Cálculo diferencial e integral II. Facultad de Ciencias.

Curso 2011. Centro de Matemática.

Examen de Marzo de 2012.

1. Sea S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − y2 + z + 1 = 0}. Se considera la función f : R3 → R dada

por f(x, y, z) = 3x2 − y2 + z2.

a) Probar que S es una super�cie (i.e. un conjunto regular de dimensión 2).

b) Demostrar que f tiene mínimo condicionada a S.

c) Hallar el mínimo de f en S.

2. Sea f : R2 → R una función de clase C2 con la siguiente propiedad: existe g : R2 → R tal

que fx(p) = gy(p), fy(p) = −gx(p) para todo p ∈ R2. Si una tal g existe, diremos que g es

una conjugada de f .

a) Pruebe que dos conjugadas de f di�eren por una constante.

b) Pruebe que f y g satisfacen la ecuación diferencial

hxx + hyy = 0.

c) Encuentre a, b, c, d, e ∈ R para que la función f(x, y) = ax2 + bxy + y2 + dx + eyadmita una conjugada y para tales f calcule g con la condición g(0, 0) = 1.

d) De�na F = (f, g) : R2 → R2 donde g es una conjugada de f . Muestre que si p ∈ R2

no es punto crítico de f , entonces existe una función F1 = (f1, g1) : U → R2 de clase

C2, donde U es un entorno de p, tal que F ◦ F1 = id en U y g1 es una conjugada de

f1.

3. Hallar el volumen de la región X ⊂ R3 dada por

X = {(x, y, z) ∈ R3 : 4x2 + 5y2 + 5z2 − 6yz − 2y − 2z ≤ 0, x2 − 4yz + 2y + 2z ≤ 1}.

(Sugerencia: utilizar el cambio de variables u = y + z, v = y − z.)