5/25/2018 Clculo de Lmites de Funciones Elementales y Lmites Que Conviene Conocer

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Clculo de lmites de funciones elementales ylmites que conviene conocer

Funcin constante

f(x) = K

Funcin identidad

f(x) = x

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Funcin potencial de exponente natural

f(x) = xn , n N , n 2 , n par

f(x) = - xn , n N , n 2 , n par

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f(x) = xn , n N , n 2 , n impar

f(x) = - xn , n N , n 2 , n impar

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Funcin potencial de exponente enteronegativo

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Funcin exponencial

f(x) = ax , a > 0 , a 1

g(x) = ax , 0 > a > 1 , a 1

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Funcin logartmica

f(x) = logax , a > 1 , a 1

f(x) = logax , 0 < a < 1 ,a 1

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Lmites que conviene conocer

No existen:

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Infinitos:

Finitos:

Lmites determinados

Decimos que un lmite es determinadocuando al calcularlo se obtiene un resultado

que tiene sentido en R.

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Se calculan los lmites laterales. El lmite ser + o - , o no existir porque sus

lmites laterales sean distintos.

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El orden del infinito es mayor en ex que en x , por tanto, el denominador tiende a

infinito mucho ms rpido que el numerador.

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Lmites indeterminados

Decimos que un lmite es indeterminadosi al calcularlo el resultado no tiene sentido

en R.

Se factorizan numerador y denominador.

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Se dividen numerador y denominador entre la mayor potencia de x que aparezca.

Si hay races en el denominador se multiplica y se divide por la expresin conjugada

del denominador.

Se opera la expresin antes de calcular los lmites, o bien, si hay races como en este

ejemplo, se multiplica y divide por la expresin conjugada.

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Se opera la expresin antes de calcular el lmite. En muchos casos se convierten en las

del tipo: 0/0 o en /

En estos casos se aplica logaritmo.

Da lugar a potencias del nmero e .

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Operaciones con expresiones infinitas

Suma

Producto

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Cociente

Potencia

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lar los siguientes lmites elementales

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Hallar los siguientes lmites

El trmino con el exponente de mayor grado tiene coeficiente positivo, por

tanto:

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El trmino con el exponente de mayor grado tiene coeficiente negativo, por

tanto:

El trmino con el exponente de mayor grado tiene coeficiente positivo, por

tanto:

El trmino con el exponente de mayor grado tiene coeficiente negativo, portanto:

Hallar los siguientes lmites

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Vamos a intentar resolverlo primero de la siguiente forma:

El resultado es una indeterminacin.

Para resolver este lmite dividimos numerador y denominador entre la x de

mayor exponente, que en nuestro caso es : x

El grado del denominador es mayor que el del numerador, por tanto el lmite

vale:

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El grado del numerador es mayor que el del denominador, por tanto el lmite

vale:

Podemos aplicar la siguiente propiedad de los lmites:

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Hallar los siguientes lmites

Aunque parece que el exponente de mayor grado es 2, observamos que dicho

trmino est bajo la influencia de una raz cuadrada, por tanto su grado

podramos decir que es: (x2)1/2= x1

Por tanto, el mayor grado de la funcin es 1. Tenemos que dividir numerador

y denominador por x.

Dividimos numerador y denominador por la x de mayor exponente: x2

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Observamos que los grados del numerador son: n1/2 , n1/3

El grado del denominador es mayor que el del numerador: 1>

1/2 y 1 > 1/3

Por tanto, dividimos numerador y denominador por el trmino de mayor

exponente: n

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El exponente de mayor grado es 1.

Hallar los siguientes lmites

Multiplicamos y dividimos por el conjugado de la funcin:

Multiplicamos y dividimos por el conjugado de la funcin:

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El trmino de mayor grado es x2, por tanto, dividimos numerador y

denominador por x2 y calculamos el lmite:

Multiplicamos y dividimos por el conjugado de la funcin:

Aunque puede parecer que el trmino de mayor grado es x2, dicho trmino

est bajo la influencia de una raz cuadrada, por tanto: (x2)1/2= x

Luego el trmino de mayor grado es x, as que dividimos numerador y

denominador por x y calculamos el lmite:

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El numerador es de mayor grado que el denominador, por tanto:

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