Cap 2 Dominio Tiempo

ARG2001

CaptuloCaptulo 2.2. Dominio Dominio del del TiempoTiempoSlide Slide 11 of 66of 66

CURSO:CURSO: TeoraTeora de Controlde Control 2004 Luis Alfonso2004 Luis Alfonso MuMuozoz H., CORUNIVERSITARIAH., CORUNIVERSITARIA

ESPECIALIZACION EN AUTOMATIZACION INDUSTRIAL

ConvenioCORUNIVERSITARIA-UNAB

Julio de 2004

ESPECIALIZACION EN ESPECIALIZACION EN AUTOMATIZACION INDUSTRIALAUTOMATIZACION INDUSTRIAL

ConvenioConvenioCORUNIVERSITARIACORUNIVERSITARIA--UNABUNAB

Julio de 2004Julio de 2004Captulo 2. Dominio del Tiempo

Ing. MSc. Luis Alfonso Muoz H.Facultad de Ingeniera

Programa de Automatizacin IndustrialUniversidad de Ibagu - CORUNIVERSITARIA

[email protected]

2004 Luis Alfonso Muoz H., All Rights Reserved



Este anlisis se hace en el Dominio del tiempo.Idea: Someta su sistema a cierta seal que es una funcin

conocida en el tiempo.Luego mida las seales de salida & deduzca algo sobre

el sistema.

Este conocimiento puede luego usarse en un Modelo del sistema.

SistemaSistemaInput (t)Input (t) Output (t)Output (t)

Anlisis en el Dominio del Tiempo



Muy til para determinar las caractersticasdel sistema.Tericamente, la representacin en el dominio del tiempo

debera contener la misma informacin que la representacin en el dominio de la frecuencia.

A veces, en la prctica, es mucho ms fcil obtener informacin en el dominio del tiempoque en el dominio de la frecuencia.Las seales de exitacin en el dominio del tiempo bsicas

son: paso, rampa e impulso.

Anlisis en el Dominio del Tiempo



EjemploEjemplo

Sistema aire acondicionado.Necesita un modelo.Input: una secuencia de

entradas binarias pseudo-random.Dominio del tiempo

Tcri

BlowerHeater Cooling

Coil

Nozzle

TcnTC

FlowStraightener

Gas Cooler

Outdoor Chamber

Tor Mtr

SA

TC

Sp

D

p

c

n

Tcro, Pcro

XV

Tori

Tero, PeroTeri

Trcpi, Prcpi

mgTgoTgi

GlycolChiller

mr

ml

Trcpo, Prcpo

Tshri,Pshri

Tshro

SLHX

W

W

Heater

Humidifier

Indoor Chamber

Sp

Nozzle

Ten

Dpen Dpea

mg2

S

moTosro

DPer

DPcr

Tgi2 Tgo2

Cooling CoilTdpeo

Tdpei

TH

Blower

EvaporatorFlow

Straightener

Cp

Tren Tren de de pulsospulsos

COCO22 testbedtestbed



Pulsos a la velocidad del compresor

Modelo identificado con el toolbox de identificacin de MatlabVer >>help ident

200 300 400 500 600 700 800-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Red: Data Blue: 3rd Order Model

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10007

7.5

8

8.5

9

9.5

10

Time (s)

T

e

m

p

e

r

a

t

u

r

e

(

*

C

)

Red: ModelBlue: Data

Evaporador Temperatura de salida del evaporador

EjemploEjemplo



Sistemas Sistemas de Primer de Primer OrdenOrdenAnaloga de anlisis en el dominio del tiempo: Operando un VCR por trial and error y/o leyendo las

instrucciones.

Respuesta en el tiempo de sistemas de primer ordenSistemas trmicos (calentamiento de casa), sistemas de

nivel de liquido, aceleracin de vehculos o velocidad de un motor DC.

Representacin bsica:+={ ryyT &

TiempoConstante de



Representacin como funcin de transferencia:

Diagrama de bloques:1

1)()(

)()()1(

+==+

TssRsY

sRsYTsF.T. de un F.T. de un sistema sistema dede

1er 1er ordenorden

T1

s1++

--rr yT& y& y RR YY

11+Ts

Sistemas Sistemas de Primer de Primer OrdenOrden



Respuesta paso unitario:C.I. Cero

Respuesta paso unitarioRespuesta paso unitario

Tss

TsT

s

TsssY

111

11

111)(

+=

+=+=

)()( tUtr s=11

00 ttUse Use fracciones parcialesfracciones parciales

0 t;1)( / = Ttety



Una caracterstica de un sistema de primer orden es que despus de 1 constante de tiempo, la respuesta del sistema va en un 63.2%.A medida que T decrece, el sistema

reacciona mas rpido.

632. 368.0.1

1)()( ,at 1

==

=== eTytyTtyy

ttTT

11.63.63




Si miramos la pendiente de la respuesta en t=0, .Provee otra forma de calcular la

constante de tiempo si usted cree queel sistema es de 1er orden.

Te

Tdttdy

t

Tt

t

11)(0

/

0

== ==

yy

00

11Slope = 1/TSlope = 1/T

tt




Cambio de temperatura en un vehculoComience con el carro caliente, apague, y

monitoree la temperatura interior.

EjemploEjemplo



Decaimiento de primer ordenPiense en una respuesta impulso

Car Temp

020406080

100120140

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

time (min)

d

e

g

(

F

)

Temperatura Temperatura medidamedida

Curva Curva de de temperatura temperatura ajustadaajustada

45065)(t

etT+=

EjemploEjemplo



Respuesta rampa unitariaRespuesta rampa unitaria

Respuesta rampa unitaria de un 1er orden

11

111)(

2

2

2

++=+=

TsT

sT

s

TsssY

0 t;)( / += TtTeTttyCondiciones Iniciales Condiciones Iniciales cerocero

y, ry, r

tt00

rryy

eessss= T= T



Considere el error entre la referencia y la salida.

Hay un error en estado estacionariopara una referencia rampa que decreceal decrecer la constante de tiempo

y, ry, r

tt00

rryyeessss= T= T

TteeeT

TeTtttytrte

tss

Tt

Tt

===

+==

)(lim)1(

)()()(

/

/

Respuesta rampa unitariaRespuesta rampa unitaria



Respuesta Impulso unitarioRespuesta Impulso unitario

Respuesta impulso de un sistema de 1erorden

11)( += TssY

0 t;1)( / = TteT

ty

tt00

T1

yy

2

1T

Pendiente Pendiente



Nota: La respuesta en el tiempo a unaseal de referencia impulso es idntica a una respuesta de condicion inicial con referencia cero.

}

11)(

1)()1()()0()(

1)0(

1

+==+

=

==

sTsY

sYsTsYYTssTY

TyyyT

T

&

Lo Lo mismo que mismo que el el impulso unitarioimpulso unitario

Respuesta Impulso unitarioRespuesta Impulso unitario



Ejemplo: Control de nivel en un tanque

RRqqoutout

CCqqinin

hh

11+= RCsQ

Q

in

out

)(1pero sHR

qout =

1)(

+= RCsR

QsH

in

EjemploEjemplo



Suponga que usamos control proporcional. Esto significa que el flujo de entrada esproporcional (k) al error entre la referencia(set point) o nivel deseado y el nivelmedido.

KK1+RCs

R++--

rr e inq h

h

Nivel deseadoNivel deseado

EjemploEjemplo



Usando lgebra de diagrama de bloques,

Si R(s) es un paso unitario,

KRRCsKR

RCsKR

RCsKR

sRsH

++=++

+=1

11

1)()(

)1(1)(

KRRCsKR

ssH ++=

EjemploEjemplo



Usando el teorema del valor final

Asi que: steady state error ess

KRKR

KRRCsKRssHth

sst +=++== 1)1(lim)(lim)(lim 00

KRKRKR

KRKR) r-h( ess +

+=+== 11

11

KR ess += 1

1

EjemploEjemplo



Tambin: A medida que K aumenta, el steady state error disminuye.

Q: Cual es la funcin de sensitividad?Asuma una perturbacin de salida.

00 tt

yy

11 KR ess += 1

1

EjemploEjemplo



Como K va a infinito, S -> 0 y T -> 1.Esto es lo que queremos!!!!!!!.

KK1+RCs

R++--

rr e inq h

h

d++++

KRRCsRCs

RCsKR S ++

+=++

=1

1

11

1KRRCs

KRT ++= 1Funcin Funcin de de sensitividadsensitividad

ComplementaryComplementarySensitivity FunctionSensitivity Function

EjemploEjemplo



Ejemplo: Masa-resorte-amortiguador y DC servo motor.Servo motor: Del Latin Servus que significa esclavo + motus

que indica movimiento.Bsicamente, es un dispositivo que se mueve a donde usted le

indica.

El Torque de salida es proporcional a la corrientede entrada si se ignora la electrnica de potenciaT = Ki

Respuesta en el tiempo de un sistema de 2do orden

bbJJ

,



Asumiendo que la corriente i es suentrada:

Si estamos interesados en la velocidad =

)(2 bJssK

bsJsK

I(s)(s)

KibJJ

+=+==+=

&&&&&

=&

1+=+= sTK

bJsK

I(s)(s)

m

m KKm m -- Motor GainMotor GainTTmm=J/b=J/b Motor Time ConstantMotor Time Constant




Suponga que cerramos el loop alrededorde este servo motor

KbsJsK

sRs

++= 2)()(

Closed loop Transfer Function

Closed loop Closed loop Transfer FunctionTransfer Function

bJsK+ s

1++--

rr Feedback Feedback unitariounitario(a (a menudomenudo debemos debemos convertirconvertir voltage a voltage a GradosGrados. . Pero aqui Pero aqui asumimos asumimos Que tenemos Que tenemos un un GradmetroGradmetro))




Los polos en Closed loop son

Respuesta diferente dependiendo de Defina la frecuencia natural como Defina el damping ratio comoAsi que:

JJKbb

242

)()( tUtr s=Frmula cuadrticaFrmula cuadrtica

JKb 42

JK

n =

JKb

2=

22

2

2)()(

nn

n

sssRs

++=




Si , Under damped (subamortiguado)Considere la respuesta a una entrada paso

R(s) = 1/s

10

)2()( 22

2

nn

n

ssss

++=

s1++

--rr

n

n

s 2

2

+




Defina la frecuencia natural amortiguada como 21 = nd

)1

(tandonde

)sin(1

1)(

)()(1)(

21

2

2222

=

+

=

++

++

+=

tet

sss

ss

d

t

dn

n

dn

n

n

Por fracciones Por fracciones parcialesparciales




Note que:Si

Si

Si Criticamente amortiguado

tt)()(0 tRte tn >0 entonces

)cos(1)(,0 tt n == Oscilador armnico Oscilador armnico simplesimple

tt

,1= }R(s) Step Unit

sss

n

n 1)(

)( 22

+= )1(1)( tet n

tn += 1)()(lim == tRtt




Note que (Cont).Si over-damped(sobre amortiguado) ,1=

, sPsPs

s n 1))((

)(21

2

++=

)1(

)1(2

2

21

=

+=

n

n

P

Pdonde

, )(12

1)(21

2

21

Pe

Pet

tPtPn

+=

tt

1=

1




La f.t.siempre tiene 2 races.

En el plano complejo:Si

22

2

2)()(

nn

n

sssRs

++=

221 1, = nn jss

,10



Si ,1> 1, 221 = nn jss

ss11 ss22ReRe

ImIm




La respuesta transiente para sistemas de 2doorden estan dominadas por lo siguiente:Delay time, td Rise time, trPeak time, tpMaximum overshoot, MpSettling time, ts

Tiempo en alcanzar 50% de la respuesta,alcanza su valor final por primera vez, No se usa mucho




1

ess

0.9

0.1

Banda deTolerancia1% - 2% - 5%

Banda deTolerancia1% - 2% - 5%

t

MP t

c(t)

Sobreimpulso MpSobreimpulso Mp

Tiempo de establecimiento

Tiempo de establecimiento t s

TiempoPico tp

TiempoPico tp

t P

Tiempo de Crecimiento trTiempo de Crecimiento tr

t r

Especificaciones de desempeoen el dominio del tiempo (respuesta paso)

Especificaciones de desempeoen el dominio del tiempo (respuesta paso)



Rise time para sistemas de 2do orden:

ttttrr

11X(t)X(t)

2

2

2

1tan

sin1

cos

)sin1

(cos11)(

=

=+==

rd

rdrd

rdrdtj

r

t

tt

ttetX rn




Asi:

Si usted pone esto en su calculadora, esto da un ngulo en el IV cuadrante

=

21 1tan1

drt

21 1tan

ImIm

ReRe

Programado para Programado para /2/2




Miremos el ngulo entre las races de la E.C. & El Eje Real Positivo

ImIm

ReReEsto da su calculadoraEsto da su calculadora

Angulo que queremosAngulo que queremos

Un Un sistema sistema de 2do de 2do ordenordensubamortiguado tendrsubamortiguado tendrUn polo Un polo aquiaqui

Mire la Fig. 4-13 en Ogata para mayor explicacin




La tan de ambos ngulos es la misma. Ej.

Asi que si quiere usar el valor de sucalculadora, sera

3120tan

360tan

==

o

o

dr

dr tt

=

+

=

21

21 1tan

or

1tan




Peak Time (Tiempo pico)El tiempo pico se da cuando la solucin

x(t), es un mximo.Podemos encontrar este mximo

derivando x(t), igualando a cero, y despejando el tiempo (tp).

+

+= )sin()cos()cos()sin()( ttettetx ddd

d

ndtdd

d

ntn

nn

&




Dividiendo por la exponencial da:

( )( ))sin()sin(0

)sin()cos()cos()sin(0

tt

tttt

dddd

nn

dddnddd

nn

+

=

+

+=

L,3,2,,00)sin( == tt dd

dpt

=




Mximo sobreimpulso - Overshoot (Mp)Sucede en el tiempo pico

22 11

2)cos()sin(

1

1

==

+=

==

eeM

eM

txM

nn

dn

p

p

dpp




Settling Time (Tiempo de asentamiento)Determina cuando las exponenciales limitan la salida

entre 5% o 2% del estado estacionario.

Para 2%, se necesita

x(t) =1 e nt

1 2 x(t) =1+e nt

1 2

02. tne 02.018.4



SistemasSistemas de de segundo ordensegundo orden

Suponga que se le dan especificacionesde diseo en tr, ts y Mp?Esto lo podemos relacionar con las

localizaciones de los polos asi.

21

2

21

21

1tan

11

1tan1

1tan1

r

n

rd

dr

t

tt



y

Para muchos sistemas con un zita entre.5 y .8, la siguiente frmula es suficiente

Tambin podemos calcular zita comouna funcin de Mp pero es mascomplicadito

2%)(for 4

sn t

rn t

2 De la De la pginapgina anterioranteriorparapara el el trtr




En el plano complejonn coscos--11(())

-- nn

Zona Zona dedeLocalizacinLocalizacin de de polos permitidapolos permitida

Combinando restriccionesCombinando restricciones




Estas son reglas burdas.Tendrn que ser iteradas en un diseo

final.Podran tener restricciones en conflicto

que usted esta tratando de satisfacer.




DC Servomotor con retroalimentacin de velocidad

bJsK+ s

1++--

rr

KKhh++

++

( )KKbJssK

h++++--

rr

EjemploEjemplo



Closed loop transfer function

Zita puede calcularse como

Por lo tanto, incrementando la velocidad en feedback incrementar zita.

( ) KsKKbJsK

sRs

h +++= 2)(

)(

KJKKb h

2+=

EjemploEjemplo



Esto reducir cualquier overshoot u oscilaciones.Piense en un amortiguador mecnico.

Time (sec.)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

(

t

h

e

t

a

)

Step Response

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

Disminuyendo KDisminuyendo Khh

IncrementandoIncrementando la la gananciaganancia de la de la

velocidadvelocidad dejadeja lo lo mismomismo la la

frecuenciafrecuencia natural natural no no amortiguada amortiguada del del

sistemasistema

JK

n =

EjemploEjemplo



Respuesta impulso para un 2do orden

Para un impulse reference command, R(s) =1.

Para zitas entre 0 y 1,

22

2

2)(

nn

n

sssY

++=

( )( )[ ]tety ntn n 22 1sin1)( =



Para zitas mayores o iguales que 1, hay otras soluciones en el dominio del tiempo.Sin embargo, el punto principal aqui es

que la respuesta de salida en el tiempo es la misma que si no hubiera setpoint pero un no cero inicial

)(ty&Respuesta impulsoRespuesta impulso Respuesta Respuesta a C.I.a C.I.

Respuesta impulso para un 2do orden



Respuesta forzadaRespuesta forzada

Las respuestas paso e impulso son unaforma de obtener las caractersticas de un sistema dinmico.Funciones de transferencia

Otra forma es usar un funcin forzantesuave como una sinusoidal.Para una entrada seno, la salida en

estado estacionario de un sistema LTI es tambin una sinusoidal con la misma frecuencia pero diferente fase.



Si r(t) = A sin(t) entonces,y(t) = A |G(j)| sin (t + )Sustituimos s=j ya que para una

sinusoidal pura, los polos quedan sobreel eje imaginario.

G(s)G(s)R(s)R(s) Y(s)Y(s)

=

)G(jParte Real de)Parte Imaginaria de G(j )tan 1




Podemos usar esta informacin paraidentificar G(j) para cualquier valor de .

Si es negativo, decimos que hay un atraso de fase (a phase lag).

)()()(

jRjYjG =

)()()(

jRjYjG ==

AmplitudAmplitud de la de la sinusoidesinusoidede de salidasalida sobresobre la la sinusoidesinusoide de de entradaentrada

CorrimientoCorrimiento de de fasefase de la de la sinusoidesinusoide dede salida sobresalida sobrelala sinusoidesinusoide dede entradaentrada




Si es positivo, decimos que hay un adelanto de fase (phase lead).Recuerde, la amplitud y la caracterstica

de fase se determinan en estadoestacionario.Esto es cuando todos los transientes han muerto.




0;1

)( >+= KTsKsG

1)( += Tj

KjGHaciendo Haciendo s=s=jj

11)(

22 +=+= TK

TjKjG )(tan)( 1 TjG ==

( ))(tansin1

)( 122

TtTKAty +=

)sin()( tAtr =

&&

EjemploEjemplo



Error en Error en Estado EstacionarioEstado EstacionarioObjetivosObjetivos de de diseodiseo

Siempre diseamos controladores para afectar trespropiedades del sistema:

; Estabilidad; Respuesta transiente; Steady-state error Error en estado estacionario

Ya discutimos la respuesta transiente, ahora veremos error en estado estacionario para terminar con algo de estabilidad via Routh Hurtwitz.



Definicin Definicin de error en de error en estado estacionarioestado estacionarioEl steady-state error es la la diferenciadiferencia entreentre c(t)c(t) y y r(t)r(t), , anteuna entrada especificaanteuna entrada especifica r(t)r(t), a , a medida quemedida que tttiendetiende a a infinitoinfinito.

En forma de ecuacin:

( ) ( ) ( )[ ]tctrt

e lim

En otras palabras, el steady state error describe qu tan bien un sistema puede seguir una entrada dada.



Arranquemos con una entrada paso y asumamosretroalimentacin unitaria.

Asuma que Geq(s) es un segundo orden.

error en error en estado estacionario estado estacionario ante ante entrada pasoentrada paso



Consideretres casosposibles de respuestapaso




( )( )( ) [ ] 75.025.01

00

3

2

1

====

eeeCaso 1:

Caso 2:

Caso 3:




Dado que sabemos que la respuesta del sistema esigual a

[respuesta forzada] + [respuesta transiente]

y la respuesta transiente decae a cero a medida quet crece, sabemos ya que en el dominio del tiempo, si hay una ganancia no unitaria multiplicando la respuesta forzada, habr un error en estadoestacionario..




Standard inputsStandard inputs

Obviamente hay otras entradasque se abordarn en el curso de identificacin



Estas funciones son a menudo descritas en trminosde su aplicacin al seguimiento (tracking) de un objeto.

Paso unitario => funcin posicin Rampa unitaria => funcin velocidad (derivadade la posicin)Parbola unitaria => funcin aceleracin (derivada de la velocidad)

Standard inputsStandard inputs



OrigenOrigen del steadydel steady--state errorstate error

Para empezar, porqu hay error en estado estacionario?

Considere un closed-loop feedback system en el cual G(s) es una ganancia K.



E(s) es la seal de error entre la entrada y la salida. Queremos que E(s) vaya a cero a medida que t crece.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )[ ] ( )( ) ( )

KsRsE

sRKsEsKEsR

sCsRsE

+==+

==

1

1




( ) ( )KsRsE += 1

Podemos ver de esto que la nica forma de tenercero E(s) es haciendo K a infinito. Eso, por supuesto, practicamente no es posible..




CuantificandoCuantificando el steadyel steady--state errorstate error

Podemos usar nuestro viejo amigo el Teorema del Valor Final (FVT) para determinar el valor del steady-state error asi:

( ) ( )[ ]( )[ ]ssE

s

tet

e

0lim

lim

=



Derive una expresin para E(s).

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )sGsRsE

sGsEsRsCsRsE

+=

==

1




Usemos nuestro ejemplo con G(s) = K. Sustituyendo y aplicando el FVT:

( )( ) ( )

KKss

ssEs

e

KssE

+=+==+=

11

110

lim1

1

Para Para esteeste sistemasistema, , el steadyel steady--state state error ante error ante unaunaentradaentrada pasopaso esesdiferentediferente de cero y de cero y finitofinito..




Qu pasa si la entrada es ahora una rampa?

( )

==

+=

01

11

0lim

2 Kss

se Para Para esteeste sistemasistema, ,

el steadyel steady--state state error error eses infinitoinfinito. . En En otrasotras palabraspalabras, , esteeste sistemasistema no no seguirseguir unaunaramparampa en en absolutoabsoluto..




NotaNota: No habr steady-state error si el sistema esinestable.

......peropero, las expresiones del FVT le darn valores de bsqueda razonables para el steady-state error an siel sistema es inestable.

Asi, usted debe chequear la estabilidad del sistemaprimero, antes de calcular el steady-state error.




EjemploEjemplo de Steadyde Steady--state errorstate error

Dada la siguiente f.t.

( )107

52 ++= sssT

Q.: Cual es el steady-state error ante una entradapaso?



A.: Primero, chequeemos la estabilidad. Factorice el denominador:

( )

( )( )255

1075

2

++=++=

ss

sssT

Los polos estn en el LHP, as que OK!!!!.




Ahora derivemos una expresin para E(s) en terminosde T(s):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )sRsTsRsTsR

sCsRsE

===

1




Sustituya y aplique FVT.

( ) ( ) ( )( )[ ]{ }

21

1051

10751

0lim

107511

0lim

10

lim

2

2

==

++=

++=

=

sss

ssss

s

sTsRss

e




Asi que el steady-state error es 0.5. Las unidadesdependern del sistema y de la entrada.

Como nota adicional, considere que pasa si nuestra f.t. cambia a:

( ) ( )( )255

= sssT

Claramente, este sistema es inestable!!!!!.




A pesar de ello, apliquemos el FVT:

( ) ( )( )

21

1051

10751

0lim

2551

0lim

2

==

+=

=

sss

ssse

Ese es el valor que obtuvimos para el sistema estable.




Para ver cmo eliminamos el steady-state error, miremos una f.t. en general. Primero hagamos:

( ) ( )( )sDsNsG =

(Nota: G(s) se denomina la forward transfer function; esta es la f.t. en la parte forward del sistema de feedback.)

Eliminando Eliminando el Steadyel Steady--state errorstate error



Sustituyendo,




( ) ( ) ( )

+=

sDsNs

e1

10

lim

Deseamos que esta cantidad vaya a cero. Para hacerlo, necesitamos que D(s) vaya a cero a medidaque s se aproxima a cero.

Cmo hacerlo? Respuesta:Necesitamos un polo en el origen.




( )( )...)( 21 pspsssD n ++=En otras palabras, necesitamos:

Porque dividir por s en el dominio de Laplacerepresenta una integracin en el dominio del tiempo(una integracin pura, ya que no hay constanteadicionada), este denominador se dice que contieneuna integracin de nnesimo orden.




Para cero steady-state error ante una entrada paso, necesitamos por lo menos n = 1.

De otra forma:

Para que un sistema tenga cero steady-state error ante una entrada paso, se requiere que el denominador de G(s) tenga por lo menos un integrador puro de primer orden.

Qu pasa si la entrada es una rampa?




Hay una s multiplicando en G(s) en el denominador. Si no tenemos puros integradores en D(s), esa s en el denominador har que el steady-state error sea infinito.

Si hay un integrador de primer orden en G(s), esa scancelar la que esta multiplicando a G(s), y el steady-state error ser una constante finita, pero no cero.

Si hay un integrador al cuadrado o de orden superior en G(s), entonces D(s) ser cero para s yendo a cero, y el steady state error ser infinito.




Qu pasa con la entrada parablica?




Claramente, necesitamos un integrador ms en este casoque para el caso de la rampa.

Podemos hacer una afirmacin general:

Para Para tener tener cero steadycero steady--state error, state error, G(s)G(s) debedebecontenercontener porpor lo lo menosmenos tantostantos integradoresintegradores purospuroscomocomo tengatenga R(s).R(s).

Miremos otro ejemplo.




Q.) Para este sistema con retroalimentacin unitaria, cual es el steady state error ante cada una de las tresentradas standard?

A.) Comience por mirar la estabilidad.

Ejemplo Ejemplo de Steadyde Steady--state errorstate error



Yup, es estable. (Note tambin que podemos haceruna aproximacin a segundo orden.)




Ahora, basados en lo que hemos aprendido, calculemos el steady-state error para cada entrada.

Para la entradapaso: hay un integrador puroen D(s), asi queel steady state error deber ser cero.




Para la rampa: el steady state error ser una constante.




Para la parbola: tenemos dos integradores en D(s) que en R(s), asi que el steady state error ser infinito.




Constantes Constantes de error de error estticoesttico

En resumen, esto es lo quehemos visto:



Note que en cada una de estas ecuaciones hay un trmino que involucra G(s) y controla cual ser el steady state error.

Es prctica comn definir esos trminos de G(s)como constantes estticas de error (SECs) as.




( )[ ]( )[ ]( )[ ] SECon accelerati

0lim

SEC velocity 0

lim

SECposition 0

lim

2

sGss

K

ssGs

K

sGs

K

a

v

p




Claramente, la clave de todo es el nmero de integradores en G(s). Por lo tanto, es comn clasificarun sistema definiendo su tipo:

Un sistema tipotipo n n tiene n integradores puros en suG(s).

Vemoslo con ms detalle




Suponga que la f.t. en open loop de un sistema de retroalimentacin unitaria es

N=0,1,2, indica el tipo de sistema.El Tipo de Sistema es lo mismo que el nmero de

integradores purosE.j. sistemas tipo cero no tienen integradores puros

(polos en el origen).

Por lo general n2

Tipos Tipos de de sistemasistema

mnsTsTsTssTsTsTKsG

nN

mba ++++++= ,

)1()1)(1()1()1)(1()(

21 LL



Considere

Si el sistema es estable,

++--

rr e y)(sG)(1

)()()(

sGsG

sRsY

+=

)(11

)(1)()(1

)()(1

)()()(

)()(

sGsGsGsG

sRsY

sRsYsR

sRsE

+=++===

)(1)(lim)(lim

00 sGssRssEe

ssss +==




Si R(s) es un paso,

Para Tipo 0,

Para Tipo 1,

)0(11

)(11lim

0 GsGe

sss +=+=

KKGs

== )())(()())((lim)0(

0 LLLLLLLL

== )())(()())((lim)0(

0 LLLLLLLL

Ns sKG




Asi que, para una entrada paso unitario,

Nota: La existencia de un integrador puroeventualmente elimina el error para unaentrada paso.

higher or 1Type

0Type

01

1

=+=

ss

ss

eK

e




Si R es una rampa,

Para un Tipo 0,

Para un Tipo 1,

21)( ssR =

)(1lim

)(1lim1

)(1lim

002

0 ssGssGsssGse

sssss / =+=+/=

00

0)())((

)())((lim)0(0

== LLLLLLLLsKsG

s

KsKssG

s=/

/= )())(()())((lim)0(

0 LLLLLLLL




Para un Tipo 2, (Respuesta rampa )

Asi, para una entrada rampa

2 ;)())(()())((lim)0(

0== Ns

sKsG Ns LLLLLLLL

higher or type 2 for

1type for

0type for

0

1

===

ss

ss

ss

eKe

e




NotaNota: La : La existenciaexistencia de 2 de 2 integradoresintegradorespurospuros eventualmenteeventualmente eliminaelimina el error el error ante ante unauna entradaentrada ramparampa....Para Para entrada entrada de de aceleracinaceleracin 2)(

2ttr =)1)(( 3ssR = i.e.,

)(1lim

)(1lim

1)(1

lim

20220

230

sGssGss

ssGse

ss

sss

/

=+=

+/=

00




Para Tipo 0,

Para Tipo 1,

Para Tipo 2,

0)())((

)())((lim)0(2

0

2 == LLLLLLLLKsGs

s

0)())((

)())((lim)0(2

0

2 == LLLLLLLL

sKsGs

s

KsKsGs

s== )())((

)())((lim)0( 22

0

2

LLLLLLLL




Tipo 3 o mas

Asi que

== )())((

)())((lim)0( 22

0

2

LLLLLLLL

sKsGs

s

higher or type 3 for

type 2 for

1 &0 type for

0

1

===

ss

ss

ss

eKe

e




Note que para seguir una seal particular necesitamos la transformada de Laplace de la seal en la f.t. en lazoabierto.Esto es parte de lo que se conoce con

el nombre de Internal Model Principle.El sistema en C.L. debe ser estable

)( sG c )(sGm++--

ReferenciaReferenciaSetpointSetpoint

)(sGpPlantaPlantaModelo Modelo de de

referenciareferenciaControladorControlador




Usted se estar preguntando cual es la utilidad real de las constantes de error esttico SECs. Parecenredundantes y hasta cierto grado lo son. Sin embargo, considere este ejemplo:Q.) Usted tiene una caja negra etiquetada con "Kp=1000". Qu sabe usted del sistema dentro de la caja?




A.) 1. El sistema es estable. De lo contrario, nohay Kp.

2. El sistema es Tipo 0- no integradores. Este es el nico Tipo de sistema para el cualla constante de posicin es finita diferentede cero.

3. La entrada es un paso unitario. De lo contrario, se hubiera especificado un SECdiferente.

4. Sabemos queestep() = 1 / (1 + Kv) = 0.00999.




Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria

Ya hemos gastado bastante tiempo derivandofrmulas especificas para unity-feedback systems.

Pero como sabemos, no todos los sistemas tienenloops de retroalimentacin unitarios.



No quiero aqui derivar un nuevo conjunto de SECsetc. para cada f.t. posible en lazo cerrado.

Asi que, qu hacer con este sistema?

Respuesta: podemos convertirlo a un sistema con retriolaimentacin unitaria equivalente usando algnalgebra de bloques que ya conocemos.




Primero, sumemos, luego restemos en retroalimentacin, un loop de ganancia unitaria. (por supeusto esto no tiene efecto sobre Geq(s).)




Ahora, combinemos G(s) y H(s):

)()(1)(

sHsGsG

+-1

+- -

R(s) C(s)




Volvamos a combinar la nueva fincin forward (G(s), si lo prefiere) con el feedback loop que incluye la ganancia -1.




Q.) Cual es el estep()?

A.) Su primer instinto debera ser decir cero, ya queparece ser un sistema Tipo 0.

Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria: : EjemploEjemplo



Sin embargo, vemos que este es un sistema de retroalimentacin no unitario, an esos resultadosse derivaron fue para sistemas de retroalimentacin unitaria..

Asi que, primero necesitamos encontrar la f.t. forward de retroalimentacin unitaria equivalente(llamada T(s)). Esto es:

Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria: : EjemploEjemplo



( )( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

14

14)4(

11)4(

11

)4(1

11

1

1

23

2

++=

++=+++

+=

+=+

+=

ssss

ssss

sssss

ss

sGsHsGsG

sHsGsG

sHsGsG

sT

Cambio Cambio de de signo signo en en D(s)D(s)

Sistemas Sistemas de de retroalimentacin retroalimentacin no no unitariaunitaria:: EjemploEjemplo



Dnde estn los polos de este sistema?

{ }4953.00303.0,061.4 14)(

3,2,1

23

jpss

ssGeq

+=++=


El sistema es inestable, y no podemos evaluar susteady-state error.

Miremos otro ejemplo.



Q.) Cual es el estep()?

A.) Proceda como antes; primero chequee la estabilidad del sistema encontrando Geq(s).




( ) ( )( ) ( )

22 )3(2

962

1)2)(4(2

21

411

41

1

++=++

+=

++++=

++++=

+=

ss

sss

sss

ss

s

sHsGsGsGeq

EstableEstable..




Ya que el sistema es estable, podemos proceder a encontrar su steady-state error ante una entrada paso. Calcular la f.t. forward equivalente al sistema de retroalimentacin unitario y listo!!.

( )866.05.2

275

2

12862

41

21

411

41

)()()(1)()(

2

2

jss

sss

ssss

sss

s

sGsHsGsGsT

++=++

+=

++++=

+++++=

+=




No hay integradores puros en el denominador, asi que el error en estado estacionario (steady-state error) ante una entrada paso debera ser una constante diferente de cero. Evaluemos:( )

( )( )

( )( )7778.0

721

1866.05.2866.05.2

21

1866.05.2866.05.2

20

lim1

1

)(0

lim1

1

=+=++

=

++++

+=

+=

jj

jsjss

ssT

s

estep




Introduzcamos aqui otro tpico de inters: sensitividadsensitividad. La Sensitividad es casiautoexplicatoria; describe la sensitividad del comportamiento de un sistema ante cambios en susparmetros.

Por qu nos importa? Hay una razn esencial: no son las constantes. Los valores de los parmetros del sistema variarn con la temperatura, edad del sistema, y otros factores de forma muy compleja que es dificil de modelar directamente.

SensitividadSensitividad



La sensitividad de una funcin F ante un cambio en un parmetro P se denota

SF:PY se define entonces as:

Definicin Definicin dede SensitividadSensitividad



Considere el siguiente OPAM.

SensitividadSensitividad: : EjemploEjemplo



Sabemos que la funcin de transferencia de estecircuito (sistema) es:

Assuma que tenemos R1 = 1 y C2 = 10 F. Tambin hagamos s = j con = 377 rad/s.




Q.) Encuentre un valor de R2 tal que la sensitividad de la ganancia ante cambios en R2 sea mnima.

A.) Note que lo que queremos es

SG:R2Necesitaremos la derivada de G(s) con respecto a R2. Podemos hacerlo sin MATLAB, pero miremos cmousar MATLAB para hacerlo.




Primero, usando el comando syms, defina todaslas variables en la funcin como simblicas:

syms C2 R1 R2 s

Luego, digite la funcin y derivela con respectoa R2 usando el comando diff :

G=1/(R1*C2)*(1/(s+1/(R2*C2))); D=diff(G,R2)




Hay otros dos comandos que puede usar para afinar el resultadot D: pretty (ya lo haban visto en seales y sistemas??) y simplify.

D2=simplify(D);pretty(D2)

simplify algebraicamente reducir la expresin porusted.




Despues de usar syms, diff, simplify y pretty, se obtiene:

Sustituya esto en la definicin de sensitividad.




Ahora debemos minimizar esto. En otras palabras, debemos derivar con respecto a R2 e igualar a cero.




Para simplificar el problema, reemplacemos de unavez por sus valores numricos.

Hay varios factores comnes aqui. Despus de simplificar:




Podemos diferenciar e igualar a cero, pero no hay necesidad; claramente la sensitividad disminuye a medida que R2 aumenta, asi que queremos el mximo R2 que podamos usar y an lograr otras metas de desio (gain, etc.).




Porqu la sensitividad es importante?. Como ya lo mencionamos, una gran razn es que los valores de los parmetros de un sistema pueden depender de factores tales como:

: edad: temperatura: influencias externas tales como campos elctricosy magnticos, polvo, etc.

En resumen, hay hay unauna incertidumbreincertidumbre (uncertainty) (uncertainty) asociada asociada con con nuestros modelos fsicos nuestros modelos fsicos de de los los sistemassistemas..

RobustezRobustez



Preferimos que nuestro controlador sea capaz de controlar apropiadamente el comportamiento del sistema (planta) bajo cualquier condicin, an cuandolos parmetros del sistema no sean totalmenteconocidos.

La abilidad de un sistema de control para hacer esto, controlar el sistema an cuando sus valores cambien, se denomina robustnessrobustness del sistema. Un controladorrobustorobusto todavia trabaja en presencia de incertidumbre.

RobustezRobustez



Claramente, la robustez es una buena vaina!!!. Cmoincrementamos la robustez de un sistema?

Sobrediseo (ej. Multiplicando los mrgenes de estabilidad por algn nmero fijo, etc.). El sobrediseo trabaja, pero limita nuestra abilidad para cumplir con otras especificaciones en el transiente.

Sensitividad decreciente. Si un controlador es sensitivo a cambios en un parmetro no bien conocido, entonces no importa mucho ese parmetro ni que representa.

RobustezRobustez



La funcin de transferencia general de un sistema es:

Estabilidad de sistemas de orden superior

GG

HH

++

--

RR YY

)(

)()(1)(

)()(

11

10

11

10 nmasasasabsbsbsb

sHsGsG

sRsC

nn-nn

mm-mm

++++++++=

+=

LL



Cmo juzgar la estabilidad?sin factorizar el denominador.Si usted tiene un par de polos en el denominador,

puede simplificar sus sitema para mayor facilidad.

Estos polos dominan Estos polos dominan la la respuestarespuesta




Tambin note que cualquier respuestade un sistema puede descomponerse en la suma de 1er+2do orden.

22dodo ordenorden

11erer ordenorden




Cmo los polos determinan la estabilidad.

Re(s)Re(s)

RHPRHPLHPLHP

ImIm(s)(s)




En general, podemos usar esta prueba de Routh-Hurwitz test para determinar sihay polos en el RHP.Trabaja con la ecuacin caracterstica.

Criterio #1Considere

donde . Asumimos que cualquier raiz cero ya ha sido

factorizada.

011

10 =++++ nn-nn asasasa L0na

Prueba de Routh Hurtwitz



Criterio #1: (Cont)Si cualquiera de los coeficientes no tiene el mismo

signo, hay por lo menos una raiz inestable.Si cualquiera de los coeficientes es cero, hay

raices que son imaginarias. (sobre el eje j.)Asi que: Primer criterio de estabilidad: Todos los ai

deben ser positivos.

Criterio #2:Si todos los coeficientes son positivos entonces

forme un arreglo con tales coeficientes. Y chequee los valores dentro del arreglo.




Criterio #2: (Cont)Forme el arreglo asi:

00

1

1

21

4321

7531

6420

gf

ee

bbbbaaaaaaaa

MM

nn-nn asasasa ++++ 1110 L

0

1

2

2

1

sss

sss

n

n

n

M

1

30211 a

aaaab =31

20

aaaa ++--




1

50412 a

aaaab =531

420

aaaaaa ++--

1

70613 a

aaaab =

1

21311 b

baabc =1

31512 b

baabc =

1

12211 c

bcbcd =1

41713 b

baabc =

1

13312 c

bcbcd =




La primera columna es:

El nmero de raices parte real posistiva es igual al nmero de cambios de signo en la primera columna del arreglo, igual al nmero de polos en el lado derecho, igual al nmero de inestabilidades del sistema.

[ ]Tcbaa L 1110




Ejemplo. 1

Para no cambios de signo se requiere

0322

13

0 =+++ asasasa

3

1

3021

31

20

0

aa

aaaaaaaa

0

1

2

3

s

s

ss

3021 aaaa >Note: Note: una desigualdaduna desigualdad




Ejemplo. 2

2 cambios de signo 2 raices con parte real positiva

05432 234 =++++ ssss

5 0 6

512

43*2042531

=

0

1

2

3

4

ss

sss




1) Si una de las entradas de la 1ra columna es cero, reemplace por un trmino epsilon muy pequeito y proceda iguale.j 022 23 =+++ sss

raicesraices 2, 2, jj

2002211

0

1

2

3

ssss

Prueba de Routh Hurtwitz: Casos especiales



Si el signo de los coeficientes sobre un cero es el mismo que el del cero de abajo significa que hay un par de raices imaginarias.Si los signos son diferentes arriba y

abajo de un cero, indica un cambio de signo.ej. 0)2()1(23 23 =+=+ ssss

RaicesRaices 1, 1, 1, 1, --22




Ej. 0)2()1(23 23 =+=+ ssss

2

023

2031

0

1

2

3

s

s

ss

2 2 cambios cambios de de signosigno

2 2 raices inestablesraices inestables((ambas ambas en 1)en 1)

RaicesRaices 1, 1, 1, 1, --22

Un Un cambio cambio de de signosigno


Un Un cambio cambio de de signosigno



2) Si todos los elementos de una fila son cero, significa que hay raices de igual magnitudradialmente opuestas en el plano complejo.Para continuar, forme un polinomio auxiliar con

los coeficientes de la ltima fila y use la derivadadel polinomio en la prxima fila.Las raices del polinomio auxiliar son

radialmente opuestas en el plano complejo.




Ej. 0502548242 2345 =+++ sssss

005048225241

3

4

5

sss

50 07.1125024

96850482

0

1

2

3

4

-sssss

Polinomio auxiliarPolinomio auxiliar P(s)P(s)

50482)( 24 += sssPss

ssP 968)( 3 +=

Un Un cambiocambio de de signosigno 1 1 raiz positivaraiz positiva((tiene que tiene que ser real)ser real)




Ej. ContLas raices de P(s) son s=1, j5La raiz real inestable esta en s=+1.




Routh-Hurwitz test puede usarse para encontrar regiones de estabilidad.Ej.

KK )2)(1(1

2 +++ ssss++--

R(s)R(s) e u )(sYPP--controlcontrol

KssssK

sRsY

++++= )2)(1()()(

2

Aplicacin a sistemas de control



La Ecuacin Caracterstica es:0233 234 =++++ Kssss

00792

037

329

02331

1

3032

3

4

Ks

Kss

Ks

K

==

Aplicacin a sistemas de control



Para estabilidad, y

garantizar estabilidad

El criterio no es realmente til en diseo (Ej. Cmo reducir el overshoot). Pero es muy tilpara anlisis iniciales (Ej., qu ganancias debo evitar para estabilidad)

0>K9

140792 KK

9140

Cap 2 Dominio Tiempo

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