FUNCIONES I

Definicin

Una relacin f de A en B denotada por f: A B es una funcin si y slo si a cada elemento x ( A, le corresponda un nico elemento y(B a travs de f.

Simblicamente:

f : { (x;y) ( AxB / y = f(x)

Dicho de otra manera, si f es una relacin entre dos conjuntos A y B, diremos que f es una funcin si se verifica las siguientes condiciones:

1ra. f ( AxB

2da. Si: (x;y) ( f ( (x;z) ( f ( y = z

Grficamente una funcin debe guardar siempre un principio:

Si una recta imaginaria paralela al eje y, corta a su grfica en un solo punto, entonces se podr afirmar que es una funcin. De lo contrario no ser una funcin.

Ejemplo:

Dado los conjuntos:

A = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 }

B = { 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 }

Hallar:

a) f = { (x;y) ( AxB / y = x+1 }

b) Dom(f) y Ran(f)

c) Representar la funcin mediante un diagrama sagital.

Solucin:

a) La funcin f es un conjunto de pares ordenados (x;y) donde x(A ( y(B que satisfacen la igualdad: y=x+1.

Hallamos dichos pares ordenados, tabulando:

x

y = x+1

Pares ordenados

2

y = 2 + 1 = 3 ( B

(2;3) ( f

4

y = 4 + 1 = 5 ( B

(4;5) ( f

6

y = 6 + 1 = 7 ( B

(6;7) ( f

8

y = 8 + 1 = 9 ( B

(8;9) ( f

( f = { (2;3) , (4;5) , (6;7) }

Donde:

A: es el conjunto de partida

B: es el conjunto de llegada

Y = f(x) : es la regla de correspondencia

Dom(f) : es el dominio de f

Ran(f) : es el rango de f

b) Dom(f) = { 2 ; 4 : 6 }

Ran(f) = { 3 ; 5 ; 7 }

c) Diagrama sagital:

Regla de Correspondencia

Para que se pueda definir bien una funcin es suficiente conocer su dominio (Df) , y una regla que permita asignar para cualquier x Df , su imagen F(x).

Ejemplo:

Hallar el dominio en las siguientes funciones:

a) F = { (2;3) , (4;5) , (6;3) , (2;a) }

Df = { 2 ; 4 ; 6 ; -2 }

b) F(x) =

x2

-

Df : x 2 ( 0 ; x ( 2 ( Df = [2;+(>

c) F(x) =

x23

x5x3

-

+

+-

Df :

x-2

0x30

x+5

-

Df : U [2;+(> - {3}

Ejemplo:

Hallar el rango de las siguientes funciones:

a) F = { (2;3) , (4;6) , (5;7) , (7;6) , (-2;3) }

Rf = {3;6;7}

a) Sea: F(x) = x2

{

}

2

x

yx

y3

+

=

; Df = < -(;+( > ; Rf = [0;+(>

Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las ms conocidas.

- Cuando tenemos una funcin donde su dominio no presenta rango, se despeja en funcin de y

- Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desigualdades.

b) Para la funcin definida por:

g(x) = 2x2 + 3x + 2 ; x R

Solucin: y = 2x2 + 3x + 2 ( 2x2 + 3x + (2-y) = 0

394(2)(2y)

x

2(2)

---

=

Si: x R; luego y tambin R

Pero: ( ( 0 ; 9 8(2-y) ( 0 ( y ( 7/8 ( Rg = [7/8;+>

c) Para la funcin definida por: H(x) = x2 4x + 7 ; x [2;3]

Solucin:

y = x2 4x + 7 ( y = (x-2)2 + 3

2

x

3 ( 0

x 2

1

Al cuadrado:

0

(x-2)2

1

mas de tres:

3

(x-2)2 + 3

4

3

y

4

Rh = [ 3 ; 4 ]

d) Para la funcin:

2

(x)

2

x

F

x1

=

+

Solucin:

2

222

2

2

x

yyxyxx(y1)y

x1

yyyy

x00

1y1y1yy1

=+=-=-

+

=

----

( y [0;1> ( Rf = [ 0 ; 1 >

PROBLEMAS

BLOQUE I

01.- Si el conjunto:

F = { (1;7a+3b) , (-2 ; 3a+2b) , (-2 ; -2) , (1 ; -8) , (a+b ; 4) }

Es una funcin, hallar a2 + b2

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

02.- Hallar el dominio de la funcin:

F(x) = x + 9

a) R {9}b) R {-9}c) Rd) R {0} e) R+

03.- Hallar el dominio de la funcin:

F(x) = 3x2 + 2x + 1

a) R {3}b) R {2}c) R {1}d) R e) R-

04.- Hallar el dominio de la funcin:

F(x) = (x+1)2 + (x-1)2

a) R {1}b) R {-1}c) Rd) R+ e) R-

05.- Hallar el rango en:

3x2

N(x)

x4

+

=

+

a) y R {4}b) y R {-4}

c) y R {3}d) y Re) y R {-3}

06.- Hallar el rango en:

x2

M(x)

x8

+

=

+

a) y R {8}b) y R {-8}

c) y R {1}d) R+ e) R-

07.- Calcular el rango de:

F(x) =

x+5

a) [5; +>b) [-5; +>c) [0; +>d) [2; +>e) [-3+>

08.- Hallar el dominio de:

42

(x)

F=x2x2

++

a) R+ b) R-c) R {2}d) Re) R {-2}

09.- Hallar el dominio de:

(x)

F=x+94

+

a) x R+b) x R-1c) x Rd) x [9; +>

e) x [-9; +>

10.- Cules de las siguientes relaciones dadas son pares ordenados, son funciones?

R1 = { (a;x) , (b;x) . (c;y) }

R2 = { (a;x) , (a;y) . (b;x) }

R3 = { (a;x) , (b;y) . (c;z) }

a) Slo R1 b) Slo R2c) Slo R3 d) R1 y R2e) R1 y R3

BLOQUE II

01.- Hallar el dominio de la funcin f definida en R por:

(x)

x

F3

2

=-+

a) x R+ b) x R- c) x Rd) R {2}e) R {-2}

02.- Hallar el rango de la funcin f definida en R por:

(x)

x

F3

2

=-

a) x R+ b) x R- c) x Rd) R {2}e) R {-2}

03.- Hallar el dominio de la funcin f definida por:

(x)

yFx5

==+

en el conjunto N,

a) {0; 2; 3; 4;..}

b) {0; 1; 2; 3;..}

c) {2; 3; 4;..}

d) {2; 4; 6;..}

e) {3; 5; 7;..}

04.- Hallar el dominio de la funcin f definida por:

(x)

yFx5

==+

en el conjunto Z,

a) x Rb) Zc) R {5}d) Z {5}

e) Z {-5}

05.- Cul es el rango de la funcin:

F = { (1;3) , (2;5) , (1;a-1) , (2;b+2) , (a;b) , (2b;a) } ?

Seale la suma de sus elementos.

a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18

06.- Reconocer el rango de la funcin:

F = { (2;a) , (2;3a-4) , (3;a-1) , (4;a2) } ?

a) {3; 6; 9}b) {1; 2; 4}c) {0; 2; 4}d) {3; 5; 7}e) {2; 4; 6}

07.- El dominio de la funcin: F(x) = x2

es [-1; 1]. Determinar el rango de f.

a) [-1;1]b) [-1; 0]c) [0;1]d) [1;2]e) [1;4]

08.- Cul es el valor mnimo del rango de la funcin:

g(x) = x2 + 3 ?

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

09.- Cul es el valor mximo del rango de la funcin:

h(x) = 10 - x2 ?

a) 0b) 3c) d) 1e) 10

10.- El dominio de la funcin:

(x)

2

x1

F=

x1

-

+

a) [-1;0]b) [0;1]c) [0;2]d) [-2;0]e) [-1;1]

BLOQUE III

01.- Determinar el rango de la funcin:

F(x) = |x-2| + |x+3|

a) [-5;5]b) [1; +>c) [5; +>d) e) [0; +>

02.- Si:

(x)

F=x-2x

+

Calcular el dominio de dicha funcin.

a) b) [-2;2]c) [-2; +>d) [2; +>e) c) b) c) [-1;1]d) e) R+

07.- Si: F(x) = x2 4x + 2 y x .Hallar el dominio.

a) Rb) R+c) [-1;4]d) e)

08.- Hallar el dominio de:

(x)

F= x+x

a) [0; +>b) Rc) R+d) R {0}e) [0;1]

09.- Calcular su rango:

2

(x)

F= x9

-

a) [0; +>b) c) Rd) R+ e) R-

10.- Hallar el dominio

(x)

2

2x

F=

x9

-

a) R+ b) R- c) [-3;0]U[3;+> d)