Resumen: Campo y potencial Electrostático en el...

Resumen:Campo y potencial

Electrostáticoen el vacío

Física II curso 2019-20

Juan Luis Domenech Garret

Campo y Potencial Electrostático

Introducción: Carga eléctrica y Fuerza de Coulomb.

Campo Eléctrico creado por una carga puntual.

Principio de superposición: distribución discreta de cargas.

Teorema de Gauss del campo eléctrico.

Líneas de campo eléctrico.

Principio de superposición : distribución continua de cargas.


Trabajo y energía potencial electrostática.

Potencial electrostático.

Campo y Potencial Electrostático

Potencial creado por una carga puntual.

Unidades del campo eléctrico y del potencial.

Líneas de potencial.

Superposición de potenciales : distribución discreta.

Superposición de potenciales : distribución continua.

Energía de configuración: Caso discreto y continuo.

Apéndice I: Energía Electrostática.

Apéndice II: Ecuaciones de Poisson y Laplace.


Campo Electrostático


Introducción: carga eléctrica

Hasta el advenimiento de las teorías de estructura microscópica de la materia, la carga eléctrica se asocia a los dos «estados de electrización » conocidos:

Estado A: (entre otros) el resultante de frotar una varilla de vidrio Estado B: (entre otros) el resultante de frotar una varilla de ámbar

Al estado «A» por convenio se le asocia la carga «positiva»Al estado «B» por convenio se le asocia la carga «negativa»

Estructura microscópica de la materia: el elemento fundamental portador de carga es el electrón cuya carga (negativa) es e=-1.6 10 -19 Coulomb (C)

• La materia ordinaria es eléctricamente neutra; los átomos contienen tantos electrones para equilibrar las cargas positivas de los núcleos.

La materia cargada negativamente posee un exceso de electrones respecto de la neutra.

La materia cargada positivamente posee un defecto de electrones respecto de la neutra.



Carga eléctrica: distribuciones discreta y continua

2Q

NQjQ

1Q

1 21

...N

Total N ii

Q Q Q Q Q=

= + + + =∑

Elementode volumen «dVol»

que contiene una carga dq

Volumencargado

dVol

dVol

Superficiecargada

Elementode superficie «dS»


Elementode superficie «dl»


Líneacargada L

Carga total de un conjunto de N cargasdiscretas

dVol

Vol S

dS

dL

Carga total de un continuo de cargas

iQ

dq

dq dq

dq

Totaldistribución

Q dq= =∫• «suma» de un continuo de cargas

Vol

dqd

ρ =

Densidad volumétricade carga

dqdS

σ =

Densidad superficialde carga

dqdL

λ =

Densidad linealde carga

VV

ololdρ= ∫

SdSσ= ∫

LdLλ= ∫

elementos= ∫Volumen

Superficie

Línea



Fuerza entre cargas eléctricas (de Coulomb):

1 22 r

Q QF K ur

= ±

0

14

Kπ ε

=

K: Constante de Coulombε0 : Permitividad dieléctrica

del vacíoε0= 8.85 . 10-12 N-1 C2 m-2

2 1r r r= − 1Q

1r

2r

2Qrr r u=



Fuerza entre cargas :

1 22

Q QF Kr

=

Módulo

Dirección: La recta que une ambas cargas (recta soporte de ur).

Punto de aplicación: apoyada en la carga sobre la que se ejerce la fuerza.

Si ambas cargas son de igual signo

Si ambas cargas son de signo contrario

1Q+ 2Q+ 21F

1Q+2Q−21F

Sentido:



Superposición de fuerzas:En un sistema de cargas la fuerza total que se ejerce sobre cada carga es la resultante de las fuerzas que el resto de cargas ejerce sobre ella

4Q+2Q−

1Q+3Q−

AQ−1AF

2AF

3AF

4AF

Cuando el número de cargas es grande El estudio de las fuerzas entre cargas

resulta poco cómodo y artificioso!



Fuerzas a distancia y Campo Eléctrico:

Las fuerzas entre cargas eléctricas son fuerzas a distancia

Choque con la intuición de fuerzas de contacto de la mecánica

Se recurre a una nueva interpretación del fenómeno introduciendo una NUEVA MAGNITUD FÍSICA llamada CAMPO ELÉCTRICO.



Campo Eléctrico creado por una carga puntual:

Supongamos una región (R) del espacio aislado del resto,

en la cual somos capaces de quitar y poner cargas

eléctricas a voluntad. “p” es un punto cualquiera de la

región.

R Supongamos además que fuera de R

disponemos de una carga eléctrica “Q” y

de otra carga “q” «sonda » de igual

signo que Q ; de manera que el valor

de q es MUCHO MENOR que Q (q 0).

1º)

pr p




Supongamos ahora que, estando R vacía, introducimos la

carga «sonda», q, en el punto p: SOBRE q NO NOTAREMOS

EFECTO ALGUNO

Rp

q2º- a)



Campo Eléctrico (CE) creado por una carga puntual:

R p

q2º- b)

Q

rur

Ahora previamente introducimos la carga Q en R; y

posteriormente introducimos q en el punto p. VEREMOS

QUE q EXPERIMENTA UNA FUERZA DE REPULSIÓN, , F

F




La diferencia entre las situaciones 2-a y 2-b es que en R está

presente o no la carga eléctrica Q; y en ambos casos situamos

en p la carga q , creando diferente resultado sobre ella.

La situación se interpreta diciendo que: LA INCLUSIÓN DE Q EN LA REGIÓN R ALTERA LAS PROPIEDADES DE R DE MANERA QUE Q CREA EN TODA LA REGIÓN R UN CAMPO ELÉCTRICO, ; de manera que al poner q en el punto p,La carga q experimenta una fuerza de repulsión DEBIDA AL CAMPO ELÉCTRICO creado por Q en ese punto. Ese campo eléctrico existe en p aunque no pongamos carga alguna en ese punto.

E




¿Qué forma tiene el campo eléctrico?

2 rp

QF q E E k ur

= ⇒ =

E

es un vector F

es un vector q es un escalar

2p

QF q k q Er

= =

E

Parte independiente de q ≡




2

p

QE Kr

=

Módulo

Dirección: La recta que une el punto p con la carga (recta soporte de ).

Punto de aplicación: apoyado en el punto p donde se representa el campo

ru

p

p

pE

Si la carga es de signo positivoQ+

Sentido:Q− pE

Si la carga es de signo negativo




Líneas de campo eléctrico: convenio

Líneas de fuerza:

representación de la

intensidad del campo en

cada punto, siendo el CE

tangente a la línea en cada

punto

+ E

E

-0E∇⋅ >

Las cargas positivas son fuente del campo eléctrico; la negativas son sumidero del campo eléctrico.

0E∇⋅ <

Principio de Superposiciónel campo eléctrico total creado por un conjuntode cargas en un punto p es la suma VECTORIAL de los campos creados en p por cada carga por separado.

Principio de Superposición: distribución discreta de cargas

21 1

?N N

iA A Ai Ai

i i Ai

qE E E k ur= =

= ⇒ = =∑ ∑



Dada una distribución de N cargas ¿Cuál es el campo total creado por ellas en el punto A? La carga i-ésima crea en el punto A un campo:

;

1...Ai Ai AiE E u

i N

=

=

El campo total en el punto A creado por las N cargas:

4Q−2Q+

1Q− 3Q+1AE

2AE

3AE

4AE A

Principio de Superposición: Distribución continua de cargas.



2p p rdq dq

dqE dE k ur∀ ∀

= =∫ ∫

Volumencargado

pr

p

pr

pr

AdE

dVol

dVol

AdE

AdE

dVol

i

Ai

iA AN

qi

Q dqr r

E dE

∀

↔↔

↔

↔∑ ∫

Discreto Continuo

21 1

N Ni

p pi pii i pi

QE E k ur= =

= =∑ ∑ Discreto Continuo

↔

Voldq dρ=

dq dSσ=dq dLλ=

Volumen

Superficie

Línea

dq

Principio de Superposición: Distribución continua de cargas.



( )3 30

14 | |p p C fdq dq dq

C f

dq dqE dE k R r rR r rπε∀ ∀ ∀

= = = −−∫ ∫ ∫

Volumencargado

C

Cr

R

dVol

CdE

dVol

Voldq dρ=

dq dSσ=dq dLλ=

Volumen

Superficie

Línea

dq

fr

C fR r r= −

:Cr

Punto Campo

:fr Punto Fuente

Campo ElectrostáticoTeorema de Gauss: Flujo del campo eléctrico a través de una esfera


2 20

14r r

p p

Q QE k u ur rπε

= =

Q E

E dS

E

E

; / /r dS Ed u SdS=

Calculamos el flujo, , del campo* eléctrico que crea una carga puntual en un punto situado a una distancia . Construimos una esfera de radio igual a esa distancia con la carga centrada en la esfera y el campo atraviesa la superficie S que la encierra.

QΦ

pr

* flujo del campo : ver tema anterior



( ) ( )r rS SE dS E u dS u

∀ ∀Φ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫

/ /dS E ⇒

SE dS

∀Φ = =∫ 2

0

14 p

QErπε

=

Estamos integrando en la superficie de la esfera, toda ella a la misma distancia rp de la carga, luego el campo eléctrico sobre la superficie es constante.

( )

20

22

0 0

14

1 44

Sp

pp

QE dS E S Sr

Q Qrr

πε

ππε ε

∀Φ = = =

Φ = =

⇒∫

0

encerrada por SQε

Φ =

Campo ElectrostáticoTeorema de Gauss: Flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria.


Q

E

E

E

E Calculamos el flujo, , del campo

eléctrico que crea una carga puntual a través de una superficie cerrada Sarbitraria, que encierra la carga, en un punto situado a una distancia sobre la superficie.

QΦ

pr

ϕEdS

dS

dS

Campo ElectrostáticoTeorema de Gauss: Flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria.


20 0

2

2

0

14

cos

1 coscos4 4

S S

S Sp p

p

QE dS E dS

Q Q dSdSr

E

r

rπεϕ

ϕϕπε πε

∀ ∀

∀ ∀

⇒ =Φ = ⋅ =

Φ

= =

∫ ∫

∫ ∫

Elemento de ángulo sólido dΩ

+

cosdS ϕ

dΩ

E

Sd

ϕ

ϕ

Elemento de Ángulo sólido

dS

r

Q

2

cos 4S S

p

dSdr

ϕ π∀ ∀

Ω = =∫ ∫

0

encerrada por SQε

Φ =

Propiedad del ángulo sólido

(estereoradianes)



0

encerrada por S

S

QE dS

ε∀Φ = ⋅ =∫

Independientemente de la forma en que se elija S!!

Uso del Teorema de Gauss: útil para hallar el campo en distribuciones

de carga con alto grado de simetría en los que el flujo se pueda

calcular fácilmente de manera que queda una ecuación con el

campo como incógnita : si existe esa simetría normalmente nos

quedará una ecuación del tipo:

«E» x «Superficie» = ; que permite hallar el campo.

0

encerrada por SQε

Campo ElectrostáticoTrabajo y energía potencial electrostática:


Supongamos una una carga +Q en el punto P y que ponemos una carga-sonda «q» en el punto A.Calculamos el trabajo que hay que hacer cuando llevamos q desde A hasta B a través del camino de la figura. En todo momento tendremos que vencer la fuerza repulsiva originada por el campo eléctrico creado por Q.

B f pr r r= −

A i pr r r= −

A

B

PQ+

prfr

q+ir

dl

B B

A A

W F dl F q E q E dl= − ⋅ ⇒ = = − ⋅∫ ∫



Como el campo electrostático es conservativo (ver los ejemplos vistos en el tema de operadores), el trabajo realizado solo depende de la posición inicial y final, independiente del camino elegido. Calculamos el trabajo que hay que hacer cuando llevamos q desde A hasta B a través del camino definido por la direccion radial ur. Demostrémoslo con un camino cerrado que encierra una superficie S :

( ) 0; 0

S

W F dl F q E q E dl Stokes

q E dS E conservativo

= − ⋅ ⇒ = = − ⋅ →

= − ∇× ⋅ = ∇× = =

∫ ∫∫

2 rB A

Q Q QE k u W q k kr r r

⇒ = ⇒ = −

B B

A A

W q E dl q E d r= − ⋅ = − ⋅∫ ∫ El trabajo realizado

desde A hasta B es:



pqQE kr

=

El trabajo realizado solo depende de la posición inicial y final; con lo que la fuerza electrostática es CONSERVATIVA:

La cantidad es la energía potencial electrostática.

depende de la distancia relativa r de la carga sonda q a la carga Q que origina el campo eléctrico.

Definimos el potencial electrostático, ,como la energía potencial electrostática por unidad de carga q que colocamos a la distancia r de la carga Q que origina el campo.

Potencial creado por una carga puntual

El potencial depende solo de la carga que crea el campo eléctrico.

pE QV kq r

= =

V

0F∇× =

Campo ElectrostáticoRelación entre campo y potencial electrostático:


Como la fuerza electrostática es conservativa; con todo lo visto antes podemos poner:

,B AV V

0

;p

p

F F E

F q E E qV

∇× = ⇒ = −∇

= =

0E

E V

∇× =

= −∇

El campo electrostático es conservativo

( )B AB A

Q QW q k k q V Vr r

= − = −

Si son los potenciales en los puntos B y A ; el trabajo electrostático lo podemos poner en función de la DIFERENCIA DE POTENCIAL entre esos puntos.

Campo ElectrostáticoUnidades del campo y potencial electrostático:


[ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

; p

p

F q E E q V

E JV Voltq C

F N VoltEq C m

= = = = =

= = =

Campo ElectrostáticoRelación entre campo y potencial electrostático:


1 2,V V

E

1 1( , , ) |SV x y z V=

2 2( , , ) |SV x y z V=2S

1S

2 1V V V∆ = −

; NN u

N NdVE E u V udN

= = −∇ = −

W q V= ∆

• El trabajo necesario para llevar la carga de una a otra superficie es:

Si son los potenciales en las superficies equipotenciales ; se establece una DIFERENCIA DE POTENCIAL entre esas superficies. La dirección de la máxima variación define la dirección del campo eléctrico¿Cuál es trabajo necesario para llevar la carga de una a otra superficie?

1 2;S SV∆

Campo ElectrostáticoLíneas de Potencial electrostático:


Líneas de campo y superficies equipotenciales (contornos azules) creados por:a) Carga eléctrica positivab) Carga eléctrica negativac) Dipolo eléctrico

a) b)

c)

Potencial Electrostático: distribución discreta de cargas

el potencial total creado por un conjunto de cargas en un punto P es la suma de los potenciales creados en P por cada carga por separado.



( )1 1 0

14

N Nj

P jPj j jP

QV V

rπε= =

±= =∑ ∑

4Q−2Q+

1Q− 3Q+

2Pr3Pr1Pr

4Pr P

SIGNO de la carga



0

14 | |p pdq dq dq

C f

dq dqV dV kR r rπε∀ ∀ ∀

= = =−∫ ∫ ∫

Volumencargado

P

Cr

R

dVol

PdVdVol

Voldq dρ=

dq dSσ=dq dLλ=

Volumen

Superficie

Línea

dq

fr

C fR r r= −

:Cr

Punto Campo

:fr Punto Fuente

Potencial electrostático: Distribución continua de cargas.

i

Ai

ip P

N

dqi

Q dq

r RV dV

∀

↔

↔↔

↔∑ ∫

Discreto Continuo

Discreto( )

1 1

N Nj

P jPj j iP

qV V k

r= =

±= =∑ ∑

Continuo

Energía de configuración: distribución discreta de cargas

el potencial total creado por un conjunto de cargas en un punto p es la suma de los potenciales creados en p por cada carga por separado.

1 1 1

1 12 2

N N Nj

e i ji ii i j ji

j i

qU q V q k

r= = =≠

±= =∑ ∑ ∑



4Q−2Q+

1Q− 3Q+

2jr

Dada una distribución de N cargas ¿Cuál es el energía potencial total creado por ellas por el hecho de estar cada una en una posición dada? La carga j-ésima crea en el punto donde está la i-ésima un potencial:

( ); , 1... ;j

jiji

QV k i j N i j

r±

= = ≠

La energía potencialde configuración creado por las N cargas:

3jr1jr

4jr jQ

Energía de configuración: distribución continua de cargas



olVol

1 1 ( ) ( ) dV2 2e dq

U dq V r V rρ∀ ∀

= =∫ ∫

i

Ai

ip P

N

dqi

Q dqr r

V dV

∀

↔↔↔

↔∑ ∫

Discreto Continuo

Discreto

Continuo

Voldq dρ=

dq dSσ=dq dLλ=

Volumen

Superficie

Línea

Volumencargado

prp

dVol

dVol

pdV

dVol

dq

1 1 1

1 12 2

N N Nj

e i ji ii i i j ji

qU q V q k

r= = ≠ =

±= =∑ ∑ ∑

dq

dq

(1)S Vol

E dS E dVol∀ ∀

Φ = ⋅ = ∇ ⋅∫ ∫

E V→ = −∇

Apéndice I. Ecuación de Poisson y de LaplaceRecordemos que al ser el campo eléctrico un campo vectorial , usando el Teorema de Gauss para la divergencia, visto en el tema de operadores, el flujo del campo lo podemos poner:

Además , usando el Teorema de Gauss para el campo eléctrico , también :

0 0

1 (2)encerrada por S

S Vol

QE dS dVolρ

ε ε∀ ∀Φ = ⋅ = =∫ ∫

donde ρ es la densidad de carga. Igualando los últimos miembros de (1) y (2):

0

1Vol Vol

E dVol dVolρε∀ ∀

∇ ⋅ = ⇒∫ ∫

0

E ρε

∇ ⋅ = Teorema de Gauss

En forma diferencial

Además , como hemos visto que el campo es conservativo:

0 0

( )E E V Vρ ρε ε

∇ ⋅ = → = −∇ →∇⋅ −∇ = ⇒

2

0

V ρε

∇ = − Ecuación

de Poisson

Conociendo la densidad de carga ρ en una región esta ecuación permite calcular el potencial. Cuando en esa región no hay carga , ρ=0 , entonces la ecuación anterior queda:

2 0V∇ =

Ecuación de Laplace Juan Luis Domenech Garret

Calculamos la energía almacenada en una distribución continua de cargas. Si el volumen que tomamos es lo bastante grande para encerrar a todas las cargas la energia de esa configuración es:

C. Electrostático: ApéndiceII.Energía Electrostática


olVol

1 dV (1)2eU Vρ

∀= ∫

0 Eρ ε= ∇ ⋅

Usando el Teorema de Gauss en forma diferencial visto en el apéndice I,

Sustituyendo la densidad de carga en (1) 0olVol

( ) dV (2)2eU E Vε

∀= ∇ ⋅∫

De las propiedades vistas en el tema de operadores:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E V E V E V E V E V E V∇⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ ∇ ⇒ ∇⋅ = ∇ ⋅ − ⋅ ∇

Sustituyendo en (2)

0 0ol olVol Vol

( ) dV ( ) dV (3)2 2eU E V E Vε ε

∀ ∀= ∇ ⋅ − ⋅ ∇∫ ∫

A B

C. Electrostático: ApéndiceII. Energía Electrostática


La integral A: Usando el Teorema de la divergencia

22

1 1 1~ ; ~ ; ~ ~E V dS r E V dSr r r

⇒

0 0olVol Vol

( ) dV ( ) dS2 2

E V E Vε ε∀ ∀

∇ ⋅ = ⋅∫ ∫

El campo E, el potencial V, y la superficie S varían con la distancia de la forma, respectivamente :

Luego si hacemos el que: r →∞ La integral A tiende a cero

La integral B: En esta también , luego la integral de volumen se extiende a TODO EL ESPACIO .

• Usando E V= −∇

0 0ol olVol

( ) dV ( ) dV2 2 ESPACIO

E V E Eε ε∀ ∀

− ⋅ ∇ = ⋅ ⇒∫ ∫

20oldV

2e ESPACIOU Eε

∀= ∫

A=0

Luego, sustituyendo en (3)

Energía Electrostática

r →∞

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