ElectrostElectrostááticaticaCampo electrostCampo electrostáático y potencialtico y potencial

1. Carga el1. Carga elééctricactrica

ElectrostElectrostáática = estudio de las cargas tica = estudio de las cargas elelééctricas en reposoctricas en reposo

Unidad de carga = el electrUnidad de carga = el electróón n e= 1.602177x 10e= 1.602177x 10--1919 CC

++ --

repulsión

+-

atracción

3.1 Ley de 3.1 Ley de CoulombCoulomb. . FenomenologFenomenologííaa

La fuerza entre cargas La fuerza entre cargas puntuales estpuntuales estáá

dirigida a dirigida a

lo largo de la llo largo de la líínea que nea que las une.las une.La fuerza varLa fuerza varíía a inversamente proporcional inversamente proporcional con el cuadrado de la con el cuadrado de la distancia que los separa distancia que los separa y es proporcional al y es proporcional al producto de las cargas.producto de las cargas.La fuerza es repulsiva si La fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo las cargas son del mismo signo y atractiva si son signo y atractiva si son de signo diferente.de signo diferente.

q1

q2

r1

r2

r12

F12

F21

F12 + F21 = 0

r1 - r2 = r12

3.2 Ley de 3.2 Ley de CoulombCoulomb. F. Fóórmularmula

Fuerza ejercida por qFuerza ejercida por q11 sobre qsobre q22

kk constante de constante de CoulombCoulombεε00 Permitividad del Permitividad del vacvacííoo

q1

q2

r1

r2

r12

F12

F21

F12 + F21 = 0

r1 - r2 = r12

12212

2112 r̂

rqqkF =

2291099.8 CNmk ×=

041πε

=k

22120 1085.8 NmC−×=ε

4. Campo el4. Campo elééctricoctricoLa fuerza elLa fuerza elééctrica supone una accictrica supone una accióón a distancia.n a distancia.Ejemplo: carga Ejemplo: carga AA

y carga y carga BB

La carga A causa una modificaciLa carga A causa una modificacióón de las propiedades n de las propiedades del espacio en torno a ella.del espacio en torno a ella.La carga (prueba) B percibe esta modificaciLa carga (prueba) B percibe esta modificacióón y n y experimenta una fuerzaexperimenta una fuerza

Consideremos que B puede estar en cualquier punto y Consideremos que B puede estar en cualquier punto y tener cualquier valortener cualquier valor

La fuerza es ejercida sobre la carga prueba por el La fuerza es ejercida sobre la carga prueba por el campocampo

La fuerza elLa fuerza elééctrica sobre un cuerpo cargado es ctrica sobre un cuerpo cargado es ejercida por el campo elejercida por el campo elééctrico creado por otros ctrico creado por otros cuerpos cargadoscuerpos cargados

2 ˆ( )A BAB BA

B A

q qF k ur r

=−

2 ˆ( )AA A

A

qF q k ur r

=−

AA EqF =

4.1 Campo el4.1 Campo elééctrico cargas ctrico cargas puntualespuntuales

Carga positiva = Carga positiva = fuentefuente

Carga negativa = Carga negativa = sumiderosumidero

-+

2ˆ( ) qE r k r

r= −2

ˆ( ) qE r k rr

=

RadialesProporcionales a la cargaInversamente proporcionales al cuadrado de la

distancia

4.4 L4.4 Lííneas de campo elneas de campo elééctricoctricoCampo = deformaciCampo = deformacióón del espacio n del espacio causada por un cuerpo cargado.causada por un cuerpo cargado.Se puede representar mediante lSe puede representar mediante lííneas.neas.El vector campo en un punto es tangente El vector campo en un punto es tangente a la la la líínea de campo nea de campo Dos lDos lííneas de neas de campo nunca pueden cruzarse.campo nunca pueden cruzarse.La densidad de lLa densidad de lííneas es proporcional a neas es proporcional a la intensidad del campo ella intensidad del campo elééctrico.ctrico.A grandes distancias las lA grandes distancias las lííneas son las neas son las de una carga puntual.de una carga puntual.

LLííneas de campo en esferas y neas de campo en esferas y planosplanos

Esfera con carganegativa Plano positivo

Simetría esférica Simetría planar

Dos cargas positivas

Carga positiva y carga negativaDipolo eléctrico

LLííneas de campo para dipolosneas de campo para dipolos

Flujo del campo elFlujo del campo elééctricoctricoEl producto de la intensidad del campo eléctrico por el área de superficie perpendicular al campo

se denomina flujo del campo a través de la superficie:

EAφ =la superficie no es perpendicular al campo.:El número de línea que atraviesa a A2

es el mismo que a A. Las áreas se relacionan mediante:

2 cosA Aθ =donde θ

es el ángulo que forma el campo

y el vector unitario perpendicular a A2

.

ˆ cos nEnA EA E Aφ θ= = =n̂

E

Flujo del campo elFlujo del campo elééctricoctricoPodemos generalizar la definiciPodemos generalizar la definicióón de n de flujo para flujo para superficies curvassuperficies curvas, en las , en las cuales el campo elcuales el campo elééctrico puede variar ctrico puede variar (en m(en móódulo y direccidulo y direccióón) dividiendo las n) dividiendo las superficies en un gran nsuperficies en un gran núúmero de mero de elementos muy pequeelementos muy pequeñños. os. Si cada elemento es muy pequeSi cada elemento es muy pequeñño, o, puede considerarse como plano. puede considerarse como plano. Sea Sea nn un vector unitario perpendicular un vector unitario perpendicular a dicho elemento de superficie y a dicho elemento de superficie y AA su su áárea (si la superficie es curvada los rea (si la superficie es curvada los vectores tendrvectores tendráán direcciones n direcciones diferentes de un elemento a otro. El diferentes de un elemento a otro. El flujo a travflujo a travéés de cada elemento:s de cada elemento:

El flujo total se obtendrEl flujo total se obtendráá

sumando los sumando los flujos obtenidos par cada elemento de flujos obtenidos par cada elemento de superficie. Tomando el lsuperficie. Tomando el líímite de que el mite de que el nnúúmero de elementos se aproxime a mero de elementos se aproxime a ∞∞

(el (el áárea de cada elemento tiende a 0), rea de cada elemento tiende a 0), la suma pasa a una integral:la suma pasa a una integral:

ˆi i iEn AφΔ = Δ

0ˆlim

ˆi

i iA iEn A

EndA

φ

φ

Δ →= Σ Δ =

= ∫

Flujo del campo elFlujo del campo elééctricoctricoConsideremos ahora una Consideremos ahora una superficie cerradasuperficie cerrada. . En esta superficie se define en cada punto el En esta superficie se define en cada punto el vector unitario normal a la superficie de tal modo vector unitario normal a la superficie de tal modo que estque estáá

dirigido hacia fuera. dirigido hacia fuera.

En un punto donde la fuerza entra a la superficie (el En un punto donde la fuerza entra a la superficie (el campo E apunta hacia adentro) es negativo. El flujo campo E apunta hacia adentro) es negativo. El flujo neto, neto, φφnetnet

, a trav, a travéés de la superficie es positivo o s de la superficie es positivo o negativo segnegativo segúún sea predominantemente hacia fuera n sea predominantemente hacia fuera o hacia adentro. o hacia adentro. El flujo neto de una superficie cerrada se El flujo neto de una superficie cerrada se representa como:representa como:

ˆnet nEndA E dAφ = =∫ ∫

Ejemplo: Una carga elEjemplo: Una carga elééctrica ctrica q estq estáá

dentro de una dentro de una

superficie esfsuperficie esféérica de radio rica de radio RR. Calcular . Calcular ФФnenett

a trava travéés de s de

esta superficie.esta superficie.El campo elEl campo elééctrico en un ctrico en un punto cualquiera de la punto cualquiera de la superficie es radial a ella y superficie es radial a ella y vale:vale:

2

KqER

=n̂ es también radial, por lo que ˆEn

2ˆ KqEn

R=

El Фnet

será

sumar para toda la superficie, cuya área es 4πR2

22 2

ˆ 4 4neto

kq kq qEndA dA R kqR R

φ π πε

= = = = =∫ ∫

5.3 Ley de Gauss5.3 Ley de GaussEl flujo del vector campo elEl flujo del vector campo elééctrico a travctrico a travéés de s de una superficie cerrada es igual a la carga neta una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada en su interior dividida por la encerrada en su interior dividida por la permitividadpermitividad

del medio.del medio.

La superficie gaussiana no es una superficie real ( es La superficie gaussiana no es una superficie real ( es matemmatemáática, y se elige segtica, y se elige segúún la simetrn la simetríía del problema).a del problema).La ley de Gauss simplifica los cLa ley de Gauss simplifica los cáálculos de campo ellculos de campo elééctrico ctrico en casos de gran simetren casos de gran simetríía.a.

0

4encenc

QE dA kQπε

Φ = ⋅ = =∫

5.4 C5.4 Cáálculos con ley de Gausslculos con ley de GaussCarga puntualCarga puntualSimetrSimetríía esfa esfééricarica

+

dA

r )4)(( 2rrEAdE π=⋅∫

0εencQAdE =⋅=Φ ∫

rr

QrE ˆ4

)( 20πε

=

6. Conductores en equilibrio6. Conductores en equilibrio

En un conductor existen cargas con En un conductor existen cargas con libertad de movimiento.libertad de movimiento.Una carga elUna carga elééctrica es capaz de moverse ctrica es capaz de moverse al aplicar un campo.al aplicar un campo.Si el campo se produce una Si el campo se produce una redistribuciredistribucióón de cargas en el interior n de cargas en el interior hasta la situacihasta la situacióón de n de ““equilibrio equilibrio electrostelectrostááticotico””..

E = 0

E = 0

Conductores en equilibrio Conductores en equilibrio electroestelectroestááticotico

Debido a la enorme variación en la capacidad para conducir la electricidad es posible y conveniente clasificar la mayor parte de los materiales enconductores aislantes

La capacidad de un material para conducir la electricidad se mide por su conductividad. La conductividad de un conductor típico es del orden de 1015

veces la de un aislante típico.

Conductores en equilibrio Conductores en equilibrio electrostelectrostááticotico

en los conductores las cargas están libres para moverse. Esta carga está

constituida por electrones que no están

ligados a ningún átomo. Los electrones más exteriores están más débilmente al ligados al núcleo debido a una mayor distancia al núcleo y a la repulsión electrostática provocada por los electrones internos (este efecto se llama apantallamiento).En presencia de un campo eléctrico externo, la carga libre del conductor se distribuye de tal modo que crea un campo eléctrico que tiende a cancelar o contrarrestar al campo exterior dentro del conductor. Si existe un campo dentro del conductor, existirá

una

fuerza q sobre esta carga que, si está

libre para moverse, se acelerará. Así

pues, el equilibrio electrostático es imposible en el

conductor, a no ser que el campo eléctrico sea cero en todas las partes de su interior.

El resultado es una densidad superficial de carga negativa en la cara izquierda de la lámina y a una positiva en el lado derecho,

debido a la eliminación de algunos electrones libres. Estas densidades crean un campo en el interior de la lámina que es opuesto al externo, de tal modo que el campo neto es cero en cualquier punto interior del conductor. No existe ninguna fuerza

neta que actúe sobre los electrones libres y, en consecuencia, se tiene un equilibrio electrostático.Cuando se aplica un campo externo, la carga se distribuye

rápidamente hasta alcanzar un valor de equilibrio de tal modo que el campo eléctrico neto es cero en el interior del conductor. El tiempo necesario para que se alcance el equilibrio suele ser del

orden de 10-16

s. (a efectos prácticos, el equilibrio se alcanza instantáneamente).

−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+

Los electrones libres estLos electrones libres estáán originalmente n originalmente distribuidos de modo uniforme por la ldistribuidos de modo uniforme por la láámina.mina.

Si el campo apunta hacia la derecha, los electrones se moverán hacia la izquierda. Pero si no es muy intenso los electrones quedarán sobre la superficie de la placa.

Consideremos un conductor y una superficie gaussiana

que quede justo

en el interior de la superficie del conductor. Como en el equilibrio electrostático el campo es cero en todos los puntos del conductor, también lo será

sobre la superficie

gaussiana. Puesto que En

es cero en todos los puntos de la superficie gaussiana, el flujo neto también es cero, por la ley de Gauss este flujo es proporcional a la carga neta dentro de la superficie. No existe carga neta en el interior del conductor.El campo en la superficie del conductor debe ser perpendicular a

la

superficie del conductor. Si el campo tuviera una componente tangencial, las cargas se moverían sobre la superficie en respuesta a esta fuerza tangencial, y no estaríamos en situación estática. Por tanto E t= 0, en la superficie de un conductor en equilibrio electrostático el campo eléctrico sólo tiene componente normal En

. En

es positivo si es saliente, y negativo si el campo está

dirigido hacia adentro del conductor.

Sea una superficie Sea una superficie gaussianagaussiana

en forma en forma de pequede pequeñño cilindro con sus caras o cilindro con sus caras paralelas a la superficie del conductor. paralelas a la superficie del conductor. El cilindro es pequeEl cilindro es pequeñño por lo que se o por lo que se puede despreciar las variaciones de E en puede despreciar las variaciones de E en la curvatura de la superficie del la curvatura de la superficie del conductor conductor El flujo en la superficie lateral del El flujo en la superficie lateral del cilindro es cero porque cilindro es cero porque EE es es perpendicular a esa superficie. En la cara perpendicular a esa superficie. En la cara dentro del conductor el flujo es cero dentro del conductor el flujo es cero porque porque EE es cero dentro del conductor. es cero dentro del conductor. El flujo en la cara plana externa, de El flujo en la cara plana externa, de superficie superficie ∆∆SS, ser, seráá, considerando que , considerando que EE

que es paralelo al vector unitario normal que es paralelo al vector unitario normal a la superficie:a la superficie:

Superficie externa del conductor con carga

Superficie gaussiana

En = E

En = 0

EndS E S= Δ∫por la ley de Gauss, dentro de la superficie gaussiana

netaqEndSε

=∫q Sσ= Δ

4 4E S kq k Sπ π σΔ = = Δ

Si hay una densidad superficial

4o

E k σπ σε

= =

Resumiendo, en los conductores Resumiendo, en los conductores en en equilbrioequilbrio

electrostelectrostááticoticoEl campo eléctrico es cero en el interior del

conductor en equilibrio electrostático.Cualquier exceso de carga que posea el conductor

debe residir en la superficie del mismo.El campo eléctrico justo en el exterior de la superficie del conductor es perpendicular a dicha superficie y vale ,

donde σ

es la densidad superficial de carga (que puede variar de un punto a otro).

0

0n tE Eσε

= =

ComentarioComentarioEs importante darse cuenta de que el campo Es importante darse cuenta de que el campo elelééctrico producido por la carga situada en la ctrico producido por la carga situada en la superficie del conductor queda determinada superficie del conductor queda determinada por completo por la distribucipor completo por la distribucióón de cargas. n de cargas. No tiene importancia el hecho de que la carga No tiene importancia el hecho de que la carga estestéé

sobre un conductor. sobre un conductor.

Esta misma distribuciEsta misma distribucióón sobre un aislante o en n sobre un aislante o en el espacio crearel espacio crearíía el mismo campo ela el mismo campo elééctrico. ctrico. Como es natural, la presencia del conductor Como es natural, la presencia del conductor influye en la distribuciinfluye en la distribucióón original de carga: se n original de carga: se distribuye de forma que el campo es nulo en su distribuye de forma que el campo es nulo en su interior.interior.

EnergEnergíía del campo electrosta del campo electrostááticoticoEl trabajo que realiza una fuerza al mover una El trabajo que realiza una fuerza al mover una partpartíícula de un punto cula de un punto aa hasta otro hasta otro bb es:es:

la fuerza ella fuerza elééctrica es conservativa, existe la energctrica es conservativa, existe la energíía a potencial Upotencial U

El trabajo que realiza la fuerza elEl trabajo que realiza la fuerza elééctrica depende ctrica depende ssóólo de los puntos inicial y final, no del caminolo de los puntos inicial y final, no del caminoQue la fuerza sea conservativa implica tambiQue la fuerza sea conservativa implica tambiéén n

En una dimensiEn una dimensióónn

F gradU= −

b

a ba

W FdS→ = ∫

a b a bW U U→ = −

dU FdS= −dUFds

= −

dU FdS= −

Carga de prueba q0 que se mueve del punta a la b

Veámoslo para el caso de un campo creado por una carga puntual q en reposo. Sea E este campo de fuerza. La fuerza que experimenta una carga puntual q’ en este campo es:

El trabajo realizado sobre q’ durante un desplazamiento arbitrario desde a

hasta el punto b es:

'F q E=

2

' ' cos

' '

1 1 1 1' '

b b

a a

b b

a ba a

r r

r r

a b b a

W q EdS q E dS

drq Edr kqqr

kqq kqqr r r r

φ→ = = =

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

Sólo depende de a y b

cos dS drφ =

Potencial Potencial eleléétricotricoLa variaciLa variacióón de energn de energíía potencial por unidad de a potencial por unidad de carga carga qq’’ se denomina diferencia de potencial:se denomina diferencia de potencial:

( )'b

a b b aa

W q EdS U U→ = = − −∫ 'dU q EdS= −

'dUdV EdSq

= = −b

b aa

V V EdS− = −∫la diferencia de potencial es el trabajo necesario por unidad de carga para mover una carga de

a hasta b sin

aceleración.

La unidad de diferencia de potencial ΔV

en el S.I. es el voltio (1V=1J/C).

Potencial elPotencial elééctricoctricoAl igual que para la energía potencial U, sólo tiene importancia la variación de V,

el valor de la función V en cualquier punto queda determinado eligiendo arbitrariamente v de modo que sea cero en un punto adecuado.

Si V y U son cero en el mismo punto, el potencial eléctrico en cualquier punto coincide con la energía potencial de una carga q’ en ese punto, dividido por q’.

Para un campo creado por una carga puntual:Para un campo creado por una carga puntual: 2

kqE rr

=

kqV EdS cter

= − = +∫ kqVr

=Tomando V(∞)=0, cte=0,

El potencial eléctrico V es el trabajo por unidad de carga que debe hacerse para llevar una carga de prueba positiva desde el infinito hasta el punto r sin aceleración.

En el caso del potencial producido En el caso del potencial producido por una carga puntual q, situada en por una carga puntual q, situada en el origen, el potencial es el origen, el potencial es

Las superficies Las superficies rr==ctecte

(superficies (superficies esfesfééricas concricas concééntricas) son las ntricas) son las superficies equipotenciales.superficies equipotenciales.

Superficies equipotencialesSuperficies equipotencialesUna superficie sobre la cual el potencial elUna superficie sobre la cual el potencial elééctrico es ctrico es ctecte

se se

denomina superficie equipotencial. denomina superficie equipotencial.

kqVr

=

V= constante

Si damos a una carga de prueba un pequeño desplazamiento, dS, sobre una superficie equipolencial, dV=0 indicando que dS es un desplazamiento perpendicular a E.

Las líneas de fuerza son siempre perpendiculares a E.

Superficies equipotencialesSuperficies equipotencialesComo el campo eléctrico en la

superficie de un conductor en equilibrio es perpendicular a la superficie, la propia superficie del conductor es equipotencial.

Como el capo eléctrico es cero en el interior del conductor (en equilibrio electrostático), el potencial es constante en todas las partes situadas sobre y en el interior del conductor.

Ejemplos de cEjemplos de cáálculo de potenciallculo de potencial

Conductor plano (con densidad uniforme)Sobre la superficie de un conductor

siendo S la superficie del conductor:E nσ

ε=

QS

σ =

En̂

QES

σε ε

= =

QV Edr rSε

= − =∫

Esfera Esfera cargadacargada uniformemente de radio uniformemente de radio

r0 y carga neta Qr0 y carga neta Q

kQR

2

232kQ rV

R R⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

kQVR

=

304

QE rnrπε

=

a) r<r0

24QE n

rπε=

rdV E dr= −

b) r>r0

2

3 30 04 2

Q kQ rV rdr Cr rπε

= − = − + ∫

24Q QV dr k

r rπε= − =

∫

a)

b) (tomando origen

de potencial r=∞)

2

30 0

32 2

kQ r Q kC k C Qr r R

− + = ⇒ =2 2

2

3 32 2 2k kQr kQ rV QR R R R

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Para hallar C se impone la condición de continuidad del potencial en la superficie de la esfera:

Capacidad y condensadoresCapacidad y condensadoresEl condensador es uno de los diferentes tipos El condensador es uno de los diferentes tipos de elementos que interviene en los circuitos de elementos que interviene en los circuitos elelééctricos de los aparatos de radio, ctricos de los aparatos de radio, ordenadores, etc. Estordenadores, etc. Estáán hechos para n hechos para almacenar y ceder carga y energalmacenar y ceder carga y energíía ela elééctrica ctrica de acuerdo con las necesidades del circuito. de acuerdo con las necesidades del circuito. La propiedad que caracteriza las posibilidades La propiedad que caracteriza las posibilidades de almacenamiento de un condensador es la de almacenamiento de un condensador es la capacidad. capacidad.

CapacidadCapacidadEl cociente entre la carga El cociente entre la carga QQ y el potencial, y el potencial, VV de un de un conductor aislado se denomina capacidad del conductor aislado se denomina capacidad del conductorconductor

Puesto que Puesto que VV siempre es proporcional a siempre es proporcional a QQ, este , este cociente no depende de cociente no depende de QQ ni de ni de VVLa capacidad de un conductor esfLa capacidad de un conductor esféérico es proporcional rico es proporcional a a RR. . La unidad de capacidad en el Sistema Internacional es La unidad de capacidad en el Sistema Internacional es el Faradio, F.el Faradio, F.

QCV

=

EjemploEjemploEl potencial (relativo a un cero en el infinito) El potencial (relativo a un cero en el infinito) de un conductor aislado que posee una carga de un conductor aislado que posee una carga QQ

es proporcional a la carga y depende del es proporcional a la carga y depende del tamatamañño y forma del conductor. o y forma del conductor. Por ejemplo, el potencial de un conductor Por ejemplo, el potencial de un conductor esfesféérico con carga rico con carga QQ y radio y radio RR eses

La capacidad de un conductor esfLa capacidad de un conductor esféérico es rico es

14

Q QV kR Rπε

= =

4/

Q Q RC RV kQ R k

πε= = = =

CondensadoresCondensadoresUn sistema de dos conductores que poseen Un sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es un cargas iguales y opuestas o condensador es un dispositivo para almacenar carga y energdispositivo para almacenar carga y energíía.a.La capacidad de un condensador se define La capacidad de un condensador se define como el cociente entre el valor de la carga como el cociente entre el valor de la carga (sobre uno de los conductores) y el valor de la (sobre uno de los conductores) y el valor de la diferencia de potencial existente entre los diferencia de potencial existente entre los conductores. conductores. Los condensadores comunes se componen de Los condensadores comunes se componen de dos ldos lááminas paralelas muy prminas paralelas muy próóximas o de dos ximas o de dos cilindros conccilindros concééntricos.ntricos.

Condensador de lCondensador de lááminas plano minas plano paralelasparalelas

EstEstáá

formado por lformado por lááminas paralelas de conductor muy minas paralelas de conductor muy prpróóximas. ximas. Supongamos que una tiene una carga Supongamos que una tiene una carga QQ y la otra una carga y la otra una carga ––

QQ, y sus , y sus ááreas son reas son AA, la distancia de separaci, la distancia de separacióón entre las n entre las llááminas es minas es dd. La densidad de carga . La densidad de carga σσ

y el campo sery el campo seráá

uniforme entre las dos luniforme entre las dos lááminas (despreciando los efectos minas (despreciando los efectos de borde)de borde)El campo esEl campo esEl potencial esEl potencial es

La capacidad esLa capacidad es

0

ˆQE nAε

=

00

d QdV Eds Edx dAε

= − = =∫ ∫ ∫

0Q ACV d

ε= =

Condensadores en paraleloCondensadores en paralelo

Si las capacidades de los condensadores son C1

y C2

se tiene que las cargas almacenadas en las láminas serán Q1

y Q2

dadas porQ1 = C1

V Q2 = C2

VV es la diferencia de potencial entre las láminas de cada uno de los condensadores.La carga total es

Q = Q1 + Q2 = C1 V + C2 V = (C1 + C2

) VLa capacidad efectiva o equivalente de la asociación en paralelo de condensadores es

Las láminas superiores de los dos condensadores se conectan entre sí

mediante un conductor, y por lo tanto están al mismo potencial en condiciones electrostáticas. Las láminas inferiores están también unidas y están a un mismo potencial.

Para n condensadores, la capacidad equivalente es

El efecto de añadir un condensador es aumentar la capacidad, el área aumenta, permitiendo almacenar más carga a una misma diferencia de potencial V = Va

– Vb

.

1 2QC C CV

= = +

1

n

ii

C C=

= ∑

Para n condensadores en serie

Condensadores en serieCondensadores en serieHay una diferencia de potencial V = Va

– Vb

entre la lámina superior del 1º

condensador y la lámina inferior del 2º.

Este puede materializarse uniendo a y b a los terminales de una pila. Si hay una carga Q en la placa superior, se induce una carga –Q en la inferior. Esta carga procede de los electrones que se retiran de la lámina superior del 2º

condensador.

existirá

una carga igual +Q en la lámina superior del 2º

condensador y otra –Q en su lámina inferior.

1a b

QV VC

− =2

c bQV VC

− =

( )a v a c c bV V V V V V− = − + −

1 2 1 2

1 1( )c be

Q Q QV V V QC C C C C

= − = + = + =

1 2

1 2 1 2

1 1 1e

e

C CCC C C C C

= + ⇒ =+

1

1 1n

ief iC C=

= ∑

Sea

la capacidad de la asociación de los dos condensadores en serie.

EnergEnergíía electrosta electrostáática en un condensadortica en un condensadorSe puede cargar un condensador por transferencia de carga de un conductor a otro. En el proceso, se aumenta el potencial de la carga transferida, y se realizarse un trabajo para cargar el condensador. Parte de este

trabajo, (o

todo, según el proceso de carga) se almacena en forma de energía potencial.Elijamos el cero de potencial en la placa negativa del condensador. Al comenzar el proceso de carga ninguna de las dos láminas esta cargada. No existe campo y las dos placas están al mismo potencial. Cuando se haya transferido una cara Q0

de una placa a otra, la diferencia de potencial es V0 = Q0

/C, siendo C la capacidad. Habrá

una carga –Q0

en la placa negativa.Sea q la carga transferida en un instante del proceso. La diferencia de potencial es V = q/C, si se transfiere a continuación una pequeña carga dq

desde la placa –q a potencial cero a la placa con +q a potencial V, su energía potencial

El aumento de la energía potencial durante la carga desde q = 0 hasta q = Q0

es la energía almacenada en el condensador

Con C=Q0/V0

qdU Vdq dqC

= =

0 20

0

12

Q QqU dU dqC C

= = =∫ ∫2

200 0

1 1 12 2 2

QU Q V CVC

= = =

DielDielééctricosctricosUn material no conductor, como por ejemplo, el vidrio o la madera se denomina dieléctrico. Cuando el espacio entre dos conductores es ocupado por un dieléctrico, la capacidad aumenta en un factor κ, característico del dieléctrico, y que se denomina constante

dieléctrica.cargamos un condensador de capacidad C0

mediante una pila que lo

carga a V0

, poniendo una carga Q0

= C0

V0

en las placas. Si se desconecta la pila e introduce un dieléctrico entre las placas,

rellenando todo el espacio, la diferencia de potencial disminuye

hasta

Puesto que Q0

continúa en las placas, la nueva capacidad es

Si se inserta el dieléctrico mientras la pila sigue conectada al condensador, ésta deberá

suministrar más carga para mantener la

diferencia de potencial. La carga total en las placas será

Q = κQ0

, y la capacidad vuelve a aumentar en κ

0VVκ

=

0 00

0

Q QC CV V

κ κ= = =

Las molLas molééculas del dielculas del dielééctrico se polarizan y alinean en ctrico se polarizan y alinean en la direccila direccióón del campo en presencia de un campo non del campo en presencia de un campo noEl efecto neto consiste en producir una densidad de El efecto neto consiste en producir una densidad de carga superficial positiva contigua a la lcarga superficial positiva contigua a la láámina cargada mina cargada negativamente y una densidad superficial negativa negativamente y una densidad superficial negativa contigua a la lcontigua a la láámina de condensador con carga mina de condensador con carga positiva. Llamemos a esta densidad positiva. Llamemos a esta densidad σσll

..

La carga del dieléctrico no está

libre para moverse como ocurre en los conductores. Se llama carga ligada. El campo creado en la superficie del dieléctrico por σl

es

σ es la densidad superficial en las láminas del condensador.

El

campo neto será

Si definimos κ=

E0

/E

Permitividad

del medioLa capacidad será

0

' lE σε

=

00 0

0 0

1 1' ' (1 )lEE E E E Eσ σ κ σκ ε κ κ ε

− −= − = = ⇒ = − =

1l

κσ σκ−

=

l

σκσ σ

=− l

σσ σκ

− =0

EEσ

κ=

0Eε κ=

0 00

A AC Cd d

εκ ε εε

= = =

Cualquier material dielCualquier material dielééctrico sometido a un campo ctrico sometido a un campo muy intenso se hace conductor, fenmuy intenso se hace conductor, fenóómeno conocido meno conocido como ruptura del dielcomo ruptura del dielééctrico. En el inicio de la ctrico. En el inicio de la conducciconduccióón se pueden producir descargas violentas en n se pueden producir descargas violentas en forma de chispas o un arco, lo cual puede quemar y forma de chispas o un arco, lo cual puede quemar y romper el condensador. Los dielromper el condensador. Los dielééctricos tienen una ctricos tienen una mayor resistencia a la ruptura que el aire, de aqumayor resistencia a la ruptura que el aire, de aquíí

que que

éésta sea otra de las funciones de los dielsta sea otra de las funciones de los dielééctricos en ctricos en los condensadores.los condensadores.Resumiendo, la funciResumiendo, la funcióón del dieln del dielééctrico es:ctrico es:11ºº

Proporciona un medio mecProporciona un medio mecáánico que separa los nico que separa los

conductores de condensador que deben estar muy conductores de condensador que deben estar muy prpróóximos para que ximos para que CC sea grande (para el condensador sea grande (para el condensador de lde lááminas paralelasminas paralelas

C=C=εεAA/d/d) )

22ºº

Aumenta la diferencia de potencial mAumenta la diferencia de potencial mááxima que xima que soporta el condensador sin que se rompa (sin que haya soporta el condensador sin que se rompa (sin que haya ruptura del dielruptura del dielééctrico).ctrico).33ºº

Aumenta la capacidad.Aumenta la capacidad.