Cap 2-MAS-MEJORADO-1-SA0111142038

Cuaderno de Actividades: FII

2) Movimiento Armónico Simple

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 180


2) Movimiento Armónico

Aquel movimiento que es posible describir con función armónica.

Movimiento Armónico: sen, cos

Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.

Teorema de Fourier: Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.

Toda onda compleja periódica se puede representar como la suma de ondas simples.

Lo anterior es equivalente a decir que podemos construir una onda compleja periódica mediante la suma sucesiva de ondas simples. Esto es lo que se conoce como el Teorema de Fourier.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.):

El Movimiento Armónico Simple es un movimiento oscilatorio o de vaivén en torno de una posición central o de equilibrio.

Es un movimiento rectilíneo pues su trayectoria es un segmento de recta. También es un movimiento periódico, de período “ T ”. Este tiempo es el que tarda el móvil en hacer una oscilación completa.

La frecuencia “ f ” es el número de oscilaciones completas en la unidad de tiempo. Es la recíproca del período y viceversa, tal cual vimos al definir los parámetros del movimiento circular uniforme. Se miden en las mismas unidades mencionadas en ese momento.


sen

cos


ELONGACIÓN “y”:

La posición del móvil se indica mediante la elongación “y” que es la distancia a que está el móvil del origen, el cual está ubicado en la posición central o de equilibrio. Por ello, las elongaciones pueden ser positivas, negativas o cero. La elongación será, por tanto, una función del tiempo.

La posición de equilibrio no implica un equilibrio estático o reposo sino un equilibrio dinámico (equilibrio porque la fuerza resultante es cero). Como veremos luego, el móvil pasa con su máxima velocidad por esta posición de equilibrio.

AMPLITUD : “A”

En la máxima elongación o apartamiento de la posición de equilibrio a que llega el móvil.

El M.A.S. como proyección del M.C.U. sobre un eje coordenado :

El Movimiento Armónico Simple puede entenderse como la proyección sobre un eje coordenado (en este caso el eje “y”) de un Movimiento Circular Uniforme.

Suponemos que un móvil se desplaza con Movimiento Circular Uniforme de período “T”, frecuencia “f”, velocidad angular “”, y velocidad tangencial “V”. Tiene además aceleración centrípeta “aC”. Todas estas magnitudes son constantes en el M.C.U.

Si proyectamos en cada instante el móvil en M.C.U. sobre el eje “y” obtenemos otro móvil que se mueve con Movimiento Armónico Simple.

De manera que proyectando la posición lineal “S” sobre el eje “y” llegamos a la elongación “y”. Proyectando la velocidad tangencial del M.C.U. sobre el mismo eje se obtiene la velocidad del M.A.S. y haciendo lo propio con la aceleración centrípeta se llega a la aceleración del M.A.S.



Con ello se obtienen las tres ecuaciones horarias del M.A.S.

En la siguiente aplicación interactiva puede observarse este proceso.



Estas tres funciones son las ecuaciones horarias del M.A.S. y como vemos son funciones sinusoidales del tiempo. A continuación se grafican las mismas.

La elongación “y” varía según la función seno del ángulo “”, ángulo que recibe el nombre de “fase del movimiento”. Dicho ángulo de fase aparece en grados sexagesimales para mayor simplicidad en el análisis, pudiendo también expresarse en radianes. Los valores de “y” oscilan entre “+A” y “-A”.

La velocidad “V(t)” varía según la función coseno de “”, oscilando sus valores entre “+A” y “-A”.

La aceleración “a(t)” varía según la función “-seno”, que equivale a la función seno multiplicada por (-1), y por lo tanto su gráfica corresponde a la de la función seno rebatida con respecto al eje “x”. Se dice que esta gráfica está en “contrafase” con respecto a la función seno (en este caso a la “y(t)”). Sus valores oscilan entre “2.A” y “-2.A”.

Resumiendo :

1) Cuando la elongación es máxima (positiva o negativa), la velocidad se hace cero y el móvil está a punto de cambiar el sentido del movimiento. En esos instantes la aceleración es máxima y de signo contrario a la elongación.

2) Cuando el móvil pasa por la posición de equilibrio la elongación es cero, la velocidad es máxima positiva o negativa y la aceleración también es cero.



3) Se observa que la elongación “y” está en contrafase con la aceleración “a”, lo que indica que la aceleración es recuperadora. Siempre trata de volver a la posición de equilibrio al cuerpo. Si la elongación es positiva ( entre 0 y 180º) la aceleración es negativa y si la elongación es negativa (entre 180º y 360º), la aceleración es positiva.

La velocidad angular “” del Movimiento Circular Uniforme, que también está presente en las fórmulas del Movimiento Armónico Simple, se llama “pulsación” para este último movimiento.

Otra forma que puede usarse para deducir las fórmulas del M.A.S. es proyectar el M.C.U. sobre el eje “x” (en lugar del eje “y” como hemos hecho).

Si se hiciera esto llegaríamos a las siguientes fórmulas, que también son válidas, sólo que ahora se está tomando el instante inicial en la máxima elongación positiva.



2.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS. Es un movimiento periódico. Producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la

posición. Cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en

intervalos iguales de tiempo. Denominamos movimientos armónicos simples (MAS) a aquellos en los que la partícula se

mueve en línea recta en torno a un punto de equilibrio y que pueden expresarse mediante una función armónica (seno o coseno) de una única variable.

Atleta late 60 veces en 20 s

i) Descripción Cinemática del MAS

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad

derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la

velocidad.

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la

ecuación

x=A sen(w t+j )

Características:

La velocidad de la partícula es mayor mientras más lejos se encuentra de los puntos de

retorno, siendo máxima cuando cruza por el punto de equilibrio y mínima (cero) en los

puntos de retorno. La aceleración de las partículas es mayor mientras más lejos se

encuentra del punto de equilibrio, siendo máxima en los puntos de retorno y mínima

(cero) en el punto de equilibrio.

Posición, velocidad y aceleración

Posición

La constante A que aparece en la expresión anterior se denomina amplitud del movimiento, y es el máximo desplazamiento de la masa con respecto a su posición de equilibrio x = 0. Sus unidades en el SI son los metros (m).


Movimientos periodicos

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_peri%C3%B3dico


El tiempo que tarda la masa en efectuar una oscilación completa se denomina periodo (T), y está relacionado con la frecuencia angular mediante la expresión:

Velocidad y Aceleración



La ecuación del movimiento armónico simple es del tipo:

x(t ) = A sen(ω⋅ t + ) o x (t ) = A⋅cos(ω⋅ t + )

siendo A la amplitud, ω una constante positiva denominada pulsación ofrecuencia angular y una constante denominada fase inicial. La unidad de pulsación SI es el radián por segundo, y la de fase inicial el radián. El argumento de la función seno o coseno empleada en la ecuación del movimiento, ω⋅ t + ϕ, se denomina fase. Su unidad SI es el radián.

El movimiento armónico simple es periódico. El período viene dado por:

y la frecuencia por:

La ecuación de la velocidad se obtiene derivando la ecuación del movimiento respecto del tiempo. Si empleamos la función seno en la ecuación del movimiento se obtiene:



El MAS se considera como el movimiento obtenido al proyectar un movimiento circular uniforme sobre uno de sus diámetros. En la siguiente figura, el punto P se mueve a velocidad angular constante, pasando al cabo de tiempos iguales por posiciones P1, P2, P3, ...

Al proyectar estas posiciones sobre el diámetro horizontal, se obtienen los puntos H1, H2, H3, ..., que determinan las posiciones de la proyección del punto, al desplazarse ésta sobre el diámetro. Este punto proyección se mueve recorriendo espacios diferentes H1, H2, H3, ..., en tiempos iguales, aumentando o disminuyendo en forma especial.

Las magnitudes que intervienen en el MAS, son:

OSCILACIÓN.- Camino recorrido entre dos pasos sucesivos por un mismo punto y en el mismo sentido. En la figura: partiendo del punto M, sería MOAOMBM.

PERIODO.-Tiempo invertido por el punto P, en dar una oscilación completa.

FRECUENCIA.-Número de oscilaciones completas realizadas en le unidad de tiempo.

ELONGACION DE UN PUNTO.- Distancia desde el punto a la posición inicial. En la figura, la elongación del punto M, suponiendo que el movimiento parte de O, es OM.

AMPLITUD.- Máxima elongación del punto. En la figura corresponde al radio.

La velocidad angular , del punto cuya proyección origina el movimiento armónico, recibe el nombre de PULSACIÓN.


= cte

P

P1

P2P3P4

P5

H1H2H3H4H5


RELACIONES ENTRE PULSACIÓN, PERIODO Y FRECUENCIA

a) Relación entre periodo (T) y la pulsación ( ) Si el punto P tarda T en recorrer 2

Y tarda “t” en recorrer t

Según esto tendremos:

b) Relación entre el periodo T y la frecuencia “f”

Si el punto P, tarda T segundos en dar una vuelta, tarda 1 segundo en dar “f” vueltas. Por tanto:

T =

ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

x = A sen 1.

x = A sen

x = A sen (t + ) (1)

x = A cos (t + ) (2)

Que determina el mismo tipo de movimiento, aunque desfasado 900 con la expresión (1).

Velocidad y aceleración del MAS

Al derivar la ecuación (1) se obtiene:

v = A cos ( t + ) (3)

Derivando (3), se obtiene:


P

= cte

A B H

xO

P1

P2

1

2

t

A


a = -A 2 sen (t + ) (4)

sen2A + cos2A = 1

v = A cos(t +)

v2 = A2 2 cos2 ( t + ) (a)

Además tenemos:

En la expresión (1) sen (t +) =

Sen2 (t + ) = (b)

Cos2 (t +) = 1 – sen2 (t +) (c)

Reemplazando (b) y (c), en (a):

v2 = A22 v2 = A22

v = (5)

A = -A2 sen(t + ); x = A sen(t + )

a = -2x (6)

, x, v, a; utilizando la frecuencia “f”:

En la figura anterior tenemos:

= 1 = t (d)

Para una vuelta:

= En (d): 1 = 2 f t

Como también: 1 = t +



Las expresiones (1), (2), (3), (4), (5), y (6):

(1) x = A sen (2 f t + )

(2) x = A cos(2 f t +)

(3) v = 2 fA cos(2 f t +)

(4) a = - 4 2f2 sen(2 f t + )

(5) v = 2 f

(6) a = -42 f2 x

a = -2x (6)

Las fórmulas de la fuerza recuperadora

(FR = -kx = ma); la constante elástica “k”, la frecuencia “f” y el periodo “T”; se pueden escribir así:

F = m.a

FR = -kx = m(-42 f2x)

Por consiguiente: k = 42f2m

f = T = 2

A partir de estas dos ecuaciones, se tiene que:

Fenomenología del MAS



Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x 0), la oscilación esta confinada para –A x A,

¿Cómo debería ser x (t) ?

Donde,

w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.

w = wk,m

A, : Dependen de las condiciones iniciales del sistema.

c.i.:x (0) v (0)

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo

=0

PE

x-A 0 x+A x

193


Para la velocidad,

Para la aceleración,

Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU).

La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando un comportamiento cinemático idéntico al MAS.

ii) Descripción Dinámica del MAS

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

Como la fuerza F es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial Ep.

La expresión de la energía potencial es

Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial Ep=0 cuando el móvil está en el origen, y=0, por lo que c=0



La energía total E, es la suma de la energía cinética Ec y de la energía potencial Ep que es constante.

La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de la posición, esto es,

, c: depende del sistema

Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma → MAS.

F = FR = Fs → FRes = FR → 2da ley, FR ma

a v x

FR F = -k x m

m +kx 0

+ 0

+ w2x 0,

→

W: frecuencia angular

A,: c.i.

X: Posición→ Elongación


F(x) x -A 0 x A

195


A: Amplitud

: Desfasaje

2.2) Casos especiales de MAS

i) Sistema m-k


PE m k =0

196


1)1)

3)


PE 2) k d

m PE’

PE

PE’ k

o m d o’

197


Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con w2 = k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os en PE PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).

ii) Sistema l–g

wt w sen

FRes wt -mg sen

: pequeño sen

F -mg, FRes - cx

FR,t mat


O O g t g l

wt

PE n PE : describe la posición

198


(t) m senwt + ; m A, . : desfasaje

Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s l,

; ,

iii) Péndulo Físico

Es un CR pendular,

produce un restaurador que debe llevar al CR a la PE,


CR 0

PE

0

C

PE

199


- r w sen, w mg

: pequeño = - r w Sen

O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),

,

t m sen wt +

iv) P éndulo de Torsión


A

0 0

P P

PE PE

200


Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un torque restaurador proporcional a (para pequeños s) de tal forma que:

restaurador - k

k: constante de torsión (de la varilla)

Analogía: k k (resorte) FRes = - kx

O: punto fijo.

;

(t) m senwt + ,

2.3) Energía en el MAS

i) Energía Cinética, Ek



Si x(t) A sen wt +

v(t) (t) Aw coswt +

ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el

; x : posición deformación , 0 PE

iii) Energía Mecánica, EM

EM Ek + Ep cte sistemas MAS,

mw2 = k

En particular sistema m–k

Gráficos:

i) Ek



ii) Ep


Ek

0 T t

Ek

-A 0 +A x

203


Observaciones:

En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional, la EM deberá considerarse,

EM Ek + Ep,el +Ep,g PE

EM Ek + Ep,el PE’

2.4) Oscilaciones amortiguadas


Ep

0 T t Ep

x 0

204


Se considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad, esto es, la fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidos como aire, agua, aceites, etc.

f: fuerza de fricción

f a + bv + cv2 + …

f (v)

Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,


0

x

205


MAA

Comparaciones: MAS

m – k :

l – g :

PF :

PT :

1) Caso de interés: wb < wr

Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)

A A(0) amplitud inicial

: Frecuencia de oscilación

La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de la oscilación dada por el factor exponencial.

w del resorte, “w” del medio.



2) Caso cuando wb wr, Movimiento críticamente amortiguado,

3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,


X

A

0 t

x

t

207


S2P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg,

a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil?b) Determinar el valor para el movimiento amortiguado débil.c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud

de 0,5 m.

SOLUCION:

= 0, 11 kg/s (=b) MAAk = 180 N/mm= 0, 31 kg

Oscilador armónico amortiguado

Wb < w0 wk

Oscilador críticamente amortiguado

Wb w0

Oscilador sobreamortiguado

Wb > w0


x

t

208


en donde

a)

;

wb < w0 wk :MAA

b)

15

c)

x(0) = 0,5


X

A

0 t

209


2.6) Oscilador armónico forzado y resonancia

Como es bien sabido, ningún sistema físico podría librarse de la acción de la fuerza de fricción (factor de amortiguamiento, br), por lo tanto, para mantenerlo activo se requiere de la intervención de una fuerza externa al sistema, esto es, se debe considerar la acción de una fuerza externa impulsora,

.

Supongamos que la fuerza externa está dada por,



Aplicando la 2da Ley de Newton,

,

La solución estacionaria de esta ecuación diferencial es,

Este resultado muestra resonancia en la amplitud del movimiento para una frecuencia de la fuerza externa , dependiendo también la forma de la curva de resonancia del parámetro de amortiguamiento, b, tal como se aprecia

en la figura siguiente ( , .

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw


http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw


¿? Como se produciría la resonancia por energía.

OSCILACIONES FORZADAS

Sea un oscilador armónico, por ejemplo una masa unida a un resorte que oscila sobre una superficie horizontal. Desplazada de su equilibrio está sujeta, en este caso, a la acción de tres fuerzas.

1. Fuerza de restitución elástica: 2. Fuerza de rozamiento o amortiguación: 3. Y una fuerza periódica, llamada de excitación, /

W=frecuencia propia de la fuerza exterior y H=amplitud de la fuerza

Por lo tanto:

(1)

Reescribiendo:

(2)



Si se intenta una solución del tipo:

(3)

Recordar que será solución si satisface la ecuación 1, y lo hará bajo ciertas condiciones de a y α que se obtendrán al final con las condiciones iniciales y los parámetros del problema (W, H. K; m y r).

De (3) se obtiene:

(4) y (5)

Introduciendo (4) y (5) en (2) queda:

(6)

Recordando las relaciones trigonométricas: y

utilizándolas en (6), luego de reagrupar queda:

Para que la identidad se cumpla, los coeficientes de cos(Wt) y sin(Wt) en ambos miembros deben ser iguales, por lo tanto:

Reagrupando:

(7)

De (7) se obtiene:

(8)

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones (7) y sumándolas queda:



(9)

Recordar:

(3)



Si la posición inicial es , el cuerpo unido al resorte oscilará con la frecuencia de la

fuerza de excitación exterior y una fase dada por (8), hasta una amplitud estable dada por (9).

Nota: La amplitud “a” presenta un máximo cuando W=Wres

Resulta fácil obtener el valor máximo de “a”, obteniendo el mínimo de , resultando:

10:22 a.m. Sáb, 11 de Jul de 2009

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Oscilador forzado

Para ilustrar este tipo de movimiento consideremos una masa m unida al extremo de un muelle elástico de constante k, a un amortiguador de constante de amortiguamiento , y sometido a una fuerza armónica aplicada.



Resonancia

Las amplitudes del desplazamiento y de la velocidad para la solución estacionaria del oscilador amortiguado dependen de las características físicas del oscilador y de la frecuencia de la fuerza aplicada. En la frecuencia a la que la amplitud del desplazamiento se hace máxima se dice que se produce resonancia en amplitud. Cuando es la amplitud de la velocidad la que se hace máxima se dice que se produce resonancia en energía.

El fenómeno de resonancia se manifiesta en la mayoría de los sistemas naturales. Es bien conocido que cuando una formación de soldados cruza un puente, rompe el paso, para evitar que la frecuencia de la marcha sea próxima a la frecuencia natural de la estructura. La resonancia es observada con frecuencia en maquinaria rotatoria. Un circuito receptor de radio o TV sintoniza en una frecuencia específica ajustando la frecuencia natural del circuito receptor para que sea exactamente igual a la frecuencia del transmisor. Y sistemas atómicos o nucleares exhiben fenómenos de resonancia cuando son excitados con luz o partículas.



S2P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:

a) El desplazamiento en función del tiempo.b) La velocidad cuando x = +A/2.c) La aceleración cuando x = + A/2.d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = /15 s?

SOLUCIÓN:

a) x(t) = A sen (wt + ) x(0) = A sen (w(0) + )=Asen()=+0,05

v(t) = Aw cos (wt + ) v(0) = Aw cos (w(0) + )= Aw cos ()= 0

De la última Ec = /2 {la v (-) para t 0} A=0,05

x(t) = 0,05 sen (10t + /2)

v(t) = 0,5 cos (10t + /2)

Observen la consistencia de tomar (=)= /2: satisface las ci y lo que ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v. ¿Que ocurre si tomamos (=)= 3/2?

b) Recordando la relación v-x

c) Recordando la relación a-x



d) FR= FRES -kx= -k A sen (wt + )= -(200)(0,05) sen (10t + /2)=?

F (+)! veamos

FR (t=/15) = -10 sen (10{/15} + /2) (-10) (-0, 5) = +5

S2P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la partícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva).

SOLUCIÓN:

Nos proporcionan directamente la , las condiciones iniciales son,

Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),


g k

v(0) m

t =0 X

x(0)=0 v(0)

v(0)

220


a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular para t=0,

Reemplazando datos,

b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),

Para t=0 y vecindades,

Para satisfacer x(0)=0, , el valor correcto es , con lo cual las ecuaciones quedan,



S2P4) En el sistema mostrado en la figuraObtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de tiempo t.Si: X = A cos (w0 t + )g: aceleración de la gravedad

SOLUCION:

En

Desde 0:

Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuencia

. Ahora, debido a que la fuerza resultante es , cuando se

escriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,


g k

+ X = 0 m

-

PE 0 d PE’ 0’ x

x’

X, X’

222


como la , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociada una energía potencial elástica, por lo tanto,

S2P32)

Una placa P hace un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin fricción con una frecuencia = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la placa, como se muestra en la figura adjunta y el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa es s = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa?

SOLUCI Ó N :


s B k P

a

m Fres

M

0

223


DCL (M):

De las ecuaciones anteriores,

S2P6)

En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante, para pequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogéneo rueda sin deslizar, considere, M masa del disco,R radio del disco y k constante del resorte.


a fS,M s mg

FRES

FR FRES -s mg

k R

M

224


SOLUCIÓN:

x pequeño MAS , w0 = ?x = s = R

P’ // CM : = I


t M k 0 FR

P

0 o’

225


S2P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un ángulo y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema.

SOLUCION:

) De la dinamica rotacional,

Por la “rodadura”:

De la dinámica traslacional,

Usando nuevamente la rodadura,


k

r

P x P 0 O

T kx

x O’ X w P’ P

226


De 1 y 2,

1)

De la rodadura: 2)

2) 1): 3)

Sea



Ejercicios de MAS

1.- Un péndulo simple de 8 metros de longitud oscila con un período de 2 segundos. Si el período se duplica. ¿Cuál será la longitud del péndulo?Tenemos la siguiente fórmula:

Reemplazando g para hallar la longitud cuando el período se duplica:

2.- Un primer péndulo simple ejecuta 20 oscilaciones en 4 segundos y un segundo péndulo simple 60 oscilaciones en 5 segundos. Si ambos péndulos se encuentran en el mismo lugar. ¿Cuál es la razón de la longitud del segundo respecto a la longitud del primero?Según la tercera ley del movimiento pendular:

Sabemos también que T (período) es:

Entonces:



3.- Un cuerpo experimenta un MAS con período 4 segundos. Si inicia su movimiento cuando el resorte esta alargado 20 cm. Determinar:

a) Al cabo de que tiempo está a 10 cm y dirigido hacia el origen.b) La velocidad del cuerpo cuando ha transcurrido un segundo después de haberlo

soltado.

Los datos que tenemos son:

a)

b)

4.- El período de oscilación de un péndulo es de 12 segundos; si la longitud se triplicara. ¿Cuál sería el nuevo período de oscilación?

Ahora procedemos a multiplicar la longitud:

5.- El período de oscilación de un péndulo es 12 segundos; si su longitud disminuye en un 10%. Determinar su nuevo período.

Ahora procedemos a disminuir el 10% de la longitud:



Y finalmente, desarrollamos el nuevo período:

6.- ¿Qué longitud debe tener un péndulo simple para que su frecuencia sea de 150 osc/min? (g= )

7.- Un péndulo simple de 8 metros de longitud oscila con un periodo de 2 segundos. Si el periodo se duplica. ¿Cuál será la longitud del péndulo?

Luego:

8.- El periodo de oscilación de un péndulo simple es segundos. Si su longitud disminuye en un 10%, determinar su nuevo periodo.



10% de la Longitud:

9.- La frecuencia de un péndulo simple es de 6 Hertz, luego es llevado a la Luna, en donde la gravedad es la sexta parte que la tierra. ¿Cuál es el valor de la frecuencia en la Luna en Hertz?

Entonces:

10. ¿Cuál es la constante de fase inicial en la ecuación del movimiento

x = A . Sen (ωt +φ)? si las posiciones iniciales de la partícula son:

a) x = 0b) x = -Ac) x = +Ad) x = A/2

La fase inicial se produce cuando t =0 por lo que nos queda que :

a)



b)

c)

d)11. Una partícula que realiza un M.A.S. recorre una distancia total de 20 cm en cada vibración completa y su máxima aceleración es de 50 cm\s2.

a) ¿Cuáles son los valores de su amplitud , período y velocidad máxima ?.b) ¿En qué posiciones de la trayectoria se consiguen los valores máximos

de la velocidad y de la aceleración?.

a) A = cm54

20 A = 5 cm

a = -2x La aceleración es máxima cuando x =A

amax = -2 A -50 = -52 2= 10 = 10 rad \s T = s98,110

22

T = 1,98 s

v = 22 xA La velocidad es máxima cuando x = 0

vmax = A = 10 .5 = 15,8 cm\s2

vmax = 15,8 cm\s2

b) vmax para x = 0amax para x = A = 5 cm

12. Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g ,la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine:

a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte.b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía

mecánica del sistema es la misma en ambos casos.

a)



mN3,95k

100gm

mN95,31.1,04mf4k

g100kg1,0m075,0m75,0075,0m25,0m075,0m25,0m5,0)3,0m(1m

f)3,0m(4mf4

f)3,0m(4k)3,0m(4

kf

mf4km4

kf

mk

21f

2221

2

22

22

221

2

22

22

22

21

22

21

1

b)

222m

211m

kA21E

kA21E

Si Em1 = Em2 A1 = A2 = 5 cm

A1 = A2 = 5 cm

13. Una partícula realiza un M.A.S. con una amplitud de 8 cm y un período de 4 s. Sabiendo que en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición de elongación máxima

a) Determine la posición de la partícula en función del tiempob) ¿ Cuáles son los valores de la velocidad y de la aceleración 5 s

después de que la partícula pase por el extremo de la trayectoria ?.

a) En función del coseno x = Acos (t +0) = 8.cos t2

En función del seno x = Asen (t +0) = 8.sen ( t2 +

2 )

Escogemos en función del coseno x = 8 cos t2π (en unidades

c.g.s.)b) Para t = 5s x= 8.cos 5

2 = 0

v= A = s\cm482

v = -4 cm\s En sentido hacia la posición de equilibrioa = -2x = 0 a = 0

14. Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable, y una masa en el extremo de valor 40 g, tiene un período de oscilación de 2 s.

a) ¿Cuál debe ser la masa de un segundo oscilador, construido con un muelle idéntico al primero, para que la frecuencia de oscilación se duplique?



b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10 cm, ¿cuánto vale, en cada caso, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad alcanzada por su masa?

a)

Si dividimos las dos ecuaciones

g10Kg10f4

f10.4

f

fmm

mm

f

f 22

1

21

2

22

211

21

222

21

m2= 10 gb)

Como A1 = A2 =A EP1max= EP2max

EP1max= EP2 max= 2KA21

La velocidad es máxima para x =0

v1max = 1 A = 3,14.0,1 = 0,314 cm\s v1max = 0,314 cm\s

v2max = 2 A = 6,28.0,1= 0,628 cm\s v2max =0,628 cm\s


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