Calculo Simb´ olico y T´ ecnicas de Control de´ A -estructuras · UNIVERSIDAD DE SEVILLA...

UNIVERSIDAD DE SEVILLADepartamento de Matematica Aplicada I

Calculo Simbolico y Tecnicas de Control deA∞-estructuras

Vo Bo Directores,

Pedro RealFrancis Sergeraert

Memoria presentada porAinhoa Berciano Alcarazpara optar al grado de Doctorapor la Universidad de Sevilla.

Julio de 2006

A mis padres

Agradecimientos

No podıa faltar en esta memoria una pequena mencion a todas aquellas personas e insti-tuciones que han dado lugar a que esta tesis se lleve a cabo, pero con el fin de no dejarmea nadie en el tintero no las nombrare explıcitamente.

Por tanto, como “es de bien nacido ser agradecido”, gracias a todas las que habeis estadoahı apoyandome en este tiempo, tanto moral como economicamente, y muy en especialgracias a todas las que habeis estado desde el principio.

Igualmente, como “todo lo que no te mata, te hace mas fuerte”, gracias tambien a todasaquellas que no han creıdo en mı y me han intentado desalentar por el camino, sin ellases probable que esta memoria no hubiera resultado tan satisfactoria.

Por ultimo, solo me queda decir

BIHOTZ-BIHOTZEZ,

ESKERRIK ASKO GUZTIOI!

Resumen

Mostramos aquı diversos aspectos importantes relacionados con el estudio de las A∞-estructuras, las cuales juegan un papel importante en la Topologıa Algebraica tal y comose aborda hoy en dıa.

En particular centramos nuestro estudio en el comportamiento de dichas estructuras frentea productos tensoriales, a pequenas modificaciones en los datos originales dando lugar aperturbaciones de alguna de las diferenciales, etc.

De hecho, podemos dividir la memoria en tres secciones bien diferenciadas:

En la primera, que engloba al capıtulo dos y cuatro, demostramos sendos teore-mas que confirman que las A∞-estructuras forman en sı mismas una categorıa y nodeben ser consideradas exclusivamente como una categorıa derivada.

Ademas en la misma seccion dualizamos para conjuntos cosimpliciales un extensotrabajo realizado por S. Eilenberg y S. Mac Lane acerca del Teorema de Eilenberg-Zilber, que dio lugar a un avance enorme en los anos cincuenta en el area de laTopologıa Algebraica.

Dicho teorema, nos sirve para probar la existencia de una contraccion entre la cons-truccion cobar del producto tensorial de dos coalgebras y el producto tensorial delas construcciones cobar respectivas, teorema que dualiza totalmente el trabajo rea-lizado acerca de la construccion bar por S. Eilenberg y S. Mac Lane.

Como aplicacion de algunas de estas herramientas, calculamos en el capıtulo cuar-to la A∞-estructura de la homologıa de los espacios de Eilenberg-Mac Lane concoeficientes en el anillo Zp.

La segunda seccion, correspondiente al capıtulo tres, se basa en la busqueda de unanocion robusta de A∞-algebra de Hopf por perturbacion.

Para ello, definimos un dg-modulo asociado a una algebra de Hopf, y demostramosque dada una algebra de Hopf y una contraccion, esta induce sobre el dg-modulo

menor una A∞-algebra de Hopf, en donde determinamos cuales deben ser las ope-raciones integrantes de dicha estructura y las relaciones que deben verificar.

En particular, mostramos una nocion dual a la dada por R. Umble y S. Saneblidzeacerca de las A∞-algebras de Hopf.

La ultima parte de la memoria, que corresponde al capıtulo cinco, esta dedicada a latraslacion computacional de las A∞-estructuras, con la creacion e implementacionde algoritmos que sean capaces de calcular (a bajo nivel) las operaciones integrantesde una A∞-estructura, con el fin de poder testar algunos ejemplos y de obtener ex-perimentalmente resultados hasta ahora no conocidos.

El capıtulo consta de tres secciones, en la primera se tratan diversos problemasteoricos de traslacion de conceptos matematicos, en la segunda planteamos las solu-ciones a los mismos y ya en la tercera seccion mostramos ejemplos de computacioncon seudo-codigo. Ademas, hemos anadido un apendice con los archivos creadoscon su correspondiente aplicacion para poder hacer uso del programa.

Indice general

Introduccion VII

1. Preliminares 11.1. Fundamentos basicos de Algebra Homologica . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Nociones de Topologıa Simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Estudio y control de A∞-estructuras 212.1. Propiedades principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Contracciones que preservan las estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1. Estudio multiplicativo de la “contraccion Bar” . . . . . . . . . . 252.2.2. Estudio multiplicativo de la “contraccion Cobar” . . . . . . . . . 27

2.3. Tecnicas de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4. Tecnicas de Control de A∞-estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5. Problemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3. A∞-Algebras de Hopf 513.1. Representacion Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1.1. La estructura diferencial de BC(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53La diferencial tensorial de BC(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53La diferencial simplicial de BC(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . 55La diferencial cosimplicial de BC(H) . . . . . . . . . . . . . . . 59Propiedades de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.2. La estructura multiplicativa de BC(H) . . . . . . . . . . . . . . . 66La estructura de algebra en las filas de BC(H) . . . . . . . . . . . 66La estructura de coalgebra en las columnas de BC(H) . . . . . . . 68La estructura multiplicativa global de BC(H) . . . . . . . . . . . 71

3.2. A∞-algebras de Hopf por Perturbacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.1. La estructura de A∞-coalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.2. La estructura de A∞-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.3. Los operadores de homotopıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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VI Indice general

3.3. Problemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4. Espacios de Eilenberg-Mac Lane 854.1. Propiedades principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2. Calculo y Estudio de la Homologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3. Caso K(Z, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3.1. K(Z, n), donde n ≤ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3.2. K(Z, n), donde n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

La contraccion B → E ⊗ Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Teorıa de Inversiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.3. K(Z, n), donde n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.4. K(Z, n), donde n > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4. Caso K(Zr, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.4.1. K(Zr, n), donde n ≤ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.4.2. K(Zr, n), donde n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.5. Caso K(Zpr , n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.5.1. K(Zpr , n), donde n < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.5.2. K(Zpr , n), donde n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.5.3. K(Zpr , n), donde n > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.6. Aplicacion computacional de la Teorıa de Inversiones. . . . . . . . . . . 1104.7. Problemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5. Calculo simbolico de A∞-estructuras 1155.1. Aspectos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.2. Aspectos tecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3. Esbozo del codigo fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3.1. Modulo combinatorio sobre el cuerpo Zp . . . . . . . . . . . . . 1285.3.2. Algebras polinomiales, exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.3.3. Modulos ARAIA y CRAIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Ejemplos didacticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.4.1. Calculo de A∞-estructuras en productos tensoriales . . . . . . . . 1375.5. Optimizaciones y posibles mejoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Apendice 141

Bibliografıa 145

Introduccion

Desde principios del siglo XX, en que H. Poincare definiera ocho esferas homologica-mente equivalentes a la esfera usual, pero con distintos grupos de homotopıa, la busquedade invariantes mas finos que la homologıa ha sido uno de los incentivos para el auge ydesarrollo de la Topologıa Algebraica.

A mediados de los anos cincuenta, surge la Topologıa Simplicial, que proporciona un en-foque combinatorio a la Topologıa. De hecho, los conjuntos simpliciales, originalmentellamados complejos semi-simpliciales completos aparecen en 1950 en un artıculo de S.Eilenberg y J.A. Zilber [EZ50]. El enfoque combinatorio dado por el acercamiento sim-plicial permite por otro lado formalizar cuestiones de tipo topologico y crear algoritmosque intenten solucionarlos de manera computacional. Otro aspecto importante son los fi-brados que simplifican enormemente su estructura y pueden verse globalmente como unproducto cartesiano torcido F×τ B de dos conjuntos simpliciales (la fibra F y la base B).

La pieza fundamental para reducir la homologıa de un producto cartesiano torcido comoen el caso anterior a la de un producto tensorial torcido (Teorema de Eilenberg–Zilbertorcido), es un tipo especial de equivalencia de homotopıa, llamada contraccion. Es bi-en conocido que todo conjunto simplicial puede describirse como un producto cartesianotorcido de espacios “primos” (en homotopıa), o espacios de Eilenberg-Mac Lane K(π, n)que dependen de un grupo abeliano finitamente generado π y de un entero positivo n.

La herramienta clave en nuestro contexto, las contracciones [EM53] y la teorıa que lasestudia, la Teorıa de Perturbacion Homologica, sugiere nuevas perspectivas y acercamien-tos a problemas clasicos de la Topologıa Algebraica y Algebra Homologica.

Desde finales de la decada de los ochenta dicha teorıa va tomando fuerza sobre todo a lahora de abordar el calculo en Algebra Homologica [Shi62, Bro67, GL89, Ser87, HK91,Rea00].

Trabajos fundamentalmente de V.K.A.M. Gugenheim, L. Lambe y J.D. Stasheff [GL89,GLS91], formalizando trabajos ya clasicos de W. Shih [Shi62] y R. Brown [Bro67], sien-

VII

VIII Introduccion

tan las bases de la Teorıa de Perturbacion Homologica tal como la conocemos hoy.

El Lema de Perturbacion Basico [Shi62, GS86, GL89] garantiza que al perturbar ladiferencial del modulo de partida (bajo ciertas hipotesis de nilpotencia), se puede definiruna nueva contraccion donde los modulos graduados subyacentes no han sufrido varia-ciones y solo se modifican las diferenciales y los morfismos integrantes en la contrac-cion. Es importante resenar que dicho resultado proporciona las formulas explıcitas delos nuevos morfismos, dando lugar a un proceso constructivo y algorıtmico para la obten-cion de los nuevos datos.

Posteriormente, esta tecnica permite reenunciar los teoremas de E.H. Brown [Bro67] yEilenberg-Zilber torcido [EM54] en funcion de perturbaciones de las estructuras diferen-ciales [Alv97], redescubrir las A∞-estructuras como procesos de perturbacion de modulostensoriales [GLS91], interpretar estos procesos como construcciones de A∞-cocadenas,etc.

A mediados de los anos sesenta, las nociones de A∞-espacio y A∞-algebra son introduci-das por J.D. Stasheff [Sta63], donde esta ultima es la generalizacion de una estructuramultiplicativa salvo homotopıa. El ejemplo fundamental que le inspira es el complejo decadenas asociado al espacio de lazos de un espacio topologico. A pesar de que el espaciode lazos posee estructura de algebra al pasar al complejo de cadenas, el morfismo can-didato a ser el producto no verifica la condicion de asociatividad, pero sı la verifica salvohomotopıa.

En las dos decadas siguientes, se encuentran aplicaciones de las A∞-estructuras rela-cionadas con la teorıa de la homotopıa [Ada78, BV73, May72]; donde su unico uso que-da principalmente confinado a esta area. Este hecho cambia drasticamente a comienzosde los anos 90 donde la relevancia de las A∞-estructuras en algebra, geometrıa y fısicamatematica comienza a ser mas y mas importante [GJ90, Sta92]. Una influencia desta-cable es la charla de M. Kontsevich [Kon94] en un Congreso Internacional en 1994, elcual inspirado en un preprint de K. Fukaya [Fuk93], da una interpretacion (a modo deconjetura) acerca de la posible equivalencia entre dos categorıas trianguladas asociadas aA∞-categorıas.

Desde entonces, han sido muchos los enfoques que se han tomado para estudiar dichasestructuras, a destacar la Teorıa de Operads [Mar92, HK91], la teorıa basada en Permuta-hedras desarrollada principalmente por S. Saneblidze y R. Umble [SU1, SU2, SU3, SU4],junto con la ya mencionada Teorıa de Perturbacion Homologica [Kad82, Kad87, JR01,Jim03]. La importancia de esta ultima es que presenta una simplicidad en el tratamientode las A∞-estructuras: dada una A∞-(co)algebra, existe una (co)algebra y una contraccion

IX

que inducen la estructura original de partida, y viceversa, dada una contraccion entre una(co)algebra y un dg-modulo, este hereda de modo natural una estructura de A∞-(co)alge-bra.

Nuestro trabajo esta inspirado en este ultimo punto de vista, el tratamiento de A∞-estruc-turas haciendo uso de la Teorıa de Perturbacion Homologica aplicada en particular a lacategorıa de algebras y de coalgebras [Rea00].

Uno de los aspectos importantes a tratar es ver que pasa cuando el complejo de cadenasdel espacio topologico de partida tiene estructura de algebra de Hopf. Si tenemos unacontraccion hacia un modulo, una pregunta que surge inmediatamente es ver cual es laestructura que hereda, dando lugar a la definicion de A∞-algebra de Hopf.

Estas estructuras aparecen naturalmente en la Topologıa Algebraica, como ejemplo, dadoun grupo simplicial conmutativo, se tiene que el complejo de cadenas asociado tiene es-tructura de algebra de Hopf. Al estudiar la homologıa del mismo y establecer una cadenade contracciones entre el complejo de cadenas de partida y diversos complejos de cade-nas “mas simples”, en lıneas generales, dicha estructura se pierde, dando lugar a que elmodulo menor herede una estructura de A∞-algebra de Hopf.

El primer ejemplo que encontramos en la literatura a este respecto, es el estudio realizadopor H. Cartan [Car56] acerca de la estructura algebraica de la homologıa de los espaciosde Eilenberg-Mac Lane, donde concluye que dicha homologıa tiene estructura de algebra.

Teniendo en cuenta que el complejo de cadenas asociado a dichos espacios primos tieneestructura de algebra de Hopf, al establecer una contraccion a un modulo menor, resultainteresante preguntarse cuales son las operaciones que determinan la estructura inducidaen el.

Es desde esta perspectiva en que en este trabajo nos planteamos el estudio de tres aspec-tos importantes de las A∞-estructuras: la herencia por producto tensorial, la definicion deA∞-algebra de Hopf, y la implementacion de un programa que determine las operacionesen baja dimension de una A∞-estructura definida por una contraccion.

El capıtulo dos, esta enteramente dedicado al analisis de la A∞-estructura del productotensorial de dos dadas. En dicho capıtulo, comenzamos estableciendo bajo que condi-ciones, dada una A∞-estructura truncada (es decir, con un numero finito de operacionesdistintas de cero) al perturbar la diferencial del modulo mayor del cual proviene, elcaracter de la misma sigue invariante, es decir, no aumenta ni disminuye el numero deoperaciones involucradas.

X Introduccion

Seguidamente, analizamos las operaciones integrantes en el producto tensorial de dos A∞-(co)algebras, concluyendo que dichas operaciones estan exclusivamente determinadas porlas operaciones de cada factor del producto tensorial.

En el capıtulo tercero, desarrollamos la nocion de A∞-algebra de Hopf desde el punto devista perturbativo. Para ello primero definimos un modulo tensorial asociado a una alge-bra de Hopf, BC(H), el cual vıa perturbacion, induce en el modulo menor una estructurade A∞-algebra, una estructura de A∞-coalgebra, junto con operadores de homotopıa deorden superior.

Finalizamos el capıtulo, definiendo una A∞-algebra de Hopf como un modulo diferencialgraduado H , con una familia de operaciones hi,j : H i → Hj , de grado i + j − 3, demodo que hi,1 : H i → H define una estructura de A∞-algebra, h1,j : H → Hj

define una estructura de A∞-coalgebra y la extension lineal de hi,j al modulo tensorialBC(H) define una diferencial.

Siguiendo con el estudio exhaustivo de la A∞-algebras de Hopf, el capıtulo cuarto de estamemoria esta dedicado exclusivamente a la extension del trabajo realizado por H. Cartan,con el fin de determinar completamente la estructura algebraica de la homologıa de losespacios de Eilenberg-Mac Lane. De hecho, al restringir nuestro estudio al anillo base Zp

(con p un numero primo), se obtiene que dicha homologıa tiene una estructura de A∞-coalgebra, dando lugar al primer ejemplo topologico de una A∞-algebra de Hopf, cuyafamilia de operaciones componentes esta estrechamente ligada con el numero primo p.

Por ultimo, gracias a trabajos sobre Topologıa Simpicial como los de S. Eilenberg juntocon S. Mac Lane, a mediados de los anos cincuenta del siglo pasado, con demostracionesconstructivas nos sugieren que la creacion de una Topologıa Algebraica Efectiva es posi-ble.

Por otro lado, la Teorıa de Perturbacion Homologica garantiza algoritmos finitos a la horade calcular los morfismos integrantes en una contraccion definida por perturbacion, por loque teoricamente, las formulas explıcitas de los morfismos de la mayorıa de los resultadosteoricos, se pueden obtener vıa el mundo computacional.

En este sentido, son varios los programas que intentan formalizar una plataforma in-formatica basica para el calculo en algebra Homologica, de los cuales Kenzo provienedirectamente de la Teorıa de Perturbacion Homologica. Este programa surge de la cola-boracion F. Sergeraert-J. Rubio [Ser87, RS88, Ser94] a finales de los 80 y principios de los90, y tiene como piezas claves la codificacion explıcita del operador de homotopıa SHI de

XI

la contraccion clasica Eilenberg-Zilber y las cocadenas de torsion asociadas en el sentidode Brown; y la reutilizacion continua de los datos que genera como salida, por medio deuna conveniente programacion funcional que explota las propiedades del lenguaje Lisp,particularmente versatil en el tratamiento de listas.

Como aplicacion inmediata y muestra de la capacidad de calculo del lema de pertur-bacion basico, el quinto capıtulo esta dedicado a la implementacion de un modulo deprogramacion anadido a Kenzo que calcula A∞-estructuras, con los metodos ARAIA(Algebra Reduction A-Infinity Algebra) y CRAIC (Coalgebra Reduction A-Infinity Coal-gebra) [BS05], que consta de aproximadamente 2000 lıneas de codigo.

En dicho capıtulo, tambien se muestran aspectos tecnicos del modulo de programacion;a destacar problemas de traslacion de objetos matematicos al mundo computacional, paraposteriormente ilustrar las soluciones teoricas adoptadas [Ber06b]. Finalmente, se des-criben mediante ejemplos didacticos las formulas obtenidas experimentalmente de lasoperaciones componentes en la estructura de A∞-(co)algebra inducida por contraccion enbaja dimension.

XII Introduccion

Capıtulo 1

Preliminares sobre Algebra Homologicay Topologıa Simplicial

En lo que sigue, trataremos los conceptos basicos necesarios para poder adentrarnos enlos resultados de la memoria de esta tesis.

La primera parte del capıtulo esta dedicada al algebra homologica con textos de referenciacomo [Mac95], [Mun74] y [Wei94].

En la segunda parte daremos algunas definiciones y resultados de la Topologıa Simplicial;a destacar entre las referencias [May67], [GJ99].

1.1. Fundamentos basicos de Algebra Homologica

Supongamos que Λ es un anillo conmutativo con elemento unidad no nulo. En capıtulosposteriores restringiremos nuestro estudio al caso en que dicho anillo es Z, Z/pZ con pprimo (que a partir de ahora denotaremos por Zp) o Z localizado en p, Z(p).

Definicion 1.1. Un modulo (a izquierda) M sobre el anillo Λ es un grupo abeliano conuna operacion σ : Λ×M →M con σ(λ, m) = λm, tal que

(λ + λ′)m = λm + λ′m

λ(m + m′) = λm + λm′.

con λ, λ′ ∈ Λ y m,m′ ∈M .

1

2 Capıtulo 1. Preliminares

De manera similar, se define un modulo a derecha. Salvo que pueda llevar a error no es-pecificaremos si el modulo es a izquierda o a derecha.

Definicion 1.2. Dado f : M →M un morfismo de modulos, denotaremos la composicionde f consigo mismo n-veces como fn. El morfismo identidad de M se denotara por 1.

Definicion 1.3. Una algebra A es un modulo dotado de dos morfismos, un producto aso-ciativo µ : A⊗A→ A y una unidad bilateral η : Λ→ A, tambien llamada coaumentacion,es decir, los siguientes diagramas son conmutativos

A⊗ A⊗ Aµ⊗1

xxppppppppppp1⊗µ

&&NNNNNNNNNNN

A⊗ A µ// A A⊗ Aµ

oo

Λ⊗ Aη⊗1 //

∼=%%KKKKKKKKKKK A⊗ A

µ

A⊗ Λ1⊗ηoo

∼=yysssssssssss

A

Definicion 1.4. Analogamente, una coalgebra C es un modulo dotado de dos morfismos,un coproducto asociativo ∆ : C → C ⊗ C y una counidad bilateral ξ : C → Λ, quetambien se llama aumentacion (con los diagramas conmutativos analogos).

Definicion 1.5. Dado M un modulo, es un modulo graduado si M =⊕n∈Z

Mn, donde Mn

son submodulos de M para todo n ∈ Z.

En particular, se dice que M es conexo si M0 = Λ.

Definicion 1.6. Dado m ∈ M , se dice que m es un elemento homogeneo de grado ncuando m ∈Mn, y en tal caso, denotaremos el grado como |m| = n.

Definicion 1.7. Dados M, N dos modulos graduados, f : M → N es un morfismo demodulos graduados de grado d si f es una familia de morfismos de modulos f = fnn≥0,donde fn : Mn → Nn+d.

Definicion 1.8. Si M y N son dos modulos graduados, el producto tensorial M ⊗Nadquiere estructura de modulo graduado donde

(M ⊗N)n =∑

p+q=n

(Mp ⊗Nq).

Denotaremos el modulo M⊗ (n). . . ⊗M por M⊗n, considerando M⊗0 = Λ.

1.1. Fundamentos basicos de Algebra Homologica 3

Definicion 1.9. Si f : M → M ′ y g : N → N ′ son morfismos de modulos graduados, elproducto tensorial f ⊗ g, adoptando la convencion de Koszul, viene definido por:

(f ⊗ g)(x⊗ y) = (−1)|g||x|f(x)⊗ g(y).

En particular, se tiene que

(f ⊗ g)(h⊗ k) = (−1)|g||h|(fh⊗ gk).

Ademas, si f : M⊗i → M es un morfismo de modulos graduados y n es un enteropositivo, se define el morfismo

f [n] =n−i∑j=0

1⊗jM ⊗ f ⊗ 1⊗n−i−j

M , donde 1⊗0M = 1Λ.

Y en general, se puede definir el morfismo f [ ] :⊕j≥i

M⊗j →⊕k≥1

M⊗k, de modo que en

grado n coincida con f [n], es decir, f [ ]|Mn = f [n].

Definicion 1.10. Dado M un modulo graduado y d : M → M un morfismo de modu-los graduados, se dice que d es una diferencial (resp. codiferencial) si |d| = −1 (resp.|d| = +1) y d2 = 0. En particular, (M, d) se denomina dg-modulo (resp. dg-comodulo).Escribiremos dn en vez de d|Mn .

Definicion 1.11. Un morfismo f : M → N es morfismo de dg-modulos de grado i, siverifica que dNf = (−1)ifdM .

Gracias a la segunda condicion impuesta en la definicion de diferencial (resp. codiferen-cial), d2 = 0, tenemos que Imdn+1 ⊂ Kerdn (resp. Imdn ⊂ Kerdn+1) para n ≥ 1, y portanto, podemos hablar del concepto de homologıa (resp. cohomologıa).

Definicion 1.12. Sea (M, d) un dg-modulo, la homologıa de M se define como el modulograduado H?(M), donde Hn(M) = Kerdn/Imdn+1.

Definicion 1.13. Sea M un dg-modulo. La suspension de M , denotada por sM , es el dg-modulo definido por sMn+1 = Mn, junto con la diferencial dsM = −dM . Analogamente,se define la desuspension de M como el dg-modulo, s−1M dado por s−1Mn = Mn+1,cuya diferencial, ds−1M tambien es −dM .

Si f : M → N es un morfismo de dg-modulos de grado i, se define el morfismo sf entrelos dg-modulos sM y sN como sf = (−1)if . Analogamente, se define el morfismo ade-cuado para la desuspension.


Definicion 1.14. Sea M un dg-modulo. Una aumentacion (resp. coaumentacion), es unmorfismo de dg-modulos de grado cero:

ξM : M → Λ

(resp. ηM : Λ→M).

En el caso de algebras y coalgebras, coincidiran con la counidad y unidad respectiva-mente.

Definicion 1.15. Un modulo diferencial graduado aumentado (M, dM , ξM , ηM) (dga-modulo) es un dg-modulo dotado de una aumentacion ξM y de una coaumentacion ηM

de modo que ξM ηM = 1Λ. Se dice conexo si como modulo graduado es conexo y suaumentacion y coaumentacion son ambas la identidad del anillo base Λ.

Definicion 1.16. Dados dos dga-modulos M y N , se define el dga-modulo producto ten-sorial, M ⊗N , como el dg-modulo producto tensorial junto con los morfismos:

dM⊗N = dM ⊗ 1N + 1M ⊗ dN ,

ξM⊗N = ξM ⊗ ξN ,

ηM⊗N = ηM ⊗ ηN .

Si M = N , podemos describir la diferencial del producto tensorial dM⊗M = d[2]M .

Definicion 1.17. Sean M y N dga-modulos. Se dice que f : M → N es un morfismo dedga-modulos si se verifican las identidades:

ξNf = ξM , fηM = ηN .

Podemos considerar el morfismo de dga-modulos que intercambia el orden en el productotensorial:

T : M ⊗N → N ⊗M

x⊗ y → (−1)|x||y|y ⊗ x.

En particular, dados dos morfismos f : M →M y g : N → N se tiene que

T (f ⊗ g) = (−1)|f ||g|(g ⊗ f)T.

Definicion 1.18. Una algebra diferencial graduada aumentada o dga-algebra, (A, µ),es un dga-modulo A, que junto con el producto µ tiene estructura de algebra. Se diceconmutativa cuando µT = µ.


Definicion 1.19. Sean (A, µ) una dga-algebra y δ : A → A un morfismo de modulosgraduados de grado −1. Se dice que δ es una derivacion si δµ = µ(1 ⊗ δ + δ ⊗ 1) yξδ = 0.

Definicion 1.20. Analogamente, una coalgebra diferencial graduada aumentada o dga-coalgebra, (C, ∆), es un dga-modulo C, que junto con el coproducto ∆ tiene estructurade coalgebra. Se dice coconmutativa cuando T∆ = ∆.

Definicion 1.21. Sean (C, ∆) una dga-coalgebra y δ : C → C un morfismo de modulosgraduados de grado −1. Se dice que δ es una coderivacion si ∆δ = (1 ⊗ δ + δ ⊗ 1)∆ yξδ = 0.

Definicion 1.22. Dadas (A, µA) y (A′, µA′) dos dga-algebras (resp. (C, ∆C) y (C ′, ∆C′)dga-coalgebras), se define la dga-algebra producto tensorial A⊗A′ como el dga-modulosubyacente junto con el morfismo de grado cero

µA⊗A′ = (µA ⊗ µA′)(1A ⊗ T ⊗ 1A′)

(resp. ∆C⊗C′ = (1C ⊗ T ⊗ 1C′)(∆C ⊗∆C′)).

Una nocion que auna las definiciones de algebra y de coalgebra es la de algebra de Hopf.

Definicion 1.23. A es una algebra de Hopf diferencial graduada aumentada o dga-alge-bra de Hopf si tiene estructura de dga-algebra, de dga-coalgebra y verifica la condicionde Hopf,

∆µ = (µ⊗ µ)(1⊗ T ⊗ 1)(∆⊗∆).

Con esta nocion, se trata de imponer que, si consideramos A como dga-algebra, el co-producto ∆ sea un morfismo de dga-algebras, y recıprocamente, si consideramos A comodga-coalgebra, µ sea un morfismo de dga-coalgebras.

Como ejemplos a destacar, tenemos cuatro tipos de algebras de Hopf, las cuales van atener una importancia relevante a lo largo de los demas capıtulos:

El algebra exterior E(u, 2n + 1): es la dga-algebra libre generada por 1 de grado 0y u de grado 2n + 1, con u2 = 0, y diferencial nula. El coproducto viene dado por:

∆ : E(u, 2n + 1)→ E(u, 2n + 1)⊗E(u, 2n + 1)

u→ u⊗ 1 + 1⊗ u.

El algebra polinomial P (u, n), es el algebra libre generada por u, tambien denotadapor Λ[u], donde u tiene grado n, la diferencial nula y el producto uiuj = ui+j .


El algebra polinomial modificada Γ(u, 2n): es la dga-algebra libre generada por1 = γ0(u), u = γ1(u), . . . , γk(u) . . . , con |γk(u)| = 2kn, diferencial nula y produc-to dado por

γk(u)γh(u) =(k + h)!

k!h!γk+h(u).

El coproducto se define como

∆ : Γ(u, 2n)→ Γ(u, 2n)⊗ Γ(u, 2n)

γk(u)→∑

i+j=k

γi(u)⊗ γj(u).

Si denotamos por P (u, 2n) el algebra polinomial generada por el elemento u de gra-do 2n, se define la dga-algebra truncada Qp(u, 2n) como el cociente de P (u, 2n)por el ideal (up), donde la diferencial es nula.

Otro ejemplo de algebra o coalgebra nos lo da el modulo tensorial, que se define a con-tinuacion.

Definicion 1.24. Dado M un dg-modulo, podemos construir el dga-modulo tensorial deM , T (M), como:

T (M) =⊕n≥0

M⊗n = Λ⊕M ⊕ (M ⊗M)⊕ (M ⊗M ⊗M)⊕ · · ·

Un elemento del tipo a1⊗· · ·⊗an se dice homogeneo si cada ai es un elemento homogeneode M .La graduacion tensorial de T (M), | |t, esta definida por la expresion:

|a1 ⊗ · · · ⊗ an|t =n∑

i=1

|ai|.

La diferencial tensorial, dt : T (M) → T (M) viene dada sobre elementos homogeneospor el morfismo d[ ], de modo que en grado n

(dt)n(a1 ⊗ · · · ⊗ an) =n∑

i=1

(−1)|a1|+···+|ai−1|a1 ⊗ · · · ⊗ d(ai)⊗ · · · ⊗ an.

La aumentacion y la coaumentacion son la proyeccion e inclusion de Λ en T (M) respec-tivamente.

Es mas, se puede definir sobre T (M) un producto µ y un coproducto ∆, de modo que:


El producto de T (M) actua por yuxtaposicion sobre elementos homogeneos:

µ((a1 ⊗ · · · ⊗ an)⊗ (an+1 ⊗ · · · ⊗ an+p)) = a1 ⊗ · · · ⊗ an+p

que se extiende por linealidad. En general, no es conmutativo.

El coproducto de T (M) viene dado por:

∆(a1 ⊗ · · · ⊗ an) =n∑

i=0

(a1 ⊗ · · · ⊗ ai)⊗ (ai+1 ⊗ · · · ⊗ an).

Tanto el producto como el coproducto son morfismos de dga-modulos asociativos que ad-miten por unidad a η y por counidad a ξ respectivamente, por lo que tenemos en el modulotensorial estructuras de dga-algebra y de dga-coalgebra. Ninguna de las dos estructurasverifica la condicion de Hopf, por lo que nos referiremos a ellos por T a(M) y T c(M)respectivamente.

Todo morfismo de dg-modulos f : M → N induce un morfismo T (f) : T (M)→ T (N)de dga-modulos que actua sobre elementos homogeneos como

T (f)(a1 ⊗ · · · ⊗ an) = f⊗n(a1 ⊗ · · · ⊗ an).

Introduzcamos ahora la nocion de construccion bar de una dga-algebra dada A, denotadapor B(A).

Definicion 1.25. Dada A una dga-algebra, se define la construccion bar de A como ladga-coalgebra que procede del modulo tensorial de T c(s(A)),

(B(A), dB, ∆B, ξB, ηB) = (T c(s(A)), dt + ds, ∆T , ξT , ηT ).

Dado un elemento s(a1) ⊗ · · · ⊗ s(an) ∈ B(A), lo denotaremos por [a1| . . . |an]. Sedira homogeneo si para todo 1 ≤ i ≤ n, ai es homogeneo. Denotaremos por [ ] = 1 ∈ Λ.

La diferencial total dB es la suma de las diferenciales simplicial

ds[a1| · · · |an] =n−1∑i=1

(−1)ei [a1| . . . |µA(ai, ai+1)| . . . |an]+

+ξ(a1)[a2| · · · |an] + (−1)enξ(an)[a1| · · · |an−1]

y tensorial

dt[a1| . . . |an] = −n−1∑i=1

(−1)ei−1[a1| · · · |d(ai)| · · · |an]


donde ei = i + |a1|+ · · ·+ |ai|.

El grado simplicial de un elemento se define como

|[a1| . . . |an]|s = n,

y el grado de un elemento

|[a1| . . . |an]| = |[a1| . . . |an]|t + n.

El coproducto es el del modulo tensorial

∆B : B(A)→ B(A)⊗B(A)

[a1| · · · |an]→n∑

i=0

[a1| · · · |ai]⊗ [ai+1| · · · |an].

En particular, ambas diferenciales son coderivaciones con respecto al coproducto.

Definicion 1.26. Dados p y q no negativos y no nulos a la vez, un (p, q)-shuffle es unapermutacion π de los p + q − 1 primeros enteros, 0, 1, . . . , p + q − 1, de modo que

π(i) < π(j), si i < j ≤ p− 1 o p ≤ i < j ≤ p + q − 1 .

Si definimos por

αi = π(i− 1), i = 1, . . . , p ; βj = π(p + j − 1), j = 1, . . . , q,

denotaremos cada (p, q)-shuffle por un par (α, β), en referencia a las sucesiones αii yβjj . La signatura del shuffle (α, β) es

sg(α, β) =

p∑i=1

(αi − (i− 1)).

Ası pues, en caso de que A sea una dga-algebra conmutativa, B(A) hereda la estructurade dga-algebra de Hopf gracias al producto shuffle ∗ : B(A) ⊗ B(A) → B(A), definidopor

[a1| · · · |am] ∗ [b1| · · · |bn] =∑

π

(−1)sg(α,β)[cπ1 | · · · |cπm+n ],

donde la suma esta definida para todos los π ∈ (m, n)− shuffles.

La homologıa de una dga-algebra A considerada como dg-modulo se conoce como 0-homologıa de A, la cual no tiene en cuenta la estructura multiplicativa subyacente de A.Ası pues, dado que el producto de A interviene en la diferencial de la construccion barB(A), se define la 1-homologıa de A como la homologıa de la construccion bar asociada.


Definicion 1.27. Dada B(A) la construccion bar de A, definimos la construccion barnormalizada BN(A) como el cociente

BN(A) =B(A)

s(B(A))

donde s(B(A)) es el subconjunto de elementos de B(A) degenerados, es decir, aquellosde la forma [a1| · · · |ai|1| · · · |an] con 1 la unidad del algebra.

En particular, BN(A) es una dga-coalgebra cuyas graduacion, diferencial y coproductoson las inducidas por las de la construccion bar.

Como veremos mas en detalle en el siguiente capıtulo, existe una construccion dual, laconstruccion cobar Ω(C), la cual dada C una dga-coalgebra le asocia una dga-algebra.

Pasemos ahora a la Teorıa de la Perturbacion Homologica. La herramienta clave de estateorıa es la contraccion entre dg-modulos, la cual nos permite relacionar un dg-modulocon otro de menor numero de generadores en cada grado, es decir, “menor”, de modo quese preserve su homologıa.

Mas adelante, veremos bajo que condiciones, si tenemos dga-algebras en vez de dga-modulos, podemos preservar la estructura multiplicativa dada vıa contracciones.

Definicion 1.28. Dados N y M dga-modulos, una contraccion r es una 5-tuplar : N, M, f, g, φ, donde f : N → M (proyeccion) y g : M → N (inclusion) sonmorfismos de dga-modulos de grado cero, φ : N → N es un morfismo de grado +1(operador de homotopıa) verificandose las relaciones:

fg = 1, φd + dφ + gf = 1, φg = 0, fφ = 0, φφ = 0.

N se suele llamar dg-modulo mayor y M dg-modulo menor. En particular, N se puededescomponer como una suma directa N = M ⊕ D, donde D es acıclico, por lo que lashomologıas de N y M coinciden. A veces denotaremos dicha contraccion por N ⇒M .

A continuacion, presentamos varios ejemplos simples de contracciones

La contraccion trivial de un dga-modulo N , r : N, N, 1N , 1N , 0.

La iso-contraccion, que se define a partir de un isomorfismo de dga-modulos,f : N →M , r : N, M, f, f−1, 0.


Ademas, con respecto a las operaciones basicas del algebra homologica, dadas doscontracciones r1 : N1, M1, f1, g1, φ1 y r2 : N2, M2, f2, g2, φ2, se puede definirde modo natural

la contraccion suspension s(r1) : s(N1), s(M1), s(f1), s(g1), s(φ1);

la contraccion ξ1 : kerξN1 , kerξM1 , f1, g1, φ1; donde, abusando de la notacion,f1, g1 y φ1 representan las restricciones de los morfismos correspondientes;

en caso de que M1 = N2, la contraccion composicion

r2r1 : N1, M2, f2f1, g1g2, φ1 + g1φ2f1;

la contraccion producto tensorial,

r1 ⊗ r2 : N1 ⊗N2, M1 ⊗M2, f1 ⊗ f2, g1 ⊗ g2, φ1 ⊗ g2f2 + 1N1 ⊗ φ2;

la generalizacion de la contraccion producto tensorial,

r⊗n : N⊗n, M⊗n, f⊗n, g⊗n, φ[r,n],

donde el operador de homotopıa φ[r,n] esta definido como:

φ[r,n] =n−1∑i=0

φ[r,n,i],

φ[r,n,i] = 1⊗iN ⊗ φ⊗ (gf)⊗(n−i−1).

En el caso i = 0, se entiende que 1⊗0N = 1Λ, e igualmente, si i = n− 1,

(gf)⊗(n−i−1) = (gf)⊗0 = 1Λ.

Estudiemos ahora el caso de contracciones de dga-algebras, clasificandolas dependiendode la compatibilidad con las estructuras multiplicativas subyacentes (ver [Rea00]).

Definicion 1.29. Sean A, A′ dga-algebras (resp. dga-coalgebras) y r una contraccion dedga-modulos. El operador de homotopıa φ es una homotopıa de algebras

µAφ[⊗2] = φµA (resp.∆Aφ = φ[⊗2]∆A),

donde φ[⊗2] = 1⊗ φ + φ⊗ gf .


Un modo sencillo de ver que un operador de homotopıa no es una homotopıa de algebrases el siguiente lema:

Lema 1.1. [Rea00] Dada r : A, A′, f, g, φ una contraccion de algebras, si la composi-cion

φµAφ[r,2] 6= 0,

entonces φ no es una homotopıa de algebras.

Definicion 1.30. Sean A, A′ dga-algebras y r una contraccion de dga-modulos.

El operador de homotopıa φ es una cuasi-homotopıa de algebras si verifica lasrelaciones

φµA(φ⊗Λ φ) = 0, φµA(g ⊗Λ φ) = 0, φµA(φ⊗Λ g) = 0.

La proyeccion f es una cuasi-proyeccion de algebras si verifica las relaciones

fµA(φ⊗Λ φ) = 0, fµA(g ⊗Λ φ) = 0, fµA(φ⊗Λ g) = 0.

Nota: Observar que el producto de A′ no interviene en las definiciones anteriores.

Definicion 1.31. Se dice que r es:

una contraccion de algebras completa si f y g son morfismos de dga-algebras y φes una homotopıa de algebras;

una contraccion de algebras casi-completa si f y g son morfismos de dga-algebrasy φ es una cuasi-homotopıa de algebras;

una contraccion de algebras semi-completa si f es una cuasi-proyeccion de alge-bras, g es un morfismo de dga-algebras y φ es una cuasi-homotopıa de algebras.

De hecho, se tiene que contraccion de algebras

completa⇒ casi-completa⇒ semi-completa.

En general, los recıprocos no son ciertos, para ver ejemplos de contracciones semi-com-pletas que no son casi-completas y contracciones casi-completas que no son completasver [GLS91], [EM54] y [Rea00].

Analogamente, se puede hablar de contracciones de dga-coalgebras dependiendo de lacompatibilidad entre la contraccion y las estructuras comultiplicativas subyacentes.


Definicion 1.32. Sean C, C ′ dga-coalgebras y r una contraccion de dga-modulos.

El operador de homotopıa φ es una cuasi-homotopıa de coalgebras si verifica lasrelaciones

(f ⊗ φ)∆Cφ = 0; (φ⊗ φ)∆Cφ = 0; (φ⊗ f)∆Cφ = 0.

La inyeccion g es una cuasi-inyeccion de coalgebras si verifica las relaciones

(f ⊗ φ)∆Cg = 0; (φ⊗ φ)∆Cg = 0; (φ⊗ f)∆Cg = 0.

Nota: Observar que el coproducto de C ′ no interviene en las definiciones anteriores.

Definicion 1.33. Se dice que r es:

una contraccion de coalgebras completa si f y g son morfismos de dga-coalgebrasy φ es una homotopıa de coalgebras;

una contraccion de coalgebras casi-completa si f y g son morfismos de dga-coalge-bras y φ es una cuasi-homotopıa de coalgebras;

una contraccion de coalgebras semi-completa si g es una cuasi-inyeccion de coalge-bras, f es un morfismo de dga-coalgebras y φ es una cuasi-homotopıa de coalge-bras.

Introduzcamos ahora el concepto de perturbacion, para posteriormente enunciar el resul-tado principal de esta teorıa: el Lema de Perturbacion Basico. Una vez introducido dicholema, veremos que tipos de contracciones se preservan por perturbacion y cuales trans-fieren las estructuras multiplicativas de la dga-algebra mayor adecuadamente.

Definicion 1.34. Dado N un dga-modulo, una perturbacion de N es un morfismo demodulos graduados δ : N → N de grado −1, tal que (d + δ)2 = 0 y ξδ = 0.

Definicion 1.35. Dado N un dga-modulo y f : N → N un morfismo, se dice que f espuntualmente nilpotente si para todo x ∈ N , existe nx ∈ N tal que fnx(x) = 0.

Definicion 1.36. Un dato de perturbacion de la contraccion r : N, M, f, g, φ es unaperturbacion del dga-modulo N , tal que φδ es puntualmente nilpotente.


Teorema 1.2. [Bro67][Lema de Perturbacion Basico. BPL] Sean r : N, M, f, g, φ unacontraccion y δ : N → N un dato de perturbacion de r. Entonces, se puede definir unanueva contraccion

rδ : (N, dN + δ), (M, dM + dδ), fδ, gδ, φδ

donde:

dδ = fδδ∑r

g, fδ = f(1− δδ∑r

φ), gδ =δ∑r

g, φδ =δ∑r

φ,

y∑δ

r =∑

i≥0(−1)i(φδ)i = 1− φδ + φδφδ − · · ·+ (−1)i(φδ)i + · · ·

Corolario 1.3. En las condiciones del teorema anterior:

Si f verifica que fδφ = 0, entonces fδ = f y dδ = fδg.

Si g verifica que φδg = 0, se tiene que gδ = g y dδ = fδg.

Igualmente se puede establecer un lema recıproco, en el que se modifica la diferencial deldga-modulo pequeno, obteniendose una nueva contraccion.

Teorema 1.4 (Lema de Perturbacion Inverso. IPL). Sean r : N, M, f, g, φ una con-traccion y δ : M → M una perturbacion de M . Entonces, se puede definir una nuevacontraccion

rδ : (N, dN + dδ), (M, dM + δ), f, g, φ

donde el unico morfismo que cambia es la diferencial del dg-modulo N , la cual vienedada por la formula dδ = gδf .

En [GLS91] se prueba que dadas una contraccion de algebras completa r y un dato deperturbacion de algebras δ de r, la contraccion resultante es una contraccion de algebrascompleta.Ademas, para el caso de una contraccion de algebras casi-completa o semi-completa setiene que al perturbarla como mınimo es una contraccion de algebras semi-completa, esdecir:

Las contracciones de algebras completas se preservan por perturbacion, mientrasque la composicion y producto tensorial de este tipo de contracciones dan lugar acontracciones semi-completas.

Las contracciones de algebras casi-completas se preservan bajo composicion y pro-ducto tensorial, pero la perturbacion degenera en contraccion semi-completa.


Las contracciones de algebras semi-completas se preservan por composicion, pro-ducto tensorial y perturbacion.

Una propiedad importante a destacar, es que dada una contraccion de dga-algebras semi-completa, el producto de la dga-algebra menor esta dado por la formula µA′ = fµAg⊗2,

r semi-completa⇒ µA′ = fµAg⊗2.

Por lo que en capıtulos posteriores estaremos interesados en estudiar el tipo de contrac-cion con el fin de ver la transferencia de las estructuras subyacentes.

1.2. Nociones de Topologıa SimplicialDespues de establecer las nociones basicas de algebra homologica necesarias, podemosadentrarnos en la Topologıa Simplicial con el fin de poder describir espacios topologicoscon la ayuda de modelos combinatorios coherentes. Para ello, expondremos una serie dedefiniciones y resultados.

Definicion 1.37. Dado K un conjunto, es un conjunto simplicial si K = Knn≥0, dondeKn son conjuntos y de modo que para todo n existen

operadores cara δni : Kn → Kn−1, 0 ≤ i ≤ n,

operadores degeneracion sni : Kn → Kn+1, 0 ≤ i ≤ n, verificando las relaciones

simpliciales:

• δiδj = δj−1δi si i < j;

• sisj = sj+1si si i ≤ j;

• δisj =

sj−1δi si i < j;1Kn = δi+1sj si i = j;sjδi−1 si i > j + 1.

Los elementos de Kn se llaman n-sımplices. Ademas se dice que x es un sımplice dege-nerado si x = siz, para algun sımplice z y operador de degeneracion si; en caso contrariose dice que x es no degenerado.

Definicion 1.38. Un conjunto simplicial K es reducido si tiene un unico sımplice en K0.

1.2. Nociones de Topologıa Simplicial 15

Definicion 1.39. Como ejemplo, sea X un espacio topologico, se define el conjunto sim-plicial singular de X , S(X), como el conjunto simplicial formado por los conjuntos den-sımplices singulares

Sn(X) = f : |∆n| → X continuas

y las aplicaciones cara y degeneracion (0 ≤ i ≤ n) siguientes

δi(f(x)) = f(εi(x))

si(f(x)) = f(di(x)).

Definicion 1.40. Un morfismo simplicial f : K → L entre dos conjuntos simpliciales esuna familia de aplicaciones fq : Kq → Lqq≥0 las cuales conmutan con los operadorescara y degeneracion, i.e.,

fqδi = δifq+1, 0 ≤ i ≤ q, ∀q ≥ 0;

fqsi = sifq−1, 0 ≤ i ≤ q, ∀q ≥ 0.

Definicion 1.41. Un punto base ? de K es el subconjunto simplicial formado por unelemento de K0, ?, y todas sus degeneraciones.

Cuando no haya lugar a dudas, identificaremos el punto base con el elemento ? de K0.

Definicion 1.42. Un conjunto simplicial con punto base es un par (K, ?), donde K es unconjunto simplicial y ? es un punto base de K.

Definicion 1.43. Sea K un conjunto simplicial. Se define el Λ-modulo libre generado porK como el Λ-modulo simplicial

[ΛK]n = Λ[Kn] =

∑ax∈Λ

axx : x ∈ Kn, ax = 0 para casi todo x

donde los operadores cara y degeneracion son los morfismos de Λ-modulos inducidos porlos operadores cara y degeneracion de K.

Definicion 1.44. [May67] Sea K un conjunto simplicial. Se define el complejo de cadenasasociado a K, C?(K), como el dg-modulo (Λ[K], d)

. . . . . . ∂n+1// ΛKn

∂n// ΛKn−1

∂n−1// ΛKn−2

∂n−2// . . . . . . ∂2

// ΛK1∂1

// ΛK0

donde∂n : ΛKn → ΛKn−1

∂n(∑

axx) =n∑

i=0

(−1)iδni (

∑axx).


Definicion 1.45. La homologıa de K, H(K) se define como

Hn(K) = Hn(C∗(K)), ∀n ≥ 0.

Si (K, ?) es un conjunto simplicial con punto base, entonces C?(K) es un dga-modulodonde la aumentacion esta definida por

ξk(x) =

1 si x ∈ K0,0 en otro caso.

y la coaumentacion esta definida por ηK(1) = ?.

Definicion 1.46. Sean K un Λ-modulo simplicial y sK el submodulo generado por todoslos sımplices degenerados. Entonces, se verifica que

dn(sK)n ⊂ (sK)n−1,

(K/sK, d) es un dga-modulo, el cual se denomina submodulo normalizado de K, deno-tado por KN .

Definicion 1.47. Dado K un conjunto simplicial, se llama complejo de cadenas norma-lizado de K, CN

? (K), al normalizado del Λ-modulo simplicial C?(K).

La homologıa de K se puede calcular indistintamente tanto a partir del complejo de ca-denas C?(K) como del complejo de cadenas normalizado CN

? (K).

Definicion 1.48. Dados los conjuntos simpliciales K y L, el producto cartesiano, K×L,es el conjunto simplicial (K × L)n = Kn × Ln con

δi(x, y) = (δiKx, δiLy); si(x, y) = (siKx, siLy).

Definicion 1.49. Analogamente, se define el producto tensorial de los complejos de ca-denas asociados, C?(K)⊗ C?(L), como el dg-modulo graduado

(C?(K)⊗ C?(L))r =∑

p+q=r

Cp(K)⊗ Cq(L)

con diferencial definida por

d(kp, lq) = dKkp ⊗ lq + (−1)pkp ⊗ dLlq.

Definicion 1.50. Sean K y K ′ dos modulos simpliciales aumentados. Entonces, se puededefinir


los morfismos de dg-modulos de grado cero

• el operador de Alexander-Whitney

aw : (K ×K ′)N → KN ⊗K ′N

aw(xn, yn) =n∑

i=0

∂i+1 · · · ∂nxn ⊗Λ ∂0 · · · ∂i−1yn;

• operador de Eilenberg-Mac Lane

eml : KN ⊗K ′N → (K ×K ′)N ,

eml(xp ⊗Λ yq) =∑

(α,β)∈(p,q)−shuffles

(−1)σ(α,β)(sβq . . . sβ1xp, sαp . . . sα1yq).

El morfismo de grado +1, el operador de homotopıa de Shi

shi : (K ×K ′)N → (K ×K ′)N

shi(xn, yn) =∑(−1)n−p−q+sg(α,β)(sβq+n−p−q . . . sβ1+n−p−qsn−p−q−1∂n−q+1 . . . ∂nxn,

sαp+1+n−p−q . . . sα1+n−p−q∂n−p−q . . . ∂n−q−1yn),

donde la suma esta considerada para todos los ındices

0 ≤ q ≤ n− 1, 0 ≤ p ≤ n− q − 1,

donde (α, β) ∈ (p + 1, q)− shuffles y sg(α, β) =∑

[αi − (i− 1)].

Teorema 1.5. [EM54] En las condiciones anteriores, la 5-tupla

EZK,K′ : (K ×K ′)N , KN ⊗K ′N , awK,K′ , emlK,K′ , shiK,K′

es una contraccion.

Teorema 1.6. [EM54][Teorema de Eilenberg-Zilber] Sean X y Y dos conjuntos simpli-ciales. Entonces, la 5-tupla

EZC?(X),C?(Y ) : C?(X × Y ), C?(X)⊗ C?(Y ), aw, eml, shi

define una contraccion.


Es importante destacar que las contracciones obtenidas en los dos ultimos teoremas soncontracciones de algebras semi-completas en el caso de tener grupos simpliciales, en vezde conjuntos simpliciales (ver [Alv97]), donde la estructura multiplicativa viene dada enfuncion del morfismo de Eilenberg-Mac Lane.

Definicion 1.51. Dado K un conjunto simplicial, el coproducto de Alexander-Whitney∆K : CN

? (K) → CN? (K) ⊗ CN

? (K) se define como la composicion de la aplicaciondiagonal CN

? (K)→ CN? (K)× CN

? (K) y el operador de Alexander-Whitney aw,

∆K(xn) =n∑

i=0

∂i+1 · · · ∂nxn ⊗Λ ∂0 · · · ∂i−1xn.

Ademas, si K es un conjunto simplicial con punto base, el coproducto de Alexander-Whitney convierte a CN

? (K) en una dga-coalgebra.

Definicion 1.52. Si G es un grupo simplicial, se define el producto de Eilenberg-MacLane

µG : CN? (G)⊗ CN

? (G′)→ CN? (G)

como la composicion del operador de Eilenberg-Mac Lane eml junto con el morfismo dedg-modulos inducido por el producto de G, : CN

? (G×G)→ CN? (G).

µG(xp, yq) =∑


(−1)σ(α,β)sβq . . . sβ1xp sαp . . . sα1yq.

El producto de Eilenberg-Mac Lane convierte a CN? (G) en una dga-algebra, que es con-

mutativa, si G lo es.

Veamos una nocion dual a la de conjunto simplicial que utilizaremos mas adelante endiversas construcciones algebraicas.

Definicion 1.53. [GJ99] Dado K un conjunto, es un conjunto cosimplicial si K = Knn≥0,donde Kn son conjuntos y para todo n existen

operadores cocara di : Kn−1 −→ Kn, 0 ≤ i ≤ n,

operadores codegeneracion si : Kn+1 −→ Kn, 0 ≤ i ≤ n, satisfaciendo las rela-ciones:

• djdi = didj−1 si i < j.

• sjsi = sisj+1 si i ≤ j.


• sjdi =

disj−1 si i < j;1Kn = sjdi+1 si i = j;di−1sj si i > j + 1.

Definicion 1.54. Dados K y L conjuntos cosimpliciales, se define el producto cartesiano,K×L, como el conjunto cosimplicial (K×L)n = Kn×Ln donde los operadores cocaray codegeneracion vienen dados por

di(k × l) = di(k)× di(l); si(k × l) = si(k)× si(l).

Definicion 1.55. Dados K un conjunto cosimplicial y Λ un anillo, se define el Λ-modulocosimplicial generado por K como

(Λ[K])n = Λ[Kn]

cuya codiferencial es el morfismo de grado +1, determinado por los operadores cocara

d := dnn≥0, dondedn : Λ[K]n → Λ[K]n+1

dn =n+1∑i=0

(−1)idi

A partir de ahora, denotaremos al complejo de cocadenas asociado (Λ[K], d) por C∗(K).

· · · dn−2// Λ[K]n−1dn−1 // Λ[K]n

dn // Λ[K]n+1dn+1 // Λ[K]n+2

dn+2 // · · ·

Definicion 1.56. [GJ99] El complejo de cocadenas normalizado, C∗N(K) es el modulo

graduado libre generado en cada grado por

NsK = Λ[Ks ∩ kers0 ∩ · · · ∩ kerss−1].

Definicion 1.57. Dados (C, dC) y (D, dD) dos complejos de cocadenas, se define unacontraccion entre ellas, r, como la 5-tupla C, D, f, g, φ donde f, g son morfismos degrado cero, φ : (C, dC) → (C, dC) es un morfismo de grado −1; verificandose las rela-ciones:

fg = 1D, fφ = 0, φg = 0, φ2 = 0, φdC + dCφ + gf = 1C .

Capıtulo 2

Estudio y control de A∞-estructuras

El origen de las A∞-algebras surge como generalizacion de la falta de asociatividad en-contrada por J. D. Stasheff (ver [Sta63]) en un morfismo candidato a ser el producto delespacio de lazos de un espacio topologico.

Ejemplo 2.1. Sea (X, ∗) un espacio topologico con punto base y sea ΩX el espacio delazos de X: un punto de ΩX es una aplicacion continua f : S1 → X , llevando el puntobase de la circunferencia en el punto base de X , ∗.

Si consideramos como multiplicacion

µ2 : ΩX × ΩX → ΩX

(f1, f2) −→ f1 ∗ f2,

donde ∗ es el producto de caminos usual

µ2 no es asociativo, pero si asociativo salvo homotopıa

(f1 ∗ f2) ∗ f3 f1 ∗ (f2 ∗ f3)

Lo que nos lleva automaticamente a que el complejo de cadenas asociado no tenga estruc-

21

22 Capıtulo 2. Estudio y control de A∞-estructuras

tura de algebra “en modo estricto”.

De hecho, muestra que al considerar el complejo de cadenas de dicho espacio topologico,el morfismo inducido µ2 no es asociativo a pesar de ser compatible con diferencial d(dµ2 = µ2(d⊗ 1 + 1⊗ d)) y tener grado cero, pero si que es asociativo salvo homotopıaµ3, µ3 : M⊗3 →M , es decir, verifica la ecuacion

µ3d + dµ3 = µ2(µ2 ⊗ 1)− µ2(1⊗ µ2).

Ası pues, esta nocion da lugar en los anos sesenta, a la definicion de una A∞-algebra, lacual podrıamos describir a grandes rasgos como un dg-modulo M junto con una familiade operaciones µi : M⊗i → M, i ≥ 2, las cuales verifican la propiedad generalizada deser “asociativas salvo homotopıa”.

Desde entonces, diversos trabajos han dado respuestas parciales sobre la naturaleza detales objetos, tanto desde el punto de vista de la Teorıa de Perturbacion, como desdela Teorıa de Operads, sin olvidar el enfoque totalmente novedoso de R. Umble y S.Saneblidze gracias a la nocion de Permutahedra, en el cual se estudia en profundidadla definicion de A∞-algebra de Hopf.

Nuestro objetivo en este capıtulo es mostrar como controlar la naturaleza de dichos ob-jetos haciendo uso exclusivo de la Teorıa de Perturbacion. Gracias a la dualidad en ladefinicion y en las propiedades de las A∞-algebras y de las A∞-coalgebras, nos referire-mos a ellas de modo generico como A∞-estructuras.

Ası pues, mostraremos a continuacion algunas nociones basicas, al igual que teoremas ycomentarios clarificadores al respecto, para luego adentrarnos en resultados mas potentesque nos permitan anadir informacion, hasta ahora no conocida.

De hecho, como resultados importantes queremos mencionar un teorema dual al de lacontraccion Bar, al igual que diversos teoremas que nos garantizan que el producto tenso-rial de A∞-estructuras con estructuras no afecta a la naturaleza de las primeras, es decir,las operaciones no nulas siguen siendo las de partida y no aparece ninguna mas.

2.1. Propiedades principalesVeamos pues en esta seccion algunos aspectos basicos de las A∞-estructuras.

Definicion 2.1. Una A∞-algebra (resp. A∞-coalgebra) es un modulo graduado A (resp.C), dotado de una familia de operaciones de modulos graduados µi : A⊗i → A (resp.

2.1. Propiedades principales 23

∆i : C → C⊗i), de grado i− 2, las cuales satisfacen para todo i ≥ 1 las relaciones:

i∑n=1

i−n∑k=0

(−1)n+k+nkµi−n+1(1k ⊗ µn ⊗ 1⊗i−n−k) = 0.

(resp.i∑

n=1

i−n∑k=0

(−1)n+k+nk(1⊗i−n−k ⊗∆n ⊗ 1k)∆i−n+1 = 0.)

Si inspeccionamos la formula anterior en bajo nivel obtenemos la siguiente interpretacion

µ1µ1 = 0⇒ µ1 es una diferencial.

µ1µ2 = µ2(µ1 ⊗ 1 + 1⊗ µ1), es decir, µ2 es compatible con la diferencial.

µ3(µ1 ⊗ 12 + 12 ⊗ µ1 + 1⊗ µ1 ⊗ 1) + µ1µ3 = µ2(µ2 ⊗ 1− 1⊗ µ2).

A. Proute muestra en su tesis [Pro84] que la siguiente definicion es equivalente a la ante-rior:

Definicion 2.2. Una A∞-algebra es un modulo graduado junto con una aplicacion linealm : T (sM) → M , tal que el morfismo d = −(s(mT (s−1)))[ ] hace de T (s(M)) unadga-coalgebra.

(T (s(M)), d + dt) se conoce como la construccion Bar Tilde de M , B(M), definida porJ. D. Stasheff en [Sta63], la cual coincide como modulo graduado con la construccion Bar.

En particular, desde el punto de vista de la Teorıa de la Perturbacion podemos identificaruna A∞-estructura con una contraccion gracias a los siguientes resultados que pasamos aenunciar a continuacion.

Dada una contraccion de una estructura a un dg-modulo, el dg-modulo menor here-da una A∞-estructura.

Teorema 2.1. [GLS91] Dados A una dg-algebra conexa, con producto µ, M undg-modulo y r : A, M, f, g, φ una contraccion entre ellos, M adquiere una es-tructura de A∞-algebra inducida por la contraccion r dada por la formula

µn = (−1)(n−1)fµ[1]φ[⊗2] · · ·φ[⊗(n−1)]µ[n−1]g⊗n,

donde

µ[k] =k−1∑i=0

(−1)i−11⊗i ⊗ µ⊗ 1⊗k−i−1.


Teorema 2.2. [GLS91] Dados C una dg-coalgebra simplemente conexa, con co-producto ∆, M un dg-modulo y r : C, M, f, g, φ una contraccion de dga-modu-los, el dg-modulo M adquiere una estructura de A∞-coalgebra inducida por lacontraccion r dada por la formula

∆n = (−1)[n/2]+n+1f⊗n∆[n]φ[⊗(n−1)] · · ·φ⊗2∆[2]g,

donde

∆[k] =k−2∑i=0

(−1)i1⊗i ⊗∆⊗ 1⊗k−i−2.

Analogamente, dada una A∞-estructura existe una contraccion y una estructura quela inducen.

Teorema 2.3. [Jim03] A es una A∞-algebra si y solo si existe una contraccionr : A′, A, f, g, φ, de una dga-algebra conexa A′ al dga-modulo A, tal que laaplicacion del “tensor trick” a la contraccion r, da como resultado la estructurade A∞-algebra original.

Teorema 2.4. [Jim03] C es una A∞-coalgebra si y solo si existe una contraccionr : C ′, C, f, g, φ, de una dga-coalgebra conexa C ′ al dga-modulo C, tal que laaplicacion del “tensor trick” a la contraccion r, da como resultado la estructurade A∞-coalgebra original.

En particular, en las demostraciones de los teoremas anteriores, se prueba que ladga-algebra que induce la A∞-algebra en M es ΩB(M), donde Ω es la construc-cion cobar definida en la siguiente seccion y la dga-coalgebra que induce la A∞-coalgebra en M es BΩ(M). Ademas, cualquier algebra que induzca la A∞-algebrade partida en M es homotopicamente equivalente como algebra a ΩB(M).

Tambien es importante destacar una compatibilidad en la transferencia de estruc-turas al establecer una contraccion entre la construccion Bar y la construccion BarTilde, explıcitamente

Teorema 2.5. [Rea00] Sea r : A, M, f, g, φ una contraccion donde A es unadga-algebra conmutativa y M un dg-modulo conexo. Entonces

B(r) : B(A), B(M), B(f), B(g), B(φ)

es una contraccion de algebras semi-completa.

De hecho, la contraccion de salida es la que dota a M de la estructura de A∞-algebra, heredada mediante r de la dga-algebra A.

2.2. Contracciones que preservan las estructuras 25

Por tanto, como ya hemos mencionado con anterioridad, para nosotros es equivalentehablar de A∞-estructuras o de contracciones en las que el dg-modulo mayor es una es-tructura.

En casos especiales en que el dg-modulo menor tiene estructura de (co)algebra, depen-diendo de las propiedades de los morfismos involucrados en la contraccion, puede quedicha estructura sea compatible con los morfismos tal y como mostramos en el capıtu-lo primero, por lo que no obtendrıamos una A∞-estructura en el, sino una transferencia(co)multiplicativa.

2.2. Contracciones que preservan las estructurasComo ya introdujimos en el capıtulo anterior, el saber cuando una contraccion preservao no la estructura subyacente es uno de nuestros objetivos con el fin de prever cuando,dada una contraccion, obtendremos o no en el dg-modulo menor una A∞-estructura y deque tipo.

Ası pues, mostramos aquı dos contracciones especiales desde el punto de vista multiplica-tivo:

la “contraccion Bar”, tanto desde el punto de vista de algebra como de coalgebra,preserva la estructura en el caso de dga-algebras conmutativas.

la “contraccion Cobar”, la cual definiremos y probaremos que verifica las propieda-des duales de la anterior, siempre y cuando tengamos dga-coalgebras conmutativas.

2.2.1. Estudio multiplicativo de la “contraccion Bar”En los anos cincuenta, Eilenberg y Mac Lane estudiaron exhaustivamente como definiruna contraccion entre la construccion Bar del producto tensorial de dos algebras y el pro-ducto tensorial de las construcciones bares correspondientes, probando el teorema queenunciamos unas lıneas mas abajo.

De hecho, en [EM53] se detalla el minucioso proceso de construccion en el que la piedraangular de esta prueba es la estructura simplicial subyacente en el objeto algebraico B(A),junto con el Teorema de Eilenberg-Zilber (1.6).

Teorema 2.6. [EM53] Dadas A y A′ dos dga-algebras conmutativas, existe una contrac-cion

rB⊗ : BN(A⊗ A′), BN(A)⊗ BN(A′), fB⊗, gB⊗, φB⊗,dada por:


fB⊗, actuando sobre elementos homogeneos [a1 ⊗ a′1| · · · |an ⊗ a′n] de B(A⊗ A′),es

fB⊗[a1 ⊗ a′1| · · · |an ⊗ a′n] =n∑

i=0

ξB(A)(ai+1 · · · an)ξB(A′)(a′1 · · · a′i)[a1| · · · |ai]⊗ [a′i+1| · · · |a′n],

con i = 0, [a1| · · · |ai] = 1 ∈ BN(A); i = n, [a′i+1| · · · |a′n] = 1 ∈ BN(A′).

gB⊗, tras identificar BN(A) y BN(A′) como subalgebras de BN(A⊗ A′), vıa

[a1| · · · |an] = [a1 ⊗ 1| · · · |an ⊗ 1], [a′1| · · · |a′n] = [1⊗ a′1| · · · |1⊗ a′n]

se define como

gB⊗(u⊗ v) = u ? v, u ∈ BN(A), v ∈ BN(A′).

donde ? es el producto shuffle definido en el capıtulo 1.

φB⊗ es la composicionφB⊗ = λ−1shiλ,

donde λ es el isomorfismo de dg-modulos

λ : BN(A⊗ A′)→ BN(A)× BN(A′)

λ[a1 ⊗ a′1| · · · |an ⊗ a′n] = (−1)P

j>k(1+|aj |)(1+|a′k|)[a1| · · · |an]× [a′i+1| · · · |a′n],

con ai y a′i elementos homogeneos y shi el operador de homotopıa definido en elTeorema de Eilenberg-Zilber (1.6).

Desde el punto de vista de algebras, S. Eilenberg y S. Mac Lane probaron que los mor-fismos fB⊗ y gB⊗ son morfismos de dga-algebras. En [Rea00] se tiene que φB⊗ es unacasi-homotopıa de algebras, por lo que dicha contraccion es una contraccion de algebrascasi-completa.

Desde el punto de vista de coalgebras se tiene que gB⊗ es un morfismo de dga-coalgebras,dando lugar a que se preserve la estructura de coalgebra.

Esquema de la demostracion: Dadas las repercusiones que tiene en nuestro trabajo laexistencia de esta contraccion gracias a sus propiedades multiplicativas (un ejemplo claro,es el capıtulo cuatro), veamos los pasos fundamentales que tuvieron que dar S. Eilenbergy S. Mac Lane en sus artıculos [EM53] y [EM54] para probar dicho teorema.


descripcion de la estructura simplicial de la construccion Bar;

demostracion del teorema de Eilenberg-Zilber;

establecimiento de un isomorfismo simplicial λ : BN(A⊗A′)→ (B(A)×B(A′))N ;

establecimiento de un isomorfismo de grupos

κ : BN(A)⊗ BN(A′)→ BN(A) BN(A′),

donde BN(A)BN(A′) es el producto tensorial considerada como unica diferencialla diferencial simplicial;

comprobacion de que los morfismos f y g conmutan con la diferencial tensorial,obteniendo ası la contraccion deseada como la composicion

BN(A⊗ A′)λ // (B(A)× B(A′))N

f ..BN(A) BN(A′)

gnn

κ // BN(A)⊗ BN(A′)

Ası pues, iterando el proceso, se puede establecer una contraccion entre BN(⊗i∈IAi) y⊗i∈IBN(Ai), en donde las estructuras multiplicativas y comultiplicativas se transfieran.

r⊗B : BN(⊗i∈IAi)→ ⊗i∈IBN(Ai) contraccion que preserva la estructura de coalgebra.

2.2.2. Estudio multiplicativo de la “contraccion Cobar”

En este apartado ponemos de manifiesto la existencia de un teorema dual al teorema deEilenberg-Zilber para el caso de estructuras cosimpliciales, el cual nos da como aplicacionel teorema que nos establece una contraccion entre la construccion cobar reducida delproducto tensorial de dos coalgebras conmutativas y el producto tensorial de las cons-trucciones cobares reducidas correspondientes.

Definicion 2.3. Dada C una dga-coalgebra, se define la construccion cobar de C, Ω(C),como la dga-algebra del modulo tensorial de T a(s−1(C)),

(Ω(C), dΩ, µΩ, ξΩ, ηΩ) = (T a(s−1(C)), dt + dc, µT , ξT , ηT ).

Dado un elemento s−1(c1) ⊗ · · · ⊗ s−1(cn) ∈ Ω(C), lo denotaremos por 〈c1| · · · |cn〉. Sedira homogeneo si para todo 1 ≤ i ≤ n, ci es homogeneo. Denotaremos por 〈〉 = 1 ∈ Λ.


La diferencial total dΩ es la suma de las diferenciales cosimplicial

dcos =n∑

i=1

(−1)ei〈c1| · · · |ci−1|∆(ci)| · · · |cn〉

+ 〈η(1)|c1| · · · |cn〉+ (−1)en〈c1| · · · |cn|η(1)〉,y tensorial

dt〈c1| · · · |cn〉 = −n∑

i=1

(−1)ei−1〈c1| · · · |d(ci)| · · · |cn〉,

donde ei = |c1|+ · · ·+ |ci|+ i.

El grado cosimplicial de un elemento se define como

|〈c1| · · · |cn〉|c = −n,

y el grado de un elemento

|〈c1| · · · |cn〉| = |〈c1| · · · |cn〉|t − n.

El producto es el del modulo tensorial

µΩ : Ω(C)⊗ Ω(C)→ Ω(C)

〈c1| · · · |ci〉 ⊗ 〈ci+1| · · · |cn〉 → 〈c1| · · · |cn〉.En caso de que C sea conmutativa, se puede definir un coproducto en la construccion co-bar, convirtiendola en una algebra de Hopf. Dicho coproducto, conocido como coproductoshuffle viene determinado por la formula

∆Ω : Ω(C)→ Ω(C)⊗ Ω(C)

∆〈c1| · · · |cn〉 →∑


〈cα1| · · · |cαp〉 ⊗ 〈cβ1| · · · |cβq〉

Mas explıcitamente, podemos detallar la estructura cosimplicial de la construccion cobargracias a los operadores cocara y codegeneracion siguientes:

di : Ωn(C)→ Ωn+1(C), 0 ≤ i ≤ n + 1 :

d0〈c1| · · · |cn〉 = 〈η(1)|c1| · · · |cn〉,di〈c1| · · · |cn〉 = (−1)|〈c1|···|ci〉|t〈c1| · · · |∆(ci)| · · · cn〉,dn+1〈c1| · · · |cn〉 = (−1)|〈c1|···|cn〉|t〈c1| · · · |cn|η(1)〉.

sj : Ωn(C)→ Ωn−1(C), 0 ≤ j ≤ n− 1 :

s0〈1〉 = 〈〉,sj〈c1| · · · |cn〉 = (−1)|〈c1|···|cj〉|t〈c1| · · · |cj|ξ(cj+1)| · · · |cn〉.


El comprobar que se verifican las relaciones cosimpliciales, es trivial gracias al hecho

(ξ ⊗ 1)∆ = 1C = (1⊗ ξ).

Dada Ω(C) la construccion cobar de C, definimos la construccion cobar normalizadaΩ(C) como la normalizacion del conjunto cosimplicial Ω(C), que coincide con el co-ciente de

Ω(C) =Ω(C)

d(Ω(C))

donde d(Ω(C)) es el subconjunto de elementos de Ω(C) de la forma 〈c1| · · · |ci|1| · · · |cn〉con 1 la counidad de la coalgebra. De hecho, Ω(C) coincide con T a(s−1(Coker(ηC))).

En particular, Ω(C) es una dga-algebra cuyas graduacion, diferencial y producto son lasinducidas por las de la construccion cobar.

El siguiente teorema es uno de los pilares de esta seccion, gracias a el podemos estableceruna contraccion entre la construccion cobar del producto tensorial de dos coalgebras haciael producto tensorial de sus cobares bajo ciertas condiciones.

Teorema 2.7. Sean C y C ′ dos dga-coalgebras conmutativas, existe una contraccion

rΩ : Ω(C ⊗ C ′), Ω(C)⊗ Ω(C ′), fΩ, gΩ, φΩ,

dada por:

fΩ, actuando sobre elementos homogeneos 〈c1⊗ c′1| · · · |cn⊗ c′n〉 de Ω(C ⊗C ′), es

fΩ〈c1 ⊗ c′1| · · · |cn ⊗ c′n〉 =n∑

i=0

ξC(ci+1 · · · cn)ξC′(c′1 · · · c′i)〈c1| · · · |ci〉 ⊗ 〈c′i+1| · · · |c′n〉,

con i = 0, 〈c1| · · · |ci〉 = 1 ∈ Ω(C); i = n, 〈c′i+1| · · · |c′n〉 = 1 ∈ Ω(C ′).

gΩ se define como composicion de dos morfismos: si consideramos elementos ho-mogeneos de las construcciones cobar correspondientes, 〈c1| · · · |cn〉 ∈ Ω(C) y〈c′1| · · · |c′m〉 ∈ Ω(C ′), entonces

gΩ(〈c1| · · · |cn〉 ⊗ 〈c′1| · · · |c′m〉) =∑

(n,m)−shuffles

(−1)sg(α,β)

〈c1|∆(cα1)| · · · |∆(cαm)| · · · |cn〉 ? 〈c′1| · · · |∆(c′β1)| · · · |∆(c′βn

)| · · · |c′m〉


donde ? es el producto definido por el isomorfismo λ detallado en 2.12, que secorresponde con hacer el producto tensorial coordenada a coordenada (salvo sig-no) 〈c1| · · · |cm〉 ? 〈c′1| · · · |c′m〉 = 〈c1 ⊗ c′1| · · · |cm ⊗ c′m〉.

φΩ es la composicionφΩ = λ−1shicλ,

donde λ es el isomorfismo de dg-modulos detallado en 2.12 con ci y c′i elementoshomogeneos y shic el operador de homotopıa definido en el Teorema de Eilenberg-Zilber Cosimplicial (2.10).

Para la demostracion de este teorema, necesitamos seguir los mismos pasos que los es-tablecidos para la construccion Bar, a continuacion pasaremos a detallar y demostrar di-versos lemas que concatenados daran lugar a la demostracion.

El pilar central de toda la argumentacion es el teorema 2.10, dual para conjuntos cosimpli-ciales del teorema de Eilenberg-Zilber, al cual hemos querido “bautizar” como Eilenberg-Zilber Cosimplicial.

Antes de enunciarlo, debemos hacer un estudio mas exhaustivo de los conjuntos cosim-pliciales de la definicion 1.53.

Una de las propiedades fundamentales de los conjuntos simpliciales es que todo sımplicese puede describir de modo unico como degeneracion de un sımplice no degenerado.

Este hecho (fundamental en el caso simplicial), no es cierto, en general, para los conjuntoscosimpliciales, dado que la descomposicion (en terminos duales) no es unica.

En [RR78] se da un criterio para saber cuando esta descomposicion es unica; criterio quepasamos a detallar a continuacion.

Definicion 2.4. Dado K un conjunto cosimplicial e x ∈ Kn se dice que es un puntointerior de K si y ∈ K0 o y ∈ Kn (con n > 0) tal que no es posible describirlo comodiy′, con y′ ∈ Kn−1.

Es claro que todo cosımplice de K que no sea interior, se puede descomponer como ima-gen de un punto interior por un numero finito de cocaras, lo que nos lleva a la definicion

Definicion 2.5. Dado K un conjunto cosimplicial se dice de tipo E-Z si para todo cosım-plice la descomposicion anterior es unica.


Definicion 2.6. Dado K un conjunto cosimplicial se dice que admite puntos cosimpli-ciales si contiene subconjuntos cosimpliciales con exactamente un unico punto en cadadimension.

Lema 2.8. Dado K un conjunto cosimplicial, entonces es de tipo E-Z si y solo si noadmite puntos cosimpliciales.

En particular, una proposicion que se deduce automaticamente es la siguiente.

Proposicion 2.9. Si K es un modulo cosimplicial de tipo E-Z, entonces K se puededescribir como suma directa de los submodulos K = N(K) ⊕ D(K), donde N(K)esta definido en 1.56 y D(K) viene dado por

Dn(K) = Λ〈n−1⋃j=0

dj(Kn−1)〉

Demostracion: Dividamos la prueba en cuatro apartados.

Nn

⋂Dn = 0. Si x ∈ Dn(K), entonces x = dixi, por otro lado, si x ∈ Nn(K),

entonces sjx = 0, ∀j, lo que nos lleva a 0 = six = sidix = xi, lo que lleva a unacontradiccion.

N(K) es submodulo de K. Dado x ∈ Nn(K), se tiene que si(x) = 0 para todoi ∈ 0, . . . , n− 1.

sj(d(x)) = sj

[ n+1∑i=0

(−1)idi(x)

]= sj

[ j−1∑i=0

(−1)idi(x)

]+ sj

[ n+1∑i=j+2

(−1)idi(x)

]

=

j−1∑i=0

(−1)idisj−1(x) +n+1∑

i=j+2

(−1)idi−1sj(x) = 0

D(K) es submodulo de K. Dado x ∈ Dn(K), se tiene que

d(x) =n+1∑i=0

(−1)idix =n+1∑i=0

(−1)i(djxn−1)

=n∑

i=0

(−1)ididjxn−1 + (−1)n+1dn+1djxn−1 ∈ Dn+1(K).

Dado x ∈ Kn, sea i el primer ındice tal que siy 6= 0, entonces y ≡ y − disi(y) =y′(mod.Di). Para todo j < i, sjy′ = sjy − sjdisiy = 0, por lo que siy′ = 0. Esteargumento finaliza la prueba en un numero finito de pasos. Gracias a que K es unconjunto de tipo E-Z, dicha descomposicion es unica.


Teorema 2.10 (Eilenberg-Zilber Cosimplicial). Dados F y K conjuntos cosimplicialesde tipo E-Z, existe una contraccion de cocadenas

CN∗ (F ×K)

awc..CN∗ (F )⊗ CN

∗ (K).emlc

nn

Explıcitamente, las formulas de los morfismos son:

Alexander-Whitney Cosimplicial, awc,

f : CN∗ (F ×K)→ CN

∗ (F )⊗ CN∗ (K)

(an, bn)→n−1∑i=0

si · · · sn−1an ⊗ s0 · · · si−1bn.

Eilenberg-Mac Lane Cosimplicial, emlc,

g : CN∗ (F )⊗ CN

∗ (K)→ CN∗ (F ×K)

(an ⊗ bm)→∑(α,β)

(−1)sg(α,β)(dβm · · · dβ1an, dαn · · · dα1bm),

donde la suma esta hecha sobre los (α, β) ∈ n, m-shuffles.

El operador de homotopıa Shi Cosimplicial, shic, de grado −1,

φ : CN∗ (F ×K)→ CN

∗ (F ×K)

(an, bn)→∑(α,β)

(−1)s1(dβq−1 · · · dβ1sn−q · · · sn−1an,

dαp−1 · · · dα1sn−1−p−q · · · sn−q−2bn),

donde la suma es realizada sobre los (α, β) ∈ p − 1, q − 1-shuffles, tales quep + q = n− 1 y s1 = n− p− q + sg(α, β).

Demostracion: Si denotamos por si = si · · · sn−1 y si = s0 · · · si−1, entonces gracias alas propiedades cosimpliciales, es facil ver que

sidjan−1 =

si · · · sn−2an−1 = sian−1 if i ≤ j;djsi−1 · · · sn−2an−1 = dj si−1an−1 si j < i.

sidjbn−1 =

s0 · · · si−2bn−1 = si−1bn−1 if j ≤ i;dj−is0 · · · si−1bn−1 = dj−isibn−1 si j > i.


Propiedades del morfismo f

• f es un morfismo de grado cero (trivial).

• f conmuta con la diferencial, i.e., df = fd. Para probarlo, describamos fcomo una suma de morfismos fi

f =n∑

i=0

fi : Fn ×Kn → Fi ⊗Kn−i

donde fi(an, bn) = (sian, sibn), entonces es claro que df viene descrita por la

formula

d

n∑i=0

fi = dn∑

i=0

(si, si) =n∑

i=0

i∑j=0

(−1)j(dj si, si) +n−i∑j=0

(−1)j+i(si, djsi)

Mientras que fd esta definida como

n+1∑i=0

n+1∑j=0

(−1)jfi(dj, dj) =

n+1∑i=0

n+1∑j=0

(−1)j(sidj, sidj) =n∑

i=0

[ i∑j=0

(−1)j(dj si, si)

+n∑

j=i

(−1)j(si, dj−isi)

]=

n∑i=0

[ i∑j=0

(−1)j(dj si, si) +n−i∑t=0

(−1)t+i(si, dtsi)

].

Por tanto, df = fd.

Propiedades del morfismo g

• g es un morfismo de grado cero (trivial).

• g conmuta con la diferencial, i.e., dg = gd.

Para probar esta igualdad, necesitamos enunciar diversas propiedades de losshuffles.

Sea (α, β) un (p, q)-shuffle, si α1 = 0, i.e., (α, β) = (0, α2, . . . , αp, β1, . . . , βq),entonces denotamos por α al conjunto obtenido al eliminar de α su primeracomponente α1, α = (α2, . . . , αp); del mismo modo definimos β. Por otrolado, denotemos por α− 1 el conjunto de elementos (α1 − 1, . . . , αp − 1), deigual modo β − 1 sera el conjunto (β1 − 1, . . . , βq − 1).


Lema 2.11. [May67] Con las notaciones anteriores, se verifican las propie-dades siguientes

Si (α, β) ∈ (p, q)-shuffle, con α1 = 0. Entonces, (α−1, β−1) ∈ (p−1, q)-shuffle y sg(α− 1, β − 1) = sg(α, β).Ademas, todo (p− 1, q)-shuffle se puede obtener de este modo. Si (α, β) ∈ (p, q)-shuffle, con β1 = 0. Entonces, (α−1, β−1) ∈ (p, q−1)-

shuffle y sg(α− 1, β − 1) = sg(α, β) + p.Ademas, todo (p, q − 1)-shuffle se puede obtener de este modo.

Por un lado tenemos que dg sobre un elemento (an, bm) vale

n+m+1∑i=0

(−1)i∑

(α,β)∈(n,m)−sh

(−1)sg(α,β)(didβm · · · dβ1an, didαn · · · dα1bm).

Mientras que por el otro gd es

n+1∑i=0

(−1)i∑

(α,β)∈(n+1,m)−sh

(−1)sg(α,β)(dβm · · · dβ1dian, dαn+1 · · · dα1bm)+

m+1∑i=0

(−1)i+n∑

(α,β)∈(n,m+1)−sh

(−1)sg(α,β)(dβm+1 · · · dβ1an, dαn · · · dα1dibm).

Si an o bm tienen grado cero, el resultado es claro. Si no, es necesario tener encuenta el lema anterior relativo a los shuffles.

Propiedades de compatibilidad

• fg = Id. Gracias a que f =∑

fi, primero estudiamos que pasa con fidj

fi(djaq−1, d

jbq−1) = sidjaq−1⊗sidjbq−1 =

sidjbq−1 ⊂ D(Kq−i) if i < j;sidjaq−1 ⊂ D(Fi) if i > j;(siaq−1, s

i−1bq−1) if i = j.

Ahora, si consideramos fi sobre un sumando de emlc, este cambia el orden des y d dependiendo de la regla

fig(β,α)(ap, bq) = (sidβq · · · dβ1ap, sidαp · · · dα1bq) =

Si p > i, entonces el segundo factor tiene al menos un operador cocara.


Si p < i, entonces el primer factor tiene mas cocaras que codegenera-ciones, por lo que es nulo en el caso normalizado. Si p = i, entonces el sumando es no nulo si y solo si αi = i−1, · · · , α1 =

0, esta condicion implica que βq = p + q − 1, · · · , β1 = p, y, por tanto,obtenemos la identidad sobre (ap, bq).

• fφ = 0 debido a las relaciones cosimpliciales existentes entre los operadorescocara y codegeneracion. De hecho, la prueba es similar a la mostrada ante-riormente, fg = Id, con la salvedad de que en este caso los operadores cocaraaplicados a los elementos no tienen el mismo exponente a la vez, por lo que oel primer termino del producto tensorial es degenerado o el segundo lo es.

• φg = 0. Veamos la prueba por induccion.

φg(a0 ⊗ b0) = φ(a0, b0) = 0;

φg(a0 ⊗ b1) = φ(d0a0, b1) = 0;

φg(a1 ⊗ b0) = φ(a1, d0b0) = 0;

Supongamos cierto para n+m ≤ k y consideremos n+m = k +1. Paraprobar que φg = 0, necesitamos dar diversas propiedades del morfismo g,con el fin de hacer mas accesible su demostracion. De hecho, definamosel morfismo derivado de g, g′, como

g′ : Cn+1(F )⊗ Cm+1(K)→ Cn+m+1(F ×K)

(an+1 ⊗ bm+1)→∑(α,β)

(−1)sg(α,β)(dβm+1 · · · dβ1+1an+1, dαn+1 · · · dα1+1bm+1),

donde la suma esta hecha sobre los (α, β) ∈ n,m-shuffles. En bajadimension, las formulas explıcitas de g′ son

g′(a1, b1) = (a1, b1); g′(a2, b1) = (a2, d1b1);

g′(a2, b2) = (d2a2, d1b2)− (d1a2, d

2b2).

Los morfismos g y g′, verifican las propiedades

g(an, bm) = g′(an, d0bm) + (−1)pg′(d0an, bm) si p > 0, q > 0;

g(an, b0) = g′(an, d0b0);

g(a0, bm) = g′(d0a0, bm).

Teniendo en cuenta que φg′(a1, b1) = 0, φg′(a2, b1) = 0, podemos aplicarla hipotesis de induccion igualmente para g′ con n + m ≤ k, por lo quepor la primera propiedad del parrafo anterior, tenemos que

φg(an, bm) = φ[g′(an, d0bm) + (−1)pg′(d0an, bm)] = 0.


• gf + dφ + φd = Id. Veamos la prueba dependiendo del grado del elemento.

φ(a0 ⊗ b0) = 0, por lo que [gf + dφ + φd](a0, b0) = (a0, b0). Igualmente se tiene que [gf + dφ + φd](a1, b1) = (a1, b1). Consideremos un elemento (an, bn) con n > 1. Entonces,

[gf + dφ + φd](an, bn) =∑(α,β)

k−1∑i=0

(−1)sg(α,β)(dβm · · · dβ1si · · · sn−1an, dαn · · · dα1s0 · · · si−1bn)

+n∑

i=0

(−1)i

[ ∑(α,β)

(−1)s1(didβq−1 · · · dβ1sn−q · · · sn−1an,

didαp−1 · · · dα1sn−1−p−q · · · sn−q−2bn)

]+

∑(α,β)

(−1)s1

[ n+1∑i=0

(−1)i(dβq−1 · · · dβ1sn−q+1 · · · sndian,

dαp−1 · · · dα1sn−p−q · · · sn−q−1dibn)

].

Teniendo en cuenta que estamos en el caso normalizado, las sumas corres-pondientes a la diferencial, pueden restringirse exclusivamente a la cocaradn, dando lugar a:

[gf + dφ + φd](an, bn) =∑(α,β)

k−1∑i=0

(−1)sg(α,β)(dβm · · · dβ1si · · · sn−1an, dαn · · · dα1s0 · · · si−1bn)

+(−1)n

[ ∑(α,β)

(−1)s1(dndβq−1 · · · dβ1sn−q · · · sn−1an,

dndαp−1 · · · dα1sn−1−p−q · · · sn−q−2bn)

]+

∑(α,β)

(−1)s1

[ n+1∑i=0

(−1)i(dβq−1 · · · dβ1sn−q+1 · · · sndian,

dαp−1 · · · dα1sn−p−q · · · sn−q−1dibn)

].

Ademas, gracias al lema 2.11 acerca de las propiedades de los shuffles


junto con las propiedades cosimpliciales, concluimos que

[gf + dφ + φd](an, bn) = (an, bn).

Por tanto, acabamos de probar el teorema.

Definicion 2.7. Dadas Ω(C) y Ω(C ′), definimos el producto tensorial (cosimplicial),Ω(C) Ω(C ′), como el dg-modulo con grado y diferencial cosimpliciales.

Observacion 2.1. Esta definicion tiene sentido gracias a que Ω(C) y Ω(C ′) son dg-modu-los con respecto al grado cosimplicial ||cos y la diferencial cosimplicial dcos.

Lema 2.12. Dadas C y C ′ dos dga-coalgebras, entonces existe un isomorfismo cosimpli-cial:

λ : Ω(C ⊗ C ′)→ Ω(C)× Ω(C ′)

〈c1 ⊗ c′1| · · · |cm ⊗ c′m〉 → (−1)P

j>k |cj ||c′k|〈c1| · · · |cm〉 × 〈c′1| · · · |c′m〉.

donde ci y c′i son elementos homogeneos de C y C ′ respectivamente.

Demostracion: Una consecuencia de las definiciones de la diferencial tensorial junto conel grado tensorial en Ω(C)× Ω(C ′) es que λ verifica: λdt = dtλ, λ||t = ||tλ.

En particular, la definicion de λ−1 es:

λ−1 : Ω(C)× Ω(C ′)→ Ω(C ⊗ C ′)

〈c1| · · · |cm〉 × 〈c′1| · · · |c′m〉 → (−1)P

j>k |cj ||c′k|〈c1 ⊗ c′1| · · · |cm ⊗ c′m〉.

Por lo que tenemos que:

λλ−1 = Id y λ−1λ = Id.

λd = dλ. Donde la diferencial cosimplicial de Ω(C ⊗ C) viene dada por

dcos|Ω(C⊗C) =n∑

i=0

(−1)i〈c1 ⊗ c′1| · · · |(1⊗ T ⊗ 1)(∆ci ⊗∆c′i)| · · · |cn ⊗ c′n〉.

Ω(C)×Ω(C ′) es un dg-modulo graduado con grado cosimplicial, diferencial cosimplicialy ademas λ transfiere el grado tensorial y la diferencial tensorial gracias a las formulas

|c× c′|t = |c|t + |c′|t;dt(c× c′) = dt(c)× c′ + (−1)|c|tc× dtc

′;

donde c y c′ son elementos homogeneos tales que |c|cos = |c′|cos.


Lema 2.13. Sean C y C ′ dos dga-coalgebras conmutativas, entonces existe un isomorfis-mo de dg-modulos:

κ : Ω(C) Ω(C ′)→ Ω(C)⊗ Ω(C ′),

κ(c c′) = (−1)|c|t|c′|cosc⊗ c′,

donde c y c′ son elementos homogeneos de Ω(C) y Ω(C ′) respectivamente.

Demostracion: Es facil probar que κκ−1 = Id y κ−1κ = Id, por tanto κ es un isomorfis-mo.

Es mas, κ verifica las propiedades:κdcos = dcosκ, κdt = dtκ, κ||cos = ||cosκ, κ||t = ||tκ.

Lema 2.14. El morfismo f : Ω(C)×Ω(C ′)→ Ω(C)Ω(C ′) del teorema de Eilenberg-Zilber cosimplicial conmuta con dt.

Demostracion: Para probar que f conmuta con la diferencial tensorial, probaremos queκf conmuta con ella, obteniendo automaticamente el resultado deseado. Si κfdt = dtκf ,entonces

fdt = κ−1κfdt = κ−1(dtκf) = dtκ−1κf = dtf

Para un elemento de grado cosimplicial n, podemos describir f como f = f0 + · · ·+ fn,donde

fi(c× c′) = si · · · sn−1〈c1| · · · |cn〉 s0 · · · si−1〈c′1| · · · |c′n〉.En particular, la ultima cara de fi sobre el primer factor es

(−1)|〈c1|···|cn〉|tξ(cn)〈c1| · · · |cn−1〉.

Por supuesto, ξ(cm) = 0 a menos que dcm = 0, por lo que el signo puede ser reescritocomo (−1)|〈c1|···|cn−1〉|t . Un proceso de iteracion muestra que

si · · · sn−1〈c1| · · · |cn〉 = (−1)(n−i)|〈c1|···|ci〉|tξ(ci+1 · · · cn)〈c1| · · · ci〉.

De modo analogo, para que el segundo factor sea no nulo, tiene que cumplirse que elgrado de c′1, . . . , c

′i sea nulo, por lo que

s0 · · · si−1〈c′1| · · · |c′n〉 = ξ′(c′1 · · · c′i)〈c′i+1| · · · |c′n〉.

Es mas, fi(c× c′) es nulo excepto cuando

dc′1 = · · · = dc′i = 0, dci+1 = · · · = dcn = 0.


Aplicando κ obtenemos que

κfi(c× c′) = ξ(ci+1 · · · cn)ξ′(c′1 · · · c′i)〈c1| · · · |ci〉 ⊗ 〈c′i+1| · · · |c′n〉.

Por otro lado,

κfi(dtc× c′) = (−1)|c|t|c′|cosξ(ci+1 · · · cn)ξ′(c′1 · · · c′i)dt〈c1| · · · |ci〉 ⊗ 〈c′i+1| · · · |c′n〉,

κfi(c× dtc′) = (−1)|c|t|c

′|cosξ(ci+1 · · · cn)ξ′(c′1 · · · c′i)〈c1| · · · |ci〉 ⊗ dt〈c′i+1| · · · |c′n〉.Comparando estas dos formulas con dtκfi, se demuestra que f conmuta con dt.

Demostracion del teorema 2.7:

Ω(C ⊗ C ′) oo λ //

r

33Ω(C)× Ω(C ′)

EML// Ω(C) Ω(C ′) oo κ // Ω(C)⊗ Ω(C ′).

Las formulas explıcitas de la contraccion cobar son

La proyeccion fΩ esta dada por κfλ

fΩ : Ω(C ⊗ C ′)→ Ω(C)⊗ Ω(C ′)

〈c1 ⊗ c′1| · · · cn ⊗ c′n〉 →n∑

i=0

ξC(ci+1 · · · cn)ξC′(c′1 · · · c′i)〈c1| · · · |ci〉 ⊗ 〈c′i+1| · · · |c′n〉

La inyeccion gΩ : Ω(C)⊗ Ω(C ′)→ Ω(C ⊗ C ′) es λ−1gκ−1.

El operador de homotopıa, φΩ

φΩ : Ω(C ⊗ C ′)→ Ω(C ⊗ C ′)

〈c1 ⊗ c′1| · · · cn ⊗ c′n〉 → λ(Shi)cλ−1

Compatibilidad de los morfismos

f no es un morfismo de algebras: µf⊗2 6= fµ. Consideremos como ejemplo loselementos 〈c⊗ 1〉 y 〈1⊗ c′〉 de Ω(C ⊗ C ′).

Por un lado, tenemos que

f [µ(〈c⊗ 1〉, 〈1⊗ c′〉)] = f [〈c⊗ c′〉] = 0.

Mientras que por el otro, µf⊗2 no da cero. Salvo el signo, obtenemos

µ[f⊗2〈c⊗ 1〉 ⊗ 〈1⊗ c′〉] = µ(1⊗ 〈1〉+ 〈c〉 ⊗ 1, 〈1〉 ⊗ 1) = 〈c|1〉 ⊗ 1 + 〈1〉 ⊗ 〈1〉.


f es un morfismo de dga-coalgebras, es decir, f⊗2∆ = ∆f . Sea 〈c1⊗c′1| · · · |cn⊗c′n〉un elemento de Ω(C ⊗ C ′). En primer lugar, tenemos que

f(〈c1⊗c′1| · · · |cn⊗c′n〉) =n∑

i=0

ξC(ci+1 · · · cn)ξC′(c′1 · · · c′i)〈c1| · · · |ci〉⊗〈c′i+1| · · · |c′n〉,

por lo que si consideramos exclusivamente los elementos distintos de cero, y deno-tamos dicha suma por

∑j

, el morfismo ∆ sobre dichos elementos da

∑j

∑(p,q)∈−sh

∑(r,s)∈−sh

〈cα1| · · · |cαp〉 ⊗ 〈c′γ1

| · · · |c′γr〉

⊗〈cβ1| · · · |cβq〉 ⊗ 〈c′%1

| · · · |c′%s〉

donde los shuffles dependen del ındice j (que por complejidad en la notacion nomostraremos explıcitamente).

Por otro lado, se tiene que ∆ sobre el elemento 〈c1 ⊗ c′1| · · · |cn ⊗ c′n〉 da∑(p,q)∈−sh

〈c⊗ c′α1| · · · |c⊗ c′αp

〉 ⊗ 〈c⊗ c′β1| · · · |c⊗ c′βq

〉

por lo que al aplicar f⊗2, obtenemos

∑sh

∑i

∑j

〈c1| · · · |ci〉 ⊗ 〈c′i + 1| · · · |c′n〉

⊗

〈c1| · · · |cj〉 ⊗ 〈c′j+1| · · · |c′n〉

que es igual a la formula anterior gracias a que el morfismo ∆ es un morfismo queno varıa el grado y ξ solamente es distinta de cero sobre elementos de grado cero,por lo que los sumandos distintos de cero al calcular la imagen vıa ∆f o vıa elmorfismo f⊗2∆.

g es un morfismo de dga-coalgebras, es decir, g⊗2∆ = ∆g. Esta propiedad seprueba de igual manera que la realizada anteriormente para la inyeccion.

2.3. Tecnicas de Transferencia 41

2.3. Tecnicas de TransferenciaUna de las preguntas que nos rondan la cabeza al hablar de A∞-estructuras es ver que pasacon el producto tensorial entre ellas o con otras estructuras, ¿obtenemos una A∞-estructura?¿que operaciones la integran?Ası pues, demostraremos que el producto tensorial de A∞-estructuras con estructuras nosda lugar a A∞-estructuras y calcularemos las operaciones involucradas en el productotensorial de dos A∞-estructuras como colofon de esta seccion.

Igualmente, veremos que gracias a nuestro peculiar punto de vista de las A∞-estructuras,podemos inducir en el dg-modulo mayor (bajo ciertas condiciones) una A∞-estructura taly como muestra el siguiente teorema.

Teorema 2.15. Dada C una A∞-coalgebra, esta induce en BΩ(C) una estructura deA∞-coalgebra.

Demostracion: Consideramos la contraccion explıcita dada por M. J. Jimenez [Jim03],cuyas formulas a grosso modo vienen descritas por:

f : BΩ(C) −→ C

f [〈c〉] = c.

g(c) =∑i≥0

∑k1,...,ki≥2

∑j1,...,ji

±[〈∆ji,1ki

(π1,1(hδ)i−1[〈c〉])〉

|〈∆ji,2ki

(π1,1(hδ)i−1[〈c〉])| · · · |∆ji,ki

ki(π1,1(hδ)i−1[〈c〉])〉

|〈∆ji−1,2ki−1

(π1,1(hδ)i−2[〈c〉])| · · · |∆ji−1,ki−1

ki−1(π1,1(hδ)i−2[〈c〉])〉

| · · · |〈∆j1,2k1| · · · |∆j1,k1

k1c〉].

Si denotamos por ω el elemento [〈c1,1| · · · |c1,k(1)〉|a2| · · · |an], φ nos da el valor

φ : BΩ(C)→ BΩ(C),

φ(ω) = ∑i≥0

∑k1,...,ki≥2

±[〈∆1ki

(π1,1(hδ)i−1hω)〉

|〈∆2ki

(π1,1(hδ)i−1hω)| · · · |∆kiki

(π1,1(hδ)i−1hω)〉|〈∆2

ki−1(π1,1(hδ)i−2hω)| · · · |∆ki−1

ki−1(π1,1(hδ)i−2hω)〉| · · ·

|〈∆2k1

c1,1| · · · |∆k1k1

c1,1〉|〈c1,2| · · · |c1,k(1)〉|a2 · · · |an].


Para probar que podemos inducir en el dg-modulo mayor una A∞-coalgebra, primerodesuspendemos y aplicamos el modulo tensorial, obteniendo una nueva contraccion

Ts−1(ΩB(C))→ Ts−1(C),

donde los morfismos que conforman la contraccion son T (f), T (g), T (−φ).

Si perturbamos en el dg-modulo menor por la diferencial necesaria para tener la construc-cion cobar tilde, dicha diferencial se puede escribir como

∂ =∑k≥2

k∑i=1

1⊗i−1⊗ ↓ ∆k ↑ ⊗1⊗k−i,

donde ↑, ↓ significan suspender y desuspender respectivamente en las dimensiones corres-pondientes.

Gracias al Lema de Perturbacion Inverso 1.4, es claro que la diferencial perturbada en eldg-modulo mayor viene dada por

d∂ = T (g)∂T (f).

Por tanto, los ∆′is que determinan la A∞-coalgebra vienen dados por las formulas (salvo

el signo)g⊗ni∆∗

i f⊗n

para cada elemento de grado simplicial n, donde

∆∗k =

∑1⊗λ⊗ ↑ ∆k ↓ ⊗1⊗n−λ−1.

Es facil ver que realmente se obtiene una A∞-coalgebra y que el coproducto inducidoverifica la condicion de asociatividad:

(∆2 ⊗ 1 + 1⊗∆2)∆2 = 0.

Nota: dada la complejidad de la notacion en la demostracion de los siguientes dos teore-mas, hemos considerado oportuno denotar por c(n) a las operaciones de grado n − 2 deuna estructura de A∞-coalgebra arbitraria.

Teorema 2.16. Dadas C una coalgebra y M una A∞-coalgebra, se puede inducir en elproducto tensorial de C por M una A∞-coalgebra, la cual viene determinada solo porlas operaciones de la A∞-coalgebra de M . Explıcitamente, dicha estructura viene dadapor la formula:

c(n)CM= c[n]C c(n)M

.


Si denotamos por

∆[n] =n−1∑i=0

1⊗i ⊗∆⊗ 1⊗n−i−2;

las operaciones c(n)Mson las operaciones de la A∞-coalgebra de M , mientras que c[n]C

vienen definidos por:c[n]C = ∆[n] · · ·∆[2]

y denota el producto coordenada a coordenada en el producto tensorial.

Definicion 2.8. Dados dos morfismos

f = (f1, · · · , ft) : M1 ⊗ · · · ⊗Ms →M1 ⊗ · · · ⊗Mt, fi : M1 ⊗ · · · ⊗Ms →Mi

y

g = (g1, · · · , gt) : N1 ⊗ · · · ⊗Ns → N1 ⊗ · · · ⊗Nt, gi : N1 ⊗ · · · ⊗Ns → Ni

se define el producto coordenada a coordenada entre f y g, f g como el morfismo

(M1 ⊗ · · · ⊗Ms)⊗ (N1 ⊗ · · · ⊗Ns)→ (M1 ⊗N1)⊗ · · · ⊗ (Mt ⊗Nt)

dado por (f1 ⊗ g1)⊗ · · · ⊗ (ft ⊗ gt).

Propiedades:

A dicho “producto” le imponemos que verifique la ley distributiva, es decir, dada

f = f1+· · ·+fn, g = g1+· · ·+gn, entonces consideramos que f g =n∑i,j

fi gj .

La composicion conmuta con el producto coordenada a coordenada, es decir,

(f1 g1) · (f2 g2) = (f1 · f2) (g1 · g2).

Introducimos este producto con el fin de simplificar las formulas en las demostracionesde los teoremas posteriores. Tambien se podrıan realizar siguiendo el convenio de Koszulsobre los signos, pero por supuesto con una complejidad muy superior.

Demostracion del teorema 2.16:

Debido a la definicion es claro que c(n)C⊗Mes una operacion cuyo dominio es C⊗M

y la imagen es (C ⊗M)n para todo n.

Igualmente, debido a la definicion, c(n)C⊗Mes de grado n− 2 para todo n.


Por tanto, solo faltarıa probar que se verifica la formula

i∑n=1

i−n∑k=0

(−1)n+k+nk(1⊗i−n−k ⊗ c(n) ⊗ 1⊗k)c(i−n+1) = 0.

Esta formula que es cierta gracias a las dos propiedades mencionadas anteriormentedel producto coordenada a coordenada, es decir:

(1⊗i−n−k⊗c(n) ⊗ 1⊗k)c(i−n+1) =

(1⊗i−n−kC ⊗ c[n] ⊗ 1⊗k

C )c[i−n+1] (1⊗i−n−kM ⊗ c(n) ⊗ 1⊗k

M )c(i−n+1).

Y la suma anterior se “desdobla” en dos, por lo que obtenemos

i∑n=1

i−n∑k=0

(1⊗i−n−kC ⊗ c[n] ⊗ 1⊗k

C )c[i−n+1]

i∑n=1

i−n∑k=0

(−1)n+k+nk(1⊗i−n−kM ⊗ c(n) ⊗ 1⊗k

M )c(i−n+1) = 0.

Corolario 2.17. El numero de operaciones en la A∞-coalgebra inducida en C ⊗M es alo sumo el mismo numero de operaciones de M .

Teorema 2.18. Dadas C una coalgebra y M una A∞-coalgebra, el producto tensorialde C por M es una A∞-coalgebra cuya estructura viene determinada de forma canonicapor la A∞-estructura descrita en el teorema anterior (salvo el signo).

Demostracion: Debido a que M es una A∞-coalgebra, sabemos que existe D coalgebray una contraccion entre D y M la cual induce de modo natural la A∞-coalgebra queM tenıa de partida. Denotemos dicha contraccion por la tupla (f, g, φ) : D ⇒ M . Enparticular, si denotamos por

∆(n) =n−1∑i=0

(−1)i1⊗i ⊗∆D ⊗ 1⊗n−i−2,

donde ∆D es el coproducto de D; las operaciones de M se obtienen vıa la contracciondados por las formulas:

c(n)M= f⊗n∆(n)φ(n−1) · · ·φ(2)∆(2)g;

donde φ(i) esta definido por

φ(i) =i−1∑k=0

1⊗k ⊗ φ⊗ (gf)⊗i−k−1


Igualmente, C lo podemos ver como la contraccion (1C , 1C , 0) : C ⇒ C. Por tanto,podemos construir la contraccion producto tensorial,

(f = (1⊗ f), g = (1⊗ g), φ = (1⊗ φ)) : C ⊗D ⇒ C ⊗M,

la cual induce de modo natural la estructura de A∞-coalgebra existente en C ⊗M . Lasoperaciones se pueden calcular vıa la formula:

c(n)C⊗M= f⊗n∆(n)φ(n−1) · · · φ(2)∆(2)g;

donde

∆(n) =n−1∑i=0

(−1)i1⊗i ⊗∆⊗ 1⊗n−i−2, donde ∆ = (1⊗ T ⊗ 1)(∆C ⊗∆D).

φ(i) =i−1∑k=0

1⊗k ⊗ φ⊗ (gf)⊗i−k−1.

Propiedades:

fn = (1⊗ f)n = (1⊗ f) · · · (1⊗ f) = 1⊗n f⊗n;

gn = (1⊗ g)n = (1⊗ g) · · · (1⊗ g) = 1⊗n g⊗n;

φ(i) =i−1∑k=0

1⊗k ⊗ φ⊗ (gf)⊗i−k−1 =i−1∑k=0

1⊗k ⊗ (1⊗ φ)⊗ (1⊗ gf)⊗i−k−1 = 1i φ(i);

Teniendo en cuenta que ∆ = (1⊗ T ⊗ 1)(∆C ⊗∆D) = ±∆C ∆D, tenemos que

∆(n) = ± n−1∑

i=0

1⊗i ⊗∆C ⊗ 1⊗n−i−2

n−1∑i=0

(−1)i1⊗i ⊗∆D ⊗ 1⊗n−i−2

.

Por tanto, la A∞-coalgebra inducida por contraccion en C⊗M , c(n)n≥2, coincide salvosigno con c[n]C c(n)M

.

Corolario 2.19. Sean C, C ′, C ′′ coalgebras tales que existen j : C → C ′ un isomorfismode coalgebras y C ′′ → M una contraccion de C ′′ al dg-modulo M . Entonces, la estruc-tura de A∞-coalgebra de C ′⊗M viene determinada exclusivamente por las operacionesde M , es decir,

c(n)(u⊗ v) = c[n](u) c(n)(v).


Lema 2.20. Sea M una A∞-coalgebra, con operaciones distintas de cero ∆2 y ∆p. En-tonces si perturbamos la diferencial en Ω(M) por la diferencial inducida por −∆p demodo que convertimos a M en una coalgebra, inducimos en A una estructura de A∞-coalgebra, cuyas operaciones son de nuevo ∆2 y ∆p.

Demostracion: La primera parte, es trivial, es claro que si a M le restamos −∆p, seconvierte en una coalgebra, ası pues solo tenemos que probar que A se convierte en unaA∞-coalgebra cuyas unicas operaciones distintas de cero son ∆2 y ∆p. Esta ultima afir-macion es una aplicacion inmediata del lema de perturbacion inverso 1.4: la diferencialinducida en el dg-modulo mayor viene dada por la formula

dδ = gδf.

Estos resultados previos, nos animan a buscar las formulas explıcitas de la A∞-estructuradel producto tensorial de dos A∞-estructuras, ası pues mostramos a continuacion uno delos teoremas mas importantes de este capıtulo.

Teorema 2.21. Dadas M y M ′ dos A∞-algebras dadas respectivamente por sendas con-tracciones r1 : A → M , r2 : A′ → M ′, la estructura de A∞-algebra del producto ten-sorial de M con M ′ viene determinada exclusivamente por las operaciones componentesde la A∞-algebra de M y las correspondientes de M ′.

Demostracion: La demostracion de este teorema se basa basicamente en las propiedadesdel “producto coordenada a coordenada” definido anteriormente junto con el lema de per-turbacion basico 1.2, el cual es aplicado como caso particular, para la demostracion delteorema 2.5.

Dadas las contracciones r1 y r2, podemos definir una nueva contraccion, r, de A ⊗ A′

hacia el dg-modulo M ⊗M ′, definida por la regla del producto tensorial.

Por tanto, podemos establecer una nueva contraccion

T (r) : T (s(A⊗ A′))→ T (s(M ⊗M ′))

y aplicar el lema de perturbacion basico, utilizando como dato de perturbacion la diferen-cial simplicial definida por la formula:

ds[a1⊗a′1| · · · |an⊗a′n] =n−1∑i=1

(−1)ei [a1⊗a′1| . . . |µ(A⊗A′)(ai⊗a′i, ai+1⊗a′i+1)| . . . |an⊗a′n]

debemos destacar aquı que el producto µ(A⊗A′) esta definido por la formula

µ(A⊗A′) = (µA ⊗ µA′)(1⊗ T ⊗ 1),


y por tanto coincide (salvo signo) con µA µA′ , aplicados ambos morfismos sobre lamisma componente i-esima a la vez.

Por tanto, aplicar ds como dato de perturbacion a la contraccion T (r) es equivalente aaplicar ds1 ds2 , donde ds1 es la diferencial simplicial de T (s(A)) y ds2 es la diferencialsimplicial de T (s(A′)).

Ademas es claro que

T (f) = T (f1 ⊗ f2) ' T (f1) T (f2).

T (g) = T (g1 ⊗ g2) ' T (g1) T (g2).

T (φ) = T (1⊗ φ2 + φ1 ⊗ g2f2) que se puede separar como

T (1) T (φ2) + T (φ1) T (g2f2).

Por tanto, aplicando el lema de perturbacion basico, la diferencial inducida en el dg-modulo menor M ⊗M ′ viene dada por la formula

d∞ =T (f)ds

∑i≥0

[T (φ)ds]iT (g)

=[T (f1) T (f2)][ds1 ds2 ]

∑i≥0

T (1)ds1 T (φ2)ds2 + T (φ1)ds1 T (g2f2)ds2

i

T (g1 g2)

Si examinamos la suma

Si =∑i≥0

T (1)ds1 T (φ2)ds2 + T (φ1)ds1 T (g2f2)ds2

i

obtenemos que

Si =(T (1)ds1 T (φ2)ds2)i + (T (φ1)ds1 T (g2f2)ds2)

i+i−1∑k=1

[σk

(T (1)ds1)

k(T (φ1)ds1)i−k

]

[σk

(T (φ2)ds2)

k(T (g2f2)ds2)i−k

]donde σk indica todas las permutaciones posibles en el producto tensorial.

Por tanto, las operaciones de la A∞-algebra de M ⊗M ′ vienen dadas por la formula

µ(n) =µ[n] µ(n) + µ(n) µ[n]+∑i+j=n+2

σk

[µ[k] ⊗ µi ⊗ µ[j−k]

]

σk

[µ[k] ⊗ µj ⊗ µ[i−k]

]


2.4. Tecnicas de Control de A∞-estructurasUna de las preguntas naturales que nos surge al hablar de A∞-estructuras es ver que pasa simodificamos levemente alguna de las diferenciales integrantes en la contraccion canonicade partida que nos induce dicha estructura.

Por tanto, en esta ultima seccion estableceremos diversos teoremas que nos permitan afir-mar bajo que condiciones podemos modificar la naturaleza de una A∞-estructura, ana-diendo o eliminando operaciones dependiendo del caso.

Teorema 2.22. Sea M una A∞-algebra, dada por la contraccion r : A, M, f, g, φ y δuna dato de perturbacion de r. Entonces, si

fδ(φδ)ng = 0, ∀n ≥ 1;

la A∞-estructura de (M, dM + dδ) queda invariante por dicha perturbacion, salvo µ2, elcual viene dado por la formula µ2 = fµA(gδ)

⊗2.

Demostracion: La demostracion es inmediata teniendo en cuenta el lema de perturbacionbasico, ası como las formulas de las operaciones inducidas en M gracias a la contraccionestablecida en el teorema 2.1.

Nota: Es importante destacar que el teorema previo sigue siendo si imponemos la condi-cion mas restrictiva φδg = 0.

Teorema 2.23. Sean A y A′ dos dga-algebras conmutativas y rB⊗ la contraccion, es-tablecida en la seccion primera, entre B(A ⊗ A′) y B(A) ⊗ B(A′). Si perturbamos ladiferencial del dga-modulo mayor por una perturbacion δ, tal que es una derivacion, unacoderivacion y lleva elementos donde una de las dos coordenadas es la unidad de una delas dos algebras (es decir, todas las componentes son 1⊗ a′ y/o a⊗ 1) en elementos conuna unica componente de este tipo, entonces el dga-modulo menor hereda una verdaderaestructura de coalgebra.

(B(A⊗ A′), dB + δ, ∆B), (B(A)⊗ B(A′), d⊗B + dδ, ∆⊗B), fδ, gδ, φδ

donde el coproducto viene dado por la formula

∆⊗B = (fB ⊗ fB)∆Bgδ.

Demostracion: Este teorema se puede probar como aplicacion inmediata del teoremadual al teorema 2.22. De hecho, veamos que en las condiciones que hemos descrito, severifica la formula

fδ(φδ)ng = 0, ∀n ≥ 1;

2.4. Tecnicas de Control de A∞-estructuras 49

Para ello, si tenemos en cuenta la definicion de la contraccion Bar 2.6, descrita en laprimera parte de este capıtulo, sabemos que la imagen de g esta formada por elementosen los que una de sus coordenadas es unidad de A o de A′.

Por hipotesis, sabemos que la perturbacion sobre elementos de la forma anteriormentedescrita, devuelve elementos con una unica componente a⊗ 1 o 1⊗ a′.

Ahora bien, de la definicion explıcita de φ (ver teorema 2.6), se deduce que al aplicarlosobre la imagen de δ, se obtienen elementos cuyas coordenadas son todas de la forma1⊗ a′ o a⊗ 1.

Por tanto, (φδ)n, para n ≥ 1 devuelve elementos con coordenadas 1⊗ a′ y/o a⊗ 1.

Ası pues, δ(φδ)ng⊗n, para n ≥ 1 genera elementos con una unica coordenada de la forma1⊗ a′ o a⊗ 1, por lo que fδ(φδ)ng⊗n = 0, ∀n ≥ 1.

Como aplicacion de dicho teorema, consideremos como anillo base Z localizado en p,Z(p), con p un numero primo.

Proposicion 2.24. [Rea00] Sean n un numero natural y p un numero primo. Entonces,existe un isomorfismo de dga-algebras entre el algebra polinomial modificada Γ(u, 2n) yel producto tensorial

⊗i≥0Q(p)(ui, 2npi).

Como Z(p)-modulo, este dga-modulo coincide con el producto tensorial usual, sin embar-go, el producto viene dado por la formula

uki u

hj =

uk

i ⊗ uhj si i 6= j;

uk+hi si i = j y k + h < p;−put

iui+1 si i = j y k + h = p + t.

En particular, las formulas explıcitas del isomorfismo son:

ϕ :Γ(u, 2n)→ ⊗i≥0Q(p)(ui, 2npi)

ϕ(γk(u)) =(−p)

∑ri=0 kiSp(i)

k!uk0

0 ⊗ · · · ⊗ ukrr

ϕ−1 :⊗i≥0Q(p)(ui, 2npi)→ Γ(u, 2n)

ϕ−1(ukn) =

(−1)nkk(kpn − 1)!

pkSp(n)−nγkpn(u)


donde k = k0 + k1p + · · · + krpr, (0 ≤ ki < p), es la expresion p-adica de k y Sp(n)

esta definido como Sp(n) =pn − 1

p− 1para todo n = 0, 1, 2, . . . .

Demostracion: Para probar que ϕ es inverso de ϕ−1 es suficiente con mencionar que los

numeros(−1)nkk(kpn − 1)!

pkSp(n)−n,(−p)

∑ri=0 kiSp(i)

k!son inversos el uno del otro en Z(p).

Corolario 2.25. Si consideramos como anillo base Z(p), entonces se puede establecer elisomorfismo de dga-algebras de Hopf

B(Γ(u, 2n))→ B(⊗i≥0Q(p)(ui, 2npi)).

El producto definido en la proposicion anterior induce una perturbacion en la construccionbar, y por tanto, podrıamos aplicar el teorema 2.23, obtenemos una nueva contraccion

Corolario 2.26. Dada Γ el algebra polinomial modificada, con coeficientes en Z(p), existeuna contraccion

B(Γ(u, 2n))→ ⊗i≥0B(Q(p)(ui, 2npi)),

donde el coproducto del dg-modulo menor ha sido modificado, pero no da lugar a unaA∞-coalgebra.

Este resultado serıa interesante utilizarlo para obtener una mayor informacion acerca dela estructura de homologıa de los Espacios de Eilenberg-Mac Lane sobre Z(p), con unrazonamiento analogo al que mostramos en el capıtulo cuarto sobre Zp.

2.5. Problemas abiertosEn esta ultima seccion mostramos diversos problemas relacionados, a los cuales no damosuna respuesta expresa, por lo que distintas lıneas de investigacion se abren con respecto aestos aspectos.

Como ya hemos ido mencionando a lo largo de este capıtulo, nuestra filosofıa es la decontrolar lo maximo posible el comportamiento de las A∞-estructuras inducidas por con-traccion, por lo que todo tipo de avance en este sentido serıa bien recibido.

Igualmente, es importante encontrar ejemplos que tengan que ver con cuestiones algebro-topologicas que muestren las operaciones explıcitas de los teoremas antes mencionados.

Capıtulo 3

A∞-Algebras de Hopf

El proposito de este capıtulo es el definir un modelo combinatorio-algebraico adecuadopara el calculo de las A∞-algebras de Hopf, dar una nocion exacta de su significado,ası como especificar las operaciones involucradas en dicha estructura.

Nuestro punto de partida esta inspirado en el trabajo de M. J. Jimenez ([Jim03]), en elcual, como ya hemos mencionado anteriormente, se muestran los modelos de las A∞-algebras y A∞-coalgebras en terminos de equivalencias de homotopıa. De hecho, en eltrabajo se prueba que dada una algebra y una contraccion, induce una A∞-algebra en eldg-modulo menor.

Por tanto, si una algebra de Hopf se define como una algebra, una coalgebra, con unarelacion estrecha entre el coproducto y el producto, el plantearse que estructura inducepor perturbacion sobre un dg-modulo menor es nuestro primer objetivo.

Una respuesta concisa a la cuestion no es nada facil, pero intuitiva y naturalmente, desdenuestro punto de vista, una A∞-algebra de Hopf deberıa venir descrita por una contraccionde una algebra de Hopf hacia un dg-modulo. Ası pues, varias preguntas surgen de modonatural: si una A∞-algebra de Hopf esta determinada por una contraccion tan especial,

¿cuales son las operaciones que la definen?

¿que tienen que ver dichas operaciones con las estructuras de A∞-algebra y A∞-coalgebra subyacentes?

En este capıtulo construiremos un dg-modulo asociado a cualquier dg-algebra de Hopf, demodo que dada una contraccion, podamos extraer del dg-modulo menor las operacionesintegrantes en la estructura de A∞-algebra, de A∞-coalgebra y las operaciones que midenla nocion generalizada de “relacion de Hopf” salvo homotopıa.

51

52 Capıtulo 3. A∞-Algebras de Hopf

3.1. Representacion matricial del modulo tensorial aso-ciado a una algebra de Hopf

Pasemos pues a detallar la construccion de un dg-modulo asociado a una algebra de Hopf.

Sea (H, d, µ, ∆, η, ξ) una dg-algebra de Hopf aumentada y consideremos el producto ten-sorial de H consigo misma p · q-veces, es decir, (H⊗p)⊗q (tambien lo denotado por Hp,q).

Definicion 3.1. Se define el modulo Bar-Cobar de H , BC(H), como el modulo diferen-cial graduado (H⊗p)⊗qp≥0,q≥0. Un elemento a ∈ (H⊗p)⊗q viene descrito por una matrizcon p-filas y q-columnas.

a =

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

Se dira homogeneo si todos sus componentes aij son elementos homogeneos de H .

El grado tensorial de a = (aij) esta determinado por la suma

|a|t =

p,q∑i=1,j=1

|aij|;

el grado simplicial de a es el numero de filas, i.e.,

|a|s = p

y el grado cosimplicial se define como el numero de columnas

|a|c = q;

el grado total de a se define como

|a| = |a|t + |a|s − |a|c = |a|t + p− q.

En particular, si tenemos en cuenta el grado tensorial, BC(H) esta determinado por

3.1. Representacion Matricial 53

BC(H)(p,q,n) = (H⊗pn )⊗q. Ademas, lo podemos visualizar como el octante

H3,1n H3,2

n H3,3n H3,4

n H3,5n

H2,1n H2,2

n H2,3n H2,4

n H2,5n

H1,1n H1,2

n H1,3n H1,4

n H1,5n

H3,1n−1 H3,2

n−1 H3,3n−1 H3,4

n−1 H3,5n−1

H2,1n−1 H2,2

n−1 H2,3n−1 H2,4

n−1 H2,5n−1

H1,1n−1 H1,2

n−1 H1,3n−1 H1,4

n−1 H1,5n−1

H3,1n−2 H3,2

n−2 H3,3n−2 H3,4

n−2 H3,5n−2

H2,1n−2 H2,2

n−2 H2,3n−2 H2,4

n−2 H2,5n−2

H1,1n−2 H1,2

n−2 H1,3n−2 H1,4

n−2 H1,5n−2

3.1.1. La estructura diferencial de BC(H)Dado BC(H) el tricomplejo definido por

BC(H)(p,q,n) = (H⊗pn )⊗q,

vamos a considerar tres diferenciales asociadas a el.

La diferencial tensorial de BC(H)

La diferencial tensorial dt: Hp,qn → Hp,q

n−1; dt =

p,q∑i=1,j=1

di,j.

dij = −(−1)P (i,j)

a11 · · · a1q

......

...ai1 · · · d(aij) aiq...

......

ap1 · · · apq

P (i, j) =∑

k<i∪(k=i,l<j)

|akl|+ (i− 1)− (j − 1)


Proposicion 3.1. Con la definicion anterior, dt es una diferencial en BC(H).

Demostracion: Veamos que d2t = 0.

a11 · · · a1q...

......

ap1 · · · apq

→ − p,q∑i=1,j=1

(−1)P (i,j)

a11 · · · a1q

......

...ai1 · · · d(aij) aiq...

......

ap1 · · · apq

↓ dt

−p,q∑

k=1,l=1

(−1)P (k,l)

[−

p,q∑i=1,j=1

(−1)P (i,j)

a11 · · · a1q...

......

ak1 d(akl) · · · akq

ai1 · · · d(aij) aiq...

......

ap1 · · · apq

]

Para ver que se cancelan dos a dos los elementos de esta suma, diferenciamos tres casos,(i, j) = (k, l), (i, j) > (k, l) o (i, j) < (k, l) (donde el orden escogido es el lexicografico).

(i, j) = (k, l): trivialmente d2t = 0.

(i, j) > (k, l): tenemos que comparar el signo generado por P (i, j) + P (k, l) enambos casos.

dkldij → P (i, j) + P (k, l) =∑

s<i∪(s=i,t<j)

|ast|+ (i− 1)− (j − 1)+

∑s<k∪(s=k,t<l)

|ast|+ (k − 1)− (l − 1)

dijdkl → P (i, j) + P (k, l) =∑

s<i∪(s=i,t<j)

|ast|+ (i− 1)− (j − 1)+

∑s<k∪(s=k,t<l)

|ast|+ (k − 1)− (l − 1)

Es en esta segunda suma, donde aparece |d(akl)| que es igual a |akl| − 1, por tanto,ambas sumas son de signos opuestos.

(i, j) < (k, l): es analogo al caso previo.


La diferencial simplicial de BC(H)

La diferencial simplicial ds: Hp,qn → Hp−1,q

n .

ds : Hp,qn → Hp−1,q

n ; ds =

p∑i=0

(−1)iδi

δ0 = ξ(a11) · · · ξ(a1q) ·

a21 · · · a2q...

......

ap1 · · · apq

δp = (−1)sgB(p)ξ(ap1) · · · ξ(apq) ·

a11 · · · a1q...

......

ap−1,1 · · · ap−1,q

δk, 1 ≤ k ≤ p− 1,

δk = (−1)sg(k,k+1)+sgB(k)

a11 · · · a1q

......

...µ(ak1, ak+1,1) · · · µ(akq, ak+1,q)

......

...ap1 · · · apq

donde

sg(k, k + 1) = |ak+1,1|(|ak,2|+ · · ·+ |ak,q|)+ |ak+1,2|(|ak,3|+ · · ·+ |ak,q|) + · · ·+ |ak+1,q−1||ak,q|

sgB(k) =

k,q∑j=1,l=1

|ajl|

Proposicion 3.2. Con la definicion anterior, ds es una diferencial en BC(H). De hecho,fijados los grados cosimplicial y tensorial, H∗,q

n tiene estructura de conjunto simplicial.

Demostracion: Veamos que δiδj = δj−1δi, si i < j, por lo que automaticamente habre-mos probado la estructura simplicial. Por tanto, directamente obtendremos queds =

∑pi=0(−1)iδi es una diferencial. Para ello, consideraremos tres casos:

i = 0, 0 < j < p,

0 < i < p, 0 < j < p,


0 < i < p, j = p.

i = 0, 0 < j < p⇒ δ0δj = δj−1δ0

Por un lado tenemos

δ0δj

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)s1ξ(a11) · · · ξ(a1q)

a21 · · · a2q

......

µ(aj,1, aj+1,1) · · ·µ(aj,n, aj+1,q)...

...ap1 · · · apq

Por otra parte

δ0

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)s2ξ(a11) · · · ξ(a1q)

a21 · · · a2q

......

µ(aj,1, aj+1,1) · · ·µ(aj,n, aj+1,q)...

...ap1 · · · apq

donde s1 y s2 vienen dados por las formulas siguientes:

s1 = sgB(j) + sg(j, j + 1)

s2 = sgB(j − 1) + sg(j − 1, j)

el exponente s1 es igual a s2 gracias a dos hechos:

sg(j − 1, j) del segundo sumando es igual a sg(j, j + 1) del primero, dado que esel signo de las permutaciones de los elementos aj1, . . . , ajq, aj+1,1, . . . , aj+1,qen ambos casos.

En el segundo sumando tenemos sgB(j − 1) =∑j,q

m=2,l=1 |aml| mientras que en elprimero sgB(j − 1) =

∑j,qm=1,l=1 |aml|, que son iguales si y solo si |a1i| = 0 para

todo i. En caso de que exista i tal que |a1i| > 0, ambos sumandos son cero.

0 < i < p, 0 < j < p⇒ δiδj = δj−1δi


Por un lado tenemos

δiδj

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)s1

a11 · · · a1q...

...µ(ai,1, ai+1,1) · · ·µ(ai,n, ai+1,q)

......

µ(aj,1, aj+1,1) · · ·µ(aj,n, aj+1,q)...

...ap1 · · · apq

Por otra parte

δj−1δi

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)s2

a11 · · · a1q...

...µ(ai,1, ai+1,1) · · ·µ(ai,n, ai+1,q)

......

µ(aj,1, aj+1,1) · · ·µ(aj,n, aj+1,q)...

...ap1 · · · apq


s1 =

j,q∑m=1,l=1

|aml|+ sg(j, j + 1) +

i,q∑m=1,l=1

|aml|+ sg(i, i + 1)

s2 =

i,q∑m=1,l=1

|aml|+ sg(i, i + 1) +

j−1,q∑m=1,l=1

|aml|+ sg(j − 1, j)

En∑j−1,q

m=1,l=1 |aml| de s2, se tiene que la fila i-esima esta compuesta por la suma de losgrados de aik y ai+1,k, de ahı que ambos signos sean iguales.

0 < i < p, j = p⇒ δiδp = δp−1δi

Por un lado tenemos

δiδp

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)s1ξ(ap1) · · · ξ(apq)

a11 · · · a1q

......

µ(ai,1, ai+1,1) · · ·µ(ai,n, ai+1,q)...

...ap−1,1 · · · ap−1,q


Por otro lado

δp−1δi

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)s2ξ(ap1) · · · ξ(apq)

a11 · · · a1q

......

µ(ai,1, ai+1,1) · · ·µ(ai,n, ai+1,q)...

...ap−1,1 · · · ap−1,q


s1 =

p,q∑m=1,l=1

|aml|+i,q∑

m=1,l=1

|aml|+ sg(i, i + 1)

s2 =

p−1,q∑m=1,l=1

|aml|+i,i+1∑

m=1,l=1

|aml|+ sg(i, i + 1)

En∑p−1,q

m=1,l=1 |aml| de s2, se tiene que la fila i-esima esta compuesta por la suma de losgrados de aik y ai+1,k, de ahı que ambos signos sean iguales.

Por tanto, acabamos de probar que δipi=0 da lugar a una estructura simplicial, por lo queds =

∑i(−1)iδi es una diferencial.


La diferencial cosimplicial de BC(H)

La diferencial cosimplicial dc: Hp,qn → Hp,q+1; dc =

q+1∑i=0

(−1)iδi

δ0 =

η(1) a11 · · · a1q...

......

...η(1) ap1 · · · apq

δq+1 = (−1)sgB(q+1)

a11 · · · a1q η(1)...

......

...ap,1 · · · ap,q η(1)

δk, 1 ≤ k ≤ q,

δk = (−1)sgC(k)

a11 · · · a1,k−1 ∆(a1,k) a1,k+1 · · · a1q...

......

ap1 · · · ap,k−1 ∆(ap,k) ap,k+1 · · · apq

donde

sgC(k) =

p,k−1∑j=1,l=1

|ajl|

Proposicion 3.3. Con la definicion anterior, dc es una diferencial en BC(H). De hecho,fijados los grados simplicial y tensorial, Hp,∗

n tiene estructura de conjunto cosimplicial.

Demostracion: Veamos que δjδi = δiδj−1, si i < j, por lo que automaticamente habre-mos probado la estructura cosimplicial. Por tanto, directamente tenemos quedc =

∑q+1i=0 (−1)iδi es una diferencial. Para ello, consideraremos tres casos:

i = 0, 0 < j < q + 2,

0 < i < q + 1, 0 < j < q + 2,

0 < i < q + 1, j = q + 2.

i = 0, 0 < j < q + 2⇒ δjδ0 = δ0δj−1

Por un lado

δjδ0

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)Pp,j−2

m=1,l=1

η(1) a11 · · ·∆(a1,j−1) a1q...

...η(1) ap,1 · · ·∆(ap,j−1) ap,q


Por otra parte

δ0δj−1

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)Pp,j−2

m=1,l=1

η(1) a11 · · ·∆(a1,j−1) a1q...

...η(1) ap,1 · · ·∆(ap,j−1) ap,q

0 < i < q + 1, 0 < j < q + 2⇒ δjδi = δiδj−1

Por un lado

δjδi

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)s1

a11 · · ·∆(a1,i) · · ·∆(a1,j−1) a1q...

...ap,1 · · ·∆(ap,i) · · ·∆(ap,j−1) ap,q

Por otra parte

δiδj−1

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)s2

a11 · · ·∆(a1,i) · · ·∆(a1,j−1) a1q...

...ap−1,1 · · ·∆(ap,i) · · ·∆(ap,j−1) ap−1,q

donde s1 y s2 vienen dados por las mismas formulas

s1 =

p,i−1∑m=1,l=1

|aml|+p,j−2∑

m=1,l=1

|aml|

s2 =

p,i−1∑m=1,l=1

|aml|+p,j−2∑

m=1,l=1

|aml|

0 < i < q + 1, j = q + 2⇒ δq+2δi = δiδq+1

Por un lado

δq+2δi

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)s1

a11 · · ·∆(a1,i) · · · a1q η(1)...

...ap,1 · · ·∆(ap,i) · · · ap,q η(1)

Por otra parte

δiδq+1

a11 · · · a1q... . . . ...

ap1 · · · apq

= (−1)s2

a11 · · ·∆(a1,i) · · · a1q η(1)...

...ap,1 · · ·∆(ap,i) · · · ap,q η(1)


donde s1 y s2 vienen dados por las mismas formulas

s1 =

p,i−1∑m=1,l=1

|aml|+p,q∑

m=1,l=1

|aml|

s2 =

p,i−1∑m=1,l=1

|aml|+p,q∑

m=1,l=1

|aml|

Propiedades de compatibilidad entre las diferenciales

Una vez introducidas las tres diferenciales en BC(H), pasemos a detallar algunos resul-tados de compatibilidad entre ellas a la hora de componerlas en uno u otro ordenes.

Proposicion 3.4. dsdt = −dtds.

Demostracion: Consideremos a ∈ Hp,qn , entonces se tiene que dtds sobre a es la suma

dtds(a) =

(I)−∑i,j

(−1)P (i,j)ξ(a11) · · · ξ(a1q)

a21 · · · a2q... d(aij)

...ap1 · · · apq

+

(II)−∑i,j

(−1)P (i,j)

p−1∑k=1

(−1)sgB(k)+sg(k,k+1)+k

a11 · · · a1q

... d(aij)...

µ(ak1ak+1,1) µ(akqak+1,q)ap1 · · · apq

+

(III)−∑i,j

(−1)P (i,j)+sgB(p)+pξ(ap1) · · · ξ(apq)

a11 · · · a1q... d(aij)

...ap−1,1 · · · ap−1,q

Una vez dividida la suma en tres partes, veamos la prueba dependiendo de los casos:

Caso (I): se verifica que dtd0 = −d0dt.

d0dt(a) = −∑i,j

(−1)P (i,j)ξ(a11) · · · ξ(a1q)

a21 · · · a2q... d(aij)

...ap1 · · · apq

• Si i > 1, en el signo generado por P (i, j) tenemos una fila mas, al igual que la

suma de los grados de los elementos de la primera fila, pero el unico modo deque dicho sumando sea distinto de cero, es que a1,j sea un elemento de gradocero para todo j, lo que nos lleva a concluir dtd0 = −d0dt.


• Para i = 1, es claro que d0d1j = 0 para todo j, gracias a la compatibilidadexistente entre ξ y la diferencial de H , d.

Caso (II): A su vez, vamos a estudiar esta suma dependiendo de si los morfismoscomponentes de la diferencial tensorial estan en una fila superior o no de la k-esima componente de la diferencial simplicial. Ası pues, tenemos los casos i < k,i > k + 1 y i = k, i = k + 1.

• Si i < k, se tiene que dijdk = −dkdij . La diferencia de signo nos la da sgB(k)que en el segundo factor aparece el grado de d(aij), lo que disminuye la sumaen uno.

• Si i > k + 1, dijdk = −dkdi−1,j . El numero de filas ha disminuido en unoy por tanto el signo de la diferencial tensorial cambia dependiendo de si seaplica primero la dk o despues.

• Si i = k, veamos que dkjdk = −dk(dkj + dk+1,j). Esta igualdad se debebasicamente al hecho de que el producto de H , µ, conmuta con la diferencial,i.e.,dµ(akj, ak+1,j) = µ(d(akj), ak+1,j) + (−1)|akj |µ(akj, d(ak+1,j)).

dkjdk = (−1)(a)

a11 · · · a1q

µ(ak1, ak+1,1) dµ(akj, ak+1,j) µ(akq, ak+1,q)ap1 · · · apq

dk(dkj + dk+1,j) =(−1)(b)

a11 · · · a1q

µ(ak1, ak+1,1) µ(d(akj), ak+1,j) µ(akq, ak+1,q)ap1 · · · apq

+(−1)(c)

a11 · · · a1q

µ(ak1, ak+1,1) µ(akj, d(ak+1,j)) µ(akq, ak+1,q)ap1 · · · apq


Si denotamos por sgt(k) =

k−1,q∑j=i,l=1

, tenemos que

(a) = sgB(k) + sg(k, k + 1) + sgt(k) + k − (j − 1) +

j−1∑l=1

[|akl|+ |ak+1,l|]

(b) = sgB(k) + sg(k, k + 1) + sgt(k) + k − (j − 1)− 1−j−1∑i=1

|ak+1,i|+

j−1∑l=1

|akl|

(c) = sgB(k) + sg(k, k + 1) + sgt(k) + k − (j − 1) + 1 +

q∑l=1

|akl|+

j−1∑l=1

|ak+1,l| −q∑

i=j+1

|aki|

Por tanto,tenemos que (a) = (b) + 1 y (a) = (c) + 1 + |akj|, lo que implicaque dkjdk = −dk(dkj + dk+1,j).

Caso (III): se verifica que dtdp = −dpdt, gracias a que el signo de dt es el mismoen ambos casos, pero el signo en dp ha disminuido en 1 por daij . Por otro lado, esclaro que los morfismos dpdpj con 1 ≤ j ≤ q son todos nulos, por las propiedadesde compatibilidad entre ξ y la diferencial de H , d.

Ası pues, dt + ds es una diferencial en BC(H).

Proposicion 3.5. dcdt = −dtdc.

Demostracion: Teniendo en cuenta la propiedad (d ⊗ 1 + 1 ⊗ d)∆ = ∆d, dividamos laprueba en tres casos

Caso (I): se verifica que dtδ0 = −δ0dt. De hecho,

di+1,jδ0 = (−1)s1

η(1) a11 · · · a1q

η(1) ai1 d(aij) ai,q

η(1) ap1 · · · apq

donde s1 =

∑k<i,k=ial<j

|akl|+ i− (j − 1). Por otro lado, tenemos que

δ0di,j = (−1)s2

η(1) a11 · · · a1q

η(1) ai1 d(aij) ai,q

η(1) ap1 · · · apq


donde s2 =∑

k<i,k=ial<j

|akl|+ (i− 1)− (j − 1), ası que teniendo en cuenta que

|η(1)| = 0, se tiene que s1 = −s2. Ademas sabemos que dj0δ0 = 0 para todo

1 ≤ j ≤ q.

Caso (II): Con respecto a la ultima cocara de la diferencial cosimplicial tenemosque dijδ

q+1 = −δq+1dij .

di,jδq+1 = (−1)s1

a11 · · · a1q η(1)ai1 d(aij) ai,q η(1)ap1 · · · apq η(1)

donde s1 =

∑k<i,k=ial<j

|akl|+ (i− 1)− (j − 1)− 1 + sgC(q + 1).

δq+1di,j = (−1)s2

a11 · · · a1q η(1)ai1 d(aij) ai,q η(1)ap1 · · · apq η(1)

donde s2 =

∑k<i,k=ial<j

|akl|+ (i− 1)− (j − 1)− 1 + sgC(q + 1). Solo hay que te-

ner en cuenta que en la suma sgC(q + 1) aparece |d(aij)|, para concluir ques1 = −s2. Por otro lado, dqjδ

q+1 = 0.

Caso (III) : veamos que dijδk = −δkdij . Para ello, al igual que en la proposicion

anterior, diferenciamos si j < k, j > k + 1 o j = k.

• Si j < k, se tiene que dijδk = −δkdij . La diferencia de signo nos la da sgC(k)

que en el segundo factor aparece el grado de d(aij), lo que disminuye la sumaen uno.

• Si j > k + 1, dijδk = −δkdi,j−1. Se debe exclusivamente a que el numero de

columnas ha aumentado en uno y por tanto el signo de la diferencial tensorialcambia dependiendo de si se aplica primero la dk o despues.

• Si j = k, veamos que δkdik = −(dik+di,k+1)δk. Esta igualdad se debe basica-

mente al hecho de que el coproducto de H , ∆, conmuta con la diferencial, i.e.,∆(d(akj) = d(ak1j1)⊗ ak2,j2 + (−1)|ak1j1

|ak1j1 ⊗ d(ak2,j2)).

dkjdk = (−1)(a)

a11 · · · a1q

µ(ak1, ak+1,1 dµ(akj, ak+1,j) µ(akq, ak+1,q

ap1 · · · apq


Por tanto, acabamos de probar que dt + dc es una diferencial en BC(H).

Proposicion 3.6. dcds = dsdc.

Demostracion: Para probarlo es necesario hacer uso de la condicion de Hopf existenteentre el coproducto y el producto de H , µ⊗2(1⊗ T ⊗ 1)∆⊗2 = ∆µ.

Ası pues, veamos que δkδs+1 = δs+1δk.

De un lado, tenemos

δkδs+1 = (−1)s1

a11 · · ·∆(a1,k) · · · a1q

......

µ(as+1,1, as+2,1) · · ·∆(µ(as+1,k, as+2,k)) µ(as+1,q, as+2,q)...

...ap1 · · ·∆(ap,k) · · · apq

del otro:

δs+1δk = (−1)s2

a11 · · ·∆(a1,k) · · · a1q

......

µ(as+1,1, as+2,1) · · ·µ(∆as+1,k, ∆as+2,k) · · ·µ(as+1,q, as+2,q)...

...ap1 · · ·∆(ap,k) · · · apq

Donde los signos s1 y s2 vienen dados por las formulas

s1 = s + 1 + sgB(s + 1) + sg(s + 1, s + 2) + k + sgC(k)

s2 = k + sgC(k) + s + 1 + sgB(s + 1) + sg(s + 1, s + 2)

por tanto nos vale con comparar sg(s + 1, s + 2) en s1 y en s2. En particular, la formulapara sg(s + 1, s + 2) de s2 es

sg(s + 1, s + 2) =k−1∑i=1

|as+2,i|(|as+1,i+1|+ · · ·+ |∆as+1,k|+ · · ·+ |as+1,n|)

+ |∆1as+2,k|(|∆2as+1,k|+ |as+1,k+1|+ · · ·+ |as+1,n|)+ |∆2as+2,k|(as+1,k+1|+ · · ·+ |as+1,n|)

+n−1∑

i=k+1

|as+2,i|(|as+1,i+1|+ · · ·+ |as+1,n|)


Es mas, para j > k y j < k, el sumando del elemento as+2,j es igual en ambos casos.

Por tanto, restrinjamonos al sumando de as+2,k: Por una parte, tenemos

|as+2,k|(|as+1,k+1|+ · · ·+ |as+1,n|),

y por la otra tenemos

|∆1as+2,k|(|∆2as+1,k|+ |as+1,k+1|+ · · ·+ |as+1,n|)+ |∆2as+2,k|(as+1,k+1|+ · · ·+ |as+1,n|)

Pero, esta no es mas que la condicion de Hopf con respecto a los signos, por lo que obte-nemos que dcds = dsdc.

Proposicion 3.7. El morfismo

dBC = dt + dc + (−1)qds : Hp,qn → Hp,q

n−1 ⊕Hp−1,qn ⊕Hp,q+1

n

es una diferencial para el tricomplejo BC(H) = Hp,qn p,q,n≥0.

Demostracion: Gracias a las tres proposiciones anteriores, probar que d2 = 0 se reducesimplemente a las tres observaciones siguientes:

dtdc + dcdt = 0.

(−1)qdcds + (−1)q+1dsdc = 0.

(−1)qdtds + (−1)qdsdt = 0.

3.1.2. La estructura multiplicativa de BC(H)En esta seccion definimos la estructura multiplicativa y comultiplicativa de BC(H), con-virtiendolo en una bialgebra.

La estructura de algebra en las filas de BC(H)

Definicion 3.2. Fijado el grado simplicial en n, definamos para todo n > 0, un productoen Hn,∗, µ : Hn,∗

∗ ⊗ Hn,∗∗ → Hn,∗

∗ , como un morfismo de grado cero (sin considerar elgrado simplicial) dado por

Hn,mk ⊗Hn,r

t → Hn,m+rk+t

(a, b) −→(

a b)


Proposicion 3.8. El producto µ es asociativo.

Demostracion:

µ(1⊗ µ) : Hn,∗∗ ⊗Hn,∗

∗ ⊗Hn,∗∗ → Hn,∗

∗

(a, b, c) −→ µ(a,(

b c)) =

(a b c

)µ(µ⊗ 1) : Hn,∗

∗ ⊗Hn,∗∗ ⊗Hn,∗

∗ → Hn,∗∗

(a, b, c) −→ µ((

a b), c) =

(a b c

)Proposicion 3.9. El producto µ conmuta con la diferencial cosimplicial y tensorial.

Demostracion: Para probar que el producto conmuta con las dos diferenciales, en primerlugar tenemos que considerar exclusivamente los grados cosimplicial y tensorial de unelemento de Hn,∗

∗ .

Una vez hecha tal puntualizacion, es trivial probar que µ(dt ⊗ 1 + 1 ⊗ dt) = dtµ. Seana ∈ Hn,q

k y b ∈ Hn,tr , entonces tenemos que

dtµ(a, b) = −∑i,j

(−1)P (i,j)

a11 · · · a1q b11 · · · b1t... · · · · · · · · · d(bij) · · ·

ap1 · · · apq bp1 · · · bpt

Aquellos sumandos cuya diferencial se aplica sobre bij tienen como signoP (i, j) = k +

∑|bkl|+ (i− 1)− (q + j − 1). Por otro lado,

µ(1⊗ dt) = dtµ(a, b) = −∑i,j

(−1)P (i,j)+|a|t−|a|c

a11 · · · a1q b11 · · · b1t... · · · · · · · · · d(bij) · · ·

ap1 · · · apq bp1 · · · bpt

donde el signo P (i, j) =

∑|bkl|+(i−1)−(j−1). Por tanto, ambos sumandos son iguales.

Ahora bien, para probar que µ(dc⊗ 1+1⊗dc) = dcµ, solamente hay que tener en cuentaque en el caso de la construccion cobar se tiene que µΩ(dc ⊗ 1 + 1 ⊗ dc) = dcµΩ, yque la diferencial cosimplicial definida actualmente es aplicar n-copias de la dc sobre unelemento de grado simplicial n, al igual que el producto es aplicar n-copias del productode la cobar.


Proposicion 3.10. El producto µ no conmuta con la diferencial simplicial.

Demostracion: Sean a, b ∈ Hn,∗∗ dos elementos, entonces ds(a), ds(b) ∈ Hn−1,∗

∗ , portanto, no es posible calcular µ(ds ⊗ 1) ni µ(1 ⊗ ds) dado que no coinciden los gradossimpliciales.

La estructura de coalgebra en las columnas de BC(H)

Definicion 3.3. Fijado el grado cosimplicial en n, definamos para todo n > 0, un copro-ducto en H∗,n, ∆ : H∗,n

∗ → H∗,n∗ ⊗H∗,n

∗ , como un morfismo de grado cero (sin considerarel grado cosimplicial) dado por

Hr,nt →

∑i+j=r

H i,nd ⊗Hj,n

t

a −→r∑

j=0

a11 · · · a1n...

...aj1 · · · ajn

⊗ aj+1,1 · · · aj+1,n

......

ar,1 · · · arn

Proposicion 3.11. El coproducto ∆ es asociativo.

Demostracion: Es simple probar que (∆⊗ 1)∆ = (1⊗∆)∆.

Por un lado (1⊗∆)∆ tenemos,

a11 · · · a1n...

...aj1 · · · ajn

−→∆

r∑j=0

a11 · · · a1n...

...aj1 · · · ajn

⊗ aj+1,1 · · · aj+1,n

......

ar,1 · · · arn

↓ 1⊗∆

r∑j=0

r−j∑i=0

a11 · · · a1n...

...aj1 · · · ajn

⊗ aj+1,1 · · · aj+1,n

......

aj+i,1 · · · aj+i,n

⊗ aj+i,1 · · · aj+i,n

......

ar,1 · · · ar,n


Por otro lado (∆⊗ 1)∆, a11 · · · a1n...

...aj1 · · · ajn

−→∆

r∑j=0

a11 · · · a1n...

...aj1 · · · ajn

⊗ aj+1,1 · · · aj+1,n

......

ar,1 · · · arn

↓ ∆⊗ 1

r∑j=0

j∑i=0

a11 · · · a1n...

...ai1 · · · ain

⊗ ai+1,1 · · · ai+1,n

......

aj,1 · · · aj,n

⊗ aj+1,1 · · · aj+1,n

......

ar,1 · · · arn

Proposicion 3.12. El coproducto ∆ conmuta con la diferencial simplicial y tensorial.

Demostracion: Para probar que el coproducto conmuta con las dos diferenciales, enprimer lugar tenemos que considerar exclusivamente los grados simplicial y tensorial deun elemento de H∗,m

∗ .

Una vez hecha tal puntualizacion, es trivial probar que (dt ⊗ 1 + 1⊗ dt)∆ = ∆dt.

Ahora bien, para probar que (ds⊗1+1⊗ds)∆ = ∆ds, solamente hay que tener en cuentaque en el caso de la construccion bar se tiene que (ds ⊗ 1 + 1⊗ ds)∆B = ∆Bds, y que ladiferencial simplicial definida actualmente es aplicar n-copias de la ds sobre un elementode grado cosimplicial n, al igual que el coproducto es aplicar n-copias del coproducto dela bar.

Proposicion 3.13. El coproducto ∆ no conmuta con la diferencial cosimplicial.

Demostracion: Sea a un elemento de H2,1r , entonces tenemos que

dc∆

(a11

a21

)→ (a11)⊗ (a21)→

∑i,j

(a11)⊗(

a2i a2j

)+

∑i,j

(a1i a1j

)⊗ (a21)

∆dc

(a11

a21

)→

∑ (a1i a1j

a2i a2j

)→

∑ (a1i a1j

)⊗

(a2i a2j

)

Observacion 3.1. Dada una algebra de Hopf conmutativa, se tiene que la construccioncobar al igual que la construccion bar posee sendos morfismos multiplicativo y comulti-plicativo que la convierte en una algebra de Hopf.


Un aspecto importante en dicha estructura es la complejidad existente en uno de los dosmorfismos (en el caso de la construccion Cobar, el coproducto es un shuffle, mientras queen el caso de la construccion bar, el producto es un shuffle).

Esta problematica junto con la incompatibilidad de los morfismos anteriormente definidoscon alguna de las tres diferenciales, nos lleva a afirmar rotundamente que estos no puedenser extendidos de modo natural a un producto y un coproducto globalmente, de modoque la restriccion sobre la primera fila y columna den las estructuras co-multiplicativascorrespondientes a la construcciones Bar y Cobar como algebras de Hopf.

Proposicion 3.14. El producto y coproducto anteriormente definidos verifican la condi-cion de Hopf generalizada, i.e, ∆µ = µ⊗2∆⊗2.

Demostracion: Dados a, b ∈ BC(H), distingamos dos casos.

|a|s = |b|s

Veamos que da ∆µ a11 · · · a1n...

...am1 · · · amn

,

b11 · · · b1n...

...bm1 · · · bmn

−→µ

a11 · · · a1n b11 · · · b1n...

......

...am1 · · · amn bm1 · · · bmn

↓ ∆

m∑j=0

a11 · · · a1n b11 · · · b1n...

......

...aj1 · · · ajn bj1 · · · bjn

⊗ aj+1,1 · · · aj+1,n bj+1,1 · · · bj+1,n

......

......

am1 · · · amn bm1 · · · bmn

Mientras que µ⊗2∆⊗2 a11 · · · a1n

......

am1 · · · amn

,

b11 · · · b1n...

...bm1 · · · bmn

↓ ∆⊗2

m∑j=0

a11 a1n

......

aj1 ajn

⊗ aj+1,1 aj+1,n

......

am1 amn

⊗ m∑

i=0

b11 b1n

......

bi1 bin

⊗ bi+1,1 bi+1,n

......

bm1 bmn


↓ µ⊗2

m∑j=0

a11 · · · a1n b11 · · · b1n...

......

...aj1 · · · ajn bj1 · · · bjn

⊗ aj+1,1 · · · aj+1,n bj+1,1 · · · bj+1,n

......

......

am1 · · · amn bm1 · · · bmn

|a|s 6= |b|s

Veamos que en este caso se tiene que

∆µ = 0 = µ⊗2∆⊗2.

La primera parte de la igualdad es facil ver que es cero, dado que µ(a, b) = 0.

Por otro lado, para ver que µ⊗2∆⊗2(a, b) = 0 supongamos que a es un elemen-to con grado simplicial |a|s = m y grado cosimplicial |a|c = n; analogamente,supongamos que b tiene grado simplicial |b|s = t y grado cosimplicial |b|c = p (conp no necesariamente distinto de n).

Es claro que el coproducto ∆ aplicado sobre a da suma de elementos de la formaa1 ⊗ a2, donde se verifica que |a1|s + |a2|s = |a|s y |a1|c = |a2|c = |a|c.

Igualmente, se tiene que al aplicar ∆ sobre b, este da lugar a una combinacionde elementos de la forma b1 ⊗ b2, donde se verifica que |b1|s + |b2|s = |b|s y|b1|c = |b2|c = |b|c.

Por tanto, es imposible que al hacer el producto µ(a1 ⊗ b1)⊗ µ(a2, b2) sean ambosterminos distintos de cero a la vez por una cuestion de grados simpliciales.

La estructura multiplicativa global de BC(H)

Dada la complejidad de la estructura diferencial de BC(H), esta nos lleva a definir pro-ductos y coproductos mucho mas sofisticados con el fin de que sean compatibles con ladiferencial total. En un primer paso, mostramos un morfismo de grado cero, asociativo,que al menos es compatible con la diferencial tensorial.

Definicion 3.4. Globalmente, podemos definir un morfismo en BC(H) trivial


µ : BC(H)⊗BC(H)→ BC(H) dado por

Hr,sn ⊗H t,w

m → H t+r,s+wn+m

(a, b) −→(

a 11 b

)donde 1 es la unidad del producto de H .

Proposicion 3.15. El morfismo µ es de grado cero y es asociativo.

Demostracion: Dividamos la prueba en dos partes

Es claro que µ es un morfismo de grado cero.

Sera asociativo si verifica µ(1⊗ µ) = µ(µ⊗ 1)

µ(1⊗ µ) : BC(H)⊗BC(H)⊗BC(H)→ BC(H)

(a, b, c) −→ µ(a,

(b 11 c

)) =

a 1 11 b 11 1 c

µ(µ⊗ 1) : BC(H)⊗BC(H)⊗BC(H)→ BC(H)

(a, b, c) −→ µ(

(a 11 b

), c) =

a 1 11 b 11 1 c

Lo que finaliza la demostracion.

Proposicion 3.16. El morfismo µ conmuta con la diferencial tensorial de BC(H).

Demostracion: La demostracion se sigue inmediatamente de la definicion (tambien esimportante mencionar que dicho morfismo no conmuta con la diferencial simplicial).

Siguiendo un poco esta lınea de definicion de morfismos candidatos a ser extendidosglobalmente, debemos tener en cuenta que en la construccion Cobar el producto vienedefinido por el producto trivial existente en el modulo tensorial, mientras que en la con-struccion Bar dicho producto es el producto shuffle.

Por tanto, dado que BC(H) es la generalizacion natural del producto tensorial de cons-trucciones Bar en columnas y construcciones Cobar en filas, consideremos el siguienteproducto globalmente.


Definicion 3.5. Globalmente, podemos definir µ : BC(H) ⊗ BC(H) → BC(H) unproducto en BC(H) dado por

Hr,sn ⊗H t,w

m → H t+r,s+wn+m

(a, b) −→∏[(

a 11 b

) ]donde 1 es la unidad del producto de H y

∏es el producto shuffle en cada columna, es

decir, dados a y b,

los completamos hasta ser elementos de HH t+r,∗∗ , dando lugar a:

a11 · · · a1s... · · · ...

ar1 · · · ars

1 · · · 1... · · · ...1 · · · 1

1 · · · 1... · · · ...1 · · · 1

b11 · · · b1w... · · · ...

bt1 · · · btw

Una vez completados consideramos el producto shuffle sobre cada columna inde-pendientemente dado por

[a11| · · · |ar1] ∗ [1| · · · |1] =∑

π

(−1)sg(α,β)[cπ11 | · · · |cπr+t,1 ],

donde la suma esta definida para todos los π ∈ (r, t)− shuffles.

Finalmente, “pegamos” ambas matrices, dando lugar a

(−1)P

sg(αi,βi)

cπ11 · · · cπ1,s+w

... · · · ...cπr+t,1 · · · cπr+t,s+w

Es decir, con respecto a la estructura “horizontal”, consideramos el producto dado por elproducto trivial de “pegado”, mientras que en la estructura “vertical”, consideramos unproducto shuffle globalmente sobre cada una de las columnas.

Proposicion 3.17. El morfismo µ es de grado cero y es asociativo.


Demostracion: La prueba es identica a la realizada en la proposicion 3.15.

Proposicion 3.18. El morfismo µ conmuta con las tres diferenciales de BC(H).

Demostracion: Dividamos la prueba dependiendo de la diferencial.

En primer lugar es claro que µ conmuta con la diferencial tensorial trivialmente.

De igual modo se ve que conmuta con la diferencial cosimplicial.

Por ultimo, teniendo en cuenta que el producto sobre las columnas es el productoshuffle generalizado del producto shuffle de la construccion Bar, y que la diferencialsimplicial de BC(H) tambien es la definicion generalizada de la diferencial simpli-cial de la construccion Bar, se tiene que µ conmuta con ds.

Finalmente, podemos visualizar el “tricomplejo” como un octante de R3

H3,1n

//

H3,2

n//

H3,3

n//

H3,4

n//

H3,5

n

H2,1n

//ds

H2,2

n//

H2,3

n//

H2,4

n//

H2,5

n

H1,1n dc

//

dt

H1,2n

//

H1,3n

//

H1,4n

//

H1,5n

H3,1n−1 H3,2

n−1 H3,3n−1 H3,4

n−1 H3,5n−1

H2,1n−1 H2,2

n−1 H2,3n−1 H2,4

n−1 H2,5n−1

H1,1n−1

//

H1,2n−1

//

H1,3n−1

//

H1,4n−1

//

H1,5n−1

H3,1n−2 H3,2

n−2 H3,3n−2 H3,4

n−2 H3,5n−2

H2,1n−2 H2,2

n−2 H2,3n−2 H2,4

n−2 H2,5n−2

H1,1n−2

// H1,2n−2

// H1,3n−2

// H1,4n−2

// H1,5n−2

3.2. A∞-algebras de Hopf por Perturbacion 75

3.2. A∞-algebras de Hopf por PerturbacionEn esta seccion daremos una respuesta a la pregunta :¿Cual es la definicion de A∞-alge-bra de Hopf desde el punto de Teorıa de Perturbacion?

La nocion de A∞-algebra de Hopf surge de modo natural desde el punto de vista delas contracciones, como un dg-modulo M que hereda de una dg-algebra de Hopf, vıauna contraccion r, sendas estructuras de A∞-algebra, µii∈I , y A∞-coalgebra, ∆jj∈J ,junto con unas operaciones hi,j : M⊗i → M⊗j , las cuales miden la diferencia entre lacomposicion de las operaciones µi con ∆j cuando sea posible. He aquı pues una serie deresultados que nos llevaran a dar una definicion de lo que es una A∞-algebra de Hopf.

Proposicion 3.19. Dada H una algebra de Hopf y r : H → M una contraccion, estainduce una nueva contraccion de dg-modulos

bc(r) : (BC(H), dt), (BC(M), dt), bc(f), bc(g), bc(φ),

donde los morfismos bcf, bcg, bcφ estan definidos por las formulas siguientes

bc(f)|BC(H)n = f ⊗ · · · ⊗ f ;︸︷︷︸n veces

bc(g)|BC(M)n = g ⊗ · · · ⊗ g;︸︷︷︸n veces

bc(φ)|BC(H)n =n−1∑k=0

1⊗ · · · ⊗ 1︸︷︷︸k veces

⊗φ⊗ gf ⊗ · · · ⊗ gf.︸︷︷︸n−k−1 veces

Demostracion: BC(H)p,q con la diferencial tensorial coincide con el modulo tensorialen grado pq, por lo que la contraccion resultante no es nada mas que el producto tensorialde la contraccion r consigo misma pq-veces.

En todo lo que sigue, supongamos que H es una dga-algebra de Hopf conexa, i.e., H0 'Λ. Considerada la aumentacion ξ : H → Λ, denotemos por H = Kerξ.

De modo analogo podemos construir BCH como el tricomplejo BC(H) al cual le hemoseliminado los elementos con grado tensorial cero.

Definicion 3.6. Dada H una dga-algebra de Hopf conexa, se define el modulo BCHcomo el modulo graduado

BCH = Λ⊕ H1,1 ⊕ (H2,1 ⊕ H1,2)⊕ · · · ⊕∑

i+j=k

H i,j ⊕ · · ·

junto con las diferenciales dt, ds y dc inducidas en H .


3.2.1. La estructura de A∞-coalgebraProposicion 3.20. Fijado n > 0, H∗,n es una coalgebra junto con la diferencial ds + dt.En particular, H∗,1 coincide con la construccion bar de H .

(H∗,1, ds + dt, | |s + | |t) ≡ B(H)

Demostracion: La primera parte del teorema ya lo hemos probado al establecer la com-patibilidad del coproducto con las diferenciales simplicial y tensorial, ası pues, veamosque (H∗,1, ds + dt, | |s + | |t) coincide con la construccion Bar. Para ello, examinemos lasformulas explıcitas de dt, ds y el coproducto definido en H∗,1

En primer lugar, la diferencial tensorial viene dada por dt|H∗,1 =

p∑i=1

di,1.

di = −(−1)P (i,1)

a11

...d(ai1)

...ap1

donde P (i, 1) =∑k<i

|ak1|+ (i− 1).

Esta formula coincide con la definicion de la diferencial tensorial en la construccionBar.

Igualmente se observa que la diferencial simplicial resultar ser la diferencial sim-plicial de la construccion Bar, es decir, ds =

∑p−1k=1(−1)kδk

δk = (−1)sgB(k)

a11

...µ(ak1, ak+1,1)

...ap1

donde sgB(k) =k∑

j=1

|aj1|.

Esta formula es la de la diferencial simplicial de la construccion Bar.

El coproducto claramente coincide con el coproducto definido en la construccionBar.

Teorema 3.21. Dada la contraccion r : H →M , si establecemos la contraccion 3.19

bc(r) : (BCH, dt), (BCM, dt), bc(f), bc(g), bc(φ)


la diferencial simplicial ds es un dato de perturbacion para la proposicion 3.19.

Aplicando el lema de perturbacion basico, tenemos una nueva contraccion

bc(r)ds : (BCH, dt + ds), (BCM, dt + d∞), bc(f)ds , bc(g)ds , bc(φ)ds

tal que la proyeccion sobre los elementos con grado cosimplicial igual a uno, da lugar auna A∞-coalgebra en M .

Demostracion: La primera parte de la demostracion es probar que la diferencial simpli-cial es un dato de perturbacion de bc(r), es decir, que bc(φ)ds es puntualmente nilpotente,lo cual es cierto, dado que bc(φ) aumenta en grado tensorial y ds disminuye el grado sim-plicial en uno, por lo que como maximo sobre un elemento con grado simplicial n, al cabode n-veces obtenemos un valor nulo.

De hecho la demostracion se debe exclusivamente a la proposicion 3.20, en la que hemosprobado que al considerar los elementos de BC(H) con grado simplicial 1, este coincidıacon la construccion Bar de H.

Ası pues, la estructura de A∞-coalgebra la encontramos en la pared lateral izquierda deltricomplejo.

H3,1n

ds

dt

H3,2n

ds

dt

H3,3n

ds

dt

H3,4n

ds

dt

H3,5n

ds

dt

H2,1n

ds

dt

H2,2n

ds

dt

H2,3n

ds

dt

H2,4n

ds

dt

H2,5n

ds

dt

H1,1n

dt

H1,2n

dt

H1,3n

dt

H1,4n

dt

H1,5n

dt

H3,1n−1

dt

ds

H3,2n−1

dt

ds

H3,3n−1

dt

ds

H3,4n−1

dt

ds

H3,5n−1

dt

ds

H2,1n−1

ds

dt

H2,2n−1

ds

dt

H2,3n−1

ds

dt

H2,4n−1

ds

dt

H2,5n−1

ds

dt

H1,1n−1

dt

H1,2n−1

dt

H1,3n−1

dt

H1,4n−1

dt

H1,5n−1

dt

H3,1n−2

ds

H3,2n−2

ds

H3,3n−2

ds

H3,4n−2

ds

H3,5n−2

ds

H2,1n−2

ds

H2,2n−2

ds

H2,3n−2

ds

H2,4n−2

ds

H2,5n−2

ds

H1,1n−2 H1,2

n−2 H1,3n−2 H1,4

n−2 H1,5n−2


que da lugar vıa bc(r) a

M3,1n

d∞

dt

M3,2n

d∞

dt

M3,3n

d∞

dt

M3,4n

d∞

dt

M3,5n

d∞

dt

M2,1n

d∞

dt

M2,2n

d∞

dt

M2,3n

d∞

dt

M2,4n

d∞

dt

M2,5n

d∞

dt

M1,1n

dt

M1,2n

dt

M1,3n

dt

M1,4n

dt

M1,5n

dt

M3,1n−1

dt

d∞

M3,2n−1

dt

d∞

M3,3n−1

dt

d∞

M3,4n−1

dt

d∞

M3,5n−1

dt

d∞

M2,1n−1

d∞

dt

M2,2n−1

d∞

dt

M2,3n−1

d∞

dt

M2,4n−1

d∞

dt

M2,5n−1

d∞

dt

M1,1n−1

dt

M1,2n−1

dt

M1,3n−1

dt

M1,4n−1

dt

M1,5n−1

dt

M3,1n−2

d∞

M3,2n−2

d∞

M3,3n−2

d∞

M3,4n−2

d∞

M3,5n−2

d∞

M2,1n−2

d∞

M2,2n−2

d∞

M2,3n−2

d∞

M2,4n−2

d∞

M2,5n−2

d∞

M1,1n−2 M1,2

n−2 M1,3n−2 M1,4

n−2 M1,5n−2

3.2.2. La estructura de A∞-algebraProposicion 3.22. Fijado n > 0, Hn,∗ es una algebra junto con la diferencial dc + dt. Enparticular, H1,∗ coincide con la construccion cobar de H .

(H1,∗, dc + dt, | |c + | |t) ≡ Ω(H)

Demostracion: La primera parte del teorema ya lo hemos probado al ver la compati-bilidad del producto con las diferenciales cosimplicial y tensorial, ası pues, veamos que(H1,∗, dc + dt, | |c + | |t) coincide con la construccion Cobar. Para ello, examinemos lasformulas explıcitas de dt, dc y el producto definido en H1,∗

En primer lugar, la diferencial tensorial viene dada por dt|H1,∗ =

q∑i=1

d1,i.

di = −(−1)P (1,i)(

a11 · · · d(a1i) · · · a1q

)donde

P (1, i) =∑k<i

|a1k| − (i− 1).

Esta formula coincide con la definicion de la diferencial tensorial en la construccionCobar.


La diferencial cosimplicial es la diferencial cosimplicial de la construccion Cobar,

i.e., dc =

q∑k=1

(−1)kδk

δk = (−1)sgC(k)(

a11 · · · a1,k−1 ∆(a1,k) a1,k+1 · · · a1q

)donde

sgC(k) =k−1∑l=1

|a1l|

El producto claramente tiene la misma definicion que el producto definido en laconstruccion Cobar.

Teorema 3.23. Dada la contraccion r : H →M , si establecemos la contraccion 3.19


la diferencial cosimplicial dc es un dato de perturbacion de la proposicion 3.19.

Aplicando el lema de perturbacion basico, tenemos una nueva contraccion

bc(r)dc : (BCH, dt + dc), (BCM, dt + d∞), bc(f)dc , bc(g)dc , bc(φ)dc

tal que la proyeccion sobre los elementos con grado simplicial igual a uno, da lugar auna A∞-algebra en M .

Demostracion: La primera parte de la prueba es ver que la diferencial cosimplicial es undato de perturbacion de bc(r), es decir, que bc(φ)dc es puntualmente nilpotente, lo cual escierto, dado que bc(φ) aumenta el grado tensorial y dc aumenta el grado cosimplicial enuno, por lo que gracias a la conexion del algebra de partida, al cabo de n-veces obtenemosun valor nulo.

De hecho la demostracion se debe exclusivamente a la proposicion 3.22, en la que hemosprobado que al considerar los elementos de BCH con grado cosimplicial 1, este coincidecon la construccion Cobar de H .

Ası pues, la estructura de A∞-algebra la encontramos en la pared frontal del tricomplejo:


H3,1n H3,2

n H3,3n H3,4

n H3,5n

H2,1n H2,2

n H2,3n H2,4

n H2,5n

H1,1n

dt

dc

// H1,2n

dt

dc

// H1,3n

dt

dc

// H1,4n

dt

dc

// H1,5n

dt

H3,5n−1

H2,5n−1

H1,1n−1

dt

dc

// H1,2n−1

dt

dc

// H1,3n−1

dt

dc

// H1,4n−1

dt

dc

// H1,5n−1

dt

H3,5n−2

H2,5n−2

H1,1n−2 dc

// H1,2n−2 dc

// H1,3n−2 dc

// H1,4n−2 dc

// H1,5n−2

que da lugar vıa bc(r) a

M3,1n M3,2

n M3,3n M3,4

n M3,5n

M2,1n M2,2

n M2,3n M2,4

n M2,5n

M1,1n

dt

d∞ // M1,2n

dt

d∞ // M1,3n

dt

d∞ // M1,4n

dt

d∞ // M1,5n

dt

M3,5n−1

M2,5n−1

M1,1n−1

dt

d∞ //

d∞

77

M1,2n−1

dt

d∞ //

d∞

77

M1,3n−1

dt

d∞ //

d∞

77

M1,4n−1

dt

d∞ // M1,5n−1

dt

M3,5n−2

M2,5n−2

M1,1n−2

d∞ //

d∞

77d∞

::

M1,2n−2

d∞ //

d∞

77d∞

::

M1,3n−2

d∞ //

d∞

77

M1,4n−2

d∞ // M1,5n−2

3.2.3. Los operadores de homotopıaEn esta seccion damos una nocion explıcita de las A∞-algebras de Hopf gracias a la teorıade perturbacion.


Ahora bien, gracias a una propiedad del lema de perturbacion que enunciamos a conti-nuacion, podemos establecer el siguiente teorema, el cual nos da una definicion de A∞-algebras de Hopf.

Lema 3.24. [GLS91] Sean r : N, M, f, g, φ una contraccion y δ, δ′ y δ + δ′ datos deperturbacion de r. Entonces,

(rδ)δ′ = (rδ′)δ = r(δ+δ′).

Teorema 3.25. Dada la contraccion r : H → M , donde H es una dg-algebra de Hopf yM es un dg-modulo, si consideramos la contraccion definida por la proposicion 3.19,


junto con el dato de perturbacion dc + (−1)qds, gracias al lema de perturbacion basico,podemos definir una nueva contraccion

bc(r)dc+(−1)qds : (BCH, dt +dc +(−1)qds), (BCM, dt +d∞), bc(f)∞, bc(g)∞, bc(φ)∞

tal que:

la proyeccion sobre los elementos con grado simplicial igual a uno, da lugar a unaA∞-algebra en M ;

la proyeccion sobre los elementos con grado cosimplicial igual a uno, da lugar auna A∞-coalgebra en M ;

los operadores de homotopıa de orden superior en M , son operacioneshi,j : M⊗i → M⊗j de grado i + j − 3, con i > 1, j > 1, los cuales vienen dadospor las formulas del lema de perturbacion basico que detallamos a continuacion.

Demostracion: Gracias al lema de perturbacion, junto con el lema anterior, sabemos que

bc(r)(dc+(−1)qds) = (bc(r)dc)(−1)qds= (bc(r)(−1)qds)dc

.

Con el fin de simplificar las formulas, denotemos por δ = dc, δ′ = (−1)qds, f = bc(f),g = bc(g) y por φ = bc(φ). La formula explıcita de d∞ es

d∞ = f(δ + δ′)∑i≥0

(−1)i(φ(δ + δ′))ig.


Desarrollando esta formula tenemos que

d∞ = fδ∑i≥0

(−1)i(φδ + φδ′)ig + fδ′∑i≥0

(−1)i(φδ + φδ′)ig

= fδ∑i≥0

(−1)i(φδ)ig︸︷︷︸(?)A∞-algebra

+ fδ′∑i≥0

(−1)i(φδ′)ig︸︷︷︸(∗)A∞-coalgebra

+ fδ∑i≥0

(−1)i

i∑k>0

σ((φδ)i−k(φδ′)k︸︷︷︸Permutaciones

)g + fδ′∑i≥0

(−1)i

i∑k>0

σ((φδ)i−k(φδ′)k︸︷︷︸Permutaciones

)g

︸︷︷︸(♦)Operadores de homotopıa de orden superior

donde σ( f igj︸︷︷︸Permutaciones

) denota la suma de todas composiciones posibles de f con g dadas

por las permutaciones del conjunto f, . . . , f︸︷︷︸i-veces

, g, . . . , g︸︷︷︸j-veces

.

Veamos pues que en la anterior formula, obtenemos la estructura de A∞-algebra, la estruc-tura de A∞-coalgebra y tambien la de A∞-algebra de Hopf, la cual auna las dos anteriores.

Como ya hemos visto en el teorema 3.20, sabemos que sobre elementos con gradocosimplicial 1, obtenemos la A∞-coalgebra de M , la cual viene dada por la formula(∗). Por tanto, solamente tenemos que restringir dicha formula a elementos M∗,1

∗ .

Analogamente, por el teorema 3.22, sabemos que sobre los elementos con gradosimplicial 1, obtenemos la A∞-algebra de M , la cual viene dada por la formula (?).Por tanto, solamente tenemos que restringir dicha formula a elementos M1,∗

∗ .

Ahora bien, para los operadores de homotopıa de orden superior

hi,j : M⊗i →M⊗j, con i > 1, j > 1,

veamos que las formulas (♦) nos los definen, siempre y cuando consideremoshi,j : M i,1 →M1,j . Para ello, veamos que tienen grado i + j − 3.

En las formulas detalladas anteriormente, el unico modo de ir de M i,1 a M1,j esaplicando (i−1)-veces la diferencial simplicial y (j−1)-veces la diferencial cosim-plicial, por tanto, las formulas explıcitas para hi,j son

hi,j = fδ(−1)i−1σ((φδ)i−2(φδ′)j−1︸︷︷︸Permutaciones

)g + fδ′(−1)i−1σ((φδ)i−1(φδ′)j−2︸︷︷︸Permutaciones

)g


Teniendo en cuenta el grado tensorial exclusivamente, es claro que δ y δ′ tienen gra-do cero, por tanto el grado de dichas operaciones depende del numero de operadoresde homotopıa φ en las formulas, que son, en el primer caso, (i − 2) + (j − 1) =i + j − 3, y en el segundo (i − 1) + (j − 2) = i + j − 3, tal y como querıamosprobar.

Definicion 3.7. Una A∞-algebra de Hopf es un modulo graduado H , dotado de una fa-milia de operaciones de modulos graduados hi,j : H⊗i → H⊗j , para todo i, j ≥ 1, degrado i + j − 3, de modo que:

La familia de operaciones hi,1 : H⊗i → H , define una estructura de A∞-algebra enH .

Igualmente, la familia de operaciones h1,j : H → H⊗j , define una estructura deA∞-coalgebra en H .

Al considerar el modulo tensorial BC(H), las extensiones lineales de la familia deoperaciones hi,ji,j definen una diferencial.

Un corolario inmediato de todos los resultados previos, junto con la definicion previa esel siguiente.

Corolario 3.26. Sean H una dga-algebra de Hopf con producto µ, coproducto ∆, Mun dga-modulo y r : H, M, f, g, φ una contraccion de dga-modulos. Entonces, Madquiere una estructura de A∞-algebra de Hopf inducida por la contraccion r dada porlas formulas

hn,1 = µn = (−1)[n−12

]fµφ⊗2µ[2] · · ·φ⊗(n−1)µ[n−1]g⊗n

h1,n = ∆n = (−1)[n−12

]f⊗n∆[n−1]φ⊗(n−1) · · ·∆[2]φ⊗2∆g

hi,j = (−1)[ i+j−22

]f⊗j∆σ((φ∆)i−2(φµ)j−1︸︷︷︸Permutaciones

)g⊗i + (−1)[ i+j−22

]f⊗jµσ((φ∆)i−1(φµ)j−2︸︷︷︸Permutaciones

)g⊗i

donde

∆[i] = (∆⊗ 1⊗ · · · ⊗ 1︸︷︷︸i−1 veces

+ · · ·+ (−1)i−1 1⊗ · · · ⊗ 1︸︷︷︸i−1 veces

⊗∆)

φ⊗i =i−1∑k=0

1⊗k ⊗ φ⊗ (fg)⊗(i−k−1)

[k

2] = Parte entera de

k

2

y µ, ∆ y φ deben ser entendidos en la formula de hi,j como las operaciones inducidas enla representacion matricial de BC(H).


3.3. Problemas abiertosEs importante mencionar en esta seccion algunas de las lıneas de investigacion que sepodrıan seguir gracias a diversos aspectos relacionados con los resultados aquı expuestos.

La primera lınea podrıa ser la busqueda de un modelo canonico de algebra de Hopf, esdecir, dada una A∞-algebra de Hopf M , encontrar una algebra de Hopf junto con unacontraccion que induzca vıa perturbacion las operaciones originales de M , y que ademascualquier otra algebra de Hopf que induzca vıa perturbacion las mismas operaciones seahomotopicamente equivalente a la primera como algebras de Hopf.

Este primer punto no parece facilmente asequible, visto el comportamiento multiplicativode la construccion BC(H), por lo que es posible que no se pueda obtener una respuestafacil ni rapida en el tiempo.

La segunda lınea de actuacion vive en el mundo computacional: una vez descrita to-talmente la estructura diferencial al igual que multiplicativa modulo BC(H), resultarıainteresante calcular vıa un ordenador las formulas explıcitas de los operadores de homo-topıa de orden superior.

Como primer paso, los algoritmos que calculan las estructuras de A∞-algebras al igualque A∞-coalgebras ya estan programados (tal y como mostramos en el ultimo capıtulo),aunque de modo independiente, por lo que serıa un avance significativo el poder calculartodas las operaciones involucradas (al menos a bajo nivel) en una A∞-algebra de Hopfdada por una contraccion globalmente.

De igual modo, el establecer las formulas explıcitas que deben verificar las operacionesunas con otras aparece como cuestion de modo natural.

Por ultimo, otro aspecto importante es estudiar las posibles interacciones entre el trabajode S. Saneblidze y R. Umble ([SU1],...,[SU4]) y el nuestro.

Capıtulo 4

Estructura de la Homologıa de losespacios de Eilenberg-Mac Lane

El objetivo principal de este capıtulo es el estudio de la estructura algebraica de la ho-mologıa de los espacios de Eilenberg-Mac Lane.

Es bien conocido en Topologıa Algebraica que en general los grupos de homologıa deun espacio dado son mas faciles de obtener que los grupos de homotopıa; de hecho, engeneral los grupos de homotopıa no se saben calcular. Por otro lado, dado un espaciotopologico, si se conocen los grupos de homologıa existen metodos clasicos (como laTorre de Whitehead o la Torre de Postnikov) para obtener resultados parciales de susgrupos de homotopıa. Dichos metodos consisten en anular adecuadamente los grupos dehomotopıa a partir de cierto nivel.

En esta construccion juegan un papel esencial los espacios de Eilenberg- Mac Lane, o mascomunmente conocidos como K(π, n), los cuales presentan un unico grupo de homotopıadistinto de cero, π, en dimension n.

Ası pues, la necesidad de conocer la estructura algebraica de dichos espacios surge demodo natural.

Centraremos nuestro estudio en la homologıa de los espacios de Eilenberg- Mac Lane concoeficientes en el anillo base Zp, con p primo, la cual, gracias a un trabajo de H. Cartan(vease [Car56]), se sabe que tiene estructura de algebra.

Demostraremos que desde el punto de vista de coalgebra, dicha homologıa explota en unaA∞-estructura en donde las operaciones que la definen estan estrechamente relacionadascon el numero primo p.

85

86 Capıtulo 4. Espacios de Eilenberg-Mac Lane

4.1. Propiedades principalesRecordemos brevemente algunas propiedades de los espacios de Eilenberg-Mac Lane. Enparticular, todos los resultados expuestos en esta seccion son ciertos para cualquier anillobase conmutativo con unidad distinta de cero y solo en la siguiente seccion sera cuandonos restrinjamos al anillo Zp.

Definicion 4.1. Dado X un espacio topologico, se dice que es un espacio de Eilenberg-Mac Lane de tipo K(π, n) si su unico grupo de homotopıa no trivial es πn(X) ≈ π(excepto π0 = Z).

Si consideramos como grupo Z, tenemos como ejemplo de K(Z, 1) a la esfera de dimen-sion uno, S1. Sin embargo, para n ≥ 2, los ejemplos se vuelven mucho mas complejos;de hecho, para n = 2 encontramos en la literatura como ejemplo el espacio proyectivocomplejo infinito CP∞, i.e,

πn(CP∞) =

Z si n = 0, 2;0 en otro caso.

Esta simplicidad en los grupos de homotopıa se transfiere en una complejidad enorme enla estructura algebraica de la homologıa como ya hemos indicado en la introduccion.

Para tener una definicion mas constructiva de los espacios de Eilenberg- Mac Lane, tene-mos que recurrir a la topologıa simplicial, la cual nos proporciona un metodo simple deobtener de modo recursivo K(π, n)’s para cualquier n, siempre y cuando π sea abeliano.

Lema 4.1. [May67] Dado π un grupo, si se define el conjunto simplicial K = Knn≥0,donde Kn = π para todo n y los operadores cara y degeneracion son la identidad de π,entonces K resulta ser un K(π, 0) y cualquier otro espacio de tipo K(π, 0) es natural-mente isomorfo a el (simplicialmente).

Ahora bien, para obtener un K(π, n) con n > 0, necesitamos dar la siguiente definicion

Definicion 4.2. [May67] Dado G un grupo simplicial, se define el espacio clasificante(geometrico) de G, Wg(G), como el conjunto simplicial

Wg(G)0 = ?

Wg(G)n = Gn−1 × · · · ×G0

δ0(gn−1, · · · , g0) = (gn−2, · · · , g0),

δi(gn−1, · · · , g0) = (δi−1gn−1, · · · , δ1gn−i+1, δ0gn−i · gn−i−1, gn−i−2, · · · , g0),

s0(gn−1, · · · , g0) = (en, gn−1, · · · , g0),

si(gn−1, · · · , g0) = (si−1gn−1, · · · , s0gn−i, en−i, gn−i−1, · · · , g0).


Si G es un grupo conmutativo simplicial, Wg(G) sera tambien un grupo simplicial con-mutativo cuyo producto es

(gn−1, · · · , g0) · (g′n−1, · · · , g0) = (gn−1g′n−1, · · · , g0g

′0).

En tal caso, se puede definir el clasificante iterado como W ng (G) = Wg(W

n−1g (G)) para

todo n ≥ 1, donde W 0g (G) = G.

Teorema 4.2. [May67] Sea π un grupo. Entonces, Wg(K(π, 0)) es un K(π, 1).Si ademas π es abeliano, entonces el conjunto simplicial W n

g (K(π, 0)) es un K(π, n).

K(π, n) ' W ng (K(π, 0))

De este modo, cada vez que nos refiramos a un K(π, n), lo estaremos haciendo desde elpunto de vista simplicial, como el clasificante geometrico iterado n veces.

Una vez adentrados en el mundo simplicial, para poder establecer una contraccion delcomplejo de cadenas asociado a este tipo de espacios, necesitamos dar un paso mas alla eintroducir la nocion de clasificante en su version algebraica, dada por S. Eilenberg y S.Mac Lane en los anos cincuenta.

Definicion 4.3. [EM53] Dada K una algebra simplicial conmutativa y aumentada, sedefine el clasificante algebraico de K como el algebra simplicial conmutativa, W (K), talque

W0(K) = [ ]

Wq(K) = Kq−1 ⊗ · · · ⊗K0 q > 0

El producto del algebra Wq viene definido por

(aq−1, · · · , a0) · (bq−1, · · · , b0) = (aq−1bq−1, · · · , a0b0).

En particular, el elemento unidad es 1(q,W ) = (1(q−1,W ), · · · , 1(0,W )) y los operadores caray degeneracion vienen dados por las formulas

δ0(aq−1, · · · , a0) = ξ(aq−1)(aq−2, · · · , a0),

δi(aq−1, · · · , a0) = (δi−1an−1, · · · , δ1aq−i+1, δ0aq−i · aq−i−1, aq−i−2, · · · , a0),

δq(aq−1, · · · , a0) = ξ(a0)(δq−1aq−1, · · · , δ1a1),

si(aq−1, · · · , a0) = (si−1aq−1, · · · , s0aq−i, 1q−i, aq−i−1, · · · , a0).


A mediados de los setenta, previo analisis de la estructura multiplicativa y comultiplica-tiva del clasificante en su version algebraica, V.K.A.M. Gugenheim y J.P. May aunaronambos conceptos, probando que bajo ciertas condiciones, el complejo de cadenas delclasificante geometrico coincidıa como dga-coalgebra con el clasificante algebraico delcomplejo de cadenas, es decir,

Proposicion 4.3. [GM74a] Si K es una algebra simplicial, entonces WN(K) es unadga-coalgebra coconmutativa salvo homotopıa. Si ademas K es conmutativa, entoncesWN(K) es una dga-algebra de Hopf conmutativa y coconmutativa salvo homotopıa.

Proposicion 4.4. [GM74a] Si π es un grupo simplicial reducido, la construccionWN(C∗(π)) coincide como dga-coalgebra con CN

∗ (Wg(π)). Si π es conmutativo, en-tonces coincidiran como dga-algebras de Hopf.

CN∗ (Wg(π)) ' WN(C∗(π))

Ası pues, sin perder ningun tipo de informacion a cerca de la estructura comultiplicativade los espacios de Eilenberg-Mac Lane de partida, hemos pasado de un espacio topologi-co, a su interpretacion algebraica, gracias a su modelo combinatorio-simplicial, tal y comomuestra la siguiente proposicion.

Proposicion 4.5. [EM53] Dados π un grupo abeliano y n ≥ 1, se puede construir unisomorfismo de dga-algebras de Hopf entre CN

∗ (K(π, n)) y W nN(K(π, 0)).

CN∗ (K(π, n)) ' W n

N(K(π, 0))

Ahora bien, dado nuestro interes en el calculo de la homologıa, si denotamos por B laconstruccion bar reducida definida en el capıtulo primero, esta jugara un papel importantea la hora de determinar tal estructura, veamos pues como. El primer resultado positivo aeste respecto fue dado por P. Real a primeros de los noventa

Teorema 4.6. [Rea93] Sea K una algebra simplicial aumentada (resp. algebra simplicialaumentada conmutativa). Entonces, se puede definir una contraccion cWB entre los dga-modulos

rWB : WN(K), BN(KN), fWB, gWB, φWBdonde la inyeccion gWB es un morfismo de dga-coalgebras (resp. es un morfismo dedga-algebras de Hopf) y la proyeccion fWB es un morfismo de dga-coalgebras salvohomotopıa (resp. es un morfismo de dga-algebras de Hopf salvo homotopıa).

rWB : WN(K) −→ BN(KN)

Este teorema fue generalizado en el mismo trabajo dando lugar a


Teorema 4.7. [Rea93] Sea n ≥ 1 y K una algebra simplicial conmutativa aumentada.Entonces, se puede definir una contraccion cn

WBentre los dga-modulos

rnWB : W n

N(K), BnN(KN), fn

WB, gnWB, φn

WB

donde la inyeccion gWB es un morfismo de dga-algebras de Hopf.

rnWB

: W nN(K) −→ Bn

N(KN)

Aun mas, teniendo en cuenta el Teorema de Eilenberg-Zilber, S. Eilenberg y S. Mac Laneestablecieron una contraccion entre la construccion bar del producto tensorial de dos alge-bras y el producto de las construcciones bar.

Teorema 4.8. [EM54] Sean A y A′ dos dga-algebras conmutativas, entonces se puedeconstruir una contraccion de dga-algebras rB : BN(A ⊗ A′) → BN(A) ⊗ BN(A′).Ademas la inyeccion es un morfismo de dga-coalgebras.

rB : BN(A⊗ A′) −→ BN(A)⊗ BN(A′)

Dicha contraccion, introducida en el capıtulo anterior, resulta ser desde el punto de vistade coalgebras, semi-completa, lo que nos permite hasta este punto preservar toda la es-tructura comultiplicativa del complejo de cadenas asociado a un K(π, n) cualquiera (conπ un grupo abeliano finitamente generado).

Ahora bien, con el fin de hacer mas facil el calculo, necesitamos presentar un par deresultados puramente algebraicos.

Teorema 4.9 (Teorema Fundamental de Grupos Abelianos Finitamente Generados). Todogrupo abeliano finitamente generado π es una suma directa de subgrupos cıclicosπj ⊂ π,

π = ⊕kj=1πj, πj = Z/νjZ, νj ∈ Z;

donde νj ≥ 1 pueden ser escogidos de modo unico (salvo permutacion) como potenciasde numeros primos pj , νj = p

ρj

j , ρj > 0 (ver, por ejemplo, [Kur56]).

Proposicion 4.10. [EM54] Sea π un grupo abeliano y n ≥ 0. Dada π = ⊕kj=1πj una

descomposicion de π en subgrupos, entonces se puede construir una contraccion de dga-modulos entre Bn

N(Λ(π)) y BnN(Λ(π1)) ⊗ · · · ⊗ Bn

N(Λ(πj)), donde la inyeccion es unmorfismo de dga-algebras de Hopf.

Demostracion: Teniendo en cuenta que π viene dado como suma directa de subgrupos,tenemos el isomorfismo de dga-algebras de Hopf

Λ[π] ∼= Λ[π1]⊗ · · · ⊗ Λ[πk];

Aplicando BN , obtenemos una contraccion de algebras de Hopf r⊕πj,


r⊕πj: BN(Λ(π))→ BN(Λ(π1))⊗ · · · ⊗ BN(Λ(πj))

Haciendo uso del teorema 4.8, obtenemos una contraccion entre BN(Λ[π]) yBN(Λ[π1])⊗· · ·⊗ BN(Λ[πk]), cuya inyeccion sigue siendo un morfismo de dga-algebrasde Hopf. Ası pues, aplicando reiteradas veces BN , se prueba el resultado anterior.

rn⊕πj

: BnN(Λ(π))→ Bn

N(Λ(π1))⊗ · · · ⊗ BnN(Λ(πj))

Por tanto, podemos restringir nuestro estudio del calculo de la A∞-estructura de la ho-mologıa de los K(π, n)’s al caso especial en que π es Z, i.e., ver que pasa con K(Z, n),para luego adentrarnos en los casos Zr, con r un natural y Zpr , con p primo.

4.2. Metodo de calculo y estudio multiplicativo de la ho-mologıa

Como ya hemos mencionado anteriormente, a la hora de calcular la homologıa de losespacios de Eilenberg-Mac Lane con coeficientes en Zp, solo necesitamos establecer unacontraccion, r(π,n);p, entre el complejo de cadenas de K(π, n), C∗(K(π, n); Zp) y un dga-modulo de tipo libre, el cual coincidira con la homologıa H∗(K(π, n); Zp), en caso deque su diferencial sea nula.

Para ello, nuestro punto de partida es el trabajo de A. Proute ([Pro84]) acerca de la A∞-coalgebra inducida sobre el producto tensorial de una algebra exterior y una algebra poli-nomial modificada; junto con los resultados anteriormente enunciados, en los cuales seestablecen los estadios intermedios para poder obtener la A∞-estructura de dichos espa-cios.

Veamos pues, el esquema del trabajo:

Hasta ahora, hemos conseguido establecer una contraccion rWB “conectando” elcomplejo de cadenas normalizado CN

∗ (Wg(π)) del clasificante geometrico de ungrupo abeliano π, y la construccion bar reducida BN(C∗(π)) del complejo de cade-nas normalizado de π.

Veremos a continuacion la necesidad de establecer un isomorfismo (o iso-contrac-cion) entre la construccion bar reducida del algebra exterior y el algebra polinomialmodificada.

Para acabar estudiando la transferencia vıa una contraccion entre la construccionbar reducida B(Γ(u, 2n)) y el producto tensorial infinito de algebras del tipoE(v, 2npi + 1)⊗ Γ(w, 2np(i+1) + 2).

4.2. Calculo y Estudio de la Homologıa 91

Teniendo en cuenta la terminologıa de tipos de contracciones introducida en el capıtuloanterior, se tiene que los dos primeros puntos estan determinados por contracciones quepreservan la estructura de coalgebra, siendo la ultima de estas contracciones la que pro-duce una estructura de A∞-coalgebra en el dg-modulo menor. Obviamente, la obtencionde una A∞-coalgebra en la homologıa viene dada por este ultimo hecho.

El isomorfismo mencionado como segundo paso de nuestro esquema fue demostrado porS. Eilenberg y S. Mac Lane.

Lema 4.11. [EM54] Para todo n ∈ N, se tiene el isomorfismo de dga-algebras de Hopf

B(E(u, 2n + 1))→ Γ(σ(u), 2n + 2)

[u| k veces· · · |u] γk(σ(u))

Dicho isomorfismo se puede ver como una iso-contraccion, en el cual hemos descrito elgenerador del algebra polinomial modificada por σ(u) = [u] con el fin de destacar quese puede obtener a partir del generador del algebra exterior, vıa la operacion suspensionσ : A→ B(A).

Una vez expuestos todos los resultados previos necesarios, pasemos a calcular la estruc-tura multiplicativa de la homologıa de los espacios de Eilenberg-Mac Lane con coefi-cientes en Zp, con p primo distinto de 2.

Antes de entrar en detalles y con el fin de hacer mas claro nuestro proposito, presentamosaquı el teorema principal de toda esta seccion.

Teorema 4.12. Sea π un grupo abeliano finitamente generado, n ≥ 3 un entero positivoy p un primo distinto de 2. Entonces, las unicas operaciones (posiblemente) no nulas enla estructura de A∞-coalgebra de H∗(K(π, n); Zp) son ∆i(p−2)+2, ∀i ≥ 0.

Demostracion: Para probar dicho teorema, necesitamos establecer una contraccion deC∗(K(π, n), Zp) en un dga-modulo libre de tipo finito.

Ası pues, nuestra demostracion sera desarrollada en primer lugar para el caso en que elgrupo π sea Z, dando lugar a una prueba inmediata para el caso en que π sea de la formaZr; a posteriori veremos que pasa para Zqr , finalizando ası el resultado para cualquiergrupo π abeliano finitamente generado.


4.3. Caso K(Z, n)

4.3.1. K(Z, n), donde n ≤ 2

En este caso, los resultados aquı mostrados son ciertos independientemente del anillobase.

n = 0

C∗(K(Z, 0), Λ)→ Λ[Z]⇒ H(K(Z, 0), Λ) = Λ[Z].

n = 1

C∗(K(Z, 1), Λ)→ B(C∗(K(Z, 0), Λ)) ' B(Λ[Z])⇒ H(K(Z, 1), Λ) = EΛ(u, 1).

Esta ultima afirmacion es bien conocida gracias al teorema

Teorema 4.13. [EM54] Dado el grupo Z, se puede construir una contraccion de dga-algebras de Hopf,

rZ : BN(Λ[Z]), E(u, 1), fZ, gZ, φZ,

donde los morfismos explıcitos vienen dados por

fZ([n]) = n · u, n ∈ ZfZxn = 0; xn ∈ Bn(Λ[Z]), n > 1;

gZ(u) = [1]

φZ[n1| · · · |nk] =

−

∑n1−1i=1 [1|i|n2| · · · |nk] si n1 > 1,

0 si n1 = 1,∑|n1|i=1[1| − i|n2| · · · |nk] si n1 < 1.

n = 2

C∗(K(Z, 2), Λ)→ B(C∗(K(Z, 1), Λ))⇒ H(K(Z, 2), Λ) = B(E(u, 1)) ∼= Γ(ν, 2).

4.3.2. K(Z, n), donde n = 3

C∗(K(Z, 3), Λ)→ B(C∗(K(Z, 2), Λ))⇒ H(K(Z, 3), Λ) = H(B(Γ(w, 2)), Λ).

Ahora bien, en caso de querer avanzar en nuestro estudio, debemos restringirnos al casoΛ = Zp y hacer uso del lema

4.3. Caso K(Z, n) 93

Lema 4.14. [Pro84] Si Λ = Zp, con p primo, entonces el morfismo definido por

Φ :∞⊗i=1

Qp(yi, 2npi)→ Γ(w, 2n)

yi −→ γpi(w)

es un isomorfismo de dga-algebras.

Demostracion: Recordemos aquı la definicion de las algebras polinomiales divididas (in-troducidas en el capıtulo primero), junto con alguna propiedad que se deduce automatica-mente, con el fin de hacer mas facil la demostracion.

Por definicion, Γ(w, 2n) es la dga-algebra libre generada por γ0(w) = 1,γ1(w) = w,...,γk(w),..., con |γk(w)| = 2kn, diferencial nula y producto dado por

γk(w)γh(w) =(k + h)!

k!h!γk+h(w).

Una propiedad inmediata es que w · γk−1(w) = kγk(w), la cual implica que

wk = k!γk(w)⇐⇒ γk =wk

k!.

Ahora bien, dado que estamos en caracterıstica p, con p primo, se tiene que

(γpi(w))k = k!γkpi(w).

Φ esta bien definida. Vale con probar que (Φ(yi))p = 0.

(Φ(yi))p = γpi(w)p =

(pi + pi)!

pi!pi!

(2pi + pi)!

2pi!pi!· · · ((p− 1) · pi + pi)!

(p− 1) · pi!pi!γpi+1(w) = 0.

Φ es biyectiva, claramente.

Φ esta definida sobre los generadores y se extiende de modo que conmute con losproductos.

Φ(yi · yi) = Φ(y2i ) = Φ(yi) · Φ(yi) = (γpi(w))2 = 2γ2pi(w).

Por tanto, si consideramos como anillo base Zp, por el lema anterior, podemos sustituirB(Γ(w, 2)) por la construccion bar de un producto infinito de algebras polinomiales trun-cadas


B(⊗∞

i=1 Qp(yi, 2pi)).

El siguiente escollo a resolver es si el producto infinito de coalgebras, sigue siendo unacoalgebra, con el fin de poder aplicar el teorema 4.8. Es aquı donde tenemos que buscar larespuesta en el mundo categorico. Sabemos que las dga-coalgebras forman una categorıa,por lo que gracias al siguiente teorema

Teorema 4.15. [Mac71] Dada una categorıa, el lımite inductivo pertenece a dicha cate-gorıa.

podemos afirmar que el producto tensorial infinito de dga-algebras es una dga-algebra,luego

B(∞⊗i=1

Qp(yi, 2npi))⇒∞⊗i=1

B(Qp(yi, 2npi)) preserva la estructura de coalgebra.

Por tanto, solo nos queda ver si es posible definir una contraccion del algebra truncadaQp(yi, 2npi), hacia un dga-modulo de tipo libre.

La contraccion B(Qp(u, 2n))→ E(v, 2n + 1)⊗ Γ(w, 2np + 2)

Dada Qp(u, 2n), podemos establecer una contraccion de su construccion bar hacia el pro-ducto tensorial de una algebra exterior con una algebra polinomial modificada,

rBQ = B(Qp(u, 2n)), E(v, 2n + 1)⊗ Γ(w, 2np + 2), fBQ, gBQ, φBQ.

Dicha contraccion r, es valida sobre cualquier anillo conmutativo con unidad distinta decero y viene definida sobre elementos homogeneos de B(Qp(u, 2n)), por la formulas quepasamos a detallar.

Dado [ur1 | . . . |urm ] un elemento de B(Qp(u, 2n)), de ahora en adelante lo denotaremospor [r1| . . . |rm], donde 0 ≤ ri < p; ademas con el fin de simplificar un poco mas la no-tacion, E(v, 2n + 1)⊗ Γ(w, 2np + 2) sera denotado por E ⊗ Γ.

Las formulas explıcitas de la contraccion cBQ son:

fBQ[r1|t1| . . . |rm|tm] = ∏m

k=1 δp,rk+tkγm(w),

fBQ[r1|t1| . . . |rm|tm|l] = δ1,l∏m

k=1 δp,rk+tkv ⊗ γm(w),

donde los sımbolos δi,j son los deltas de Kronecker:

4.3. Caso K(Z, n) 95

δi,j =

0 i 6= j1 i = j

El morfismo gBQ : E ⊗ Γ→ B(Qp(u, 2n)) esta definido sobre los generadores como:

gBQ(v) = [1],

gBQ(γk(w)) = [1|p− 1| k veces. . . |1|p− 1].

El operador de homotopıa φBQ esta definido por:

φBQ1 = 0; φBQ[1] = 0;

φBQ[x] = −[1|x− 1] 1 < x < p;

φBQ[x|y] = −[1|x− 1|y];

φBQ[x|y|z] = −[1|x− 1|y|z]− δp,x+y[1|p− 1|φ(z)]

donde z ∈ B(Qp(u, 2n)).

Proposicion 4.16. [EM54] La anteriormente definida

rBQ = B(Qp(u, 2n)), E(v, 2n + 1)⊗ Γ(w, 2np + 2), fBQ, gBQ, φBQ

es una contraccion.

Para poder determinar las operaciones no nulas

∆i : E ⊗ Γ→ (E ⊗ Γ)⊗i

en la A∞-coalgebra del dga-modulo menor E ⊗ Γ, debemos estudiar que pasa con

∆i = (−1)sigf⊗i(∆[i−1]φ[r,i−1] · · ·∆[2]φ[2])∆g, ∀i ≥ 2.

Recordemos que el coproducto en B(Qp(u, 2n)) es

∆([a1| · · · |ar]) =r∑

i=0

[a1| · · · |ai]⊗ [ai+1| · · · |ar].

Proposicion 4.17. Si descomponemos ∆(x) en la forma ∆ =∑

∆1(x)⊗∆2(x), siendox un elemento de B(Qp(u, 2n)), se verifican las propiedades


φBQ(∆1)igBQ = 0, i ≥ 1;

φBQ(∆1)iφBQ = 0, i ≥ 1.

A continuacion introducimos una herramienta que nos simplifique los calculos y nos sirvapara establecer que operaciones de la formula de la A∞-estructura son nulas. Por similitudcon trabajos anteriores en [Jim03], [CHATA00b], [CHATA00a], [Rea00], etc, esta tecnicala hemos querido denominar Teorıa de Inversiones.

Dicha tecnica, necesaria para alcanzar nuestro proposito teorico, resulta ser ademas muypotente a la hora de calcular las formulas explıcitas vıa un ordenador dado que simplificala complejidad, tanto en tiempo como en espacio, de las operaciones involucradas (di-cho estudio sera descrito en la ultima seccion, haciendo una comparativa teorica entre elcalculo usando o no dicha estrategia).

Teorıa de Inversiones

Definicion 4.4. Sea S el submodulo de B(Qp(u, 2n)) generado por los elementos[a1|a2| · · · |ar] tales que o bien a2i+1 = 1 para todo i o bien a2i = 1 para todo i y loselementos del tipo [ai] con 1 ≤ i ≤ p− 1.

Proposicion 4.18. Con la definicion anterior de S, se verifican las propiedades

φBQ(S) ⊂ S,

∆(S) ⊂ S ⊗ S,

Im gBQ ⊂ S.

Definicion 4.5. Dado [x] ≡ [a1|a2| · · · |ar] ∈ B(Qp(u, 2n)), diremos que posee t inver-siones dependiendo de los casos:

Si [x] es de la forma [1|a1| · · · |ar|1] o [1|a1| · · · |1|ar], entonces tiene t inversionessi existen t-ai’s, donde ai ∈ 1, . . . , p− 2.

Si [x] es de la forma [a1|1|a2| · · · |1] o [a1|1|a2| · · · |ar], entonces tiene t inversionessi existen (t + 1)-ai’s, con ai ∈ 1, . . . , p− 2.

Si [x] ≡ [1|1| · · · |1|1], tiene [n/2]-inversiones, donde n es el numero de 1’s.

El elemento [ai] tiene 0-inversiones para todo i ∈ 1, · · · , p− 1.

Observacion 4.1. Si tenemos [x] ⊗ [y], diremos que [x] ⊗ [y] tiene t-inversiones si [x]tiene r-inversiones, [y] tiene s-inversiones y r + s = t.

4.3. Caso K(Z, n) 97

Proposicion 4.19. Con esta definicion, se verifican las siguientes propiedades:

φBQ(elemento con i-inversiones) =∑

elementos con al menos (i + 1)-inversiones,

∆(elemento con i-inversiones) =∑

elementos con al menos (i− 1)-inversiones

fBQ(elemento con i-inversiones) = 0, ∀i ≥ 1.

Es particular, f es distinto de cero si y solo si actua sobre elementos de la forma:

[1|p− 1| · · · |p− 1|1], [1|p− 1| · · · |p− 1], [p− 1|1| · · · |p− 1|1], [1].

φ sobre los elementos del tipo 1 o del tipo 3 es nulo.

Definicion 4.6. Dado un elemento ai, con 1 ≤ ai < p−1, definimos el grado de inversionde ai, denotado por |ai|, como “lo lejos que esta de 1”, es decir,

|ai| = ai − 1.

Definicion 4.7. Dado un elemento [x] ∈ B(Qp), se define el grado de inversion de[x] = [a1| · · · |ar], como la suma de los grados de los ai’s.

Proposicion 4.20. Con esta definicion, se verifican las propiedades:

φBQ(elemento con grado inv. i) =∑

elementos con grado inv. (i− 1), i 6= 0,

φBQ(elemento con grado inv. 0) =

0 ai = 1,∀i,∑

elementos con grado inv. p− 3 otro caso;

∆(elemento con grado inv. i) =∑

elementos con grado inv. i,

fBQ(elemento con grado inv. i) = 0, ∀i ≥ 1.

Teorema 4.21. Las unicas operaciones no nulas en la estructura de A∞-coalgebra sobreE ⊗ Γ inducida por esta contraccion son ∆2 y ∆p.

Demostracion: Denotemos por (n, m) la pareja formada por (numero de inversiones,


grado de inversion) de un elemento.

E ⊗ Γ∆g // (0, 0)

φ(2)

(1, p− 3)

xxqqqqqqqqqqq

((QQQQQQQQQQQQ

∆2

(0, p− 3)

φ(3)

(1, p− 3)

φ(3)

(1, p− 4)

xxqqqqqqqqqqq

&&MMMMMMMMMMM

∆3

(2, p− 4) // 0

(0, p− 4)

φ(i−1)

(1, p− 4)φ(4)

// (2, p− 5) // 0

(1, p− i)∆i−1

// (0, p− i)f

// 6= 0⇔ ∆i = ∆p.

Ası que, las dos unicas operaciones distintas de cero en la estructura de A∞-coalgebra deE ⊗ Γ son ∆2 y ∆p.

De hecho, veamos cuales son las formulas explıcitas para las operaciones ∆2 y ∆p, te-niendo en cuenta como actuan sobre los generadores:

∆2(vi) =

i∑k=0

vk ⊗ vi−k, i ∈ 0, 1

∆2(γk(w)) =k−1∑i=1

γi(w)⊗ γk−i(w).

∆2(viγj(w)) =

i∑k=0

j∑l=0

γl(w)vk ⊗ γj−l(w)vi−k, i ∈ 0, 1.

∆p(vi) = 0 ∀i ≥ 0.

∆p(γj(w)) =∑

k1+···+kp=j−1

γkl(w)v ⊗ · · · ⊗ γkp(w)v.

∆p(γj(w)vi) =∑

k1+···+kp=j−1

γkl(w)vi+1 ⊗ · · · ⊗ γkp(w)vi+1.

4.3. Caso K(Z, n) 99

Proposicion 4.22. El morfismo g no es morfismo de dga-coalgebras.

Demostracion: Si lo fuera, deberıa verificar la igualdad

g⊗2∆2 = ∆g ⇒ (gf ⊗ gf) = (id⊗ id),

pero si consideramos el elemento [1|1]⊗ [1], tenemos que

(gf ⊗ gf)([1|1]⊗ [1]) = 0.

Propiedades de las operaciones de E ⊗ Γ.

Ademas, teniendo en cuenta las relaciones que tienen que verificar las operaciones

i∑n=1

i−n∑k=0

(−1)n+k+nk(1⊗i−n−k ⊗∆n ⊗ 1k)∆i−n+1 = 0. i ≥ 1

se deducen facilmente las ecuaciones

(1⊗∆1 + ∆1 ⊗ 1)∆2 = ∆2∆1

− (1⊗2 ⊗∆1)∆3 − (1⊗∆1 ⊗ 1)∆3 − (∆1 ⊗ 1⊗2)∆3 + (1⊗∆2)∆2 − (∆2 ⊗ 1)∆2 = ∆3∆1

Salvo para p = 3, esta ultima ecuacion se reduce a la anterior. Igualmente se puede verque existe una unica relacion entre ∆2 y ∆p si p 6= 3, esto es:

−∆p∆1 =

p−1∑k=0

(1k ⊗∆1 ⊗ 1p−1−k)∆p.

p−1∑k=0

(−1)k(1⊗p−k−1 ⊗∆2 ⊗ 1⊗k)∆p = (1⊗∆p)∆2 + (∆p ⊗ 1)∆2.

p−1∑k=0

(−1)p+k+pk(1⊗p−1−k ⊗∆p ⊗ 1⊗k)∆p = 0.

Proposicion 4.23. La operacion ∆2 es asociativa.

Demostracion: Si p 6= 3, trivialmente, se demuestra que

[(1⊗∆2)∆2 − (∆2 ⊗ 1)∆2](u • v) = 0.


Si p = 3, teniendo en cuenta la relacion entre ∆2, ∆3 y ∆1, y que ∆1 = 0 se demuestraque

−(1⊗2⊗∆1)∆3− (1⊗∆1⊗1)∆3− (∆1⊗1⊗2)∆3 +(1⊗∆2)∆2− (∆2⊗1)∆2 = ∆3∆1

Por tanto, ∆2 es asociativa si y solo si:

−(1⊗2 ⊗∆1)∆3 − (1⊗∆1 ⊗ 1)∆3 − (∆1 ⊗ 1⊗2)∆3 = ∆3∆1,

que se verifica, ya que ambos miembros de la igualdad valen cero.

Proposicion 4.24. La operacion ∆2 verifica la condicion de Hopf.

Demostracion: Denotemos por • el producto en E ⊗ Γ, ?S el producto shuffle y ∆S elcoproducto en BQ. Sabemos que BQ es un algebra de Hopf, por tanto, tenemos que BQverifica dicha condicion, i.e:

∆S?S = (?S ⊗ ?S)(1⊗ T ⊗ 1)(∆S ⊗∆S)

Para E ⊗ Γ deberıan cumplirse las ecuaciones:

∆i• = (• ⊗ •)(1⊗ T ⊗ 1)(∆i ⊗∆i)

donde el producto • viene dado en funcion del producto en BQ,• = f ?S (g ⊗ g), portanto

(• ⊗ •)(1⊗ T ⊗ 1)(∆2 ⊗∆2) = (• ⊗ •)(1⊗ T ⊗ 1)f⊗4(∆S ⊗∆S)(g ⊗ g)

= f⊗2(?S ⊗ ?S)g⊗4(1⊗ T ⊗ 1)f⊗4(∆S ⊗∆S)(g ⊗ g)

= f⊗2g⊗2(• ⊗ •)f⊗4(1⊗ T ⊗ 1)(∆S ⊗∆S)(g ⊗ g)

= f⊗2(?S ⊗ ?S)(1⊗ T ⊗ 1)(∆S ⊗∆S)(g ⊗ g)

Por otra parte

∆2• = f⊗2∆gf ?S (g ⊗ g) = f⊗2∆g • f⊗2(g ⊗ g) = f⊗2∆ ?S g⊗2f⊗2g⊗2

= f⊗2(?S ⊗ ?S)(1⊗ T ⊗ 1)(∆S ⊗∆S)(g ⊗ g).

Observacion 4.2. A pesar de que el estudio de la A∞-coalgebra de E ⊗ Γ lo hayamoshecho seleccionando el algebra truncada con generador de grado 2n, dicho estudio sepuede hacer igualmente para el algebra truncada con generador de grado 2npi.Lo unico que cambia es el grado de los generadores del algebra exterior y polinomialdividida, teniendose la contraccion

Bn(Qp(u, 2npi)→ E(v, 2npi + 1)⊗ Γ(w, 2npi+1 + 2).

4.3. Caso K(Z, n) 101

Una vez visto que la A∞-estructura sobre E ⊗ Γ esta formada por solo dos operaciones,a saber, ∆2 y ∆p, he aquı donde aplicamos la teorıa de perturbacion para seguir el proceso.

Consideremos ahora, el producto tensorial de dos algebras truncadas, Qp(yi, 2npi) yQp(yj, 2npj), con la unica restriccion de que la p en ambos casos coincida con el numeroprimo de Zp.

Gracias al teorema 4.8, sabemos que existe una contraccion de dga-coalgebras semi-completa entre B(Qp ⊗ Qp) y (BQp ⊗ BQp). Ası pues, nos es suficiente con considerarel coproducto del dg-modulo menor para ver la transferencia.

Denotemos por ∆∗ el coproducto del producto tensorial de las dos construcciones bares,el cual viene dado de modo explıcito por:

∆∗ = (1⊗ T ⊗ 1)(∆⊗∆).

La contraccion actual puede visualizarse graficamente

B(Qp ⊗Qp)rB //

r

&&MMMMMMMMMMMMBQp ⊗BQp

rBQ⊗cBQ

E ⊗ Γ⊗ E ⊗ Γ

Ahora los morfismos de la contraccion cp ⊗ cp vienen dados por las formulas:

g∗ = gBQ ⊗ gBQ,

f ∗ = fBQ ⊗ fBQ

φ∗ = 1⊗ φBQ + φBQ ⊗ gBQfBQ.

Las operaciones que determinan la A∞-estructura vienen dadas por las formulas (salvosigno):

∆i = (fBQ ⊗ fBQ)⊗i(∆∗[(i−1)]φ∗[r,i−1] · · · (∆∗[2]φ∗[r,2])∆∗(gBQ ⊗ gBQ), ∀i ≥ 2.

Definicion 4.8. Sea S el submodulo de (BQp⊗BQp), definido como el producto tensorialde S por S.

Proposicion 4.25. Con la definicion anterior de S, se verifican las propiedades

φ∗(S) ⊂ S,


∆∗(S) ⊂ S ⊗ S,

Im g∗ ⊂ S.

Proposicion 4.26. Definiendo las inversiones en el producto tensorial como suma deinversiones del primer factor mas inversiones del segundo, se tiene

φ∗(elemento con i-inversiones) =∑

elementos con al menos (i+1)-inversiones,

∆∗(elemento con i-inversiones) =∑

elementos con al menos (i− 2)-inversiones,

f ∗(elemento con i-inversiones) = 0, ∀i ≥ 1.

Proposicion 4.27. Del mismo modo, si definimos el grado de inversion en el productotensorial como la suma de los grados,

∆∗(elemento con grado inv. i) =∑

elementos con grado inv. i,

f ∗(elemento con grado inv. i) = 0, ∀i ≥ 1.

La demostracion de las dos proposiciones anteriores es inmediata de la propia definiciondel submodulo S, junto con las formulas de f ∗, φ∗ y ∆∗ en funcion de f , φ y ∆.

Teorema 4.28. Las unicas operaciones posiblemente no nulas en la A∞-coalgebra de(E ⊗ Γ)⊗ (E ⊗ Γ) son ∆2, ∆p, ∆2p−2.

Demostracion: Denotemos, por analogıa con el primer caso, (n,m) ⊗ (k, l) las parejasformadas respectivamente por

(numero de inversiones, grado de inversion)⊗(numero de inversiones, grado de inversion)

4.3. Caso K(Z, n) 103

de un elemento de B(Qp)⊗ B(Qp).

(0, 0)⊗ (0, 0)

uullllllllllllll

φ∗[2]

))RRRRRRRRRRRRRR

(1, p− 3)⊗ (0, 0)

uullllllllllllll

))RRRRRRRRRRRRRR

∆∗[2]

(0, 0)⊗ (1, p− 3)

(0, p− 3)⊗ (0, 0)

φ(3)

))RRRRRRRRRRRRRR(1, p− 3)⊗ (0, 0)

φ(3)

))RRRRRRRRRRRRRR

(1, p− 4)⊗ (0, 0)

∆∗[3]

(0, p− 3)⊗ (1, p− 3)

∆∗[3]

(2, p− 4)⊗ (0, 0)

(1, p− 3)⊗ (1, p− 3)

∆∗[3]

(0, p− 4)⊗ (0, 0)

φ(i−1)

(0, p− 3)⊗ (0, p− 3)

∆∗[i−1]

0 (0, p− 3)⊗ (0, p− 3)

∆∗[i−1]

(1, p− i)⊗ (0, 0)

∆i−1

(0, p− i)⊗ (0, 0)

f∗

(0,p−t)⊗(0,p−s)

s + t = 2 + i

f∗

6= 0⇔ ∆i = ∆p 6= 0⇔ ∆i = ∆2p−2

De hecho, es facil probar que

(∆φ)[k] · · · (∆φ)[2] =

(0, 0)⊗ (0, p− k − 1),

(0, p− k − 1)⊗ (0, 0),

(0, p− s)⊗ (0, p− t) tal que s + t = 3 + k.

Lo que prueba automaticamente que las unicas operaciones posiblemente no nulas sonaquellas para las cuales

k = p− 1, es decir, ∆p.

k = 2p− 3, es decir, ∆2p−2.

Las formulas explıcitas de las operaciones no son faciles de obtener, pero si podemos dara grandes rasgos su comportamiento sobre generadores. ∆2 que se corresponde con el


coproducto, viene dada por la formula

∆2(viγj(w)⊗ vlγk(w)) = (1⊗ T ⊗ 1)[∆2E⊗Γ

(viγj(w))⊗∆2E⊗Γ(vlγk(w))] =

(1⊗ T ⊗ 1)

[ i∑t=0

j∑h=0

γh(w)vt ⊗ γj−h(w)vi−t

]⊗

[ l∑r=0

k∑s=0

γs(w)vr ⊗ γk−s(w)vl−r

]=

i∑t=0

j∑h=0

l∑r=0

k∑s=0

[γh(w)vt ⊗ γs(w)vr ⊗ γj−h(w)vi−t ⊗ γk−s(w)vl−r

], i, l ∈ 0, 1;

La operacion ∆p, esta definida por

∆p(v ⊗ v) = 0;

∆p(γ1(w)⊗ γ1(w)) = permutaciones deγ1(w)⊗p−1 veces︷︸︸︷

1⊗ · · · ⊗ 1⊗p veces︷︸︸︷

v ⊗ · · · ⊗ vMientras que de ∆2p−2 podemos decir donde se anula y algun pequeno rasgo sobre losgeneradores de Γ

∆2p−2(v ⊗ v) = 0.

∆2p−2(γ1(w)⊗ γ1(w)) = permutaciones de2p−4 veces︷︸︸︷

1⊗ · · · ⊗ 1⊗2p veces︷︸︸︷

v ⊗ · · · ⊗ vDesde el punto de vista de algebras, (E ⊗ Γ)⊗2 sigue preservando su estructura y, portanto, es factible plantearse si la operacion ∆2, la cual juega el papel de coproducto, sigueverificando la condicion de Hopf, dando lugar a una algebra de Hopf con la peculiaridadde ser a la vez una A∞-coalgebra.

Proposicion 4.29. La operacion ∆2 verifica la condicion de Hopf.

Dado que las algebras de Hopf forman una categorıa, el producto tensorial de dos algebrasde Hopf, es una algebra de Hopf.

Las relaciones que verifican ∆2, ∆p, ∆2p−2 de modo detallado son

i = p + 1 :p−1∑k=0

(−1)k(1⊗p−k−1 ⊗∆2 ⊗ 1⊗k)∆p = (1⊗∆p)∆2 + (∆p ⊗ 1)∆2;

i = 2p− 1 :2p−3∑k=0

(−1)k(1⊗2p−3−k)⊗∆2 ⊗ 1⊗k)∆2p−2 +1∑

k=0

(−1)k(1⊗1−k ⊗∆2p−2 ⊗ 1⊗k)∆2+

p−1∑k=0

(−1)p+k+pk(1⊗p−1−k ⊗∆p ⊗ 1k)∆p = 0;

4.3. Caso K(Z, n) 105

i = 3p− 3 :2p−3∑k=0

(1⊗2p−3−k ⊗∆p ⊗ 1⊗k)∆2p−2 =

p−1∑k=0

(−1)k(1⊗p−1−k ⊗∆2p−2 ⊗ 1⊗k)∆p;

i = 4p− 5 :2p−3∑k=0

(−1)k(1⊗2p−3−k ⊗∆2p−2 ⊗ 1⊗k)∆2p−2 = 0.

Por tanto, para demostrar el teorema 4.12, solo nos falta probar que dada B(Q⊗jp ), la

contraccion r⊗j dada por

B(Q⊗jp )

r⊗jB //

r⊗j

$$II

II

II

II

II

B(Qp)⊗j

r⊗jBQ

(E ⊗ Γ)⊗j

induce sobre (E ⊗ Γ)⊗j una A∞-coalgebra, cuyas operaciones no nulas son ∆i(p−2)+2,para todo 0 ≤ i ≤ j.

Dicha prueba, la haremos suponiendo cierto el caso i = j y probando que se cumple parai = j + 1.

Sabemos por hipotesis que las operaciones distintas de cero en (E ⊗ Γ)j vienen determi-nadas por el producto tensorial de j-elementos, que verifican ciertas relaciones entre losgrados y las inversiones, esto es, son de la forma

(∆φ)[k] · · · (∆φ)[2](x1 ⊗ · · · ⊗ xn) =

(0, p− k − 1),

(0, 2p− k − 3),

· · · ,(0, i(p− 2)− 1− k))

Ası pues, obtenemos como operaciones las ∆n = ∆i(p−2)+2, con 0 ≤ i ≤ j. Para probarel caso i = j + 1, consideramos las inversiones y grado de inversion como si fuerael producto de dos unicos elementos (tal y como hicimos para el caso i=2). Es decir,agrupamos las inversiones y grados de las i-primeras coordenadas y hacemos el diagrama


de (inversiones, grado de inversion)

(0, 0)⊗ (0, 0)

uullllllllllllll

φ∗[2]

))RRRRRRRRRRRRRR

(1, p− 3)⊗ (0, 0)

uullllllllllllll

))SSSSSSSSSSSSSS

∆∗[2]

(0, 0)⊗ (1, p− 3)

(0, p− 3)⊗ (0, 0)

φ(3)

))SSSSSSSSSSSSSS(1, p− 3)⊗ (0, 0)

φ(3)

))RRRRRRRRRRRRRR

(1, p− 4)⊗ (0, 0)

∆∗[3]

(0, p− 3)⊗ (1, p− 3)

∆∗[3]

(2, p− 4)⊗ (0, 0)

(1, p− 3)⊗ (1, p− 3)

∆∗[3]

(0, p− 4)⊗ (0, 0)

φ(i−1)

(0, p− 3)⊗ (0, p− 3)

∆∗[i−1]

(0, p− 3)⊗ (0, p− 3)

∆∗[i−1]

(1, p− i)⊗ (0, 0)

∆i−1

(0, p− i)⊗ (0, 0)

f∗

(0,p−t)⊗(0,p−s)

s + t = 2 + i

f∗

6= 0⇔ ∆i = ∆p 6= 0⇔ ∆i = ∆2p−2 · · · ∆3p−4 · · · · · ·∆(j+1)(p−2)+2

De hecho, se tiene que las unicas operaciones no nulas son ∆n = ∆i(p−2)+2, para todo0 ≤ i ≤ j + 1.

Dado que las algebras de Hopf forman una categorıa y de que H∗(K(Z, 3); Zp) se puedepensar como el lımite inductivo de las algebras de Hopf ⊗i≥0(E ⊗ Γ), tenemos en parti-cular, que si consideramos la operacion ∆2, ⊗i≥0(E ⊗ Γ) tiene estructura de algebra deHopf.

Por tanto, acabamos de probar el teorema

Teorema 4.30. Las unicas operaciones (posiblemente) no nulas en la estructura de A∞-coalgebra de H∗(K(Z, 3); Zp) son ∆i(p−2)+2, ∀i ≥ 0.

4.4. Caso K(Zr, n) 107

4.3.3. K(Z, n), donde n = 4

C∗(K(Z, 4), Zp)→ B(C∗(K(Z, 3), Zp))→ B(∞⊗i=1

(E ⊗ Γ), Zp).

Por tanto tenemos que definir una contraccion de B(⊗∞i=1(E ⊗ Γ), Zp) hacia un dga-

modulo libre. Para ver que la A∞-coalgebra es la misma que el caso anterior, es necesariohacer uso de diversos resultados previos ya mostrados anteriormente.

c⊗B : B(⊗∞i=1(E ⊗ Γ), Zp)→ ⊗∞

i=1B(E ⊗ Γ).

⊗∞i=1B(E ⊗ Γ)→ ⊗∞

i=1B(E)⊗⊗∞i=1B(Γ).

B(E) ∼= Γ, Γ ∼= ⊗iQp.

Aplicamos el resultado previo sobre B(⊗iQp) dando lugar a la misma A∞-estructura.

El producto infinito de coalgebras,⊗iΓ, es una coalgebra. Ademas, si tensorizamosuna coalgebra con una A∞-coalgebra la estructura resultante en el producto tenso-rial queda definido por las operaciones de la A∞-coalgebra inicial (teorema 2.18).

La estructura A∞-coalgebra de la homologıa de K(Z, 4) con coeficientes en Zp esta for-mada por las operaciones ∆i, con i = k(p− 2) + 2, k ≥ 0.

4.3.4. K(Z, n), donde n > 4

Por un proceso de induccion, obtenemos que las unicas operaciones de la homologıa deK(Z, n), con n > 4, son ∆i, con i = k(p − 2) + 2, k ≥ 0. En definitiva, acabamos deprobar el teorema.

Teorema 4.31. Sea Z y n ≥ 3 un entero positivo. Entonces, las unicas operaciones (posi-blemente) no nulas en la estructura de A∞-coalgebra de H∗(K(Z, n); Zp) son ∆i(p−2)+2,∀i ≥ 0.

4.4. Caso K(Zr, n)

Veamos ahora el estudio para el caso en que el grupo π, se descompone como Zr. Al igualque antes, distinguimos si n es mayor que 2 o menor o igual a el.


4.4.1. K(Zr, n), donde n ≤ 2


n = 0C∗(K(Zr, 0), Λ)→ Λ[Zr]⇒ H(K(Zr, 0), Λ) = Λ[Zr].

n = 1

C∗(K(Zr, 1), Λ)→ B(C∗(K(Zr, 0), Λ)) ' B(Λ[Zr])⇒

B(Λ[Z])⊗ · · · ⊗ B(Λ[Z])→ EΛ(u, 1)r veces⊗ · · ·⊗︸︷︷︸ EΛ(u, 1).

n = 2

C∗(K(Zr, 2), Λ)→ B(C∗(K(Zr, 1), Λ))⇒ H(K(Zr, 2), Λ) =

B(E(u, 1))r veces⊗ · · ·⊗︸︷︷︸ B(E(u, 1)) ∼= Γ(ν, 2)

r veces⊗ · · ·⊗︸︷︷︸ Γ(ν, 2).

4.4.2. K(Zr, n), donde n ≥ 3

Es aquı de nuevo donde debemos restringir nuestro estudio al anillo base Zp, obteniendoal igual que para el caso π = Z, que las unicas operaciones de la homologıa de K(Zr, n)son ∆i, con i = k(p− 2) + 2, k ≥ 0. En definitiva, se tiene el resultado siguiente:

Teorema 4.32. Sea Zr, con r un natural y n ≥ 3 un entero positivo. Entonces, las unicasoperaciones (posiblemente) no nulas en la estructura de A∞-coalgebra de H∗(K(Zr, n); Zp)son ∆i(p−2)+2, ∀i ≥ 0.

4.5. Caso K(Zpr, n)

Veamos ahora el estudio para el caso en que el grupo π, se descompone como Zr. Al igualque antes, distinguimos si n es mayor que 2 o menor o igual a el.

4.5.1. K(Zpr , n), donde n < 2


n = 0C∗(K(Zpr , 0), Λ)→ Λ[Zpr ]⇒ H(K(Zpr , 0), Λ) = Λ[Zpr ].

4.5. Caso K(Zpr , n) 109

Es aquı de nuevo donde debemos restringir nuestro estudio al anillo base Zp, obteniendoque las unicas operaciones de la homologıa de K(Zpr , n) con coeficientes en Zp son ∆i,con i = k(p− 2) + 2, k ≥ 0.

n = 1

C∗(K(Zpr , 1), Zp)→ B(C∗(K(Zpr , 0), Zp)) ' B(Λ[Zpr ])⇒H(K(Zpr , 1), Zp) = E(u, 1)⊗ Γ(v, 2).

Dicha afirmacion es cierta gracias al teorema de S. Eilenberg y S. Mac Lane siguiente

Teorema 4.33. [EM54] Sea p un numero primo y r un numero natural. Sea Zpr un grupofinito cıclico de orden pr. Entonces, existe una contraccion de dga-algebras

rZpr : BN(Λ[Zpr ]), E(u, 1)⊗δpr Γ(v, 2), fZpr , gZpr , φZpr,

donde E(u, 1)⊗δpr Γ(v, 2) es el producto tensorial torcido, donde la diferencial viene de-terminada por la derivacion δpr cuya formula es

δpr(v) = ±pru.

Los morfismos explıcitos son:

fZpr [x1|y1| · · · |xn|yn] =n∏

i=1

s2(xi, yi)γn(v);

fZpr [x1|y1| · · · |xn|yn|z] = s1(z)n∏

i=1

s2(xi, yi)u⊗ γn(v);

gZpr (u) = [1];

gZpr (γk(v)) =∑

x1,...,xk∈Zpr

[1|x1| · · · |1|xk]

gZpr (u⊗ γk(v)) =∑

x1,...,xk∈Zpr

[1|x1| · · · |1|xk|1]

φZpr 1 = 0; φZpr [x] = −C(x);

φZpr [x|y|σ] = [−C(x)|y|σ]− s2(x, y)[∑

x∈Zpr

[1|x]|φZpr σ]


donde

s2 : Zpr × Zpr −→ Z

s2(i, j)→

0 si i + j < pr,

1 si i + j ≥ pr,

s1(i) = i si 0 ≤ i < pr,

C(x) =x−1∑i=0

[1|i].

Observacion 4.3. En nuestro caso, dado que el anillo base es Zp, obtenemos que δpr esnula, por lo que el producto tensorial torcido queda exclusivamente como el productotensorial E(u, 1)⊗ Γ(v, 2), tal y como mostramos mas arriba.

4.5.2. K(Zpr , n), donde n = 2

C∗(K(Zpr , 2), Zp)→ B(C∗(K(Zpr , 1), Zp))⇒ H(K(Zpr , 2), Zp) =

B(E(u, 1)⊗ Γ(v, 2))→ Γ(v, 2)⊗i (E ⊗ Γ).

4.5.3. K(Zpr , n), donde n > 2

Es aquı de nuevo donde debemos trabajar por induccion, obteniendo que las unicas ope-raciones de la homologıa de K(Zpr , n), con coeficientes en Zp, son ∆i, dondei = k(p− 2) + 2, k ≥ 0. Por tanto, en este caso, acabamos de probar el teorema

Teorema 4.34. Sea Zpr un grupo finito cıclico de orden pr, con p un primo distinto de 2 yr un natural. Si consideramos n ≥ 2 un entero positivo, entonces, las unicas operaciones(posiblemente) no nulas en la estructura de A∞-coalgebra de H∗(K(Zpr , n); Zp) son∆i(p−2)+2, ∀i ≥ 0.

4.6. Aplicacion computacional de la Teorıa de Inversiones.En esta seccion mostramos el ahorro computacional basado en la teorıa de inversionesen el calculo de las operaciones involucradas en la A∞-estructura de la homologıa de losespacios de Eilenberg-Mac Lane.

De hecho, solamente vamos a estudiar la contraccion

rBQ = B(Qp(u, 2n)), E(v, 2n + 1)⊗ Γ(w, 2np + 2), fBQ, gBQ, φBQ.

4.6. Aplicacion computacional de la Teorıa de Inversiones. 111

Es claro que dado que dicha contraccion aparece reiteradas veces para el calculo de A∞-coalgebra de K(Z, n), el minimizar costes computacionales en ella, significarıa una im-portante ventaja.

Recordemos pues, que la formula de las operaciones ∆i esta determinada (salvo signo)por

∆i = f⊗i(∆[i−1]φ[r,i−1] · · ·∆[2]φ[2])∆g, ∀i ≥ 2,

donde los morfismos f , g, φ estan dados por la contraccion rBQ y ∆ es el coproducto dela construccion bar.

∆([a1| · · · |ar]) =r∑

i=0

[a1| · · · |ai]⊗ [ai+1| · · · |ar].

Es importante hacer notar que el numero de inversiones de un elemento, sera quien nosdiga si es preciso o no aplicar el morfismo correspondiente (vease ∆, φ o f , segun corres-ponda) y el grado de inversion nos dira en que parte del elemento deberıa actuar algunode los morfismos anteriores.

De hecho, recopilando la informacion mostrada en las proposiciones 4.19 y 4.20, si de-notamos por (k, t) un elemento de B(Qp) con k-inversiones y t el grado de inversion,tenemos que la imagen de elementos por los morfismos ∆, f y φ nos dan combinacionescaracterizadas por

∆(k, t) =∑

al menos (k − 1, t)

f(k, t) = 0 si k > 0 o t > 0;

φ(k, t) =

∑al menos (k + 1, t− 1) t 6= 0,∑al menos (k + 1, p− 3) t = 0.

Por lo que dependiendo de las inversiones y grado de inversion sabemos si el resultado vaa ser nulo o no.

Para ver la mejora, nos vamos a basar exclusivamente en el numero de sumandos genera-dos, dependiendo del grado simplicial del elemento en cuestion.

Ası pues, consideremos un elemento x ∈ E⊗Γ, tal que al aplicarle g nos de un elementocon grado simplicial k.

El morfismo ∆ nos da una combinacion de elementos de la forma

[a1| · · · |an]⊗ [an+1| · · · |ak],


con n variando en 0, . . . , k, todos ellos con (0, 0) como pareja de (inversiones,grado de inversion). Es decir, por cada elemento de grado simplicial k, genera kelementos.

EL morfismo φ[2] genera al menos una inversion en cada elemento. Descartemosaquellos con inversiones mayores o iguales a 2.

Solo hay una unica posibilidad de que ∆[2] destruya la inversion anterior, por lo quepasa a dar un unico elemento en lugar de k.

Del mismo modo, solo hay que considerar el morfismo en la formula de φ[r,n] con-veniente, teniendo en cuenta que f sobre elementos con inversiones o grado deinversion distintos de cero, da cero.

Ası pues, podemos simplificar las formulas de ∆[n] y φ[r,n], en terminos del numero desumandos y por tanto en su complejidad, al igual que el tiempo invertido en el calculo.

Consideramos el numero de sumandos que intervienen en los morfismos antes menciona-dos como parametro temporal. Como criterio espacial el numero de elementos que pro-duce cualquier morfismo aplicado sobre un unico elemento de grado simplicial k. Conestos parametros, una tabla aproximativa de calculo espacio-tiempo es:

Comparacion Modo clasico InversionesMorfismos Tiempo Numero de Sumandos Tiempo Numero de Sumandos

f 1 1 1 1g 1 1 1 1∆ k k 1 1

∆[n] k2 k2 1 1

φ[r,n] n n 1 1∆2 k k 1 1∆p k4p−1 k4p−1 1 1

Por tanto, la eficiencia de un programa que incluyera las inversiones y grados de inver-sion como parametros a la hora de parar el proceso de computacion de las operacionesinvolucradas en la A∞-coalgebra de (E ⊗ Γ)⊗i, serıa muy superior a un programa que lounico que tuviera en cuenta fuera las formulas sin mas.

En nuestro caso, hemos creado un programa que muestra las formulas de A∞-estructurasgeneradas por perturbacion, es decir, dada una contraccion entre una dga-coalgebra y undga-modulo, obtenemos la A∞-coalgebra inducida sobre este ultimo. Dicho programasera explicado y desarrollado en detalle en el ultimo capıtulo.

4.7. Problemas abiertos 113

4.7. Cuestiones relacionadas y problemas abiertosUna vez analizada la A∞-coalgebra de la homologıa de los K(π, n)’s nos surgen pregun-tas y problemas abiertos relacionados con ellos.

Gracias a un teorema de E.H. Brown, cualquier espacio topologico es homotopicamenteequivalente al producto cartesiano torcido de un numero indeterminado de K(π, n)’s.Una pregunta interesante serıa ver cual es la A∞-estructura del producto cartesiano deun numero pequeno de K(π, n)’s haciendo uso de la teorıa de perturbacion, ası como lateorıa de inversiones, con el fin de poder obtener un resultado positivo, al igual que desdeel punto de vista computacional, mas efectivo.

Aparte del interes que de por sı suscita que un espacio, a priori tan elemental, tenga unaestructura tan rica en la homologıa, tambien queremos resenar la necesidad de determinarde modo explıcito las operaciones de dicha estructura a bajo nivel, que hasta ahora no sehan podido realizar, ni desde un punto de vista teorico ni computacional.

Por tanto, una lınea interesante podrıa ser ver si las operaciones de dicha A∞-estructuratienen algun comportamiento estratificado, es decir, que solo son distintos de cero paraelementos cuyo grado sea mayor que cierto valor y nulo por debajo, tal y como resultadosexperimentales parciales nos inducen a pensar.

Otro importante avance serıa ver que pasa al cambiar el anillo base Zp, por un anillo comopueda ser Z localizado en p con p primo. Como ya comentamos al final del capıtulo 2,se pueden establecer diversas contracciones que ligan el complejo de cadenas de K(π, n)con productos tensoriales torcidos de algebras como las aquı usadas, y que preservan laestructura de coalgebra hasta cierto grado. Ası pues, serıa interesante determinar el efectoen la A∞-coalgebra producido por dichas torsiones.

Capıtulo 5

Calculo simbolico de A∞-estructuras

En este capıtulo, presentamos una herramienta computacional creada explıcitamente paraobtener resultados experimentales con ejemplos concretos del calculo de A∞-estructurasvıa perturbacion.

El programa creado ha sido hecho en CLOS (Common Lisp Object System) y es unmodulo de aproximadamente 2500 lıneas que hemos anadido al programa ya existenteKenzo [DRSS99], el cual es un programa dedicado exclusivamente al calculo de invari-antes en Topologıa Algebraica y en particular, al calculo de grupos de homologıa entera(ver [Rub91], [Ser87]).

La eleccion de anadir un modulo a Kenzo y no a otros programas de calculo algebraicocomo Macaulay, Gap, etc, o de crear un nuevo programa desde cero, es debido a queseguimos la misma filosofıa.

Dada la importancia de esta eleccion, hablaremos mas extensamente en una posterior sec-cion acerca de la naturaleza de Kenzo para reforzar la comprension a nuestro modulocomputacional.

Trabajos como los de S. Eilenberg junto con S. Mac Lane sobre diversos aspectos de laTopologıa Algebraica, a mediados de los anos cincuenta del siglo pasado, con demostra-ciones constructivas han sugerido que la creacion de una Topologıa Algebraica Efectivaes posible. De hecho, en la mayorıa de sus trabajos, no solo demostraban la veracidad deun teorema, sino que en caso de estar buscando objetos con ciertas propiedades, dabanel modo de construirlos, lo que hace posible la traduccion inmediata al mundo computa-cional.

En este contexto, el lema de perturbacion basico es la herramienta fundamental usada

115

116 Capıtulo 5. Calculo simbolico de A∞-estructuras

exhaustivamente, para llegar a buen fin en nuestro proposito de calcular simbolicamentelas A∞-estructuras inducidas por una contraccion. De hecho, este lema ha llevado a laimplementacion real de algoritmos efectivos.

El lema basico podrıa traducirse en forma de algoritmo de la siguiente manera:

Input: c : (N, dN)

φ f

--(M, dM)

gnn + perturbacion δ

Output: cδ : (N, dN + δ)

φδ

fδ ..(M, dM + dδ)

gδ

nn confδ, gδ, φδ, dδ explıcitos

Nuestra aportacion en la parte computacional, ha sido la creacion de un modulo con tresgrandes pilares, a destacar:

Modificacion de todos los archivos de combinatoria con el fin de poder realizar todotipo de calculos con la aritmetica de Zp y no solo con la de Z.

Enriquecimiento de las clases de la parte algebraica de Kenzo, implementandoejemplos especıficos de algebras de Hopf, redisenando la jerarquıa de clases, etc.

Creacion de ARAIA (Algebra Reduction A∞-algebra) y de CRAIC (Coalgebra Re-duction A∞-coalgebra). Se trata de una serie de programas destinados a la obtencionde formulas explıcitas de A∞-estructuras inducidas por perturbacion sobre gene-radores de grado bajo en el dg-modulo menor.

5.1. Entorno de partida KENZO y aspectos basicos decomputacion

Para poder introducir nuestro trabajo, veamos primero algunas caracterısticas especialesde Kenzo; en primer lugar cabe decir que es un programa creado exclusivamente por espe-cialistas en Topologıa Algebraica y del area de la Computacion. Ademas hay que destacarque dicho programa sigue evolucionando tanto en su estructura interna como en su fun-cionalidad.

El lenguaje de programacion en el que esta disenado es el CLOS (Common Lisp ObjectSystem), lenguaje funcional con la propiedad de ser orientado a objetos, que permite una

5.1. Aspectos basicos 117

transferencia mas asequible de conceptos matematicos al mundo computacional.

En particular Kenzo es el resultado del intensısimo trabajo de diversos especialistas enTopologıa Algebraica Efectiva a lo largo de casi dos decadas, a destacar F. Sergeraert y J.Rubio; consta de aproximadamente 18000 lıneas de codigo. Dado que una de sus finali-dades principales es la de calcular grupos de homologıa entera de espacios topologicos(con ciertas condiciones optimas para ello), es facil ver que la parte topologica consta deuna gran variedad de archivos de codigo muy cuidado y sofisticado.

Este aspecto difiere totalmente de la simplicidad de las estructuras algebraicas que apare-cen en el diseno original, el cual no tiene en cuenta las posibles estructuras adicionales delos objetos.

Por tanto, como ya hemos dicho antes, uno de los primeros pasos que hemos tenido quellevar a cabo para el calculo de A∞-estructuras ha sido el enriquecimiento desde el puntode vista algebraico de Kenzo.

Nuestro objetivo es claro, queremos disenar un sistema de calculo simbolico (algebraico)en el que se puedan calcular distintos invariantes del objeto de partida, tales como la ho-mologıa, las A∞-estructuras existentes en dicha homologıa.

En la primera parte daremos diversos resultados teoricos, mientras que en la segunda partemostraremos resultados experimentales de dicho programa al igual que algun esbozo delcodigo fuente de los algoritmos involucrados.

Con el fin de hacer mas legible esta ultima parte de la memoria, a continuacion comentare-mos algunos aspectos basicos de computacion sin ser demasiado rigurosos.

Dado que nuestra filosofıa de programacion es la orientada a objetos, describimos losaspectos mas basicos de dicha programacion (ver [MO96])

Objeto-tipo: ideas o nociones sobre los cuales podemos aplicar funciones, etc. Endefinitiva, son sinonimos de conceptos.

Objeto: es un elemento que cumple los requisitos para pertenecer a un objeto-tipo.

Clase: son los objeto-tipo junto con las operaciones permisibles aplicables sobreellos.

Pongamos un paralelismo sencillo del mundo matematico para comprender las tres no-ciones, escojamos pues Sets: la nocion de conjunto es una nocion general, por tanto serıa


un Objeto-tipo, ademas cuando tratemos con un conjunto en concreto este serıa un obje-to de Sets, y ya cuando consideramos la categorıa Sets, entonces estarıamos hablando dela clase Sets.

La herencia nos permite crear jerarquıas haciendo que algunas clases puedan derivar deotras, es decir, hereden los atributos y las “operaciones permisibles”.

Si A hereda de otra clase B, se dice que A es una subclase de B, analogamente B es unasuperclase de A.

En particular, la importancia de la herencia radica en la posibilidad de reutilizar las ca-racterısticas de las clases existentes para crear nuevas.

Con respecto a las “operaciones permisibles” sobre los objetos debemos distinguir trescasos

Operacion: es una especie de proceso que esta siendo solicitado.

Metodo: es el procedimiento para determinar como se debe llevar a cabo una ope-racion.

Polimorfismo: es la “capacidad” de una operacion para soportar multiples tipos deobjetos, vıa diferentes metodos.

En particular, dicho polimorfismo es el que nos permite definir operaciones genericas (co-mo el producto tensorial de dos estructuras algebraicas) independientemente de la clase ala que pertenezcan.

Por otro lado, el caracter funcional del lenguaje de programacion LISP (ver [Gra96]), noslleva a destacar diversas propiedades

Definicion de funciones: definicion al puro estilo matematico.

Recursividad: se puede definir al igual que en matematicas una funcion referida ası misma de forma recursiva.

Evaluacion perezosa (lazy): dada una funcion, solo evalua los argumentos de lamisma si es necesario hacerlo para evaluarla.

Evaluacion voraz (eager): evalua todos los argumentos de la llamada a la funcionantes de evaluar la funcion propiamente.

5.1. Aspectos basicos 119

Para mostrar el uso util de la recursividad, tomemos como ejemplo trivial el factorial deun numero natural n ≥ 0, n!. Desde el punto de vista matematico f(n) = n! = n · · · 1, oequivalentemente f(n) = n · f(n− 1), con el pre-requisito de que f(0) = 1. Este mismoproceso, se puede hacer con lisp:

(defun fact (n)

(if(= 0 n)

1

(∗ n (fact (− n 1)))))

Para distinguir entre la evaluacion perezosa y la evaluacion voraz, veamos dos ejemplossimples. Supongamos que nuestra primera funcion toma dos numeros reales y da comoresultado su suma; en este caso, solo podemos usar una evaluacion voraz, dado que eldesconocimiento de uno de los numeros nos impedirıa obtener el resultado.

Ahora bien, supongamos que nuestra segunda funcion tiene como argumentos dos numerosreales, y nos da como resultado su multiplicacion. En este caso, es claro que dependiendode los casos, podemos usar la evaluacion perezosa o la voraz, el ejemplo clave es con-siderar uno de los argumentos cero, en ese caso da absolutamente igual que valga el otronumero, dado que sabemos que el resultado siempre va a ser nulo.

Una vez introducidas las nociones basicas, si volvemos a nuestro entorno de partida, unade las piezas claves del diseno de la estructura algebraica, es el hecho de que siempretrabajamos con modulos, algebras o estructuras algebraicas en general graduadas y condiferencial, por lo que tenemos asociado un complejo de cadenas a cada objeto algebraico.

Por tanto, en nuestro diagrama de clases, la “superclase” sera la clase formada por loscomplejos de cadenas (una vez identificado cada dg-modulo con su complejo de cade-nas), junto con los morfismos permitidos en dichas estructuras. De ahı heredaran todaslas propiedades las dg-algebras, dg-coalgebras y dg-algebras de Hopf.

Para clarificar un poco mas las bases de nuestro entorno, establezcamos un paralelismo en-tre el mundo matematico y el mundo computacional creado en Kenzo. Dicho paralelismoha sido creado basandonos exclusivamente en las ideas intuitivas, establecidas desde unpunto de vista matematico, de las nociones computacionales mas elementales que hemosido detallando en precedentes parrafos al igual que las similitudes mostradas con nocionesmatematicas que bien conocemos.

La siguiente tabla pretende dar una “equivalencia” de los terminos con el fin de hacer mascomprensibles los aspectos tecnicos tratados en posteriores apartados de este capıtulo.


Traduccion de objetos matematicos a objetos computacionalesMatematicas Programacion

Obj(Categorıa) ObjetoCategorıas Clases

Subcategorıas SubclasesRecursividad Recursividad

Paso al infinito Evaluacion perezosa

5.2. Aspectos tecnicos de nuestro modulo de programacionEn esta seccion pretendemos dar algunas pinceladas de los obstaculos y dificultades quehemos tenido que solventar a lo largo del proceso de generacion del programa, trasladan-do los conceptos matematicos a objetos computacionales.

Para ello, hemos considerado dividir la seccion en dos subsecciones, en la primera expli-camos los problemas mas importantes y en la segunda las soluciones adoptadas en cadacaso.

5.2.1. ProblemasComencemos tratando los problemas mas relevantes que se nos han planteado a la horade generar la estructura de clases en la parte algebraica de Kenzo.

Es importante mencionar, que en la version original y de momento oficial de Kenzo, solohay cuatro clases desde el punto de vista algebraico: chain-complex (CHCM), algebra(A), coalgebra (C) y Hopf-algebra (HA); las cuales podrıamos visualizar en el siguientediagrama de clases

CHCM

$$IIIIII

IIII

zzuuuuuu

uuuu

A

$$IIIIII

IIII C

zzuuuuuu

uuuu

HA

donde se sobreentiende que CHCM es una superclase de A y C, que a su vez son super-clases de HA, por lo que cualquier funcion aplicable sobre CHCM sera aplicable sobre A,sobre C, y por supuesto, sobre HA.

5.2. Aspectos tecnicos 121

Bucles Infinitos

Nuestro primer problema es el traspaso de una de las propiedades de categorıa, es decir,dados dos elementos de una categorıa, el producto de ambos nos proporciona un terceroque sigue perteneciendo a dicha categorıa.

En nuestro caso, como ya sabemos, las algebras, coalgebras y algebras de Hopf, formancada una de ellas una categorıa. Ademas, dadas dos algebras A y B (resp. coalgebras), suproducto tensorial, A⊗B, sigue siendo una algebra (resp. coalgebra).

Este nuevo objeto A⊗B, esta caracterizado por el morfismo de grado ceroµ = (µA ⊗ µB)(1⊗ T ⊗ 1), es decir,

(A⊗B)⊗2µA⊗B //

(1⊗T⊗1) ))RRRRRRRRRRRRRRA⊗B

(A⊗ A)⊗ (B ⊗B)

µ⊗µ

66mmmmmmmmmmmmm

Ası pues, desde el punto de vista matematico, no tenemos ningun problema a la hora dedefinir A ⊗ B como algebra, el problema lo encontramos cuando hacemos su traslacioncomputacional, veamos por que.

Al tratar con un sistema orientado a objetos, en nuestro entorno existe la clase “algebra”.Un objeto de esta clase esta caracterizado por ser un objeto de la clase CHCM junto conun producto µ. Ası pues, la clase creada esta definida como

(DEFCLASS ALGEBRA (chain-complex)((aprd :type morphism :reader aprd1)))

Por tanto, al ir a definir A⊗B como un objeto de la clase algebra, el sistema primero creael objeto A⊗B en CHCM y luego intenta definir el morfismo µA⊗B : (A⊗B)⊗2 → A⊗B;para ello, primero debe construir (A⊗B)⊗2.

He aquı donde se origina el bucle infinito: dado que (A ⊗ B) es una algebra, (A ⊗ B)⊗2

a su vez es reconocida como un objeto de la clase algebra, por lo que el sistema trata dedefinir el morfismo µ : (A⊗ B)⊗4 → (A⊗ B)⊗2, y ası sucesivamente, dando lugar a unbucle infinito.

Este es uno de los primeros escollos a salvar a la hora de querer enriquecer algebraica-mente toda la compleja estructura de Kenzo. En el siguiente apartado, veremos como


solucionar dicho problema.

Coherencia

Nuestro segundo y principal problema, tiene que ver con la “coherencia”. Nuestra filosofıaen todo el capıtulo de programacion es que cuanto mas estrictos seamos a la hora detrasladar el mundo matematico, mejor sera el resultado.

Dada la falta de estructuras algebraicas en Kenzo, es claro que nuestro primer paso debeser la creacion de nuevas clases, como por ejemplo las A∞-algebras.

Desde el punto de visto matematico, una A∞-algebra es un objeto algebraico mucho mascomplejo que una algebra, de hecho, la definicion a grandes rasgos es la generalizacionde la nocion de una algebra no necesariamente asociativa, que sı lo es salvo homotopıa(tal y como mostramos en el capıtulo segundo).

Ahora bien, desde el punto de vista computacional las A∞-algebras forman una clase masdebil que las algebras; mas debil en el sentido de que todas las propiedades de las A∞-algebras son, a su vez, propiedades que verifican las algebras.

He aquı donde topamos aparentemente con un problema de coherencia a la hora de tra-ducir nociones del mundo matematico a nuestro entorno computacional, i.e., un objetoque resulta ser mas complejo que otro desde el punto de vista matematico se vuelve massimple desde el punto de vista computacional. Veamos pues, en la siguiente seccion comoresolver tal enigma.

5.2.2. Soluciones

Al igual que en apartado anterior, primero plantearemos la solucion a la cuestion de buclesinfinitos, para mas tarde adentrarnos en el escollo principal relacionado con jerarquıas declases, herencias y, como ya hemos visto, una necesaria nueva perspectiva.

Bucles infinitos←→ “Slot-unbound”

Una vez que ya hemos visto el bucle infinito ocasionado por una de las propiedades denuestra programacion orientada a objetos, hemos de hacer uso de la una de las propiedadesde Lisp, la estrategia perezosa.


Supongamos, al igual que antes, que tenemos dos algebras, A y B, cuyo producto tenso-rial, A⊗B, queremos que a su vez sea una algebra.

Nos basta con obligar a que el programa cree el objeto A ⊗ B dejando el slot producto(que caracteriza dicho producto tensorial como objeto de la clase algebra) vacıo.

Esto es posible gracias al metodo slot-unbound, el cual solo carga el slot al que se hacereferencia en caso de que se pida explıcitamente.

(DEFMETHOD TNSR-PRDC ((algb1 algebra) (algb2 algebra)...)(declare (ignore rest))(let ((result (call-next-method)))(assert (typep algb1 ’algebra))(assert (typep algb2 ’algebra))(change-class result ’algebra)))

(DEFMETHOD SLOT-UNBOUND (class (result algebra)(name (eql ’aprd)))

(declare (ignore class))(let* ((dfnt (dfnt result))(algb1 (second dfnt))(algb2 (third dfnt))(aprd (cmps (tnsr-prdc (aprd algb1) (aprd algb2))(1-TT-1 algb1 algb2))))(setf (slot-value result ’aprd) aprd)))

Esta solucion aparentemente poco ortodoxa nos permite obviar las diferencias existentesentre las categorıas y sus analogos, las clases. A continuacion mostraremos un ejemploilustrativo de este hecho.

Ejemplo maquina

1. Definamos el algebra exterior con generador de grado 3 sobre Z, E(u, 3), el cual es unalgebra de Hopf.> (setf e3 (extr_algb 0 3))[K1 Hopf-Algebra]

2. Definamos el producto tensorial de dicha algebra consigo misma.> (setf ee (tnsr-prdc e3 e3))


[K3 Hopf-Algebra]

3. Si inspeccionamos el objeto generado por Kenzo, obtenemos que el slot “aprd”, esta vacıo,a pesar de que dicho objeto pertenece a la clase algebra de Hopf.> (inspect ee)

Inspecting the HOPF-ALGEBRA [K3 Hopf-Algebra]

object [K3 Hopf-Algebra]class #<standard-class hopf-algebra>type hopf-algebraaprd #:<unbound>basis #<Closure (flet tnsr-prdc-basis ...) @ #x20ced3da>bsgn <TnPr 0 0>cmmn #:<unbound>cmpr #<Closure (flet tnsr-prdc-cmpr ...) @ #x20ced3ba>cprd #:<unbound>dffr [K4 Morphism (degree -1): K3 -> K3]dfnt (tnsr-prdc [K1 Hopf-Algebra] ...)efhm #:<unbound>grmd #:<unbound>idnm 3mcprd #:<unbound>mprd #:<unbound>prpr #:<unbound>zp 0

4. Sin embargo, podemos hacer la multiplicacion de dos elementos de esta algebra:

> (aprd ee 3 (tnpr 0 (tnpr 0 0 0 0) 3 (tnpr 3 1 0 0)))------------------------------------------CMBN 3<1 * <TnPr 1 0>>-----------------------------------------------

Si volvemos a inspeccionar el objeto, obtenemos que el slot sigue estando vacıo aparente-mente, a pesar de haber obtenido el resultado anterior.> (inspect ee)

Inspecting the HOPF-ALGEBRA [K3 Hopf-Algebra]

object [K3 Hopf-Algebra]class #<standard-class hopf-algebra>type hopf-algebraaprd #:<unbound>basis #<Closure (flet tnsr-prdc-basis ...) @ #x20ced3da>bsgn <TnPr 0 0>cmmn #:<unbound>cmpr #<Closure (flet tnsr-prdc-cmpr ...) @ #x20ced3ba>cprd #:<unbound>dffr [K4 Morphism (degree -1): K3 -> K3]dfnt (tnsr-prdc [K1 Hopf-Algebra] ...)efhm #:<unbound>grmd #:<unbound>idnm 3mcprd #:<unbound>mprd #:<unbound>prpr #:<unbound>zp 0


Lo que nos lleva a una solucion correcta y sencilla.

Coherencia←→ Cambio de enfoque jerarquico

Historicamente, como ya hemos mencionado en capıtulos anteriores, la nocion de A∞-algebra surge a mediados del siglo veinte, con el fin de medir la perdida de asociatividaddel producto de una estructura dada.

El problema planteado anteriormente acerca de cual es el lugar que deberıa ocupar la clase“a-infty-algebra” en nuestro esquema de clases, es difıcil de resolver. De hecho, la mejorsolucion que hemos encontrado, parte de un cambio de enfoque por completo. Veamos enque consiste dicho enfoque.

En primer lugar, una A∞-algebra, M , la podemos codificar como un dg-modulo junto conun morfismo de grado cero de mprd : TM →M .(DEFCLASS A-INFTY-ALGEBRA (chain-complex)

((mprd :type morphism :reader mprd1)))

Esta codificacion tiene como contra que el grado de algunas de las operaciones involu-cradas no es el correcto en sentido estricto, de hecho, sabemos que si M es una A∞-alge-bra, entonces las operaciones que definen dicha estructura, dan lugar a una diferencial deTs(M) en Ts(M), es decir, un morfismo de grado -1.

Al cometer este pequeno abuso de notacion, cuando queramos calcular la imagen vıa estemorfismo sobre un elemento de M⊗n, deberemos cambiar convenientemente el grado dela combinacion dada por la maquina de cero a n− 2.

A su vez, como pro tiene que ahora resulta muy facil crear una jerarquıa correcta declases: dado que el producto de una algebra A puede verse como un morfismo de gradocero de mprd : TA→ A, en donde para todo n > 2, mprd : A⊗n → A es una operacionnula, y para n = 2, mprd coincide con el producto de A, aprd.

De este modo, en lugar de usar la estructura original de Kenzo, debemos anadir la A∞-algebra (AA) de modo que sea una subclase de chain-complex (CHCM) y que a su vezsea una superclase de algebra (A).

(DEFCLASS A-INFTY-ALGEBRA (chain-complex)((mprd :type morphism :reader mprd1)))

(DEFCLASS ALGEBRA (a-infty-algebra)


((aprd :type morphism :reader aprd1)))

Es decir, el punto de vista correcto es ver las estructuras como herederas de las A∞-estructuras. Si denotamos por AA la clase de A∞-algebras y por AC la clase de A∞-coalgebras,tenemos

CHCM

$$IIIIII

IIII

zzuuuuuu

uuuu

A

$$IIIIII

IIII C

zzuuuuuu

uuuu

HA

99K

CHCM

%%KKKKKKKKK

yysssssssss

AA

AC

A

%%KKKKKKKKKK C

yyssssssssss

HAEsquema antiguo Esquema nuevo

Enriquecimiento de las clases

Siguiendo un poco con la filosofıa mostrada anteriormente de como enriquecer la estruc-tura de clases de Kenzo de un modo coherente, hemos seguido anadiendo diversas clasesintermedias, dando lugar a un diseno mucho mas sofisticado actualmente.

De hecho, la busqueda de formulas explıcitas vıa una contraccion nos han llevado a definirmas clases dependiendo del tipo de objeto de partida a estudiar.

En particular, nuestro interes por comparar A∞-estructuras inducidas vıa perturbacioncon la posible estructura infinita ya existente en el dg-modulo menor, nos han llevado apreservar tal informacion, a costa de tener que generar un esquema de clases terriblementecomplejo, sofisticado y aparentemente difıcil de manejar.

Pasemos pues a describir las nuevas clases antes de analizar el esquema.

Si el dg-modulo de partida es una A∞-algebra AA, tenemos las subclases

AAAA: si inducimos una nueva A∞-algebra vıa una contraccion.

ACAA: si inducimos una nueva A∞-coalgebra vıa una contraccion.

Analogamente, si el dg-modulo de partida es A∞-coalgebra AC, tenemos las sub-clases


AAAC, ACAC.

Si el dg-modulo de partida es una algebra A, tenemos las subclases

DAA: si inducimos una nueva A∞-algebra vıa una contraccion.

DCA: si inducimos una nueva A∞-coalgebra vıa una contraccion.

Analogamente, si el dg-modulo de partida es una coalgebra C, tenemos las sub-clases

DAC, DCC.

Y si es una algebra de Hopf de partida HA, tenemos las subclases

DAHA, DCHA.

CHCM

'/WWWWWWWWWWWWWWWWW

WWWWWWWWWWWWWWWWW

ow ggggggggggggggggg

ggggggggggggggggg

AA

!!CCCC

CCCC

CCCC

AC

!!CCCC

CCCC

CCCC

AAAA

((QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ A

$,QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

666

6666

6666

6666

66

ACAA

AAAC

---

----

----

----

----

----

----

C

rz mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

666

6666

6666

6666

66

ACAC

vvmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

HA

$$IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

zzuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

DAA

,,YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY DCA

DAC

!!CCCC

CCCC

CCCC

DCC

rreeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

DCHA DAHA

Nuevo esquema de clases


5.3. Esbozo del codigo fuenteEn este apartado mostraremos algunas de las partes mas importantes del trabajo computa-cional, como seudo-codigo (pudiendose ver todo el codigo fuente en el apendice adjunto).

Es difıcil describir con exactitud todo el trabajo realizado dado que la finalidad de es-ta parte computacional siempre ha sido el enriquecimiento de Kenzo desde el punto devista algebraico con el fin de poder adaptar toda la herramienta ya implementada hacia elcalculo de las A∞-estructuras.

5.3.1. Modulo combinatorio sobre el cuerpo Zp

La primera parte en la que estamos interesados es en la parte combinatoria de Kenzo.Originalmente, este solo realizaba operaciones en Z, por lo que consideramos oportunomodificar todos los comandos existentes para poder trabajar sobre Zp, con p un numeronatural cualquiera (vease archivo combinations.cl).

Mostramos a continuacion una tabla con las leves modificaciones aplicadas a los coman-dos ya existentes en Kenzo con el fin de poder trabajar sobre un anillo arbitrario. Ası pues,dado que nuestro entorno se basa en combinaciones lineales, las sumas, restas y demasoperaciones siguen siendo validas en la actualidad. En caso de querer trabajar con Z essuficiente con poner en lugar de zp el 0.

Estructura de los comandos combinatorioscomandos en Kenzo-2 Nuevos comandos sobre Zp

(cmbn-opps cmbn) (cmbn-opps zp cmbn)(n-cmbn n cmbn) (n-cmbn zp n cmbn)

(2cmbn-add cmpr cmbn1 cmbn2) (2cmbn-add cmpr zp cmbn1 cmbn2)(2cmbn-sbtr cmpr cmbn1 cmbn2) (2cmbn-sbtr cmpr zp cmbn1 cmbn2)

(2n-2cmbn cmpr n1 cmbn1 n2 cmbn2) (2n-2cmbn cmpr zp n1 cmbn1 n2 cmbn2)(cmbn-cmbn cmpr n-cmbn-list) (cmbn-cmbn cmpr zp n-cmbn-list)

(nterm-add cmpr degr rest) (nterm-add cmpr zp degr rest)(ncmbn-add cmpr cmbn rest) (ncmbn-add cmpr zp cmbn rest)

Consideremos como ejemplo la suma de dos combinaciones donde en el primer caso que-remos sumar con coeficientes en Z, mientras que en el segundo, con coeficientes en Z10.

>(2cmbn-add #’s-cmpr 0 (cmbn 0 2 ’b) (cmbn 0 1 ’a 3 ’c))----------------------------------------CMBN 0<1 * A>

5.3. Esbozo del codigo fuente 129

<2 * B><3 * C>--------------------------------------------

>(2cmbn-add #’s-cmpr 10 (cmbn 0 9 ’a) (cmbn 0 1 ’a 3 ’c))-----------------------------------------CMBN 0<3 * C>--------------------------------------------

De igual modo, todos los dg-modulos y demas estructuras algebraicas han sido modifica-dos con el fin de determinar sobre que anillo se quiere trabajar. En caso de optar por elanillo Z, es suficiente con no especificar nada, dado que este es escogido por defecto.

De hecho, el objeto clave modificado es el objeto de la clase chain-complex, al cual lehemos anadido un “slot” en el que se debe precisar sobre que anillo se quiere trabajar(vease classes.cl):

(DEFCLASS CHAIN-COMPLEX (kenzo-object)((cmpr :type cmprf :reader cmpr1)(basis :type basis :reader basis1);; BaSe GeNerator(bsgn :type gnrt :reader bsgn);zpzp>(zp :type fixnum :reader zp);zpzp<;; DiFFeRential(dffr :type morphism :reader dffr1);; GRound MoDule(grmd :type chain-complex :reader grmd);; EFfective HoMology(efhm :type equivalence :accessor efhm)))

De este modo, automaticamente el resto de estructuras algebraicas extraen el anillo basedel dg-modulo subyacente, y por tanto, el producto tensorial, construcciones bar y cobarson generalizadas a cualquier anillo Zp.

5.3.2. Algebras polinomiales, exterioresEn esta pequena seccion mostramos algunos ejemplos de dga-algebras de Hopf que hemosanadido a Kenzo. De hecho, una de las finalidades a corto plazo de nuestro modulo es la


determinacion del comportamiento de las operaciones involucradas en la estructura deA∞-coalgebra de la homologıa de los espacios de Eilenberg- Mac Lane con coeficientesen Zp y para ello, necesitamos hablar de algebras polinomiales, exteriores, truncadas ymodificadas desde el punto de vista computacional. Veamos pues, algunos ejemplos clari-ficadores de su codificacion (vease small-cartan-complexes.cl, small-cartan-reduction.cl).

Para codificar los cuatro tipos de algebras, consideramos interesante hacerlo por los ex-ponentes de los generadores. Veamos parte del codigo fuente de

el algebra polinomial con un generador de grado n, P (u, n).

(DEFUN PLNM_ALGB (zp dmns)

(declare (fixnum zp dmns))

(unless (plusp dmns)

(error ... the dimension should be positive))

(the hopf-algebra

...

rslt)))

Consideremos como ejemplo, el algebra polinomial con coeficientes en Z con ungenerador de grado 3. Podemos ver el producto y el coproducto de dicha algebra deHopf:

> (setf zp3 (plnm_algb 0 3))

[K1 Hopf-Algebra]

> (aprd zp3 6 (tnpr 3 1 3 1))

---------------------------------------CMBN 6

<1 * 2>

-------------------------------------------

> (cprd zp3 6 2)

-----------------------------------------CMBN 6

<1 * <TnPr 0 2>>

<2 * <TnPr 1 1>>

<1 * <TnPr 2 0>>

------------------------------------------------


el algebra exterior con generador de grado impar E(u, 2n + 1):

(DEFUN EXTR_ALGB (zp dmns)


(unless (oddp dmns)

(error the dimension should be odd))

(the hopf-algebra

...

rslt)))

Consideremos como ejemplo, el algebra exterior con coeficientes en Z con un gene-rador de grado 5:

> (setf e5 (extr_algb 0 5))

[K13 Hopf-Algebra]

> (cprd e5 5 1)

---------------------------------------CMBN 5

<1 * <TnPr 0 1>>

<1 * <TnPr 1 0>>

-------------------------------------------------

> (aprd e5 10 (tnpr 5 1 5 1))

---------------------------------------CMBN 10

-----------------------------------------------

el algebra polinomial modificada con un generador de grado par Γ(u, 2n):

(DEFUN DVPW_ALGB (zp dmns)

(declare (type fixnum zp dmns))

(unless (evenp dmns)

(error the dimension should be even))

(the hopf-algebra

...

rslt)))


Consideremos como ejemplo, el algebra polinomial modificada con coeficientes enZ13 con un generador de grado 4:

> (setf z13dp4 (dvpw_algb 13 4))

[K7 Hopf-Algebra]

> (aprd z13dp4 12 (tnpr 8 2 4 1))

---------------------------------------CMBN 12

<3 * 3>

----------------------------------

> (cprd z13dp4 4 1)

------------------------------------CMBN 4

<1 * <TnPr 0 1>>

<1 * <TnPr 1 0>>

------------------------------------------------

el algebra polinomial truncada, Qp(u, 2n):

(DEFUN TRPW_ALGB (zp prm dmns)


(the algebra

...

rslt)))

Consideremos como ejemplo, el algebra polinomial truncada con coeficientes en Zcon un generador de grado 4 y p = 11:

> (setf tp11-4 (trpw_algb 0 11 4))

[K1 Hopf-Algebra]

> (aprd tp11-4 8 (tnpr 4 1 4 1))

----------------------------------------CMBN 8

<1 * 2>

---------------------------------------------

> (cprd tp11-4 8 2)

---------------------------------------CMBN 8


<1 * <TnPr 0 2>>

<2 * <TnPr 1 1>>

<1 * <TnPr 2 0>>

-----------------------------------------

5.3.3. Modulos ARAIA y CRAICComo ya hemos comentado anteriormente, el programa mas destacable anadido a Kenzoes un modulo, que nos permite calcular las estructuras de A∞-(co)algebras inducidas enel modulo menor de una contraccion dada, siempre y cuando el dg-modulo mayor sea una(co)algebra.

Dada una contraccion c : N → M , si N es una dg-coalgebra, CRAIC, Coalgebra Re-duction A-Infinity Coalgebra (resp. ARAIA, Algebra Reduction A-Infinity Algebra) esun metodo que funciona siguiendo el siguiente esquema:

Considera como input la contraccion c : N →M .

Chequea si N es una dg-coalgebra.

Crea una nueva contraccion Ts−1c : Ts−1(N)→ Ts−1(M).

Usa el BPL, anadiendo como dato de perturbacion la diferencial simplicial δ, paradar lugar a una nueva contraccion de la construccion Bar de N a la construccionBar Tilde de M : Bc : BN → (BM, dT + d∞).

Extrae la nueva diferencial inducida en el dg-modulo menor d∞ (la cual nos definela A∞-coalgebra inducida en M ) y la transforma en los ∆i inducidos en M .

Finalmente CRAIC devuelve la contraccion original c : N → M , con la unicamodificacion de la clase de M de dg-modulo a un objeto de la clase A∞-coalgebra.

Esta modificacion de la clase de M es porque estamos interesados en comparar la estruc-tura “antigua” con la nueva inducida, i.e., si M era originalmente una coalgebra, quiza,queramos a posteriori comparar el “antiguo” coproducto con la operacion ∆2 inducidapor la contraccion. Por este motivo, decidimos crear una estructura de clases muy com-pleja, en lugar de crear objetos nuevos.

De modo mas explıcito, el objeto M tiene los mismos slots que antes ademas de uno nue-vo imcprd (Induced Multi CoPRoDuct), que es un morfismo de M a TM , definido comola suma de los ∆ii con ciertos signos. Ası pues, si queremos determinar la A∞-coalge-bra de M , solo tenemos que aplicar imcprd sobre generadores e inspeccionar cual es su


imagen. La estructura de este slot es simple

(imcprd modulo (grado de elemento) elemento).

la salida es una combinacion (cmbn) de elementos de M⊗n con n ≥ 2. Como ejemplo, six ∈M⊗3, x = x1 ⊗ x2 ⊗ x3, este es codificado como

<<Mtnpr [|x1| x1][|x2| x2][|x3| x3]>>

Ejemplos didacticos

Consideremos dos ejemplos para ilustrar el funcionamiento de CRAIC: el primero es unejemplo trivial, en el que consideramos una dg-coalgebra y queremos ver cual es la A∞-coalgebra inducida por un isomorfismo sobre si misma.

El segundo ejemplo muestra la estructura transferida por la construccion bar de una alge-bra polinomial truncada hacia el producto tensorial del algebra exterior, E, con una alge-bra polinomial modificada, Γ.

Ejemplo 1: La contraccion trivial P (u, 2)→ P (u, 2)

Sea P (u, 2) el algebra polinomial generada por u de grado 2 con coeficientes en Z yconsideremos como isomorfismo el dado por la identidad. Como ya hemos visto anterior-mente, este isomorfismo se puede considerar como la iso-contraccion

c : P (u, 2), P (u, 2), 1P , 1P , 0,

y por supuesto, la A∞-coalgebra inducida sobre P (u, 2n) debe ser nula excepto para ∆2,el cual coincida con el coproducto original de P (u, 2), i.e, tiene que ser una dg-coalgebra.

> (setf p (plnm_algb 0 2)) ← PoLyNoMial ALGeBra en Z, |u| = 2.[K1 Hopf-Algebra] ← objeto de la clase Hopf-Algebra.> (setf r (trivial-rdct p)) ← Construccion de la iso-contraccion.[K9 Reduction K1 => K1]> (craic r) ← Llamada a CRAIC.[K9 Reduction K1 => K1]> (setf m (bcc r)) ← Extraccion del modulo menor.[K1 double-a-infty-clgb-h-algb] ← La clase cambia a hopf-alg+A∞-coalginducida.


> (imcprd m 2 1) ← ¿A∞-coalg. sobre u?----------------------CMBN 2<-1 * <<Mtnpr[0 0][2 1]>>> ← (0, u0)⊗ (2, u1) ∈M⊗2

<-1 * <<Mtnpr[2 1][0 0]>>> ← (2, u1)⊗ (0, u0) ∈M⊗2

---------------------------

> (imcprd m 4 2) ← ¿A∞-coalg. sobre u2?----------------------CMBN 4<-1 * <<Mtnpr[0 0][4 2]>>> ← (0, u0)⊗ (4, u2) ∈M⊗2

<-1 * <<Mtnpr[2 1][2 1]>>> ← (2, u1)⊗ (2, u1) ∈M⊗2

<-1 * <<Mtnpr[4 2][0 0]>>> ← (4, u2)⊗ (0, u0) ∈M⊗2

---------------------------

> (imcprd m 6 3) ← ¿A∞-coalg. sobre u3?----------------------CMBN 6<-1 * <<Mtnpr[0 0][6 3]>>> ← (0, u0)⊗ (6, u3) ∈M⊗2

<-1 * <<Mtnpr[2 1][4 2]>>> ← (2, u1)⊗ (4, u2) ∈M⊗2

<-1 * <<Mtnpr[4 2][2 1]>>> ← (4, u2)⊗ (2, u1) ∈M⊗2

<-1 * <<Mtnpr[6 3][0 0]>>> ← (6, u3)⊗ (0, u0) ∈M⊗2

-------------------------

De hecho, se ve experimentalmente que la maquina devuelve el coproducto de P (u, 2)como A∞-coalgebra inducida.

Ejemplo 2: La contraccion B(Q5(u, 2))→ E(v, 3)⊗ Γ(w, 12)

Consideremos como segundo ejemplo la contraccion entre la construccion bar del algebratruncada y el producto tensorial del algebra exterior con el algebra polinomial modifica-da. Teniendo en cuenta las formulas explıcitas descritas en el capıtulo 3, los elementos deestas algebras seran codificados por sus exponentes (como en el ejemplo anterior).

> (setf tr (trpw_algb 0 5 2)) ← TRuncated PoWer-ALGeBra in Z, p =5, deg(u)=2.

[K1 Hopf-Algebra] ← objeto de la clase Hopf-Algebra.> (setf rr (rdct-bar tr)) ← Construccion de la contraccion.[K32 Reduction K10 => K27]> (craic rr) ← Llamada a CRAIC.[K32 Reduction K10 => K27]> (setf m (bcc rr)) ← Extraccion del modulo menor.


[K27 double-a-infty-clgb-h-algb]← La clase cambia a hopf-alg+A∞-coalginducida.

> (imcprd m 3 (tnpr 3 1 0 0)) ← ¿A∞-coalg. sobre u⊗γ0?-------------------------------------CMBN 1<-1 * <<Mtnpr[0 <TnPr 0 0>][3 <TnPr 1 0>]>>> ← Elemento de M⊗2

<-1 * <<Mtnpr[3 <TnPr 1 0>][0 <TnPr 0 0>]>>> ← Elemento de M⊗2

--------------------------------------------

> (imcprd m 12 (tnpr 0 0 12 1)) ← ¿A∞-coalg. sobre u0 ⊗ γ1?-------------------------------------CMBN 15<-1 * <<Mtnpr[0 <TnPr 0 0>][12 <TnPr 0 1>]>>> ← Elemento de M⊗2


<-1 * <<Mtnpr[3 <TnPr 1 0>][3 <TnPr 1 0>] ← Elemento de M⊗5

[3 <TnPr 1 0>][3 <TnPr 1 0>][3 <TnPr 1 0>]>>>------------------------------------------

> (imcprd m 15 (tnpr 3 1 12 1)) ← ¿A∞-coalg. sobre u1 ⊗ γ1?-------------------------------------CMBN 15<-1 * <<Mtnpr[0 <TnPr 0 0>][15 <TnPr 1 1>]>>> ← Elemento de M⊗2



-----------------------------------------

> (imcprd m 24 (tnpr 0 0 24 2)) ← ¿A∞-coalg. sobre u0 ⊗ γ2?----------------------------------------CMBN 24<-1 * <<Mtnpr[0 <TnPr 0 0>][24 <TnPr 0 2>]>>> ← Elemento de M⊗2

<-1 * <<Mtnpr[12 <TnPr 0 1>][12 <TnPr 0 1>]>>>← Elemento de M⊗2


<-1 * <<Mtnpr[3 <TnPr 1 0>][3 <TnPr 1 0>] ← Elemento de M⊗5

[3 <TnPr 1 0>][3 <TnPr 1 0>][15 <TnPr 1 1>]>>><-1 * <<Mtnpr[3 <TnPr 1 0>][3 <TnPr 1 0>] ← Elemento de M⊗5




[3 <TnPr 1 0>][3 <TnPr 1 0>][3 <TnPr 1 0>]>>>

5.4. Aplicaciones 137

-------------------------------------------------

Una importante conclusion en la determinacion de la A∞-coalgebra inducida enE(u, 3)⊗ Γ(w, 12) es la formula experimental obtenida para ∆5,

∆5(ui ⊗ γj(w)) =

∑k1+···+kp=j−1

ui+1γkl(w)⊗ · · · ⊗ ui+1γkp(w).

5.4. AplicacionesLa finalidad ultima de este programa es la obtencion de resultados experimentales sobreA∞-estructuras junto con sus formulas explıcitas, que puedan dar luz sobre resultadosteoricos a posteriori.

Ahondando un poco mas en la contextualizacion del parrafo anterior, una aplicacion in-mediata es el estudio de las formulas explıcitas de la A∞-estructura del producto tensorialde varias A∞-estructuras definidas por perturbacion. Mostramos a continuacion algunejemplo de este caso.

5.4.1. Calculo de A∞-estructuras en productos tensorialesUna importante aplicacion de este programa es que se puede ver la naturaleza del pro-ducto tensorial de varias A∞-estructuras y dar a grandes rasgos las formulas explıcitas,desconocidas hasta ahora, gracias a una tarea experimental. Por supuesto, es importantedestacar que los algoritmos son de una complejidad enorme por lo que solo es posiblecalcular resultados en baja dimension.

Calculo de la A∞-coalgebra de E(u, 3)⊗ Γ(γ, 8)⊗2

Consideremos pues, como ejemplo el producto tensorial de E(u, 3) ⊗ Γ(γ, 8) consigomismo. Gracias a las propiedades de las contracciones, es posible construir el productotensorial de varias contracciones, el cual resulta ser nuestro punto de vista a la hora deabordar el estudio de las formulas explıcitas del dg-modulo antes mencionado.

> (setf tr2 (trpw_algb 0 3 2)) ← Q3(u, 2).

[K1 Hopf-Algebra] ← objeto de la clase Hopf-Algebra.> (setf r2 (rdct-bar tr2)) ← Construccion de la contraccion.[K32 Reduction K10 => K27]> (setf rr2 (tnsr-prdc r2 r2)) ← contraccion⊗contraccion.


[K42 Reduction K12 => K33]> (craic rr2) ← Llamada a CRAIC.[K42 Reduction K12 => K33]> (setf m (bcc rr2))[K33 double-a-infty-clgb-h-algb]

> (imcprd m 3 (tnpr 0 (tnpr 0 0 0 0) 3 (tnpr 3 1 0 0)))--------------------------------------------------CMBN 3<-1 * <<Mtnpr[0 <TnPr <TnPr 0 0> <TnPr 0 0>>]

[3 <TnPr <TnPr 0 0> <TnPr 1 0>>]>>> ← Elemento de M⊗2

<-1 * <<Mtnpr[3 <TnPr <TnPr 0 0> <TnPr 1 0>>][0 <TnPr <TnPr 0 0> <TnPr 0 0>>]>>> ← Elemento de M⊗2

-----------------------------------

> (imcprd m 8 (tnpr 0 (tnpr 0 0 0 0) 8 (tnpr 0 0 8 1)))----------------------------------------CMBN 8<-1 * <<Mtnpr[0 <TnPr <TnPr 0 0> <TnPr 0 0>>]



------------------------------------




---------------------------------





-----------------------------------------

5.4. Aplicaciones 139

> (imcprd m 32 (tnpr 16 (tnpr 0 0 16 2) 16 (tnpr 0 0 16 2)))

--------------------------------------CMBN 32

<-1 * <<Mtnpr[0 <TnPr <TnPr 0 0> <TnPr 0 0>>]


<-1 * <<Mtnpr[16 <TnPr <TnPr 0 1> <TnPr 0 1>>]


+ terms of M⊗2

<1 * <<Mtnpr[6 <TnPr <TnPr 1 0> <TnPr 1 0>>]

[6 <TnPr <TnPr 1 0> <TnPr 1 0>>]

[11 <TnPr <TnPr 1 0> <TnPr 0 1>>]



[11 <TnPr <TnPr 0 1> <TnPr 1 0>>]

[6 <TnPr <TnPr 1 0> <TnPr 1 0>>]


+ terms of M⊗4


[6 <TnPr <TnPr 1 0> <TnPr 1 0>>]

[6 <TnPr <TnPr 1 0> <TnPr 1 0>>]


---------------------------------------

Gracias a los calculos con diversos ejemplos a bajo nivel del producto tensorial del algebraexterior con el algebra polinomial modificada podemos mostrar las formulas experimen-tales para las operaciones involucradas en la estructura de A∞-coalgebra.

Formulas experimentales de ∆p

∆p(ui ⊗ γj ⊗ ul ⊗ γk) =

∑i

1i ⊗∆2(ui ⊗ γj)⊗ 1p−i−2

∆p(u

l ⊗ γk)

+∆p(ui ⊗ γj)

∑i

1i ⊗∆2(ul ⊗ γk)⊗ 1p−i−2

.

Formulas experimentales de ∆2p−2


∆2p−2(ui ⊗ γj ⊗ ul ⊗ γk) = ∑

i

1i ⊗∆p(ui ⊗ γj)⊗ 1p−i−2

∑j

1j ⊗∆p(ul ⊗ γk)⊗ 1p−j−2

.

5.5. Optimizaciones y posibles mejorasPor supuesto nos quedan mencionar unos cuantos puntos a mejorar del modulo que hemoscreado partiendo del programa Kenzo.

En primer lugar, cabe decir que la parte computacional de esta memoria, no es ni muchomenos una parte cerrada, dado que siempre existe la posibilidad de modificar pequenosaspectos computacionales que lo hacen mas eficiente o mas “correcto”.

Por supuesto, dado que trabajamos en Topologıa Algebraica, no podemos obviar el hechode que la mayorıa de los calculos son muy costosos en tiempo, lo que imposibilita probarcon ejemplos extremadamente complejos tanto por tiempo como por espacio; por tanto,cualquier mejora en los algoritmos implementados o la obtencion de nuevos metodos apriori mas eficaces, proporcionarıa una ventaja sustancial desde este punto de vista.

Como ejemplo, resultarıa interesante anadir parametros que se correspondan con la teorıade inversiones mostrada en el capıtulo anterior con el fin de evitar calculos superfluos.

Igualmente, el uso de estructuras mas ricas, permitirıa calculos mas eficientes. Comoejemplo a este respecto, sabemos que el algebra polinomial P (u, 2n) considerada comouna dga-algebra tiene un unico generador en grado 2n, mientras que considerada comodga-modulo tiene un generador en cada grado par 2kn, uk = u . . . u.

Lo que nos lleva a que el calculo de la diferencial sobre un generador de P (u, 2n) comodga-modulo se puede deducir a partir de la diferencial aplicada sobre los generadores deP (u, 2n) como dga-algebra: d(uk) = d(u) · uk−1 + ud(u)uk−2 + · · · + uk−1d(u) y, portanto, obtendrıamos una reduccion en tiempo y espacio muy importantes.

Apendice

En esta ultima parte de la memoria mostramos la lista de archivos modificados y/o anadi-dos a Kenzo-2 junto con algunas breves explicaciones de como usarlos/testearlos.

Antes de enumerarlos y de mostrar algunas de sus peculiaridades, en caso de querer mane-jarse un poco con el modulo de programacion es de gran ayuda leer el manual de Kenzo[DRSS99] o visitar la web [BS05].

classes.cl: anadidas todas las clases necesarias para poder trabajar con A∞-estruc-turas. Los archivos relacionados son

• a-infty-algebras.cl

• a-infty-coalgebras.cl

• a-infty-algb-a-infty-clgb.cl

• a-infty-algb-a-infty-algb.cl

• a-infty-clgb-a-infty-algb.cl

• a-infty-clgb-a-infty-clgb.cl

• d-a-infty-algb-clgb.cl

• d-a-infty-algb-algb.cl

• d-a-infty-clgb-clgb.cl

• d-a-infty-clgb-algb.cl

combinations.cl: como ya comentamos en el capıtulo anterior, este es el archivoprincipal modificado para poder trabajar con combinaciones sobre cualquier anilloZp.

chain-complexes.cl: contiene una pequena modificacion con respecto a la version“oficial”, de modo que si no se especifica el anillo, se considere automaticamenteZ.

141

142 Apendice

tensor-products.cl: modificado para que el producto tensorial de dos algebras seauna algebra (ıdem con coalgebras y con algebras de Hopf).

tnsr-mdls.cl: nuevo archivo que crea el modulo tensorial sobre un dg-modulo dado.Como subrutinas principales destacamos:

• (MTNPR degr list)

• +NULL-MTNPR+

• (PRINT-KEYCONS...) <<Mtnpr...>>

• (MTNPR-CMPR cmpr)

• (MTNPR-BASIS-LENGTH basis degr length)

• (MTNPR-BASIS basis)

• (MTNPR-INTR-VRTC-DFFR dffr)

• (MTNPR-CHCM (chcm chain-complex))

algebras.cl: anadidas algunas subrutinas de modo que el modulo tensorial de unaalgebra tenga estructura de coalgebra.

coalgebras.cl: anadidas algunas subrutinas de modo que el modulo tensorial de unacoalgebra tenga estructura de algebra.

cobar.cl: anadida la estructura de algebra.

bar.cl: anadida la estructura de coalgebra.

small-cartan-complexes.cl: definidas las cuatro algebras de Hopf basicas (definidasen el capıtulo anterior).

small-cartan-reduction.cl: contraccion de B(Qp) al producto tensorial del algebraexterior con el algebra de potencias divididas E ⊗ Γ.

araia.cl: Las funciones definidas en este archivo son:

• (mtnpr-abar mtnpr)

• (abar-mtnpr abar)

• (degr-mtnpr-degr-abar degr mtnpr)

• (CMBN-ABAR-CMBN-MTNPR cmbn)

• (extr-1abar-abar-cmbn cmbn)

• (extr-n-abar-abar-cmbn n cmbn)

143

• (algebra-reduction-a-infty-algebra (rdct reduction))

craic.cl: Las funciones definidas en este archivo son:

• (mtnpr-allp mtnpr)

• (allp-mtnpr allp)

• (degr-mtnpr-degr-allp degr mtnpr)

• (CMBN-ALLP-CMBN-MTNPR cmbn)

• (extr-1cobar-cobar-cmbn cmbn)

• (extr-n-cobar-cobar-cmbn n cmbn)

• (coalgebra-reduction-a-infty-coalgebra (rdct reduction))

matrixes.cl: archivo auxiliar para el estudio de las a-infinito algebras de Hopf.

bar-cobar.cl: archivo dedicado al modulo BC(H) (en construccion).

144 Apendice

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