Cálculos de Sistemas de Escape

UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

CÁLCULO DE SISTEMAS DE ESCAPE DE MOTORES DE EXPLOSÃO

Jorge Manuel Fernandes Trindade (Licenciado)

Dissertação para obtenção do grau de Mestre

em Engenharia Mecânica

Orientador: Doutor José Carlos Fernandes Pereira

Júri

Presidente

Doutor José Carlos Fernandes Pereira

Vogais

Doutor Jorge José Gomes Martins

Doutor José Miguel Carrusca Mendes Lopes

Lisboa, Outubro de 1998

I

TÍTULO: Cálculo de Sistemas de Escape de Motores de Explosão

NOME: Jorge Manuel Fernandes Trindade

CURSO DE MESTRADO em Engenharia Mecânica

ORIENTADOR: Prof. José Carlos Fernandes Pereira

RESUMO

Tendo em consideração a importância das ondas de pressão nas condutas de

escape no desempenho dos motores alternativos de combustão interna, é construído

um algoritmo, utilizando o método das características, capaz de, em regime transiente,

prever a evolução da pressão e outras variáveis com importância para a caracterização

do escoamento em condutas de escape.

A formulação matemática baseia-se nos princípios da conservação da massa e

da energia e do balanço de quantidade de movimento. É considerado o efeito das

trocas térmicas e do atrito nas paredes das condutas. As equações fundamentais, são

transformadas para uma mais fácil aplicação do método numérico utilizado.

O modelo numérico construído é validado, comparando os resultados do

modelo com dados experimentais publicados, para três casos, referentes a motores

com um, dois e quatro cilindros. É realizado um breve estudo de sensibilidade aos

principais parâmetros do sistema de escape.

É posteriormente feito um estudo de pré-dimensionamento das condutas de

escape para um motor, de quatro cilindros, de utilização corrente como propulsor de

veículos automóveis. São consideradas duas configurações base, efectuando a junção

das quatro condutas iniciais em uma ou duas fases e, para cada uma, duas hipóteses de

dimensionamento. Os resultados obtidos pela aplicação do modelo, rendimento

volumétrico e potência de bombagem, para cada caso, são apresentados e analisados.

Palavras-chave:

Motor de combustão interna

Escape

Transiente

Características

Compressível

Modelo

II

TITLE: Spark Ignition Engines Exhaust System Calculation

ABSTRACT

Considering the relevant effect of the pressure waves in the exhaust pipes on

internal combustion reciprocating engines performance, an algorithm is built, using

the method of characteristics, making possible the prediction, in transient state, of

pressure and other important variables evolution for the exhaust gas flow

characterisation.

The mathematical formulation is based upon the mass, momentum and energy

conservation principles. The effect of heat transfer and friction on pipe walls is

considered. The fundamental equations are transformed for an easier application of the

numerical method used.

The validation of the numerical model is achieved comparing the results of the

model results with real experimental published data for three cases, concerning one,

two and four cylinder engines. A brief study of sensitivity for the exhaust system main

parameters is performed.

Afterwards, a pre-dimensioning study of the exhaust system for an automotive,

general use, four cylinder engine is made. Two basic configurations, joining the four

initial pipes on one or two steps and, for each one, two cases of dimensioning are

considered. The model results, volumetric efficiency and pumping power, for each

case, are presented and discussed.

Keywords:

Internal combustion engine

Exhaust

Unsteady

Characteristics

Compressible

Models

III

AGRADECIMENTOS

Desejo manifestar o meu agradecimento ao Prof. José Carlos Pereira, orientador científico deste trabalho, pelo apoio e disponibilidade com que acompanhou a sua realização.

Um palavra também de agradecimento para todos os colegas que, com as suas ajudas e sugestões, contribuíram na elaboração desta dissertação.

IV

ÍNDICE

RESUMO ............................................................................................................................................. I ABSTRACT ......................................................................................................................................... II AGRADECIMENTOS ........................................................................................................................ III ÍNDICE ............................................................................................................................................... IV LISTA DE SÍMBOLOS ...................................................................................................................... V

1 - INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1

1.1 - O assunto ................................................................................................................................... 1 1.2 - A relevância prática ................................................................................................................... 2 1.3 - Breve revisão bibliográfica ....................................................................................................... 4 1.4 - Objectivos ................................................................................................................................. 5

2 - MODELO FÍSICO-MATEMÁTICO

2.1 - Escoamento compressível, não estacionário, no interior de condutas de secção variável ........ 6 2.1.1 - Formulação das equações .................................................................................................. 6 2.1.2 - Atrito ................................................................................................................................. 8 2.1.3 – Transmissão de calor ........................................................................................................ 9

2.2 - Descarga de um cilindro de um motor de explosão .................................................................. 11 2.2.1 – Propriedades da mistura de gases ..................................................................................... 11 2.2.2 - Evolução das condições no interior do cilindro durante o escape ..................................... 12 2.2.2 - Escoamento através da válvula de escape ......................................................................... 16

3 - MODELO NUMÉRICO .................................................................................................................. 17

3.1 - Resolução numérica pelo método das características ............................................................... 17 3.1.1 - Discretização das equações ............................................................................................... 18 3.1.2 – Critério de estabilidade ..................................................................................................... 19

3.2 - Aplicação das condições iniciais e fronteira ............................................................................. 19 3.2.1 - Condições iniciais ............................................................................................................. 19 3.2.2 - Condições fronteira ........................................................................................................... 19 3.2.2.1 - Extremidade fechada ................................................................................................... 19 3.2.2.2 – Entrada do escoamento numa conduta ........................................................................ 20 3.2.2.2.1 - Secção de entrada igual à secção de passagem da conduta ................................... 20 3.2.2.2.2 – Válvula de escape ................................................................................................. 22 3.2.2.3 - Condições de saída ...................................................................................................... 24 3.2.2.4 - Junção de condutas ...................................................................................................... 26

3.3 - Algoritmo de cálculo ................................................................................................................ 30 3.4 - Validação do modelo ................................................................................................................ 35 3.5 – Análise de sensibilidade aos principais parâmetros ............................................................... .. 42

4 – CASO DE APLICAÇÃO ................................................................................................................ 46

4.1 - Objectivos ................................................................................................................................ 46 4.2 - Configurações testadas ............................................................................................................. 46 4.3 - Resultados obtidos .................................................................................................................... 48 4.3 - Incorporação futura de sub-modelos ........................................................................................ 53

5 – CONCLUSÃO ................................................................................................................................ 55

ANEXOS .............................................................................................................................................. 57

Anexo I - Dedução das equações que regem o escoamento .............................................................. 58 Anexo II - Transformação das equações diferenciais ....................................................................... 63 Anexo III - Previsão do ruído emitido pela descarga dos gases de escape de um motor .................. 69

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................. 74

V

LISTA DE SÍMBOLOS

Letras romanas:

a - velocidade do som

A - área da secção de passagem

D - diâmetro

F - força

f - força por unidade de massa

g - aceleração gravítica

h - entalpia específica

h - coeficiente de convecção

k - condutividade térmica

L - comprimento

&m - caudal mássico

N - velocidade de rotação

p - pressão

PMI - ponto morto inferior

PMS - ponto morto superior

Q - fluxo de calor

&q - fluxo de calor por unidade de massa

r - raio da manivela

R - constante dos gases perfeitos

t - tempo

T - temperatura

u - velocidade

U - energia interna específica

U - coeficiente global de transmissão de calor

V - volume

W - trabalho

x - coordenada axial

x - fracção mássica

VI

Letras gregas:

β - variável de Riemman

ε - emissividade

ε - rugosidade relativa

ε - relação volumétrica de compressão

γ - razão de calores específicos

λ - variável de Riemman

ν - viscosidade cinemática

σ - constante de Boltzman

λ - coeficiente de atrito

µ - viscosidade dinâmica

θ - ângulo de manivela

ρ - massa específica

ψ - razão de áreas

τ - tensão de corte

Índice superior:

' - variável adimensionalizada

Índice inferior:

0 - condições de estagnação

adm - referente à admissão

cc - referente à câmara de combustão

cil - referente ao cilindro

d - referente ao diâmetro

emb - referente ao êmbolo

esc - referente ao escape

ext - referente à superfície exterior

int - referente à superfície interior

max - valor máximo

min - valor mínimo

mist - referente a uma mistura

ref - condições de referência

VII

w - referente à parede

∞ - referente ao ambiente

Operadores:

∂ - derivada parcial

d - derivada total

D - derivada substantiva Dt

ux

= +∂∂

∂∂

J+ - operador diferencial ( )∂∂

∂∂t

u ax

+ +

J- - operador diferencial ( )∂∂

∂∂t

u ax

+ −

δ - diferencial infinitesimal

Introdução

1

1 - Introdução

1.1 - O Assunto

A modelação numérica do escoamento dos gases de escape pode tornar-se uma ferramenta útil na previsão do comportamento do sistema de escape para uma determinada geometria adoptada e condição de funcionamento. A complexidade dos vários processos envolvidos, desde o motor até à saída do escape para a atmosfera, faz com que, regra geral, as equações que governam o processo e as suas condições fronteira não sejam consideradas na sua forma tridimensional. Assim, um estudo unidimensional, considerando a forma transiente das equações para um fluido compressível, com o recurso a relações experimentais e a algumas aproximações torna possível obter uma ferramenta de cálculo com relevância em estudos de pré-dimensionamento ou optimização de sistemas de escape.

Três tipos de modelos têm sido utilizados na análise dos processos de admissão e escape. Num primeiro tipo de modelo, são considerados todos os componentes como restrições ao escoamento e aplicadas as equações válidas para um escoamento compressível, unidimensional e estacionário. As perdas de carga do escoamento são calculadas com base na geometria dos componentes e nos coeficientes de descarga determinados experimentalmente para regime estacionário.

Um segundo tipo de modelação pode ser realizada considerando cada componente do sistema como um volume finito contendo gás, em condições uniformes, no seu interior. A determinação da condição do gás em cada componente é feita utilizando as equações da conservação de massa e energia. Nestes modelos, cada volume de controle é caracterizado com a média espacial da pressão e temperatura. São assim verificadas as variações no tempo daquelas variáveis no interior de cada volume mas não é possível ter em consideração os fenómenos devidos a processos dinâmicos no seu interior.

Iniciando-se a saída dos gases do interior do cilindro quando a pressão no interior deste é superior à pressão atmosférica são originadas ondas de pressão que vão percorrer as condutas e reflectir-se nas suas extremidades. A frequência com que estas ondas de pressão são formadas é directamente proporcional à velocidade de rotação do motor e a sua velocidade de propagação depende da temperatura dos gases de escape. No caso dos motores policilíndricos em que existam componentes, ou troços de conduta, comuns a vários cilindros, caso mais generalizado, deve ser considerada a possível interacção entre eles. As limitações anteriormente descritas, acrescidas da importância relevante da geometria das condutas e componentes, bem como da localização destes, tornam insuficientes para determinados objectivos aqueles tipos de modelo. É necessário então o recurso a uma outra forma de modelação, mais complexa, em que são utilizadas as equações de conservação da massa, quantidade de movimento e energia de um escoamento de fluido compressível, unidimensional e em regime não estacionário. O caudal mássico de entrada ou saída do cilindro é obtido com o contributo da análise termodinâmica dos processos a decorrer no seu interior.

Introdução

2

1.2 - A Relevância Prática

O desenho do sistema de escape de um motor de explosão influencia diversas aspectos do seu desempenho, nomeadamente, o rendimento volumétrico, o trabalho de bombagem, a eficiência do catalisador e as emissões sonoras.

Num motor de explosão, mantendo-se constante a relação ar/combustível e a relação volumétrica de compressão, continuando a ocorrer a inflamação no instante ideal, o rendimento térmico permanece constante e a potência indicada do motor é, de forma aproximada, directamente proporcional à massa de mistura ar-combustível retida no interior do cilindro no fim da admissão. Aliás, e ao contrário do que se passa nos motores de ignição por compressão, o controle da potência desenvolvida pelos motores de explosão é feito, regra geral, através do ajuste da massa de mistura admitida no interior do cilindro. A potência máxima disponível é assim condicionada pela máxima massa de mistura admitida e retida no interior do cilindro.

O rendimento volumétrico de um motor de explosão, definida como a razão entre a massa de mistura fresca admitida no cilindro e aquela que ocuparia o mesmo volume nas condições de admissão, ao traduzir a eficiência com que é realizada a renovação da carga de mistura ar-combustível nos cilindros, condiciona fortemente o seu desempenho. Para o ciclo ideal do motor de explosão a quatro tempos é possível deduzir uma expressão que permite relacionar o rendimento volumétrico com a pressão de admissão, pressão de escape e a relação volumétrica de compressão do motor. Este rendimento volumétrico ideal é reduzido por vários factores entre os quais se salienta a presença de gases residuais, oriundos do ciclo anterior e que não foram expelidos durante o período de escape e as oscilações da pressão no interior do cilindro durante os tempos de admissão e escape. A presença dos gases residuais faz-se sentir, essencialmente, de duas formas. Por um lado, os gases que ficarem retidos no interior do cilindro vão reduzir o volume disponível para a nova carga de mistura ar/combustível. Por outro, a troca de calor entre os gases residuais, a uma temperatura bastante superior, e a carga fresca, provoca uma redução da massa específica desta. Este aumento da temperatura da mistura tem, no entanto, um aspecto positivo pois favorece a difusão do combustível no seio do ar.

Com o objectivo de maximizar o rendimento volumétrico dos motores a regulação usualmente aplicada às válvulas é substancialmente diferente da pressuposta nos ciclos teóricos. A válvula de admissão é aberta antes do PMS e fecha depois do PMI e a válvula de escape abre antes do PMI e fecha depois do PMS originando-se assim um período, quando o êmbolo se encontra na proximidade do PMS, em que ambas as válvulas se encontram abertas. Durante o período de cruzamento de válvulas, quando a pressão de escape é superior à pressão de admissão os gases de escape tendem a escoar-se para a conduta ou colector de admissão de onde retornarão ao cilindro durante o restante curso de admissão. Uma elevada pressão na conduta de escape na proximidade da válvula, relativamente à pressão de admissão, na fase final do processo de escape tem como consequência a redução do rendimento volumétrico do motor. Inversamente, se a pressão de escape for inferior à pressão de admissão poderá ocorrer uma perda significativa de mistura ar-combustível através da válvula de escape. Sendo o controle de carga feito por obstrução na admissão, a pressão de admissão varia em função da carga. Sendo esta variação mais significativa que a correspondente variação na pressão de escape a relação p pesc adm/ vai variar em

Introdução

3

função da carga tendendo a fracção de gases residuais a aumentar com a redução de carga.

A antecipação da abertura da válvula de escape relativamente ao PMI tem por objectivo criar condições para que durante grande parte do curso de escape a pressão no interior do cilindro seja próxima da pressão atmosférica. Pretende-se assim que a fase de escape espontâneo ocorra quando o êmbolo se encontra junto ao PMI e a sua velocidade é pequena. A perda de trabalho expansivo dos gases assim provocada deverá ser compensada de forma positiva pela redução de trabalho a executar pelo êmbolo para expulsar os gases durante o decurso da fase do escape impulsionado.

A maximização do rendimento mecânico de um motor, sendo a relação entre a sua potência efectiva e a potência indicada para uma determinada condição de funcionamento, passa também pelo comportamento do seu sistema de escape. A diferença entre a potência indicada e a potência efectiva inclui as perdas por atrito, a potência utilizada para movimentar órgãos auxiliares necessários ao seu funcionamento, tais como comando de válvulas, bombas de lubrificação e refrigeração, ventiladores, etc. e a potência de bombagem. Esta potência de bombagem, tida como sendo a potência exigida para remover do interior do cilindro no final do ciclo os produtos da combustão e efectuar a admissão de uma nova carga de mistura ar-combustível, pode ser expressa em termos da diferença entre a pressão média de admissão e a pressão média de escape. Uma reduzida pressão média de escape contribuirá para um melhor rendimento mecânico do motor.

A evolução no tempo da pressão nas imediações da válvula de escape é influenciada pela geometria e dimensões das condutas de escape pelo seu efeito na intensidade das ondas de pressão geradas e reflectidas bem como pelo seu “timing” relativamente ao movimento do motor. No caso de motores que funcionam a velocidade constante é possível a optimização do sistema para aquela velocidade. Para motores funcionando com velocidade variável o dimensionamento deverá ter em conta a condição de funcionamento mais frequente e os objectivos prioritários pretendidos que poderão passar pela maximização da potência disponível ou pela minimização do consumo numa faixa alargada de utilização.

A contribuição dos veículos automóveis movidos por máquinas de combustão interna para a poluição atmosférica tem-se tornado ao longo dos tempos de capital importância. As restrições daqui resultantes às emissões de poluentes conduziram à utilização generalizada de catalizadores. Sendo a eficiência dos catalizadores fortemente condicionada pela temperatura das suas superfícies e a temperatura dos gases à entrada do catalisador pela geometria adoptada, um outro aspecto que deve ser tido em conta no projecto de um sistema de escape traduz-se na necessidade de atingir o mais rapidamente possível após o arranque do motor uma temperatura no catalisador que permita o seu eficiente funcionamento.

Um último, mas não menos importante aspecto da questão prende-se com o ruído emitido que, pelo seu efeito nocivo, a nível físico e psíquico, sobre o homem deve ser controlado. Valores limites dos níveis sonoros admissíveis para os veículos automóveis, em função da sua categoria, utilização e potência são fixados em Portugal pelo Regulamento Geral sobre o Ruído [1].

O ruído emitido por um veículo tem diversas origens sendo, de acordo com estas, classificado habitualmente como:

Introdução

4

i) - ruído aerodinâmico que inclui aquele que é produzido pela admissão e escape bem como pelos escoamentos de ar de arrefecimento;

ii) - ruído de combustão como sendo aquele que é emitido pelas superfícies do motor em resultado da excitação provocada pelas forças resultantes da combustão;

iii) - ruído mecânico como sendo aquele que é emitido pelas superfícies do motor em resultado da excitação provocada pelos componentes móveis do motor.

O ruído emitido pelo sistema de escape engloba aquele que é originado pelas ondas de pressão geradas pela descarga pulsatória dos gases e aquele que a vibração das superfícies dos componentes, em consequência do escoamento no seu interior e da vibração transmitida pelo motor, produz. Para a redução do ruído emitido pode contribuir uma adequada selecção do comprimento e diâmetro das condutas e do silenciador utilizado.

1.3 - Breve Revisão Bibliográfica

O estudo do comportamento das ondas de pressão iniciou-se no final do século XIX e as primeiras aplicações da teoria anteriormente desenvolvida ao sistema de escape dos motores é realizada por Jenny [2]. O método das características, considerando o efeito do atrito e da transmissão de calor, é aplicado na forma gráfica ao estudo do escoamento dos gases de escape e vários exemplos de aplicação comprovam a validade da teoria desenvolvida.

Diversos trabalhos sobre a aplicação do método das características utilizando métodos computacionais, em lugar da anterior forma gráfica, no cálculo de escoamentos compressíveis, em regime não-estacionário, no interior de condutas simples, em condições homoentrópicas e não homoentrópicas foram publicados por Benson et al [3 a 5]. Uma nova formulação das equações, utilizando variáveis de Riemman modificadas, foi paralelamente desenvolvida permitindo considerar no cálculo daquelas variáveis os efeitos da variação da entropia originados pelo atrito e transmissão de calor. Os métodos desenvolvidos foram aplicados na simulação e análise dos processos de admissão e escape de motores de combustão interna [6 a 10].

Blair e Goulbourn desenvolveram também programas com objectivo de simular o comportamento dos sistemas de escape. Num primeiro trabalho [11], a simulação é feita utilizando impulsos de ar comprimido com a frequência correspondente ao funcionamento de um motor de quatro tempos a 8000 rpm. Num outro trabalho publicado [12] é feita a simulação e comparação do comportamento de várias geometrias aplicadas a um motor. Blair e Specho [13] utilizaram o programa de simulação anteriormente desenvolvido para calcular a evolução aproximada da velocidade na saída dos gases para a atmosfera e, com base nos resultados obtidos, prever o ruído emitido pelo sistema de escape.

Masaaky Takizawa et al. [14] desenvolveram estudos sobre a simulação dos processos de admissão e escape que lhes permitiram concluir da boa aplicabilidade da análise unidimensional no estudo destes escoamentos. Uma comparação dos caudais mássicos calculados pelos métodos de Lax-Wendroff e das características em diversos pontos do sistema de escape permite concluir de uma maior precisão, quanto à conservação da massa, do método de Lax-Wendroff.

Introdução

5

As geometrias possíveis para os sistemas de escape são condicionadas pela arquitectura do motor, em linha ou em "V". As saídas individuais de cada cilindro podem ser agrupadas numa fase só ou em duas fases. Num motor de quatro cilindros é comum, por exemplo, ser feito o agrupamento, numa primeira fase, do 1º ao 3º e do 2º ao 4º cilindro segundo a ordem de inflamação. Estes tubos são posteriormente ligados entre si, dando origem a uma saída única onde se encontra o catalisador. O colector de escape é geralmente fabricado em ferro fundido de modo a suportar a elevada temperatura dos gases de escape nesta região e as condutas são muito curvas. Neste colector são efectuadas já ligações entre tubos, pelo menos de 4 para 2, sendo os tubos seguintes em aço, de parede muito mais fina, mais rectos, e o seu diâmetro é, regra geral, ligeiramente superior. A saída do catalizador faz-se para uma conduta em aço que descarregará os gases para a atmosfera passando estes, entretanto por um ou dois silenciadores.

1.4 - Objectivos

Com este trabalho pretende-se desenvolver um modelo numérico que permita simular o comportamento do sistema de escape, considerando o efeito do atrito e da transmissão de calor, de um motor de explosão, mono ou multicilíndrico, a quatro tempos, atmosférico.

A dissertação está estruturada em cinco capítulos. No capítulo seguinte é desenvolvida a modelação fisico-matemática do escoamento através das válvulas de escape e ao longo das condutas. No capítulo 3 é construído o modelo numérico para a resolução das equações. O modelo obtido é validado, recorrendo a dados experimentais obtidos na literatura, e analisada a tendência de alteração do comportamento do sistema de escape por variação dos principais parâmetros. No capítulo 4 é considerado um caso de aplicação testando-se várias hipóteses de configuração e dimensionamento do sistema de escape para um determinado motor. Neste capítulo são também apresentadas algumas perspectivas de desenvolvimento, por incorporação futura de novos sub-modelos, e é testada a sua aplicação na previsão do ruído emitido pela descarga dos gases de escape de um motor. As conclusões obtidas constituem o capítulo 5.

Modelo Físico-Matemático

6

2 - MODELO FÍSICO-MATEMÁTICO

2.1 - Escoamento compressível, não estacionário, no interior de condutas de secção variável

2.1.1 - Formulação das equações

As equações que regem o escoamento, deduzidas no Anexo I, têm origem nos princípios de conservação da massa, de conservação da energia e do balanço de quantidade de movimento. A dedução destas equações é feita considerando os seguintes pressupostos:

i) o escoamento pode ser considerado como unidimensional;

ii) o escoamento é não-estacionário;

iii) o escoamento é de fluido compressível;

iv) a influência do atrito nas paredes da conduta é significativa;

v) as trocas de calor através das paredes da conduta são significativas;

vi) a influência térmica de eventuais reacções químicas no seio do escoamento poderá ser considerada;

vii) a secção transversal do escoamento poderá variar desde que o modelo unidimensional se mantenha consistente;

viii) a razão de calores específicos, γ, é constante.

Para o volume de controle representado na Figura 1, de secção transversal variável e considerando presentes o atrito e processos de transmissão de calor através das paredes, as equações deduzidas são as seguintes:

i) conservação da massa,

( )∂ρ∂

∂∂

ρρ

t xu

u

A

dA

dx0+ + = ; (2.1)

ii) balanço da quantidade de movimento,

( ) ( )∂∂

ρ∂∂

ρρ

ρt

ux

u pu

A

dA

dxf+ + + = −2

2

; (2.2)

iii) conservação da energia,

∂∂

ρρ

∂∂

ρ ρ ρt

hp u

xu h

u

Au h

u dA

dxq− +

+ +

+ +

=2 2 2

2 2

1

2& ; (2.3)

sendo,

f - força de atrito, no sentido de x positivo, exercida por unidade de massa de fluido em escoamento

&q - fluxo de calor recebido pelo fluido por unidade de massa de fluido em escoamento


7

Figura 1 - Volume de controlo considerado

Outras relações termodinâmicas necessárias para a solução das equações anteriores são:

i) a equação de estado dos gases perfeitos,

pRT

ρ= ; (2.4)

ou, na forma diferencial,

T

dTd

p

dp=−

ρρ

; (2.5)

ii) a expressão da velocidade do som em função da temperatura do gás,

a RT= γ ; (2.6)

iii) a aplicação da 1ª lei da termodinâmica a um processo reversível entre dois pontos quaisquer,

Tds dhdp

= −ρ; (2.7)

iv) a relação entre a entalpia e a temperatura de um fluido,

dh cp= dt . (2.8)

As equações inicialmente apresentadas podem, utilizando estas relações, tomar a seguinte forma, mais conveniente para aplicação do método das características:

∂ρ∂

∂ρ∂

ρ∂∂

ρt

ux

u

x

u

A

dA

dx+ + = − ; (2.9)

∂∂

∂∂ ρ

∂∂

u

tu

u

x

p

xf+ + = −

1; (2.10)

∂∂

∂∂ ρ

∂∂

∂∂

ρh

tu

h

x

p

tu

p

xq uf+ − +

= +

1& . (2.11)

A x

dx

dAA δ+

xδ

ρ,,, uph δρρδδδ ++++ ,,, uupphh

q& -f


8

2.1.2 - Atrito

Considerando o volume de controlo representado na Figura 1, a força total de atrito, F, na parede e a tensão de corte, Γw , estão relacionadas por

F D xw= Γ π δ . (2.12)

Sendo a tensão de corte função de várias variáveis,

Γw f u D= ( , , , , )ρ µ ε ,

a análise dimensional desta relação permite estabelecer

Γw u=1

82λρ , (2.13)

sendo λ o factor de atrito de Darcy.

Assim, a força de atrito por unidade de massa de fluido em escoamento, f, é dada por

fu

D=λ 2

2. (2.14)

Para assegurar que o sentido da força de atrito é sempre oposto ao movimento, esta expressão deverá ser utilizada na forma

fu

D

u

u=λ 2

2. (2.15)

A complexa relação entre a velocidade do escoamento, a rugosidade das paredes e as propriedades do fluido obriga à determinação experimental do factor de atrito. Não sendo conveniente para aplicações numéricas a representação gráfica dos resultados obtidos, diagrama de Moody, várias expressões para a determinação do factor de atrito em função do Re local e da rugosidade da parede têm sido desenvolvidas. As expressões de utilização mais divulgada são devidas a Colebrook [15],

12 0

37

2 511

2

10 1

2λ

ε

λ= − +

. log.

.

Re

d , (2.16)

que tem como principal desvantagem o seu carácter transcendente, obrigando a um processo iterativo para o cálculo de λ, e a Haaland [15],

118

6 9

371

2

10

1 11

λ

ε= − +

. log.

Re .

.

d , (2.17)

que permite o cálculo directo do factor de atrito em função do número de Reynolds e da rugosidade relativa da superfície interior da tubagem.

A viscosidade do fluido para o cálculo de Re deverá ser corrigido em função da sua temperatura. A variação da viscosidade com a pressão é desprezada por não atingir valores significativos.


9

2.1.3 – Transmissão de calor

Na análise do processo de transferência de calor entre o gás em escoamento no interior da conduta e o ar no exterior deverão ser considerados, no percurso do fluxo de calor, os modos de transmissão relevantes. Se o mecanismo dominante de transmissão de calor entre o gás em escoamento no interior da conduta e a parede interior da conduta é a convecção, no exterior da mesma a influência da radiação poderá não ser desprezável.

Poderão ser consideradas quatro zonas distintas no percurso dos gases desde a válvula de escape até à descarga para a atmosfera.

A primeira ocorre nas proximidades da válvula onde, considerando que a sua variação de temperatura é reduzida quando comparada com a diferença de temperatura entre o gás e a parede, será válido admitir, para um dado regime de funcionamento, a temperatura da parede constante. Caton e Heywood [16] testaram vários modelos para a transferência de calor nesta zona do sistema de escape tendo concluído que nenhum dos modelos testados era capaz, por si só, de permitir uma concordância razoável com os resultados experimentais. Uma boa aproximação dos resultados experimentais seria obtida aplicando os vários modelos em várias fases do tempo de escape em função do grau de abertura da válvula de escape conforme indicado no Quadro 1.

Período Curso/Diâmetro da Válvula Sub-modelo

Inicial < 0.22 6040 .

jRe.Nu =

Intermédio abertura>0.22 / fecho>0.19 802101940 .

DReCC.Nu =

Final <0.19 505160 .

jRe.Nu =

Válvula fechada 0 800220 .DRe.Nu =

jRe - Número de Reynolds baseado na velocidade dos gases através da válvula

DRe - Número de Reynolds baseado na velocidade dos gases depois da válvula

DRe - Número de Reynolds médio

C1 , C2 – constantes função de Re e da posição axial do ponto considerado

Quadro 1 – Correlações de Caton e Heywood para os vários períodos do escape

O colector constituirá uma segunda zona em que, pela sua elevada inércia térmica, a aproximação feita ao considerar a temperatura da parede interior dos tubos constante continuará a ser válida. Na estimativa do coeficiente de transmissão de calor por convecção entre o gás e a parede pode ser utilizada a correlação empírica de Malchow [17],

Nu = 0 0483 0 783. Re . , (2.18)

com Re calculado com o diâmetro da conduta e a velocidade do escoamento.


10

A zona de tubagem em aço poderá ser dividida em duas zonas. No exterior das tubagens as condições de transmissão de calor são diferentes ao longo da tubagem. Junto ao motor, no interior do seu compartimento, será de esperar uma menor velocidade do ar e um escoamento menos orientado. No exterior do compartimento, o escoamento do ar será mais intenso e, para cada caso as correlações a utilizar na estimativa do coeficiente de transmissão de calor por convecção deverão ter em consideração este aspecto.

Realizando um balanço de energia a uma secção do tubo, representada na Figura 2, assumindo desprezável a variação de temperatura na direcção radial face à diferença de temperaturas entre o gás e a parede interior do tubo e entre a parede exterior e o ar exterior,

( ) ( ) ( )44

wextwextextwgintintw

pw TTATThATTUAdt

dTcm ∞∞ −−−−−= εσ (2.19)

com

w

intint

int

int

k2

ddlnd

h

1

1U

+

= ,

e,

dd dext=

+2 2

2

int .

Figura 2 - Transmissão de calor num troço de conduta

Determinada a temperatura aproximada da conduta o fluxo de calor pode ser calculado por

( )Q A h T Tg wint int int= − , (2.20)

e, por unidade de massa de fluido em escoamento,

( )wg

int

int

2

int

intint TT

d

h4

L4

d

Qq −==

ρπρ

&

& . (2.21)

Tw mw kw cpw

dext dint Tg ug

T∞ Qext

Qint


11

2.2 - Descarga de um cilindro de um motor de explosão

2.2.1 - Propriedades da mistura de gases

Na estimativa das propriedades da mistura de gases são considerados os seguintes pressupostos:

i) - o combustível utilizado, gasolina, pode ser aproximado por um hidrocarboneto CnH1.87n;

ii) - o ar admitido no cilindro encontra-se isento de humidade;

iii) - é considerada a combustão completa da mistura admitida no interior do cilindro;

iv) as reacções químicas encontram-se congeladas.

Considerando estas hipóteses de simplificação, a reacção química pode ser traduzida pela equação

C H nO nN nCO nH O nNn n1 87 2 2 2 2 214675 5 5178 0 935 5 5178. . . . .+ + → + + (2.22)

resultando a composição volumétrica e mássica aproximada dos gases de escape constante no Quadro 2.

% Volumétrica % Mássica

CO2 13.5 20.4

H2O 12.5 7.8

N2 74.0 71.8

Quadro 2 - Composição dos gases de escape

O calor específico a pressão constante da mistura de gases pode ser calculado a partir do calor específico a pressão constante de cada gás participante considerando a sua fracção mássica,

c x cp mist i p ii

=∑ (2.23)

e, analogamente para o calor específico a volume constante,

c x cv mist i v ii

=∑ . (2.24)

Considerando aquela composição para os gases de evacuação e a temperatura de 600 K, com base em valores tabelados [19] para as espécies individuais, resulta para a mistura de gases,

c 1.150 KJ Kg Kp = / ,

e uma razão de calores específicos,

γ = 133.


12

As propriedades de transporte podem ser obtidas através de correlações empíricas. Para a viscosidade dos gases de evacuação, sendo pressuposta a relação ar/combustível estequiométrica, a correlação [18],

µµ

φgases

ar=+1 0 027.

, (2.25)

simplifica-se, obtendo-se,

µµ

gases

ar=1027.

. (2.26)

A viscosidade do ar à temperatura desejada é obtida por [15]

µ µ=

293

0 67

293K

T.

. (2.27)

O número de Prandtl para a mistura de gases pode ser aproximado, em função da razão de calores específicos, por [18]

( ) ( )Pr . . .= + − − −0 05 4 2 1 6 7 12

γ γ , (2.28)

permitindo assim a estimativa da condutividade térmica,

kcp

=µ

Pr. (2.29)

2.2.2 - Evolução das condições no interior do cilindro durante o escape

O período de escape nos motores a quatro tempos pode ser dividido em duas fases com características bem diferentes. Numa primeira fase, o escape espontâneo, o escoamento através da válvula de escape é essencialmente provocado pela elevada diferença de pressão existente entre o interior do cilindro e a conduta adjacente. Reduzida esta diferença de pressão, inicia-se o período de escape impulsionado durante o qual a saída dos gases continua predominantemente por influência do deslocamento do êmbolo no sentido do PMS e consequente redução de volume no interior do cilindro.

Nos motores modernos, a abertura da válvula de escape ocorre, regra geral, ainda antes de o êmbolo atingir o PMI e o seu fecho após o PMS, numa altura em que a válvula de admissão se encontra também já aberta. O prolongamento do período de abertura para além do PMS e o consequente cruzamento de válvulas tem por objectivo proporcionar um melhor rendimento volumétrico ao motor. A antecipação da abertura da válvula relativamente ao PMI pretende reduzir o trabalho de expulsão dos gases embora à custa de uma perda no trabalho de expansão.

A determinação da evolução no tempo da pressão e temperatura dos gases no interior do cilindro deverá ter em conta os efeitos da variação no tempo do volume ocupado e da massa de gás no interior do cilindro, conjuntamente com os que resultam das trocas térmicas com as paredes do cilindro.

Para o estudo em causa não é necessário o conhecimento do estado termodinâmico da mistura de gases durante todo o ciclo de funcionamento do motor


13

mas apenas durante o período de abertura da válvula de escape. A simulação é iniciada, para cada cilindro, no instante anterior à abertura da sua válvula de evacuação estimando a pressão e a massa de gases no interior do cilindro. Com base nestes valores, pela equação de estado dos gases perfeitos, é calculada a temperatura inicial dos gases de escape.

Cada cilindro do motor é modulado como um volume variável com pressão e temperatura dos gases uniforme e a mistura de gases é considerada homogénea em todo volume. A evolução no tempo das condições no interior do cilindro durante o período de escape é determinada com base na 1ª lei da termodinâmica considerando as trocas térmicas com a superfícies envolventes do cilindro, o trabalho realizado pelo êmbolo e o fluxo de massa através da válvula de evacuação.

A composição da mistura de gases é suposta constante ao longo do período de escape e as suas propriedades termodinâmicas são calculadas a partir das espécies individuais assumidas como gases perfeitos.

Da lei cinemática do movimento do êmbolo, o volume interior do cilindro de um motor, Vcil, é dado, em função do ângulo de manivela, θ, por,

( )V VD

l r r l r sencil cc

cil= + + − + −

πθ θ

2

2 2 21

2

4cos (2.30)

sendo,

Vcc - volume da câmara de combustão

Dcil - diâmetro do cilindro

l - comprimento do tirante

r - raio da manivela

A variação de volume no tempo, dV

dt

cil , pode ser obtida por derivação da

expressão 2.30, obtendo-se,

( )

−+=

21222

22

12 /

cilcil

senrl

cosr senrND

dt

dV

θ

θθπ (2.31)

em que N é a velocidade de rotação do motor.

A pressão e temperatura dos gases no interior do cilindro aquando da abertura da válvula de escape vão depender das características do motor bem como da condição de funcionamento a simular. Esta dependência resulta de dois factores:

- a massa de mistura ar/combustível admitida no cilindro quando o motor se encontra a carga parcial é menor que a plena carga;

- a energia libertada no processo de combustão é menor a carga parcial que a plena carga.

Da aplicação da 1ª lei da termodinâmica para sistemas abertos ao processo de escape de um cilindro resulta

( ) ( )admadmescescps hmhm

t

UWWQ 00 &&&&& −+=−−

∂∂

. (2.32)


14

Considerando que o único trabalho realizado pelo êmbolo é aquele que resulta na alteração de forma do volume de controle,

dt

dVpW cil

cilp =& , (2.33)

a equação pode ser colocada na seguinte forma,

( ) ( )admadmescesc

cilcil hmhm

t

U

dt

dVpQ 00 &&& −+=−

∂∂

. (2.34)

Expressando os vários termos da equação do seguinte modo,

U m up V

cil cil

cil cil= =−γ 1

, (2.35)

∂∂ γU

tp

dV

dtV

dp

dtcil

cil

cil

cil=−

+

1

1, (2.36)

( )1

ahh

2

cil0cilesc0 −

==γ

, (2.37)

( )1

ah

2

adm0

adm0 −=

γ, (2.38)

&mdm

dtesc

esc= , (2.39)

dt

dmm adm

adm =& , (2.40)

obtém-se a expressão,

+

+

−=−

dt

dpV

dt

dVp

1

1

dt

dVpQ cil

cilcil

cilcil

cil γ&

−

−

−

+dt

dm

1

a

dt

dm

1

a adm

2

adm0esc

2

cil0

γγ, (2.41)

e, finalmente,

( )

−+

−

+

−= Q1

dt

dma

dt

dma

dt

dVp

V

1

dt

dp esc2

cil0

adm2

adm0

cil

cil

cil

cil &γγ . (2.42)

Para a estimativa das trocas térmicas com as superfícies envolventes do cilindro a correlação de Annand [19] tem sido utilizada por diversos autores,

( )cilwcil

cil

b

TTAkD

a

dt

dQQ −==

Re& , (2.43)

onde a e b são constantes dependendo do tipo de motor e Acil a área da superfície envolvente. O número de Reynolds deverá ser calculado com base na velocidade média do êmbolo, uemb , dada por

u rNemb = 4 . (2.44)


15

A área da superfície envolvente (Acil) pode ser dividida em três partes, a área da camisa do cilindro acima do PMS e da cabeça do cilindro (Acc), a área do topo do êmbolo (Aemb) e a área da camisa entre o topo do êmbolo e o PMS (Ac). Apenas esta terceira fracção da área total varia no tempo em função da posição do êmbolo.

A área total de permuta térmica poderá então ser calculada por,

A A A Acil cc emb c= + + (2.45)

( )( )( )A A A D l r r l r sencil cc emb c= + + + − + −π θ θcos/2 2 2 1 2

(2.46)

No caso de ser considerado o topo do êmbolo como uma superfície plana e uma forma cilíndrica para a câmara de combustão teremos a área total de permuta instantânea calculada, de forma aproximada, por

( )( )( )AD rD

D l r r l r sent

cil cil

cil= +−

+ + − + −π π

επ θ θ

2

2 2 2 1 2

2

2

1cos

/, (2.47)

com ε, relação volumétrica de compressão, dada por,

ε

π

=+

rDV

V

cil

cc

cc

2

2 . (2.48)

Dependendo a taxa de variação da pressão no interior do cilindro do caudal mássico que dele sai e sendo este caudal função da diferença de pressão existente através da válvula de escape a solução para estas equações deverá ser procurada de forma iterativa.

2.2.3 - Escoamento através da válvula de escape

Do ponto de vista da optimização do funcionamento do motor seria desejável uma abertura súbita da válvula de escape por forma a minimizar a duração do escape espontâneo permitindo reduzir o avanço da abertura da válvula e, consequentemente, um melhor aproveitamento da expansão dos gases. Depois de terminada esta fase do escape a abertura da válvula poderia até ser progressivamente reduzida. Limitações de ordem mecânica da velocidade de abertura tornam necessária a abertura da válvula antes de o êmbolo atingir o PMI sendo a regulação de grande parte dos motores feita por forma a que a queda de pressão no interior do cilindro se distribua em partes aproximadamente iguais entre os cursos de expansão e escape.

A regulação do fecho da válvula de escape influencia a pressão no interior do cilindro na parte inicial do tempo de admissão sendo atrasada tanto quanto possível desde que o resultante cruzamento de válvulas seja admissível. Valores típicos para a abertura e fecho da válvula de escape são, respectivamente, de 50 a 60° antes do PMI e 8 a 20° depois do PMS.

A área de passagem na válvula, em cada instante, depende da geometria adoptada e da sua posição. Valores habituais para o diâmetro e curso das válvulas de escape são de 35 a 40% e cerca de 12% do diâmetro do cilindro, respectivamente.


16

Jenny foi um dos primeiros investigadores a procurar modular a descarga de cilindros tendo sugerido três modelos ditos "de pressão constante", "de queda de

pressão" e "de recuperação de pressão". Os bons resultados do modelo "de pressão

constante" na descarga através de válvulas foram confirmados experimentalmente por Woods and Khan e Benson and Galloway [7].

Na aplicação do modelo de pressão constante considera-se que o gás no interior do cilindro nas condições de estagnação p0 e T0 se expande de forma isentrópica através da secção de passagem da válvula até à secção mínima. A continuação da expansão, até se adaptar à secção de passagem da conduta, é considerada adiabática e a pressão constante se o escoamento for subsónico ou com perda de pressão se for crítico.

Considerando a Figura 3, as equações necessárias resultam da verificação da continuidade entre 1 e 2, da conservação da energia entre 0, 1 e 2 e da expansão isentrópica de um gás considerado perfeito,

ρ ρ1 1 1 2 2 2u A u A= , (2.49)

a a u a u0

2

1

2

1

2

2

2

2

21

2

1

2= +

−= +

−γ γ, (2.50)

2

1

1

02

1

1

0

1

0

p

p

a

a−−

=

=

γγ

γ

ρρ

. (2.51)

Figura 3 – Notação utilizada nas equações que governam o escoamento através da válvula de escape

0

1

2

Modelo Numérico

17

3 -MODELO NUMÉRICO

3.1 - Método das características

Excepto em certos casos particulares, não é possível uma solução analítica para um sistema de equações diferenciais às derivadas parciais de carácter hiperbólico, pelo que resta o recurso a uma solução numérica. O método das características consiste num procedimento numérico, que para situações mais simples pode ter uma implementação gráfica, para a resolução destas equações. Escoamentos bidimensionais em regime estacionário ou unidimensionais em regime não estacionário são o seu campo de aplicação mais usual.

Para escoamentos unidimensionais em regime não estacionário o procedimento do método consiste na transformação por combinações lineares das duas equações,

( )a a x t= , ,

( )u u x t= , ,

noutras duas,

( )c c x t= , ,

( )c c a u= , ,

e, a partir destas equações procurar uma relação entre c, a e u que permita obter soluções para a e u em função de x e t. Esta relação é conseguida segundo linhas no plano x-t, linhas características, C+ e C-, ao longo das quais são avaliadas as variações de a e u. Uma combinação das derivadas substantivas das propriedades a e u ao longo das linhas características, juntamente com o conhecimento do declive daquelas linhas, permite formar um sistema de equações diferenciais ordinárias que, ao longo das linhas características, é equivalente ao sistema inicial.

A aplicação do método é descrita no Anexo II considerando as diversas etapas agrupadas da seguinte forma:

i) - Rearranjo das equações;

ii) - Introdução da Derivada Substantiva;

iii) - Introdução das variáveis de Riemman ;

iv) - Normalização das equações.

As equações normalizadas obtidas desta forma, são

( )'f

2

1

'x

s'a

2

1

'dx

'dA'u'a

'a

'f'u'q

2

1'J 2'

−−

−+

−+

−=+ γ

γ∂∂

γγγ

λ&

, (3.1)

( )'f

2

1

'x

s'a

2

1

'dx

'dA'u'a

'a

'f'u'q

2

1'J 2'

−+

−−

−+

−=− γ

γ∂∂

γγγ

β&

, (3.2)

( )'f'u'q'a

'f'u'q's'D

2+

+= &

&. (3.3)

Modelo Numérico

18

3.1.1 - Discretização das equações

A discretização das equações 3.1, 3.2 e 3.3, tendo em consideração o significado dos operadores diferenciais +'J , −'J e 'D , de variação no tempo das

grandezas λ’, β’ e s' ao longo das respectivas linhas características, pode, considerando a notação indicada na Figura 4, ser executada da seguinte forma:

( )'f

2

1

'x

s'a

2

1

'dx

'dA'u'a

'a

'f'u'q

2

1

't

2'

1

'

4

−−

−+

−+

−=

−

γγ

∂∂

γγγ

∆λλ &

, (3.4)

( )'f

2

1

'x

s'a

2

1

'dx

'dA'u'a

'a

'f'u'q

2

1

't

2'

1

'

4

−+

−−

−+

−=

−

γγ

∂∂

γγγ

∆ββ &

, (3.5)

( )'f'u'q'a

'f'u'q

't

's's2

24 ++

=−

&&

∆. (3.6)

t’

x’- ∆ x’ x’ x’+∆ x’

λ’s' β’

1 2 3

4t’+∆ t’

Figura 4 – Malha computacional

Os valores de '

1λ , '

3β e '

2s são obtidos por interpolação entre os pontos x x' '−∆

e x' , para '

1λ e '

2s , no caso do escoamento se dirigir da esquerda para a direita, e x' e

x x' '+∆ , para '

3β no tempo t’.

A interpolação para o cálculo de '

1λ , '

3β e '

2s no tempo t’ pode assumir formas

mais ou menos complexas dependendo da precisão exigida. Um dos métodos possíveis consiste na utilização dos valores de a’ e u’, conhecidos para o ponto (x’,t’), para a estimativa do declive das linhas características. Neste ponto, o declive das linhas características é,

'a'u

1' +=λα , (3.7)

Modelo Numérico

19

'a'u

1' −=βα , (3.8)

e,

'u

1's =α . (3.9)

3.1.2 – Critério de estabilidade

Para garantir a estabilidade do método é necessário assegurar que os pontos 1, 2 e 3 da Figura 4 se encontram no intervalo [ ]'x'x,'x'x ∆∆ +− . A proporção

'x't ∆∆ deverá ser ajustada em cada estágio do cálculo por forma a que aquela condição se verifique. Se o intervalo de discretização no espaço, 'x∆ , for constante ao longo de todas as condutas, a discretização no tempo vai então variar durante a resolução do problema sendo o intervalo de tempo máximo admissível, max't∆ ,

considerando o declive das linhas características calculado pelas expressões 3.7 a 3.9, obtido por,

'x'u'a

1't

min

max ∆∆

+= . (3.10)

3.2 - Aplicação das condições iniciais e fronteira

3.2.1 - Condições iniciais

Não sendo relevantes, no caso, as condições em que inicialmente os gases se encontram no interior das condutas para o regime forçado obtido, é admitido simplesmente que estes se encontram em repouso e nas condições referência de pressão e temperatura. Daqui resulta,

u' (t ) = 0 ini , (3.11)

e

λ β' (t ) = ' (t ) = a' (t )ini ini ini . (3.12)

3.2.2 - Condições fronteira

As condições fronteira necessárias à resolução das equações, para a aplicação presente, são:

- extremidade de uma conduta fechada;

- entrada numa conduta;

- descarga de uma conduta;

- junção de condutas.

Modelo Numérico

20

3.2.2.1 - Extremidade fechada

No caso de uma extremidade fechada verifica-se

u' = 0 (3.13)

donde,

'' a=λ e '' a=β (3.14)

sendo uma destas variáveis, 'λ ou 'β , calculadas a partir da malha interior.

3.2.2.2 – Entrada do escoamento numa conduta

Dois casos devem ser considerados no estabelecimento da condição fronteira a aplicar na região de entrada do escoamento numa conduta. No primeiro caso a secção de entrada é constante e igual à secção de passagem da conduta enquanto que no segundo, correspondendo a uma válvula de escape, a secção de passagem à entrada da conduta varia no tempo.

3.2.2.2.1 - Secção de entrada igual à secção de passagem do tubo

Este tipo de condição fronteira será aplicado na descarga de colectores ou silenciadores sempre que a secção de entrada seja igual à secção de passagem da conduta.

Na aplicação das condições fronteira na região de entrada do escoamento numa conduta considera-se:

i) inexistência de atrito e transmissão de calor desta região;

ii) escoamento isentrópico;

iii) desprezáveis os efeitos da vena-contracta;

iv) o comprimento da região de entrada pequeno quando comparado com o comprimento total da conduta.

Sendo especificadas para a entrada, a pressão de estagnação, '

0p , e a

temperatura de estagnação, '

0T , a entropia de estagnação do escoamento na entrada é

calculada por

( ) ( )

−

'

0

1/'

0'

0p

Tln=s

γγ

, (3.15)

e, sendo a secção de entrada de diâmetro igual à secção de passagem do tubo, a evolução é assumida como isentrópica donde, referenciando as várias secções conforme representado na Figura 5,

'

0

'

2 ss = . (3.16)

Para que o escoamento seja subsónico na região de entrada, a relação entre a pressão de estagnação e estática deverá verificar

Modelo Numérico

21

( )1/

'

1

'

0

2

1

p

p−

+<

γγγ

. (3.17)

Caso esta condição se verifique, o escoamento é subsónico e então, considerando a relação entre a pressão de estagnação e pressão estática para um escoamento compressível em regime estacionário,

12

'

'

0

'a

'u

2

11

p

p −

−+=

γγ

γ, (3.18)

assumindo,

'

1

'

2 pp = , (3.19)

resulta

12

'

2

'

2

'

2

'

0

a

u

2

11

p

p−

−+=

γγ

γ. (3.20)

Substituindo '

2p , obtido por

( ) ( ) '12' ' seap−−= γγ , (3.21)

em 3.20, rearranjando e simplificando obtém-se, finalmente

12

0

'

2

's1

2'

20

'a

u

2

11

ea'p

−

−−

−−

=γγ

γγ

γ

, (3.22)

Figura 5 – Notação utilizada nas equações fronteira para a região de entrada do escoamento numa conduta (secção de passagem igual à

secção de passagem da conduta)

1 0 2

Modelo Numérico

22

que, conjuntamente com o valor da característica β' calculada por aplicação das equações ao longo da sua direcção característica permite calcular λ' na secção de entrada.

Caso a condição imposta por 3.17 não se verifique, atendendo a que a secção de entrada tem sempre características convergentes, o escoamento adquire condição crítica,

u

a

'

'= 1 , (3.23)

e, então,

1

2

0

2

1

'p

'p −

+=

γγ

γ. (3.24)

Assim, substituindo 3.21 em 3.24, resulta finalmente

'21

2'2

10 2

1' s

eap−−

−

−= γ

γγγ

γ. (3.25)

3.2.2.2.2 – Válvula de escape

No caso de a entrada do escoamento na conduta se efectuar através de uma válvula a área de passagem na secção de entrada varia no tempo. Manipulando as equações 2.49 a 2.51 conforme descrito por Kentfield [20], seguindo a notação indicada na Figura 6, as equações necessárias ao estabelecimento da condição fronteira são,

−−+=

−12

'

0

'

2

'

2

'

0'

0

'

2a

u

2

11

p

plnss

γγ

γ, (3.26)

e,

−

−

=

−−

−

−

1p

p

1

2

p

p

a

u

2

11

a

u

1

'

2

'

02

1

'

2

'

0

2

'

0

'

2

'

0

'

2

γγ

γγ

γΨ

γ, (3.27)

se o escoamento não tiver condição crítica na secção de entrada. A condição a verificar para que tal aconteça é,

'21

2'2

1'0 2

1 seap−−

−

+< γ

γγγ

γ. (3.28)

O procedimento iterativo para a resolução conjunta destas equações passa por uma estimativa inicial de λ' ou β' com o qual é calculado um valor de '

2u ,

Modelo Numérico

23

1

''u '

2 −−

=γ

βλ, (3.29)

que aplicado na equação 3.27 permite obter '

2p . Este valor é então substituído na

equação 3.26 permitindo o cálculo de '

2s . Com as estimativas assim obtidas de '

2u , '

2p e '

2s , sendo

'2s

1

2

'

2 e2

''p

−−

+=

γγ

βλ, (3.30)

uma nova estimativa de λ' ou β' pode ser calculada.

Se o escoamento tiver condição crítica, então,

( )

−−

++=

−−

+12

'

0

'

212

1

'

0

'

2a

u

2

11

2

11lnss

γγ

γγ

γγΨ

(3.31)

e,

( )

'2s

1

2'

2

'

012

1

2

'

0

'

2

'

0

'

2

ea

p

1

2

a

u

2

11

a

u

−−

−

+

+=

−− γ

γ

γγ

γΨ

γ. (3.32)

O método a utilizar na resolução simultânea destas equações é semelhante ao descrito para o caso do escoamento subsónico.

Figura 6 – Notação utilizada nas equações a aplicar na região de entrada do escoamento (Secção de entrada inferior à secção

de passagem da conduta)

1 0 2

Modelo Numérico

24

3.2.2.3 - Condições de saída

A condição fronteira na região de saída do escoamento pode ser especificada em termos da pressão estática ou da pressão de estagnação no exterior da conduta conforme mais adequado para a situação em causa. Na aplicação das condições fronteira na saída do escoamento considera-se:

i) inexistência de atrito e transmissão de calor desta região;

ii) escoamento isentrópico;

iii) desprezáveis os efeitos da vena-contracta;

iv) o comprimento da região de saída pequeno quando comparado com o comprimento total da conduta.

No caso da descarga dos gases para a atmosfera torna-se conveniente utilizar a pressão estática exterior na determinação da condição fronteira a aplicar. Podendo o escoamento na saída ser subsónico, sónico ou supersónico torna-se necessário verificar previamente em que situação aquele se encontra. Tendo em consideração a relação entre a pressão estática e a pressão de estagnação para um escoamento compressível (equação 3.18), a condição para escoamento subsónico,

( )1/

'2

'0

2

11

p

p1

−

−+≤

γγγ, (3.33)

e a relação,

( ) ( ) '1

s1/2'1

'1 eap

−−=

γγ, (3.34)

a condição a verificar para um escoamento subsónico explicitada na pressão de saída é,

( ) ( )( )1/

2

'1

'1s1/2'

1'2

a

u

1

1

1

2eap

'1

−

−−

+−

++

≥

γγ

γγ

γγ

γ. (3.35)

Figura 7 – Notação utilizada nas equações fronteira para a região de saída do escoamento de uma conduta

2 1

Modelo Numérico

25

No caso de o escoamento ser subcrítico, a condição fronteira a aplicar é,

( ) ( ) '1s

1/2'1

'2 eap −−=

γγ, (3.36)

ou seja,

( ) γγ 2/1s'

2'1

'1epa

−

= . (3.37)

Esta equação, conjuntamente com as variáveis λ' ou β' e s', determinadas ao longo das suas linhas características, permite resolver as equações neste ponto.

Caso o escoamento adquira condições críticas na região de saída, então

1a

u'1

'1 ±= , (3.38)

dependendo do sentido do escoamento. Sendo, para 0u '

2 > ,

2

11

2

11

a

''

'1 −

−=

−+

=γβ

γλ

(3.39)

então,

''

1

3λ

γγ

β+−

= . (3.40)

Para 0u '

2 < , analogamente,

''

1

3β

γγ

λ+−

= . (3.41)

Se uma onda de expansão, propagando-se ao longo do escoamento, não pode acelerar este até atingir número de Mach superior a 1, já no caso de a entrada ser supersónica, ou de se tratar de uma onda de compressão, poderá o escoamento adquirir nesta região condição supersónica. Neste caso, considerando a relação de pressões estáticas numa onda de choque normal, para escoamento com secção constante,

1

1)( Ma 2

p

p 2

2

1

+−−

=γ

γγ , (3.42)

sendo Ma o número de Mach do escoamento próximo do choque, a condição a verificar será,

( ) ( ) ( )

( )1a

u2

ea1p

2

'1

'1

s1/2'1'

2

'1

−−

+<

−−

γγ

γγγ

, (3.43)

com a', u' e s' na secção adjacente à saída. Caso esta condição seja verificada, o escoamento torna-se independente das condições exteriores.

Modelo Numérico

26

Outro ponto onde se torna necessária a aplicação da condição fronteira de saída do escoamento de uma conduta é a válvula de admissão. Aqui, torna-se mais conveniente especificar a condição fronteira em termos da pressão de estagnação.

Continuando a considerar os mesmos pressupostos de simplificação utilizados anteriormente, no caso em que a secção de saída é igual à secção de passagem na conduta, a expressão a utilizar é única para qualquer condição do escoamento,

( ) ( )( )1

2

'1

'1s12'

1'0

a

u

2

11eap

'1

2

−

−−

−+=

γγ

γγ γ. (3.44)

Em consequência de se admitir o escoamento como isentrópico na região de saída, a pressão de estagnação na secção mínima de passagem é igual à pressão de estagnação exterior e a equação torna-se independente da razão entre a área de saída e de passagem da conduta.

3.4.2.4 - Junção de condutas

O tratamento das junções de condutas é consideravelmente facilitado no caso do escoamento homoentrópico. As equações disponíveis para o estabelecimento das variáveis na região de junção de três condutas resultam da continuidade de massa e da uniformidade da pressão e entropia nesta região.

Assim, considerando a convenção de sinais para o sentido do escoamento representada na Figura 8,

& & &m m m1 2 3 0+ + = , (3.45)

e,

p p p1 2 3= = , (3.46)

s s s1 2 3= = , (3.47)

ρ ρ ρ1 2 3= = . (3.48)

Figura 8 - Junção de condutas

u3;p3;A3

u2;p2;A2

u1;p1;A1

Modelo Numérico

27

Da verificação da continuidade na junção resulta

ρ ρ ρ1 1 1 2 2 2 3 3 3 0u A u A u A+ + = , (3.49)

donde, tendo em consideração 3.48,

u A u A u A1 1 2 2 3 3 0+ + = , (3.50)

ou, considerando as variáveis adimensionalizadas,

u A u A u A' ' '1 1 2 2 3 3 0+ + = . (3.51)

De 3.46 resulta imediatamente

a a a' ' '1 2 3= = , (3.52)

e, expressando u' e a' em função das variáveis de Riemman para cada uma das condutas temos,

2

'''a iii

βλ += , (3.53)

1

'''u iii −

−=

γβλ

. (3.54)

Sendo a a' '1 2= ,

2211 '''' βλβλ +=+ , (3.55)

2112 '''' λβλβ −+= , (3.56)

e a a' '1 3= ,

3311 '''' βλβλ +=+ , (3.57)

3113 '''' λβλβ −+= , (3.58)

então, tendo em consideração 3.51,

( ) ( ) ( ) 0A''A''A'' 333222111 =−+−+− βλβλβλ . (3.59)

Substituindo em 3.59 as relações 3.55 a 3.58 e simplificando obtém-se sucessivamente,

( ) ( ) ( ) 0A'''2A'''2A'' 31132112111 =−−+−−+− βλλβλλβλ , (3.60)

( ) ( ) ( ) 0A'2A'2A''A''A'' 3322311211111 =+++−+−− λλβλβλβλ , (3.61)

( )( ) 0A'2A'2A'2AAA'' 33221132111 =++=+++ λλλβλ , (3.62)

e finalmente,

3

321

3

2

321

21

321

11 '

AAA

A2'

AAA

A2'1

AAA

A2' λλλβ

+++

+++

−

++= . (3.63)

Generalizando para o caso da junção de n condutas, sendo

Modelo Numérico

28

∑=

=n

1i

i

ii

A

A2k , (3.64)

( ) '

1

'i

n

i

iii k λλβ ∑=

−= (3.65)

Para o caso mais geral do escoamento não-homoentrópico dois modelos têm sido desenvolvidos. Num deles é assumida uma variação de pressão entre a extremidade de cada conduta e a junção enquanto que no outro, a pressão na extremidade das diversas condutas é uniforme. Segundo Benson [7], os resultados do modelo em que é assumida uma variação de pressão são mais precisos mas, tendo em consideração a dificuldade em obter dados realistas para as perdas de carga, a diferença de precisão entre os dois modelos não é significativa.

A utilização do modelo de pressão constante apresenta duas vantagens. A sua aplicação é mais simples e pode ser generalizado a junções de mais de três condutas. Na sua aplicação admite-se tal como para o caso do escoamento homoentrópico que o volume da junção é pequeno quando comparado com as dimensões das condutas.

Pela equação da continuidade, para o caso geral de n condutas,

∑=

=n

i

iii Au1

0ρ . (3.66)

A massa específica pode, por definição, ser expressa por

2a

pγρ = , (3.67)

e, a pressão, na forma adimensionalizada, está relacionada com as variáveis 'a e 's por

's12

ref

e'ap

p −−= γγ . (3.68)

Substituindo 3.68 em 3.67 obtém-se

ρ γ=p

p

a

a

p

aref

ref ref

ref

2

2 2 , (3.69)

e,

2

ref

ref

2

12

a

p

'a

1'a −= γγγρ . (3.70)

Para simplificar as expressões obtidas torna-se conveniente efectuar uma mudança de variáveis. Uma nova variável, *s , é definida por

( ) γγ 21ses*−′= , (3.71)

e,

Modelo Numérico

29

**

s

'aa = . (3.72)

Introduzindo estas novas variáveis em 3.70 e simplificando obtém-se

2

ref

ref

2*2*

12*

a

p

s

1

a

1a

−=

γγγρ , (3.73)

2

ref

ref

2*

12*

a

p

s

1a

−=

γγρ . (3.74)

Analogamente a 3.72, podemos definir

***

*sus

s

'u'u == . (3.75)

Substituindo em 3.66 as novas variáveis anteriormente definidas, a equação da continuidade toma a forma

0Aus

an

1i

i

*

i*

i

12*

i =

∑=

−γ

. (3.76)

Tendo em consideração a convenção de sinais adoptada, a característica incidente na junção,

'u2

1'a'

−+=γ

λ , (3.77)

para ser compatível com as novas variáveis será dada por

*** u2

1a

−+=γ

λ . (3.78)

Explicitando em ordem a *u

( )*** a1

2u −

−= λγ

(3.79)

e substituindo em 3.76,

( ) 0Aas

an

1i

i

*

i

*

i*

i

12*

i =

−∑

=

−

λγ

. (3.80)

Exprimindo a pressão na junção em função de *a ,

12*'s12

ref

ae'ap

p −−− ==γγγγ , (3.81)

sendo a pressão na extremidade das diversas condutas uniforme, *a será também uniforme, donde a expressão 3.80 pode ser simplificada obtendo-se finalmente

Modelo Numérico

30

∑

∑

=

==n

1i*

i

i

n

1i

i*

i

*

i

*

i

s

A

As

a

λ

. (3.82)

Esta equação permite calcular a pressão na junção. No cálculo da entropia deverão ser consideradas duas situações:

- se o escoamento se dirige para a junção, u>0 de acordo com a convenção adoptada, a entropia não se altera;

- se o escoamento se afasta da junção, u<0, a entropia é calculada pela média ponderada pelo caudal mássico da entropia dos escoamentos dirigidos para a junção.

3.3 - Algoritmo de cálculo

A estrutura do algoritmo utilizado na resolução do modelo numérico é representada na Figura 9.

O funcionamento do programa principal e rotinas pode ser descrito sucintamente da seguinte forma:

a) ESCAPE - Programa principal

Após a leitura dos dados pela rotina DADOS num primeiro bloco do programa são calculadas, com o objectivo de minimizar o número de operações a realizar, algumas constantes a utilizar. Seguidamente, em função dos dados do caso em análise, nomeadamente a discretização espacial pretendida, é calculado o número de nós a considerar na malha, uniforme, para cada conduta. Caso a aplicação da discretização inicialmente considerada conduza a troços de conduta com menos de 5 nós a discretização espacial é corrigida por forma a garantir este número mínimo de nós em cada troço. Definida a malha são alocados “arrays” com duas linhas e um número de colunas igual ao número de nós para cada conduta para armazenamento do valor das variáveis necessárias ao cálculo em cada instante.

A primeira linha destes “arrays” é preenchida pela rotina de inicialização de variáveis CONDINIC de acordo com as condições estabelecidas passando de seguida para um bloco de funcionamento cíclico até ser atingido o tempo de funcionamento pretendido.

Os ciclos iniciam-se pelo cálculo do progresso temporal pela rotina CRITESTAB sendo posteriormente chamadas as rotinas de aplicação do método das características e de aplicação das condições fronteira para preenchimento da segunda linha dos “arrays”. Terminado este cálculo é testada uma condição com o intuito de verificar da necessidade de chamar a rotina RESULT para registo dos valores das variáveis necessárias ao cálculo da pressão, temperatura e caudal mássico dos gases nas condutas. Para evitar a formação de ficheiros de resultados demasiado extensos optou-se por registar apenas o intervalo de tempo correspondente a duas rotações do motor, um ciclo de funcionamento, a iniciar-se após decorrido um determinado tempo de funcionamento do motor. Com o objectivo de analisar a evolução no tempo da temperatura das paredes das

Modelo Numérico

31

condutas o registo destes valores é realizado desde o início. De seguida, a segunda linha dos “arrays” é transportada para a primeira iniciando-se um novo ciclo do cálculo.

Para o caso dos motores de quatro cilindros estão previstos dois tipos de arranjo na junção das várias condutas. É possível efectuar a junção das condutas provenientes dos cilindros numa fase apenas ou em duas, juntando inicialmente as condutas duas a duas.

Figura 9 –Estrutura do algoritmo de cálculo

b) DADOS - Rotina para leitura de dados

Os dados necessários ao funcionamento do programa são armazenados previamente em ficheiros através de uma pequena aplicação de interface criada em ambiente "MS-Windows".

CRITESTAB

DADOS

CONDINIC

E S C A P E

RESULT

CONDUTA RE

TCALOR

ATRITO

FRONTCIL CILINDRO

VALVADM

VALVESC

FRONTEIRA COLADM

JUNC

DESC

Modelo Numérico

32

Nestes ficheiros são armazenados os seguintes dados:

Caracterização do motor: - número de cilindros; - diâmetro dos cilindros; - curso dos êmbolos; - comprimento dos tirantes; - relação volumétrica de compressão; - diâmetro das válvulas de admissão; - curso das válvulas de admissão; - avanço da abertura e atraso ao fecho das válvulas de admissão; - diâmetro das válvulas de escape; - curso das válvulas de escape; - avanço da abertura e atraso ao fecho das válvulas de escape. Caracterização do sistema de escape: - tipo de configuração adoptado; - comprimento das condutas; - secção de passagem das condutas; - rugosidade da superfície interior das condutas. Caracterização do sistema de admissão: - comprimento das condutas; - secção de passagem das condutas; - rugosidade da superfície interior das condutas. Parâmetros de funcionamento do motor: - velocidade de rotação do motor; - pressão no interior do cilindro no início do período de escape; - temperatura das paredes do cilindro; - pressão no colector/filtro de admissão; - temperatura ambiente; - coeficiente de convecção exterior; - pressão exterior. Parâmetros de funcionamento do programa: - discretização espacial pretendida; - tempo total de cálculo; - tempo para registo de variáveis nos ficheiros de resultados.

c) CONDINIC - Inicialização do programa

Todas as variáveis do programa são inicializadas considerando em todas as condutas o gás em repouso à pressão e temperatura exterior (ambiente). A temperatura das paredes dos tubos pode ser inicializada com valores estimados, próximos da temperatura normal de funcionamento, para mais rápida estabilização do processo de transmissão de calor.

d) CRITESTAB - Rotina de aplicação do critério de estabilidade

Esta rotina é utilizada para determinar o intervalo de tempo para cada passo do programa pela aplicação sucessiva da expressão 3.10 em todos os pontos de

Modelo Numérico

33

cálculo. O valor mínimo obtido é então considerado como o progresso no tempo para uma nova situação, podendo no entanto, ser limitado por um valor máximo fixo, para evitar instabilidade na aplicação das condições fronteira.

e) CONDUTA - Rotina de cálculo do escoamento nas várias condutas

Em função do número de cilindros do motor e da geometria do sistema são chamadas as subrotinas de aplicação do método das características aos vários troços de conduta.

A rotina de aplicação do método das características nos nós interiores de cada uma das condutas tem a estrutura representada na Figura 10.

Figura 10 – Aplicação do método das características

Inicialmente é chamada a subrotina RE para o cálculo do número de Reynolds no ponto. Este valor é posteriormente utilizado em 2.18 na estimativa do coeficiente de transmissão de calor por convecção e, em 2.17, do factor de atrito a considerar.

São chamadas seguidamente as rotinas TCALOR, para o cálculo das trocas térmicas e ATRITO, para o cálculo da força de atrito. A análise do escoamento em regime não estacionário lento, associado ao período inicial de funcionamento do motor ou à variação da sua condição de funcionamento é também possível embora com um custo computacional relativamente elevado. Apesar do regime forçado das ondas de pressão ser atingido com um pequeno número de rotações do motor, 10 a 20 dependendo do número de cilindros e geometria adoptada, a lenta variação de temperatura das paredes das condutas obriga a aumentar o tempo de cálculo.

CÁLCULO DO DECLIVE DAS LINHAS CARACTERÍSTICAS

INTERPOLAÇÃO

APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO 3.6

APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES 3.4 E 3.5

CÁLCULO DO NÚMERO DE REYNOLDS

CÁLCULO DA FORÇA DE ATRITO

CÁLCULO DAS TROCAS TÉRMICAS

Modelo Numérico

34

Torna-se assim fundamental, para reduzir o tempo de cálculo necessário, efectuar uma previsão com boa aproximação da distribuição de temperatura das paredes no início do cálculo.

O declive das linhas características obtido por 3.7, 3.8 e 3.9 permite efectuar a interpolação necessária à obtenção dos valores de 'λ , 'β e 's sobre a respectiva linha característica antes de ser feito o progresso no tempo. Com os valores assim calculados são utilizadas as equações 3.4, 3.5 e 3.6 para cálculo dos novos valores das variáveis de Riemman. A aplicação da equação 3.6 deve ser realizada em primeiro lugar por forma a permitir o cálculo do termo associado à variação de entropia incluído nas outras duas equações.

f) FRONTCIL - Rotina de aplicação das condições fronteira correspondentes às válvulas de admissão e escape

Em função do número de cilindros do motor são chamadas as necessárias subrotinas para cálculo das variáveis nos nós da fronteira. Para cada cilindro, desde que uma das válvulas se encontre aberta, é chamada uma subrotina, CILINDRO, para cálculo da pressão e temperatura no interior do cilindro. Para o primeiro ciclo de funcionamento e uma vez que estes, para este efeito, se iniciam pelo escape dos gases é considerada no interior do cilindro uma massa de gases correspondente a um rendimento volumétrico de 85%. Para os ciclos seguintes, a massa de gases considerada no interior do cilindro, no início do escape, é a massa de mistura admitida no ciclo de cálculo anterior. A partir do segundo ciclo de funcionamento, no final de cada um, são registados em ficheiro, para um cilindro do motor, a massa de ar admitida, com a qual é estimado o rendimento volumétrico obtido, e o trabalho realizado pelos gases no interior do cilindro desde a abertura da válvula de escape até ao fecho da válvula de admissão permitindo assim a estimativa da potência de bombagem.

Posteriormente, com os valores obtidos de pressão e temperatura pela rotina CILINDRO, sempre que as válvulas se encontrem abertas são chamadas as subrotinas VALVADM e VALVESC relativas ao escoamento através das válvulas de admissão e escape. Quando uma válvula se encontra fechada é aplicada a condição fronteira para a extremidade fechada de uma conduta expressa por 3.14.

g) FRONTEIRA - Rotina de aplicação das condições fronteira na secção de entrada de ar nas condutas de admissão, junção de condutas, silenciador e descarga dos gases para a atmosfera.

Dependendo da geometria do problema em estudo, as subrotinas de aplicação das condições fronteira naquelas secções são chamadas após cada intervalo de tempo de progresso no cálculo.

h) RESULT - Rotina de resultados

Para além dos outros valores recolhidos durante o funcionamento do programa, são registados em ficheiro por esta rotina os valores de pressão, temperatura e

Modelo Numérico

35

velocidade dos gases em todos os pontos de várias condutas durante um ciclo de funcionamento do motor. As condutas para as quais é feito aquele registo são aquelas que são percorridas pelos gases de um cilindro.

3.4 - Validação do modelo

Para a validação do modelo foram utilizados dados experimentais publicados relativos a motores de 1, 2 e 4 cilindros que permitissem comparar a evolução no tempo da pressão numa dada secção das condutas com os resultados obtidos pelo modelo.

Para motores mono e bicilíndricos, são utilizados os dados obtidos por Blair e Specho [13] numa instalação experimental cujo motor é caracterizado no Quadro 3.

número de cilindros 2

diâmetro 65.5 mm

curso 74.0 mm

relação de compressão 9

avanço da abertura da válvula de admissão 40°

atraso do fecho da válvula de admissão 60°

avanço da abertura da válvula de escape 65°

atraso do fecho da válvula de escape 35°

Quadro 3 - Características do motor utilizado por Blair e Specho

O sistema de escape para a primeira situação, em que apenas um cilindro se encontra em funcionamento, tem 1.7 m de comprimento e 35 mm de diâmetro, constante ao longo do tubo.

A comparação dos dados experimentais obtidos por Blair et al com os resultados obtidos pelo programa, na forma da evolução da pressão na secção do tubo situada a 0.2 m do motor durante um ciclo de funcionamento, para vários regimes de funcionamento, são apresentados na Figura 11. Nos gráficos apresentados o ângulo de manivela, em abcissas, é contado tendo como referência a abertura da válvula de escape.

Numa segunda situação, estando em funcionamento os dois cilindros do motor, o sistema de escape mantém o comprimento total de 1.7 m sendo a junção das condutas de cada um dos cilindros feita a 0.38 m do motor.

Os resultados obtidos, mantendo-se a localização do ponto de medição, são apresentados na Figura 12.

Modelo Numérico

36

Figura 11 – Motor monocilíndrico. Comparação com dados experimentais para várias velocidades de rotação:

a) - 5860 rpm; b) - 4940 rpm; c) - 3880 rpm; d) - 2910 rpm.

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

p/p atm

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

p/p atm

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

p/p atm

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

p/p atm

a)

b)

c)

d)

Dados experimentais obtidos por Blair et al Previsões do modelo numérico

720°

720°

720°

720°

Modelo Numérico

37

Figura 12 – Motor bicilíndrico. Comparação com dados experimentais para várias velocidades de rotação:

a)- 5850 rpm; b) - 4880 rpm; c) - 3880 rpm; d) - 2940 rpm.

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

p/p atm

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

p/p atm

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

p/p atm

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

p/p atm

a)

b)

c)

d)

Dados experimentais obtidos por Blair et al Previsões do modelo numérico

720°

720°

720°

720°

Modelo Numérico

38

Os dados obtidos por Takisawa et al [14] são utilizados para o caso de motores tetracilíndricos. As características do motor utilizado, indicadas pelos autores, são apresentadas no Quadro 4. No sistema de escape utilizado a junção das condutas é feita em duas fases. Inicialmente são juntas as condutas dos cilindros 1/4 e 2/3, a 0.3 m do motor. As duas condutas seguintes têm o comprimento de 0.7 m. O troço final tem 2.3 m de comprimento descarregando para um silenciador. Todas as referidas condutas de escape têm 36 mm de diâmetro. Este arranjo é representado esquematicamente na Figura 13. As condutas de admissão têm 32 mm de diâmetro e 0.3 m de comprimento até ao carburador/filtro de ar.


diâmetro 84 mm

curso 89 mm

diâmetro da válvula de admissão 43 mm



diâmetro da válvula de escape 36 mm



Quadro 4 - Características do motor utilizado por Takisawa et al

Figura 13 - Representação esquemática do sistema de escape utilizado por Takisawa et al

A comparação entre os resultados experimentais e calculados por Takisawa et

al e os resultados obtidos pelo programa desenvolvido são apresentados na Figuras 14 e 15 para as velocidades de 1200 rpm e 4800 rpm. Os pontos de medição são três sendo a sua localização indicada na Figura 13. As secções A, B e C distam, respectivamente, 0.2 m, 0.7 m e 1.2 m da válvula de escape.

1

3

4

2

A

B C

Modelo Numérico

39

a)

b)

c)

Figura 14 – Comparação dos resultados obtidos pelo modelo numérico com

dados experimentais da variação da pressão durante um ciclo de funcionamento (motor com 4 cilindros a 1200 rpm)

a) - Secção A; b) - Secção B; c) - Secção C.

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

1 8 0

2 0 0p Kpa(ab s .)

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0p Kpa(ab s .)

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0p Kpa(ab s .)

Dados experimentais obtidos por Takisawa et al Previsões do modelo numérico

720°

720°

720°

Modelo Numérico

40

a)

b)

c)

Figura 15 – Comparação dos resultados obtidos pelo modelo numérico com

dados experimentais da variação da pressão durante um ciclo de funcionamento (motor com 4 cilindros a 4800 rpm)

a) - Secção A; b) - Secção B; c) - Secção C.

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

1 8 0

2 0 0

2 2 0p Kpa(ab s .)

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

1 8 0

2 0 0p Kpa(ab s .)

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

1 8 0

2 0 0p Kpa(ab s .)

Dados experimentais obtidos por Takisawa et al Previsões do modelo numérico

720°

720°

720°

Modelo Numérico

41

Nos gráficos apresentados o ângulo de manivela, em abcissas, tem como referência o início do tempo de expansão. Tal como nos anteriores casos de validação, motores mono e bicilíndrico, diversos dados, relativos quer ao próprio motor quer às condutas de admissão e escape, necessários ao funcionamento do programa são desconhecidos pelo que houve a necessidade de arbitrar valores típicos para aquelas variáveis. O silenciador constituinte da instalação utilizada por Takisawa et al foi modulado considerando-o como um simples reservatório de volume constante.

Para a temperatura da superfície interior do cilindro foi considerado um valor médio variando linearmente de 650 K a 750 K com a velocidade de rotação do motor, de 1200 rpm a 4800 rpm. A significativa importância deste parâmetro na evolução da pressão na secção A é evidente na Figura 16. O comprimento dos tirantes que não é conhecido em nenhum dos casos considerados foi estimado em função do curso do êmbolo (considerando um factor de 1.5). Para avaliação da influência do comprimento do tirante foram testados três valores tendo-se obtido os resultados apresentados na Figura 17. Também em função das dimensões do cilindro foi estimado o curso das válvulas de admissão e escape (10% do diâmetro).

Figura 16 - Influência da temperatura média das paredes envolventes do cilindro (pressão na secção A , 4800 rpm)

Tendo em consideração as limitações originadas pela estimativa dos dados não conhecidos, bem como pelo insuficiente conhecimento das condições de funcionamento com que alguns dos resultados experimentais foram obtidos, os resultados obtidos pelo modelo numérico, permitem verificar o padrão mais significativo na evolução no tempo da pressão ao longo das condutas de escape. As maiores discrepâncias verificam-se no último caso de validação baseado nos dados experimentais de Takisawa et al, para a velocidade de rotação mais elevada, 4800 rpm, nos troços intermédio e final. Na origem destas discrepâncias poderá estar o facto da modulação do silenciador como simples câmara de expansão não ser a mais indicada para o tipo de silenciador efectivamente instalado.

temperatura média das paredes do cilindro

80

100

120

140

160

180

200

220

p (KPa abs.)

850 K

750 K

650 K

720°

Modelo Numérico

42

Figura 17- Influência do comprimento do tirante (pressão na secção A , 4800 rpm)

3.6 - Análise de sensibilidade aos principais parâmetros

Diversos parâmetros do sistema de escape de um motor influenciam o seu comportamento. Talvez um dos mais importantes seja a rugosidade das paredes interiores das condutas. Com o objectivo de verificar de que modo a rugosidade afecta o seu comportamento foi feita a simulação do último caso de validação, motor de 4 cilindros descrito no Quadro 4, a 4800 rpm, considerando vários valores para a rugosidade das paredes das condutas de escape.

Figura 18 - Evolução da pressão na secção A para diversos valores de rugosidade durante um ciclo de funcionamento

comprimento do tirante

80

100

120

140

160

180

200

220

p (KPa abs.)

120 mm

150 mm

180 mm

rugosidade

80

100

120

140

160

180

200

220

p (KPa abs.)

0.10 mm

0.05 mm

0.01 mm

720°

720°

Modelo Numérico

43

Figura 19 - Variação da potência de bombagem e rendimento volumétrico em função da rugosidade das paredes interiores das condutas

Nas Figuras 18 e 19 confirma-se a influência negativa de um aumento da rugosidade das paredes. Tendo-se mantido a rugosidade das paredes das condutas de admissão a influência sobre o rendimento volumétrico pode-se considerar desprezável mas, no que respeita à potência consumida durante o período em que se efectua o escape dos gases e a admissão de uma nova carga de mistura ar-combustível, já a variação é muito significativa.

Outro parâmetro cuja influência interessa verificar é o coeficiente de transmissão de calor por convecção no exterior das condutas. A influência deste coeficiente na temperatura das paredes das condutas de escape pode constatar-se na Figura 20, na qual se encontra representada a variação no tempo da temperatura da conduta na secção A.

Figura 20 - Evolução no tempo da temperatura da parede na secção A para diversos valores do coeficiente de transmissão de calor por convecção

h (W /m 2 K)

480

490

500

510

520

530

540

550

560

570

0 30 60 90

tempo (s)

temperatura (K)

h=5

h=25

h=50

-50

-30

-10

10

30

50

0.01 0.05 0.10

rugosidade (mm)

Variação da Potência de

Bombagem (%)

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

Variação do Rendimento

Volumétrico (%)

PotênciaBombagem

RendimentoVolumétrico

Modelo Numérico

44

A variação na temperatura das paredes não parece afectar de forma conclusiva a potência de bombagem e o rendimento volumétrico encontrando-se valores mínimos quer para a potência de bombagem quer para o rendimento volumétrico numa gama intermédia do coeficiente de transmissão de calor conforme representado graficamente na Figura 21.

De igual forma a espessura da parede das condutas condiciona a temperatura de funcionamento das mesmas. Foram testadas três situações correspondendo às relações Dext/Dint de 1.1, 1.2 e 1.3. Os resultados obtidos, de acordo com a Figura 22, indicam a previsão de temperaturas de funcionamento mais elevadas para espessuras de parede mais reduzidas.

Figura 21 - Variação da potência de bombagem e rendimento volumétrico em função do coeficiente de transmissão de calor por convecção no exterior das

condutas

Figura 22 - Evolução no tempo da temperatura da parede na secção A para diversos valores de espessura da parede

-25

-15

-5

5

15

25

5 25 50

h (W/m 2K)


Bombagem (%)

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00


Volumétrico (%)

PotênciaBombagem


D e x t /D in t

5 0 0

5 1 0

5 2 0

5 3 0

5 4 0

5 5 0

5 6 0

5 7 0

5 8 0

0 3 0 6 0 9 0

te m p o (s )

temperatura (K)

1 .1

1 .2

1 .3

Modelo Numérico

45

A área de passagem das condutas tem particular importância no comportamento do sistema de escape de um motor. Foram consideradas variações de 10% face ao valor anteriormente considerado no caso de validação tendo-se obtido os resultados representados nas Figuras 23 e 24. No gráfico representando a evolução no tempo da pressão na secção A pode-se constatar ser a amplitude das variações de pressão superiores para menores diâmetros de conduta. A maior dificuldade em expulsar os gases que daqui resulta, condiciona, de forma relativamente significativa, o rendimento volumétrico do motor conforme patente na Figura 24.

Figura 23 - Evolução da pressão na secção A para diversos valores da área de passagem das condutas de escape durante um ciclo de funcionamento

Figura 24 - Variação da potência de bombagem e rendimento volumétrico em função da área de passagem das condutas de escape

área de passagem (m2)

80

100

120

140

160

180

200

220

p (KPa abs.)

0.0009

0.0010

0.0011

-25

-15

-5

5

15

25

0.0009 0.0010 0.0011

Área de passagem (m2)


Bombagem (%)

-5

-2.5

0

2.5

5


Volumétrico (%)

Potência Bombagem


720°

Caso de aplicação

46

4 - CASO DE APLICAÇÃO

4.1 - Objectivos

Como caso de aplicação do modelo numérico desenvolvido pretende-se efectuar um estudo de pré-dimensionamento das condutas de escape de um motor de explosão utilizado na propulsão de veículos automóveis de utilização normal. As principais características do motor considerado encontram-se definidas no Quadro 5.

Sendo utilizado este motor como propulsor de veículos automóveis a simulação foi feita para duas velocidades de funcionamento, 2000 e 4000 rpm, a carga total, consideradas, neste estudo, como significativas para a avaliação comparativa do comportamento das geometrias testadas.

É objectivo deste estudo prever, para as velocidades escolhidas e a plena carga, o rendimento volumétrico e a potência consumida para efectuar, no final de cada ciclo, a troca da carga gasosa no interior do cilindro.


diâmetro 77.2 mm

curso 74.3 mm

relação de compressão 8.5

comprimento do tirante 125 mm

diâmetro da válvula de admissão 40 mm

curso da válvula de admissão 5.8 mm



diâmetro da válvula de escape 34 mm

curso da válvula de escape 5.8 mm



Quadro 5 - Principais características do motor considerado

4.2 - Configurações testadas

Foram considerados dois tipos de configuração representados de forma esquemática na figura 25. Num deles, seguidamente designado por tipo A, a junção das quatro condutas de descarga dos cilindros é realizada numa fase apenas, enquanto que no outro, tipo B, a junção é realizada em duas fases. Para cada tipo de configuração foram considerados dois casos. O comprimento dos troços de conduta

Caso de Aplicação

47

para cada um dos casos considerados é indicado no Quadro 6. Para todas as condutas, incluindo as de admissão, foi considerado o diâmetro de 32 mm.

Para colocar em situação de igualdade as várias hipóteses em presença, a admissão de ar nos cilindros é, para todos os casos considerados, feita através de condutas independentes para cada um dos cilindros com 0.3 m de comprimento.

a) Configuração do tipo A

b) Configuração do tipo B

Figura 25 - Tipos de configuração de sistema de escape considerados

Configuração

comprimento do troço (m)

admissão Escape

inicial intermédio final

A-1 0.3 0.6 - 2.9

A-2 0.3 0.4 - 3.1

B-1 0.3 0.4 0.9 2.2

B-2 0.3 0.3 0.7 2.5

Quadro 6 - Comprimento dos troços nos vários casos considerados

1

3

4

2

1

3

4

2

Caso de Aplicação

48

4.3 - Resultados obtidos

A previsão da evolução da pressão durante um ciclo de funcionamento a 0.23 m da válvula de escape e a 0.5 m da saída do troço final, para as duas velocidades de funcionamento escolhidas e para as várias geometrias ensaiadas, está representada nas Figuras 26 a 29. Nestes gráficos, para um ciclo de funcionamento, o ângulo de manivela, em abcissas, tem como referência o início do tempo de expansão.

Nas Figuras 30 e 31 apresenta-se a previsão do rendimento volumétrico e potência de bombagem, para cada geometria ensaiada.

A previsão da potência de bombagem unitária, por cilindro, para todos os casos considerados tem valor algébrico negativo significando que desde a abertura da válvula de escape até ao fecho da válvula de admissão os gases no interior do cilindro ainda realizam, globalmente, trabalho útil.

O máximo rendimento volumétrico previsto acontece para a configuração do tipo B-1 quer a 4000 rpm quer a 2000 rpm. Numa perspectiva de maximização da potência disponível, objectivo para que o rendimento volumétrico concorre de forma decisiva, esta solução parece ser a mais favorável.

A configuração B-2 apresenta as melhores previsões para a potência de bombagem, pelo que a sua utilização, embora à custa de um mais deficiente enchimento dos cilindros, previlegiaria o rendimento mecânico do motor e, consequentemente, o seu consumo específico de combustível.

Para as configurações do tipo A testadas são obtidas previsões globalmente equivalentes. Se a previsão da potência de bombagem é muito aproximada nos dois casos já quanto ao rendimento volumétrico previsto existem diferenças relativamente significativas. Para a velocidade de funcionamento mais elevada, 4000 rpm, o rendimento volumétrico é superior para a configuração A-1 enquanto que para 2000 rpm acontece a situação inversa. Sendo o dimensionamento das condutas de admissão o mesmo para ambos os casos, na origem desta diferença de comportamento estará certamente uma maior dificuldade em expulsar os gases, do interior do cilindro, na fase final do escape nos casos em que rendimento volumétrico é inferior. Esta maior dificuldade em expulsar os gases é consequência de uma pressão superior nas imediações da válvula, na fase terminal do período de escape, provocando deste modo uma maior fracção de gases residuais retida no interior do cilindro.

Caso de Aplicação

49

a) - 4000 rpm

b) - 2000 rpm

Figura 26 - Evolução da pressão a 0.23 m da válvula de escape durante um ciclo de funcionamento para as configurações do tipo A testadas

a) - 4000 rpm b) - 2000 rpm

configuração

80

100

120

140

160

180

200p Kpa(abs.)

A-1

A-2

720°

720°

Caso de Aplicação

50

a) - 4000 rpm

b) - 2000 rpm

Figura 27 - Evolução da pressão a 0.23 m da válvula de escape durante um ciclo de funcionamento para as configurações do tipo B testadas

a) - 4000 rpm b) - 2000 rpm

configuração

80

100

120

140

160

180

200p Kpa(abs.)

B-1

B-2

configuração

80

100

120

140

160

180

200p Kpa(abs.)

B-1

B-2

720°

720°

Caso de Aplicação

51

a) - 4000 rpm

b) - 2000 rpm

Figura 28 - Evolução da pressão a 0.5 m da saída do troço final durante um ciclo de funcionamento para as configurações do tipo A testadas

a) - 4000 rpm b) - 2000 rpm

configuração

80

100

120

140p Kpa(abs.)

A-1

A-2

configuração

80

100

120

140p Kpa(abs.)

A-1

A-2

720°

720°

Caso de Aplicação

52

a) - 4000 rpm

b) - 2000 rpm

Figura 29 - Evolução da pressão a 0.5 m da saída do troço final durante um ciclo de funcionamento para as configurações do tipo B testadas

a) - 4000 rpm b) - 2000 rpm

configuração

80

100

120

140p Kpa(abs.)

B-1

B-2

configuração

80

100

120

140p Kpa(abs.)

B-1

B-2

720°

720°

Caso de Aplicação

53

Figura 30 - Rendimento volumétrico e potência de bombagem previstas pela aplicação do modelo numérico para as várias configurações a 4000 rpm.

Figura 31 - Rendimento volumétrico e potência de bombagem previstas pela aplicação do modelo numérico para as várias configurações a 2000 rpm.

4.4 - Incorporação futura de sub-modelos

São diversas as aplicações do modelo. A realização de estudos de pré-dimensionamento com vista à optimização do sistema de escape de um motor, de acordo com os objectivos pretendidos, é uma das aplicações do modelo. A previsão do ruído emitido pela descarga dos gases para a atmosfera é também um potencial campo de aplicação desta ferramenta.

4000 rpm

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

A-1 A-2 B-1 B-2

configuração

Rendimento

volumétrico

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

Potência de

Bombagem

(kW)

Rendimento Volumétrico

Potência de BombagemUnitária (kW)

2000 rpm

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

A-1 A-2 B-1 B-2

configuração

Rendimento

volumétrico

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

Potência de

Bombagem

(kW)

Rendimento Volumétrico

Potência de BombagemUnitária (kW)

Caso de Aplicação

54

Um exemplo de aplicação do modelo na previsão do nível de pressão sonora a uma dada distância da descarga dos gases de escape de um motor é apresentado no Anexo III, utilizando os resultados obtidos no caso de validação para um motor monocilíndrico. A previsão é obtida considerando um modelo de radiação semi-esférico a partir de uma fonte onde a pressão sonora é estimada a partir da evolução no tempo da pressão calculada, no último ponto interior da malha, pelo modelo numérico de cálculo do escoamento. A comparação entre os resultados obtidos e os valores experimentais obtidos por Blair et al, evidencia, de forma geral, uma boa concordância conforme se pode constatar na Figura 32. A análise em frequência do nível de pressão sonora previsto apresenta boa concordância nas mais baixas frequências mas desvios, relativamente significativos para as mais elevadas velocidades de rotação do motor, para as bandas de oitava de frequência mais elevada.

Figura 32 - Nível de pressão sonora. Comparação entre as previsões obtidas por aplicação do modelo e resultados experimentais de Blair et al

Um outro potencial campo de aplicação será o diagnóstico de avarias e o controlo de condição. Poderão ser simuladas no modelo diversas avarias do motor, nomeadamente as relacionadas com a deficiente vedação das válvulas ou dos aros de vedação do êmbolo. A análise em frequência dos resultados obtidos pela aplicação do modelo poderão permitir o estabelecimento de padrões de desvio correspondentes a cada avaria que possibilitem a sua detecção, através da análise de dados obtidos por medição da evolução no tempo da pressão numa secção do sistema de escape.

A tendência actual para a obrigatoriedade do uso de catalisadores nos motores de explosão de utilização rodoviária, para uma mais generalizada aplicação da ferramenta, obriga, em trabalho futuro, ao desenvolvimento da modelação deste componente e adequada incorporação neste algoritmo. O silenciador é outro componente cuja modelação, para os diversos tipos existentes, se torna necessário desenvolver.

105

110

115

120

125

130

3000 4000 5000 6000

velocidade de rotação (rpm)

dB

previsão obtida por aplicação do modelo

resultados experimentais obtidos por Blair et al

Conclusão

55

5 - CONCLUSÃO

O trabalho desenvolvido, baseado na utilização do método das características para o cálculo do escoamento em regime transiente dos gases de escape de um motor, proporcionou o desenvolvimento de uma ferramenta capaz de permitir avaliar o comportamento de uma determinada geometria escolhida para o sistema de escape de um motor.

Após a implementação do modelo numérico procedeu-se à sua validação, recorrendo a dados experimentais publicados, para o caso de motores com 1, 2 e 4 cilindros. A comparação, para estes casos de teste, entre os resultados obtidos pelo modelo e os dados experimentais da evolução no tempo da pressão, em várias secções das condutas, permite verificar globalmente uma boa concordância.

No caso do motor monocilíndrico a concordância entre os resultados experimentais e os resultados do modelo é muito boa excepto para a velocidade mais baixa de rotação do motor, 2910 rpm. Para esta velocidade de rotação, apesar de se encontrarem presentes os principais picos de pressão, verifica-se um desfasamento no tempo entre as duas curvas.

Para o motor bicilíndrico a concordância é muito boa na gama média de velocidade de rotação. Para as velocidades de rotação extremas surgem pequenos desvios originados por desfasamento no tempo, novamente para a mais baixa velocidade de rotação, e atenuação de picos de pressão para a velocidade de rotação mais elevada.

No caso do motor de 4 cilindros é comparada a evolução da pressão em três secções ao longo das condutas. Para a secção mais próxima do motor a concordância é boa para as duas velocidades de rotação do motor consideradas, 2000 e 4000 rpm. Nas secções mais distantes verificam-se desvios, mais significativos para a velocidade de 4000 rpm.

Utilizando os resultados obtidos para o último caso de validação, a 4000 rpm, foi feito um breve estudo de sensibilidade aos principais parâmetros do sistema de escape do qual se podem extrair como principais conclusões:

i) a influência pouco significativa da rugosidade das condutas de escape no rendimento volumétrico do motor;

ii) a variação pouco significativa do rendimento volumétrico do motor obtida com o aumento da secção de passagem das condutas de escape para além de um determinado valor;

iii) a reduzida influência da temperatura das condutas, quer por alteração do coeficiente de convecção exterior, quer por alteração da espessura da parede das condutas, no rendimento volumétrico;

iv) o significativo aumento, como era expectável, da potência de bombagem exigida por um aumento da rugosidade interior ou diminuição da secção de passagem das condutas. A influência da temperatura das condutas, embora significativa na gama de valores considerada, não mostrou uma tendência de evolução clara.

Conclusão

56

Após a validação do modelo foi considerado como exemplo de aplicação o caso de um motor de 4 cilindros utilizado como propulsor de veículos automóveis de utilização corrente. Os resultados obtidos permitem verificar a influência da configuração e do dimensionamento escolhidos, para o sistema de escape, no rendimento volumétrico do motor e na potência consumida para efectuar a troca de carga gasosa no interior dos cilindros.

A potencial utilização do modelo desenvolvido na previsão do ruído emitido pela descarga dos gases para a atmosfera foi testada para o motor monocilíndrico considerado no primeiro caso de validação. Os resultados obtidos apresentam boa concordância com os dados experimentais.

57

ANEXOS

58

ANEXO I

DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES QUE REGEM O ESCOAMENTO

Anexo I

59

A.1 - Dedução das equações que regem o escoamento

As equações que regem o escoamento têm origem na aplicação dos princípios de conservação da massa, de conservação da energia e do balanço de quantidade de movimento ao volume de controle representado na Figura 1.

Na dedução das equações considera-se:

i) o escoamento como unidimensional;

ii) o escoamento não-estacionário;

iii) o escoamento compressível;

iv) a influência do atrito nas paredes da conduta;

v) as trocas de calor através das paredes da conduta;

vi) a influência térmica de eventuais reacções químicas no seio do escoamento;

vii) a secção transversal do escoamento variável desde que o modelo unidimensional se mantenha consistente;

viii) a razão de calores específicos, γ, constante.

A.1.1 - Conservação da massa

O princípio da conservação da massa impõe que a taxa de variação de massa no interior do volume de controle seja igual ao fluxo líquido através da superfície de controle.

∂∂

ρ ρt

dV u ndS+ =∫∫∫∫∫ . 0 (A.1.1)

Para um volume de controle infinitesimal,

( )dV

A A Ax A x=

+ += +

δδ δ ο δ

22( ) (A.1.2)

e

∂∂

ρ∂ρ∂

∂ρ∂

δ ο δt

dVt

dVt

A x∫∫∫ = = + ( )2 . (A.1.3)

Sendo o vector velocidade normal às superfícies de entrada e saída,

( )( )( )ρ δ ρ δρ δ ρu ndS u u A A uA. = + + + −∫∫ (A.1.4)

então, substituindo A.1.3 e A.1.4 na equação A.1.1,

( )( )( )∂ρ∂

δ ο δ δ ρ δρ δ ρt

A x u u A A uA+ + + + + − =( )2 0

e simplificando,

∂ρ∂

δ ρ δρ ρ δ ρ δ ρ ο δt

A x uA uA A u u A uA+ + + + − + =( )2 0

Anexo I

60

∂ρ∂

δρδ

ρδδ

ρ δδ

ο δt

ux

u

x

u

A

A

x+ + + + =( )2 0 . (A.1.5)

Fazendo tender δx para 0, obtemos

∂ρ∂

∂ρ∂

ρ∂∂

ρt

ux

u

x

u

A

dA

dx+ + + = 0

e finalmente,

( )∂ρ∂

∂∂

ρρ

t xu

u

A

dA

dx0+ + = . (A.1.6)

A.1.2 - Balanço da quantidade de movimento

O balanço da quantidade de movimento tem por base a 2ª lei de Newton. Segundo esta, a resultante das forças externas aplicadas, forças de contacto e forças mássicas é igual à variação da quantidade de movimento associada ao volume de controle.

Considerando presentes apenas as forças de atrito e de pressão teremos

∂∂

ρ ρt

udV u u ndS p ndS FV S S∫∫∫ ∫∫ ∫∫+ = − −. . , (A.1.7)

sendo F a força de atrito nas paredes.

A resultante das forças de pressão, exercida nas superfícies de entrada e saída é dada por

− = −∫∫ p ndS A pS

. δ . (A.1.8)

Substituindo A.1.8 em A.1.7,

∂∂

ρ ρ δt

udV u u ndS A p FV S∫∫∫ ∫∫+ = − −. . (A.1.9)

Para um volume de controle infinitesimal, considerando A.1.2

( ) ( ) ( )( ) ( )∂∂

ρ δ ο δ ρ δρ δ δ ρ δt

u A x u u A A u A A p F+ + + + + − = − −2 2 2 ,

e simplificando

( ) ( ) ( )( )∂∂

ρ δ ο δ ρ ρ δ δρ δ ρ δt

u A x u u u u A A u A A p F+ + + + + − = − −2 2 2 22 ,

( ) ( )∂∂

ρ δ ο δ ρ ρ δ ρ δ

δρ ρ δt

u A x u A u A uA u

u A u A A p F

+ + + + +

− = − −

2 2 2

2 2

2 (A.1.10)

Dividindo por A xδ ambos os membros da equação,

( ) ( )∂∂

ρ ο δρδ

ρ δδ

ρδδ

δρδ

ρδ

δδ δt

uu

x

u A

A xu

u

xu

x

u

x

p

x

F

A x+ + + + + − = − −2

2 2

2

2

2

Anexo I

61

e simplificando, obtemos

( ) ( )∂∂

ρ ο δρ δ

δρ

δδ

δρδ

δδ δt

uu

A

A

xu

u

xu

x

p

x

F

A x+ + + + = − −2

2

22 . (A.1.11)

Fazendo tender δx para 0,

( ) ( )∂∂

ρρ ∂

∂ρ

∂∂

ρt

uu

A

dA

dx xu

p

xf+ + = − −

2

2

sendo f, a força de atrito por unidade de massa de fluido.

Rearranjando os vários termos obtemos finalmente

( ) ( )∂∂

ρ∂∂

ρρ

ρt

ux

u pu

A

dA

dxf+ + + = −2

2

(A.1.12)

A.1.3 - Conservação da energia

Segundo o princípio da conservação da energia, de acordo com a primeira lei da termodinâmica, a variação da energia de um sistema é igual ao balanço das trocas de energia, sob a forma de calor e trabalho, com o exterior.

A energia de um sistema pode ser acumulada por este sob uma destas formas:

- energia interna, U;

- energia cinética, 1 2 2mu ;

- energia potencial, mgz.

Assim, a equação que traduz o princípio da conservação da energia é:

( )& & .Q Wt

Uu

gz dV Uu

gz u n dSV S

− = + +

+ + +

∫∫∫ ∫∫

∂∂

ρ ρ2 2

2 2. (A.1.13)

Considerando o trabalho realizado dividido em duas parcelas,

& & &W W Ws v= + (A.1.14)

&Ws - trabalho trocado com o exterior através da superfície de controle

&Wv - trabalho realizado pelas forças viscosas nas superfícies de entrada e saída

e que qualquer uma destas parcelas é nula, não existem trocas de trabalho com o exterior e o trabalho realizado pelas forças viscosas nas superfícies de entrada e saída é nulo,

( )& .Qt

Uu

gz dV Uu

gz u n dSV S

= + +

+ + +

∫∫∫ ∫∫

∂∂

ρ ρ2 2

2 2. (A.1.15)

Considerando desprezável o termo gz, associado ao termo de acumulação sob a forma de energia potencial já que as diferenças de cota não são significativas,

Anexo I

62

( )& .Qt

Uu

dV Uu

u n dSV S

= +

+ +

∫∫∫ ∫∫

∂∂

ρ ρ2 2

2 2. (A.1.16)

Para um volume de controle infinitesimal, considerando A.1.2, e atendendo à relação

h Up

= +ρ (A.1.17)

( )

( )( ) ( )( )( )

&Qt

hp u

h hu u

u u A A hu

uA.

= − +

+ +

+ + ++

+ + + − +

∂∂

ρρ

ο δ

δδ

ρ δρ δ δ ρ

2

2

2 2

2

2 2

(A.1.18)

Rearranjando os vários termos, obtém-se

∂∂

ρρ

∂∂

ρ ρ ρt

hp u

xu h

u

Au h

u dA

dxq− +

+ +

+ +

=2 2 2

2 2

1

2& , (A.1.19)

com &q , fluxo de calor por unidade de massa do fluido.

63

ANEXO II

TRANSFORMAÇÃO DAS EQUAÇÕES

Anexo II

64

A.2 - Transformação das equações

A.2.1 - Rearranjo das equações

A equação da conservação da massa, na forma final obtida no Anexo I,

( )∂ρ∂

∂∂

ρρ

t xu

u

A

dA

dx+ + = 0 ,

pode ser rearranjada, obtendo-se

∂ρ∂

∂ρ∂

ρ∂∂

ρt

ux

u

x

u

A

dA

dx+ + = − . (A.2.1)

Na equação de balanço de quantidade de movimento A.1.12,

( ) ( )∂∂

ρ∂∂

ρρ

ρt

ux

u pu

A

dA

dxf+ + + = −2

2

rearranjo semelhante pode ser efectuado,

( )ut

u

t xu

p

x

u

A

dA

dxf

∂ρ∂

ρ∂∂

∂∂

ρ∂∂

ρρ+ + + + = −2

2

(A.2.2)

e, substituindo ρu

A

dA

dx obtido da equação da continuidade,

( )ut

u

t xu

p

xu

tu

xu

u

xf

∂ρ∂

ρ∂∂

∂∂

ρ∂∂

∂ρ∂

∂ρ∂

ρ∂∂

ρ+ + + − − − = −2 2 ,

simplificando,

( )ρ∂∂

ρ∂∂

∂∂

ρ∂∂

ρu

t xu

p

xu

u

xf+ + − = −2

e,

∂∂

∂∂ ρ

∂∂

u

tu

u

x

p

xf+ + = −

1. (A.2.3)

Para a equação da conservação de energia A.1.19,

∂∂

ρρ

∂∂

ρ ρ ρt

hp u

xu h

u

Au h

u dA

dxq− +

+ +

+ +

=

2 2 2

2 2

1

2&

o processo é semelhante. Substituindo ρu

A

dA

dx obtém-se,

∂∂

ρρ

∂∂

ρ

∂ρ∂

∂ρ∂

ρ∂∂

ρ

th

p u

xu h

u

hu

tu

x

u

xq

− +

+ +

+

+

− − −

=

2 2

2

2 2

2&

que simplificado conduz a,

Anexo II

65

( )∂∂

ρ∂∂

∂∂

ρ ρ∂∂

ρ∂∂

∂ρ∂

∂ρ∂

ρt

hp

t t

uu

h

xu

x

uh

t

u

tq− +

+ +

− − =

2 2 2

2 2 2& ,

ρ∂∂

∂∂

ρ∂∂

ρ∂∂

ρ∂∂

ρh

t

p

tu

u

tu

h

xu

u

xq− + + + =2& . (A.2.4)

Tendo em consideração, da equação da quantidade de movimento A.2.3,

∂∂

∂∂ ρ

∂∂

u

tf u

u

x

p

x= − − −

1

substituindo em A.2.4,

ρ∂∂

∂∂

ρ ρ∂∂

∂∂

ρ∂∂

ρ∂∂

ρh

t

p

tuf u

u

xu

p

xu

h

xu

u

xq− − − − + + =2 2&

simplificando,

∂∂ ρ

∂∂ ρ

∂∂

∂∂

ρh

t

p

t

u p

xu

h

xq uf− − + = +

1& ,

obtém-se a expressão final,

∂∂

∂∂ ρ

∂∂

∂∂

ρh

tu

h

x

p

tu

p

xq uf+ − +

= +

1& . (A.2.6)

A.2.2 - Introdução da Derivada Substantiva

A introdução deste operador diferencial definido por,

Dt

ux

= +∂∂

∂∂

em nada altera o carácter físico das equações permitindo apenas uma apresentação mais simples das mesmas.

Da sua aplicação resulta para a equação da continuidade,

Du

x

u

A

dA

dxρ ρ

∂∂

ρ+ = − , (A.2.7)

para o balanço de quantidade de movimento,

Dup

xf+ = −

1

ρ∂∂

, (A.2.8)

para a equação da conservação da energia,

Dh Sp q uf− = +1

ρ& . (A.2.9)

A.2.3 - Introdução das variáveis de Riemman

Antes de fazer a substituição de variáveis torna-se conveniente proceder a algumas alterações nas equações. Estas alterações são feitas tendo em atenção,

Anexo II

66

i) a equação de estado dos gases perfeitos

pRT

ρ= (A.2.10)

ou, na forma diferencial,

T

dTd

p

dp=−

ρρ

; (A.2.11)

ii) a expressão da velocidade sónica

a RT= γ ; (A.2.12)

iii) da aplicação da 1ª lei da termodinâmica a um processo reversível entre dois pontos quaisquer,

Tds dhdp

c dTdp

p= − = −ρ ρ

. (A.2.13)

A manipulação destas expressões permite obter,

∂ρρ γ

=−

−

2

1

da

a

ds

R (A.2.14)

∂ γγ

p

p

da

a

ds

R=

−

−

2

1 (A2.15)

dhp a

Rds− =

∂ρ γ

1 2

(A.2.16)

que, substituindo nas equações anteriores, eliminam as variáveis p, ρ e h em favor de a e s:

- equação da continuidade,

( )Da ax

ua

q uf au

A

dA

dx+

−

=

−

+ −

∂∂

γ γ γ1

2

1

2& ; (A.2.17)

- equação de balanço de quantidade de movimento,

D u aa

x

a

c

s

xf

p

γ ∂∂

∂∂

γ−

+ = −

−

1

2 2

1

2

2

; (A.2.18)

- equação da conservação de energia,

( )DsR

aq uf= +

γ2

& . (A.2.19)

Sendo λ e β novas variáveis, normalmente designadas por variáveis de Riemman, dadas por,

λγ

= +−

a u1

2, (A.2.20)

Anexo II

67

βγ

= −−

a u1

2, (A.2.21)

e os adequados operadores diferenciais

( )J D ax t

u ax+ = + = + +

∂∂

∂∂

∂∂

, (A.2.22)

( )J D ax t

u ax− = − = + −

∂∂

∂∂

∂∂

, (A.2.23)

as equações podem ser apresentadas sob a seguinte forma:

( )Ja

q uf au

A

dA

dx

a

c

s

xf

p

+ =−

+ −

+ −

−

λγ γ ∂

∂γ1

2 2

1

2

2

& , (A.2.24)

( )Ja

q uf au

A

dA

dx

a

c

s

xf

p

− =−

+ −

− +

−

βγ γ ∂

∂γ1

2 2

1

2

2

& . (A.2.25)

A.2.4 - Normalização das equações

Para a resolução das equações torna-se conveniente proceder à adimensionalização e normalização das variáveis conforme indicado no Quadro A.2.1.

Os operadores diferenciais, J+' e J-', apropriados para as variáveis normalizadas são

Jl

aJ

ref

+ +=' , (A.2.26)

Jl

aJ

ref

− −=' , (A.2.27)

Dl

aD

ref

' = . (A.2.28)

A forma final, normalizada, das equações é então:

( )J

q u f

aa u

dA

dxa

s

xf'

&' ' '

'' '

'

'' '+ =

−

+−

+

−

−

−

λ

γ γγ

∂∂

γγ

1

2

1

2

1

22 , (A.2.29)

( )J

q u f

aa u

dA

dxa

s

xf'

&' ' '

'' '

'

'' '− =

−

+−

−

−

+

−

β

γ γγ

∂∂

γγ

1

2

1

2

1

22 , (A.2.30)

( )D sq u f

aq u f' '

&' ' '

'&' ' '=

++2 . (A.2.31)

Anexo II

68

Variável Variável adimensionalizada e normalizada

x xx

l'=

t tta

l

ref'=

a aa

aref

' =

u uu

aref

'=

β ββ

' =aref

λ λλ

' =aref

s ss

R' =

f ffl

aref

'=γ2

&q qql

aref

'&

=γ

3

dA

dx

dA

dx

l

A

dA

dx

'

'=

Quadro A.2.1 - Adimensionalização e normalização das variáveis

69

ANEXO III

PREVISÃO DO RUÍDO EMITIDO PELA DESCARGA DOS GASES

DE ESCAPE DE UM MOTOR

Anexo III

70

A.3 - Previsão do ruído emitido pela descarga dos gases de escape de um motor

A.3.1 - Caracterização do ruído e modelos de propagação

Para a caracterização do ruído emitido por uma fonte é necessário conhecer o valor de duas grandezas, o nível de potência sonora e a direccionalidade. A potência sonora é a medida mais adequada para caracterizar e comparar fontes emissoras pois ao contrário do que acontece com o nível de pressão sonora não depende de factores externos tais como a distância ao receptor, condições de propagação no meio, etc. O nível de pressão sonora não é satisfatório para a indicação do ruído produzido por uma fonte pois depende do ambiente e da distância à fonte.

A grandeza acústica que permite relacionar a potência sonora e a pressão sonora é a intensidade sonora, grandeza vectorial com dimensões no Sistema Internacional W/m2. Para além da potência sonora da fonte é também relevante para a determinação da intensidade sonora à distância r, a forma de propagação considerada. As formas habitualmente consideradas em modelos simplificados para as fontes sonoras são:

a) - planas, caso de propagação de ondas no interior de condutas de paredes rígidas em que, desprezando perdas por dissipação, a intensidade sonora se mantém constante independentemente da distância à fonte;

b) - lineares, em que as frentes de onda se propagam radialmente adquirindo a forma cilíndrica concêntrica com a fonte. A intensidade sonora varia linearmente, de forma inversa, com a distância à fonte;

c) - pontuais, sempre que as suas dimensões sejam muito inferiores à distância ao ponto em que se pretenda avaliar a intensidade sonora. As frentes de onda neste caso adquirem total ou parcialmente a forma esférica e a intensidade sonora varia inversamente com o quadrado da distância à fonte.

Várias razões de índole prática contribuem para que escalas lineares não sejam as mais adequadas para a medição de grandezas acústicas. Definem-se escalas alternativas, comparativas com valores referência, de base logarítmica para o nível de pressão sonora Lp,

=

ref

10pp

plog20L , (A.3.1)

e para o nível de potência sonora,

=

ref

10WW

Wlog10L . (A.3.2)

Os valores de referência geralmente considerados para a pressão e potência sonora são, respectivamente,

Pa20pref µ=

e,

W10W 12

ref

−= .

Anexo III

71

A.3.2 - Caso de aplicação do modelo

O sinal representativo do ruído produzido pela descarga dos gases de escape para a atmosfera é um sinal periódico contendo várias harmónicas da frequência correspondente à sua velocidade de rotação. Como caso de aplicação do modelo numérico de cálculo do escoamento dos gases de escape na previsão do ruído produzido consideraram-se os resultados anteriormente obtidos, utilizados na validação do modelo para um motor monocilíndrico, e comparou-se com os dados experimentais recolhidos por Blair et al[13].

Na instalação experimental de Blair et al a descarga para a atmosfera dos gases de escape encontra-se numa parede do laboratório à face da mesma e a medição do nível de pressão sonora, com análise em bandas de oitava, é feita à distância de 1.83

m. Tendo em atenção estas condições foram considerados os seguintes pressupostos: a) foi considerada como pressão sonora na fonte a pressão estimada pelo

modelo numérico de cálculo do escoamento para o último ponto interior da malha computacional;

b) considerou-se a radiação uniforme no espaço através de superfícies de forma hemisférica;

c) foram desprezados os efeitos de eventuais fenómenos de reflexão em superfície próximas.

A intensidade e pressão sonora à distância r da fonte emissora estão relacionadas com a intensidade e pressão sonora na origem pela expressão,

2

r

2

0

r

0

p

p

I

I= . (A.3.3)

Sendo a potência sonora constante ao longo da propagação, a intensidade sonora à distância r da fonte e na origem estão relacionadas por,

A

r2

I

I 2

r

0 π= , (A.3.4)

em que A é a área da secção de saída da conduta dos gases.

Tendo em consideração A.3.3 e A.3.4 obtém-se a necessária relação entre a pressão sonora na origem e à distância r,

A

r2

p

p 2

2

r

2

0 π= , (A.3.5)

da qual resulta,

0r pAr

2p

π= . (A.3.6)

Para a previsão do nível de pressão sonora, valor eficaz, calculado por

( )∑=

=N

1n

2

nr

rmsrN

pp , (A.3.7)

Anexo III

72

foram considerados 512 pontos. A comparação entre as previsões obtidas pelo modelo numérico e os resultados experimentais apresentados por Blair et al na gama de velocidade de rotação testada, 3000 a 6000 rpm, está representada na Figura A.3.1.

Figura A.3.1 - Nível de pressão sonora. Comparação entre as previsões obtidas por aplicação do modelo e resultados experimentais de Blair et al.

Analisando a comparação entre os resultados experimentais e as previsões do modelo numérico para o nível de pressão sonora num ponto afastado de uma determinada distância da descarga dos gases podemos concluir duma boa correlação para a gama de velocidade de rotação considerada.

Uma análise em bandas de oitavas do espectro sonoro previsto é apresentada na Figura A.3.2. Da comparação com os resultados experimentais resulta uma razoável concordância dos espectros, sobretudo nas frequências mais baixas. Nas frequências mais elevadas verificam-se, para todas as velocidades de rotação consideradas, previsões inferiores aos resultados experimentais. De qualquer modo, é possível concluir da boa capacidade de utilização do modelo na previsão do ruído emitido pela descarga dos gases de escape de um motor de explosão.

105

110

115

120

125

130

3000 4000 5000 6000

velocidade de rotação (rpm)

dB



Anexo III

73

Figura A.3.2 - Análise em frequência do nível de pressão sonora. Comparação entre as previsões obtidas por aplicação modelo e os resultados experimentais de

Blair et al para as várias velocidades de rotação ensaiadas

a) - 6000 rpm

60

80

100

120

63 125 250 500 1000 2000 4000 8000

frequência central da banda de oitava (Hz)

dB

b) - 5000 rpm

60

80

100

120

63 125 250 500 1000 2000 4000 8000


dB

c) - 4000 rpm

60

80

100

120

63 125 250 500 1000 2000 4000 8000


dB

d) - 3000 rpm

60

80

100

120

63 125 250 500 1000 2000 4000 8000


dB



74

BIBLIOGRAFIA

Bibliografia

75

Referências bibliográficas

1. Regulamento Geral sobre o Ruído, Porto Editora

2. Jenny, E.: “Unidimensional Transient Flow with Consideration of Friction, Heat

Transfer, and Change of Section ,” Brown Boveri Review, Vol. 37, No. 11, Nov.,

pp. 447-461, 1950.

3. Benson, R. S., Garg, R. D., and Woollatt, D.: “A Numerical Solution of Unsteady

Flow Problems,” International Journal of Mechanical Engineering Science, vol.

6, No 1, pp. 117-144, 1964.

4. Benson, R. S., Woods, W. A., and Woollatt, D.:"Unsteady Flow in Simple Branch

Systems,” Proceedings, Institution of Mechanical Engineers, Vol. 178, Pt. 3,

Paper 10, pp. 24-49, 1964.

5. Benson, R. S. and Ucer, A. S.:"An Aproximate Solution for Non-Steady Flows in

Ducts with Friction," International Journal of Mechanical Engineering Science, 3,

819-824, 1971.

6. Benson, R. S.:"Numerical Solution of One Dimensional Non-Steady Flow with

Supersonic and Subsonic Flows and Heat Transfer," International Journal of

Mechanical Engineering Science, 14, 635-642, 1972.

7. Benson, R. S.:”The Thermodynamics and Gas Dynamics of Internal Combustion

Engines – Volume I,” J. H. Horlock and D. E. Winterbone, Clarendon Press, 1982.

8. Benson, R. S.:"A Comprehensive Digital Computer Program to Simulate a

Compression Ignition Engine Including Intake and Exhaust Systems," S.A.E.

Auto. Eng. Congress, Detroit, Michigan, Paper No. 710173, 1971.

9. Benson, R. S. and Baruah, P. C.:”Some Further Tests on a Computer Program to

Simulate Internal Combustion Engines,” S.A.E. Paper No. 730667, 1973.

10. Benson R. S., Baruah, P. C. and Whelan, B.:”Simulation Model for a Crankcase-

Compression Two-Stroke Spark-Ignition Engine Including Intake and Exhaust

Systems,” Proceedings, Institution of Mechanical Engineers, Vol. 189/7, 1975.

Bibliografia

76

11. Blair, G. P. and Goulbourn, J. R. :“The Pressure-Time History in the Exhaut

System of a High-Speed Reciprocating Engine,” S.A.E. Paper No. 670477, 1967.

12. Blair, G. P. and Goulbourn, J. R. :“An Unsteady Flow Analysis of Exhaust

Systems for Multicylinder Automobile Engines,” S.A.E. Paper No. 690469, 1969.

13. Blair, G. P. and Specho, J. A.:” Sound Pressure Levels Generated by Internal

Combustion Engine Exhaust Systems,” SAE paper 720155, 1972.

14. Takizawa, M., Uno, T., Oue, T., and Yura, T.: ”A Study of Gas Exchange Process

Simulation of an Automotive Multi-Cylinder Internal Combustion Engine,” SAE

paper 820410, SAE Trans., Vol. 91, 1982.

15. White, F. M., Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 3 rd ed., 1994

16. Caton, J. A., and Heywood, J. B.: “An Experimental and Analytical Study of Heat

Transfer in a Engine Exhaust Port, ”Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 24, No. 4, pp.

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Section of a n Exhaust Port of a Spark Ignition Engine, “SAE paper 790309, 1979.

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19. Annand, W. J. D.:"Heat Transfer in the Cylinders of Reciprocating Internal

Combustion Engines,” Proc. Institution of Mechanical Engineers, 177, 973-980,

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20. Kentfield, J. A. C.:"Nonsteady, One-Dimensional, Internal, Compressible Flows,”

Oxford University Press, 1993.

Cálculos de Sistemas de Escape

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