Cap 12 y 13 Levin y Rubin

Vistenos en:www.pearsoneducacion.net

El objetivo de esta sptima edicin de Estadstica para administracin y economa es crear un libro que resulte amigable para los estudiantes de estadstica y donde los profesores que imparten la ctedra encuentren material suficiente para adaptar el curso de acuerdo a sus necesidades.

El libro sigue una metodologa que parte de lo que los estudiantes ya conocen para explicar los nuevos conceptos. A partir de sus experiencias y mediante un proceso intuitivo, va desarrollando los conceptos; y los complementa con ideas del mundo real, ejemplos y explicaciones pacientes: una tcnica que facilita la enseanza y el aprendizaje. Todo esto en un marco que describe situaciones administrativas reales a las cuales debern enfrentarse los estudiantes. Entre las caractersticas nuevas de esta sptima edicin para facilitar la enseanza y el aprendizaje se encuentran las siguientes:

Sugerencias y suposiciones con comentarios breves. Estos bloques revisan las suposiciones importantes y explican por qu se hicieron; proporcionan al estudiante sugerencias tiles para trabajar en los ejercicios que siguen y les advierten sobre peligros potenciales al encontrar e interpretar las soluciones.

Ms de 1,500 notas al margen resaltan el material importante para los estudiantes.

Cada captulo comienza con un problema del mundo real, en el que un administrador debe tomar una decisin. Ya dentro del captulose analiza y resuelve este problema como parte del proceso de enseanza.

Un captulo nuevo con temas para aprender a resolver problemas de estadstica utilizando Microsoft Excel.

ESTADSTICA PARA ADMINISTRACIN

Y ECONOMASptima edicin

Richard I. LevinThe University of North Carolina at Chapel Hill

David S. RubinThe University of North Carolina at Chapel Hill

CON LA COLABORACIN Y REVISIN TCNICA DEMiguel Balderas Lozada

Juan Carlos del Valle SoteloRal Gmez Castillo

Departamento de MatemticasInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey

Campus Estado de Mxico

TRADUCCINMarcia Gonzlez Osuna

Maestra en Ingeniera IndustrialUniversity of Arizona

REVISIN TCNICARoberto H. Valadez Soto

Mario Alberto Naranjo GonzlezDepartamento de Mtodos Cuantitativos

Centro Universitario de Ciencias Econmico-AdministrativasUniversidad de Guadalajara

Jess Rodrguez FrancoDepartamento de Matemticas

Facultad de Contadura y AdministracinUniversidad Nacional Autmoma de Mxico

Alberto I. Pierdant RodrguezDivisin de Ciencias Sociales y Humanidades

rea de MatemticasUniversidad Autnoma Metropolitana, Unidad Xochimilco

ESTADSTICA PARA ADMINISTRACIN

Y ECONOMASptima edicin

Authorized translation from the English languaje edition, entitled Statistics for Management, Seventh Edition, by Richard I. Levin &David S. Rubin, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, Copyright 1998. All rights reserved.

ISBN 0-13-476292-4

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls titulada Statistics for Management, Seventh Edition, por Richard I. Levin &David S. Rubin, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, Copyright 1998. Todos los derechosreservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

EDICIN EN ESPAOLEditor: Guillermo Trujano Mendoza

e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Miguel B. Gutirrez Hernndez Supervisor de produccin: Enrique Trejo Hernndez

SPTIMA EDICIN, 2004

D.R. 2004 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5 pisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoE-mail: [email protected]

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Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por unsistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magnticoo electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de susrepresentantes.

ISBN 970-26-0497-4

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 07 06 05 04

EDICIN EN INGLSAcquisitions Editor: Tom TuckerAssistant Editor: Audrey ReganAssociate Editor: Diane PeiranoMarketing Manager: Patrick LynchEditorial/Production Supervision: Kelli Rahlf, Carlisle

Publishers ServicesManaging Editor: Katherine EvancieSenior Manufacturing Supervisor: Paul SmolenskiManufacturing Manager: Vincent SceltaSenior Designer: Suzanne BehnkeDesign Director: Patricia WosczykInterior Design: Lisa JonesCover Design: Suzanne BehnkeComposition: Carlisle Communications, Ltd.Cover Photo: Richard Megna/Fundamental Photographs,

NYC

REGRESIN SIMPLE Y CORRELACIN

Objetivos

Contenido del captulo

509

c a p t u l o

Conocer cuntas decisiones comer-ciales dependen del conocimiento de la relacin especfica entre dos o ms variables

Utilizar diagramas de dispersin paravisualizar la relacin entre dosvariables

Emplear el anlisis de regresin paraestimar la relacin entre dos variables

Utilizar la ecuacin de estimacin demnimos cuadrados para predecirvalores futuros de la variabledependiente

Aprender cmo el anlisis decorrelacin describe el grado en elcual dos variables estn relacionadaslinealmente entre s

Comprender el coeficiente dedeterminacin como una medida de la fuerza de la relacin entre dos variables

Conocer las limitaciones de laregresin y del anlisis de correlaciny las advertencias sobre su uso

12.1 Introduccin 51012.2 Estimacin mediante la recta

de regresin 51612.3 Anlisis de correlacin 53512.4 Inferencias sobre parmetros

de poblacin 54512.5 Uso del anlisis de regresin

y correlacin: limitaciones,errores y advertencias 551

Estadstica en el trabajo 553

Ejercicio de base de datoscomputacional 553

Del libro de texto al mundoreal 554

Trminos introducidos en elcaptulo 12 555

Ecuaciones introducidas en el captulo 12 555

Ejercicios de repaso 557

1212

510 Captulo 12 Regresin simple y correlacin

El vicepresidente de investigacin y desarrollo (ID) de una grancompaa qumica y de fabricacin de fibras cree que las gananciasanuales de la empresa dependen de la cantidad gastada en ID. Elnuevo presidente de la compaa no est de acuerdo y ha solicitadopruebas. Los datos de seis aos son los siguientes:

Millones gastados en Ganancia anual Ao investigacin y desarrollo (millones)

1990 2 201991 3 251992 5 341993 4 301994 11 401995 5 31

El vicepresidente de ID desea una ecuacin para pronosticar losbeneficios anuales derivados de la cantidad presupuestada para ID. Conlos mtodos de ste captulo, podremos proporcionarle esa herramientapara la toma de decisiones y orientarlo respecto a la precisin quepuede esperar al usarla.

12.1 IntroduccinTodos los das, los administradores toman decisiones personales y profesionales basadas en predic-ciones de sucesos futuros. Para hacer estos pronsticos, se basan en la relacin (intuitiva y calculada)entre lo que ya se sabe y lo que se debe estimar. Si los responsables de la toma de decisiones puedendeterminar cmo lo conocido se relaciona con el evento futuro, pueden ayudar considerablemente alproceso de toma de decisiones. se es el objetivo de este captulo: cmo determinar la relacin en-tre variables.

En el captulo 11, utilizamos pruebas de ji-cuadrada de independencia para determinar si existauna relacin estadstica entre dos variables. La prueba ji-cuadrada nos dice si existe tal relacin, pe-ro no nos dice cul es esa relacin. Los anlisis de regresin y correlacin nos mostrarn cmodeterminar tanto la naturaleza como la fuerza de una relacin entre dos variables. De esta for-ma, aprenderemos a pronosticar, con cierta precisin, el valor de una variable desconocida basndo-nos en observaciones anteriores de sa y otras variables.

El trmino regresin fue utilizado por primera vez como un concepto estadstico en 1877 por sirFrancis Galton, quien llev a cabo un estudio que mostr que la estatura de los nios nacidos de pa-dres altos tiende a retroceder o regresar hacia la estatura media de la poblacin. Design la palabraregresin como el nombre del proceso general de predecir una variable (la estatura de los nios) a partirde otra (la estatura del padre o de la madre). Ms tarde, los estadsticos acuaron el trmino regresinmltiple para describir el proceso mediante el cual se utilizan varias variables para predecir otra.

En el anlisis de regresin, desarrollaremos una ecuacin de estimacin, esto es, una frmula ma-temtica que relaciona las variables conocidas con la variable desconocida. Despus de conocerel patrn de esta relacin, podremos aplicar el anlisis de correlacin para determinar el grado en elque las variables se relacionan. El anlisis de correlacin, entonces, nos indica qu tan bien la ecua-cin de estimacin describe realmente la relacin.

Tipos de relacionesLos anlisis de regresin y de correlacin se basan en la relacin, o asociacin, entre dos (o ms) va-riables. La variable (o variables) conocida(s) se llaman variable(s) independiente(s); la que tratamosde predecir es la variable dependiente.

Variables indepen-dientes y depen-dientes

Desarrollo de unaecuacin de esti-macin

Origen de los trmi-nos regresin y regresin mltiple

Diferencia entre la ji-cuadrada y los te-mas de este captulo

Relacin entre variables

Los cientficos saben, por ejemplo, que existe una relacin entre las ventas anuales de latas deaerosoles y la cantidad de fluorocarburos liberados a la atmsfera cada ao. Si estudiramos esta re-lacin, el nmero de latas de aerosol vendidas cada ao sera la variable independiente y la can-tidad de fluorocarburos liberados anualmente sera la variable dependiente.

Consideremos otro ejemplo. Los economistas pueden basar sus predicciones del producto inter-no bruto anual, o PIB, en el gasto final de consumo dentro de la economa. Por tanto, el consumofinal es la variable independiente y el PNB la variable dependiente.

En regresin, podemos tener slo una variable dependiente en la ecuacin de estimacin. Sin em-bargo, podemos usar ms de una variable independiente. A menudo, cuando agregamos variablesindependientes, mejoramos la exactitud de nuestra prediccin. Los economistas, por ejemplo, confrecuencia aaden una segunda variable independiente, el nivel de gasto de inversin, para mejo-rar su estimacin del PIB.

Los dos ejemplos de fluorocarburos y PIB son ilustraciones de asociaciones directas entre variablesindependientes y dependientes. Al incrementarse la variable independiente, la variable dependientetambin lo hace. De manera similar, esperamos que las ventas de una compaa se incrementen alaumentar el presupuesto de publicidad. Podemos graficar una relacin directa de este tipo colocan-do la variable independiente en el eje X y la variable dependiente en el eje Y. La grfica (a) de la fi-gura 12-1 muestra esto. Note cmo la pendiente de la recta sube cuando X toma valores cada vez msgrandes. Se dice que la pendiente de esta recta es positiva, porque Y crece si X crece.

Las relaciones pueden ser inversas en vez de directas. En estos casos, la variable dependiente dis-minuye al aumentar la variable independiente. El gobierno supone que existe una asociacin inversaentre un mayor gasto anual de una compaa en dispositivos anticontaminantes y menores emisionescontaminantes. La grfica (b) de la figura 12-1 ilustra este tipo de relacin, que se caracteriza por unapendiente negativa (la variable dependiente Y disminuye al aumentar la variable independiente X).

A menudo encontramos una relacin causal entre variables, esto es, la variable independien-te causa cambios en la variable dependiente. ste es el caso en el ejemplo de la contaminacin.Pero en muchos casos, otros factores ocasionan los cambios tanto en las variables dependientes co-mo en las independientes. Podramos predecir las ventas de aretes de diamantes observando las deCadillacs nuevos, pero no podramos decir que una origina a la otra. Ms bien, nos damos cuenta queotro factor, como el nivel de ingresos disponibles, es la causa de los niveles de ventas tanto de Cadi-llacs como de aretes de diamantes.

Por esta razn, es importante considerar que las relaciones encontradas por la regresin sonrelaciones de asociacin, pero no necesariamente de causa y efecto. A menos que tenga razonesespecficas para creer que los valores de la variable dependiente se originan por los valores de lasvariables independientes, no infiera causalidad en las relaciones encontradas por la regresin.

Diagramas de dispersinEl primer paso para determinar si existe una relacin entre dos variables es examinar la grfica delos datos observados (o conocidos). Esta grfica, o dibujo, se llama diagrama de dispersin.

Diagrama de dispersin

Relaciones de aso-ciacin, no de causay efecto

Relacin inversa entre X y Y

Relacin directa entre X y Y

12.1 Introduccin 511

Y

X

(a) Relacin directa

Publicidad en dlares

Vent

as en

dl

ares

Pendiente positiva

Y

X

(b) Relacin inversa

Gastos contra la contaminacin

Emiso

res d

e con

tamin

aci

n

Pendiente negativaFIGURA 12-1

Relaciones directase inversas entre lavariable indepen-diente X y la varia-ble dependiente Y

Un diagrama de dispersin nos puede dar dos tipos de informacin. Visualmente, podemos iden-tificar patrones que indiquen que las variables estn relacionadas. Si esto sucede, podemos ver qutipo de lnea, o ecuacin de estimacin, describe esta relacin.

Desarrollaremos y utilizaremos un diagrama de dispersin especfico. Suponga que el director deadmisiones de una universidad nos pide determinar si existe una relacin entre las calificacionesde un estudiante en su examen de admisin y su promedio general al graduarse. El director ha reu-nido una muestra aleatoria de datos de los registros de la universidad. La tabla 12-1 contiene esta in-formacin.

Para comenzar, debemos transferir la informacin de la tabla 12-1 a una grfica. Puesto que el di-rector desea utilizar las calificaciones de los exmenes para pronosticar xitos en la universidad, he-mos colocado el promedio de calificaciones acumulado (la variable dependiente) en el eje vertical oY, y la calificacin del examen de admisin (la variable independiente) en el eje horizontal o X. Lafigura 12-2 nos muestra el diagrama de dispersin completo.

A primera vista se sabe por qu llamamos as al diagrama de dispersin. El patrn de puntos re-sulta al registrar cada par de datos de la tabla 12-1 como un punto. Cuando vemos todos estos pun-tos juntos, podemos visualizar la relacin que existe entre las dos variables. Como resultado, pode-mos trazar, o ajustar una lnea recta a travs de nuestro diagrama de dispersin para representar larelacin; la figura 12-3 ilustra esto. Es comn intentar trazar estas lneas de forma tal que un nme-ro igual de puntos caiga en cada lado de la lnea.

Trazo, o ajuste, deuna lnea recta a travs del diagramade dispersin

Transferencia de informacin tabulara una grfica


FIGURA 12-2

Diagrama de dispersin de lascalificaciones deestudiantes enexmenes de ad-misin graficadascontra el promediogeneral acumulado

Calificaciones de estu-diantes en exmenes deadmisin y promediosde generales acumu-lados al graduarse

Tabla 12-1

Estudiante A B C D E F G HCalificaciones de examen de admisin

(100 = mxima calificacin posible) 74 69 85 63 82 60 79 91Promedio general acumulado (4.0 A) 2.6 2.2 3.4 2.3 3.1 2.1 3.2 3.8

50 55 60 65 70 75 80 85 90 952.002.252.502.753.003.253.503.754.00

X

Y

Prom

edio

gen

eral

acum

ulad

o

Calificaciones del examen de admisin

50 55 60 65 70 75 80 85 90 952.002.252.502.753.003.253.503.754.00

X

Y

Prom

edio

glo

bal a

cum

ulad

o

Calificaciones de examen de admisin

FIGURA 12-3

Diagrama de dis-persin en dondela lnea recta re-presenta la rela-cin entre X y Yajustada

En este caso, la lnea trazada a travs de los puntos representa una relacin directa, porque Y seincrementa al aumentar X. Como los puntos estn relativamente cerca de esta lnea, podemos decirque existe un alto grado de asociacin entre las calificaciones de exmenes y el promedio de califi-caciones acumulativo. En la figura 12-3, podemos ver que la relacin descrita por los puntos estbien descrita por una lnea recta. Por tanto, podemos decir que es una relacin lineal.

La relacin entre las variables X y Y tambin puede tomar la forma de una curva. Los especialis-tas en estadstica la llaman relacin curvilnea. Los empleados de muchas industrias, por ejemplo,experimentan lo que se denomina curva de aprendizaje, es decir, al fabricar un nuevo producto, eltiempo requerido para producir una unidad se reduce en alguna proporcin fija al duplicarse el n-mero total de unidades. Una industria de este tipo es la aviacin. El tiempo de fabricacin por uni-dad de una nueva aeronave tiende a disminuir un 20% cada vez que se duplica el nmero de nuevosaviones terminados. La figura 12-4 ilustra la relacin curvilnea de este fenmeno de curva deaprendizaje.

La direccin de la curva puede indicar si la relacin curvilnea es directa o inversa. La curva dela figura 12-4 describe una relacin inversa porque Y disminuye al aumentar X.

Para repasar las relaciones posibles en un diagrama de dispersin, examinemos las grficas de lafigura 12-5. Las grficas (a) y (b) muestran relaciones lineales directas e inversas. Las grficas (c) y(d) son ejemplos de relaciones curvilneas que indican asociaciones directas e inversas entre varia-bles, respectivamente. La grfica (e) ilustra una relacin lineal inversa con un patrn de puntos am-pliamente disperso. Esta mayor dispersin indica que existe menor grado de asociacin entre las va-

Repaso de las rela-ciones posibles

Relaciones curvilneas

Interpretacin de la lnea recta


FIGURA 12-4

Relacin curvilneaentre el tiempo deconstruccin deuna nuevo avin yel nmero de uni-dades producidas

Y

X

Nmero de aviones producidos

Nm

ero

de h

oras

por

avi

n

1,000 horas

800 horas

640 horas

512 horas

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45250

500

750

1000

Y

X

(a) Recta directaY

X

(b) Recta inversaY

X

(c) Curvilnea directa

Y

X

(d) Curvilnea inversaY

X

(e) Recta inversa conms dispersin

Y

X

(f) Ninguna relacin

FIGURA 12-5

Relaciones posi-bles entre X y Yen diagramas dedispersin

riables independiente y dependiente que el existente en la grfica (b). El patrn de puntos en la gr-fica ( f ) parece indicar que no existe relacin entre las dos variables; por tanto, conocer el pasado re-ferente a una variable no nos permitir pronosticar ocurrencias futuras de la otra.

Ejercicios 12.1

Ejercicios de autoevaluacin

EA 12-1 Un instructor est interesado en saber cmo se relaciona el nmero de estudiantes ausentes con la tempe-ratura media del da. Us una muestra aleatoria de 10 das para el estudio. Los siguientes datos indican elnmero de estudiantes ausentes (AUS) y la temperatura media (TEMP) para cada da.

AUS 8 7 5 4 2 3 5 6 8 9

TEMP 10 20 25 30 40 45 50 55 59 60

a) Establezca la variable dependiente (Y) y la variable independiente (X).b) Dibuje un diagrama de dispersin para estos datos.c) La relacin entre las variables parece lineal o curvilnea?d) Qu tipo de curva puede dibujar a travs de los datos?e) Cul es la explicacin lgica para la relacin observada?

Conceptos bsicos 12-1 Qu es el anlisis de regresin? 12-2 En el anlisis de regresin, qu es una ecuacin de estimacin? 12-3 Cul es el propsito del anlisis de correlacin? 12-4 Defina qu son las relaciones directas e inversas. 12-5 A qu se refiere el trmino relacin causal? 12-6 Explique la diferencia entre relaciones lineales y curvilneas. 12-7 Explique por qu y cmo se construye un diagrama de dispersin. 12-8 Qu es anlisis de regresin mltiple? 12-9 Para cada uno de los siguientes diagramas de dispersin, indique si existe una relacin y, en caso afirma-

tivo, si es de tipo directo o inverso, y si es lineal o curvilnea.


(a) (b) (c)

Aplicaciones 12-10 Un profesor intenta mostrar a sus estudiantes la importancia de los exmenes cortos, aun cuando el 90%

de la calificacin final est determinada por los exmenes parciales. l cree que cuanto ms altas sean lascalificaciones de los exmenes cortos, ms alta ser la calificacin final. Seleccion una muestra aleato-ria de 15 estudiantes de su clase con los siguientes datos:

Promedio de exmenes cortos Promedio final

59 6592 8472 7790 8095 77

(Contina)

Promedio de exmenes cortos Promedio final

87 8189 8077 8476 8065 6997 8342 4094 7862 6591 90

a) Establezca la variable dependiente (Y) y la variable independiente (X).b) Dibuje un diagrama de dispersin para estos datos.c) La relacin entre las variables parece lineal o curvilnea?d) Parece justificarse la idea del profesor? Explique su razonamiento.

12-11 William Hawkins, vicepresidente de personal de la International Motors, trabaja en la relacin entre el sa-lario de un trabajador y el porcentaje de ausentismo. Hawkins dividi el intervalo de salarios de Interna-tional en 12 grados o niveles (1 es el de menor grado, 12 el ms alto) y despus muestre aleatoriamentea un grupo de trabajadores. Determin el grado de salario de cada trabajador y el nmero de das que eseempleado haba faltado en los ltimos 3 aos.

Categora de salario 11 10 8 5 9 9 7 3

Ausencias 18 17 29 36 11 26 28 35

Categora de salario 11 8 7 2 9 8 6 3

Ausencias 14 20 32 39 16 26 31 40

Elabore un diagrama de dispersin para estos datos e indique el tipo de relacin. 12-12 El Instituto Nacional de Ciencias para la Salud Ambiental (NIEHS, por sus siglas en ingls) ha estudiado

las relaciones estadsticas entre muchas variables diferentes y el resfriado comn. Una de las variablesanalizadas es el uso de pauelos desechables (X) y el nmero de das de sntomas de resfro mostrados (Y)por siete personas en un periodo de 12 meses. Qu relacin, si la hay, parece existir entre las dos varia-bles? Indica esto algn efecto causal?

X 2,000 1,500 500 750 600 900 1,000

Y 60 40 10 15 5 25 30

Soluciones a los ejercicios de autoevaluacinEA 12-1 a) Se desea ver si las ausencias (AUS) dependen de la temperatura (TEMP).

b)


10

10 20 30 40Temperatura

50 60 70

8

6

Ause

ncias

4

2

c) Curvilnea.d) Una curva cuadrtica (parbola).e) Cuando hace mucho fro o mucho calor hay muchos ausentes. Para temperaturas moderadas, no hay

tantos estudiantes ausentes.

12.2 Estimacin mediante la recta de regresin

En los diagramas de dispersin que hemos utilizado hasta ahora, se colocaron las lneas de regresinajustando las lneas visualmente entre los puntos de datos. En esta seccin, aprenderemos a calcularla lnea de regresin de manera ms precisa, usando una ecuacin que relaciona las dos variables ma-temticamente. Aqu, examinaremos slo relaciones lineales entre dos variables; estudiaremos lasrelaciones entre ms de dos variables en el siguiente captulo.

La ecuacin para una lnea recta donde la variable dependiente Y est determinada por la varia-ble independiente X es:

Ecuacin para una lnea recta

Clculo de la lnea deregresin usando unaecuacin


FIGURA 12-6

Lnea recta conpendiente positiva,con la ordenada Yy dos puntos en lalnea designada 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

Y

X

a = 3

Segundo punto (X2, Y2), o (2, 7) porque X2 = 2 y Y2 = 7

Primer punto (X1, Y1), o (1, 5) porque X1 = 1 y Y1 = 5

Ecuacin para una lnea recta

Variable dependiente Variable independiente

Y a bX [12-1]

Variable ordenada Y Pendiente de la recta

Usando esta ecuacin, podemos tomar un valor dado de X y calcular el valor de Y. La a se denominala ordenada Y porque su valor es el punto en el cual la lnea de regresin cruza el eje Y, es decir, eleje vertical. La b en la ecuacin 12-1 es la pendiente de la recta. Representan qu tanto cada cam-bio de una unidad de la variable independiente X hace que cambie la variable dependiente Y. Tantoa como b son constantes numricas porque para cualquier lnea recta dada, sus valores no cambian.

Supongamos que sabemos que a es 3 y b es 2. Determinemos cul sera Y para X igual a 5. Al sus-tituir los valores de a, b y X en la ecuacin 12-1, encontramos que el valor correspondiente de Y es

Y a bX [12-1] 3 2(5) 3 10 13 Valor de Y dada X = 5

Clculo de Y a partirde X usando la ecua-cin de la recta

Interpretacin dela ecuacin

b 72

51

21

2 Pendiente de la recta

De esta manera, podemos conocer los valores de las constantes numricas, a y b, y escribir laecuacin de la recta. La lnea de la figura 12-6 puede describirse por la ecuacin 12-1, en la que a 3 y b 2. Por tanto,

Y a bX [12-1]

y

Y 3 2X

Usando esta ecuacin, podemos determinar el valor correspondiente de la variable dependiente pa-ra cualquier valor de X. Supongamos que deseamos encontrar el valor de Y cuando X 7. La res-puesta sera

Y a bX [12-1]

3 2(7) 3 14

17

Si sustituye ms valores de X en la ecuacin, observar que Y se incrementa al aumentar X. Por tan-to, la relacin entre las variables es directa y la pendiente es positiva.

Ahora consideremos la lnea de la figura 12-7. Vemos que cruza el eje Y en 6. Por tanto, sabemosque a 6. Si seleccionamos los dos puntos donde (X1, Y1) (0, 6) y (X2, Y2) (1, 3), encontrare-mos que la pendiente de la recta es

b XY2

2

YX

1

1 [12-2]

Relacin directa;pendiente positiva

Escritura y uso de la ecuacin de unarecta

Uso de la ecuacin de estimacin para una lnea rectaCmo podemos encontrar los valores de las constantes numricas, a y b? Para ilustrar este proce-so, se usar la recta de la figura 12-6.

Podemos encontrar a visualmente (la ordenada Y) localizando el punto donde la recta cruza el ejeY. En la figura 12-6, esto sucede cuando a 3.

Para encontrar la pendiente de la recta, b, debemos determinar cmo cambia la variable depen-diente, Y, al cambiar la variable independiente, X. Podemos empezar por elegir dos puntos sobre lalnea de la figura 12-6. Ahora, debemos encontrar los valores de X y Y (las coordenadas) de ambospuntos. Podemos llamar a las coordenadas de nuestro primer punto (X1, Y1) y (X2, Y2) a las del se-gundo. Al examinar la figura 12-6, podemos ver que (X1, Y1) (1, 5) y (X2, Y2) (2, 7). Entoncespodemos calcular el valor de b, usando esta ecuacin:

Bsqueda de los valores de a y b

12.2 Estimacin mediante la recta de regresin 517

La pendiente de una lnea recta

b [12-2]Y2 Y1X2 X1

31

60

31

3

Observe que cuando b es negativa, la recta representa una relacin inversa, y la pendiente es negati-va (Y disminuye al aumentar X). Una vez determinados los valores numricos de a y b, podemos sus-tituirlos en la ecuacin general de la lnea recta:

Y a bX [12-1] 6 (3)X 6 3X

Suponga que deseamos encontrar el valor de la variable dependiente que corresponde a X 2.Sustituyendo en la ecuacin 12-1 obtenemos:

Y 6 (3)(2) 6 6

0

Por tanto, cuando X 2, Y debe ser igual a 0. Si consultamos la lnea de la figura 12-7, podemos verque el punto (2, 0) s est en la recta.

El mtodo de mnimos cuadradosAhora que hemos visto cmo determinar la ecuacin de una lnea recta, pensemos cmo calcular unaecuacin para una lnea dibujada en medio de un conjunto de puntos de un diagrama de dispersin.Cmo podemos ajustar una recta matemticamente si ninguno de los puntos est sobre ella? Pa-ra un especialista en estadstica, la lnea tendr un buen ajuste si minimiza el error entre los pun-tos estimados en la recta y los puntos observados reales que se utilizaron para trazarla.

Antes de proceder, necesitamos introducir un nuevo smbolo. Hasta ahora, hemos utilizado Y pararepresentar los valores individuales de los puntos observados medidos a lo largo del eje Y. Ahora de-

Introduccin de Y

Ajuste matemticode una recta de regresin

Encontrar Y dado X

Relacin inversa;pendiente negativa


1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

Y

X

a = 6 Segundo punto (X2, Y2) = (1, 3)

Primer punto (X1, Y1) = (0, 6)

El punto (2, 0)FIGURA 12-7

Lnea recta conpendiente negativa

bemos comenzar a usar Y (ye gorro) para simbolizar los valores individuales de los puntos estima-dos, esto es, aquellos puntos que estn en la lnea de estimacin. En consecuencia, escribiremos laecuacin para la lnea de estimacin como


La lnea de estimacin

Y a bX [12-3]

En la figura 12-8, tenemos dos lneas de estimacin que se han ajustado al mismo conjunto de trespuntos. Estos tres puntos dados, u observados, se muestran en negro. Se han trazado dos lneas muydiferentes para describir la relacin entre las dos variables. Obviamente, necesitamos una forma dedecidir cul de estas lneas nos proporciona un mejor ajuste.

Una forma en que podemos medir el error de nuestra lnea de estimacin es sumando todas lasdiferencias, o errores, individuales entre los puntos estimados mostrados en crculo y los puntos ob-servados mostrados en negro. En la tabla 12-2, calculamos las diferencias individuales entre las Ycorrespondientes y Y, y luego encontramos la suma de estas diferencias.

Uso del error totalpara determinarel mejor ajuste

Qu lnea se ajustamejor?

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

Y

X

(a)

= Puntos en la lnea de estimacin= Puntos reales (observados) utilizados para ajustar la lnea de estimacin

Error = 2

Error = 2

Error = 4

Lnea de estimacin

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

X

Y

(b)

Lnea de estimacin

Error = 2

Error = 6

Error = 4

FIGURA 12-8 Dos lneas de estimacin diferentes ajustadas a los mismos tres puntos observados; se muestran errores en ambos casos

Suma de los valores ab-solutos del error de lasdos lneas de estimacinde la figura 12-8

Tabla 12-3

Suma de errores de lasdos lneas de estimacinde la figura 12-8

Tabla 12-2 Grfica (a) Grfica (b)

Y Y Y Y

8 6 2 8 2 6

1 5 4 1 5 4

6 4 2 6 8 2

6 4 0 Error total 6 4 0 Error total

Grfica (a) Grfica (b)|Y Y | |Y Y |

|8 6| 2 |8 2| 6|1 5| 4 |1 5| 4|6 4| 2 |6 8| 02|6 4| 8 Error absoluto total |6 4| 12 Error absoluto total

Un rpido examen visual de las dos lneas de estimacin de la figura 12-8 revela que la lnea dela grfica (a) se ajusta a los tres puntos de datos mejor que la lnea de la grfica (b).* Sin embargo,nuestro proceso de suma de las diferencias individuales de la tabla 12-2 indica que ambas lneas des-criben los datos igualmente bien (el error total en ambos casos es cero). Por tanto, debemos concluirque el proceso de suma de las diferencias individuales para calcular el error no es una forma confia-ble de juzgar la bondad de ajuste de una lnea de estimacin.

El problema al sumar los errores individuales es el efecto de cancelacin de los valores positivosy negativos. De esto, podramos deducir que el criterio adecuado para juzgar la bondad del ajuste se-ra sumar los valores absolutos (los valores sin los signos algebraicos) de cada error. Hemos hechoesto en la tabla 12-3. (El smbolo del valor absoluto son dos lneas verticales paralelas, | |.) Como elerror absoluto en la grfica (a) es menor que el error absoluto en la grfica (b), dado que buscamosel mnimo error absoluto, confirmamos nuestra impresin intuitiva de que la lnea de estimacinde la grfica (a) es el mejor ajuste.

Con base en este xito, podramos concluir que la minimizacin de la suma de los valores abso-lutos de los errores es el mejor criterio para encontrar un buen ajuste. Pero antes de sentirnos dema-siado cmodos con l, debemos examinar una situacin distinta.

La figura 12-9 nuevamente presenta dos diagramas de dispersin idnticos con dos lneas de es-timacin diferentes ajustadas a los tres datos puntuales. En la tabla 12-4, sumamos los valores abso-lutos de los errores y encontramos que la lnea de estimacin de la grfica (a) es un mejor ajuste quela de la grfica (b). Intuitivamente, sin embargo, pareciera que la lnea de la grfica (b) es la mejorlnea de ajuste, porque se ha movido verticalmente para tomar el punto medio en consideracin. Lagrfica (a), por otra parte, parece ignorar completamente el punto medio. As que tal vez descarta-ramos este segundo criterio para encontrar el mejor ajuste. Por qu? La suma de los valores abso-lutos no hace hincapi en la magnitud del error.

Parece razonable que mientras ms lejos est un punto de la lnea de estimacin, ms serio es elerror. Preferiramos tener varios errores absolutos pequeos que uno grande, como vimos en el ejem-plo anterior. En efecto, deseamos encontrar una forma de penalizar errores absolutos gran-des, para poder evitarlos. Podemos lograr esto si elevamos al cuadrado los errores individua-les antes de sumarlos. Los cuadrados de cada trmino logran dos objetivos:

1. Magnifica, o penaliza, los errores ms grandes.2. Cancela el efecto de los valores positivos y negativos (un error negativo al cuadrado sigue sien-

do positivo).Como estamos buscando la lnea de estimacin que minimiza la suma de los cuadrados de los erro-res, a esto le llamamos mtodo de mnimos cuadrados.

Uso de mnimos cua-drados como unamedida del mejorajuste

Dar ms peso a lospuntos ms lejanos;elevar el error al cuadrado

Uso del valor absolu-to del error para me-dir el mejor ajuste


* Podemos razonar que esto es as al observar que mientras ambas lneas de estimacin se separan del segundo y tercer pun-to (de izquierda a derecha) una distancia igual, la lnea de la grfica (a) se separa del primer punto una distancia mucho me-nor que la lnea de la grfica (b).

2 4 6 8 10

2

4

6

8

X

(a)

= Puntos en la lnea de estimacin= Puntos reales (observados) utilizados para ajustar la lnea de estimacin

Error = 4

Lnea de estimacin

Y

Error = 0

Error = 0

2 4 6 8 10

2

4

6

8

(b)Y

Lnea de estimacin

Error = 1Error = 1

Error = 3

X

FIGURA 12-9

Dos lneas de esti-macin diferentesajustadas a losmismos puntos observados; semuestran erroresen ambos casos

Apliquemos el criterio de mnimos cuadrados al problema de la figura 12-9. Una vez que organi-zamos los datos y sumamos los cuadrados de la tabla 12-5, vemos que, tal como lo pensamos, la l-nea de estimacin en la grfica (b) es el mejor ajuste.

Usando el criterio de los mnimos cuadrados, podemos determinar si una lnea de estimacin esmejor ajuste que otro. Pero para un conjunto de puntos a travs de los cuales podramos trazar un n-mero infinito de lneas de estimacin, cmo podemos saber cundo hemos encontrado la recta delmejor ajuste?

Los estadsticos han desarrollado dos ecuaciones que podemos utilizar para encontrar la pendien-te y la ordenada Y de la recta de regresin de mejor ajuste. La primera frmula calcula la pendiente:

Cmo encontrar ma-temticamente larecta de mnimoscuadrados que mejorse ajusta


Aplicacin del criterio demnimos cuadrados a laslneas de estimacin

Tabla 12-5

Suma de los valores ab-solutos de los errores delas dos lneas de estima-cin de la figura 12-9

Tabla 12-4 Grfica (a) Grfica (b)|Y Y | |Y Y |

|4 4| 0 |4 5| 1|7 3| 4 |7 4| 3|2 2| 0 |2 3| 1|2 2| 4 Error absoluto total |2 2| 5 Error absoluto total

Grfica (a) Grfica (b)(Y Y )2 (Y Y )2

(4 4)2 (0)2 0 (4 5)2 (1)2 1(7 3)2 (4)2 16 (7 4)2 (3)2 9(2 2)2 (0)2 00 (2 3)2 (1)2 01(7 3)2 (4)2 16 Suma de cuadrados (7 3)2 (4)2 11 Suma de cuadrados

Pendiente de la recta de regresin de mejor ajuste

b [12-4]XY nXYX2 nX2

donde,

b pendiente de la lnea de estimacin de mejor ajuste X valores de la variable independiente Y valores de la variable dependiente X media de los valores de la variable independiente Y media de los valores de la variable dependiente n nmero de puntos (es decir, el nmero de pares de valores de las variables independiente

y dependiente)La segunda frmula calcula la ordenada Y de la recta cuya pendiente calculamos usando la ecuacin12-4:

Pendiente de la rectade regresin de mni-mos cuadrados

Ordenada Y de la recta de regresin de mejor ajuste

a Y bX [12-5]

donde,

a ordenada Y b pendiente de la ecuacin 12-4

Ordenada de la rectade regresin de mni-mos cuadrados

Y media de los valores de la variable dependiente X media de los valores de la variable independiente

Con estas dos ecuaciones, podemos encontrar la recta de regresin de mejor ajuste para cualquier con-junto de puntos para dos variables.

Uso del mtodo de mnimos cuadrados en dos problemasSuponga que la directora del Departamento de Salubridad de Chapel Hill est interesada en la rela-cin que existe entre la antigedad de un camin de basura y los gastos anuales de reparacin quedebe esperar. Con el fin de determinar esta relacin, la directora ha reunido informacin de cuatro delos camiones de la ciudad (tabla 12-6).

El primer paso para calcular la recta de regresin de este problema es organizar los datos comose resumen en la tabla 12-7. Esto nos permite sustituirlos directamente en las ecuaciones 12-4 y 12-5para encontrar la pendiente y la ordenada Y de la recta de regresin de mejor ajuste.

Con la informacin de la tabla 12-7, podemos usar las ecuaciones para la pendiente (ecuacin 12-4)y para la ordenada Y (ecuacin 12-5) con el fin de encontrar las constantes numricas para la rectade regresin. La pendiente es:

b

68

0.75 Pendiente de la lnea

Y la ordenada Y es:

a Y bX [12-5]

6 (0.75)(3) 6 2.25

3.75 Ordenada Y

Ahora, para obtener la ecuacin de estimacin que describe la relacin entre la antigedad de un ca-min y sus gastos anuales de reparacin, podemos sustituir los valores de a y b en la ecuacin gene-ral para una lnea recta:

Y a bX [12-3]

3.75 0.75X

Determinacin de laecuacin de estima-cin

Bsqueda del valorde a

78 724436

78 (4)(3)(6)

44 (4)(3)2

XY nXYX2 nX2

Bsqueda del valor de b

Ejemplo del mtodode mnimos cuadra-dos


Gastos anuales de repa-racin de camiones

Tabla 12-6 Nmero del Antigedad del Gastos de rep. durante el ltimo

camin camin en aos (X) ao en cientos de dlares (Y)

101 5 7

102 3 7

103 3 6

104 1 4

Utilizando esta ecuacin de estimacin (que podramos graficar como una recta de regresin si aslo deseramos), la directora del Departamento de Salubridad puede estimar los gastos anuales de re-paracin, dada la antigedad de su equipo. Si, por ejemplo, la ciudad tiene un camin de 4 aos deantigedad, la directora podra usar la ecuacin para predecir los gastos anuales de reparacin paraeste camin de la siguiente manera:

Y 3.75 0.75(4) 3.75 3

6.75 Gastos anuales de reparacin esperados de $675.00

As, se calculara que la ciudad gasta aproximadamente $675 al ao en reparaciones de un camin de4 aos de antigedad.

Ahora podemos resolver el problema del inicio del captulo, referente a la relacin entre el dine-ro gastado en investigacin y desarrollo y las ganancias anuales de la compaa qumica. La tabla12-8 presenta la informacin de los 6 aos anteriores. Con esto, podemos determinar la ecuacin deregresin que describe la relacin.

Nuevamente, podemos facilitar la recoleccin de la informacin necesaria si realizamos los clcu-los de la tabla 12-9.

Otro ejemplo

Uso de la ecuacinde estimacin


Clculo de los datos para las ecuaciones 12-4 y 12-5

Tabla 12-7

Relacin anual entre investigacin, desarrolloy ganancias

Tabla 12-8

Camiones Antige- Gastos de (n 4) dad (X ) reparacin (Y) XY X2

(1) (2) (3) (2) (3) (2)2

101 5 7 35 25

102 3 7 21 9

103 3 6 18 9

104 01 04 04 01

X 12 Y 24 X Y 78 X 2 44

X

3 Media de los valores de la variable independiente

Y

6 Media de los valores de la variable dependiente

246

X

n

124

X

n

Millones de dlares Ganancia anualgastados en investigacin (millones de

y desarrollo dlares)Ao (X) (Y)

1995 5 311994 11 401993 4 301992 5 341991 3 251990 2 20

Con esta informacin, estamos listos para encontrar las constantes numricas a y b para la ecua-cin de estimacin. El valor de b es:

b [12-4]

15000

2 Pendiente de la rectaY el valor de a es:

a Y bX [12-5] 30 (2)(5) 30 10 20 Ordenada Y

Entonces podemos sustituir estos valores de a y b en la ecuacin 12-3 y obtener:

Y a bX [12-3] 20 2X

Al utilizar esta ecuacin de estimacin, el vicepresidente de investigacin y desarrollo puede prede-cir las ganancias futuras anuales a partir de la cantidad presupuestada para ID. Si la compaa gast8 millones de dlares para ID en 1996, entonces debi ganar aproximadamente 36 millones de d-lares durante ese ao:

Uso de la ecuacinde estimacin parapronosticar

Determinacin de la ecuacin

de estimacin

Clculo de a

1,000 900200 150

1,000 (6)(5)(30)

200 (6)(5)2

XY nX YX2 nX 2

Clculo de b


Clculo de los datos para las ecuaciones 12-4 y 12-5

Tabla 12-9 Gastos GananciasAo de ID anuales

(n 6) (X) (Y) XY X2

1995 5 31 155 251994 11 40 440 1211993 4 30 120 161992 5 34 170 251991 3 25 75 91990 02 020 0,040 004

X 30 Y 180 XY 1,000 X2 200

X [3-2]

5 Media de los valores de la variable independiente

Y [3-2]


180

6

Y

n

306

X

n

Y 20 2(8) 20 16 36 Ganancia anual esperada (millones de dlares)

Las ecuaciones de estimacin no son pronosticadores perfectos. En la figura 12-10, que graficalos puntos encontrados en la tabla 12-8, la estimacin de 36 millones de ganancia para 1996 es sloeso, una estimacin. Aun as, la regresin s nos da una idea de qu esperar para el siguiente ao.

Verificacin de la ecuacin de estimacinAhora que sabemos cmo calcular la lnea de regresin, podemos aprender cmo verificar nuestrotrabajo. Una forma burda de verificar la exactitud de la ecuacin de estimacin es examinar la gr-fica de los puntos de la muestra. Como podemos ver del problema anterior, la lnea de regresin dela figura 12-10 parece seguir la trayectoria descrita por los puntos de la muestra.

Un mtodo ms sofisticado surge de una de las propiedades matemticas de una recta ajustadapor el mtodo de mnimos cuadrados, es decir, los errores individuales positivos y negativos debensumar cero. Usando la informacin de la tabla 12-9, verifique que la suma de los errores en el lti-mo problema sea igual a cero. Esto se hace en la tabla 12-10.

Como la suma de los errores de la tabla 12-10 s es igual a cero, y puesto que la lnea de regre-sin parece ajustarse a los puntos de la figura 12-10, podemos estar razonablemente seguros deque no hemos cometido errores matemticos serios al determinar la ecuacin de estimacin para es-te problema.

Otra forma de verifi-car la ecuacin de

estimacin

Una forma de verifi-car la ecuacin de

estimacin

Deficiencia de laecuacin de estima-cin para predecir


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 181618202224262830323436384042

Gana

ncia

anua

l (m

illon

es d

e dl

ares

)

Gastos de investigacin y desarrollo (millones de dlares)

Punto estimadopara el ao entrante

Ecuacin de regresin: Y = 20 + 2X^

X

Y

FIGURA 12-10

Dispersin de pun-tos alrededor de lalnea de regresin

Clculo de la suma delos errores individualesde la tabla 12-9

Tabla 12-10 Y (es decir, Error Y 20 2X ) individual

31 [20 (2)(5)] 140 [20 (2)(11)] 230 [20 (2)(4)] 234 [20 (2)(5)] 425 [20 (2)(3)] 120 [20 (2)(2)] 4

0 Error total

El error estndar de la estimacinEl siguiente proceso que debemos aprender en nuestro estudio del anlisis de regresin es cmo me-dir la confiabilidad de la ecuacin de estimacin desarrollada. Aludimos a este tema cuando intro-dujimos los diagramas de dispersin; en ese punto, nos dimos cuenta intuitivamente de que una l-nea ser ms exacta como estimador cuando los datos puntuales caen cerca de la lnea [como en lagrfica (a) de la figura 12-11] que cuando los puntos estn alejados de la lnea [como en la grfica(b) de la figura 12-1l].

Para medir la confiabilidad de la ecuacin de estimacin, los especialistas en estadstica han de-sarrollado el error estndar de la estimacin. Este error estndar se simboliza por se y es similar ala desviacin estndar (que examinamos por primera vez en el captulo 3), en cuanto a que ambasson medidas de dispersin. Recordar que la desviacin estndar se utiliza para medir la dispersinde un conjunto de observaciones respecto a la media. El error estndar de la estimacin, por otraparte, mide la variabilidad, o dispersin, de los valores observados alrededor de la recta de re-gresin. Aun as, ver la similitud entre el error estndar de la estimacin y la desviacin estndarsi compara la ecuacin 12-6, que define el error estndar de la estimacin, con la ecuacin 3-18, quedefine la desviacin estndar:

Definicin y uso delerror estndar de laestimacin

Medicin de la con-fiabilidad de la ecua-cin de estimacin


Y

X

(a) Esta lnea de regresin es un estimador ms exacto de la relacin entre X y Y

Y

X

(b) Esta lnea de regresin es un estimador menos exacto de la relacin entre X y Y

FIGURA 12-11

Grados contrastan-tes de dispersinde datos puntualesy el efecto resul-tante en la preci-sin de la recta deregresin

donde,

Y valores de la variable dependiente Y valores estimados con la ecuacin de estimacin que corresponden a cada valor de Y n nmero de puntos utilizados para ajustar la lnea de regresinObserve que, en la ecuacin 12-6, la suma de las desviaciones al cuadrado se divide entre n 2 y

no entre n. Esto sucede porque perdimos dos grados de libertad al estimar la recta de regresin. Po-demos razonar que, dado que los valores de a y b se obtuvieron de una muestra de datos puntuales,perdemos dos grados de libertad cuando usamos estos puntos para estimar la recta de regresin.

Ahora, no referiremos de nuevo al ejemplo anterior de la directora del Departamento de Salubri-dad que relacionaba la antigedad de sus camiones con la cantidad de reparaciones anuales. Encon-tramos que la ecuacin de estimacin en esa situacin era:

Y 3.75 0.75X

n 2 es el divisoren la ecuacin 12-6

Error estndar de la estimacin

se [12-6](Y Y)2

n 2

Ecuacin para calcu-lar el error estndarde la estimacin

donde X es la antigedad del camin y Y la cantidad estimada de reparaciones anuales (en cientos dedlares).

Para calcular se para este problema, primero debemos determinar el valor de (Y Y)2, esto es,el numerador de la ecuacin 12-6. Hicimos esto en la tabla 12-11, usando (3.75 0.75X) para Y,siempre que fue necesario. Como (Y Y )2 es igual a 1.50, podemos usar la ecuacin 12-6 para en-contrar el error estndar de la estimacin:

se [12-6] 0.75 0.866 Error estndar de la estimacin de $86.60

Uso de un mtodo abreviado para calcular el error estndar de la estimacinPara usar la ecuacin 12-6, debemos hacer la tediosa serie de clculos descritos en la tabla 12-11.Para cada valor de Y, debemos calcular el valor correspondiente de Y. Entonces debemos sustituir es-tos valores en la expresin (Y Y )2.

Afortunadamente, podemos eliminar algunos pasos de esta tarea al usar el camino corto propor-cionado por la ecuacin 12-7, esto es:

1.504 2

(Y Y2)

n 2

Clculo del error estndar de la estimacin


Clculo del numeradorde la fraccin en la ecuacin 12-6

Tabla 12-11 Y (es decir, Error individual X Y 3.75 0.75X) (Y Y) (Y Y)2

(1) (2) (3) (2) (3) [(2) (3)]2

5 7 3.75 (0.75)(5) 7 7.5 0.5 0.253 7 3.75 (0.75)(3) 7 6.0 1.0 1.003 6 3.75 (0.75)(3) 6 6.0 0.0 0.001 4 3.75 (0.75)(1) 4 4.5 0.5 0.25

(Y Y )2 1.50 Suma de los cuadrados de los errores

Mtodo abreviado para encontrar el error estndar de la estimacin

se [12-7]Y2 aY bXY

n 2

donde,

X valores de la variable independiente Y valores de la variable dependiente a ordenada Y de la ecuacin 12-5 b pendiente de la ecuacin de estimacin de la ecuacin 12-4 n nmero de puntos

Esta ecuacin es un atajo, porque al organizar primero los datos de este problema para calcular lapendiente y la ordenada Y (tabla 12-7), determinamos cada valor que necesitamos para la ecuacin

Una forma ms rpi-da de calcular se

12-7, excepto uno: el valor de Y2. La tabla 12-12 es una repeticin de la tabla 12-7, aadiendo lacolumna Y2.

Ahora podemos consultar la tabla 12-12 y nuestros clculos anteriores de a y b, con el fin decalcular se usando el mtodo abreviado:

se [12-7]

0.75

0.866 Error estndar de $86.60

ste resultado es igual al obtenido usando la ecuacin 12-6, pero piense en cuntos pasos nosahorramos!

Interpretacin del error estndar de la estimacinComo ocurra en el caso de la desviacin estndar, mientras ms grande sea el error estndar de laestimacin, mayor ser la dispersin de los puntos alrededor de la lnea de regresin. De manera in-versa, si se 0, esperamos que la ecuacin de estimacin sea un estimador perfecto de la variabledependiente. En ese caso, todos los puntos caeran directamente sobre la lnea de regresin y no ha-bra puntos dispersos alrededor.

Usaremos el error estndar de la estimacin como una herramienta, de la misma forma que pode-mos usar la desviacin estndar. Esto es, suponiendo que los puntos observados siguen una distribu-cin normal alrededor de la recta de regresin, podemos esperar encontrar el 68% de los puntos den-tro de 1se (o ms menos 1 error estndar de la estimacin), el 95.5% de los puntos dentro de 2sey el 99.7% de los puntos dentro de 3se. La figura 12-12 ilustra estos lmites alrededor de la lneade regresin. Otra cosa que debemos observar en la figura 12-12 es que el error estndar de laestimacin se mide a lo largo del eje Y, y no perpendicularmente desde la recta de regresin.

En este punto, debemos establecer las suposiciones necesarias, ya que pronto haremos algunas afir-maciones probabilsticas. Especficamente:

1. Los valores observados para Y tienen distribucin normal alrededor de cada valor estimado de Y.2. La varianza de las distribuciones alrededor de cada valor posible de Y es la misma.

Si esta segunda suposicin no fuera cierta, entonces el error estndar en un punto de la recta de re-gresin podra diferir del error estndar en otro punto.

Suposiciones parausar se

Uso de se para for-mar lmites alrededorde la lnea de regre-sin

Interpretacin y usodel error estndar dela estimacin

150 90 58.52

150 (3.75)(24) (0.75)(78)4 2

Y2 aY bXY

n 2


Calculo de losdatos para laecuacin 12-7

Tabla 12-12 Camiones Antige- Gastosn = 4 dad (X) de reparacin (Y) XY X2 Y2

(1) (2) (3) (2) (3) (2)2 (3)2

101 5 7 35 25 49102 3 7 21 9 49103 3 6 18 9 36104 1 4 4 1 16

X 12 Y 24 XY 78 X2 44 Y2 150

Intervalos de confianza para la estimacin (o el valor esperado)Podemos concebir al error estndar de la estimacin como la herramienta estadstica que podemosusar para hacer afirmaciones de probabilidad acerca del intervalo alrededor del valor estimado de Y,dentro del cual cae el valor real de Y. En la figura 12-12 podemos ver, por ejemplo, que hay una se-guridad del 95.5% de que el valor real de Y caer dentro de dos errores estndar del valor estimadode Y. Llamamos a estos intervalos alrededor de la Y estimada, intervalos de confianza para la esti-macin. Tienen la misma funcin que los intervalos de confianza en el captulo 7.

Ahora, aplicando el concepto de intervalos de confianza para la estimacin al problema de la di-rectora del Departamento de Salubridad, sabemos que la ecuacin de estimacin usada para prede-cir el gasto anual de reparacin es:

Y 3.75 0.75X

Y sabemos que si el departamento tiene un camin de cuatro aos de antigedad, predecimos quetendr un gasto de reparaciones anuales de $675:

Y 3.75 0.75(4) 3.75 3.00 6.75 Gasto anual de reparaciones esperado de $675

Por ltimo, recordar que calculamos el error estndar de la estimacin como se 0.866 ($86.60).Ahora podemos combinar estas dos piezas de informacin y decir que estamos seguros aproximada-mente el 68% del tiempo, de que el gasto real de reparaciones estar dentro de 1 error estndar dela estimacin de Y. Podemos calcular los lmites superior e inferior de este intervalo de confianza pa-ra el gasto de reparacin de la siguiente manera:

Y 1se $675 (1)($86.60) $761.40 Lmite superior del intervalo de prediccin

yY 1se $675 (1)($86.60)

$588.40 Lmite inferior del intervalo de prediccinSi, en lugar de esto, decimos que estamos seguros aproximadamente el 95.5% del tiempo de que elgasto real de reparaciones estar dentro de 2 errores estndar de la estimacin de Y, podramoscalcular los lmites de este nuevo intervalo de confianza de la siguiente manera:

Intervalo de confian-za para la estimacinde dos errores estndar

Intervalo de confian-za para la estimacinde un error estndar

Aplicacin de los in-tervalos de confianzapara la estimacin (o valor esperado)

Utilizacin de se paragenerar intervalos de confianza


Y

XVariable independiente

Varia

ble d

epen

dien

te

se

Y = a + bX + 3se

Y = a + bX + 2seY = a + bX + 1se

Y = a + bX (lnea de regresin)

Y = a + bX 1se

Y = a + bX 2se

Y = a + bX 3se

^

2se (95.5% de todos los puntos debe caer en esta regin)

3se (99.7% de todos los puntos debe caer en esta regin)

1se (68% de todos los puntos debe caer en esta regin)

FIGURA 12-12

lmites alrededorde la lnea de re-gresin de 1se2se y 3se

Y 2se $675 (2)($86.60) $848.20 Lmite superior

y

Y 2se $675 (2)($86.60) $501.80 Lmite inferior

Recuerde que los estadsticos aplican los intervalos de confianza para la estimacin basados en ladistribucin normal (el 68% para lse, el 95.5% para 2se y el 99.7% para 3se) slo para muestras gran-des, esto es, cuando n > 30. En este problema, nuestro tamao de muestra es demasiado pequeo (n 4). Por tanto, nuestras conclusiones son inexactas. Pero de todos modos el mtodo que hemos uti-lizado demuestra el principio involucrado en los intervalos de confianza para la estimacin.

Si deseamos evitar inexactitudes ocasionadas por el tamao de la muestra, necesitamos usar ladistribucin t. Recuerde que esta distribucin t es apropiada cuando n es menor que 30 y la desvia-cin estndar de la poblacin no se conoce. Estas dos condiciones, se cumplen puesto que n 4, yse es una estimacin y no la desviacin estndar conocida de la poblacin.

Ahora suponga que la directora del Departamento de Salubridad desea tener una seguridad apro-ximada del 90% de que los gastos anuales de reparacin caern en el intervalo de la estimacin. C-mo calculamos este intervalo? Como la tabla de distribucin t se concentra en la probabilidad de queel parmetro que estamos estimando caer fuera del intervalo de prediccin, necesitamos consultarla tabla 2 del apndice en la columna de 100% 90% 10%. Una vez localizada la columna, bus-camos el rengln para 2 grados de libertad; porque n 4 y sabemos que perdemos 2 grados de li-bertad (al estimar los valores de a y b), entonces n 2 2. Encontraremos que el valor apropiadot es 2.920.

Ahora, usando este valor de t, podemos hacer un clculo ms exacto de los lmites del intervalode la estimacin, de la siguiente manera:

Y t(se) $675 (2.920)($86.60) $675 $252.87 $927.87 Lmite superior

y

Y t(se) $675 (2.920)($86.60) $675 $252.87 $422.13 Lmite inferior

As, la directora puede estar 90% segura de que los gastos anuales de reparacin de un camin decuatro aos de antigedad estarn entre $422.13 y $927.87.

Debemos resaltar que estos intervalos de la estimacin es lo que se espera que ocurra. De hecho,los especialistas en estadstica pueden calcular el error estndar exacto para calcular intervalos de es-timacin sp, usando la frmula:

sp se 1 1ndonde X0 es el valor especfico de X para el que deseamos predecir el valor de Y.

Observe que si usamos esta frmula, sp ser diferente para cada valor de X0. En particular, si X0est lejos de X , entonces sp ser grande, porque (X X )2 ser grande. Si, por otra parte, X0 est cer-ca de X, y n es moderadamente grande (mayor que 10), entonces sp estar cerca de se. Esto sucedeporque 1/n es pequeo y (X0 X )2 tambin lo es. Por tanto, el valor dentro de la raz cuadrada escercano a 1, la raz cuadrada es an ms cercana a 1 y sp, estar muy cerca de se. Esto justifica nues-tra utilizacin de se para calcular intervalos de estimacin aproximados.

(X0 X)2X2 nX2

Un ejemplo del usode la distribucin tpara calcular intervalos de confianza para la estimacin

Utilizacin de la dis-tribucin t para inter-valos de confianzapara la estimacin

n es demasiado pe-quea para usar ladistribucin normal


Ejercicios 12.2


EA 12-2 Para el siguiente conjunto de datos:a) dibuje un diagrama de dispersin,b) desarrolle la ecuacin de estimacin que mejor describa los datos,c) pronostique Y para X 10, 15, 20.

X 13 16 14 11 17 9 13 17 18 12Y 6.2 8.6 7.2 4.5 9.0 3.5 6.5 9.3 9.5 5.7

EA 12-3 A menudo, quienes hacen la contabilidad de costos estiman los gastos generales con base en el nivel deproduccin. En Standard Knitting Co. han reunido informacin acerca de los gastos generales y las uni-dades producidas en diferentes plantas, y ahora desean estimar una ecuacin de regresin para predecirlos gastos generales futuros.

Gastos generales 191 170 272 155 280 173 234 116 153 178Unidades 40 42 53 35 56 39 48 30 37 40

a) Desarrolle una ecuacin de regresin para contabilidad de costos.b) Pronostique los gastos generales cuando se producen 50 unidades.c) Calcule el error estndar de la estimacin.

Conceptos bsicos

12-13 Para los siguientes datos:a) trace un diagrama de dispersin,b) desarrolle la ecuacin de estimacin que mejor describa los datos,c) pronostique Y para X 6, 13.4, 20.5.

X 2.70 4.80 5.6 18.40 19.60 21.5 18.70 14.3Y 16.66 16.92 22.3 71.80 80.88 81.4 77.46 48.7

X 11.60 10.90 18.4 19.70 12.30 6.8 13.80Y 50.48 47.82 71.5 81.26 50.10 39.4 52.80

12-14 Usando los datos dados a continuacin,a) trace el diagrama de dispersin,b) desarrolle la ecuacin de estimacin que mejor describa los datos,c) pronostique Y para X 5, 6, 7.

X 16 6 10 5 12 14Y 4.4 8.0 2.1 8.7 0.1 2.9

12-15 Dado el siguiente conjunto de datos:a) encuentre la lnea de mejor ajuste,


Sugerencia: antes de dedicar tiempo alclculo de una recta de regresin paraun conjunto de datos, tiene sentido dibu-jar un diagrama de dispersin para esos

puntos. Esto permite investigar los puntos distantes porquequiz algunos datos no representen el problema que se de-sea resolver. Por ejemplo, el gerente de una cadena de res-taurantes cerca de la universidad, quien quiere examinar lahiptesis de que las ventas a la hora del almuerzo bajan en

das calurosos, puede encontrar que los datos reunidos du-rante vacaciones y das festivos distorsionan una regresinque de otra manera sera til. No pierda de vista que es pe-ligroso escoger entre los datos slo porque se ajusten ono a una idea preconcebida de cul debe ser la conclusin.En el anlisis de regresin, la seleccin cuidadosa y el usoconsistente de la mejor base de datos lleva a la ecuacin deestimacin ms valiosa.

SUGERENCIASY

SUPOSICIONES

b) calcule el error estndar de la estimacin,c) encuentre un intervalo de la estimacin aproximada (con el 95% de nivel de confianza) para la varia-

ble dependiente dado que X es 44.X 56 48 42 58 40 39 50Y 45 38.5 34.5 46.1 33.3 32.1 40.4

Aplicaciones

12-16 Las ventas de lnea blanca varan segn el estado del mercado de casas nuevas: cuando las ventas de ca-sas nuevas son buenas, tambin lo son las de lavaplatos, lavadoras de ropa, secadoras y refrigeradores.Una asociacin de comercio compil los siguientes datos histricos (en miles de unidades) de las ventasde lnea blanca y la construccin de casas.

Construccin de Ventas de lneacasas (miles) blanca (miles)

2.0 05.00 2.5 05.50 3.2 06.00 3.6 07.00 3.3 07.20 4.0 07.7

4.2 08.44.6 09.04.8 09.75.0 10.0

a) Desarrolle una ecuacin para la relacin entre las ventas de lnea blanca (en miles) y la construccinde casas (en miles).

b) Interprete la pendiente de la recta de regresin.c) Calcule e interprete el error estndar de la estimacin.d) La construccin de casas durante el ao prximo puede ser mayor que el intervalo registrado; se han

pronosticado estimaciones hasta de 8.0 millones de unidades. Calcule un intervalo de prediccin de90% de confianza para las ventas de lnea blanca, con base en los datos anteriores y el nuevo prons-tico de construccin de casas.

12-17 Durante partidos recientes de tenis, Diane ha observado que sus lanzamientos no han sido eficaces, puessus oponentes le han regresado algunos de ellos. Algunas de las personas con las que juega son bastantealtas, as que se pregunta si la estatura de su contrincante podra explicar el nmero de lanzamientos noregresados durante un partido. Los siguientes datos se sacaron de cinco partidos recientes.

Estatura del oponente (H ) Lanzamientos no regresados (L)

5.0 95.5 66.0 36.5 05.0 7

a) Cul es la variable dependiente? b) Cul es la ecuacin de estimacin de mnimos cuadrados para estos datos? c) Cul es su mejor estimacin del nmero de lanzamientos no regresados en su partido de maana con

un oponente de 5.9 pies de estatura? 12-18 Un estudio elaborado por el Departamento de Transporte de Atlanta, Georgia, acerca del efecto de los pre-

cios de boletos de autobs sobre el nmero de pasajeros produjo los siguientes resultados:Precio del boleto (centavos) 25 30 35 40 45 50 55 60Pasajeros por 100 millas 800 780 780 660 640 600 620 620

a) Grafique estos datos.b) Desarrolle la ecuacin de estimacin que mejor describa estos datos.


c) Pronostique el nmero de pasajeros/100 millas si el precio del boleto fuera de 50 centavos. Utilice unintervalo de prediccin del 95% de aproximacin.

12-19 William C. Andrews, consultor de comportamiento organizacional de Victory Motorcycles, ha diseadouna prueba para mostrar a los supervisores de la compaa los peligros de sobrevigilar a sus trabajadores.Un trabajador de la lnea de ensamble tiene a su cargo una serie de tareas complicadas. Durante el desem-peo del trabajador, un inspector lo interrumpe constantemente para ayudarlo a terminar las tareas. El tra-bajador, despus de terminar su trabajo, recibe una prueba sicolgica diseada para medir la hostilidaddel trabajador hacia la autoridad (una alta puntuacin implica una hostilidad baja). A ocho distintos tra-bajadores se les asignaron las tareas y luego se les interrumpi para darles instrucciones tiles un nme-ro variable de veces (lnea X). Sus calificaciones en la prueba de hostilidad se dan en el rengln Y.

X (nmero interrupciones al trabajador) 5 10 10 15 15 20 20 25Y (calificacin del trabajador en la prueba de hostilidad) 58 41 45 27 26 12 16 3

a) Grafique estos datos.b) Desarrolle la ecuacin que mejor describa la relacin entre el nmero de interrupciones y la califica-

cin de la prueba.c) Pronostique la calificacin esperada de la prueba si el trabajador es interrumpido 18 veces.

12-20 El editor en jefe de un importante peridico metropolitano ha intentado convencer al dueo para que me-jore las condiciones de trabajo en la imprenta. Est convencido de que, cuando trabajan las prensas, el gra-do de ruido crea niveles no saludables de tensin y ansiedad. Recientemente hizo que un siclogo reali-zara una prueba durante la cual situaron a los prensistas en cuartos con niveles variables de ruido y luegoles hicieron otra prueba para medir niveles de humor y ansiedad. La siguiente tabla muestra el ndice desu grado de ansiedad o nerviosismo y el nivel de ruido al que se vieron expuestos (1.0 es bajo y 10.0 esalto).

Nivel de ruido 4 3 1 2 6 7 2 3Grado de ansiedad 39 38 16 18 41 45 25 38

a) Grafique estos datos.b) Desarrolle una ecuacin de estimacin que describa los datos.c) Pronostique el grado de ansiedad que podramos esperar cuando el nivel de ruido es 5.

12-21 Una compaa administra a sus vendedores en capacitacin una prueba de ventas antes de salir a trabajar.La administracin de la compaa est interesada en determinar la relacin entre las calificaciones de laprueba y las ventas logradas por esos vendedores al final de un ao de trabajo. Se recolectaron los siguien-tes datos de 10 agentes de ventas que han estado en el campo un ao.

Nm. de vendedor Calif. de la prueba (T ) Nm. de unidades vendidas (S)

1 2.6 952 3.7 1403 2.4 854 4.5 1805 2.6 1006 5.0 1957 2.8 1158 3.0 1369 4.0 175

10 3.4 150

a) Encuentre la recta de regresin de mnimos cuadrados que podra usarse para predecir las ventas a par-tir de las calificaciones en la prueba de capacitacin.

b) En cunto se incrementa el nmero esperado de unidades vendidas por cada incremento de 1 puntoen una calificacin de la prueba?

c) Utilice la recta de regresin de mnimos cuadrados para predecir el nmero de unidades que venderaun capacitando que obtuvo una calificacin promedio en la prueba.

12-22 El consejo municipal de la ciudad de Bowie, Maryland, ha recabado datos del nmero de accidentes meno-res de trfico y el nmero de partidos de ftbol de jvenes que tienen lugar en la ciudad el fin de semana.

X (partidos de ftbol) 20 30 10 12 15 25 34Y (accidentes menores) 6 9 4 5 7 8 9


a) Grafique estos datos.b) Desarrolle la ecuacin de estimacin que mejor describa estos datos.c) Pronostique el nmero de accidentes menores de trfico que ocurrirn en un fin de semana durante el

cual tendrn lugar 33 partidos de ftbol en Bowie.d) Calcule el error estndar de la estimacin.

12-23 En economa, la funcin de demanda de un producto a menudo se estima mediante una regresin de lacantidad vendida (Q) sobre el precio (P). La compaa Bamsy est tratando de estimar la funcin de de-manda para su nueva mueca Maam, y ha recabado los siguientes datos:

P 20.0 17.5 16.0 14.0 12.05 10.0 8.0 6.5Q 125 156 183 190 212 238 250 276

a) Grafique estos datos.b) Calcule la recta de regresin de mnimos cuadrados.c) Trace la recta de regresin ajustada en su grfica del inciso a).

12-24 Una compaa fabricante de llantas est interesada en eliminar contaminantes de los tubos de emisin desu fbrica y el costo es una preocupacin. La compaa ha recolectado datos de otras compaas respec-to al monto gastado en medidas ambientales y la cantidad de contaminantes eliminada que result (comoporcentaje de la emisin total).

Dinero gastado (miles de dlares) 8.4 10.2 16.5 21.7 9.4 8.3 11.5Porcentaje de contaminantes 35.9 31.8 24.7 25.2 36.8 35.8 33.4

Dinero gastado (miles de dlares) 18.4 16.7 19.3 28.4 4.7 12.3Porcentaje de contaminantes 25.4 31.4 27.4 15.8 31.5 28.9

a) Calcule la ecuacin de regresin.b) Pronostique el porcentaje de contaminantes eliminados si se gastan $20,000 en medidas de control.c) Calcule el error estndar de la estimacin.

Soluciones a los ejercicios de autoevaluacin

EA 12-2 a)


10

8

8 10 12 14 16 18

6

4

2

b) X Y XY X2

13 6.2 80.6 16916 8.6 137.6 25614 7.2 100.8 19611 4.5 49.5 12117 9.0 153.0 2899 3.5 31.5 81

13 6.5 84.5 16917 9.3 158.1 28918 9.5 171.0 324

012 05.7 00068.4 00144X 140 Y 70.0 XY 1,035.0 X2 2,038

a) X Y XY X2 Y2

40 191 7,640 1,600 36,48142 170 7,140 1,764 28,90053 272 14,416 2,809 73,98435 155 5,425 1,225 24,02556 280 15,680 3,136 78,40039 173 6,747 1,521 29,92948 234 11,232 2,304 54,75630 116 3,480 900 13,45637 153 5,661 1,369 23,40940 178 7,120 1,600 31,684

X 420 X1,922 XY 84,541 X2 18,228 Y2 395,024

X 42 Y 192.2

b 6.4915

a Y bX 192.2 6.4915(42) 80.4430Entonces, Y 80.4430 6.4915X (con software: Y 80.4428 6.4915X).

b) Y 80.4430 6.4915(50) 244.1320

c) se 10.2320

12.3 Anlisis de correlacinEl anlisis de correlacin es la herramienta estadstica que podemos usar para describir el gra-do en el que una variable est linealmente relacionada con otra. Con frecuencia, el anlisis de co-rrelacin se utiliza junto con el de regresin para medir qu tan bien la lnea de regresin explica loscambios de la variable dependiente, Y. Sin embargo, la correlacin tambin se puede usar sola paramedir el grado de asociacin entre dos variables.

Qu hace el anlisisde correlacin

395,024 (80.4430)(1,922) 6.4915(84,541)

8

Y2 aY bXY

n 2

84,541 10(42)(192.2)

18,228 10(42)2XY nXYX2 nX2

1,922

1042010

X 140/10 14 Y 70.0/10 7.0

b 0.7051

a Y bX 7.0 (0.7051)(14) 2.8714Entonces, Y 2.8714 0.7051X. Si usa un paquete de regresin de computadora para hacer losclculos, es posible que obtenga

Y 2.8718 0.7051XEsta pequea diferencia ocurre porque la mayora de los paquetes de software hacen sus clculos conms de diez lugares decimales, y aqu se redonde b antes de calcular a. Para casi todas las situacio-nes prcticas, esta pequea diferencia (es decir, a 2.8724 en lugar de 2.8718) es intrascendente.

c) X 10, Y 2.8714 0.7051(10) 4.1796X 15, Y 2.8714 0.7051(15) 7.7051X 20, Y 2.8714 0.7051(20) 11.2306

EA 12-3 En este problema, Y gastos generales y X unidades producidas.

1,035.0 10(14)(7.0)

2,038 10(14)2XY nXYYX2 nX2

12.3 Anlisis de correlacin 535

Los estadsticos han desarrollado dos medidas para describir la correlacin entre dos variables: elcoeficiente de determinacin y el coeficiente de correlacin. Presentar estas dos medidas de asocia-cin es el objetivo de esta seccin.

El coeficiente de determinacinEl coeficiente de determinacin es la principal forma en que podemos medir el grado, o fuerza, dela asociacin que existe entre dos variables, X y Y. Debido a que usamos una muestra de puntos pa-ra desarrollar rectas de regresin, nos referimos a esta medida como el coeficiente de determinacinmuestral.

El coeficiente de determinacin muestral se deriva de la relacin entre dos tipos de variacin: lavariacin de los valores Y en un conjunto de datos alrededor de

1. la recta de regresin ajustada;2. su propia media.

El trmino variacin en estos dos casos se utiliza en su sentido estadstico usual para expresar lasuma de los cuadrados de un grupo de desviaciones. Usando esta definicin, entonces, es razona-ble expresar la variacin de los valores Y alrededor de la recta de regresin con esta ecuacin:

Desarrollo del coefi-ciente de determina-cin muestral

Dos medidas quedescriben la correla-cin


Variacin de los valores de Y alrededor de la recta de regresin

Variacin de los valores de Y alrededor de la recta de regresin (Y Y)2 [12-8]

Variacin de los valores de Y alrededor de su propia media

Variacin de los valores de Y alrededor de su propia media (Y Y)2 [12-9]

Coeficiente de determinacin muestral

r2 1 [12-10]

(Y Y)2(Y Y)2

La segunda variacin, la de los valores de Y alrededor de su propia media, est determinada por:

Uno menos la razn entre estas dos variaciones es el coeficiente de determinacin muestral, que sedenota por r2:

Las siguientes dos secciones mostrarn que r2, segn la definicin de la ecuacin 12-10, es una me-dida del grado de asociacin lineal entre X y Y.

Una interpretacin intuitiva de r 2

Considere las dos formas extremas en las que las variables X y Y pueden relacionarse. En la tabla12-13, cada valor observado de Y cae en la lnea de estimacin, como puede verse en la figura 12-13.sta es una correlacin perfecta.

La ecuacin de estimacin apropiada para estos datos es fcil de determinar. Dado que la recta deregresin pasa por el origen, sabemos que la ordenada Y es cero; como Y se incrementa en 4 cadavez que X se incrementa en 1, la pendiente debe ser igual a 4. Por tanto, la recta de regresin es:

Y 4X

Ecuacin de estima-cin apropiada paraun ejemplo de corre-lacin perfecta

Ahora, para establecer el coeficiente de determinacin de la muestra para la recta de regresin dela figura 12-13, primero calculamos el numerador de la fraccin en la ecuacin 12-10:

Variacin de los valores de Y alrededor de la recta de regresin (Y Y )2 [12-8] (0)2 0

Como cada valor de Y est sobre la recta de regresin, la diferencia

entre Y y Y es cero en cada caso

Entonces podemos encontrar el denominador de la fraccin:

Variacin de los valores de Y alrededorde su propia media (Y Y)2 [12-9]

(14 18)2 (14)2 196 (18 18)2 (10)2 100 (12 18)2 (16)2 136 (16 18)2 (12)2 194 (20 18)2 (12)2 194 (24 18)2 (16)2 136 (28 18)2 (10)2 100 (32 18)2 (14)2 196

672 (Y Y)2

Desarrollo del coefi-ciente de determina-cin de la muestra pa-ra el ejemplo de unacorrelacin perfecta


Ilustracin de una corre-lacin perfecta entre dosvariables, X y Y

Tabla 12-13 Punto de datos Valor de X Valor de Y

1st 1 42nd 2 83rd 3 124th 4 165th 5 206th 6 24 Y

14

8

4 18 Media de los valores de Y

7th 7 288th 8 032

Y 144

0 1 2 3 4 5 6 7 80

4

8

12

16

20

24

28

32

Y

X

Y = 18

Y = 4X^

FIGURA 12-13

Correlacin perfec-ta entre X y Y:todos los puntoscaen en la recta de regresin

Al sustituir estos valores en la ecuacin 12-10, podemos encontrar que el coeficiente de determina-cin de la muestra es igual a 1:

r2 1 [12-10]

1

1 0 1 Coeficiente de determinacin de la

muestra cuando hay una correlacin perfecta

De hecho, r2 es igual a l siempre que la recta de regresin sea un estimador perfecto.Una segunda forma extrema en que las variables X y Y pueden relacionarse es aquella donde los

puntos podran caer a distancias iguales en ambos lados de una lnea de regresin horizontal, como seve en la figura 12-14. Este conjunto de datos consiste en los ocho puntos registrados en la tabla 12-14.

En la figura 12-14, podemos ver que la recta de regresin de mnimos cuadrados apropiada paraestos datos est dada por la ecuacin Y 9. La pendiente de la recta es cero, porque los mismos va-lores de Y aparecen para todos los valores de X. Tanto la ordenada Y como la media de los valores deY son iguales a 9.

Ahora calcularemos las dos variaciones usando las ecuaciones 12-8 y 12-9, para poder calcularel coeficiente de determinacin de la muestra para esta recta de regresin. Primero calculamos la va-riacin de los valores de Y alrededor de la lnea de estimacin Y 9:

Clculo del coeficientede determinacin dela muestra para lacorrelacin cero

0672

(Y Y )2(Y Y)2


1 2 3 4 5 6 7 8

2

4

6

8

10

12

Y

X

Y = 9

Y = 9^

FIGURA 12-14

Correlacin ceroentre X y Y: losmismos valores de Y aparecen para distintos valo-res de X

Ilustracin de la corre-lacin cero entre dos variables, X y Y

Tabla 12-14 Dato puntual Valor de X Valor de Y

1 1 62 1 123 3 64 3 125 5 66 5 127 7 68 7 12

Y 72

Y 7

8

2

9 Media de los valores de Y

Variacin de los valores de Y alrededor de la recta de regresin (Y Y)2 [12-8]

(16 9)2 (3)2 9(12 9)2 (3)2 9(16 9)2 (3)2 9(12 9)2 (3)2 9(16 9)2 (3)2 9(12 9)2 (3)2 9(16 9)2 (3)2 9(12 9)2 (3)2 9

72 (Y Y )2

Variacin de los valores de Y alrededor de su propia media (Y Y)2 [12-9]

(16 9)2 (3)2 9(12 9)2 (3)2 9(16 9)2 (3)2 9(12 9)2 (3)2 9(16 9)2 (3)2 9(12 9)2 (3)2 9(16 9)2 (3)2 9(12 9)2 (3)2 9

72 (Y Y)2

Sustituyendo estos dos valores en la ecuacin 12-10, vemos que el coeficiente de determinacin dela muestra es 0:

r2 1 [12-10]

1 7722

1 1 0 coeficiente de determinacin de la

muestra cuando no hay correlacin

Por tanto, el valor de r2 es cero cuando no hay correlacin.En los problemas con que se topa la mayora de los responsables de la toma de decisiones, r2 cae-

r en alguna parte entre estos dos extremos de 1 y 0. Recuerde, no obstante, que r2 cercana a 1 indicauna fuerte correlacin entre X y Y, mientras que r2 cercana a 0 significa que existe poca correlacinentre estas dos variables.

Un punto que debemos resaltar es que r2 mide slo la fuerza de una relacin lineal entre dosvariables. Por ejemplo, si tuviramos muchos puntos X y Y, y todos cayeran en la circunferencia deun crculo, aunque dispersos aleatoriamente, claramente habra una relacin entre estos puntos (to-dos estn en el mismo crculo). Pero en este caso, si calculramos r2, resultara estar cerca de cero,porque los puntos no tienen una relacin lineal entre ellos.

Otra interpretacin de r2

Los estadsticos tambin interpretan el coeficiente de determinacin de la muestra viendo la canti-dad de la variacin en Y que se explica por la recta de regresin. Para entender este significado der

2, consideremos la recta de regresin de la figura 12-15. Aqu, separamos un valor observado de Y,

mostrado como el crculo negro superior. Si usamos la media de los valores de Y, Y, para estimar este

Otra forma de inter-pretar el coeficientede determinacin dela muestra

Interpretacin delos valores r 2

(Y Y)2(Y Y)2


valor de Y, del crculo negro, entonces la desviacin total de esta Y lejos de su media sera (Y Y).Observe que si usamos la recta de regresin para estimar este valor deY del crculo negro, obtendramosuna mejor estimacin. Sin embargo, aun cuando la recta de regresin justifica, o explica (Y Y) dela desviacin total, la porcin restante de la desviacin total (Y Y ) sigue sin explicarse.

Pero consideremos un conjunto completo de valores Y observados en vez de un solo valor. La va-riacin total, esto es, la suma de los cuadrados de las desviaciones totales, de estos puntos alrededorde su media sera:

(Y Y)2 [12-9]y la porcin explicada de la variacin total, o la suma de los cuadrados de las desviaciones explica-das de estos puntos alrededor de su media, sera:

(Y Y)2La porcin no explicada de la variacin total (la suma de los cuadrados de las desviaciones no ex-plicadas) de estos puntos respecto a su recta de regresin sera:

(Y Y )2 [12-8]Si deseamos expresar la fraccin de la variacin total que queda no explicada, dividiramos la varia-cin no explicada, (Y Y )2, entre la variacin total, (Y Y)2, de la siguiente manera:

Fraccin de la variacin total no explicada

y, finalmente, si restamos de 1 la fraccin de la variacin total que sigue no explicada, tendremos lafrmula para encontrar la fraccin de la variacin total de Y que es explicada por la recta de regre-sin. Esa frmula es:

r2 1 [12-10]

la misma ecuacin que usamos para calcular r2. Es en este sentido que r2 mide qu tan bien X expli-ca Y, esto es, el grado de asociacin entre X y Y.

Una observacin final respecto al clculo de r2. Para obtener r2 usando las ecuaciones 12-8, 12-9y 12-10, se requiere una serie de clculos tediosos; para evitarlos, los estadsticos han desarrolladouna versin abreviada, usando valores que habramos determinado de antemano en el anlisis de re-gresin. La frmula es:

Mtodo abreviadopara calcular r2

(Y Y )2(Y Y)2

(Y Y )2(Y Y)2

Variacin explicada

y no explicada


Desviacin explicaday no explicada

Y

X

Un valor observado de la variabledependiente (Y )

Desviacin total de esta Y de su media Y (Y Y )

Lnea de r

egresin

(Y )

Desviacin no explicada de esta Y, de su media Y (Y Y )^

Desviacin explicada deesta Y, de su media Y (Y Y )^Y

Valor estimado de esta Ypor la recta de regresin (Y )^

^

FIGURA 12-15

Desviacin total,desviacin expli-cada y desviacinno explicada paraun valor observadode Y

Mtodo abreviado para obtener el coeficiente de determinacin de la muestra

r2 calculada por el mtodo corto r2 [12-11]aY bXY nY2

Y2 nY2

donde,

r2 coeficiente de determinacin de la muestra a ordenada Y b pendiente de la lnea de estimacin de mejor ajuste n nmero de puntos de datos X valores de la variable independiente Y valores de la variable dependiente Y media de los valores observados de la variable dependiente

Para ver por qu esta frmula constituye un mtodo abreviado, la aplicaremos a la regresin que re-laciona los gastos de investigacin y desarrollo con las ganancias. En la tabla 12-15, repetimos lascolumnas de la tabla 12-9, aadiendo una columna Y2. Recuerde que cuando encontramos los valo-res para a y b, la recta de regresin para este problema era:

Y 20 2X

Usando esta recta y la informacin de la tabla 12-15, podemos calcular r2 de la siguiente manera:

r2 [12-11]

0.826 Coeficiente de determinacin de la muestra

As, podemos concluir que la variacin en los gastos de investigacin y desarrollo (la variable inde-pendiente X) explica el 82.6% de la variacin en las ganancias anuales (la variable dependiente Y).

Interpretacin de r 2

200242

3,600 2,000 5,4005,642 5,400

(20)(180) (2)(1,000) (6)(30)25,642 (6)(30)2

aY bXY nY2

Y2 nY2

Aplicacin del mtodo abreviado


Clculo de los datos para la ecuacin 12-11

Tabla 12-15 Ganacia

Ao Gastos de anual

(n 6) ID (X) (Y) XY X2 Y2

(1) (2) (3) (2) (3) (2)2 (3)2

1995 5 31 155 25 961

1994 11 40 440 121 1,600

1993 4 30 120 16 900

1992 5 34 170 25 1,156

1991 3 25 75 9 625

1990 02 020 0,040 004 0 ,400

X 30 Y 180 XY 1,000 X2 200 Y2 5,642

Y 1860


El coeficiente de correlacinEl coeficiente de correlacin es la segunda medida que podemos usar para describir qu tan bien ex-plica una variable a otra. Cuando tratamos con muestras, el coeficiente de correlacin de la muestrase denota por r y es la raz cuadrada del coeficiente de determinacin de muestra:

Coeficiente de corre-lacin de la muestra


Y

X

(a) r 2 = 1 y r = 1

La pendiente es positiva

Y

X

(b) r 2 = 1 y r = 1

La pendiente es negativa

Y

X

(c) r 2 = 0.81 y r = 0.9

La pendiente es positiva

Y

X

(d) r 2 = 0.81 y r = 0.9

La pendiente es negativa

Y

X

(e) r 2 = 0 y r = 0

Pendiente = 0

Y = YFIGURA 12-16

Varias caracters-ticas de r, el coefi-ciente de correla-cin de la muestra

Coeficiente de correlacin de la muestra

r r 2 [12-12]

Cuando la pendiente de la ecuacin de estimacin es positiva, r es la raz cuadrada positiva, pero sib es negativa, r es la raz cuadrada negativa. Entonces, el signo de r indica la direccin de la rela-cin entre las dos variables X y Y. Si existe una relacin inversa esto es, si Y disminuye al au-mentar X, entonces r caer entre 0 y 1. De manera similar, si existe una relacin directa (si Yaumenta al aumentar X), entonces r ser un valor en el intervalo de 0 a 1. La figura 12-16 ilustra es-tas caractersticas de r.

El coeficiente de correlacin es ms difcil de interpretar que r2. Qu significa r 0.9? Para res-ponder esta pregunta, debemos recordar que r 0.9 es lo mismo que r2 0.81. Esto ltimo nos diceque el 81% de la variacin en Y es explicada por la recta de regresin. De esta forma, vemos que res slo la raz cuadrada de r2, y su significado es qu tanto se relacionan las variables x y y. Por loque r 0.9 significa que el 90% de los datos se relacionan entre s.

Ahora encontremos el coeficiente de correlacin del problema que relaciona gastos de investiga-cin y desarrollo con ganancias anuales. En la seccin anterior, encontramos que el coeficiente dedeterminacin de la muestra es r2 0.826, de manera que podemos sustituir este valor en la ecua-cin 12-12 y encontrar que

r r 2 [12-12] 0.826 0.909 Coeficiente de correlacin de la muestra

La relacin entre las dos variables es directa y la pendiente es positiva; por tanto, el signo de r es po-sitivo.

Clculo de r para elproblema de investi-gacin y desarrollo

Interpretacin de r

Ejercicios 12.3


EA 12-4 Las libreras de la universidad han vendido el libro Believe or Not: Wonders of Statistics Guide durante12 semestres y desean estimar la relacin entre las ventas y el nmero de secciones de estadstica elemen-tal que se ensean en cada semestre. Se recolectaron los siguientes datos:

Ventas (unidades) 33 38 24 61 52 45

Nmero de secciones 3 7 6 6 10 12

Ventas (unidades) 65 82 29 63 50 79

Nmero de secciones 12 13 12 13 14 15

a) Desarrolle la ecuacin de estimacin que mejor se ajuste a los datos.b) Calcule el coeficiente de determinacin de la muestra y el coeficiente de correlacin de la muestra.

EA 12-5 Calcule el coeficiente de determinacin de la muestra y el coeficiente de correlacin de la muestra paralos datos del ejercicio EA 12-3.

Conceptos bsicos

12-25 Qu tipo de correlacin (positiva, negativa o cero) debe esperarse de estas variaciones?a) Habilidad de los supervisores y produccin de sus subordinados.b) Edad en el primer trabajo de tiempo completo y aos de educacin.c) Peso y presin sangunea.d) Promedio general en la universidad y estatura del estudiante.En los siguientes ejercicios, calcule el coeficiente de determinacin de la muestra y el coeficiente de co-rrelacin para los ejercicios especificados.

12-26 Calcule el coeficiente de determinacin de la muestra y el coeficiente de correlacin para los datos delejercicio 12-17.

12-27 Calcule el coeficiente de determinacin de la muestra y el coeficiente de correlacin para los datos dele

Cap 12 y 13 Levin y Rubin

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