República Bolivariana de Venezuela Ministerio de Educación Superior

Universidad Fermín Toro Cabudare- Edo Lara

Departamento de Ingeniería Mecánica

Integrantes: Cristian Escalona

C.I: 17.100.986 Profesor:

Domingo Méndez Aula:

AN_2_1_1_1_1_3 Asignatura:

Análisis numérico

Cálculos numéricos y manejo de errores

Resumen Unidad I.

Análisis numérico:

Es una herramienta basada en describir, analizar y crear logaritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos bien sean cantidades numéricas con cierta precisión determinada. En el cálculo numérico nos topamos con los algoritmos los cuales son procedimientos que nos ayudan a encontrar soluciones aproximadas de algún problema mediante un numero de pasos finitos los cuales se

pueden manejar de manera lógica.

Con la llegada de las Pc, calculadoras u ordenadores el análisis numérico se da a conocer ya que los ordenadores son útiles y más rápidos para la solución de cálculos matemáticos sumamente complejos.

Métodos numéricos e importancia:

Son técnicas que nos permiten formular problemas matemáticos de tal manera que puedan resolverse a través de operaciones aritméticas. El análisis numérico emplea métodos para aproximar de una manera eficiente las soluciones a problemas matemáticos. El objetivo principal del análisis numérico es encontrarle soluciones (aproximadas) a problemas complejos usando operaciones de

aritméticas más cortas y sencillas.

La importancia de los métodos numéricos es que aplicándolos nos ayudan a resolver de manera efectiva, rápida y eficiente aquellos procedimientos matemáticos muy complejos (derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, interpolaciones, entre otros), los cuales están inmersos en las áreas en la mayoría

de las Ingenierías conocidas.

Números de máquinas decimales.

Es un sistema numérico que se basa en dos dígitos los cuales son Ceros (0) y unos (1). Cuando se habla de representación maquina o representación binaria significa que es de base 2, lamás pequeña posible, esta representación requiere de menos dígitos pero en lugar de un número decimal exige más lugares. Esto está relacionado con el hecho de la unidad lógica de las computadoras digitales usan componentes de encendido y apagado.

Errores absolutos y relativos.

El error absoluto es aquel que nos indica el grado de aproximación y da un indicio la calidad de la medida, el error absoluto es la diferencia entre el valor de la

medida y el valor tomado como exacta y se representa de la siguiente manera:

El error relativo es la división entre el error absoluto y el valor exacto todo esto multiplicado por 100 para arrojar como resultado el porcentaje de error y se

representa de la siguiente manera:

Ambos valores arrojados por estos errores pueden ser tanto positivos como

negativos es debido a que la medida pudo ser superior al valor real o inferior.

Cotas de errores absolutos y relativos.

Cuando se habla de cota para el error relativo es cota del error relativo igual cota

del error absoluto/ valor real. La cota de error absoluto es unidad de orden de

la última cifra significativa.

Ejemplo:

Dar una cota para el error absoluto y una para el error relativo de la siguiente

aproximación:

a) Precio de la automóvil del año: 235miles de bsf. Solución:

<500 bsf

500/235000= 0,00212766

Fuentes básicas de errores.

Hay dos causas principales de errores en los cálculos numéricos los cuales son:

Error de truncamiento: se trata de las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo como la serie de Taylor donde analiza los errores de truncamiento, otro caso donde se observan errores de truncamiento es el aproximar un proceso infinito por un finito ejemplo trucando los términos de una

serie.

Error de redondeo: se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC.

Errores de suma y resta.

Cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la máquina, queremos ver estos errores se acumulan durante el proceso. En ejercicios prácticos muchas computadoras realizan operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión

adicional.

Se debe evitar cuando al restar cantidades casi iguales o la división entre un número muy grande entre uno muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores relativos y absolutos por relevantes.

Estabilidad e inestabilidad y condicionamiento.

Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumenta por el método numérico, un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agradan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en conjunto. Cuando hay un proceso numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativo, es decir investigar la inestabilidad o mal acondicionamiento lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos el 0,01%, produce un cambio relativamente grande en la salida ,

digamos el 1% o más.

Cuando hablamos de condicionamiento se usan de una manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Si se nos presenta un numero de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado, se debe tomar en cuenta que para caso se establece un numero de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un numero condicionado para la solución de sistema de ecuaciones lineales se establece otro tipo de numero de condición, el numero condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la

incertidumbre aumenta.