Cuaderno de Actividades: FII

1) ELASTICIDAD

1) ELASTICIDADNingn cuerpo especfico en la naturaleza es rgido y todos los cuerpos sufren deformaciones de diferentes magnitudes.

1,1) Introduccin( Cuerpos ( Deformables

( Esfuerzo Accin de una fuerza actuando sobre una rea.

( Deformacin Cuando un objeto cambia temporalmente (deformacin elstica) o permanente (deformacin plsticaofractura) debido a la fuerza aplicada.Cmo se produce la deformacin?Con las fuerzas inter-moleculares internas en el seno que se oponen a la fuerza aplicada, por ejemplo: Un trozo de plastilina es un ejemplo de un material que sufre una deformacin plstica cuando se le aplica una fuerza muy pequea.

Un trozo de metal cuando se le aplica algo de calor es capaz de sufrir una deformacin elstica ya que cuando se enfra regresa a su forma original, pero si se le aplica una fuerza lo suficientemente grande la deformacin se vuelva plstica pues no es capaz de regresar a su estado original. El hule es un material que cuando se le aplica una fuerza sufre una deformacin elstica, es decir, al retirar la fuerza el objeto recupera su forma original, pero si se aplica una fuerza lo suficientemente grande puede romperse y no recuperar su forma original.

Un resorte es otro objeto elstico que al ser deformado es capaz de recuperar su forma original, a menos que se le aplique una fuerza lo suficientemente grande como para hacer que la deformacin sea plstica.

( Mdulos elsticos Unmdulo elsticoes un tipo deconstante elsticaque relaciona una medida relacionada con la tensin y una medida relacionada con la deformacin.

Las constantes elsticas que reciben el nombre de mdulo elstico son las siguientes:

Mdulo de Youngse designa usualmente por. Est asociado directamente con los cambios de longitud que experimenta un cable, un alambre, una varilla, etc. cuando est sometido a la accin detensionesde traccin o de compresin. Por esa razn se le llama tambinmdulo elstico longitudinal.Y: Modulo elstico de Young, en N/m2. Mdulo de compresibilidadse designa usualmente por. Est asociado con los cambios de volumen que experimenta un material bajo la accin de esfuerzos (generalmente compresores) que actan perpendicularmente a su superficie. No implica cambio de forma, tan solo de volumen.: Modulo elstico de Volumen, en N/m2.

Mdulo elstico transversalse designa usualmente por. Est asociado con el cambio de forma que experimenta un material bajo la accin deesfuerzos cortantes. No implica cambios de volumen, tan solo de forma. Tambin se le llamamdulo elstico tangencialymdulo elstico cortante.S: Modulo elstico de Rigidez o de Corte, en N/m2.

( Rgimen elsticoMdulo de elasticidad longitudinal el mdulo de elasticidad longitudinal o mdulo de Young relaciona la tensin segn una direccin con las deformaciones unitarias que se producen en la misma direccin.

Material | E123 [ MPa ] | E [ kp/cm ] |

Goma | 7 | 70 |

Cartlago (humano) | 24 | 240 |

Tendn (humano) | 600 | 6000 |

Polietileno, Nylon| 1400 | 14000 |

Madera (laminada) | 7000 | 70 000 |

Madera (segn la fibra) | 14 000 | 140 000 |

Hueso (fresco) | 21000 | 210 000 |

Hormign / Concreto | 27 000 | 270 000 |

Aleaciones de Mg | 42 000 | 420 000 |

Vidrio | 70 000 | 700 000 |1.2) Esfuerzo y deformacin

Experimentalmente:

L A

Li ( L

A: seccin transversal

(L

L

Se observa:

( los (L van a depender de las y A (siempre en rgimen elstico(( los (L dependen de LSe define:

a) Esfuerzo, s: (Fuerza por unidad de rea)

b) Deformacin, e: (Deformacin unitaria)

Con estas definiciones se observa relacin directa entre los esfuerzos y las deformaciones.

Mdulo elstico = Esfuerzo/Deformacin

(

D

E

Rgimen elsticoM ( 1010 ? Podra describir curvas s-e donde se muestren las 3 fases: elstica, plstica y de ruptura.? Podra describir curvas s-e especiales.1.3) Mdulos elsticos i) Modulo de Young, Y

Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.

N/m2ii) Modulo de corte, S

Describe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efecto de fuerzas aplicadas segn sus caras (fuerzas tangenciales o de corte), A

h

f

(x

h (

fPara pequeas fuerzas F la cara de rea A se desplaza relativamente una pequea distancia (x hasta que las fuerzas internas del cuerpo logran equilibrar dicha fuerza.

La resistencia al desplazamiento (x se describir en base al modelo S,

(

iii) Modulo volumtrico, B

Describe la resistencia del material a deformaciones volumtricas.

F A

F

F F

Supongamos que el cubo de rea A esta sometido a las fuerzas F sobre cada una de sus caras. El cubo est sometido a compresin, el modulo volumtrico esta definido por,

Si esta presin, , se escribe como una variacin de presin, ,

En estas condiciones se introduce el - para obtener un B > 0.Compresin: (p > 0 ( (V < 0( B > 0.Dilatacin o expansin: (p < 0 ( (V > 0( B > 0.? Existirn otros mdulos elsticos.Ejercicio 1:

1 Ideal y

m2 h2 (1mm1v2(0) ( 0

MRUVPolea ideal

Cuerda ideal,

m1,m2 , puntuales

L = 2 m1 = 3, m2 = 5

( = 4 x 10-3

T= 0.57 segundos2Polea real afectada

I=I (m,r) , f ( polea( CR

( MRUV

3Cuerda real Deformacin CR

MRUV

4(1)t (?

( t(y2 (0) (?y(t) (y (0)+ v(0) t - at2

5(3) Considerando slo deformacin de la cuerda, T=?, t=?

Acerow2 T = m2 a

T = w2 m2 a

( 50 5 x 2,5

T ( 37,5

Yacero ( 20 x 1010

Ejercicio 2: La deformacin causada a la barra de longitud L, x, mediante la aplicacin adecuada de la fuerza F, es decir, el trabajo efectuado por F sobre el sistema elstico, queda almacenado como energa potencial elstica en el sistemaveamos que es asi, A

-F F -L 0 x x Mostraremos que en el sistema queda almacenada energa potencial elstica que puede expresarse de esta manera,

Al aplicar la fuerza F, tal como muestra la figura, producir una deformacin x, descrita por,

De tal forma que la fuerza del sistema ser,

{En todo momento la fuerza aplicada F es tan intensa como la respuesta elstica del sistema, siempre que el proceso se realice muy lentamente, estado cuasiestacionario}Ahora, calculando el trabajo de esta fuerza,

EMBED Equation.DSMT4

? Aplicaciones tecnolgicas de la deformacin de los cuerpos en sus tres fases notables: elstica, plstica y de ruptura.

d/2 D/2

F F

LS1P10) Se cuenta con una barra troncocnica maciza cuya seccin circular vara uniformemente a lo largo de su longitud L, entre los dimetros d y D. Los extremos estn sujetos a una fuerza axial F, determine la deformacin unitaria especfica debido a dicha fuerza.

SOLUCION:

b/2

d/2

L Y

A(x)

D/2

d/2 y F

0 x

X Ax LDe

(

( mS1P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de longitud (longitud sin estirar) con un dimetro de 0,1 mm. El sistema es puesto en movimiento como un pndulo cnico con un ngulo ( en el vrtice.

a) Calcule la deformacin del alambre.

b)El periodo del movimiento rotacional cuando la tensin en el alambre en dos veces el peso de la masa (Yacero = 21 x 1010 Pa).

SOLUCION:DCL (m):

T

( m

w

Datos: m=1, l=2, d=(=10-4, Yacero = 21x 1010.

Del equilibrio en la vertical,

Y de la dinmica circular,

De y ,

a) Del modulo de Young,

b) T (periodo)=?, con la condicin ( T: tensin)

La frecuencia angular la obtenemos de (,

Con lo que el T queda,

barra

L

2wS1P1) La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes caractersticas: peso = w, rea transversal = A, longitud = L y mdulo de Young = Y. Si una pesa de peso 2 w es colocado en la parte inferior, halle la deformacin de la barra considerando la deformacin por peso propio.

SOLUCION: Primero determinaremos la deformacin causada por el peso propio de la barra, para lo cual tomamos un elemento de la barra de longitud infinitesimal dx, como se muestra en la figura, sobre la cual acta la fuerza w(x), es decir, la fuerza debido al peso del trozo de barra de longitud x, X dx

w(x) x

0

w w(x)

Esta fuerza producir un elemento de deformacin dado por,

Para calcular la deformacin total integramos para toda la barra,

Ahora, para la deformacin total, consideramos la deformacin que produce la pesa 2w,

Con lo que la deformacin total es,

S1P4) Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y rea transversal de 2,00 cm2 se sujeta por un extremo al extremo de una varilla de acero de longitud L y seccin de 1,00 cm2. La varilla compuesta se somete a tracciones iguales y opuestas de 6,00 x 104 N en sus extremos.

a) Calcule L si el alargamiento de ambas varillas es el mismo

b) Qu esfuerzo se aplica a cada varilla?

c) Qu deformacin sufre cada varilla?

Modulos de Young:

Cobre: 11 x 1010 Pa

Acero: 20 x 1010 PaSOLUCION: Representamos a la varilla compuesta en el siguiente diagrama,

F A1 L1 L A2 F

a) Determinamos L de la condicin . Mostramos DCL de cada varilla en la direccin de inters y aplicamos la condicin,

F (L1 F F (L F

Calculando,

b) Calculando los esfuerzos,

c) Calculando las deformaciones,

S1P14) Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4,0 x 108, el acero se rompe. Determine la fuerza de corte para, a) cortar un perno de acero de 1 cm de dimetro, y b) hacer un hoyo de 1 cm de dimetro en una plancha de acero de 0,50 cm de espesor.

SOLUCION: a) Determinacin de la fuerza de corte,

F

De la ecuacin del esfuerzo de corte,

Por lo tanto, una fuerza mayor que F cortara al perno.

b) Ahora, determinamos la fuerza de corte para hacer el hoyo, w

D F

wS1P2) Una barra homognea de longitud L, rea A, masa M, mdulo de Young Y, gira libremente con velocidad angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin friccin y pivoteando en uno de sus extremos.

Determine:

a) La deformacin producida en la barra

b) En donde se produce el esfuerzo mximo

SOLUCION: L,M dm w dFcp r dr

O a)

b) De ,

por lo tanto, en r=L,

EMBED Equation.3

d

Esfuerzo

Deformacin

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Mg. Percy Vctor Caote Fajardo

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