Campos Magneticos

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERA-CURSOS BSICOS FSICA BSICA III (FIS 200) ___________________________________________________________________________________________________

MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE

Contenido Captulo 1. EL CAMPO MAGNTICO ........................................................................................................................... 2

1.1. Magnetismo .................................................................................................................................................... 2

1.2. Campo Magntico - Fuerza Magntica ........................................................................................................... 2

1.2.1. Problemas de Fuerza Magntica y Fuerza Elctrica ................................................................................ 4

1.3. Campo Magntico Terrestre. .......................................................................................................................... 7

1.4. Efecto Hall. ...................................................................................................................................................... 8

1.5. Medida de e/m. Ciclotrn ............................................................................................................................... 9

1.6. Flujo Magntico ............................................................................................................................................ 10

1.7. Fuerza Magntica sobre un elemento de Corriente...................................................................................... 11

Fuerza sobre un conductor rectilneo ............................................................................................................ 11

1.8. Momento de una Torsin sobre una espira de corriente.............................................................................. 12

...................................................................................................................................................................................... 14

CAPITULO 2 CAMPO MAGNTICO CREADO .................................................................................................................. 15

POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE .............................................................................................................................. 15

2.1. Ley de Biot Sarvart. ....................................................................................................................................... 15

2.2. Induccin Magntica producida por un conductor rectilneo ....................................................................... 15

2.3. Induccin Magntica creada por una espira circular .................................................................................... 17

2.4. Induccin magntica producida por un solenoide ........................................................................................ 19

2.5. Ley de ampere .............................................................................................................................................. 19

2.6. Fuerza entre conductores paralelos .............................................................................................................. 20

2.7. Campo Magntico de una carga en movimiento .......................................................................................... 20

2.8. Ley de ampere aplicado a un medio conductor ............................................................................................ 20

2.9. Potencial magnetosttico y fuerza magnetomotriz .......................................... Error! Marcador no definido.



Captulo 1. EL CAMPO MAGNTICO

1.1. Magnetismo

El magnetismo es un fenmeno fsico por el que los objetos ejercen fuerzas de atraccin o

repulsin sobre otros materiales. Hay materiales que presentan propiedades magnticas detectables

fcilmente, como el nquel, el hierro o el cobalto, que pueden llegar a convertirse en un imn.

Existe un mineral llamado magnetita que es conocido como el nico imn natural. De hecho de

este mineral proviene el trmino de magnetismo, sin embargo existen imanes artificiales.

Figura 1. Lneas de Campo Magntico que salen del polo

Norte y algunas ingresan por el polo sur

1.2. Campo Magntico - Fuerza Magntica

Cuando una carga ingresa con una velocidad en una regin donde existe un campo magntico,

est experimenta una desviacin, siempre y cuando la velocidad no sea paralela a la direccin del

campo magntico. Experimentalmente se demostr que esta desviacin se debe a una fuerza,

llamada fuerza magntica, que depende de la velocidad de carga v, el vector campo magntico

B, y el valor de la carga q; es decir:

( ) ( )

Est ecuacin la podemos utilizar para definir la unidad del campo magntico en el sistema

internacional si la fuerza est en newton, la velocidad en m/s y la carga en C (Coulombios), las

unidades del campo magntico son los teslas:

[

] [ ] [ ]



Fig. 1.2. La carga que se mova en lnea recta experimenta una desviacin debido al campo magntico B, su velocidad y la

magnitud de su carga

De acuerdo a la regla de la mano derecha esta fuerza es perpendicular, segn el producto

vectorial, al plano formado por los vectores velocidad y campo magntico.

Analicemos los casos en que el campo magntico ingresa a una regin donde el campo magntico

es uniforme y estacionario

a) Campo magntico ingresa a una regin donde la velocidad forma un ngulo recto con el

vector campo magntico.

Fig. 1.3 Trayectoria que describe una partcula cargada que ingresa perpendicularmente a un campo magntico.

Cmo la nica fuerza que acta sobre la carga ser una fuerza normal, despreciando el peso,

la partcula en este caso describir movimiento circular uniforme. Es decir la velocidad con la

que ingresa ser constante durante toda la trayectoria circular.



Descomponiendo la fuerza en la direccin normal y aplicando la segunda ley de Newton:

El radio de la trayectoria circular ser:

( )

La frecuencia de giro es independiente de la velocidad inicial:

( )

Esta cantidad (conocida como frecuencia ciclotrn) permite identificar las partculas en los

detectores de los aceleradores de partculas, donde estas trayectorias se observan

habitualmente.

b) Campo magntico ingresa a una regin donde la velocidad forma un ngulo distinto de 90

con el vector campo magntico.

Fig. 1.4. Una partcula cargada ingresa formando un ngulo con el campo

Magntico, para luego describir una trayectoria circular.

1.2.1. Problemas de Fuerza Magntica y Fuerza Elctrica

PROBLEMA 1.1. Una carga q de masa m ingresa en una campo magntico uniforme,

estacionario y uniforme B para despus pasar por un campo elctrico uniforme E como

se muestra en la figura. Determinar la mxima altura H que alcanzar la carga.

Nota. Las regiones son cuadradas de lado a.



SOLUCIN:

En la primera regin la carga describir MCU, con un radio igual a:

El ngulo con que sale de la primera regin lo podemos calcular con ayuda del grafico,

puesto que la velocidad permanecer constante en su recorrido por la primera regin.

Cuando la carga ingrese a la segunda regin describir un movimiento parablico puesto

que la nica fuerza apreciable ser la fuerza elctrica (qE) hacia abajo.



Aplicando la segunda ley Newton para el clculo de la aceleracin que experimentar la

carga en la segunda regin:

De las ecuaciones de movimiento parablico tomando en cuenta la aceleracin a la cual

estar sometida, la altura mxima que alcanzara en el movimiento parablico ser:

La altura H del grafico ser:

(

)

(

(

) )

PROBLEMA 1. Una carga q de masa m ingresa en una campo magntico uniforme,

estacionario y paralelo a l eje z en el origen. Si la curva que describe la carga es la hlice

dada por la ecuacin vectorial ( ) ( ), donde a y b son constantes,

w es la frecuencia angular y t es el tiempo. Hallar:

a) el ngulo formado por la velocidad inicial y el campo magntico.

b) El mdulo del campo magntico.

c) La rapidez en cualquier instante.

SOLUCIN:

a) Derivando con respecto al tiempo hallamos la velocidad

( )

( )

Evaluando la velocidad en t=0, obtenemos la velocidad inicial de la partcula ( ).

( )

( ) ( ) (

)



b) El radio de la hlice se obtiene de la ecuacin de la trayectoria de la hlice:

Elevando al cuadrado y sumando:

Entonces el radio de la hlice ser igual a a. Utilizando la ecuacin (1.2), solo que la

velocidad en este caso es la componente de la velocidad inicial en el eje y:

c) La rapidez es el mdulo del vector velocidad.

( ) ( )

( )

Es importante notar que la rapidez es en mdulo constante, pero no lo es en

direccin y sentido.

1.3. Campo Magntico Terrestre. El campo magntico terrestre, es el campo magntico que se extiende desde el ncleo interno de la Tierra hasta el

lmite en el que se encuentra con el viento solar; una corriente de partculas energticas que emana del Sol. Su

magnitud en la superficie de la Tierra vara de 25 a 65 T (microteslas). Se puede considerar en aproximacin el

campo creado por un dipolo magntico inclinado un ngulo de 11 grados con respecto al eje de rotacin (como un

imn de barra).



Fig. 1.5. Lneas de Campo Magntico Terrestre

1.4. Efecto Hall.

El efecto Hall se produce cuando se ejerce un campo magntico transversal sobre un cable por el que

circulan cargas. Como la fuerza magntica ejercida sobre ellas es perpendicular al campo magntico y,

las cargas son impulsadas hacia un lado del conductor y se genera en l un voltaje transversal o

voltaje Hall descubri en 1879 el efecto, que, entre otras muchas aplicaciones, contribuy a establecer,

diez aos antes del descubrimiento del electrn, el hecho de que las partculas circulan por un

conductor metlico tienen carga negativa



Fig. 1.6 Esquema para medir el efecto Hall

Aplicaciones del efecto Hall

Mediciones de campos magnticos

Mediciones de corriente sin potencial.

Emisor de seales sin contacto

Aparatos de medida del espesor de materiales

Se puede demostrar para la figura 1.6. que el voltaje Hall es igual a:

( )

Donde:

I= Corriente que circula por la placa; B= Campo magntico; n= Nmero de cargas por unidad de

volumen; e=Carga elctrica; d=Espesor de la placa.

PROBLEMA. En un experimento diseado para medir el campo Magntico terrestre utilizando el efecto

Hall, una barra de cobre de 0.5cm. de espesor se coloca a lo largo de una direccin este-oeste. Si

una corriente de 8.0A en el conductor da como resultado un voltaje Hall de 5.1 pV, Cul es la

magnitud del campo magntico terrestre? (Suponga que n=8.48*1023 electrones/m3, y que el plano de

la barra se gira hasta quedar perpendicular a la direccin de B)

1.5. Medida de e/m. Ciclotrn



Un espectrmetro de masas es un dispositivo que se emplea para separar iones dentro de una muestra que poseen

distinta relacin carga/masa. La mezcla puede estar constituida por distintos istopos de una misma sustancia o

bien por distintos elementos qumicos.

Fig. 1.7 Espectrmetro de masas

En la figura 1.7. se ionizan tomos (esto se puede realizar, por ejemplo, calentando un filamento) para luego ser

acelerados mediante una diferencia de potencial V ingresando los iones a la cmara semicircular donde existe un

campo magntico B saliendo del papel. Como los iones ingresan con una velocidad v perpendicular al campo

este describir una trayectoria circular como se puede ver en la figura e impactaran en la placa fotogrfica y as de

esta manera es fcil medir el radio R de la trayectoria circular.. Cmo la muestra de tomos posee isotopos

existirn distintos radios.

La relacin carga/masa calculada con el espectrmetro de masas y aplicando adems el principio de conservacin de

energa a la entrada ser:

( )

1.6. Flujo Magntico

Fig. 1.8. Flujo Magntico a travs de una

superficie

El flujo magntico es una cantidad escalar y se define como la integral de rea del producto escalar entre el vector campo magntico y el vector rea:



( )

Se sabe que hasta el momento no se han podido aislar los polos magnticos y eso tiene como consecuencia

que el flujo magntico a travs de una superficie es nula:

( )

1.7. Fuerza Magntica sobre un elemento de Corriente

Una corriente elctrica es un conjunto de cargas en movimiento. Conocida ya la fuerza que el campo B

ejerce sobre una nica carga, calculamos ahora la fuerza sobre un conductor por el que circula una

corriente.

Fuerza sobre un conductor rectilneo

Imaginemos un conductor rectilneo de seccin A por el que circula una corriente I. La fuerza a la que se

ve sometido cuando se encuentra en un campo B uniforme ser la suma de la fuerza sobre todas las

cargas.

Si n es el nmero de cargas q por unidad de volumen, y vd la velocidad de desplazamiento de las

mismas, el nmero de cargas en un elemento de volumen de longitud l y rea A es:

Por lo que la fuerza total se calcular multiplicando el nmero de cargas por la fuerza ejercida sobre

cada una de ellas:

Definimos el vector como un vector de mdulo la longitud del conductor y direccin y sentido el que

indica la intensidad de corriente. Recordando la expresin de la intensidad I podemos escribir la fuerza

como:

( ) ( ) ( )



En ocasiones, es especial cuando el conductor no es rectilneo, se puede utilizar la ecuacin

(1.8.) en forma diferencial, tomando la longitud cmo un diferencial de longitud.

( ) ( )

Es importante notar que cuando el campo B es paralelo al conductor, la fuerza magntica

ejercida sobre el conductor es nula.

PROBLEMA 1.2 Se encuentran en un mismo plano un conductor muy largo y una espira

cuadrada de lado b separados una distancia b. Calcular la fuerza que ejerce el conductor

muy largo sobre el lado horizontal superior de la espira cuadrada y su respectivo punto de

aplicacin.

SOLUCIN:

Para que la carga se mueva en lnea recta la fuerza elctrica y la fuerza magntica tienen que tener la misma direccin y mdulo pero sentidos opuestos.

El campo magntico resultante de los conductores en el eje de movimiento tiene que ser igual a B:

( )

( )

( )

1.8. Momento de una Torsin sobre una espira de corriente.

Una espira con corriente en un campo magntico puede experimentar un torque. Este fenmeno es la

causa que hace trabajar los motores de corriente directa y el galvanmetro.

Imaginmonos una espira rectangular de rea A que transporta la corriente i colocada en un campo

magntico uniforme y en la direccin mostrada, cuya direccin forma un ngulo con la normal al plano de

la espira (figura 1.9.)

Evaluando las dos fuerzas en los dos conductores de lado a se puede ver que las dos fuerzas

opuestas producen un momento de torsin igual a:



Evaluando las otras dos fuerzas en los dos conductores de lado b se puede ver que las dos fuerzas

opuestas tienen la misma lnea de accin y por lo tanto no producen ningn momento o par, es decir si

sumamos todas la fuerzas que actan sobre la espira se cancelan dos a dos, sin embargo existe una par

igual a:

Para N espiras la anterior ecuacin se transforma:

( )

EJEMPLO:Una bobina rectangular formada por 100 espiras de alambre tiene un ancho de 16 cm y una

longitud de 20 cm. La bobina eta montada en un campo magntico uniforme de densidad de flujo de 8

mT, y una corriente de 20 A circular atreves del devanado. Cuando la bobina forma un ngulo de 30

con el campo magntico, Cul es el momento de torsin que tiende a hacer girar la bobina?

Sustituyendo en la ecuacin tenemos:

T= (100 espiras) (8 X 10 T) (0.16 m X 0.20 m) (cos 30 )

T = 0.443 N.m

Entre las ms importantes aplicaciones tenemos a los motores elctricos y los galvanmetros.



CAPITULO 2 CAMPO MAGNTICO CREADO POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE

2.1. Ley de Biot Sarvart. Los cientficos franceses Jean-Baptiste Biot y Flix Savart descubrieron la relacin entre una corriente y el campo magntico que

esta produce

( )

Fig. 2.1. Trminos de la ley de Biot-Savart

2.2. Induccin Magntica producida por un conductor rectilneo

Una aplicacin sencilla de la ley de Biot-Savart se refiere al campo magntico que genera una corriente

rectilnea en el espacio que la rodea.

( ) ( )



Fig. 2.2. Lneas de campo magntico para un conductor rectilineo

A partir de la resolucin de la integral de campo de la ley de Biot-Savart para este caso particular, se

concluye que:

El modulo del campo magntico total en un punto cualquiera es inversamente proporcional a la

distancia a que se encuentra del conductor.

La direccin del campo es perpendicular al conductor.

Su sentido se determina segn la regla de la mano derecha, y coincide con el del giro de un

tornillo con rosca a derechas, que avanzara en el sentido de la corriente.

Para el caso en que el conductor es muy largo los dos ngulos de la ecuacin (2.2.) seran

iguales a 90 y la ecuacin se reducira a:

( )

PROBLEMA 2.1. Calcular el vector campo magntico en el origen, para el circuito triangular que se muestra.

SOLUCIN.-



Para uno de los conductores de longitud finita el

campo magntico est dado por:

( )

Donde el campo magntico total ser igual a

la suma vectorial de los tres campos

magnticos producidos por cada conductor.

Es importante notar que los sentidos y

direcciones del campo magntico ser

paralelo al eje y, paralelo al eje z y

paralelo al eje x (es decir sern mutuamente

perpendiculares. Tambin y son ngulos

complementarios. Es decir:

(

)

(

)

De la misma manera para los otros dos

conductores se tiene:

(

)

(

)

Reemplazando:

[(

) (

) (

) ]

2.3. Induccin Magntica creada por una espira circular

Fig. 2.3. Campo magntico para una espira circular



Para la figura 2.3. la direccin del campo magntico ser paralela al eje x y el mdulo del campo magntico ser igual

a:

( )

( )

Para calcular el campo magntico en el centro de la espira se hace a=0.

( )

PROBLEMA 2.2. Por la placa circular muy delgada perforada mostrada circula una corriente I. Calcular el campo

magntico en el centro de la placa.

SOLUCIN: Como es una placa delgada podemos

tomar un diferencial de radio como se muestra en la

figura:

Para este diferencial de radio dr corresponde un

diferencial de corriente dI. El campo magntico que

produce dI en el centro ser:

Asumiendo densidad de corriente constante y

espesor de placa e, tenemos :

( )

( )

( ) (

)



2.4. Induccin magntica producida por un solenoide

Una aplicacin sencilla de la ley de Biot Savart es el clculo del campo magntico en un punto del eje del solenoide

El campo magntico en el punto P (Fig. es igual a:

( ) ( )

Si el solenoide es muy largo los ngulos y el mdulo del campo magntico en el centro del solenoide ser:

( )

El campo magntico en un extremo del solenoide sobre el eje se hace si los ngulos

( )

Es decir que el mdulo del campo magntico en un extremo ser la mitad del campo magntico en el

centro.

2.5. Ley de ampere La ley de Ampere indica que la integral de lnea cerrada del campo magntico es igual a:

( )



2.6. Fuerza entre conductores paralelos Si por dos conductores circula una corriente, cada uno sufrir el efecto del campo magntico del otro. Si la corriente

es de igual sentido aparece una fuerza de atraccin entre ambos y una fuerza de repulsin en el caso de corrientes

de sentido opuesto.

2.7. Campo Magntico de una carga en movimiento

2.8. Ley de ampere aplicado a un medio conductor

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