EL CAMPO ELÉCTRICO ESTÁTICO EN EL VACÍO

1. El potencial electrostático

2. El gradiente del potencial electrostático

3. La ley de Gauss

4. La divergencia del campo eléctrico. Forma diferencial de

la ley de Gauss

5. El rotacional del campo electrostático

6. Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática

7. La ecuación de Poisson y la ecuación de Laplace

8. La energía y el trabajo en el campo electrostático

9. Los aislantes y los conductores

10.El campo eléctrico en los conductores

11.Los métodos de solución de problemas electrostáticos

( )

0 0( )

1´ ´S V

E

S V V

QE dS r dV

El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie dividida por ε0

3 3

( )

:

Para todo volumen

V S V

A

V

A dV A dS

R R

( )0

1Ley de Gauss: (1)

V SS

E dS dV

( )Teorema de Gauss: (2)

V SS

E dS E dV

( ) ( )0

1Sustituyendo (2) en (1)

V S V SE dV dV

( )0

Por tanto, para todo , 0V S

V E dV

0E

( )0

1Ley de Gauss:

V SS

E dS dV

( )Teorema de Gauss:

V S S

E dV E dS

( ) ( )0

1Integrando sobre ,

V S V SV E dV dV

0

E

0

( )

0

1´ ´

S V V

E dS r dV

E

0E

0

( )

Dado un campo eléctrostático ( ) definimos el potencial

electrostático ( ) como

( ) es el trabajo que haríamos al trasladar una unidad de

carga positiva desde el punto de refe

( )P r

P

E r

r

r

r E dl

0

3

rencia fijo hasta el

punto ( ).

( ) es una función escalar definida en el espacio :

Nm JEn el sistema de unidades SI: [ ]= = =Volt

C CDina cm Ergio

En el sistema de unidades gausiano: [ ]= =StatC Stat

P

P r

r

R R

C

a) El campo electrico es conservativo

) es independiente de la trayectoria

) 0 para toda trayectoria cerrada

)

b

a

P

P

E

b E dl

c E dl

d E

0 para toda trayectoria cerrada E dl

La integral de línea del campo electrostático sobre cualquier circuito cerrado es cero

3 3

( )

Para todo campo vectorial

:

( )

para toda ( ) cuyo contorno sea

S

A

A dl A dS

S

R R

Campo electrostático conservativo: (1)0E dl

( )

Teorema del rotacional: ( ) (2)

S

E dl E dS

( )

Sustituyendo (2) en (1) ( ) =0

para toda superficie

S

E dS

S

0E

0

C

E dl

Integrando sobre , 0S

S E dS

0E

( )

Teorema del rotacional: ( )

S

E dl E dS

0

0

C

E dl

E

0E

0

0

E

E

0

( )

1´ ´

0

S V V

E dS r dV

E dl

0Ecuaciones de Maxwell / 0E E

La ecuación 0 implica que existe tal que E E

0 0Sustituyendo en / obtenemos /E

2Se define ( )

0

or tanto

que es la ecuación de Poisso

/

n

2

P

2

0

2 0

2

2

( )

, , , , , ,

22 2 2

2 2 2

x y z x y z x y z

x y z

Cartesianas

Esféricas

Cilíndricas

22 2 2

2 2 2

22 22 2 2 2 2

2 222 2 2

1 1 1sinsin sin

1 1

x y z

rr rr r r

rr r r r z

2

0

Resolver la ecuación de Poisson

con las condiciones a la frontera adecuadas

2

0

0

1 ( )

4

rr dV

r r

2

0

0

2

0 0

2

0 0 0

4

1 ( )

4

1 ( )

4

14

1 1( ) ( )

4r r

rr

rr dV

r r

rdV

r r

r rr r

rr dV r r r dV

Problema 3.1 del libro de Murphy

Problema 3.2 del libro de Murphy

Problema 3.3 del libro de Murphy

P r

q

0r r

0r r

02

0 00

1( )

4

q r rE r

r rr r

20

1ˆ( )

4

qE r r

r

P r

q

0r r

0r r

0 0

1( )

4

qr

r r

0

1( )

4

qr

r

0

1( )

4

qr

r

0

1( )

4

qr

r

dl

F

C

C

W F dl

1q 1r

1 0W

1 2

1 20 1 2

1 1

4C P P

QqW P P Q E dl

r r

2

Si ahora tomamos como punto de referencia el

infinito, tenemos que hacer , yr

1q 1r

2q2r

12 2

0 12

1

4

qW q

r

12r

1q 1r

2q2r

3q

3r

1 23 3

0 13 23

1

4

q qW q

r r

1q 1r

2q2r

3q

3r

1 2 34 4

0 14 24 34

1

4

q q qW q

r r r

4q 4r

1 2 3 4TW W W W W

1 1 2 1 2 32 3 4

0 12 0 13 23 0 14 24 34

1 1 10

4 4 4T

q q q q q qW q q q

r r r r r r

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

0 12 13 14 23 24 34

1

4T

q q q q q q q q q q q qW

r r r r r r

4

10

1

4i j

Ti j i ij

q qW

r

10

1

4

Ni j

Ti j i ij

q qW

r

1 10

1 1

4 2

N Ni j

Ti ij

j ij

q qW

r

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

12 13 14 23 24 34

2 1 3 1 4 1 3 2 4 2 4 30

21 31 41 32 42 43

1 1

4 2T

q q q q q q q q q q q q

r r r r r rW

q q q q q q q q q q q q

r r r r r r

1 10

1 1

4 2

N Ni j

Ti ij

j ij

q qW

r

1

1

2

N

T i ii

W q r

10 1 1 10

1 1 1 1

4 2 4 2

N N N Ni j j

T ii i jij ij

j ijj i

q q qW q

r r

1 10

1 21 2

0 2 1

1 1

4 2

1 1

4 2

N Ni j

Ti j ij

j i

T

q qW

r

r rW dV dV

r r

1 1 10

(Reitz Milford, sección 6.2)

1 1 1( )

4 2 2

1( ) ( )

2

N N Ni j

T i ii j iij

j i

T

V

q qW q r

r

W r r dV

1

1( )

2

1 + ( ) ( )

2

1 ( ) ( )

2

1 + ( ) ( )

2

N

T i ii

V

S

W q r

r r dV

r r dS

r r dl

La energía acumulada en el campo electrostático es

1( ) ( )

2T

V

W r r dV

0

Usando la primera ecuación de Maxwell

/E

0

Obtenemos

1( )

2T

V

W E r dV

0

La expresión

1( )

2

puede ser integrada por partes

T

V

W E r dV

Usando A A A

Es decir, E E E

Despejando E E E

2Obtenemos E E E

De la segunda ecuación de Maxwell 0

sabemos que existe tal que

E

E

Sustituyendo en E E E

2

0

Sustituyendo

1en ( )

2T

V

E E E

W E r dV

2 2

0 0 0

obtenemos

1 1 1

2 2 2T

V V V

W E E dV E dV E dV

( )

Usando el teorema de Gauss V S V

E dV E dS

( )

y esta integral resulta ( ) 0S V

S V E dS

2

0

Así que finalmente

1 2T

V

W E dV

2

02

E

2

0

V

1

2

=

T

V

W E dV

dV

a

3

4 3

esfera

aQdVrρ

r

0

1

4

q r dqdW

r

Se construye cascarón a cascarón

324

43

dq rrq r r

dr

drrrdq 24

23 24

0 0 0

41 1 4 4

4 4 3 3

πr ρdrq r rdW dq r dr

r r

2 2 54

0 00

4 4

3 15

a aW r dr

2 2 54

0 00

4 4

3 15

a aW r dr

3

4 3aQ

22 6 3 22

0 0 0

16 9 4 3 3

9 60 3 20 20

a a QW

a a a

2

0

3

20

QW

a

a

3

4 3

esfera

aQdVrρ

3

02

ˆ 1

4ˆ

rQ r r aaE rQr r a

r

a

3

4 3

esfera

aQdVrρ

2

0 Todo elespacio

1

2W E dV

2

0 Todo elespacio

1

2W E dV

3

02

ˆ 1

4ˆ

rQ r r aaE rQr r a

r

2 22 2

3 20 00

1 14 4

2 2

a

a

r QW π Q r dr π r dr

a r

2 54 2 2

6 2 60 00

2 2 1

5

a

a

Q dr ar dr Q Q

a r a a

5 5 5 5 22 2 2 2

6 6 60 0 0 0 0

2 1 2 5 2 6 2 6 1 12

5 5 5 5 5

a a a a QQ Q Q Q

a a a a a a

a

QW

2

5

3

2 22 2

3 20 00

1 14 4

2 2

a

a

r QW π Q r dr π r dr

a r

0

22

0

30

22 2 2

0

2 3 5 2 2 52 2 2 2 2 2 50

0 0

0

1( ) ( )

2

( )0

23

( )4 1

3

12 sin

2 3

1 44 4

3 3 3 5 3 5

T

V

T

V

a

T

W r r dV

r ar

r a

ra r a

ra

r ar

rW a r drd d

r a a aW a r dr a a

22 2 5 3 20

0

16 4 1 3 3

15 3 5 5T

a a QW

a a

espacioel Todo

2

8

1dVEW

2ˆ

qE r r

r

22 2 2 22

2 20 00 0

1 1 14

8 2 2 2 r

q q dr q qW r dr

r r r r

La energía en el campo de una carga puntual es “infinita”

W

a

3

4 3

esfera

aQdVrρ

espacioel Todo

2

8

1dVEW

2

0

3

5 a

QW

a

¿Cómo se resuelve este problema?

•La idea de que la energía está “localizada” en el campo es incorrecta

•En realidad los electrones no son puntuales

•El electromagnetismo falla a distancias pequeñas debido a los efectos cuánticos

1q 1r

1 0W

1 1 1

1 1( )

2 2

1( ) ( )

2

N N Ni j

T i ii j

T

ij

V

iji

W r r

qq

d

q

V

W rr

¡Aquí está la bronca!

1 1 1

1 1( )

2 2

1( ) ( )

2

N N Ni j

T i ii j

T

ij

V

ij i

W r r

qq

d

q

V

W rr

Falta la energía de interacciónde la carga consigo misma. Laenergía para “formar” la carga

2qW

r

2

Todo elespacio

Pero es obvio que

10

8W E dV

1 1 1

1 1( )

2 2

1( ) ( )

2

N N Ni j

T i ii j

T

ij

V

iji

W r r

qq

d

q

V

W rr

¡Otra vez!

Falta la energía de interacción de la carga consigo misma. La energía para “formar” la carga.La energía que se usa para formar las cargas hace que el total sea positivo

2

Todo elespacio

10

8W E dV

1

n

ii

E E

2 2

1 1 1

n n n

i i ji i j

j i

E E E E

espacioel Todo

2

8

1dVEW

1 1

1

8

n n

S i ji j

j i

W W E E dV

1 1

1

8

n n

S i ji j

j i

W W E E dV

1 1

1

8

n n

S i ji j

j i

W W E dV

1 1 1

1

8

n n n

S i j j ii j j

j i j i

W W E E dV

1 1 1 1

1 14

8 8

n n n n

S i j j i ii j i j

j i j i

W W E dS q r r dV

1 1 1 1

1 1

8 2

n n n n

S i j i j ii j i j

j i j i

W W E dS q r

0i jE dS

1 1

1

2

n n

S i j ii j

j i

W W q r

1

1

2

n

i ii

SW qW r

1 1 1 1

1 1

8 2

n n n n

S i j i j ii j i j

j i j i

W W E dS q r

1

1

2

N

T i ii

W q r

1

1

2

n

i ii

SW qW r

2

1 Todo elespacio

1

8

n

S ii

W E dV

1

1

2

n

i ii

SW qW r

2

1 Todo elespacio

1

8

n

S ii

W E dV

0 S IW W W