CAMPOS VECTORIALES

DEFINICIÓN

DOMINIO .

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

OPERACIONES

LIMITES Y CONTINUIDAD

DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN

EL OPERADOR «NABLA»

DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

CAMPOS CONSERVATIVOS

ROSA N. LLANOS VARGAS

CAMPOS VECTORIALES

Definición.- Sean los subconjuntos no vacíos A y B , A , una función vectorial , F, talque a cada vector de A le hace corresponder a lo más un vector de B , y = F( ).

Simbólicamente,F: A = F( )= ( …, )

Donde cada función componente es

DOMINIO .

F se llama CAMPO VECTORIAL. Los campos vectoriales reciben nombres de acuerdo a la interpretación física de los vectores que lo constituyen ,asi puede tenerse un campo de velocidades, de fuerzas, gravitatorio o eléctrico.

Geométricamente F representa un campo de vectores.

Ejemplo . Represente gráficamente el campo vectorial definido por:

F : → / F ( x, y ) = ( − y, x )Solución

Para representar este campo vectorial se evaluará algunos puntos ( x, y ) en la función

F ( x, y ) , como por ejemplo Punto Vector (1,1) F(1,1)= ( −1,1) (-1,1) F ( −1,1) = ( −1, −1) (-1,-1) F ( −1, −1) = (1, −1) (1,-1) F (1, −1) = (1,1) .

Luego tomamos, el primer vector resultante (-1,1) teniendo como punto inicial al punto (1,1); procediendo con los otros vectores se obtiene la representación gráfica del campo FIg-.1vectorial que se muestra en la Figura 1.

Si se requiere tener una representación con mayor cantidad de vectores de estos campos

Vectoriales computarizados, obteniéndose representaciones como las que se muestran

en las Figuras, puede recurrirse a calculadores graficadores o programas

Computacionales

OPERACIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

Con campos vectoriales se puede calcular la suma, diferencia, producto por una función escalar, el producto escalar

Algunas propiedades

1.

2.

3.

DERIVACIÓN . Sea es diferenciable en a si F está definida en una Vecindad V( a, ) y existe una matriz A mxn de orden mxn , talque para todo a+h en V, Se cumple

F(a+h) = F(a) + A mxn h nx1 + g(x,h) . Donde g(x,h) 0 , si h 0

A = DF(a) , dF(a,h) = A mxn h nx1

PROPOSICIÓN. La función es diferenciable en el punto a de su dominio si Y solo si cada una de las funciones componentes de F es diferenciable en a.F= … ,

Llamada Matriz jacobiana de F

Teorema. Si F y G son campos vectoriales definidos y diferenciables sobre un dominio común D, y si X es un elemento en D, entonces

1. D(F + G ) = DF + DG

2. D(F . G )= F . DG + (DF) . G

3. D(F x G) = F x DG + (DF) x G

4. D(φ F) = φ DF + (Dφ)F , donde φ : R → RLA COMPOSICIÓN DE CAMPOS VECTORIALESSean G : ; F : entonces

(X) = F( …,

Si U = ( …, entonces

(X) = ( …,

TEOREMA.

A) Si G : es continua en A y si F : es continua en G(A),Entonces

B) Si G : , y si

de acumulación de Dom(FoG) , entonces

TEOREMA. Si G : es diferenciable en D , siendo D un subconjunto abierto de y si F :

D(FoG) = DF[G(X)] DG(X) = F’ [G(X)]G’(X) D(FoG) =

DERIVADA DIRECCIONAL : de un campo vectorial F con respecto al vector v en el punto a es el vector denotado por :

Ejemplo . Derivar y diferenciar1) F(x,y,z) = ( x sen y + cosz, x

2)F(x,y, z ) =

3) F(x , y ) = ( xcos(xy) ,

EL OPERADOR DIFERENCIAL «NABLA» : ∇. ∇=( , de modo que si

1. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALARf es un campo escalar , entonces

∇f = 2.LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL.

F(X,Y,Z) = (

∇. F = ∇. F = Div(F)

La notación de producto escalar utilizada para la divergencia proviene de considerar a como un operador diferencial en el siguiente sentido:

De donde,

+ +

INTERPRETACION .

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante Y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control ; por tanto, si el campo tiene «fuentes» y « sumideros», la Divergencia de dicho campo será diferente de cero.

Si F representa el flujo de un fluido, su divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido.

a) Si div(F) < 0 , el campo se está comprimiendo, posee «sumideros»b) Si div(F) >0 , el campo se está expandiendo , posee «fuentes»c) Si div(F) =0 , el campo es incompresible

Conforme el fluido se mueve el volumen (área) de control se comprime , expandeO queda igual .

3. EL ROTACIONAL• En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es una

operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

• El rotacional de un campo vectorial se define como la capacidad de un vector de rotar alrededor de un punto.

• Si F = Pi+Qj + Rk es un campo vectorial de y existen todas las derivadas parciales de P , Q , R entonces el rotacional de F es el campo vectorial definido por:

+

Por otro lado si se considera tambien se tendrá

=+ = rotF

PROPIEDADES DEL OPERADOR « ∇»Sean F y G dos campos vectoriales y un campo escalar1. ∇x (F ± G) = ∇x F ± ∇xG2. ∇x (k F) = k ∇x F, k3. ∇x ( F) = (∇x F + ()4. ∇. ( F) = (∇. F + ()5. Div(F x G ) = G. rotF - F. rotG ; es decir:

∇. (F x G )= G. (∇ x F ) – F . (∇ x G)

EL OPERADOR LAPLACIANO

1) Sea f :

Luego,= (se llama «Operador Laplaciano»

2)Si F: es un campo vectorial talque F(x,y,z )=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), entonces

= (, , )

CAMPOS CONSERVATIVOS.

El campo vectorial F es conservativo si existe una función escalar f tal que Se llama «función potencial»Si F ( x,y) = ( P(x,y) , Q( x, y )) es conservativo si

Si F(x, y, z ) = ( P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) ) es conservativo si rot (F) = 0

comprobar si Fes conservativo y hallar la función potencial en caso de serlo.

1) F(x,y ) =

2)F(x,y)= xzi + xyz j -

3) F(x,y,z) = (2xy , , 2zy)

Solución 1)

Luego F es conservativo

Debe hallarse la función potencial , existe un campo escalar f , talque , es decir

Integrando 1) con respecto a x , se tiene,

f(x,y)=

f(x,y)= Derivando miembro a miembro 3) con respecto a y, e igualando a 2), resulta,

Simplificando, queda

Integrando ambos miembros con respecto a y , se obtiene; g(y) = Reemplazando 4) en 3)

f(x,y)= + C , es la función potencial.

Ejemplo 2. Si F = xzi + xyz j - ; hallar rot F

Solución

= = +

= (-2y - xy) i - (0 – x ) j + (yz – 0 ) k

El campo no es conservativo

Ejemplo 3.F(x,y,z)= (2xy, , 2zy)

Rot(F)= +

= ( 2x , 0 , 0 )

Luego el campo no es conservativo

Ejemplo 3. determinar si el campo vectorial definido por F(x,y,z)= (2xy , +2yz, ) es un campo conservativoSoluciónEl campo es conservativo si rot(F = 0 . Rot(F) = = ( 2y-2y , 0 , 2x-2x )= ( 0 , 0 , 0) ; entonces el campo es conservativo.Existe una función escalar f tal que

Integrando ambos miembros de 1) con respecto a x, resultaf(x,y,z) =

Derivando f con respecto a y e igualando con 2)

Integrando ambos miembros de la última ecuación con respecto a y, resulta h(y,z) =

Derivando con respecto a z e igualando a 3), se tiene,

h(y,z)= + C ; luego de reemplazar en 4) , tendremos la función potencial

f(x,y,z) =