Cap 03-2008 tamano 10 20 10 2011

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CAPÍTULO 3

DESCUENTO SIMPLE

3.1 SIMBOLOGÍA

D: Descuento Bancario

:r

D Descuento racional o matemático

i: Tasa de interés

d: Tasa de descuento

P: Valor Líquido o Valor Efectivo

S: Valor Nominal

n: Tiempo

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MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB32

3.2 INTRODUCCIÓN Y DEFINICIONES

El descuento es una transacción financiera, mediante la cual, un pagaré (unaobligación) que tiene un valor nominal a su fecha de vencimiento, es negociada en

una fecha anterior, recibiendo a cambio un valor líquido. La diferencia entre el

valor al vencimiento y el valor líquido que se percibe, se denomina descuento.

Cuando los acreedores acuden a intermediarios financieros con la intención de percibir los cobros pendientes antes del vencimiento de los mismos, se produce un

descuento10

.

Si la operación se repite, se lo asigna el nombre de redescuento.

De manera general, la operación de descuento se genera cuando los acreedorestransfieren a los intermediarios financieros obligaciones por cobrar (pagarés, letras

de cambio), antes de las fechas de vencimiento.

Los bancos pueden “negociar letras de cambio, libranzas, pagarés, facturas y otros

documentos que representen obligación de pago creados por venta a crédito, así

como el anticipo de fondos con respaldo a los documentos referidos”; así como

“negociar títulos valores y descontar letras documentarias sobre el exterior, o

hacer adelantos sobre ellas”. (Art. 51 literales i) y j), de la Ley General de

Instituciones del Sistema Financiero).

Valor nominal (S): Es el valor estipulado en el pagaré (obligación). Si el pagaréno causa intereses, el valor nominal es el mismo valor de la obligación a la fecha

de vencimiento.

Valor efectivo o cantidad adelantada (P): Es el valor que se recibe luego dehaberse realizado una transacción de descuento.

10 JIMENEZ S. Y JIMENEZ B. Op. Cit. pág. 26

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DESCUENTO SIMPLE 33

3.3 DESCUENTO BANCARIO

3.3.1 DESCUENTOEl descuento bancario se determina sobre el valor nominal del documento (S),

aplicando una tasa de descuento bancario. La transacción se realiza en una fecha

anterior a la fecha de vencimiento de una obligación. Por lo tanto el tiempo, se

determina siguiendo los procedimientos analizados en el capítulo anterior, entre lafecha de vencimiento y la fecha de descuento.

D S n d [14] El descuento es la diferencia entre el valor nominal de la obligación y el valor

efectivo recibido al efectuar la transacción: D S P [15]

Determinar el descuento bancario de un pagaré con un valor nominal de 20000,

considerando la tasa de descuento del 22% anual, 3 meses antes de la fecha devencimiento.

Datos:S = 20000 d = 0.22

90

360n

9020000*0.22*

360 D

1100 D

Un pagaré de 32000 y vencimiento el 14 de febrero del 2009, es descontado el 8

de noviembre del 2008. Determinar el valor del descuento, si la tasa aplicada es

del 20% anual.

Determinación del número exacto de días, utilizando EXCEL:

Determinación del número exacto de días, utilizando MATLAB:>> days365('08-Nov-2008', '14-Feb-2009')

ans =98

Ejercicio 3.2

Ejercicio 3.1

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Descuento:Datos:

S = 32000 d = 0.20 98360

n

9832000 0.20

360 D

1742.22 D

3.3.2 VALOR NOMINAL

El valor de la obligación a la fecha de vencimiento se denomina valor nominal.

El valor nominal es la suma del valor efectivo con el descuento.

S P D [16] Reemplazando el valor de “D” por el segundo miembro de la fórmula [14]:S P S n d

S S n d P

(1 )S n d P

1 P S n d

( )

[17]

¿Cuál es el valor nominal del documento descontado, si el 6 de diciembre del2008, se recibió como valor efectivo la cantidad de 19000, conociéndose que la

institución financiera cobró el 18% y la fecha de vencimiento es el 16 de abril del

2009?


Determinación del número exacto de días, utilizando MATLAB:>> days365('06-Dec-2008', '16-Apr-2009')ans =

131

Datos:

P = 19000 d = 0.21131

360n

Ejercicio 3.3

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DESCUENTO SIMPLE 35

19000

1311 0.18

360

S

19000

0.9345S

20331.73S

¿Cuál es el valor nominal del documento que vence el 12 de marzo del 2009, si el

16 de diciembre del 2008 se descontó y se recibió como valor efectivo la cantidadde 40000, conociéndose que la institución financiera cobró la tasa del 16.5% de

descuento.


Datos:

P = 40000 d = 0.16586

360n

40000

861 *0.165

360

S

40000

0.960583S

41641.36S

3.3.3 VALOR EFECTIVO

Es el valor que se recibe al efectuarse una operación de descuento. Por lo tanto, el

valor efectivo es la diferencia entre el valor nominal y el descuento.

P S D [18] Si reemplazamos el descuento “D” por el segundo miembro de la fórmula [14]:

* P S S n d 1 P S n d ( ) [19]

A la misma fórmula del valor efectivo podemos llegar, si deducimos de la fórmula [17].

Ejercicio 3.4

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El 18 de noviembre 2008, el señor YZ descontó un pagaré por 100000, con

vencimiento el 10 de Abril del 2009, a la tasa de descuento bancario del 18%anual. Determinar el valor efectivo que recibió.

Determinación del número de días entre dos fechas, utilizando EXCEL:

Datos:

S = 100000 d = 0.18143

360n

143100000 1 0.18360

P

100000 0.9285 P 92850 P

El 4 de noviembre del 2008, se suscribió un pagaré por 25000, a 120 días a la tasa

de interés del 18% anual. El tenedor del pagaré descontó el 24 de diciembre delmismo año, a la tasa de descuento del 20%. Determinar el valor efectivo que

recibió.

Primero, determinamos el valor del pagaré a la fecha de vencimiento:

Datos:

P = 25000 i = 0.18120

360n

12025000 1 0.18360

S

25000 1.06S 26500S

Segundo, determinamos la fecha de vencimiento:

Ejercicio 3.5

Ejercicio 3.6

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DESCUENTO SIMPLE 37

Tercero, determinamos el valor efectivo, para lo cual requerimos determinar el

número de días:

7026500 1 0.20

360 P

26500 0.96111 P

25469.44 P

3.3.4 TASA DE DESCUENTO

La tasa de descuento, nos indica el número de unidades monetarias que se cobran

por cada 100 unidades descontadas.

Podemos despejar de la fórmula [14]: D

d

S n

[20]

O también de la fórmula [19]:

(1 ) P

n d S

1 P

n d S

P S n d

S

S P n d

S

S P d

S n

[21]

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Un pagaré por 50000, con vencimiento el 15 de febrero del 2009, fue descontado

el 22 de octubre del 2008, recibiéndose como valor efectivo la cantidad de 47800.

Determinar la tasa de descuento que pagó.

Datos:

P = 47800 S = 50000116

360n D = 2200

2200

11650000*360

d

0.1366d

Resolución utilizando Excel:

Ejercicio 3.7

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DESCUENTO SIMPLE 39

Un pagaré por 20000, con vencimiento el 18 de marzo del 2009, fue descontado el

29 de noviembre del 2008, recibiéndose como valor efectivo la cantidad de 18500.Determinar la tasa de descuento que pagó.

Datos:

P = 18500 S = 20000109

360n D = 1500

Ejercicio 3.8

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1500

10920000*

360

d

0.2477d

3.3.5 TIEMPODe la expresión anterior a la fórmula [21], en lugar de despejar d, despejamos n:

S P n

S d

[22]

Despejando de la ecuación [15]:

DnS d

[23]

De igual manera, que en el interés simple, cuando tenemos que determinar el

número de días entre dos fechas, lo utilizado de manera generalizada es la

determinación exacta. En el caso del denominador se utiliza el valor de 360.

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DESCUENTO SIMPLE 41

Un pagaré de 20000, que vence el 15 de febrero del 2009, fue descontado en una

institución financiera, que cobró la tasa de descuento del 22% anual, recibiéndose

como valor líquido la cantidad de 19000. Determinar la fecha de descuento.

Datos:

P =19000 S = 20000 d = 0.22 D = 10001000

20000 0.22

n

0.227272n Multiplicado por 360, nos da aproximadamente 82 días.

Por consiguiente, la fecha de descuento es el 25 de noviembre del 2008.

Un pagaré de 40000, que vence el 8 de abril del 2009, fue descontado en unainstitución financiera, que cobró la tasa de descuento del 21.5% anual,

recibiéndose como valor líquido la cantidad de 37500. Determinar la fecha de

descuento.

Datos: P = 37500 S = 40000 d = 0.215 D = 2500

2500

40000 0.215n

Multiplicado por 360, nos da aproximadamente 105 días.

Por consiguiente, la fecha de descuento es el 24 de diciembre del 2008:

Ejercicio 3.10

Ejercicio 3.9

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3.4 DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO

El descuento racional se determina sobre el valor efectivo que se recibe cuando se

realiza la transacción. Considerando la utilización restringida en la práctica, nos

limitaremos a deducir las fórmulas:

Las fórmulas del descuento racional, son similares a las utilizadas en el interéssimple.

3.4.1 VALOR EFECTIVO

El valor líquido es la cantidad que se obtiene el momento de descontar un

documento, se obtiene dividiendo el valor nominal para el factor (1 )i n :

(1 )

S P

i n

[24]

3.4.2 VALOR NOMINAL

El valor nominal es el valor de la obligación a la fecha de vencimiento, se obtiene

multiplicando el valor efectivo por el factor (1 )i n :

(1 )S P i n [25]

3.4.3 DESCUENTO

El descuento racional se determina tomando como referencia el valor efectivo y

no el valor nominal, por lo tanto:

r D P n i [26]

El descuento racional, es la diferencia entre el valor nominal y el valor efectivo.

r D S P [27]Si se sustituye el valor de P, fórmula [24], tenemos:

(1 )r

S D S

i n

11

(1 )r

D S i n

[27 a]

Fórmula que permite obtener el valor del descuento racional, de manera directa, a

base del valor nominal.

El descuento racional es menor al descuento bancario, en razón de que se

determina sobre el valor efectivo (P), mientras que el segundo se establece

considerando el valor nominal (S).

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DESCUENTO SIMPLE 43

3.4.4 TASA DE INTERÉS

La tasa de interés se puede determinar en base a las dos alternativas señaladas en

el capítulo anterior.

3.4.5 TIEMPO

El tiempo puede ser determinado utilizando las dos alternativas indicadas en elcapítulo del interés simple.

Determinar el descuento racional aplicado a un pagaré que vence el 2 de marzodel 2009, si el valor efectivo recibido el 2 de diciembre del 2008 es de 7500 y la

tasa de interés es del 21% anual.

Determinamos el número exacto de días:

Datos:

P = 750090

360n i = 0.21

Aplicamos la fórmula correspondiente:

907500 0.21

360r

D

393.75r

D

Establecer el valor nominal de un pagaré, si el descuento racional es de 2000,

durante 60 días, a la tasa de interés del 18% anual.

Si utilizamos la fórmula [26]:

Datos:

r D = 2000

60

360n i = 0.18

Ejercicio 3.12

Ejercicio 3.11

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14/16


602000 0.18

360 P

200060

0.18360

P

66666.67 P Por lo tanto el valor nominal es:

66666.67 2000S 68666.67S

Determinar el valor efectivo que se recibirá por el descuento de un pagaré de

20000, que vence en 120 días, si la tasa de interés es del 20% anual.

Datos:

S = 20000 i = 0.20120

360n

20000

120

1 0.20 360

P

20000

1.066667 P

18749.99 P

La diferencia entre el descuento bancario y el racional de un pagaré es de 14500.Determinar el valor de los descuentos, si la fecha de descuento fue 60 días antes

del vencimiento y la tasa el 18% anual.

Como el descuento bancario es:

D S n d Si cambiamos “d” por “i”: D S n i El descuento racional es:

r D P n i

Conocemos que el descuento bancario es mayor al descuento racional:

r D D

Por lo tanto:r

D D S n i P n i

Como:(1 )

S P

i n

Reemplazamos en la ecuación anterior:

Ejercicio 3.14

Ejercicio 3.13

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DESCUENTO SIMPLE 45

(1 )r

S D D S n i n i

i n

En el segundo miembro, el factor común es: S n i 1

1(1 )

r D D S n i

i n

Reemplazando con los datos:

60 114500 0.18 1

603601 0.18

360

S

114500 0.03 1

1.03S

14500 0.03 0.029126S Despejando:

14500

0.000873786S

16594444.44S

Por lo tanto el descuento bancario es:60

16594444.44* 0.18360

D

497833.33 D Por diferencia, el descuento racional será: 483333.33

Determinar la fecha de descuento de un pagaré con valor nominal de 20000, con

vencimiento el 16 de septiembre del 2008, si el valor efectivo es de 18500 y la tasade interés del 22%.

Datos:

r D =1500 P = 18500 i = 0.22

Como:

r D

n P i

1500

18500 0.22n

0.36855n Si multiplicamos por 360:

133n dias Por lo tanto la fecha de descuento es:

Ejercicio 3.15

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16 de septiembre 260

- número de días 133Diferencia 127

En la Tabla N° 2, observamos que el número 127 corresponde al 6 de mayo.

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