Campos Eléctrico Estáticos

Para el estudio de los campos eléctricos estáticos en el espacio libre definimos un vector intensidad de campo eléctrico especificando su divergencia y su rotacional. Estos son sus postulados fundamentales a partir de los cuales podemos derivar la Ley de Coulomb y la ley de Gauss, que juntas pueden usarse para determinar el campo eléctrico debido a diversas a diversas distribuciones de carga.

Ley de Coulomb

Consideremos una sola carga puntual q, en reposo en el espacio libre ilimitado. Para hallar la intensidad de campo eléctrico creado por q, dibujamos una superficie esférica de radio arbitrario R con centro en q, es decir, una superficie cerrada hipotéticamente (una superficie gaussiana) alrededor de la fuente, a la cual se aplica la ley de Gauss para determinar el campo. Puesto que una carga puntual no tiene direcciones preferentes, su campo eléctrico debe ser radial en todas las partes y tener la misma intensidad en todos los puntos de las superficies esférica.

Apliquemos la ecuación ∲s E .ds = Q∈0

a la Figura 1

Figura 1

∲s E .ds =∲s ¿¿ = q∈0

ER∲s . ds = ER(4πR2) = q∈0

Por lo tanto podemos definir como la intensidad de campo eléctrico de una carga puntual aislada situada en el origen esta definida por la siguiente ecuación:

E = aR ER = aR q

4 π∈0R2 (V/m)

Podemos concluir que la intensidad de campo eléctrico de una carga puntual positiva tiene dirección radial hacia fuera y magnitud proporcional a la carga e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la carga

Esta fórmula básica es muy importante en la electrostática. La representación grafica del flujo de la intensidad de campo eléctrico debido a una carga puntual positiva q es como se muestra en la figura 2

Figura 2

Si la carga q no está situada en el origen del sistema de coordenadas elegido, habrá que efectuar cambios apropiados al vector

unitario aR y la distancia R para reflejar la posición de la carga y el punto

donde se determina E. Sea R' el vector de q y R el del punto campo P, como se ilustra en la figura 3. Entonces, a partir de la ecuación

E = aR q

4 π∈0R2 obtenemos

Figura 3

EP = aqP q

4 π∈0¿ R−R'∨¿2 ¿

Donde aqP es el vector unitario trazado de q a P. Puesto que

aqP= R−R'

¿R−R'∨¿2'¿

La Ecuación para la intensidad de campo eléctrico de una carga puntual aislada en una posición arbitraria es:

E = q (R−R ')

4 π∈0¿ R−R'∨¿3 ¿

Campo eléctrico debido a un sistema de carga discreta

Supongamos que un grupo de n cargas puntuales discretas situadas en diferentes posiciones crean un campo electrostático. Puesto que la intensidad de campo eléctrico es una función lineal de

(proporcional a) aRq

R2, es aplicable el principio de superposición, y el

campo total E en un punto es la suma vectorial de los campos usados por todas las carga individuales. Denotemos las posiciones de las cargas q1, q2, q3,……,qn (puntos fuertes) con los vectores de posición R'

1, R'2, R

'3

………….R'n y la posición del punto campo donde se calcula la

intensidad eléctrica de la ecuación E = q (R−R ')

4 π∈0¿ R−R'∨¿3 ¿

E = 1

4 π∈0 [

q1(R−R1')

¿R−R1'∨¿3¿ +

q2(R−R2')

¿R−R2'∨¿3¿ + `````` +

qn(R−Rn')

¿R−Rn'∨¿3¿

]

E = 1

4 π∈0 ∑k−1

n qk (R−R k')

¿R−Rk'∨¿3

¿ (V/m)

Campo eléctrico debido a distribución continua de carga discreta

Podemos obtener el campo eléctrico creado por una distribución de carga continua integrado (superponiendo) la contribución de un elemento de carga a toda la distribución de carga. Ver figura 4, donde se presenta un distribución de

Figura 4

carga de volumen. La densidad de carga volumétrica ρυ (C/m3) es en

términos generales, una función de las coordenadas. Ya que un elemento diferencial de carga se comporta como una carga puntual, la distribución de la intensidad de campo eléctrico en el punto fuerte P de

la carga ρυ dυ en un elemento diferencial dυ' es

dE = aR ρυ dυ

'

4 π∈0R2

Tenemos

Intensidad de campo eléctrico de una distribución volumétrica.

E = 1

4 π∈0 ∫ υ' aR

ρυ

R2 dυ ' (V/m)

Intensidad de campo eléctrico de una distribución superficial de carga.

E = 1

4 π∈0 ∫ s' aR

ρs

R2 ds ' (V/m)

Intensidad de campo eléctrico de una distribución lineal de carga

E = 1

4 π∈0 ∫ L ' aR

ρl

R2 dl ' (V/m)

Ley de Gauss

La ley de gauss se obtiene directamente del postulado de la

divergencia de la electrostática ∇E=ρ υ

∈0 , aplicando el teorema de la

divergencia. Se obtiene la ecuación

∲s E .ds = Q∈0

La ley de gauss establece que el flujo de salida total del campo E a través de cualquier superficie cerrada en el espacio libre es igual a la

carga total encerada en la superficie , dividida por £0 .

La ley de gauss sirve para determinar el campo de distribuciones de cargas con ciertas condiciones de simetría, tal como la componente normal de la intensidad de campo eléctrico sea constante sobre una superficie cerrada. En estos casos, la integral de superficie del lado izquierdo sería muy fácil de calcular.

Por otra parte la ley de gauss no es muy útil cuando no existe condición de simetría. Por lo tanto para aplicar la ley de gauss se debe cumplir las siguientes condiciones:

1.- Debe existir la condición de simetría

2.- Un superficie apropiada donde la componente normal de E debido a la distribución de carga dada sea constante

Potencial Eléctrico

Un campo rotacional nulo siempre puede expresarse como el gradiente de un campo escalar. Por lo tanto, podemos definir potencial eléctrico V escalar

Intensidad de campo electrostático a partir del potencial eléctrico

E = - ∇V

Ya que las cantidad escalares son más fácil de manejar que las cantidades vectoriales. Si podemos determinar V con más facilidad, entonces podemos encontrar E, con una operación de gradiente, lo cual no es más de un sencillo proceso de diferenciación.

El potencial eléctrico tiene importancia física y se relaciona con el trabajo realizado al mover una carga de un punto a otro. Anteriormente definimos la intensidad de campo eléctrico como la fuerza que actúa sobre una unidad de carga de prueba. Por lo tanto, al mover una unidad de carga del punto P1 al punto P2 en un campo eléctrico hay que realizar un trabajo en contra del campo, igual a

Wq = ∫

p1

P2

E .dl (J/C o V)

Para ir de P1 a P2 pueden seguirse muchas, trayectorias, en la figura 5, se ilustran dos de ellas. Puesto que la trayectoria entre P1 y P2 no esta especificado en la ecuación, surge la siguiente duda: Como depende el trabajo de la trayectoria que se siga

Wq

debe ser independiente de la trayectoria : si no fuese así, sería

posible ir de P1 a P2 por una trayectoria por la que W es mas pequeño y luego regresa a P1 por otra trayectoria, logrado asi una ganancia neta en trabajo o energía. Este resultado iría en contra de principio de conservación de la energía. Ya hemos alusión a la naturaleza independiente de la trayectoria de la integra de línea escalar del campo irrotacional E cuando utilizamos la ecuación

∲C E .dl = 0 (en el espacio libre)

En forma análoga el concepto de energía potencial en la mecánica, representa la diferencia en energía potencial eléctrica de una unidad de carga entre P1 y P2. Si denotamos la energía potencial eléctrica por unidad de carga con V (potencial eléctrico)

V 1 - V 2 = ∫p1

P2

E .dl(diferencia de potencial o voltaje electrostático)

Figura 5

No podemos hablar de potencial absoluto de un punto, primero hay que especificar un punto de referencia de potencial cero. En la mayoría de los caso el punto de referencia se toma en el infinito. Cuanto el punto de referencia no se encuentra en el infinito debe especificarse de manera explícita.

Es importante recordar lo siguiente: En primer lugar hay que incluir el signo negativo, para estar de acuerdo con el convenio que dice que el potencial eléctrico V aumenta al ir encontrar del campo eléctrico E, por ejemplo cuando se conecta una batería de corriente continua con voltaje V 0 entre dos placa conductoras paralelas como se muestra en la figura 6, las carga positivas y negativa se acumulan en las placa superior e inferior, respectivamente. El campo E esta dirigido de la carga positiva a la negativas, mientras que el potencial aumenta dirección opuesta.

Figura 6

En segundo lugar, la dirección de ∇V es normal a las superficies con V constante. Por lo tanto, por tanto si usamos líneas de campo dirigidas o líneas de flujo para indicar la dirección del campo E, siempre serán perpendiculares a las líneas equipotenciales y a las superficies equipotenciales

Potencial eléctrico debido a una distribución de carga

El potencial eléctrico de un punto a una distancia R de un carga

puntual q con respectó al infinito puede obtenerse de V 1 - V 2 = ∫p1

P2

E .dl

V = −∫∞

R

(a¿¿ Rq

4 π∈0R2 ) ·(aRdR)¿

De lo cual se obtiene el potencial electrostático de una carga puntual con respecto al infinito

V = q

4 π∈0R2 (V)

Es una cantidad escalar y depende únicamente de la distancia R, además de q. La diferencia de potencial entre dos puntos P1 y P2 a distancias R1 y R2 respectivamente de q es:

V 21 = V P2 - V P1 = q

4 π∈0 ( 1R2 -

1R1)

El potencial eléctrico en R debido a un sistema de n cargas discretas q1,

q2, …..qn localizadas en R1', R2',………………….Rn' es por superposición, la suma de los potenciales ocasionados por las cargas individuales

V = q

4 π∈0 ∑k−1

n qk

¿R−Rk'∨¿

¿ (v)

Determinación del potencial electrostático a partir del momento dipolar eléctrico

Partiendo de la ecuación de potencial de un dipolo V≅ qd cosθ

4 π∈0R2

V= PaR

4 π∈0R2 (V), donde P = qd y es el momento dipolar eléctrico (se

omite por cuestión de sencillez)

El campo E puede obtenerse de – ∇V en coordenadas esféricas tenemos

E= – ∇V = - aR ∂V∂ R - aθ

∂VR∂θ

E= P

4 π∈0R3 (aR2cosθ+ aθ sin θ) esta ecuación es independiente de ∅

Determinación del potencial eléctrico debido a una distribución de carga continúa

El potencial eléctrico debido a una distribución de carga continúa confinada en una región dada se obtiene integrado la contribución de un elemento de carga sobre toda la región cargada. Para una distribución volumétrica de carga tenemos

V = 1

4 π∈0 ∫ υ' ρυ

R dυ ' (V) (recuerde que la integral es triple)

Para una distribución superficial de carga

V = 1

4 π∈0 ∫ S' ρS

R ds ' (V) (recuerde que la integral es doble)

Para una línea de carga

V = 1

4 π∈0 ∫ L ' ρl

R dl' (V)

Comportamiento de los campos eléctrico estáticos

Conductores en un campo eléctrico estático

Se introducen algunas cargas positivas (o negativas) en el interior de un buen conductor. Se establece un campo eléctrico en el conductor y el campo ejercerá una fuerza sobre las cargas y hará que se alejen entre si. Este movimiento continuara hasta que todas las cargas lleguen a la superficie del conductor y se distribuyan de manera que desaparezcan en el interior tanto la carga como el campo. Por lo tanto en conducciones estáticas

Campo eléctrico dentro de un conductor

ρS = 0 (cargas libre iguales a cero)

E = 0 (intensidad de campo eléctrico igual a cero)

La distribución de carga en la superficie del conductor depende de la forma de la superficie. Es obvio que las cargas no estaría en un estado de equilibrio si existiera una componente tangencial de la intensidad de campo eléctrico que produjera una fuerza tangencial y moviera las cargas. Por lo tanto en condiciones estáticas el campo eléctrico sobre una superficie de un conductor es normal a la superficie en todos los puntos.

En otras palabras la superficie de un conducto es una superficie equipotencial en condiciones estáticas. De hecho E= 0 en todos los lugares dentro del conductor, todos los conductores tiene potencial electrostático.

En la figura 7, se muestra una superficie de separación entre un conductor y el espacio libre. Considere el contorno abda, con una anchura ab = cd = ∆ w, y altura bc = da = ∆ h. Los lado ab y cd son

paralelos a la superficie de separación al aplicar la ecuación ∲cE .dl = 0 cuando ∆ h → 0 y observar que E en un conductor es cero, obtenemos

∲abcdaE .dl = Et ∆w = 0, de donde Et = 0

Figura 7

Lo cual indica que la componente tangencial del campo E sobre la superficie de un conductor es cero en condiciones estáticas. Para hallar En, la componente normal de E en la superficie del conductor, construiremos una superficie gaussiana en forma de delgada de caja circula con la cara superior en el espacio libre y la inferior en el

conductor donde E = 0, partiendo de la ecuación ∲s E .ds = Q∈0

aplicado

al área en estudio obtenemos que

∲s E .ds = En ∆ S = ρS∆ S

∈0

En = ρS

∈0

Por consiguiente, la componente normal de campo E sobre la frontera conductor – espacio libre es igual a la densidad superficial (ρS¿de carga

del conductor dividida por la permitividad del espacio libre (∈0 ¿

Campo eléctrico en la superficie (conductor- espacio libre) de un conductor en condiciones estáticas.

Et = 0

En = ρS

∈0

Condiciones en la frontera para campos electrostáticos

Consideremos una superficie entre dos medios generales como se muestra en la figura 8

Figura 8

Construyamos una trayectoria pequeña abcda con lados ab y cd en el medio 1 y 2, respectivamente, ambos paralelos a la superficie de

separación, e igualmente a ∆ w, Aplicamos la ecuación ∲cE .dc=0, a esta

trayectoria. Si dijéramos que los lados bc = da = ∆ h se aproxime a creo, podemos ignorar sus contribuciones a la integral de línea de E a lo largo de la trayectoria. Tenemos

∲l E .dl=¿ E1 ∙∆w + E2 ∙(−∆w) =E1 t ∆ w - E2 t ∙∆w = 0

Por lo tanto

E1 t = E2 t (V/m)

Lo cual establece que la componentes tangencial de un campo E es continua a través de una superficie de separación. Cuando los medios 1 y2 son dieléctricos con permitividades ∈1 y ∈2, respectivamente, tenemos

D1t

∈1

= D2 t

∈2

Para hallar una relación entre la componentes normales de los campos en una frontera, construiremos una pequeña caja circular con las caras superior en el medio 1 y la inferior en el medio 2, como se

ilustra en la figura 8, las caras tiene un área ∆ s, y la altura de la caja ∆ h es muy pequeña, al aplicar a la caja la ley de gauss tenemos

∲s D .dS=¿ ¿¿ ∙ an2 + D2 ∙ an1¿ ∆ s =an2 ·¿¿ - D2 ¿∆s= ρS ∆ s

donde hemos usado la relación an2= - an1, los vectores unitarios an1 y an2 son normales y dirigidos hacia fuera de los medios 1 y 2, respectivamente

an2·(D1- D2) = ρS '

D1n- D2n = ρS (C/ m2)

Donde la normal unitaria de referencia va hacia fuera del medio dos. La componente normal del campo D es discontinua a través de una superficie de separación cuando existe una carga superficial, y que la cantidad de la discontinuidad es igual a la densidad superficial de carga. Si el medio 2 es un conductor, D2 = 0

D1n = ∈1E1n = ρS ' , cuando medio 1 es el espacio libre

Cuando dos dieléctricos están en contacto sin cargas libres en la

superficie de separación, ρS = 0 y tenemos

D1n= D2n

∈1E1n = ∈2E2n

En resumen las condiciones de frontera que debe satisfacer los campos eléctricos estáticos.

Componentes tangencial E1n = E2n

Componentes normal an2·(D1- D2) = ρS '

Capacitancia y condensadores

V = 1

4 π∈0 ∫ S' ρS

R ds '

de la ecuación anterior podemos llegar a la conclusión de que el potencial de un conductor aislado es directamente proporcional a su carga total. Recordemos que al aumentar V en un factor k se

incrementa E = -∇V en el mismo factor. Si embrago E = an ρS

∈0 y por lo

tanto la carga total aumenta en un factor k,

Q = C.V

Donde la constante de proporcionalidad se denomina capacitancia del cuerpo conductor aislado. Su unidad es el coulomb por voltios o farad (F).

El condensador o capacitor consiste en dos conductores separados por el espacio libre o un medio dieléctrico, los conductores puede ser de forma arbitrarias, por ejemplo lo que se muestra en la figura 9. Cuando se conecta una fuente de voltaje de corriente continua entre los conductores, ocurre una trasferencia de carga que produce una carga +Q en un conductor y –Q en el otro. En la figura 9, se muestran varias líneas de campo eléctrico que se originan de las cargas positivas y termina en las cargas negativas. Obsérvese que las líneas de campo son perpendiculares a la superficie de los conductores, las cuales son superficies equipotenciales. Podemos aplicar la ecuación Q = C.V, en esta situación si consideramos V es la diferencia de potencial entre los conductores, V 12. Es decir

C= QV 12

(F)

Figura 9

La capacitancia de un condesador es una propiedad física de un sistema de dos conductores. Depende de la geometría y de la permitividad del medio

Capacitancia de un condensador de placas paralelas

Un condesador de placas paralelas, consiste en dos placas conductoras paralelas de area S, separada por una distancia uniforme d. El espacio entre las placas se llena con un dieléctrico permitividad constante ∈. En la figura 10 se muestra un corte transversal del condensador

Figura 10

El sistemas de coordenadas apropiado para este calculo es el cartesiano , colocamos carga +Q y – Q en las placas conductoras superior e inferior, respectivamente, las cargas se distribuyen uniformemente en las placas conductoras, con densidades superficiales son +ρ s y −ρ s ' donde

ρ s = QS

E = - a yρs

∈ =- a y

Q∈S '

Es constante en el dieléctrico si se logra el efecto marginal del campo eléctrico en los bordes de las placas. Entoces

V 12 = −∫y=0

y=d

Edl= - ∫0

d

(−a¿¿ s Q∈S

)∙(a¿¿Y dy)¿¿= Q∈Sd

Para un conductor de placas paralelas la capacitancia es:

C = QV 12

= ∈ Sd es independiente de la carga Q y de V 12

Capacitancia de un condensador cilíndrico

Un condensador cilíndrico, (ver figura 11), consiste en un conductor interno con radio a y un conductor externo de radio interior b. El espacio entre los conductores está lleno de un dieléctrico con

permitividad ∈ y la longitud del condensador es L

Figura 11

Utilizaremos coordenadas cilíndricas, primero suponemos cargas +Q y – Q en las superficie interna y externa, respectivamente. El campo E de dieléctrico puede obtenerse, aplicando la ley de gauss a la superficie gaussiana cilíndrica en el dieléctrico a ¿ r ¿b. Si observamos

que ρl = QL

E= arE r = arQ

4π∈ Lr

Ignoramos una vez mas los efectos marginales del campo cerca de los borde de los conductores. La diferencia de potencial entre los

conductores interno y externo es V ab = −∫r=b

r=a

Edl= -

∫b

a

(−a¿¿ r Q4 π∈Lr

)∙ (a¿¿ r dr )¿¿= Q4 π∈L

ln ¿

En un condensador cilíndrico la capacitancia es

C= QV ab

= 4 π∈L

lnba

Energía y fuerza electrostáticas

El potencial eléctrico en un punto de un campo eléctrico es el trabajo necesario para atraer una unidad de carga positiva desde el infinito (potencial de referencia cero) a dicho punto. Para traer una carga Q (lentamente de tal manera que se pueda ignorar la energía cinética y los efectos de radiación) desde el infinito contra el campo creado por una carga Q1 en el espacio libre hasta una distancia R12 la cantidad de trabajo es

w2 = Q2V 2 = Q2

Q1

4π∈0 R12

Puesto que los campos electrostáticos son conservativos, w2 es

independiente de la trayectoria que siga Q2

w2 = Q1

Q2

4π∈0 R12 = Q1V 1

Este trabajo se almacena como energía potencial en el conjunto de las dos cargas, confinando las dos ecuaciones anteriores

w2 = 12 (

Q1V 1+Q 2V 2 ¿

Supongamos que se trae otra carga Q3 desde el infinito hasta un punto

que esta a una distancia R13 de Q1 y R23 de Q2, se necesita un trabajo adicional igual a

∇W = Q3V 3 = Q3(Q1

4 π∈0R13 +

Q2

4 π∈0R23)

w3 = w2 + ∇W = 1

4 π∈0 (Q1Q2

R12 +

Q1Q3

R13 +

Q2Q3

R23)

Podemos escribir la ecuación de la siguiente manera

w3=12[

Q1 ¿+Q3

4 π∈0R13)+Q2 ¿+

Q3

4 π∈0R23)+Q3 ¿ +

Q2

4 π∈0R23)

w3 =12 (

Q1V 1+Q 2V 2+Q3V 3¿

Si extendemos este procedimiento incorporar cargas adicionales, llegaremos a la expresión general de la energía potencial de un grupo de N cargas puntuales discretas en reposo. Es la energía eléctrica almacenada en un sistema de cargas puntuales discretas

w e = 12∑k=1

N

QkV k (j)

La unidad de la energía es Joule (j), en la física de partículas elementales se usa el electrón – volt (eV), que es la energía o el trabajo necesario para mover un electrón encontrar de una diferencia de potencial de un volt

1Ev =1,60 10−19 j

Energía eléctrica almacenada en una distribución de carga continua

Es necesario modificar la formula de w e, tenemos una distribución de carga continua con densidad ρυ dυ, sustituimos Qk por ρυ dυ y la sumatoria es una integral

w e = 12∫υ' ρυ V dυ (j)