Ejercicios selectividad física Andalucía 2013 resueltos - Campos eléctrico y magnético

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1.(Reserva, 2013) Una partcula con carga 2 * 10-6 se encuentra en reposo en el punto (0,0). Se aplica un campo elctrico uniforme de 500 NC-1 en el sentido positivo del eje OY. a) Describa el movimiento seguido por la partcula y la transformacin de energa que tiene lugar a lo largo del mismo. b) Calcule la diferencia de potencial entre los puntos (0,0) y (0,2) m y el trabajo realizado para desplazar la partcula entre dichos puntos. K = 9 * 109 Nm2C-2 a) Al hallarse en una regin donde existe un campo elctrico uniforme dirigido hacia arriba, la carga experimentar una fuerza que tiene por expresin vectorial:

= Por lo tanto, tal y como se deduce de la 2 ley de Newton, la carga se acelerar en la direccin y el sentido del vector fuerza.

= = Como se observa, la aceleracin es, en todo momento, constante. La partcula, pues, describir un MRUA sobre el eje OY. La integracin de la ecuacin proporcionada por la 2 ley de Newton permite obtener las dependencias de la velocidad y la posicin con el tiempo. Se considerar que velocidad y posicin iniciales son nulas:

() = =

() = = 2 2

Analicemos ahora los cambios energticos que sufre la partcula. Por una parte, dado que la velocidad de esta aumenta linealmente con el tiempo, tambin se incrementar su energa cintica, la cual podemos poner en funcin del tiempo del siguiente modo:

() = 12 2 = 12 ( )

2 = 222 2 Este aumento de energa cintica se debe al trabajo que el campo elctrico efecta sobre la partcula.


Por otra parte, a medida que la carga marcha sobre una lnea de campo elctrico, su energa potencial vara. La expresin general de la energa potencial es:

=

Para la situacin planteada en el problema (campo elctrico uniforme), la energa potencial, supuesta nula en el infinito, tomar la forma:

= =

= Recurriendo de nuevo a las ecuaciones de movimiento, escribimos la energa potencial como una funcin del tiempo:

() = 2 2 = 222 2

Este resultado era de esperar, ya que en todo campo conservativo, en ausencia de fuerzas externas, un aumento de energa cintica siempre va acompaado de una disminucin de la energa potencial y viceversa. Se trata, en definitiva, de una consecuencia directa del principio de conservacin de la energa mecnica.

= = 0 As, la energa total de la partcula se mantiene constante.

b) Si en la expresin de la energa potencial empleada en el apartado anterior se dividen ambos miembros por la carga en movimiento, resulta:

=

O, equivalentemente:

=

Pues, en efecto, el potencial en un punto se corresponde con la energa potencial que tendra una carga unidad positiva situada en el mismo. El potencial, al igual que la intensidad de campo elctrico, son funciones que solo dependen de las caractersticas del campo elctrico y no de las cargas que estn bajo su influencia.

La diferencia de potencial entre dos puntos A y B ser:

= = =

( )


Sustituyendo:

= 500 2 = 1000 Tiene sentido: las cargas positivas se desplazan espontneamente hacia los potenciales decrecientes.

Para determinar el valor del trabajo efectuado por el campo elctrico, aplicaremos la expresin:

= =

Pero la segunda integral no es otra cosa que la diferencia de potencial entre A y B. Se concluye que:

= ( ) = 2 106 1000 = 2 103 Resultado que tambin es coherente con el caso estudiado ya que la carga se desplaza de forma espontnea, en la direccin y sentido de las lneas de campo.

2.(Junio, 2013) a) Explique las caractersticas del campo magntico creado por una corriente elctrica rectilnea indefinida. b) Por dos conductores rectilneos, paralelos y de longitud infinita, circulan corrientes de la misma intensidad y sentido. Dibuje un esquema indicando la direccin y sentido del campo magntico debido a cada corriente y del campo magntico total en el punto medio de un segmento que une a los dos conductores. Razone cmo cambiara la situacin al duplicar una de las intensidades y cambiar su sentido. a) Una corriente elctrica es un flujo de cargas y, por consiguiente, crea un campo elctrico variable que genera un campo magntico. El mdulo del vector induccin magntica producido por una corriente rectilnea e infinita puede deducirse fcilmente de la ley de Ampre, que para un campo magntico estacionario tiene la forma:

= Para facilitar la resolucin de la integral, escogemos una lnea con forma de circunferencia que rodea al conductor. De este modo, el campo magntico en cualquier punto de la circunferencia tendr el mismo mdulo al hallarse a la misma distancia de la corriente.


Queda:

=

= 2 Aplicando la ley de Ampre:

2 = = 2 As pues, el mdulo del campo creador por una corriente de este tipo es directamente proporcional a la intensidad que circula por el conductor y decrece linealmente con la distancia. Asimismo, su valor depender del medio en el que se site el conductor.

Recurrimos a la forma diferencial de la ley de Biot y Savart para estudiar la orientacin del vector induccin magntica:

= 4 2

El producto cruz nos dice que ser perpendicular al plano que generan los vectores que se estn multiplicando, es decir, ser normal tanto a la direccin y sentido en la que circula la corriente como al vector que une el conductor con el punto donde se est calculando el campo magntico.

Tambin se desprende de esta expresin que el sentido del vector induccin magntica cambiar si se modifica el sentido de la corriente elctrica. Este se puede predecir a travs de la aplicacin de la regla de la mano derecha.


b) Teniendo en cuenta las consideraciones realizadas en el primer apartado, un esquema apropiado sera el siguiente:

Como se observa, los vectores induccin magntica en el punto medio del segmento que une los conductores tienen el mismo mdulo (debido a que las intensidades de corriente que circulan por los conductores son iguales, as como las distancias entre cada conductor y el punto medio del segmento) y direccin, pero sentidos contrarios. Por lo tanto, la suma de los vectores es nula.

1 = 2 = 0 Si se invierte el sentido de una de las corrientes y se duplica la intensidad de la misma, el campo magntico en el punto medio, evidentemente, ser distinto de cero.


En este segundo caso, los dos vectores tienen igual direccin y sentido, y el mdulo de uno de ellos es el doble del mdulo del otro. Podemos obtener analticamente el valor del campo resultante:

= 1 + 2 = 2 ( + 2) = 32 Siendo la distancia entre cada conductor y el punto medio del segmento que los une.

3.(Reserva, 2013) Dos partculas de 25 g y con igual carga elctrica se suspenden de un mismo punto mediante hilos inextensibles de masa despreciable y 80 cm de longitud. En la situacin de equilibrio los hilos forman un ngulo de 45 con la vertical. a) Haga un esquema de las fuerzas que actan sobre cada partcula. b) Calcule la carga de las partculas y la tensin de los hilos. K = 9109 Nm2 C-2 ; g = 9,8 ms-2 a) Sobre cada partcula actan tres fuerzas: el peso, la tensin del hilo y la fuerza elctrica repulsiva debida a la otra carga.

El sistema se halla en equilibrio, por lo que ha de verificarse que:

= 0 + + = 0


b) Se trata de un simple problema de dinmica. Extraemos una ecuacin por separado para cada eje:

{{ = sin 45 = 22 = cos 45 =

Dividiendo ambas ecuaciones, obtenemos la carga:

tan 45 = 22 = 2 tan 45

La distancia entre las cargas puede deducirse por trigonometra. Por ejemplo, como los ngulos agudos del tringulo formado por los hilos y el segmento que une las cargas mide 45 grados, la distancia entre una de las cargas y el punto medio del segmento que las une es:

2 = cos 45 Donde es la longitud de la cuerda. La separacin entre las cargas ser el doble de esta longitud.

Sustituyendo:

= 0,025 9,8 2 (2 0,8 cos 45 )2 tan 459 109 2 2 = 5,9

La tensin puede despejarse fcilmente de la ecuacin del eje vertical.

= cos 45 =0,025 9,8 2cos 45 = 0,35

4.(Septiembre, 2013) Dos cargas elctricas puntuales q1 = - 5 C y q2 = 2 C estn separadas una distancia de 10 cm. Calcule: a) El valor del campo y del potencial elctricos en un punto B, situado en la lnea que une ambas cargas, 20 cm a la derecha de la carga positiva, tal y como indica la figura. b) El trabajo necesario para trasladar una carga q3 = -12 C desde el punto A, punto medio entre las cargas q1 y q2, hasta el punto B. Qu fuerza acta sobre q3 una vez situada en B? K = 9109 Nm2C-2


a) La imagen que se adjunta con el problema es esta:

El campo elctrico creado por una carga puntual viene dado por la expresin:

= 2 Por lo tanto, su sentido depender del signo de la carga que crea el campo. En este caso, suponiendo que el segmento representado en el croquis est contenido en el eje X, el campo que genera la carga 1 estara dirigido hacia los valores negativos del eje, mientras que el que crea la carga 2 apuntara hacia los valores positivos.

Sustituimos en la frmula para calcular los mdulos de dichos vectores:

1 = 9 109 22 5 106 (0,3 )2 = 5 105

2 = 9 109 22 2 106 (0,2 )2 = 4,5 105

Segn el principio de superposicin, el campo elctrico resultante en B coincide con la suma vectorial de los campos individuales sobre ese punto.

= = 1 + 2 = (5 105 + 4,5 105) = 5 104

b) El trabajo realizado por una fuerza al desplazar su punto de aplicacin a lo largo de una lnea se define como la circulacin del vector fuerza en esa lnea:

= Podemos transformar la integral del siguiente modo:

= = 3

Teniendo en cuenta la relacin entre campo y potencial elctricos:

= Resulta que:

3 = 3

= 3 = 3( )


El potencial en los puntos A y B ser la suma escalar de los potenciales creados por cada carga, de acuerdo con el principio de superposicin.

La frmula que permite calcular el potencial debido a una carga puntual es:

= De este modo, los potenciales en A y B valen:

= ( 11 +22) = 9 109

22 (5 106 0,05 + 2 10

6 0,05 )= 5,4 105 = ( 11 +

22) = 9 109 22 (5 10

6 0,3 + 2 106 0,2 )= 6 105

Finalmente:

= 3( ) = 1,2 105 (5,4 105 + 6 105 ) = 0,72 El que el trabajo total sea negativo indica que, situada en el punto A, esta tercera carga no se desplazara espontneamente hacia B, pues ello conllevara un aumento en su energa potencial.

Por ltimo, la fuerza puede calcularse sin ms que aplicar la definicin de intensidad de campo elctrico:

= = Conocidos el campo elctrico y la carga, solo queda introducir los valores correspondientes en la expresin de la fuerza.

= = 1,2 105 5 104 = 0,6

5.(Septiembre, 2013) a) Explique las caractersticas de la fuerza sobre una partcula cargada que se mueve en un campo magntico uniforme. Vara la energa cintica de la partcula? b) Una partcula con carga positiva se mueve en lnea recta y penetra en una regin en la que existen un campo elctrico y un campo magntico, perpendiculares entre s y perpendiculares a la velocidad inicial de la partcula. Haga un esquema y razone qu condicin debe cumplirse para que la partcula contine su trayectoria rectilnea.


a) Cuando una partcula cargada en movimiento penetra en un campo magntico, sufre los efectos de una fuerza que modifica la trayectoria de la misma pero no su celeridad. Se comprueba experimentalmente que dicha fuerza vara con el seno del ngulo que forman el campo magntico y la velocidad de la partcula, tornndose nula cuando estos vectores son paralelos. Asimismo, es directamente proporcional a la carga. Matemticamente:

= || sin Se descubre fcilmente que la fuerza admite una expresin vectorial del tipo:

= Esta expresin recibe el nombre de ley de Lorentz. Debido al producto cruz, la fuerza es en todo momento perpendicular a la velocidad, lo que explica que una carga que penetra en un campo magntico uniforme describa un movimiento circular uniforme (o helicoidal, si la direccin de la velocidad inicial con la que entra el corpsculo no es normal al campo). El sentido de la fuerza puede ser determinado a travs de la regla de la mano derecha, o del sacacorchos.

La variacin de energa cintica coincide con el trabajo realizado sobre la carga (teorema de las fuerzas vivas). Por lo tanto, si estudiamos qu trabajo efecta el campo magntico sobre la partcula tambin conoceremos cmo se ve alterada su energa cintica. Por definicin, el trabajo es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento:

= Introduciendo la fuerza de Lorentz:

= ( ) El vector velocidad es tangente al vector desplazamiento y su producto vectorial con el campo magntico dar como resultado un vector perpendicular al desplazamiento, siendo pues el producto escalar nulo.

= 0 = 0 Considerando que la masa permanece constante, esto equivale a afirmar que el mdulo de la velocidad de la carga tampoco vara, lo cual es evidente ya que la fuerza tiene carcter normal y no tangencial.

b) Dado que la partcula se halla en el seno de un campo elctrico y de un campo magntico, aparecern sobre ella dos fuerzas, que son:

= =


Un esquema grfico de la situacin podra ser:

El que la partcula describa una trayectoria rectilnea supone, en base a la segunda ley de Newton, que la suma de las fuerzas sobre la carga es nula o tiene la misma direccin que la velocidad inicial. En cualquiera de estos dos casos, la trayectoria del corpsculo no se vera afectada ya que la fuerza resultante no modificara la direccin del vector velocidad instantnea.

En conclusin, como las dos fuerzas tienen la misma direccin y sentido contrario, sus mdulos han de coincidir de modo que su suma vectorial d el vector nulo. Por lo tanto:

= = || sin 90 || =

En este resultado se basa el funcionamiento del selector de velocidades.

6. (Reserva, 2013) a) Explique en qu consiste el fenmeno de induccin electromagntica y escriba la ley de Lenz-Faraday. b) Una espira, contenida en el plano horizontal XY y movindose en la direccin del eje X, atraviesa una regin del espacio en la que existe un campo magntico uniforme, dirigido en el sentido positivo del eje Z. Razone si se induce corriente elctrica en la espira e indique el sentido de la misma en cada uno de los siguientes casos: i) cuando


la espira penetra en el campo; ii) cuando se mueve en su interior; iii) cuando sale del campo magntico. a) El cientfico britnico Michael Faraday comprob que al cerrar y abrir un circuito, apareca una corriente transitoria en otro circuito prximo al primero. Esta induccin solo se produca cuando variaba la intensidad de corriente del primer circuito, pero no cuando esta se mantena constante.

En otra experiencia, aproximaba y alejaba un imn a un bobinado y, al igual que suceda en el caso anterior, se induca una corriente elctrica nicamente si exista movimiento relativo entre ambos elementos.

Ambos experimentos verificaban que, del mismo modo que una corriente elctrica genera un campo magntico, lo opuesto tambin es posible. De hecho, la sntesis electromagntica y ptica de Maxwell pona de manifiesto que todo campo elctrico variable creaba un campo magntico variable y viceversa. En el siglo XX, la teora de la relatividad demostr que los campos elctrico y magntico son, en verdad, dos manifestaciones distintas de un mismo fenmeno.

En definitiva, las experiencias de Faraday (as como otras llevadas a cabo por el estadounidense Joseph Henry) evidenciaban que se induca corriente en un conductor si se producan variaciones en la intensidad de campo magntico o si se modificaba la superficie del conductor. Ambas magnitudes pueden ser relacionadas a travs de una entidad matemtica anloga a la circulacin mas definida sobre una superficie de dos dimensiones. Se trata del flujo, que para el campo magntico adopta la forma:

= = = cos El flujo total a travs de una superficie es la suma de los flujos elementales, esto es, la integral de superficie:

= = cos

Para campos magnticos uniformes y superficies planas, la integral es inmediata:

= cos Muchos interpretan el flujo como una medida del nmero de lneas de campo que atraviesan una superficie, siguiendo a Faraday.

As pues, la fuerza electromotriz inducida en un circuito es directamente proporcional a la variacin de flujo magntico que lo atraviesa (ley de Faraday o de Faraday-Henry):

|| =


Ms adelante, Heinrich Lenz estudi el sentido de las corrientes inducidas de este modo y postul que:

El sentido de las corrientes o fuerza electromotriz inducida es tal que se opone siempre a la causa que la produce, o sea, a la variacin del flujo.

Generalmente, las leyes de Faraday y Lenz se escriben en una sola ecuacin que ana ambas contribuciones.

= Si no se conoce la dependencia del flujo magntico con el tiempo, puede calcularse la fuerza electromotriz inducida media:

= El fenmeno de la induccin electromagntica es de capital importancia en el mundo moderno, pues es el que hace posible la generacin de corriente alterna.

b) Se inducir fuerza electromotriz cuando la espira sale o entra al campo magntico, ya que se solo entonces se produce una variacin del nmero de lneas de campo que atraviesa la superficie y, por consiguiente, del flujo magntico.

Esto puede ser verificado analticamente. Para mayor facilidad, supongamos que la velocidad con la que se desplaza la espira es constante y, adems, que esta es rectangular. A medida que penetre en el campo magntico, la superficie de la espira vendr dada por el producto de los lados. Uno de ellos es constante en todo momento (llammoslo ) mientras que el otro crece linealmente con el tiempo.

= Considerando que la espira y el campo son perpendiculares, el flujo magntico vendr dado por:

= = Y la fem inducida en la espira:

|| = = De modo que s se induce corriente. En este caso, el valor de la fuerza electromotriz es constante.

Este resultado, conocido como fem de movimiento, puede obtenerse a travs de otro procedimiento. La fuerza electromotriz, al tratarse de una diferencia de potencial, puede definirse como el trabajo efectuado por unidad de carga.


Analticamente:

= 1 La fuerza a la que se halla sometida la carga al tiempo que recorre el circuito elctrico viene dada por la ley de Lorentz. El campo magntico y la velocidad de la carga en movimiento son perpendiculares. Por lo tanto:

= Adems, esta fuerza tiene la misma direccin y sentido que el vector diferencial de longitud. Sustituyendo en la integral:

= 1 = =

7.(Reserva, 2013) Un protn, inicialmente en reposo, se acelera bajo una diferencia de potencial de 103 V. A continuacin, entra en un campo magntico uniforme, perpendicular a la velocidad, y describe una trayectoria circular de 0,3 m de radio. a) Dibuje en un esquema la trayectoria del protn, indicando las fuerzas que actan sobre l en cada etapa y calcule el valor de la intensidad del campo magntico. b) Si con la misma diferencia de potencial se acelerara un electrn, determine el campo magntico (mdulo, direccin y sentido) que habra que aplicar para que el electrn describiera una trayectoria idntica a la del protn y en el mismo sentido. e =1,610-19 C ; mp = 1,710-27 kg ; me = 9,110-31 kg

a) A medida que el protn atraviesa el campo elctrico, sufrir los efectos de una fuerza constante que, por la segunda ley de Newton, dotar a la partcula de una


aceleracin constante y de una velocidad inicial con la que penetrar en el campo magntico. En esta segunda etapa, la fuerza magntica ser en todo momento perpendicular a la velocidad y solamente modificar la direccin de la misma.

En primer lugar, se ha de calcular la velocidad con la que el protn entra en el campo magntico tras ser acelerado por la diferencia de potencial elctrico. Esto se puede conseguir a travs de procedimientos variopintos:

I) Por conservacin de la energa.

Todo campo elctrico uniforme es conservativo y, en ausencia de fuerzas externas, se tiene que cumplir que:

= 0 Consecuentemente:

= Dado que la partcula parte del reposo, la variacin de energa cintica que experimenta vendr ser:

= = = 122 Por otra parte, el cambio en la energa potencial puede deducirse de la expresin utilizada en el primer ejercicio de este documento.

= =

= =

A pesar de la apariencia del resultado, la variacin de energa potencial debe ser negativa. La solucin a esta contradiccin reside en que la variacin de potencial tambin es menor que cero, aunque no se especifique en el enunciado. El protn se desplaza espontneamente en el sentido de las lneas de campo y el potencial en ese trayecto disminuye. Obsrvese la ecuacin que relaciona el campo elctrico y el potencial:

= Para un campo elctrico uniforme como este, podemos escribir:

= Por lo tanto:

= 103


Aplicamos, ahora s, el principio de conservacin de la energa mecnica.

= 12 2 = = 2 II) Por el teorema de las fuerzas vivas.

Se trata de un proceso casi idntico al anterior. El teorema de las fuerzas vivas, tambin conocido como teorema de la energa cintica o, en ingls, Work-Energy theorem, postula que todo trabajo realizado sobre un cuerpo se invierte en variar su energa cintica.

= El clculo del trabajo se omitir por ser exactamente igual al del cambio de la energa potencial en el procedimiento anterior, con la salvedad de un signo, puesto que:

= As, igualando ambos resultados se llega al mismo resultado que en el primer mtodo.

III) Por cinemtica.

En principio, podra parecer que no tenemos los suficientes datos para poder deducir la velocidad final del protn a travs de procedimientos cinemticos. No obstante, s que es posible. Empecemos por encontrar la expresin de la aceleracin de la que el protn se ve dotado en el campo elctrico (como se desplaza en una nica dimensin, tomaremos mdulos).

= || = || || = No conocemos el valor del campo elctrico, pero s sabemos la variacin de potencial a lo largo del recorrido del hadrn.

= Sustituyendo en la aceleracin:

|| =

En lugar de integrar la aceleracin, como se hizo en la primera actividad del documento, emplearemos directamente una de las frmulas bsicas de la cinemtica del MRUA:

2 02 = 2 = 2


Queda:

= 2 = 2

Pasamos a la segunda etapa del movimiento del protn. Una vez en el interior del campo magntico, aparece sobre el barin una fuerza que solemos denominar fuerza de Lorentz:

= || sin 90 = = || Por ser normal a la velocidad, la fuerza es centrpeta:

|| = ||2 Despejando el campo magntico:

= || Introducimos la expresin deducida para la velocidad del protn:

= 2 =1 2

Finalmente, sustituyendo por los correspondientes valores numricos:

= 10,3 2 1,7 1027 103 1,6 1019 = 15

b) Tal y como se deduce de la ley de Lorentz, el sentido de la fuerza que acta sobre la carga al desplazarse en el interior de un campo magntico depende del signo de la misma. Para que el electrn describiese una trayectoria circular en el mismo sentido de giro que el protn, el campo magntico debe estar orientado en sentido opuesto al del primer apartado. La direccin, sin embargo, sigue siendo la misma.

Por otra parte, dado que la masa del electrn es mucho menor que la del protn, el mdulo del campo magntico disminuir. Aplicamos la expresin a la que se lleg en el apartado anterior:

= 1 2 = 10,3 2 9,1 1031 103 1,6 1019 = 0,36

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