Cálculo Máximo y mínimo

CLCULO

MXIMO Y MNIMO

Profesor: Celso Soto 1

Clculo. Mdulo 3. 4. Mximo y Mnimo.

Funciones Crecientes y Decrecientes

Una funcin () es creciente en un intervalo si para todo par de elementos , se cumple que

< < ()

Una funcin () es decreciente en un intervalo si para todo par de elementos , se cumple que

< > ()



En esta clase analizaremos el crecimiento y decrecimiento de una funcin a partir del estudio de sus mximos y mnimos relativos, usando para ello el concepto de derivada.

Diremos que una funcin es creciente en un intervalo si para cada elemento se cumple que > .

Diremos que una funcin es decreciente en un intervalo si para cada elemento se cumple que < .



Ejemplo 1

Podemos ver que para la funcin = = 3, su derivada es = 32, que siempre tiene signo positivo.

Es decir, en este caso, la funcin = 3 es una funcin siempre creciente, porque se puede ver que el signo de su derivada es siempre positivo, al ser una funcin cuadrtica.

En esta clase se analizar el crecimiento de una funcin a partir del signo que tenga su derivada.



Los pasos a seguir para el desarrollo son los siguientes

1. Determinar los puntos crticos para la funcin derivada.

Estos puntos crticos se logran cuando = 0 o cuando no existe.

2. Dibujar la recta Real donde situar los valores crticos encontrados, valores que generarn intervalos.

3. Analizar el signo de la funcin derivada en cada uno de esos intervalos.

4. En los intervalos donde la funcin derivada es positiva, entonces la funcin es all creciente.

5. En los intervalos donde la funcin derivada es negativa, entonces la funcin es all decreciente.

6. Si de un intervalo a otro se produce un cambio de signo de a +, entonces se tiene un mnimo.

7. Si de un intervalo a otro se produce un cambio de signo de +a -, entonces se tiene un mximo.



Ejemplo 2

Analizar los mximos y mnimos de la funcin

=1

33 22 + 3 + 2

Sol: Primero se deriva la funcin para determinar los puntos crticos, que son los puntos donde la derivada es igual a cero o donde no existe.

Derivando, se tiene

= 2 4 + 3



Esa derivada es igual a cero cuando

2 4 + 3 = 0 = , =

Y son los nicos puntos crticos, pues la derivada est siempre bien definida.

Con esos puntos se hace la tabla de los signos.

Se tiene

De esta manera, en el punto = 1 la funcin alcanza un mximo relativo, cuyo valor

es 1 =10

3, y en el punto = 3 la funcin alcanza un mnimo relativo, cuyo valor es

3 = 2.


1 3

() + +

() Crece Decrece Crece


Ejemplo 3

Analizar los mximos y mnimos de la funcin

=1

2 + 1

Sol: Usando la regla de la divisin, se tiene que la derivada de la funcin es

= 2

2 + 1

El punto crtico es = 0.



La tabla de los signos para la derivada es

De esta manera, en el valor = 0 se produce un cambio de signo de positivo a negativo en la derivada. Por tanto, = 0 es un mximo relativo para la funcin, y su valor es 0 = 1.


0

() +

() Crece Decrece


Ejemplo 4

Analizar los valores mximos y mnimos para la funcin

=2 2 + 4

2

Sol: Usando la regla de la divisin, se tiene que la derivada de la funcin es, despus de hacer lgebra, la siguiente:

=( 4)

( 2)2

Los puntos crticos son, entonces: = 0, = 2, = 4.



La tabla de los signos para la deriva es

De esta manera, la funcin tiene un mximo relativo en = 0, cuyo valor es 0 = 2, y tiene un mnimo relativa en = 4, cuyo valor es 4 = 6.


0 2 4

() + +

() Crece Decrece Decrece Crece


El grfico de la funcin es



FIN


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