6

CAPITULO 2

ECUACIONES BASICAS PARA EVALUAR LA TRANSFERENCIA DE CALOR

EN LINEAS AEREAS

La relacin que determina la temperatura del conductor es conocida como

ecuacin de calor y depende de la corriente de carga, las caractersticas elctricas

y trmicas del conductor, adems de las condiciones atmosfricas tales como el

viento y la radiacin solar [ 1,2 ].

La ecuacin de calor para condiciones normales de operacin y estado

permanente de las variables involucradas es la siguiente:

P P P P P PJ M S C R V (2.1)

Este modelo trmico se basa en un balance bsico de energa sobre un

segmento especfico del conductor, en que:

PJ : ganancia de calor por efecto Joule W/m.

PM : ganancia de calor por efecto magntico W/m.

PS : ganancia de calor producto de la radiacin solar W/m.

PC : prdida de calor por conveccin W/m.

PR : prdida de calor por radiacin emitida por el conductor W/m.

PV : prdida de calor por evaporacin de humedad en el conductor W/m.

Todos los componentes de la ecuacin de calor son variables dependientes

del tiempo, tambin se sabe que las hebras de los conductores de una lnea son

buenos conductores trmicos, por lo tanto la temperatura del conductor se

considera idntica en toda la zona de estudio. La dependencia del tiempo de las

7

variables que intervienen en la ecuacin de calor y el carcter isotrmico del

conductor nos indica que debe insertarse un trmino en la ecuacin para incluir la

energa almacenada en el conductor durante perodos de operacin transiente

[ 3 ]. Debido a esto tenemos que el nuevo modelo trmico es el siguiente:

m cdT

dtPp J PM P P P PS C R V (2.2)

donde:

m : masa del conductor por unidad de largo Kg/m.

cP : calor especfico del material del conductor J/KgC.

cP = 869 J/KgC para el aluminio y la aleacin de aluminio.

cP = 381 J/KgC para el cobre.

T : temperatura del conductor C.

t : tiempo s.

En condiciones de cortocircuito la ecuacin de calor slo considera el

efecto Joule de la corriente, puesto que durante perodos cortos de tiempo no se

produce intercambio de calor entre el conductor y el medio ambiente, sino que

slo una respuesta trmica adiabtica del conductor [ 4 ]. La ecuacin en

condiciones de cortocircuito es:

Jp Pdt

dTcm (2.3)

2.1 Efecto Joule y Radiacin solar

8

2.1.1 Efecto Joule

El aumento de la temperatura debido al calor desarrollado por las prdidas

Joule, se representa por la siguiente expresin [ 1-4 ]:

P I t R T I t k R TJ AC J 2 2

0 01 (2.4)

en que:

I : corriente efectiva A.

RAC : resistencia en corriente alterna /m.

k J : factor que incrementa el valor de la resistencia debido al efecto

pelicular y de proximidad.

R0 : resistencia en corriente continua a 0 C /m.

0 : coeficiente de temperatura de la resistencia entre 0 C y la

temperatura T del conductor 1/ C.

0 03.4 103 1/ C para el aluminio.

0 86.3 103 1/ C para el aluminio y la aleacin de aluminio.

30 1093.3 1/ C para el cobre

La resistencia de corriente alterna ( ACR ) vara en forma lineal con respecto

a la temperatura y adems se ve afectada por el efecto pelicular y de proximidad a

travs del factor Jk , el que se define como sigue:

1 PRSKJ kkk (2.5)

en que:

SKk : factor que toma en cuenta el efecto pelicular.

PRk : factor que toma en cuenta el efecto de proximidad.

9

En corriente continua Jk 1, y el efecto de proximidad para frecuencias de

50 o 60 Hz es despreciable, por lo tanto el nico efecto a considerar es el

pelicular, en el cual debido a la frecuencia, la corriente tiende a irse por la

superficie del conductor [ 5 ]. Los factores de correccin para considerar el efecto

pelicular se encuentran en la tabla 2.1.

Tabla 2.1. Coeficiente pelicular para cables de cobre o aluminio.

Factor pelicular

mm2

Cables instalados al aire

o en ducto no metlico

AWG

MCM

Hasta Cobre Aluminio Hasta

26.7 1.000 1.000 3

33.6 1.000 1.000 2

42.4 1.000 1.000 1

53.5 1.001 1.000 1/0

67.4 1.001 1.001 2/0

85 1.002 1.001 3/0

107 1.004 1.002 4/0

127 1.005 1.002 250

152 1.006 1.003 300

177 1.009 1.004 350

203 1.011 1.005 400

253 1.018 1.007 500

304 1.025 1.010 600

355 1.034 1.013 700

380 1.039 1.015 750

2.1.2 Radiacin solar

10

La localizacin geogrfica de la lnea, las condiciones atmosfricas, la

poca del ao, el dimetro y la capacidad de absorcin del conductor influyen en

la cantidad de calor absorbido por ste, producto de la radiacin solar [ 1-4 ].

Parte de la energa emitida por el sol es absorbida por la atmsfera antes

de llegar a la superficie terrestre. La energa solar absorbida por ejemplo a 3000

metros de altura es un 25 % mayor que a nivel del mar [ 6 ].

Otros factores que inciden en la cantidad de calor absorbido son la

inclinacin del sol con respecto al conductor y la turbiedad de la atmsfera.

El aumento de temperatura en el conductor producto de la radiacin solar,

est dada por [ 2,8 ]:

P D I Ag F H I FS S B S d

sen sen cos cos

2 2 2 212 2 (2.6)

en que:

S : coeficiente de absorcin de radiacin solar, que vara segn el estado

en que se encuentre el conductor y cuyos valores podemos encontrar

en la tabla 2.2.

D : dimetro del conductor m.

I B : radiacin solar directa W/m2 .

Ag : ngulo entre la radiacin solar directa y el eje del conductor, que

coincide con la altitud solar, considerando al conductor en posicin

horizontal sexag.

: ngulo de la radiacin solar directa con respecto a un meridiano

considerado como origen sexag.

Ae : inclinacin del eje del conductor con respecto al Este

geogrfico sexag.

11

F : factor de reflectancia del terreno bajo el conductor.

HS : altitud solar sexag.

: inclinacin del conductor con respecto a la horizontal sexag.

I d : radiacin solar difusa, en una superficie horizontal W/m2 .

Fig. 2.1. Diagrama de ngulos para determinar la radiacin solar directa que incide sobre la lnea

area.

Tabla 2.2. Coeficiente de absorcin de radiacin solar para conductores constituidos por varias

hebras.

Material

N

Ag

Hs

Recorrido

del Sol

Radiacin

Solar

Directa

Ae

Eje del

Conductor

S

E O

12

Superficie del

conductor

Cobre Aluminio Aleacin de

Aluminio y

ACSR

Coeficiente de absorcin de radiacin solar S

Brillante 0.22 - 0.31 0.28 - 0.35 0.31 - 0.39

Oxidada 0.56 - 0.61 0.55 - 0.60 0.58 - 0.65

Desgaste en

ambiente rural

0.38 - 0.48 0.38 - 0.48 0.67 - 0.81

Desgaste en

ambiente industrial

0.78 - 0.93 0.78 - 0.96 0.80 - 0.95

Para simplificar los clculos se ignora el efecto reflectante ( F ) y la

inclinacin del conductor con respecto a la horizontal ( ) se considera igual a

cero, por lo tanto la nueva expresin para considerar el efecto de la radiacin solar

es [ 2 ]:

P D I Ag IS S B d

sen

2 (2.7)

donde:

sen Hs SSS cos)cos(cos)sen(sen (2.8)

y S n 2345 360 284 365. sen / (2.9)

S HORA 180 15* (2.10)

Si HORA > 12 y HORA < 24, entonces:

HORA HORA 12 (2.11)

13

S HORA 15* (2.12)

en que:

S : declinacin solar sexag.

: nmero de da del ao.

: latitud del conductor sexag, la cual es considerada positiva en el

hemisferio norte y negativa en el hemisferio sur.

S : ngulo horario del sol sexag.

HORA : hora del da de acuerdo al uso horario.

HsArc SS

cos

sencossen

(2.13)

Si consideramos al conductor como un vector, cuya orientacin la

determinamos por su desviacin en (o sexag) con respecto al Este geogrfico

( Ae ), y a su vez consideramos a la radiacin solar directa como un vector cuya

orientacin la determinamos a travs de la Altitud Solar ( HS ) (o sexag) y el ngulo

con respecto al meridiano origen (o sexag), tenemos que el ngulo entre la

radiacin solar directa y el eje del conductor lo podemos calcular por medio de la

teora de vectores [ 9 ].

En efecto:

22222 )(sen)(cos)(sen)(cos)(sen AeAeHsMOD (2.14)

AeAePROP sencoscossen (2.15)

14

MOD

PROPAg 1cos (2.16)

en que:

MOD : mdulo entre los vectores (sen ,cos ,sen HS ) y (cos Ae ,sen Ae ).

PROP : producto punto entre los vectores (sen ,cos ,sen HS ) y

(cos Ae ,sen Ae ).

La intensidad de radiacin solar directa ( BI ) vara con la masa de aire

atravesada, con la altitud solar ( SH ) y la turbiedad de la atmsfera producto de la

dispersin causada por las molculas de aire, partculas de polvo, vapor de agua y

absorcin por ozono [ 1,2 ].

El valor de BI se incrementa a medida que aumenta la altitud con respecto

al mar de acuerdo a la siguiente expresin:

I C I H I IB N B M B 0 4 0 014 10. (2.17)

en que IH

HB

S

S

0

1280

0 314

sen

sen . (2.18)

donde:

CN : coeficiente que determina la turbiedad de la atmsfera.

0.8 CN 1.1 para atmsfera clara.

0.5 CN 0.7 para sector industrial o con bruma.

CN 0.5 para cielo nublado o oscureciendo.

15

I B 0 : radiacin solar directa a nivel del mar W/m2 .

H M : altura sobre el nivel del mar m.

I 0 : intensidad de radiacin solar ms all de la atmsfera, cuyo valor

es 1353 W/m 2 .

Fig. 2.2. ngulo de declinacin solar y latitud del conductor.

La intensidad de la radiacin difusa est dada por:

2.10 sen47.0570 SBd HII (2.19)

2.2 Radiacin y Conveccin.

2.2.1 Radiacin.

Latitud

Radiacin Solar Directa

Ecuador

N

S

Lnea

Paralelo

Sol

16

El conductor emite energa radiante desde su superficie a su alrededor y la

prdida de calor se obtiene de acuerdo a la siguiente relacin [ 1-3 ]:

P D T T T TR B g g d d 2 273 273 273 2734 4 4 4 (2.20)

en que:

D : dimetro del conductor m.

B : constante de Stefan-Boltzmann.

B = 567 108. W/m 2 K 4 .

T : temperatura del conductor C.

Tg : temperatura en el suelo C.

Td : temperatura en el cielo C.

g y d : coeficientes de emisividad efectiva para las partes del conductor

expuestas al suelo y al cielo respectivamente.

La temperatura del suelo usualmente es ms alta que la temperatura del

aire en el da y menor que sta en la noche, particularmente con el cielo

despejado. La temperatura en el cielo ( Td ) para un da despejado es entre 5 a 18

C menor que la temperatura del suelo, dependiendo de la estacin del ao y la

cantidad de vapor de agua acumulada en la atmsfera. Una relacin aproximada

para la temperatura en el cielo es:

T Td a 0 052 273 2731 5

..

(2.21)

Puesto que la prdida de calor por radiacin es usualmente slo una

fraccin de las prdidas totales, particularmente cuando existe conveccin

forzada, ser aceptable considerar la siguiente relacin [ 2 ]:

17

P D T TR B a 273 2734 4 (2.22) donde:

: coeficiente de emisividad efectiva total de radiacin del

conductor, cuyos valores para distintos tipos de conductores se

encuentran en la tabla 2.3.

Ta : temperatura ambiente C.

Tabla 2.3. Coeficiente emisividad efectiva total de radiacin

para conductores constituidos por varias hebras

Material

Superficie del

conductor

Cobre Aluminio Aleacin de

Aluminio y

ACSR

Coeficiente de emisividad efectiva total de

radiacin

Brillante 0.10 - 0.26 0.27 - 0.36 0.28 - 0.35

Oxidada 0.35 - 0.54 0.20 - 0.50 0.31 - 0.58

Desgaste en

ambiente rural

0.35 - 0.60

0.35 - 0.60 0.38 - 0.61

Desgaste en

ambiente industrial

0.62 - 0.90 0.62 - 0.95 0.62 - 0.98

2.2.2 Conveccin.

La prdida de calor por conveccin est dada por [ 1-2 ]:

fDafC NuTTP , (2.23)

18

donde los subndices D y f denotan que el valor de Nu , est determinado por el

dimetro del conductor y su temperatura pelicular ( Tf ) respectivamente. sta

ltima se obtiene de la siguiente relacin:

T T Tf a 05. (2.24)

El nmero de Nusselt NuD f,

, est definido para dos situaciones: sin viento

y con viento. Su expresin general es la siguiente:

Nuh D

D ff

,

(2.25)

en que:

h : coeficiente de transferencia de calor por conveccin W/m 2 C.

f : conductividad trmica de la pelcula de aire cercana a la

superficie del conductor W/mC.

f fT 2 42 10 7 2 102 5. . (2.26)

La temperatura ambiente vara con la altura sobre el nivel del mar ( H M ) de

acuerdo a la siguiente relacin:

T H T Ha M a M 0 65 10 3. (2.27)

Durante condiciones nulas de viento, la densidad del aire cerca del

conductor caliente es menor que la del resto del aire; ste hecho produce fuerzas

19

de empuje ascendentes que provocan un flujo de aire vertical alrededor de la

superficie del conductor. Este proceso es llamado conveccin natural o libre.

La transferencia de calor producto de la conveccin forzada ocurre cuando

el conductor caliente es enfriado por accin del viento y es funcin de muchas

variables, las principales son la velocidad del viento, su direccin y la intensidad

de la turbulencia. Otros factores que intervienen en este fenmeno son la

rugosidad del conductor y el arreglo de las fases [ 2 ].

Como dijimos el nmero de Nusselt, vara para dos casos:

a) Sin viento, V = 0

Nu A GrD f D fm

. ,Pr (2.28)

donde:

A= 0.850 y m = 0.188 para 10 2 GrD f

Pr,

10 4

A= 0.480 y m = 0.250 para 10 4 GrD f

Pr,

10 7

Gr

D g T Ta

Tf f

3

2273 2

(2.29)

Pr . . 0 715 2 5 10 4 Tf (2.30)

y f M fMH

H

0 165 10

28816

35 2561

.

.

.

(2.31)

20

con f fT0 132 10 9 5 105 8 . . (2.32)

en que:

A y m : constantes evaluadas para varios rangos del nmero de

Rayleigh GrD f

Pr,

.

Gr : adimensional denominado nmero de Grashof.

Pr : adimensional denominado nmero de Prandtl, sustancialmente

independiente de la presin y por lo tanto de la altura.

f : viscosidad cinemtica del aire, funcin de la

temperatura

pelicular ( Tf ) y la altura sobre el mar ( H M ).

g : aceleracin de gravedad.

g = 9.8 m/s 2 .

Para este caso se ha ignorado la inclinacin del conductor con respecto a la

horizontal ( ).

b) Con viento, V 0

Nu B C D E TuD f D fn p q

, ,Re sen 1 (2.33)

donde:

V : velocidad del viento m/s.

Re,D f

: adimensional denominado nmero de Reynolds.

: ngulo de impacto del viento con respecto al eje del conductor

21

sexag. Sus valores se encuentran en la tabla 2.4.

Tu :intensidad de la turbulencia del viento en %, cuyos valores

aparecen en la tabla 2.4.

B C D E n p, , , , , y q son constantes cuyos valores se encuentran en la tabla

2.4.

Re,D f

eff

f

V D

(2.34)

donde Veff es la velocidad efectiva del viento dada por:

V U U V Veff 2 21 2

2 cos/

(2.35)

U es la velocidad del viento determinada por:

U

Nu

D

D f f

,

(2.36)

es el ngulo entre la direccin del viento y el eje perpendicular a la orientacin

longitudinal del conductor en sexag.

Viento Angulo de

Impacto del

Viento Eje del

conductor

22

Fig.2.3. Direccin del viento, orientacin del conductor y perfil de la velocidad.

Tabla 2.4. a), b) y c) Valores de constantes de ecuacin 2.28.

V D

f

B n C D p

100 - 2650 0.641 0.471 0 - 24 0.42 0.68 1.08

2650 - 50000 0.178 0.633 24 - 90 0.42 0.58 0.90

2650 - 50000 0.048 0.800

a) b)

Tu E q

0.1 - 1 0.144 0.82

1 - 3.5 0.144 0.46

3.5 - 12 0.107 0.70

c)

2.3 Evaporacin y efecto magntico.

2.3.1 Evaporacin

Cuando el conductor est seco no se produce transferencia de calor

producto del vapor de agua en el aire; sin embargo si el conductor est mojado se

23

produce la siguiente prdida de calor por evaporacin desde la superficie del

conductor [ 1,2 ]:

aawwawsC

VTTPA

PPPP

(2.37)

donde:

log . .P Tws

10 23255 1750 286 2351 (2.38)

Pr P

w

wa sat

100 y (2.39)

log . .P Twa sat a

10 23255 1750 286 2351 (2.40)

en que:

CP : prdida de calor por conveccin W/m.

Pws : presin parcial de vapor en la superficie del agua Pascal.

Pwa : presin parcial de vapor en la atmsfera Pascal.

Aw : coeficiente psicomtrico

Aw = 5.8104

Pa : presin atmosfrica Pascal.

La variacin de presin atmosfrica ( Pa ) con la altura sobre el nivel del mar

( H M ) est dada por:

P H PH

a M a

M

0 165 10

28816

35 2561

.

.

.

(2.41)

24

2.3.2 Efecto magntico.

El aumento de temperatura debido al efecto magntico es causado por las

corrientes de Foucault y la Histresis, ambas producidas por el flujo magntico

cclico de la corriente alterna. El efecto magntico es usualmente despreciable en

conductores no frreos, pero puede ser significativo en conductores con alma de

acero, puesto que el flujo magntico es producido en las hebras de acero por las

corrientes en las hebras no frreas del conductor que se enlazan alrededor de

stas. El flujo magntico vara la distribucin de corriente entre las capas de las

hebras no frreas [ 1,2 ].

La ganancia de calor por corrientes parsitas ( PE ) , es funcin de la

induccin magntica en las hebras de acero debido a la fuerza magnetizante, y

tambin es funcin de las caractersticas fsicas del conductor.

La ganancia de calor por histresis ( PH ) , debido al campo magntico

alterno en las hebras de acero depende de la induccin magntica, las

caractersticas del conductor y la composicin qumica del acero.

El aumento de temperatura total, P P PM E H , debido a las prdidas

ferromagnticas en conductores ACSR, est dada por:

P d A B eM c mT

4 9 106 1 21 82 2 510

3

. /. .

(2.42)

donde:

d : dimetro de las hebras de acero m.

25

Ac : seccin transversal del conductor m2 .

Bm : induccin magntica en el acero T .

Sustituyendo todos los trminos que intervienen en la transferencia de calor

dentro de la ecuacin bsica de balance de energa, obtenemos la siguiente

relacin en que se ha omitido la prdida por efecto magntico puesto que es

aplicable slo en conductores con alma de acero.

m cdT

dtI t k R TP J

2

0 01

S B dD I I

sen 2

f a D fT T Nu , D T TB a273 2734 4

aw

wawsfDaf

PA

PPNuTT

, (2.43)