INDICE

INTRODUCCION.. 1APLICACIONES A LA ADMINISTRACIN Y LA ECONOMA. 2APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN INGENIERIA ELECTRONICA... 9APLICACIONES A LA FSICA.. 11APLICACIN DE LA INTEGRAL EN LA INGENIERIA AMBIENTAL 15

INTRODUCCION La integracin y la diferenciacin estn ntimamente relacionadas. La naturaleza de esta relacin es una de las ideas ms importantes en matemticas, y su descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente, y mejorado por Cauchy y Riemann posteriormente.) sigue siendo uno de los avances ms importantes de los tiempos modernos.

El clculo integral surgi de la necesidad de resolver el problema de la obtencin de reas de figuras planas. Para ello se aproximaba exhaustivamente la figura cuya rea se deseaba calcular mediante polgonos de reas conocidas y apareci el concepto de integral. Con esta idea apareci el concepto de Integral Definida. Se llama integral definida de la funcin f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina lmites de integracin), al rea de la porcin de plano limitada por la grfica de la funcin, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b

Otra aplicacin fue predecir la posicin futura de un objeto en movimiento a partir de una ubicacin conocida y la frmula de su funcin velocidad. Este es un ejemplo claro en el cual se debe determinar una funcin a partir de una frmula de su razn de cambio (velocidad) y de uno de sus valores (posicin inicial). De aqu surgi el concepto de Integral Indefinida y primitiva de una funcin.

Aplicaciones a la Administracin y la EconomaEntrelas funciones que se utilizan en economa para hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones deofertay dedemanda.Funcin deoferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta funcin para relacionar la cantidad de productos que est dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes estn dispuestos a ofrecer en el mercado en algn perodo especfico.Cuanto mayor es el precio, mayor ser la cantidad de productos que la empresa est dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la funcin de oferta es una funcin creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina funcin de oferta y a su grfica se la conoce como grfica de oferta.

A esta funcin la simbolizamos p= o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.Funcin dedemanda: La empresa utiliza esta funcin para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminucin de la cantidad demandada del artculo porque no todos los consumidores estn dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una funcin decreciente como lo observamos en los ejemplos grficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado perodo. Si el precio por unidad de un producto est dado por p y la cantidad correspondiente en unidades est dada por q la ley que los relaciona se denomina funcin de demanda. A su grfica se la llama grfica de demanda.A esta funcin la simbolizamos p= d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado.SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORESEl mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de interseccin de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarn la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarn gastar ms en un artculo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artculo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el supervit de los consumidores.El rea bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores estn dispuestos a pagar por q0artculos. El rea sombreada bajo la recta y=p0muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarn en el preciop0de equilibrio. El rea entre la curva y la recta representa el supervit de los consumidores.

El supervit de los consumidores est dado por el rea entre las curvas p=d(q) y p=p0entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma:: donde d(q) es una funcin demanda con precio de equilibrio p0y demanda de equilibrio q0.PROBLEMA La curva de demanda est dada por la ley d(x)=50-0,06x2. Encuentre el supervit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades.Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p=d(20)=50-0,06 202=26.Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta: = = = 320La ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades.De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio p0de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios ms bajos a los que los fabricantes venderan el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el supervit de los productores.

El rea total bajo la curva de oferta entre q=0 y q=q0es la cantidad mnima total que los fabricantes estn dispuestos a obtener por la venta de q0artculos. El rea total bajo la recta p=p0es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos reas, el supervit de los productores, tambin est dada por una integral definida.Si s(q) es una funcin de oferta con precio p0de equilibrio y oferta q0de equilibrio, entonces supervit de los productores=

PROBLEMA Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x)= . Encuentre la ganancia de los productores si la produccin asciende a diez artculos. Si la produccin asciende a 10 artculos el precio es s(10)= =12 pesos.La ganancia o supervit de los productores se calcul resolviendo: = =

Ganancia de las productores= =25La ganancia de los productores asciende a $25 si la produccin es de diez artculos.PROBLEMA Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas.Funcin de demanda: p1(q)=1000-0,4 q2. Funcin de oferta: p2(q)=42qEl exceso de oferta y el de demanda estn representados por las reas que muestra la grfica:

La oferta coincide con la demanda en (q0, p0), es decir:p1(q)=p2(q)1000-0,4q2=42q-0,4q2-42q + 1000=0q1=-125q2=20Como los valores de las abscisas corresponde a nmero de artculos ofrecidos o demandados, q0=20 y, por lo tanto, p0=840.El excedente de demanda o superavit de los consumidores es la regin comprendida entre p1(q) y la recta p=840, entre 0 y 20, o sea: = = = 2133,33El excedente de demanda asciende a $2133,33El excedente de oferta es la regin comprendida entre las rectas p=840 y p=42q entre 0 y 20, o sea: = =(840.20-21.202)=8400 El superavit de oferta alcanza $8400.ANLISIS MARGINALLa derivada y, en consecuencia la integral, tienen aplicaciones en administracin y economa en la construccin de lastasas marginales.Es importante para los economistas este trabajo con el anlisis marginal porque permite calcular el punto de maximizacin de utilidades.En el anlisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad. Si una firma est produciendo determinado nmero de unidades al ao, el anlisis marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende una unidad ms.Para que este mtodo pueda aplicarse a la maximizacin de utilidades se deben cumplir las siguientes condiciones: Deber ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y de costo total. Las funciones de ingreso y costo deben formularse en trminos del nivel de produccin o del nmero de unidades producidas y vendidas.Damos algunas definiciones importantes para nuestro trabajo:Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al producir y vender una unidad ms de un producto o servicio.Tambin se puede definir como el valor lmite del costo promedio por artculo extra cuando este nmero de artculos extra tiende a cero.Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artculo extra cuando se efecta un cambio muy pequeo en la cantidad producida.Debemos tener en cuenta que si c(x) es la funcin costo, el costo promedio de producir x artculos es el costo total dividido por el nmero de artculos producidos.Costo promedio por artculo=Costo marginal=Costo marginal=c'(x)=El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida.Ingreso marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad ms de un producto o servicio.Para una funcin de ingreso total r(x), la derivada r(x) representa la tasa instantnea de cambio en el ingreso total con un cambio del nmero de unidades vendidas. Podemos decir que el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artculo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeo en el nmero de artculos vendidos. Representa la tasa con que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas.Utilidad marginal:que obtiene una empresa est dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la funcin de ingreso es r(x) cuando se venden x artculos y si la funcin de costo es c(x) al producirse esos mismos artculos, la utilidad p(x) obtenida por producir y vender x artculos est dada por p(x)=r(x) c(x).La derivada p(x) se denomina utilidad marginal y representa la utilidad por artculo si la produccin sufre un pequeo incremento.Resuelva los siguientes problemas y verifique las respuestas.PROBLEMAUna funcin de costo marginal est definida por c'(x)=3x2+ 8x + 4 y el costo fijo es de $6. Determine la funcin costo total correspondiente.Respuesta: c(x)= x3+4x2+4x + 6

PROBLEMAPara un artculo particular, la funcin de ingreso marginal es i'(x)=15-4x. Si x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p pesos:a)Determine la funcin ingreso total.b)Determine la ecuacin de demanda.Respuestas:a)i(x)=15x-2x2b)p(x)=15-2xAnalice los problemas resueltos a continuacin.PROBLEMASuponemos que durante los primeros cinco aos que un producto se puso a la venta en el mercado la funcin f(x) describe la razn de ventas cuando pasaron x aos desde que el producto se present en el mercado por primera vez. Se sabe que s . Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro aos.Debemos plantear Venta total=

Venta total= = =18000

Las ventas totales durante los primeros cuatro aos ascienden a 18000 unidades.PROBLEMASe espera que la compra de una nueva mquina genere un ahorro en los costos de operacin. Cuando la mquina tenga x aos de uso la razn de ahorro sea de f(x) pesos al ao donde f(x)=1000 + 5000x.a)Cunto se ahorra en costos de operacin durante los primeros seis aos?b)Si la mquina se compr a $ 67500 cunto tiempo tardar la mquina en pagarse por s sola?a)Para conseguir el ahorro durante los primeros seis aos calculamos

Al cabo de seis aos el ahorro asciende de $ 96000b)Dado que el precio de compra es de $ 67500, el nmero de aos de uso que se requieren para que la mquina se pague sola es n, entonces

1000n + 2500 n2=675002500 n2+ 1000n-67500=05 n2+ 2n-135=0Hallamos los valores de n aplicando la resolvente y resulta n1=-5,4 (imposible para nuestro problema) y adems n2=5.Se tardarn 5 aos para que la mquina se pague sola.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN INGENIERIA ELECTRONICAEn el campo dela Ingenieraelectrnica, las integrales cumplen una funcin muy importante, para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corriente, entre otras. Pero fundamentalmente, el clculo integral es utilizado en circuitos RLC (resistencia, condensador y bobina) para analizarsu comportamiento dentro del circuito, por ejemplo: Para calcular el flujo de electrones por un conductor a travs del tiempo, se emplea la siguiente ecuacin: (Siendo (q)= carga; (i) corriente) - desde un tiempo t1 a t2 Cuando queremos averiguar la energa que posee un circuito, basta con integrar la potencia del circuito de un tiempo (t1) a un tiempo (t2) de la siguiente manera: (Siendo W= energa; p= potencia) - desde un tiempo t1 a t2 Para averiguar el voltaje en un condensador en un tiempo determinado se tiene:

(Siendo Vc = voltaje en el condensador; C = valor del condensador, Ic= corriente en el condensador) con respecto al tiempo (t) - Desde un tiempo t1 a t2

Si queremos averiguar la corriente en una bobina o inductor en un tiempo determinado se tiene:

(Siendo IL= corriente en la bobina L= valor de la bobina en (mH); VL= voltaje en el inductor) con respecto al tiempo (t) - desde un tiempo t1 a t2

Cuando se quiere hallar potencia a partir de un valor de resistencia y una corriente determinada, basta con hallar la integral del producto entre la resistencia por la corriente al cuadrado, as:

(Siendo W (t)= potencia en el tiempo, R= resistencia en Ohmios, I= corriente en amperios) - desde un tiempo t1 a t2

Esta es una pequea muestra de la gran importancia que tienen las integrales en la ingeniera electrnica. Estosin contar el clculo de volmenes que son fundamentales para calcular el ncleo de un transformador, para estimar el campo magntico producido. O las series y sucesiones que son importantes para estimar las dimensiones de una seal o pulso elctrico, medido con el osciloscopio.Establecimiento de una corriente en un circuito

Cuando se aplica una femV0a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no alcanza instantneamente el valorV0/Rdado por la ley de Ohm, sino que tarda un cierto tiempo, tericamente infinito, en la prctica, un intervalo de tiempo que depende de la resistencia.La razn de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinduccinLque genera una fem que se opone al incremento de corriente.

En la figura, se muestra un circuito formado por una batera, una resistencia y una autoinduccin. Se conecta la batera y la intensidadiaumenta con el tiempo.Para formular la ecuacin del circuito sustituimos la autoinduccin por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplir que

Integrando, hallamos la expresin deien funcin del tiempo con las condiciones iniciales t = 0,i = 0.

SiR/Les grande, como sucede en la mayor parte de los casos prcticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor mximo constanteV0/Rmuy rpidamente.APLICACIONES A LA FSICAMuchas leyes fsicas se descubrieron durante el mismo perodo histrico en el que estaba siendo desarrollado el clculo. Durante los siglos XVII y XVIII exista poca diferencia entre ser un fsico o un matemtico.ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILNEOPara un objeto con movimiento rectilneo la funcin posicin, s(t), y la funcin velocidad, v(t), se relacionan por s(t)=.De este hecho y del teorema fundamental del clculo se obtiene:= = s(t2)-s(t1)

La posicin del objeto en el instante t1est expresada por s(t1) y s(t2) es la posicin en el instante t2, la diferencia s(t2)-s(t1) es el cambio de posicin o desplazamiento del objeto durante el intervalo de tiempo [t1, t2].Un desplazamiento positivo significa que el objeto est ms hacia la derecha en el instante t2que en el instante t1, y un desplazamiento negativo significa que el objeto est ms hacia la izquierda. En el caso en que v(t)0 en todo el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve en la direccin positiva solamente, de este modo el desplazamiento s(t2)-s(t1) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t)0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la direccin negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2)-s(t1) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto.distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo [t1, t2]=

En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrs y el desplazamiento es la distancia recorrida en la direccin positiva menos la distancia recorrida en la direccin negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en la direccin positiva ms la distancia recorrida en la direccin negativa) debe integrarse el valor absoluto de la funcin velocidad, es decir:

PROBLEMAUn objeto se mueve con movimiento rectilneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t)=t2-2t metros por segundo. Halle:a) El desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos. = = = 0 Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posicin en el instante t=3 que en el instante t=0.

b) La distancia recorrida durante ese tiempo.La velocidad puede escribirse como v(t)=t ( t-2) de modo que v(t)0 si 2t3 y la velocidad es negativa si 0t2.La distancia recorrida es: =

= =

Distancia recorrida = =

Podemos asegurar que la distancia recorrida es de metros.TRABAJOEl concepto de trabajo es importante para los cientficos e ingenieros cuando necesitan determinar la energa necesaria para realizar diferentes tareas fsicas. Es til conocer la cantidad de trabajo realizado cuando una gua eleva una viga de acero, cuando se comprime un muelle, cuando se lanza un cohete o cuando un camin transporta una carga por una carretera. En el lenguaje cotidiano, coloquial, el trmino trabajo se una para indicar la cantidad total de esfuerzo requerido para realizar una tarea. En fsica tiene un significado tcnico que est en relacin con la idea de fuerza. Intuitivamente se puede pensar una fuerza como el hecho de empujar un objeto o tirar de l. Decimos que se hizo un trabajo cuando una fuerza mueve un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es constante, tenemos la definicin siguiente de trabajo.TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTESi un objeto se mueve una distanciaden la direccin de una fuerza constanteFaplicada sobre l, entonces el trabajowrealizado por la fuerza se define comow=F. dExisten muchos tipos de fuerzas: centrfuga, gravitacional, etc. Una fuerza cambia el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas gravitacionales en la tierra se suelen utilizar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto.Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuerza variable a un objeto se necesita el clculo para determinar el trabajo realizado ya que la fuerza vara segn el objeto cambia de posicin.TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLESupongamos que un objeto se mueve a lo largo de una lnea recta desde x=a hasta x=b debido a una fuerza que vara continuamente F(x). Consideramos una particin que divide al intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por dondeDxiindica la amplitud o longitud del i-simo subintervalo, es decirDxi=xi-xi-1. Para cada i escogemos tal que . En cila fuerza est dada por F (). Dado que F es continua y suponiendo que n es grande,es pequeo. Los valores de f no cambian demasiado en el intervalo [] y podemos concluir que el trabajo realizado al mover el objeto por el subintervalo i-simo (desde ) es aproximadamente el valor F().Sumando el trabajo realizado en cada subintervalo, podemos aproximar el trabajo total realizado Por el objeto al moverse desde a hasta b por w =Esta aproximacin mejora si aumentamos el valor de n. Tomando el lmite de esta suma cuando Resulta w= = Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la accin de una fuerza que vara continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se mueve desde x=a hasta x=b est dado por w=PRESIN Y FUERZA EJERCIDAS POR UN FLUIDO PRESIN DE UN FLUIDOLos nadadores saben que cuanto ms profundo se sumerge un objeto en un fluido mayor es la presin sobre el objeto. Las compuertas de las represas se construyen ms gruesas en la base que en la parte superior porque la presin ejercida contra ellas se incrementa con la profundidad. Para calcular la presin de un fluido se emplea una ley fsica importante que se conoce como el principio de Pascal. Muchos de los trabajos de Pascal fueron intuitivos y carentes de rigor matemtico pero anticiparon muchos resultados importantes. El principio de Pascal establece que la presin ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones. La presin en cualquier punto depende nicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido en reposo, la presinpa una profundidadhes equivalente a la densidadwdel fluido por la profundidad,p=w. h. Definimos la presin como la fuerza que acta por unidad de rea sobre la superficie de un cuerpo.

FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON PROFUNDIDAD CONSTANTEDado que la presin de un fluido aparece en trminos de fuerza por unidad de rea,p= la fuerza total que ejerce el fluido contra la base en un recipiente con base plana horizontal se puede calcular multiplicando el rea de la base por la presin sobre ellaF=p. A=presin. rea. Teniendo en cuenta la frmula para calcular la presin resulta el valor de la fuerzaF=w. h. A FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON PROFUNDIDAD VARIABLESupongamos que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad w se desplaza desde y=a hasta y=b sobre el eje y. La fuerza ejercida por el fluido contra un lado de la placa es F=w.Donde h (y) es la profundidad y L(y) es la longitud horizontal medida de izquierda a derecha sobre la superficie de la placa al nivel y.APLICACIN DE LA INTEGRAL EN LA INGENIERIA AMBIENTALEn laIngeniera Ambientales de utilidad el rea bajo la curva para diagnsticos de controles ambientales, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Una empresa que emite gases de efecto invernadero a la atmosfera necesita de un ingeniero ambiental para que controle los nocivos efectos de estos gases al ambiente, teniendo en cuenta la demanda de la industria as como el diagnostico que debe presentar a la autoridad ambiental.

En este diagnstico es pertinente presentar el trabajo realizado de la combustin de los gases de chimenea alterando los volmenes de los gases inciales como los gases finales para ellos es necesario utilizar la integral. Donde el trabajo es el rea bajo la curva.

Amrtegui, S (2010) Aplicacin de la Integral en Ingeniera Electrnica, Powered By Blogger, Fecha de Consulta: 20 de Julio del 2014. URL: http://amorteguiaplicacion.blogspot.com/

Bautista Tovar, L () Aplicacin del tema, Powered By Blogger, Fecha de Consulta: 20 de Julio del 2014. URL: http://aplicaciones-calculointegral.blogspot.com/2010/05/aplicacion-del-tema.html