Calculo Vectorial Examen Rapido 5

Examen Rápido 5 Calculo Vectorial

Rectas y Planos en el espacio Página 1

Nombre: Calificación

Grupo: Fecha: 27-09-2012

Ecuaciones Diferenciales

Instrucciones:

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 40%

Cada valor tiene 10/3 punto

Problemas

Problema 1

Hallar la distancia del punto al plano:

a. 2,8,4

2 4x y z

Solución

La normal en el plano será 2,1,1n

Si hacemos 0x y en la ecuación del plano, el punto en el plano será

(0,0,5)P

Por lo tanto el vector 2 0,8 0,4 5 2,8, 1PQ PQ

Utilizando la ecuación de la distancia de un punto a un plano tenemos

2 2 2

2,8, 1 2,1,1

2,1,1

2 2 8 1 1 1 4 8 1

4 1 12 1 1

11

6

PQ nD D

n

D D

D



Problema 2

Hallar una ecuación del plano que pasa por el punto 1,2,3 y es paralelo al plano

xy .

Solución

El plano que pasa por el punto 0 0 0, , 1,2,3P x y z P y es paralelo al plano

xy , considerando que el plano xy , su vector normal será 0,0,1v v k .

Por lo tanto el plano será, utilizando la ecuación canónica de un plano

0 0 0( ) ( ) ( ) 0

1 3 0 3

A x x B y y C z z

z z

Problema 3

Verificar que las rectas son paralelas y hallar la distancia entre ellas.

1

2

: 2 , 3 2 , 4

: 3 , 1 6 , 4 3

L x t y t z t

L x t y t z t

Solución

Verificando que las rectas son paralelas y encontrando la distancia entre ellas

tenemos:

El vector dirección de la primera recta 1L es: 1 1,2,1v

El vector dirección de la segunda recta 2L es: 2 3, 6, 3v

Por lo tanto la relación que demuestra que las rectas son paralelas es la siguiente:

2 13v v

Tenemos que el punto 2,3,4Q en la primera recta 1 y el punto 0,1,4P en la

segunda recta 2



Por lo tanto el vector PQ será:

2,2,0PQ

Por lo tanto 2u v es le vector dirección para

2 que será el siguiente:

2 2 2 0 6,6, 18

3 6 3

i j k

PQ v

Utilizamos la ecuación de la distancia de un punto a la recta y tenemos

2

2

36 36 324

9 36 9

396 22 66

54 3 3

PQ vD D

v

D D D

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