Parte 9. Ecuaciones en derivadas parciales · Introducci´on a las ecuaciones en derivadas...

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Introducci´ on a las ecuaciones en derivadas parciales El problema el´ ıptico El problema parab´ olico El problema hiperb´ olico Resumen Parte 9. Ecuaciones en derivadas parciales Gustavo Montero Escuela T´ ecnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Curso 2004-2005

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Parte 9. Ecuaciones en derivadas parciales

Gustavo Montero

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad de Las Palmas de Gran Canaria

Curso 2004-2005

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

1 Introduccion a las ecuaciones en derivadas parciales

2 El problema elıptico

3 El problema parabolico

4 El problema hiperbolico

5 Resumen

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Clasificacion de las ecuaciones en derivadas parciales

1 Introduccion a las ecuaciones en derivadas parciales

2 El problema elıptico

3 El problema parabolico

4 El problema hiperbolico

5 Resumen

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Clasificacion de las ecuaciones en derivadas parciales

Clasificacion de las EDPs

Planteamiento generalConsideraremos el estudio de ecuaciones diferenciales del tipo,

A∂2

∂x2u(x, y) + B

∂2

∂x∂yu(x, y) + C

∂2

∂y2u(x, y) = f

x, y, u,

∂xu(x, y),

∂yu(x, y)

Esta ecuacion se puede clasificar de forma analoga a las conicas en

Elıptica, si B2 − 4AC < 0

Parabolica, si B2 − 4AC = 0

Hiperbolica, si B2 − 4AC > 0

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Clasificacion de las ecuaciones en derivadas parciales

Clasificacion de las EDPs

Planteamiento generalConsideraremos el estudio de ecuaciones diferenciales del tipo,

A∂2

∂x2u(x, y) + B

∂2

∂x∂yu(x, y) + C

∂2

∂y2u(x, y) = f

x, y, u,

∂xu(x, y),

∂yu(x, y)

Esta ecuacion se puede clasificar de forma analoga a las conicas en

Elıptica, si B2 − 4AC < 0

Parabolica, si B2 − 4AC = 0

Hiperbolica, si B2 − 4AC > 0

Ejemplos de problemas de la Fısica

Ecuacion de Laplace:∂2

∂x2u(x, y) +

∂2

∂y2u(x, y) = 0, que representa un problema elıptico bidimensional

relativo al fenomeno de transferencia de calor, distribucion de potenciales electricos en un campoelectrostatico, deformacion elastica de un solico, ...

Ecuacion del calor en un alambre aislado:∂

∂tu(x, t)− α

∂2

∂x2u(x, t) = 0 con α > 0, que representa

un problema parabolico unidimensional.

Ecuacion de ondas en una cuerda vibrante:∂2

∂t2u(x, t)− α2 ∂2

∂x2u(x, t) = 0, que representa un problema

hiperbolico unidimensional.

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Generalidades

1 Introduccion a las ecuaciones en derivadas parciales

2 El problema elıptico

3 El problema parabolico

4 El problema hiperbolico

5 Resumen

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Generalidades

Generalidades

Planteamiento del problema

Consideremos el siguiente problema elıptico bidimensional: −K

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

!= f (x, y) en Ω

con condiciones de tipo Dirichlet: u = g(x, y) en el contorno Γ

Utilizaremos un esquema en diferencias finitas desegundo orden para la discretizacion de la EDP,

∂2u

∂x2=

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2+ O(h2)

∂2u

∂y2=

ui j+1 − 2ui j + ui j−1

k2+ O(k2)

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Generalidades

Construccion del sistema de ecuaciones

Esquema en diferencias finitas para la ecuacion elıptica

−K

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2+

ui j+1 − 2ui j + ui j−1

k2

= fi j

Ordenando resulta,

−K

k2ui j−1 −

K

h2ui−1 j + 2K

1

h2+

1

k2

ui j −

K

h2ui+1 j −

K

k2ui j+1 = fi j

En general resulta un sistema de ecuaciones pentadiagonal, al que hay que introducir las condiciones de contorno.La resolucion de este sistema nos proporciona el valor de la incognita en cada nodo de la malla.

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaMetodo explıcito estandarMetodo implıcito estandarΘ-metodosMetodo de Crank-Nicholson

1 Introduccion a las ecuaciones en derivadas parciales

2 El problema elıptico

3 El problema parabolico

4 El problema hiperbolico

5 Resumen

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaMetodo explıcito estandarMetodo implıcito estandarΘ-metodosMetodo de Crank-Nicholson

Planteamiento del problema

Ecuaciones de gobiernoConsideremos la siguiente ecuacion parabolica

∂u

∂t− α

∂2u

∂x2= 0 con α > 0

definida sobre un dominio unidimensional Ω de longitud l . Para que el problema este bien definido es necesarioanadir unas condiciones de contorno en x = 0 y en x = l , respectivamente

u(0, t) = u0(t), u(l, t) = ul (t), ∀t ∈ [t0, T ]

y una condicion inicialu(x, t0) = v(x), ∀x ∈ [0, l ]

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaMetodo explıcito estandarMetodo implıcito estandarΘ-metodosMetodo de Crank-Nicholson

Metodo explıcito estandar

Esquema explıcito en diferencias finitasConsiste en utilizar el esquema clasico de segundo orden para la segunda derivada espacial y un esquema de primerorden progresivo para la derivada temporal, resultando

ui j+1 − ui j

k− α

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2

= 0

Despejando ui j+1 se obtiene,

ui j+1 = +αk

h2ui+1 j +

1−

2αk

h2

ui j +

αk

h2ui−1 j

El proceso parte de la condicion inicial para obtener la solucion en t = t0 + k y a partir de entonces en cada pasosiempre se basa unicamente en la solucion del tiempo anterior.

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaMetodo explıcito estandarMetodo implıcito estandarΘ-metodosMetodo de Crank-Nicholson

Metodo explıcito estandar

Esquema explıcito en diferencias finitasConsiste en utilizar el esquema clasico de segundo orden para la segunda derivada espacial y un esquema de primerorden progresivo para la derivada temporal, resultando

ui j+1 − ui j

k− α

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2

= 0

Despejando ui j+1 se obtiene,

ui j+1 = +αk

h2ui+1 j +

1−

2αk

h2

ui j +

αk

h2ui−1 j

El proceso parte de la condicion inicial para obtener la solucion en t = t0 + k y a partir de entonces en cada pasosiempre se basa unicamente en la solucion del tiempo anterior.

Error y estabilidad

El error de consistencia de este metodo es O(k + h2).

La condicion de estabilidad de este metodo es αk

h2≤

1

2.

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaMetodo explıcito estandarMetodo implıcito estandarΘ-metodosMetodo de Crank-Nicholson

Metodo implıcito estandar

Esquema implıcito en diferencias finitasConsiste en utilizar el esquema clasico de segundo orden para la segunda derivada espacial y un esquema de primerorden regresivo para la derivada temporal, resultando

ui j − ui j−1

k− α

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2

= 0

Pasando al segundo miembro todo lo que corresponde al paso de tiempo anterior se obtiene,

−αk

h2ui+1 j

1 + 2

αk

h2

ui j −

αk

h2ui−1 j = ui j−1

El proceso parte de la condicion inicial de forma similar al esquema explıcito, aunque en este caso es necearioresolver un sistema de ecuaciones en cada paso de tiempo

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaMetodo explıcito estandarMetodo implıcito estandarΘ-metodosMetodo de Crank-Nicholson

Metodo implıcito estandar

Esquema implıcito en diferencias finitasConsiste en utilizar el esquema clasico de segundo orden para la segunda derivada espacial y un esquema de primerorden regresivo para la derivada temporal, resultando

ui j − ui j−1

k− α

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2

= 0

Pasando al segundo miembro todo lo que corresponde al paso de tiempo anterior se obtiene,

−αk

h2ui+1 j

1 + 2

αk

h2

ui j −

αk

h2ui−1 j = ui j−1

El proceso parte de la condicion inicial de forma similar al esquema explıcito, aunque en este caso es necearioresolver un sistema de ecuaciones en cada paso de tiempo

Error y estabilidad

El error de consistencia de este metodo es O(k + h2).

El metodo es incondicionalmente estable.

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaMetodo explıcito estandarMetodo implıcito estandarΘ-metodosMetodo de Crank-Nicholson

Θ-metodos

Esquema general en diferencias finitasConsiste en combinar los dos esquemas anteriores de la siguiente forma

ui j+1 − ui j

k− α

(1− Θ)

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2+ Θ

ui+1 j+1 − 2ui j+1 + ui−1 j+1

h2

= 0

de tal forma que para Θ = 0 se obtiene el esquema explıcito clasico y para Θ = 1 el implıcito. Reagrupando segunel ındice temporal, resulta el siguiente esquema implıcito,

−Θαk

h2ui+1 j+1 +

1 + 2

Θαk

h2

ui j+1 −

Θαk

h2ui−1 j+1

=(1− Θ)αk

h2ui+1 j +

1−

2(1− Θ)αk

h2

ui j +

(1− Θ)αk

h2ui−1 j

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaMetodo explıcito estandarMetodo implıcito estandarΘ-metodosMetodo de Crank-Nicholson

Θ-metodos

Esquema general en diferencias finitasConsiste en combinar los dos esquemas anteriores de la siguiente forma

ui j+1 − ui j

k− α

(1− Θ)

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2+ Θ

ui+1 j+1 − 2ui j+1 + ui−1 j+1

h2

= 0

de tal forma que para Θ = 0 se obtiene el esquema explıcito clasico y para Θ = 1 el implıcito. Reagrupando segunel ındice temporal, resulta el siguiente esquema implıcito,

−Θαk

h2ui+1 j+1 +

1 + 2

Θαk

h2

ui j+1 −

Θαk

h2ui−1 j+1

=(1− Θ)αk

h2ui+1 j +

1−

2(1− Θ)αk

h2

ui j +

(1− Θ)αk

h2ui−1 j

Error y estabilidad

El error de consistencia de este metodo es en general O(k + h2).

El metodo es incondicionalmente estable si Θ ≥1

2. En cambio si Θ <

1

2, existe una condicion de estabilidad,

αk

h2≤

1

2(1− 2Θ).

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaMetodo explıcito estandarMetodo implıcito estandarΘ-metodosMetodo de Crank-Nicholson

Metodo de Crank-Nicholson

Esquema en diferencias finitas

Es el caso particular para Θ =1

2que permite obtener un mayor orden de consistencia,

ui j+1 − ui j

k−

α

2

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2+

ui+1 j+1 − 2ui j+1 + ui−1 j+1

h2

= 0

Reagrupando segun el ındice temporal, resulta el siguiente esquema implıcito,

−αk

2h2ui+1 j+1 +

1 +

αk

h2

ui j+1 −

αk

2h2ui−1 j+1

=αk

2h2ui+1 j

1−

αk

h2

ui j +

αk

2h2ui−1 j

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaMetodo explıcito estandarMetodo implıcito estandarΘ-metodosMetodo de Crank-Nicholson

Metodo de Crank-Nicholson

Esquema en diferencias finitas

Es el caso particular para Θ =1

2que permite obtener un mayor orden de consistencia,

ui j+1 − ui j

k−

α

2

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2+

ui+1 j+1 − 2ui j+1 + ui−1 j+1

h2

= 0

Reagrupando segun el ındice temporal, resulta el siguiente esquema implıcito,

−αk

2h2ui+1 j+1 +

1 +

αk

h2

ui j+1 −

αk

2h2ui−1 j+1

=αk

2h2ui+1 j

1−

αk

h2

ui j +

αk

2h2ui−1 j

Error y estabilidad

El error de consistencia de este metodo es O(k2 + h2).

El metodo es incondicionalmente estable.

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaEsquema explıcito en diferencias finitas

1 Introduccion a las ecuaciones en derivadas parciales

2 El problema elıptico

3 El problema parabolico

4 El problema hiperbolico

5 Resumen

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaEsquema explıcito en diferencias finitas

Planteamiento del problema

Ecuaciones de gobiernoConsideremos la siguiente ecuacion hiperbolica definida en un dominio unidimensional Ω de longitud l ,

∂2u

∂t2− α

2 ∂2u

∂x2= 0 en Ω

Para un planteamiento correcto del problema es necesario anadir unas condiciones de contorno en x = 0 y enx = l , respectivamente

u(0, t) = u0(t), u(l, t) = ul (t), ∀t ∈ [t0, T ]

y unas condiciones inicialesu(x, t0) = v(x), ∀x ∈ [0, l ]

∂u(x, t0)

∂t= w(x), ∀x ∈ [0, l ]

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaEsquema explıcito en diferencias finitas

Esquema explıcito en diferencias finitas

Esquema de segundo ordenDicretizaremos cada una de las derivadas segundas mediante el esquema clasico de segundo orden de la forma,

ui j+1 − 2ui j + ui j−1

k2− α

2 ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2= 0

Despejando ui j+1, se obtiene

ui j+1 = 2ui j − ui j−1 +α2k2

h2

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaEsquema explıcito en diferencias finitas

Esquema explıcito en diferencias finitas

Esquema de segundo ordenDicretizaremos cada una de las derivadas segundas mediante el esquema clasico de segundo orden de la forma,

ui j+1 − 2ui j + ui j−1

k2− α

2 ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

h2= 0

Despejando ui j+1, se obtiene

ui j+1 = 2ui j − ui j−1 +α2k2

h2

ui+1 j − 2ui j + ui−1 j

Error y estabilidad

El error de consistencia de este metodo es O(k2 + h2).

La condicion de estabilidad de este metodo es αk

h≤ 1.

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Planteamiento del problemaEsquema explıcito en diferencias finitas

Metodologıa de resolucion

Obtencion de la solucion en t = t0 + 2kPara arrancar el proceso en el paso de tiempo t = t0 + 2k, es necesario disponer de los valores de la solucion endos pasos de tiempo anteriores, t0 y t0 + k. El valor en t = t0 viene dado por la funcion v(x) de la condiconinicial. El valor en t = t0 + k puede ser obtenido de la condicion inicial relativa a la primera derivada respecto a t,mediante un esquema progresivo de primer orden,

ui 1 − ui 0

k= w(xi ), ∀xi = ih, i = 0, 1, . . . , n

siendo n =l

h. Luego,

ui 1 = ui 0 + kw(xi ), ∀xi = ih, i = 0, 1, . . . , n

A partir de aquı se puede continuar el proceso de forma natural.

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

1 Introduccion a las ecuaciones en derivadas parciales

2 El problema elıptico

3 El problema parabolico

4 El problema hiperbolico

5 Resumen

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Resumen

El tratamiento numerico de los problemas elıpticos, parabolicos e hiperbolicos es muy diferente. Convienepor tanto, como primer paso para su resolucion, identificar cada caso concreto dentro de estas tres familias

Los problemas elıpticos son los de resolucion mas sencilla al no tener problemas de estabilidad. La precisionde los resultados viene dada en funcion del tamano de elemento de la malla.

Para la resolucion de problemas parabolicos se debe tener en cuenta ademas la estabilidad de los esquemas.Los esquemas explıcitos son sencillos de evaluar pero tienen problemas de estabilidad, debiendose imponera priori unas condiciones para asegurarla. Estas condiciones, definidas en general como las relaciones quedeben cumplr h y k, pueden suponer un coste computacional demasiado elevado.

Aunque en este curso solo hemos estudiado un esquema explıcito para el problema hiperbolico, se prodıadecir otro tanto de lo comentado para el caso parabolico.

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Resumen

El tratamiento numerico de los problemas elıpticos, parabolicos e hiperbolicos es muy diferente. Convienepor tanto, como primer paso para su resolucion, identificar cada caso concreto dentro de estas tres familias

Los problemas elıpticos son los de resolucion mas sencilla al no tener problemas de estabilidad. La precisionde los resultados viene dada en funcion del tamano de elemento de la malla.

Para la resolucion de problemas parabolicos se debe tener en cuenta ademas la estabilidad de los esquemas.Los esquemas explıcitos son sencillos de evaluar pero tienen problemas de estabilidad, debiendose imponera priori unas condiciones para asegurarla. Estas condiciones, definidas en general como las relaciones quedeben cumplr h y k, pueden suponer un coste computacional demasiado elevado.

Aunque en este curso solo hemos estudiado un esquema explıcito para el problema hiperbolico, se prodıadecir otro tanto de lo comentado para el caso parabolico.

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El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Resumen

El tratamiento numerico de los problemas elıpticos, parabolicos e hiperbolicos es muy diferente. Convienepor tanto, como primer paso para su resolucion, identificar cada caso concreto dentro de estas tres familias

Los problemas elıpticos son los de resolucion mas sencilla al no tener problemas de estabilidad. La precisionde los resultados viene dada en funcion del tamano de elemento de la malla.

Para la resolucion de problemas parabolicos se debe tener en cuenta ademas la estabilidad de los esquemas.Los esquemas explıcitos son sencillos de evaluar pero tienen problemas de estabilidad, debiendose imponera priori unas condiciones para asegurarla. Estas condiciones, definidas en general como las relaciones quedeben cumplr h y k, pueden suponer un coste computacional demasiado elevado.

Aunque en este curso solo hemos estudiado un esquema explıcito para el problema hiperbolico, se prodıadecir otro tanto de lo comentado para el caso parabolico.

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Resumen

El tratamiento numerico de los problemas elıpticos, parabolicos e hiperbolicos es muy diferente. Convienepor tanto, como primer paso para su resolucion, identificar cada caso concreto dentro de estas tres familias

Los problemas elıpticos son los de resolucion mas sencilla al no tener problemas de estabilidad. La precisionde los resultados viene dada en funcion del tamano de elemento de la malla.

Para la resolucion de problemas parabolicos se debe tener en cuenta ademas la estabilidad de los esquemas.Los esquemas explıcitos son sencillos de evaluar pero tienen problemas de estabilidad, debiendose imponera priori unas condiciones para asegurarla. Estas condiciones, definidas en general como las relaciones quedeben cumplr h y k, pueden suponer un coste computacional demasiado elevado.

Aunque en este curso solo hemos estudiado un esquema explıcito para el problema hiperbolico, se prodıadecir otro tanto de lo comentado para el caso parabolico.

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Introduccion a las ecuaciones en derivadas parcialesEl problema elıptico

El problema parabolicoEl problema hiperbolico

Resumen

Resumen

El tratamiento numerico de los problemas elıpticos, parabolicos e hiperbolicos es muy diferente. Convienepor tanto, como primer paso para su resolucion, identificar cada caso concreto dentro de estas tres familias

Los problemas elıpticos son los de resolucion mas sencilla al no tener problemas de estabilidad. La precisionde los resultados viene dada en funcion del tamano de elemento de la malla.

Para la resolucion de problemas parabolicos se debe tener en cuenta ademas la estabilidad de los esquemas.Los esquemas explıcitos son sencillos de evaluar pero tienen problemas de estabilidad, debiendose imponera priori unas condiciones para asegurarla. Estas condiciones, definidas en general como las relaciones quedeben cumplr h y k, pueden suponer un coste computacional demasiado elevado.

Aunque en este curso solo hemos estudiado un esquema explıcito para el problema hiperbolico, se prodıadecir otro tanto de lo comentado para el caso parabolico.