Rotacional y Divergencia

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  • Funciones de Rn en Rm

    Son funciones de la forma

    miRxxxFY

    REXFXFXFXF

    REYYYY

    RDxxxX

    XFYRERDF

    nii

    m

    m

    m

    m

    n

    n

    mn

    ,,2,1 ,,,

    )(,),(),()(

    ,,,

    ,,,

    )(/:

    21

    21

    21

    21

    30/10/2013 1NOLAN JARA JARA

  • Funciones de Rn en Rm

    Ejemplo para n=2 y m=3

    cos,,cos/:

    3,22,3/:

    32

    32

    sensensenRRD

    trtrtrRRD

    ,FF

    tr,FF

    30/10/2013 2NOLAN JARA JARA

  • DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE Rn EN Rm

    Decimos que es derivable en p=(x1 ,x2 ,,xn)DRn

    Si existen las mxn derivadas parciales

    para i = 1; ;m, y j = 1; ; n.

    )(/: XFYRERDFSea mn

    F

    nnj

    i RDxxxPPx

    F

    ,,, )( 21

    30/10/2013 3NOLAN JARA JARA

  • DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE Rn EN Rm

    ESTA DEFINIDA POR LA MATRIZ JACOBIANA

    )()()(

    )()()(

    )()()(

    )(FD

    21

    2

    2

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    1

    1

    Px

    FP

    x

    FP

    x

    F

    Px

    FP

    x

    FP

    x

    F

    Px

    FP

    x

    FP

    x

    F

    P

    n

    mmm

    n

    n

    30/10/2013 4NOLAN JARA JARA

  • JACOBIANO DE TRANSFORMACION DE:Rn Rn

    niRxxxFY

    REXFXFXFXF

    REYYYY

    RDxxxX

    XFYRERDFSi

    nii

    n

    n

    n

    n

    n

    n

    nn

    ,,2,1 ,,,

    )(,),(),()(

    ,,,

    ,,,

    )(/:

    21

    21

    21

    21

    F

    30/10/2013 5NOLAN JARA JARA

  • JACOBIANO DE TRANSFORMACIONLA MATRIZ JACOBIANA DE :Rn Rn

    Es una matriz cuadrada de orden n.

    )()()(

    )()()(

    )()()(

    )(FD

    21

    2

    2

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    1

    1

    Px

    FP

    x

    FP

    x

    F

    Px

    FP

    x

    FP

    x

    F

    Px

    FP

    x

    FP

    x

    F

    P

    n

    nnn

    n

    n

    F

    30/10/2013 6NOLAN JARA JARA

  • JACOBIANO DE TRANSFORMACIONESTA DEFINIDA POR EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ JACOBIANA DE

    :Rn Rn

    )()()(

    )()()(

    )()()(

    )(FJ

    21

    2

    2

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    1

    1

    Px

    FP

    x

    FP

    x

    F

    Px

    FP

    x

    FP

    x

    F

    Px

    FP

    x

    FP

    x

    F

    P

    n

    nnn

    n

    n

    F

    30/10/2013 7NOLAN JARA JARA

  • CAMPO DE UNA MAGNITUD

    es la regin del espacio donde una magnitud est definiday tiene un valor.TIPOS:

    Campo escalar: cuando la magnitud definida es un escalar

    Campo vectorial: cuando la magnitud definida es una magnitud vectorial

    En general, en cada punto P del campo el valor de la magnitud depende de las coordenadas del punto P y del tiempo t.

    Si el valor de la magnitud no depende del tiempo t se dice que el campo es estacionario. Entonces las funciones son unvocas y continuas.

    30/10/2013 8NOLAN JARA JARA

  • Campo escalar

    (Grfico = superficie)

    Campo vectorial (Grfico = flechas)

    30/10/2013 9NOLAN JARA JARA

  • n

    n

    n

    n

    n

    xxx

    Px

    fP

    x

    fP

    x

    fPf

    xxxPenCde clasees

    xxxfwRRDf

    ,,,

    )(,),(),()(

    ,,,

    ),,,(/:

    21

    21

    21

    1

    21

    EL VECTOR GRADIENTEEN GENERAL SI,

    30/10/2013 10NOLAN JARA JARA

  • El gradiente es un Campo Vectorial

    Se halla a Campos escalares

    yxf

    yxyxf

    yxfzRRDf

    ,

    22),(

    ),(/:

    22

    2

    EL VECTOR GRADIENTE

    30/10/2013 11NOLAN JARA JARA

  • 30/10/2013 NOLAN JARA JARA 12

    CAMPOS VECTORIALESSON FUNCIONES DE LA FORMA

    otencial funcion pes llamadaRRf

    servativotorial con campo veces llamadoFPfPFSi

    xxxP

    PFPFPFPFRERDF

    n

    n

    n

    nn

    :

    )()(

    ,,,

    )(,),(),()(/:

    21

    21

  • CAMPOS VECTORIALESLneas de flujo

    y)(x,(x,y))(x,y);F(F(x,y)F 21

    30/10/2013 13NOLAN JARA JARA

  • DIVERGENCIADEFINICIN

    z

    F

    y

    F

    x

    Fdiv

    321F F

    30/10/2013 14NOLAN JARA JARA

    )),,(),,,(),,,((),,(F /:F 32133 zyxFzyxFzyxFzyxRRDSea

  • DIVERGENCIA

    Qu es? Un campo escalar.

    A quin se halla? A campos vectoriales en general.

    30/10/2013 15NOLAN JARA JARA

    n

    i i

    in

    x

    FFR/R:DF

    1

    ,,,, nRR:DF nn 321

  • DIVERGENCIASignificado de la Divergencia

    Si representa el flujo de un fluido, entonces la

    divergencia , representa la tasa de expansin por

    unidad de volumen bajo el flujo del fluido.

    Si la div( )0 se est expandiendo.

    Si la div( )=0 es incompresible.

    Conforme el fluido se mueve el volumen (rea) de control se comprime, expande o queda igual.

    Si la div( )=0 para todo punto del dominio el campo se llama incompresible.

    30/10/2013 16NOLAN JARA JARA

    F

    F

    F

    F

    F

  • ROTACIONALDEFINICIN

    30/10/2013 17NOLAN JARA JARA

    )),,(),,,(),,,((),,(F /:F 32133 zyxFzyxFzyxFzyxRRD

    321

    FFF

    zyx

    kji

    FxFRot

  • ROTACIONAL

    Qu es? Un campo vectorial

    A quin se halla? A campos vectoriales tridimensionales.

    No se puede hallar a campos bidimensionales? Si, considerando su tercera componente cero.

    33: DF

    33: DF

    30/10/2013 18NOLAN JARA JARA

  • ROTACIONALSignificado del Rotacional

    Si representa el flujo de un fluido, entonces el

    rotacional, en un punto, es el doble del vector

    velocidad angular de un cuerpo rgido que gira como el

    fluido cerca de ese punto.

    Si el rot( )=(0,0,0) en un punto significa que el

    fluido no tiene rotaciones en ese punto, es decir no

    tiene remolinos. Una rueda con aspas rgidas en el

    fluido se mover con el fluido pero no girar alrededor

    de su eje.

    Si rot( )=(0,0,0) para todo punto del dominio, el

    campo se llama irrotacional.30/10/2013 19NOLAN JARA JARA

    F

    F

    F

  • EJEMPLO

    22: DF

    0,0,0F1F

    0,),(F

    xyx

    30/10/2013 20NOLAN JARA JARA