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CALCULO DE CAMPOS ELECTRICOS Y MAGNETICOS EN TRANSFORMADORES DE POTENCIA MEDIANTE EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA LA OPTIMIZACION DE LOS PARÁMETROS DE DISEÑO Miguel Delgado León Enrique Luján Mendoza Jorge MendezGiron Diego Lucas Lucas DELCROSA S.A. DELCROSA S.A. DELCROSA S.A. DELCROSA S.A. 1. Resumen El presente trabajo desarrolla el cálculo de los campos eléctricos y magnéticos en transformadores de potencia mediante el Método de Elementos Finitos utilizando programas propios desarrollados y diferentes programas comerciales. Los resultados obtenidos son importantes para la optimización en el diseño de transformadores, predice los resultados antes de la construcción. Los valores obtenidos son más confiables que aquellos obtenidos con las fórmulas convencionales de la literatura de transformadores y los errores respecto a las pruebas experimentales han resultado en promedio menores que el 1%. 2. Introducción El conocimiento de la distribución del campo eléctrico y del campo magnético en cualquier punto es de vital importancia para el diseño de transformadores. Cuando un sistema electromagnético es simple, es posible encontrar los campos electromagnéticos mediante una solución analítica. Cuando el sistema es complejo como es el caso de los transformadores de potencia, la obtención analítica de los campos electromagnéticos es muy difícil. Para llegar a una solución razonable se hacen simplificaciones en el sistema [1] y estas simplificaciones incrementan el error. Cuando la potencia del transformador se incrementa, el costo del material aislante representa un valor significativo por tanto es necesario optimizar costos, para llegar a tal fin es necesario conocer con precisión los campos electromagnéticos. En estos últimos años es cada vez más frecuente el empleo de métodos numéricos modernos y la computación digital para la obtención de los campos electromagnéticos con alta precisión. Entre los métodos más utilizados, el Método de Elementos Finitos (MEF)es uno de los más precisos en los cálculos y el más popular en la actualidad en la aplicación en diseño de transformadores [2, 3, 4]. Nuestra empresa, tiene experiencia en la utilización del Método de Elementos Finitos para el diseño mecánico y electromagnético. En la parte eléctrica, entre varias aplicaciones,se utiliza el MEF para la selección de los aislantes. En la parte magnética para la simulación de la tensión de cortocircuito, el cálculo de las perdidas parasitas y la fuerza de cortocircuito en los bobinados, entre otros temas. En el departamento de investigación y desarrollo (DID) trabajamos en la programación con el toolboxpdetool de Matlab ycon el programa Maxwell- Ansys. Para confirmar la exactitud de nuestros cálculos comparamos los resultados de ambos programas con las pruebas, obteniendo errores menores que el 1%. 2.1 Método de Elementos Finitos (MEF) Está demostrado que la ecuación diferencial de segundo orden, que es muy frecuente en electromagnetismo puede ser resuelto por el MEF [5]. Aquí la ecuación general de segundo orden en coordenadas rectangulares:

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CALCULO DE CAMPOS ELECTRICOS Y MAGNETICOS EN TRANSFORMADORES DE POTENCIA MEDIANTE EL

METODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA LA OPTIMIZACION DE LOS PARÁMETROS DE DISEÑO

Miguel Delgado León Enrique Luján Mendoza Jorge MendezGiron Diego Lucas Lucas DELCROSA S.A. DELCROSA S.A. DELCROSA S.A. DELCROSA S.A.

1. Resumen

El presente trabajo desarrolla el cálculo de los campos eléctricos y magnéticos en transformadores de potencia mediante el Método de Elementos Finitos utilizando programas propios desarrollados y diferentes programas comerciales. Los resultados obtenidos son importantes para la optimización en el diseño de transformadores, predice los resultados antes de la construcción. Los valores obtenidos son más confiables que aquellos obtenidos con las fórmulas convencionales de la literatura de transformadores y los errores respecto a las pruebas experimentales han resultado en promedio menores que el 1%.

2. Introducción

El conocimiento de la distribución del campo eléctrico y del campo magnético en cualquier punto es de vital importancia para el diseño de transformadores. Cuando un sistema electromagnético es simple, es posible encontrar los campos electromagnéticos mediante una solución analítica. Cuando el sistema es complejo como es el caso de los transformadores de potencia, la obtención analítica de los campos electromagnéticos es muy difícil. Para llegar a una solución razonable se hacen simplificaciones en el sistema [1] y estas simplificaciones incrementan el error. Cuando la potencia del transformador se incrementa, el costo del material aislante representa un valor significativo por tanto es necesario optimizar costos, para llegar a tal fin es necesario conocer con precisión

los campos electromagnéticos. En estos últimos años es cada vez más frecuente el empleo de métodos numéricos modernos y la computación digital para la obtención de los campos electromagnéticos con alta precisión. Entre los métodos más utilizados, el Método de Elementos Finitos (MEF)es uno de los más precisos en los cálculos y el más popular en la actualidad en la aplicación en diseño de transformadores [2, 3, 4]. Nuestra empresa, tiene experiencia en la utilización del Método de Elementos Finitos para el diseño mecánico y electromagnético. En la parte eléctrica, entre varias aplicaciones,se utiliza el MEF para la selección de los aislantes. En la parte magnética para la simulación de la tensión de cortocircuito, el cálculo de las perdidas parasitas y la fuerza de cortocircuito en los bobinados, entre otros temas. En el departamento de investigación y desarrollo (DID) trabajamos en la programación con el toolboxpdetool de Matlab ycon el programa Maxwell-Ansys. Para confirmar la exactitud de nuestros cálculos comparamos los resultados de ambos programas con las pruebas, obteniendo errores menores que el 1%.

2.1 Método de Elementos Finitos (MEF)

Está demostrado que la ecuación diferencial de segundo orden, que es muy frecuente en electromagnetismo puede ser resuelto por el MEF [5]. Aquí la ecuación general de segundo orden en coordenadas rectangulares:

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En el tema de Electrostática o conducción se cumple la ecuación diferencial de Laplace para el potencial escalar . Así:

Comparando (1) y (2) se observa que , , y . El

campo Eléctrico se obtiene como el menos

gradiente de , es decir . En el tema de magnetostática se cumple la ecuación diferencial de Poisson para el

potencial vectorial magnético . Así:

Aquí es la permeabilidad del medio y es la densidad de corriente volumétrica. Comparando (1) y (3) se observa que

, y . El campo magnético se obtiene como el

rotacional del campo , es decir

. Se observa que ambas ecuaciones diferenciales son parecidas. Las condiciones de frontera pueden ser de Dirichlet o Neumman. El MEF consiste en dividir la región donde se desea la solución en elementos, en dos dimensiones casi siempre triángulos. En tres dimensiones los elementos podrían ser tetraedros. Resolver la ecuación diferencial (1) mediante el MEF de Ritz (para dos dimensiones) equivale a desarrollar un funcional en cada elemento triangular dado por:

(4)

Aquí es la función desconocida dentro del elemento (triangulo) Esta función se aproxima a una interpolación lineal a veces

no lineal de los valores de en los vértices del elemento triangular :

Aquí es la posible solución en los vértices del elemento triangular,

son los polinomios de interpolación cuyas expresiones están dadas en la referencia [5]. Reemplazamos (5) en (4) se evalúa las integrales. Como siguiente paso se suma todos los funcionales (ensamblamiento) para obtener el funcional global:

Según el MEF de Ritz el mínimo del funcional global equivale a resolver la ecuación diferencial (1). Para encontrar el

mínimo se deriva con respecto a los e igualamos a cero, de aquí se obtiene un sistema de ecuaciones. Luego de imponer las condiciones de frontera se resuelve el sistema de ecuaciones y se obtiene la

solución de los en los vértices de cada elemento triangular.

3. Planteamiento del problema 01 (campo eléctrico)

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Se requiere conocer la magnitud del campo eléctrico para dimensionar y optimizar el aislamiento cuando se diseña el transformador.

3.1. Características del modelo 01

El primer modelo considerado en este estudio es un transformador que fue fabricado, cuyos datos son: potencia 5 MVA, tensión primario secundario (69/13.8) KV, grupo de conexión Dyn5 trifásico.

Fig. 1 Disposición de las bobinas y aislantes.

La figura 1 muestra las dimensiones reales de las bobinas y aislantes de una fase del transformador. El análisis realizado se enfoca en calcular los esfuerzos de campo eléctrico a los que están sometidos los aislamientos internos del transformador durante la prueba de tensión aplicada. Teniendo en cuenta las propiedades físicas del aislante y su rigidez dieléctrica podemos optimizar las distancias eléctricas en base a los resultados obtenidos.

Fig.2 Vista corte longitudinal bobinas-aislamientos

La figura 2 muestra la disposición de los bobinados, los aislamientos y el aceite. Para analizar la resistencia de los aislamientos se realiza la prueba de tensión aplicada que consiste en aplicar una tensión de (nivel de aislamiento) al devanado del primario, el secundario y núcleo se conectan a tierra.

3.2. Solución del problema

La figura 3 muestra el devanado de alta tensión, baja tensión, los aislantes y la malla (elementos triangulares) desarrollado con el programa Matlab. La condición de frontera para el potencial electrostático es de Neumman.

AT BT

Aceite

Aislamiento sólido

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Fig.3 Malla obtenido con Matlab

La figura 4 muestra la distribución del campo eléctrico en módulo con unidades

de (colores) y dirección (flechas) obtenido con el programa Matlab.

Fig.4 Distribución del campo eléctrico en la prueba de tensión aplicada.

Como se observa en la figura 4 el mayor campo eléctrico en el aceite es de a

. Estos valores están por debajo de la rigidez dieléctrica del aceite y aislante [7].

Un análisis similar se realizó con el programa Ansys Maxwell con el fin de comparar los resultados obtenidos con Matlab. La figura 5 muestra el mallado adaptativo.

Fig.5 Mallado adaptativo obtenido en Ansys Maxwell.

Fig. 6 Distribución del campo eléctrico (enmódulo) de la prueba de tensión

aplicada

La figura 6 muestra la distribución del campo eléctrico en modulo, se observa que

AT BT

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los resultados son similares a los obtenidos con Matlab. Conociendo los valores de la rigidez dieléctrica del aceite y de los aislamientos de papel [7] y si los valores obtenidos del campo eléctrico están muy por debajo de la rigidez, podemos optimizar las dimensiones reduciendo la distancia entre bobinas o la distancia entre bobina de AT y núcleo o bobina de BT y núcleo con el fin de disminuir el tamaño del transformador por ende el peso del fierro a utilizar así como el volumen de aceite. Una fórmula simplificada [1] deducido de la teoría electrostática, también calcula el campo eléctrico con:

Aquí es el campo eléctrico, la diferencia de potencial, d la distancia entre conductores y una constante que involucra las propiedades del aceite, aislantes y forma de electrodo. En esta fórmula simplificada se supone (que no es así) que las bobinas son cilindros concéntricos infinitos al igual que los aislantes, esta simplificación reduce la precisión. Con esta fórmula es imposible calcular el campo eléctrico en puntos cercanos al inicio y fin de los devanados (efectos punta). La siguiente tabla muestra el campo eléctrico en la región (aceite) entre los conductores obtenido con [1], Matlab y Maxwell-Ansys.

En el DID uno de los programas de computadora desarrollados de nombre "campoelec.m" que se basa en el MEF, calcula el valor preciso del campo eléctrico en cualquier punto. Por ejemplo, en el punto superior de la bobina (0.274 m, 0.940 m) el valor del campo eléctrico obtenido es

4. Planteamiento del problema 02 (campo magnético)

Se requiere conocer la magnitud del campo magnético para calcular parámetros de diseño como la tensión de cortocircuito, aumento de pérdidas en los conductores debido al flujo de dispersión, fuerzas en los bobinados cuando ocurre un cortocircuito.

4.1. Características del modelo 02

El modelo 02 considerado en este estudio es un transformador que fue fabricado, cuyos datos son: potencia 5 MVA, tensión primario secundario (69/13.8) KV, grupo de conexión Dyn5 trifásico, 198 vueltas en el lado de LV (baja tensión) y 1716 vueltas en el lado de HV (alta tensión). La reactancia de dispersión por unidad de los protocolos de prueba es XPU=0.068, que fue obtenido mediante la prueba de cortocircuito.

Cuadro comparativo de resultados Campo Eléctrico en el aceite E(KV/mm)

Carrer [1] 4.5 Matlab 3.5-4.5

Maxwell-Ansys 3.5-4.5

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Fig. 7 Vista de planta y de corte de una fase

Fig. 8 Dimensiones de una fase del transformador

La figura 7 muestra la vista de planta y de frente de una fase del transformador. Debido a que el núcleo es casi circular, se podría abordar el problema en tres dimensiones en coordenadas cilíndricas

con simetría axial [2].

La figura 8 muestra las dimensiones y el modelo en dos dimensiones de una fase del transformador en estudio, debido a esta consideración, se podría abordar el

problema también en dos dimensiones, en coordenadas rectangulares [9].

El lado izquierdo, superior e inferior de la ventana es la superficie del núcleo ferromagnético, el lado derecho podría ser otra columna del núcleo o el tanque del transformador [9]

4.2. Solución del problema

Con la finalidad de ahorro del tiempo computacional se divide en dos la región de la figura 8 y se trabaja con la mitad de la fase. La figura 9 muestra el dibujo en el ambiente de Matlab de la mitad de la fase, se indica las regiones de aceite, bobinas y núcleo. El espacio que rodea al núcleo es la ventana numérica. Se impone las condiciones de frontera para el campo potencial vectorial magnético , las líneas (flechas) rojas deben cumplir con las condiciones de frontera de Dirichlet. Las líneas azules (flechas) deben cumplir con las condiciones de frontera de Neumman.

Fig. 9 Mitad de la fase de un transformador

El siguiente procedimiento en MATLAB es indicar las propiedades de cada región de la figura 9, proporcionando como datos la densidad de corriente en BT y AT, la

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permeabilidad del aceite y del núcleo. Luego se procede a dividir la región, generalmente en elementos triangulares. La figura 10 muestra los elementos triangulares (mallas)

Fig. 10 Malla en elementos triangulares

Finalmente, se resuelve el sistema de ecuaciones que determina el potencial vectorial magnético en los vértices de los elementos triangulares. Matlab permite exportar los datos necesarios, con estos nosotros desarrollamos programas para cálculos específicos. El procedimiento con MAXWELL-ANSYS es similar, excepto la exportación de datos.

4.2.1. Impedancia de Cortocircuito

Basado en la metodología presentada, se ha calculado la impedancia de cortocircuito utilizando MATLAB y MAXWELL-ANSYSobteniéndose los mismos resultados.

La figura 11 muestra las líneas equipotenciales del campo potencial vectorial magnético y las líneas de campo magnético (flechas) desarrollado con

MATLAB, como se mencionó anteriormente, solamente en la mitad de la fase. Una ventaja de MATLAB es que permite exportar los datos necesarios para programar como son coordenadas de los nodos de los elementos triangulares, numeración de los triángulos, de los nodos y el valor del potencial vectorial en el nodo de cada triángulo. Utilizando estos datos, otro programa desarrollado por nosotros (DID) de nombre "reactancia.m" calcula la impedancia de cortocircuito primero calculando la energía magnética. A partir de la energía se obtiene la inductancia, luego la reactancia. Este procedimiento se resume en la siguiente fórmula:

Fig. 11 Líneas del potencial vectorial magnético y campo magnético.

DrAJVA

fX CCPU ∑=2π

Aquí, es la frecuencia, es la potencia por fase, es potencial vectorial en el baricentro de cada elemento triangular, es la distancia desde el eje hasta el baricentro y es el área de cada triangulo.La desventaja de MATLAB es que es más complicada la programación para resolver los problemas en coordenadas cilíndricas en tres dimensiones con simetría axial.

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El mismo problema, hemos abordado con el programa MAXWELL-ANSYS. La figura 12 muestra las líneas de del potencial vectorial magnético. A diferencia de MATLAB, MAXWELL tiene la opción de trabajar en rectangulares y cilíndricas con simetría axial, se ha decido por la última opción, además considerando todas las espiras del primario y secundario. Para el ahorro en el tiempo computacional también se ha aplicado simetría considerando solo la mitad de la fase del transformador. Puede observarse que las gráficas son idénticas.

Fig. 12 Grafica de las líneas equipotenciales del campo potencial

vectorial magnético.

La desventaja de MAXWELL-ANSYS es que es muy difícil exportar los datos de la malla para programar. La impedancia de cortocircuito se determina mediante la energía magnética que proporciona MAXWELL-ANSYS. El procedimiento es el siguiente, primero se determina la inductancia y reactancia mediante

2

2IWmL = fLX π2=

Donde, es la inductancia, la energía magnética (proporcionado por MAXWELL-ANSYS), es la corriente que puede ser del primario o secundario, es la reactancia y es la frecuencia. La impedancia de cortocircuito se obtiene primero determinando la impedancia de base, luego, dividiendo la reactancia entre la impedancia base,así:

MVAKVZ B

2

=B

PU ZXX =

La siguiente tabla muestra los resultados del cálculo de la impedancia de cortocircuito.

4.2.2. Pérdidas parasitas en los devanados

No es difícil demostrar que las pérdidas axial y radial en cada conductor por corrientes Eddy (parasitas) y por unidad de volumen [2, 6], está dado por:

(7)

Cuadro comparativo de resultados Método

Reactancia (p.u.)

Error (%)

Prueba de Cort. Cir. 0.0668 0% Matlab 0.06717 0.55%

Maxwell-Ansys 0.06581 1.48%

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Aquí es la conductividad de los bobinados de cobre, es la frecuencia, y son el ancho y alto de la sección transversal de cada conductor, datos conocidos. El campo magnético , tanto la componente radial como la axial se ha obtenido a partir del potencial vectorial magnético que se obtienen mediante el MEF (ver fig. 11). Otro programa desarrollado por el DID de nombre "perdbob.m" realiza la función de ubicar las coordenadas de cada espira conductora y determina el campo magnético radial y axial en dichas coordenadas. Aplicando (7) se calcula las pérdidas en cada espira. Finalmente se suma las pérdidas en todas las espiras de los devanados.

Estas mismas pérdidas fueron calculadas con el programa MAXWELL-ANSYS. La diferencia con MATLAB es que aquí no se necesita programar. MAXWELL tiene una opción Eddy Current y proporciona las perdidas seleccionado el devanado ya sea de alta baja u otro. La siguiente tabla muestra las pérdidas totales en el devanado de alta y de baja tensión para el modelo 2. El cálculo de estas pérdidas es imposible en configuraciones complicadas

por los métodos analíticos [2].

4.2.3. Fuerza de Cortocircuito

La fuerza magnética sobre un diferencial de volumen es [2, 7]:

Realizando una integración numérica en (8) sobre el volumen de los devanados se obtiene la fuerza radial y axial sobre las bobinas. Transformando (8) llegamos a:

, (9)

Aquí es la densidad de corriente volumétrica en el elemento (triángulo).

y son la componente del campo magnético (en el baricentro del elemento

) en la dirección radial y axial, respectivamente, es la distancia radial del eje de los devanados hasta el baricentro del elemento y es el área del elemento (triángulo) . En el DID hemos desarrollado otro programa en MATLAB de nombre "fuerbob.m" que evalúa la formula (9). Con el programa MAXWELL-ANSYS no es necesario programar. La siguiente tabla muestra los resultados.

Perdidas Eddy en los devanados

Devanado de AT BT

Matlab 93.2115 W. 154.7492 W.

Maxwell-Ansys 92.2488 W. 159.6518 W.

Cuadro comparativo de resultados Fuerza de C.C.

(Newton) Devanado AT

Devanado BT

Matlab

radial 1538300 -1167940

axial 73438 -198476

Maxwell Ansys

radial 1536198 -1161500

axial 52804 -219231

Watters[8]

radial 1118617 -781599

axial 96819 -241496

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Fig. 13 Fuerza radial y axial sobre las bobinas

La figura 13 muestra la dirección de las fuerzas. El conocimiento de estas fuerzas es importante para diseñar los soportes mecánicos.

5. Planteamiento del problema 03 (campo magnético)

Se requiere conocer la magnitud del campo magnético cuando exista un transformador con bobinas de AT, MT y BT además tienen diferencias de alturas (asimétrico). Al considerar este tipo de problema las formulas convencionales no son adecuadas, por tanto es necesario aplicar el MEF para calcular parámetros de diseño (tensión de cortocircuito, aumento de pérdidas en los conductores debido al flujo de dispersión, fuerzas en los bobinados cuando ocurre un cortocircuito, otros).

5.1. Características del modelo 03

El problema 03 considerado en este estudio es un transformador que fue fabricado, cuyos datos son: potencia 36/36/12 MVA, tensión altamedia baja(138/23/10) kV, grupo de conexión YNyn0d5 trifásico, 73 vueltas en el lado de BT (baja tensión), 97 vueltas en el lado de MT (media tensión) y 582 vueltas en el lado de AT (alta tensión). La reactancia de dispersión por unidad de los protocolos de prueba es XPU=0.053

5.2. Solución del problema

La figura 14 muestra la gráfica de los resultados desarrollado con MATLAB de la distribución de los campos potencial vectorial magnético y campo magnético (flechas) cuando los devanados de BT y AT están activos. El devanado de MT no interviene por eso no es necesario dibujar en Matlab y se localiza entre las de BT y AT.

Fig. 14 Líneas de campo A y campo B

La figura 15 muestra los resultados desarrollado con MAXWELL de la gráfica de la distribución del campo potencial vectorial magnético. Puede observarse que las gráficas son idénticas.

Cuadro comparativo de resultados Método Reactancia

(p.u.) Error (%)

Prueba de Cort. Cir. 0.053 0% Matlab 0.05331 0.56 % Maxwell-Ansys 0.0545 2.76%

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Fig. 15 Líneas de campo A con MAXWELL

5.2.1. Impedancia de Corto circuito

Procediendo en forma similar que en el caso anterior, se ha determinado la impedancia de cortocircuito. La siguiente tabla muestra la impedancia de cortocircuito.

5.2.2. Perdidas parasitas en los devanados

Las pérdidas parasitas en los devanados se determinaron en forma similar que el caso anterior. Mediante el procedimiento con MATLAB se ha ejecutado el programa perdbob.m. Mediante el procedimiento con

MAXWELL se ha utilizado la opción Eddy Current. La siguiente figura muestra el campo magnético de dispersión en los devanados de BT, MT y AT.

Fig. 16 Gráfica del campo magnético

Como se observa en la figura, donde se muestra los tres devanados BT, MT y AT, que el campo magnético es más intenso en el devanado de MT, es de suponer que en este devanado las perdidas parasitas serán altas. La siguiente tabla muestra los resultados de la simulación de las perdidas parasitas en los tres devanados. El cálculo de las perdidas parasitas en la bobina de MT es imposible por los métodos analíticos [2].

La fuerza de cortocircuito también se calcula de forma similar que en la solución 02.

Conclusiones y Recomendaciones:

Perdidas Eddy en los devanados (W.) Devanado de AT MT BT

Matlab 512.9 1209.0 78.8 Maxwell-Ansys 527.8 1208.5 77.4

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Los resultados del cálculo de los campos eléctricos y magnéticos en transformadores de potencia mediante el Método de Elementos Finitos, sugieren que el método es excelente para la optimización de los parámetros de diseño. Es una herramienta imprescindible en la actualidad para los ingenieros dedicados al estudio y fabricación de transformadores. Este método es apropiado para predecir, antes de la construcción de los transformadores de potencia, el esfuerzo eléctrico máximo en las aislantes y el aceite, la reactancia de cortocircuito, la fuerza magnética y las pérdidas por corrientes parasitas en las bobinas con mejor aproximación que otros métodos y con errores menor que el 1 %. La metodología presentada del Método de Elementos Finitos, ofrece las siguientes ventajas: es rápido, seguro, flexible, se puede trabajar en dos dimensiones y tres dimensiones. Se recomienda conceptualizar bien el problema para evitar detalles innecesarios que perjudican el funcionamiento del hardware y software del computador.

Bibliografia

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[7] Corrales MartínJuan‘’Teoría, cálculo y construcción de transformadores’’ Labor S.A., Barcelona 1960.

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