Funciones Elementales y Límites - Cálculo I

José Manuel Sánchez MuñozUniversidad Carlos III - Preparación exámen Junio 2011 - Problemas

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Ingeniería Mecánica

9 de junio de 2011

Problema 2.1. Si f (x) = 2x demostrar que:

a) f (x+ 3)− f (x− 1) =15

2f (x)

b)f (x+ 3)

f (x− 1)= f (4)

Solución.

a) f (x+ 3)− f (x− 1) =15

2f (x) ⇒ f (x+ 3)− f (x− 1) = 2x+3 − 2x−1 = 2x

(

23 − 1

2

)

=15

2f (x)

b)f (x+ 3)

f (x− 1)=

2x+3

2x−1= 24 = f (4)

Problema 2.2.Determinar el campo de variación de la ariable independiente x en las funciones siguien-tes:

a) y =√

4− x2 b) y =√

x2 − 16 c) y =1

x− 2d) y =

1

x2 − 9e) y =

x

x2 + 4Solución.

a) Como y debe ser real, 4− x2 ≥ 0, o sea, x2 ≤ 4; el campo de variación de x es el intervalo −2 ≤ x ≤ 2

o bien |x| ≤ 2. Es decir, f (x) =√

4− x2 está definida en el intervalo −2 ≤ x ≤ 2 y sólo en él.b) En este caso x2 − 16 ≥ 0 o bien x2 ≥ 16; el campo de variación de x está formado por los intervalosx ≤ −4 y x ≥ 4, o bien |x| ≥ 4.c) La función está definida para todos los valores de x escepto para x = 2. El campo de variación de x sepuede expresar por x < 2, x > 2 o por x 6= 2.d) La función está definida para x 6= ±3.e) Como x2 + 4 6= 0 para todo valor de x, el campo de variación de x es el conjunto de los númerosreales.

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Funciones Elementales y Límites - Cálculo I José Manuel Sánchez Muñoz

Problema 2.3.Determinar el dominio de definición de cada una de las siguientes funciones:

a) y = x2 + 4 b) y =x

x+ 3c) y =

2x

(x− 2)(x+ 1)d) y =

1√9− x2

e) y =x2 − 1

x2 + 1, f) y =

√

x

2− xSolución.

a) El dominio es el conjunto de los números reales. Dom(y) = R.b) El dominio es el conjunto de los números reales. Dom(y) = R.c) El dominio es el conjunto que cumple que |x| ≥ 2.d) El dominio resulta: Dom(y) = R − {−3}.e) El dominio resulta: Dom(y) = R − {−1, 2}.f) El dominio es el conjunto que cumple que −3 < x < 3.g) El dominio es el conjunto de los números reales. Dom(y) = R.h) El dominio es el conjunto que cumple que 0 ≤ x < 2.

Problema 2.4.Hallar los siguientes límites:

a) lı́mx→4

x− 4

x2 − x− 12b) lı́m

x→3

x3 − 27

x2 − 9

Solución.

a) lı́mx→4

x− 4

x2 − x− 12⇒ lı́m

x→4

x− 4

(x+ 3)(x− 4)= lı́m

x→4

1

x+ 3=

1

7

b) lı́mx→3

x3 − 27

x2 − 9= lı́m

x→3

(x− 3)(x2 + 3x+ 9)

(x− 3)(x+ 3)= lı́m

x→3

x2 + 3x+ 9

x+ 3=

9

2

Problema 2.5. Estudiar

a) lı́mx→0

1

3+ 21/xb) lı́m

x→0

1+ 21/x

3+ 21/x

Solución.

a) Sea x → 0−; entonces 1/x → −∞, 21/x → 0, y lı́mx→0−

1

3+ 21/x=

1

2

Sea x → 0+; entonces 1/x → +∞, 21/x → +∞, y lı́mx→0+

1

3+ 21/x= 0

Por lo tanto, lı́mx→0

1

3+ 21/xno existe.

b) Sea x → 0−; entonces 21/x → 0 y lı́mx→0−

1+ 21/x

3+ 21/x=

1

3

Sea x → 0+. Para x 6= 0,1+ 21/x

3+ 21/x=

2−1/x + 1

3 · 2−1/x + 1y como lı́m

x→0+2−1/x = 0; lı́m

x→0+

2−1/x + 1

3 · 2−1/x + 1= 1

Por lo tanto, lı́mx→0

1+ 21/x

3+ 21/xno existe.

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Problema 2.6. Calcular

a) lı́mx→2

(x2 − 4x) = 22 − 4 · 2 = −4

b) lı́mx→−1

(x3 + 2x2 − 3x− 4) = (−1)3 + 2 · (−1)2 − 3 · (−1)− 4 = 0

c) lı́mx→1

(3x− 1)2

(x+ 1)3=

(3 · 1− 1)2

(1+ 1)3=

1

2

d) lı́mx→0

3x − 3−x

3x + 3−x=

30 − 3−0

30 + 3−0=

1− 1

1+ 1=

0

2= 0

e) lı́mx→2

x− 1

x2 − 1=

2− 1

22 − 1=

1

3

f) lı́mx→2

x2 − 4

x2 − 5x+ 6=

22 − 4

22 − 5 · 2+ 6=

0

0⇒ lı́m

x→2

(x+ 2)(x− 2)

(x− 2)(x− 3)= lı́m

x→2

x+ 2

x− 3=

2+ 2

2− 3= −4

g) lı́mx→−1

x2 + 3x+ 2

x2 + 4x+ 3=

0

0⇒ lı́m

x→2

(x+ 1)(x+ 2)

(x+ 1)(x+ 3)=

−1+ 2

−1+ 3=

1

2

h) lı́mx→2

x− 2

x2 − 4=

0

0⇒ lı́m

x→2

x− 2

(x− 2)(x+ 2)=

1

4

i) lı́mx→2

x− 2√x2 − 4

=0

0⇒ lı́m

x→2

x− 2√x2 − 4

·√x2 − 4√x2 − 4

= lı́mx→2

(x− 2) ·√x2 − 4

(x− 2) · (x+ 2)= 0

j) lı́mx→2

√x− 2

x2 − 4=

0

0⇒ lı́m

x→2

√x− 2

x2 − 4·√x− 2√x− 2

= lı́mx→2

x− 2

(x− 2)(x+ 2)√x− 2

=1

4 · 0 = ∞ ⇒ No existe el

límite.

k) lı́mh→0

(x+ h)3 − x3

h=

0

0= lı́m

h→0

x3 + h3 + 3x2h+ 3xh2 − x3

h= 3x2

l) lı́mx→1

x− 1√x2 + 3− 2

=0

0⇒ lı́m

x→1

x− 1√x2 + 3− 2

·√x2 + 3+ 2√x2 + 3+ 2

= lı́mx→1

(x− 1)√x2 + 3+ 2

(x− 1)(x+ 1)=

2+ 2

2= 2

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