que se deriva de estado, por ser los

estados los que emplearon por primera vez las t"cnicas de recuento de

poblaci!n bienes.

)os sucesos con componente azaroso se llaman casuales, aleatorios o

estocsticos. Su resultado o contingencia no puede determinarse con certeza

absoluta se %abla en cambio de probabilidad de ocurrencia, representada conun n*mero que va desde cero +ninguna c%ance de que pase a uno +certeza

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total de que ocurrir. -s, por e#emplo, en base a alg*n m"todo de muestreo

de llamadas, podremos afirmar que la probabilidad de que nuestro tel"fono

suene en los pr!ximos / minutos es /,0 +o un treinta por ciento si preferimos

con una incertidumbre de 1/,/ +2.

El Azar Estadstico

3ambi"n, %a procesos que tienen una ocurrencia desarrollo ligado a una

gran cantidad de otros acontecimientos anteriores relacionados o no entre s,

que resultan absolutamente imposibles de desentra4ar por su comple#idad

n*mero, por ms que pudieran responder en *ltimo caso a relaciones causa5

efecto. Por e#emplo, se sabe que la interacci!n mecnica en el espacio de s!lo

tres cuerpos es un problema a %arto complicado de resolver por ms que las

relaciones causa5efecto sean las sencillas lees de la mecnica clsica.

6ui"n se atrevera siquiera a abordar por este m"todo la interacci!n de

millones de mol"culas en un botell!n de gas? S!lo m"todos estadsticos dan

en este caso un resultado de con#unto mu a#ustado, prediciendo variables

macrosc!picas como presi!n, temperatura funciones de distribuci!n de

velocidades de las mol"culas, es decir qu" porcenta#e del total de mol"culas

tienen velocidades comprendidas en un intervalo dado.

Expri!"to# $s la observaci!n de alguna actividad de efectuar una medici!n.

)os experimentos u operaciones reales o %ipot"ticas pueden dividirse en dos

clases& deterministicos no deterministicos.

Expri!"tos Dtr!i"isticos# 7n experimento es deterministico si los

resultados del experimento estn completamente determinados puededescribirse por una formula matemtica llamado tambi"n modelo

deterministicos. $#emplo&

5 Soltar una piedra en el vaci! ver s cae o no

5 )anzar una pelota de goma en el agua ver si flota o se %unde.

Son experimentos deterministicos, pues en el primer caso es

evidente que la piedra caer, aun mas su movimiento se describe por

las ecuaciones de cada libre, en ele segundo caso la pelota flotar

indudablemente.

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Expri!"to "o Dtr!i"istico o Alatorios# Si los resultados no

pueden predecirse con exactitud antes de realizar el experimento.

$#emplo&$& )anzar una moneda observar la cara superior.

$8& )anzar un dado observar el numero que aparece en la cara

superior.

Espacio $%stral# $s el con#unto de todos los posibles resultados de un

experimento.

Se llama espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, el con#unto de

todos los resultados posibles de dic%o experimento.

$spacio muestral asociado a un experimento aleatorio $s el con#unto de los

resultados posibles del experimento. Se denota por o S.

$#emplo&

5 -l lanzar una moneda puede salir salir cara salir sello, el espacio

muestral es 9 :cara, sello; ! 9 :c, s;.

5 -l lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es

9 :sale , sale8, sale 0, sale ; ! 9 :, 8, 0, ;

5 -l lanzar dos monedas, el espacio muestral es 9 :+c,c, +c,s, +s,c,

+s,s;.

5 -l lanzar tres monedas, el espacio muestral es 9 :+c,c,c, +c,c,s,

+c,s,c, +c,s,s, +s,c,c, +s,c,s, +s,s,c, +s,s,s;

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Dia&ra!a d 'rbol

S%cso# )lamaremos suceso a todo elemento de un espacio muestral lo

designaremos por x, , @.etc. esto si es x es un suceso, entonces x . $s

lo equivalente a elemento en la teora de con#untos.

E("to#Se llama evento a cualquier subcon#unto del espacio muestral lo

denotaremos por -, A, C,@, etc., luego si - es un evento entonces - . $s

lo equivalente a elemento en la teora de con#untos.

Por e#emplo en el espacio muestral $ 9 :, 8, 0, ; del lanzamiento de un

dado, los siguientes son eventos&

. Bbtener un n*mero primo - 9 :8, 0, =;

8. Bbtener un n*mero primo par A 9 :8;

0. Bbtener un n*mero maor o igual a = C 9 :=, >;

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Probabilidads# D)i"icio"s y Co"cptos

)as Probabilidades pertenecen a la rama de la matemtica que estudia ciertos

experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen

todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cul ser en

particular el resultado del experimento. Por e#emplo, experimentos aleatorios

cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado,

extracci!n de una carta de un mazo de naipes.

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$#emplo

eseamos calcular la probabilidad de que al extraer una carta de una bara#a de

p!Der +=8 cartas obtengamos una de coraz!n ro#o. Si - es el suceso obtener

una carta de coraz!n ro#o se tiene

$#emplo

3iramos dos dados, uno blanco otro negro. Se desea calcular las

probabilidades de los sucesos&

5 Sacar un < en el dado negro&

5 Sacar ms puntuaci!n en el dado blanco que en el negro&

Propiedades de la Probabilidad

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EL *ALOR DE LA PROBABILIDAD

$l valor ms peque4o que puede tener la probabilidad de ocurrencia de

un evento es igual a /, el cual indica que el evento es imposible, el valor

maor es , que indica que el evento ciertamente ocurrir. $ntonces si decimos

que P+- es la probabilidad de ocurrencia de un evento - P+-E la

probabilidad de no5ocurrencia de -, tenemos que&

REGLAS DE LA ADICIN

)a Fegla de la -dici!n expresa que& la probabilidad de ocurrencia de al

menos dos sucesos - A es igual a&

P+A o B, - P+A, U P+B, - P+A, . P+B,Si A y B so" !%t%a!"t

xcl%y"ts

P+A o B, - P+A, U P+B, - P+A, . P+B, / P+A y B,si A y B so" "o !%t%a!"t

xcl%y"ts

Siendo& P+- 9 probabilidad de ocurrencia del evento -.

P+A 9 probabilidad de ocurrencia del evento A.

P+- A 9 probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos - A.

$#emplo /&

$n un congreso de estudiantes de erec%o asisten 88/ alumnos, de los cuales

G/ son de la 7HP, >/ son de la 7H3, =/ de la 7HPFI 0/ de la 7CJ. Si se

realiza un sorteo de textos sobre erec%o Penal, Cul es la probabilidad que

gane un alumno de la 7HP o de la 7CJ?

$s claro que los alumnos de estas universidades son mutuamente excluentes,

porque cada alumno pertenece a una sola universidad.

= :7HP, 7H3, 7HPFI, 7CJ; n+ 9 88/

n+7HP9 G/, n+7H39 >/, n+7HPFI9 =/, n+7CJ9 0/

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P+7HP77CJ 9 P+7HP K P+7CJ 98 0 5 0

0 5 9 12 2 0 2 2 0

.+ =

-dems&

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

8 0 6 0 5 0 3 01

2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0

, , ,P U NP U NT U NP RG U C V P U NP P U N T P U NP RG P U C V = + + +

+ + + =

$#emplo /8&

$n un encuentro internacional de erec%o de negocios internacionales asisten

8// magistrados especialistas en este tema de los cuales


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$#ercicios

. Se extrae una carta al azar de un mazo ingles normal de =8 cartas.

Cual es la probabilidad de que salga un tres o un as?

8. $n un lanzamiento de un dado cual es la probabilidad de que salga un

n*mero par o un n*mero primo?

0. $n la siguiente tabla trata del Irado -cad"mico de los docentes de la

7HP, la cual uno de ellos ser elegido al azar para dar las palabras de

apertura del a4o acad"mico, cual es la probabilidad&

a Sea master o doctorb Sea mu#er o masterc Sea titulado o masterd Sea %ombre o doctor

Doc"t+sxo,

0rado Acad1!ico3itulado Naster octor 3otal

Oombre >/ 0/ = /=

Nu#er 0/ = / =8

3otal Q/


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Reglas de Multiplicacin

Se relacionan con la determinaci!n de la ocurrencia de con#unta de dos

o ms eventos. $s decir la intersecci!n entre los con#untos de los posibles

valores de - los valores de A, esto quiere decir que la probabilidad de queocurran con#untamente los eventos - A es&

P+A y B, - P+A B, - P+A2B, - P+A, P+B, Si A y B so" i"dp"di"tsP+A y B, - P+A B, - P+A 2B, - P+A, P+B3A, Si A y B so" dp"di"tsP+A y B, - P+A B, - P+B2A, - P+B, P+A3B, Si A y B so" dp"di"ts

E*ENTOS DEPENDIENTES

os o ms eventos sern dependientes cuando la ocurrencia o no5ocurrencia

de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro +o otros. Cuando

tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad

condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. )a

expresi!n P+-RA indica la probabilidad de ocurrencia del evento - s el evento

A a ocurri!.

Se debe tener claro que -RA no es una fracci!n.

P+-RA 9 P+- AP+A o P+AR- 9 P+- AP+-Si los sucesos son dependientes, esto es que lo que ocurra despu"s depende

de lo que %a ocurrido antes se obtiene

p+-A 9 p+-. p+A-

Se lee 'probabilidad de que ocurran A y B (sucesivas o simultneas es i!ual a

la probabilidad de que ocurra A por la probabilidad de que ocurra B dado que

ya ocurri" antes A#(

$#emplo& $n una ca#a se tienen = globos verdes, 0 blancos 8 ro#os. Oallar laprobabilidad de que al extraer 8 globos, "stos sean& +muestreo sin reposici!n

E*ENTOS INDEPENDIENTES

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os o ms eventos son independientes cuando la ocurrencia o no5ocurrencia

de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento

+o eventos. 7n caso tpico de eventos independiente es el muestreo con

reposici!n, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la

poblaci!n donde se obtuvo.

Si se tienen 8 eventos - A, se dice que son independientes si la probabilidadde que uno de ellos suceda no depende de que el otro suceso ocurra o noocurra.

Si los eventos son independientes se tiene&

p+-A 9 p+-. p+A

p+-AC 9 p+-. p +A. p+C

E4!plo#

$n una ca#a se tienen = globos verdes, 0 blancos 8 ro#os. Oalar laprobabilidad de que al extraer 8 globos "stos sean& +Nuestreo con reposici!n

PROBABILIDAD CONDICIONAL

)a probabilidad del evento - dado que el evento A se %a presentado se llama

probabilidad condicional, se denota por p+-A se define como&

( ) ( )

( )BP

BAPBAP =/

E4!plo#

$n la tirada de 8 dados se quiere %allar la probabilidad de que caigan 8n*meros iguales tal que ! dado que su suma es maor que Q.

Soluci!n&

- 9 +8 n*meros igualesT - 9 :+, +8,8 +0,0 +;

A 9 +suma U QT A 9 :+ +=,= +=,> +>,,= +>,>;

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-A 9 :+=,= +>,>;

9 8> 9 0

E4rcicios

. $n la escuela de derec%o, el 8=2 de los estudiantes desaprobaron

matemticas, el =2 desaprobaron estadstica el /2 desaprobaron las

dos asignaturas. Seleccione un estudiante al azar.

a Si desaprob! $stadstica, Cul es la probabilidad de que desaprobara

Natemticas?b Si desaprob! Natemticas, Cul es la probabilidad de que desaprobara

$stadstica?

c Cul es la probabilidad de que desaprobaran Natemticas o

$stadstica?

8. Se lanza un par de dados correctos. Si la suma es >, %allar la probabilidad

de que uno de los dados sea 8.

0. supongamos que en urna %a bolitas del mismo tama4o, de los cuales

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