Calculo eleccion de un deposito de agua

Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1

ÍNDICE

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN............................................................................... 9

1.1.- Antecedentes ............................................................................................................................. 9

1.2.- Objetivos .................................................................................................................................. 11

1.3.- Método seguido ...................................................................................................................... 12

CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO EN EL CÁLCULO DE

DEPÓSITOS DE AGUA.................................................................. 16

2.1.- Introducción............................................................................................................................. 16

2.2.- Elementos de cálculo y diseño preliminares.................................................................. 18

2.2.1.- Exposición ambiental y recubrimiento ......................................................... 18

2.2.1.1.- Exposición ambiental ........................................................................... 18

2.2.1.2.- Recubrimiento ...................................................................................... 19

2.2.2.- Clase de hormigón y armaduras ................................................................... 19

2.2.2.1.- Clase de hormigón................................................................................ 19

2.2.2.2.- Clase de armaduras............................................................................... 20

2.2.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared ........................................... 21

2.2.3.1.- Depósitos de hormigón armado ........................................................... 23

2.2.3.2.- Depósitos de hormigón pretensado ...................................................... 24

2.2.4.- Preliminares al cálculo de la solera .............................................................. 25

2.2.5.- Acciones a considerar en el cálculo de la solera .......................................... 26

2.2.6.- Estado Límite de Servicio de fisuración....................................................... 28

2.2.6.1.- Cálculo de la abertura característica de fisura wk ................................ 29

2.2.6.2.- Evaluación de la abertura máxima de fisura permitida wmáx ............... 31


2.2.6.2.1.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de

depósitos de hormigón armado..................................................... 32

2.2.6.2.2.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de

depósitos de hormigón pretensado ................................................ 32

2.2.6.2.3.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la solera de

depósitos ....................................................................................... 33

2.2.6.3.- Particularidades del Estado Límite de Servicio de Fisuración en los

depósitos ............................................................................................... 33

2.2.7.- Armaduras mínimas en depósitos................................................................. 34

2.2.8.- Elementos de diseño en depósitos de agua................................................... 36

2.2.8.1.- Diseño de las paredes ........................................................................... 36

2.2.8.2.- Diseño de la solera ............................................................................... 36

2.2.8.3.- Diseño de la cubierta ............................................................................ 38

2.2.8.4.- Otros elementos de diseño ................................................................... 39

2.3.- Depósitos rectangulares de hormigón armado .............................................................. 40

2.3.1.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ............................. 40

2.3.1.1.- Determinación del momento flector..................................................... 40

2.3.1.2.- Cálculo de la armadura de flexión........................................................ 41

2.3.2.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ............. 42

2.3.3.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple ................ 42

2.3.4.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración.......................... 43

2.3.5.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ................................ 45

2.3.5.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior .......................... 45

2.3.5.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior ......................... 45

2.3.5.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior...................... 45

2.3.5.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior ..................... 46

2.3.5.5.- Armadura de cortante ........................................................................... 46

2.4.- Depósitos cilíndricos de hormigón armado.................................................................... 53

2.4.1.- Campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared..................................... 53

2.4.2.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ............................. 56

2.4.2.1.-Determinación del momento flector...................................................... 57


2.4.3.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ............. 59


2.4.3.1.- Determinación del esfuerzo cortante.................................................... 59

2.4.3.2.- Cálculo de la armadura de cortante:..................................................... 60

2.4.4.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple ................ 60

2.4.5.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio de fisuración....... 61

2.4.6.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ................................ 61

2.4.6.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior .......................... 61

2.4.6.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior ......................... 62

2.4.6.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior...................... 62

2.4.6.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior ..................... 63

2.4.6.5.- Armadura de cortante ........................................................................... 63

2.5.- Depósitos cilíndricos pretensados..................................................................................... 64

2.5.1.- Unión pared-solera ....................................................................................... 64

2.5.1.1.- Unión monolítica.................................................................................. 64

2.5.1.2.- Unión articulada flexible...................................................................... 65

2.5.1.3.- Unión articulada fija............................................................................. 66

2.5.2.- Función óptima de pretensado...................................................................... 67

2.5.2.1.- Definición de la Función Hidrostática de Pretensado (FHP) ............... 68

2.5.2.2.- Definición de la Función Uniforme de Pretensado (FUP) ................... 69

2.5.3.- Eficacia del pretensado................................................................................. 71

2.5.4.- Pérdidas del pretensado ................................................................................ 73

2.5.4.1.- Pérdidas instantáneas............................................................................ 73

2.5.4.1.1.- Pérdidas de fuerza por rozamiento ................................................ 73

2.5.4.1.2.- Pérdidas por penetración de cuñas ................................................ 74

2.5.4.1.3.- Pérdidas por acortamiento elástico del hormigón..........................67

2.5.4.2.- Pérdidas diferidas ................................................................................. 75

2.5.5.- Optimización de la secuencia de tesado ....................................................... 77

2.5.6.- Optimización del número de contrafuertes................................................... 77

2.5.7.- Posición de los tendones de pretensado........................................................ 78

2.5.8.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio (armadura activa

horizontal) .................................................................................................... 79

2.5.9.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión (armadura pasiva

vertical) ........................................................................................................ 80




2.5.10.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ........... 82

2.5.10.1.- Determinación del esfuerzo cortante.................................................. 82

2.5.10.2.- Cálculo de la armadura de cortante .................................................... 83

2.5.11.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio de fisuración..... 83

2.5.12.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito .............................. 84

2.5.12.1.- Armadura activa de la pared en la posición horizontal ...................... 84

2.5.12.2.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical interior............. 84

2.5.12.3.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical exterior ............ 85

2.5.12.4.- Armadura pasiva de la pared en la posición horizontal ..................... 85

2.5.12.5.- Armadura de cortante ......................................................................... 85

2.5.13.- Análisis de la interacción pared-solera-terreno en uniones monolíticas .... 86

2.5.14.- Cálculo del campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared en uniones

monolíticas con análisis de interacción pared-solera-terreno: ................... 88

2.6.- Análisis de la solera .............................................................................................................. 90

2.6.1.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de flexión ............................. 90



2.6.2.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de esfuerzo cortante ............. 92

2.6.3.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de tracción simple................ 92

2.6.4.- Comprobación de la solera en Estado Límite de Servicio de fisuración ...... 93

2.6.5.- Disposición de las armaduras en la solera del depósito................................ 93

2.6.5.1.- Soleras rectangulares............................................................................ 93

2.6.5.1.1.- Armadura de la solera en la cara superior ..................................... 93

2.6.5.1.2.- Armadura de la solera en la cara inferior.......................................95

2.6.5.1.3.- Armadura de cortante .................................................................... 94

2.6.5.2.- Soleras circulares ................................................................................. 95

2.6.5.2.1.- Armadura radial de la solera en la cara superior........................... 95

2.6.5.2.2.- Armadura radial de la solera en la cara inferior ............................ 95

2.6.5.2.3.- Armadura circunferencial de la solera en la cara superior............97

2.6.5.2.4.- Armadura circunferencial de la solera en la cara inferior ............. 96

2.6.5.2.5.- Armadura de cortante .................................................................... 96


CAPÍTUL0 3. HERRAMIENTAS PARA FACILITAR EL CÁLCULO DE

DEPÓSITOS CILÍNDRICOS ......................................................... 97

3.1.- Introducción............................................................................................................................. 97

3.2.- Pared solicitada por el empuje hidrostático.................................................................... 98

3.2.1.- Unión monolítica .......................................................................................... 99

3.2.2.- Unión articulada flexible .............................................................................. 99

3.2.3.- Unión articulada fija ................................................................................... 101

3.3.- Pared solicitada por empuje de tierras con Ht = H .....................................................103

3.3.1.- Unión monolítica ........................................................................................ 103

3.3.2.- Unión articulada flexible ............................................................................ 104


3.4.- Pared solicitada por empuje de tierras con Ht < H.....................................................107




3.5.- Pared solicitada por el pretensado...................................................................................113




CAPÍTULO 4. EJEMPLOS DE CÁLCULO DE DEPÓSITOS ............................ 119

4.1.- Introducción...........................................................................................................................119

4.2.- Ejemplo de cálculo de la pared de un depósito rectangular de hormigón

armado....................................................................................................................................120

4.2.1.- Enunciado ................................................................................................... 120

4.2.2.- Datos preliminares...................................................................................... 121

4.2.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared ......................................... 122

4.2.4.- Armaduras mínimas en las paredes ............................................................ 122

4.2.5.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ........................... 122


4.2.7.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple .............. 127


4.2.8.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración........................ 127

4.2.9.- Disposición de armaduras en la pared del depósito.................................... 131

4.3.- Ejemplo de cálculo de la pared de un depósito cilíndrico de hormigón

armado.............................................................................................................. 133

4.3.1.- Enunciado ................................................................................................... 133


4.3.3.- Características mecánicas ........................................................................... 135



4.3.6.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ........................... 135


4.3.8.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple .............. 139

4.3.9.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración........................ 140

4.3.10.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ............................ 141

4.4.- Ejemplo de cálculo de la pared de un depósito cilíndrico de hormigón

pretensado .............................................................................................................................143

4.4.1.- Enunciado ................................................................................................... 143


4.4.3.- Características mecánicas ........................................................................... 145



4.4.6.- Cálculo de la armadura activa de la pared en la posición horizontal ......... 146

4.4.7.- Pérdidas del pretensado .............................................................................. 147

4.4.8.- Posición en altura de los tendones de pretensado....................................... 149

4.4.9.- Cálculo de los coeficientes reductores en la interacción

pared-solera-terreno ................................................................................... 150

4.4.10.- Cálculo del campo de esfuerzos en la pared............................................. 152

4.4.11.- Comprobación de los axiles anulares ....................................................... 154

4.4.12.- Secuencia de tesado .................................................................................. 154

4.4.13.- Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio

(armadura activa horizontal) .................................................................... 154

4.4.14.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión (armadura

pasiva vertical) ......................................................................................... 155


4.4.15.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante: ........ 157

4.4.16.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración...................... 158

4.4.17.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ............................ 161

4.5.- Ejemplo de cálculo de la solera de un depósito rectangular de hormigón

armado....................................................................................................................................162

4.5.1.- Enunciado ................................................................................................... 162


4.5.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la solera ........................................ 164

4.5.4.- Armaduras mínimas en la solera ................................................................ 164

4.5.5.- Discretización de la solera.......................................................................... 164

4.5.6.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de flexión........................... 166

4.5.7.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de esfuerzo cortante........... 168

4.5.8.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de tracción simple.............. 169

4.5.9.- Comprobación de la solera en Estado Límite de fisuración ....................... 169

4.5.10.- Disposición de las armaduras en la solera del depósito............................ 171

CAPÍTULO 5. ELECCIÓN ÓPTIMA DE UN DEPÓSITO DE AGUA............... 172

5.1.- Introducción...........................................................................................................................172

5.2.- Precios de mercado adoptados .........................................................................................175

5.3.- Análisis de paredes y solera en la muestra de depósitos ..........................................178

5.3.1.- Depósitos rectangulares de hormigón armado............................................ 178

5.3.2.- Depósitos cilíndricos de hormigón armado................................................ 180

5.3.3.- Depósitos cilíndricos pretensados con hormigón moldeado. ..................... 182

5.3.4.- Depósitos cilíndricos pretensados con hormigón proyectado .................... 183

5.3.5.- Depósitos prefabricados ............................................................................. 185

5.4.- Análisis de los pilares y zapatas interiores en la muestra de depósitos................185

5.4.1.- Pilares interiores ......................................................................................... 185

5.4.2.- Zapatas interiores........................................................................................ 186

5.5.- Análisis de la cubierta en la muestra de depósitos .....................................................186

5.5.1.- Placas de cubierta ....................................................................................... 186

5.5.2.- Vigas principales de cubierta...................................................................... 187

5.6.- Resumen de la muestra de depósitos analizados ........................................................187


5.7.- Relaciones D/Hω óptimas en depósitos cilíndricos ....................................................196

5.8.- Estudio del número de contrafuertes óptimo ...............................................................197

5.9.- Estudio del campo de validez para las fórmulas simplificadas en depósitos

cilíndricos..............................................................................................................................197

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES ............................................................................ 199

6.1.- Introducción...........................................................................................................................199

6.2.- Conclusiones relativas al cálculo ....................................................................................200

6.3.- Conclusiones relativas a la elección óptima de un depósito de agua....................203

6.4.- Conclusiones específicas...................................................................................208

6.4.1.- Relaciones D/Hω óptimas en depósitos cilíndricos......................................208

6.4.2.- Estudio del número de contrafuertes óptimo...............................................209

6.4.3.- Estudio del campo de validez para las fórmulas simplificadas en

depósitos cilíndricos.....................................................................................209

CAPÍTULO 7. BIBLIOGRAFÍA .............................................................................. 210


CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

1.1.- ANTECEDENTES

Los depósitos de agua son unas estructuras habituales en nuestra geografía, debido a su

misión reguladora de caudal y de presión en las redes de abastecimiento de agua a

poblaciones y regadíos.

En cuanto a su forma geométrica distinguiremos los depósitos rectangulares y los

cilíndricos. En el caso rectangular, su comportamiento estructural es

predominantemente de flexión vertical. Por su parte, en el caso cilíndrico, la estructura

es más flexible, al tener un comportamiento combinado según dos direcciones y con la

posibilidad de pretensar la pared del depósito según la dirección circunferencial.


En cuanto al proceso constructivo podemos distinguir entre los depósitos armados y los

pretensados. Y dentro de los pretensados, los de hormigón moldeado in situ y los de

hormigón proyectado. Por otra parte, también existen los depósitos prefabricados.

Pueden existir innumerables combinaciones entre todos los tipos mencionados, pero en

nuestra latitud, lo más habitual, es tener:

- Depósitos rectangulares de hormigón armado moldeado.

- Depósitos cilíndricos de hormigón armado moldeado.

- Depósitos cilíndricos de hormigón pretensado moldeado.

- Depósitos cilíndricos de hormigón pretensado proyectado.

- Depósitos rectangulares prefabricados de hormigón armado.

- Depósitos circulares prefabricados de hormigón pretensado.

Los depósitos podrán tener cubierta (abastecimiento de agua) o no tenerla (regadío y

depuración). En caso de tenerla, es habitual en nuestro país que esta sea plana y que el

contacto de la cubierta con la pared sea mediante un apoyo flexible, de manera que se

independizan los movimientos de ambos elementos estructurales en el punto de unión.

Por otro lado, para la unión entre la pared y la solera existe una mayor variedad de

soluciones, que se distinguen por la capacidad de movimientos (desplazamiento radial y

giro meridional) de la primera con respecto a la segunda. Estas soluciones son:

- Unión monolítica, en la que la que el movimiento radial y el giro meridional del

pie de la pared son iguales a los del perímetro de la solera. De uso habitual en

depósitos rectangulares y cilíndricos de hormigón armado y también cilíndricos

pretensados de volumen inferior a 10.000 m3.

- Unión articulada flexible, definida con apoyos de neopreno, y que permite un

movimiento relativo del pie de la pared con respecto a la solera. De uso habitual

y muy aconsejado en depósitos cilíndricos pretensados de más de 10.000 m3.

- Unión articulada fija, con el desplazamiento radial de la base de la pared

impedido.


La revisión del estado del conocimiento refleja que el número de normas y

publicaciones dedicadas a estas estructuras es muy inferior al correspondiente a otros

tipos estructurales, como pueden ser los puentes y los edificios. Las normas específicas

para depósitos más conocidas pertenecen a países de influencia anglosajona, como el

Reino Unido, USA y Nueva Zelanda. A nivel nacional, no hay en estos momentos

normas ni recomendaciones específicas para depósitos. La vigente Instrucción de

Hormigón Estructural EHE (1999) tampoco contempla el caso particular de los

depósitos.

Este vacío normativo ha contribuido a crear una aureola de confusión y complejidad a la

hora de calcular un depósito de agua. A ello se suma la particularidad de que en el

cálculo de un depósito se une la metodología de cálculo en Estado Límite Último

(flexión y cortante), en Estado Límite de Servicio de fisuración, que en general, será

más restrictivo, y también el método clásico de emplear una tensión admisible del acero

muy reducida (tracción).

Por otro lado, no existe una colección amplia de depósitos que permita dar la

posibilidad a una persona sin conocimientos ingenieriles a hacer la elección óptima del

depósito que más se adecue a sus necesidades particulares.

1.2.- OBJETIVOS

El presente trabajo se centra en el ámbito de los depósitos para almacenamiento de agua

no elevados, es decir, aquellos que apoyan superficialmente sobre el terreno, o bien,

aquellos que están total o parcialmente enterrados. En concreto, se han estudiado los

depósitos rectangulares de hormigón armado, los cilíndricos de hormigón armado y

también los cilíndricos de hormigón pretensado.

Este estudio se ha dirigido hacia la consecución de dos objetivos principales, los cuales

se exponen seguidamente:


i) Facilitar al técnico las herramientas necesarias para que pueda calcular un

depósito de agua de manera totalmente satisfactoria, tanto en la tipología

armada como pretensada, al amparo de los principales estudios y

recomendaciones realizados hasta el momento, y adaptándonos a la vigente

Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999).

ii) Facilitar a la persona sin conocimientos ingenieriles las herramientas

necesarias para que pueda escoger de manera sencilla y cómoda aquella

tipología de depósito que más se acomode a sus necesidades particulares;

que en general, será la búsqueda de la tipología más competitiva a nivel

económico.

1.3.- MÉTODO SEGUIDO

Para conseguir los objetivos propuestos se han desarrollado distintos trabajos, los cuales

dan contenido a los diferentes capítulos de esta tesina. A continuación se describe

brevemente el método seguido en cada uno de ellos.

En el capítulo 2 se presenta una revisión exhaustiva del estado del conocimiento en el

cálculo de depósitos de agua. Destacamos la importancia de ordenar las acciones a

considerar en el cálculo de la pared de un depósito de agua, la manera de combinarlas y

los coeficientes parciales de seguridad a emplear. Es básico seguir la metodología del

Estado Límite Último y el Estado Límite de Servicio de fisuración que establece EHE.

Conocer de una manera clara el tratamiento de los esfuerzos de flexión y cortante,

combinado con la tracción y también la limitación en la abertura de las fisuras es de una

enorme trascendencia. Todo ello nos lleva a plantear la mejor manera de disponer las

armaduras en las paredes y solera del depósito.

Uno de los elementos básicos sobre el que se edifica toda la teoría de depósitos es la


abertura máxima de fisura permitida wmáx. Desgraciadamente no hay normativa que

evite la siempre peligrosa subjetividad. Pero haciendo un compendio de toda la

información disponible en el estado del conocimiento hemos podido establecer los

valores más idóneos que deben emplearse en cada caso.

También resaltamos la peculiaridad en el tratamiento de los depósitos de hormigón

armado, al buscar de manera independiente las armaduras de flexión y de tracción por

caminos totalmente diferentes para al final sumarlas.

Las paredes de los depósitos rectangulares de hormigón armado se tratan como placas

triempotradas, en la solera y en las dos paredes laterales, y con el borde superior libre,

con lo que aparecen esfuerzos en las direcciones vertical y horizontal. Por contra, las

paredes de los depósitos cilíndricos van acompañadas por toda la teoría de láminas

circulares cilíndricas.

En cuanto a los depósitos cilíndricos de hormigón pretensado se empieza centrando al

lector en un tema tan básico como es la unión pared-solera, que sin duda condiciona los

esfuerzos sobre la pared. También se ha buscado ordenar de manera sencilla todos sus

aspectos de cálculo y diseño más importantes, a fin de que cualquier técnico se pueda

enfrentar a un depósito de hormigón pretensado sin problemas. También se han

adaptado a los parámetros de la vigente Instrucción EHE, siendo especialmente

meticulosos en la mejor manera de limitar tanto la fisuración vertical, de la que se ocupa

la armadura activa circunferencial, como la también muy peligrosa fisuración

horizontal, de la que se ocupa la armadura pasiva.

Finalmente, para el cálculo de la solera de un depósito precisamos de un sencillo

programa de pórticos que nos permita discretizarla en un conjunto de nudos y barras,

que apoyada sobre un lecho elástico que simula el terreno se encuentra sometida a las

acciones que la solicitan.

En el capítulo 3 se ha realizado un enorme esfuerzo encaminado a facilitar la resolución

de los sistemas de ecuaciones lineales que cubren todas las posibilidades de unión

pared-solera, y necesarios para poder encontrar el campo de esfuerzos en una pared


cilíndrica.

En el capítulo 4 se presentan cuatro ejemplos de aplicación de los distintos criterios

empleados en el cálculo de depósitos de agua, a fin de reforzar y clarificar al máximo

todo lo expuesto en los capítulos anteriores. Se calcula de manera detallada y con todos

los pasos necesarios la pared de un depósito rectangular de hormigón armado, la pared

de un depósito cilíndrico de hormigón armado, la pared de un depósito cilíndrico de

hormigón pretensado, y finalmente la solera de un depósito rectangular.

En el capítulo 5 ya se entra en la segunda parte de la tesina, que consiste en dar la

posibilidad a una persona sin conocimientos ingenieriles a que pueda escoger aquel

depósito que más se adecue a sus necesidades particulares. Para ello se estudia una

población de 672 depósitos diferentes (la mitad con cubierta y la otra mitad sin ella),

repartidos en un amplio espectro de volúmenes, desde 100 hasta 50.000 m3, y con

alturas de agua muy habituales comprendidas entre los 2,0 y los 8,0 m.

En la muestra no se ha incluido el estudio de los depósitos cilíndricos pretensados con

hormigón proyectado y tampoco los depósitos prefabricados, por entender que su precio

presenta oscilaciones en función de condicionantes de mercado de unas pocas empresas

que a ello se dedican; y también porque parece más lógico que una vez se conozcan las

dimensiones óptimas del depósito, se consulte el precio en las dos tipologías

mencionadas y se compare con otras ofertas disponibles.

En el capítulo 6 se exponen las conclusiones que se derivan de los distintos estudios

desarrollados a lo largo de la tesina. Las conclusiones responden al cumplimiento de los

objetivos principales que han guiado el desarrollo de la misma. Por una parte, dándole

al técnico todo lo necesario para que calcule el depósito con la confianza de estar

amparado por las principales normativas, recomendaciones y estudios realizados hasta

el momento, con la seguridad de estar siguiendo la misma filosofía de cálculo de la

vigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999) y también con la tranquilidad

de estar diseñando una estructura que no tendrá problemas de funcionalidad o

durabilidad con el tiempo. Y por otra parte, dándole facilidades a la persona sin

conocimientos ingenieriles para que pueda escoger el depósito que más se acomode a


sus necesidades particulares.

En la parte final de este capítulo se llega a conclusiones específicas, como son las

relaciones D/Hω óptimas en depósitos cilíndricos, el número de contrafuertes óptimo o

el campo de validez para las fórmulas simplificadas en el cálculo de la pared de un

depósito cilíndrico.

Por último, en el capítulo 7 se recogen las referencias más significativas consultadas a

lo largo del desarrollo de este trabajo.


CAPÍTULO 2

ESTADO DEL CONOCIMIENTO EN EL CÁLCULO

DE DEPÓSITOS DE AGUA

2.1.- INTRODUCCIÓN

Los depósitos de agua son unas estructuras muy habituales debido al importante papel

que desempeñan en temas tan trascendentales como son el abastecimiento de agua

potable a las poblaciones. A pesar de ello, la revisión del estado del conocimiento

refleja que el número de normas y publicaciones dedicadas a estas estructuras es muy

inferior al correspondiente a otros tipos estructurales, como pueden ser los puentes y los

edificios. La falta de normas y recomendaciones específicas para depósitos a nivel

nacional, provoca una situación de cierta confusión para los técnicos que quieren

abordar su cálculo.


En el presente capítulo se ha buscado ordenar los diferentes criterios y recomendaciones

que existen en el estado del conocimiento de cálculo de depósitos, adaptandolos a la

vigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999), a fin de que el técnico pueda

abordar el cálculo de un depósito de manera sencilla y sin problemas.

Independientemente de que este sea rectangular o cilíndrico, y de hormigón armado o

pretensado.

En la primera parte del capítulo se situa al depósito dentro de un contexto de exposición

ambiental, recubrimiento y clase de hormigón y armaduras que preconiza la Instrucción

EHE. Seguidamente se analizan las acciones que deben considerarse en el cálculo del

depósito y especialmente la manera de combinarlas a fin de poder cumplir con el Estado

Límite Último y también, con el en general más restrictivo, Estado Límite de Servicio

de fisuración. Se exponen los criterios a emplear en un tema tan sensible como es la

abertura máxima de fisura permitida en el depósito. Así como las armaduras mínimas

que debemos considerar con objeto de prevenir posibles fisuraciones debidas a

retracción del fraguado, variaciones de temperatura y otras acciones no contempladas en

el cálculo. También se exponen diferentes criterios y recomendaciones para el diseño

que conviene tener en cuenta al proyectar el depósito, ya que sin duda van a revertir en

una mejor funcionalidad y durabilidad del mismo.

Seguidamente se aborda el cálculo de la pared de depósitos rectangulares de hormigón

armado. La manera de evaluar los esfuerzos de flexión, cortante y tracción combinados

con la fisuración, para al final, poder disponer las armaduras de manera correcta.

Después los depósitos cilíndricos de hormigón armado. En este caso la evaluación de

los esfuerzos de la pared es más compleja, ya que nos encontramos frente una lámina

circular cilíndrica, dónde la solución del campo de desplazamientos y esfuerzos lleva

implicita la necesidad de encontrar el valor de cuatro constantes de integración que

dependen de las condiciones de contorno. Para dar el máximo de facilidades al técnico

hemos dedicado todo el tercer capítulo a plantear los sistemas de cuaciones que en cada

caso han de permitir encontrar estas constantes de integración. Ahora bien, también es

cierto que en muchos casos prácticos de depósitos cilíndricos de hormigón armado se

dan las condiciones suficientes para poder simplificar el cálculo, cosa que también


planteamos detalladamente.

Los depósitos de hormigón pretensado presentan nuevas dificultades. A la complejidad

ya comentada de estar frente una lámina cilíndrica, se une la necesidad de tratar

correctamente la armadura activa circunferencial, a fin de evitar a toda costa la

fisuración vertical de la pared. Pero también, otro tema de enorme trascendéncia, como

son los esfuerzos verticales de flexión, originados por los propios tendones de

pretensado, presión hidrostática y fenomenos reológicos, que originan una fisuración

horizontal que también debe tratarse correctamente.

Y finalmente se explica la mejor manera de calcular la solera de un depósito, ya sea en

el caso rectangular o en el caso cilíndrico; empleando unos criterios y un desarrollo

totalmente análogos a los casos dedicados al estudio de las paredes.

2.2.- ELEMENTOS DE CÁLCULO Y DISEÑO PRELIMINARES

2.2.1.- Exposición ambiental y recubrimiento

2.2.1.1.- Exposición ambiental

La vigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999), en su apartado 8.2. nos

muestra la necesidad de identificar el tipo de ambiente que defina la agresividad a la que

va a estar sometido cada elemento estructural. Para los depósitos de agua, al estar en un

ambiente de grado de humedad alto y con gases de cloro, adoptaremos una clase general

de exposición del tipo IV.

En determinados casos, será necesario asignar también una clase específica de

exposición. Así por ejemplo, en el caso de que el depósito se encuentre ubicado en

zonas de alta montaña adoptaremos el tipo IV+H; y en el caso de que el líquido


contenido por el depósito sea químicamente agresivo adoptaremos el tipo IV+Q (con el

subíndice a, b ó c).

2.2.1.2.- Recubrimiento

El recubrimiento de hormigón es la distancia entre la superficie exterior de la armadura

(incluyendo cercos) y la superficie del hormigón más cercana. En un depósito

convencional de agua, dado que la clase de exposición es del tipo IV, se prescribe

(según EHE) un valor nominal del recubrimiento en las armaduras pasivas de:

- Elementos “in situ”: 40 mm.

- Elementos prefabricados: 35 mm.

En el caso de las armaduras postesas adoptaremos como recubrimiento el siguiente

valor:

- Mín (40 mm; diámetro de la vaina).

2.2.2.- Clase de hormigón y armaduras

2.2.2.1.- Clase de hormigón

Una forma de garantizar la durabilidad del hormigón, así como su colaboración a la

protección de las armaduras frente a la corrosión, consiste en obtener un hormigón con

una permeabilidad reducida. Es esencial obtener in situ una compactación completa sin

segregación. Para ello, la Instrucción EHE fija unos valores de calidad del hormigón,

que adaptados al caso de depósitos de agua quedan expresados según la tabla 2.1.

En cuanto al tipo de cemento, se recomienda utilizar cementos de bajo calor de

hidratación. Proponemos el uso de CEM I para depósitos de hormigón armado y CEM

II/A-D cuando el depósito sea de hormigón pretensado, con la característica adicional

BC (bajo calor de hidratación) siempre que no se hormigone con tiempo frío. Se

utilizaran áridos con coeficientes de expansión térmica bajos, y evitando el uso de


áridos que puedan presentar retracción.

TIPO DE

HORMIGÓN

MÁXIMA

RELACIÓN A/C

MÍN. CONTENIDO

DE CEMENTO

MÍN. RESISTENCIA

CARACTERÍSTICA

H. armado 0,50 325 kg/m3 30 N/mm2

H. pretensado 0,45 325 kg/m3 35 N/mm2

Tabla 2.1.- Valores fijados por EHE adaptados al caso de depósitos de agua.

2.2.2.2.- Clase de armaduras

Las armaduras pasivas a utilizar serán barras corrugadas del tipo:

- B 400 S de límite elástico fyk = 400 N/mm2.

- B 500 S de límite elástico fyk = 500 N/mm2.

Siendo más habituales las B 500 S, por ser las más fáciles de encontrar en el mercado.

En cuanto a las armaduras activas, en general se emplearan cordones de 7 alambres

trenzados, existiendo en el mercado de muy diferentes tipos, tal y como se pone de

manifiesto en la tabla 2.2.

El conjunto de un determinado número de cordones constituye el tendón. La vaina es el

conducto del tendón donde se alojan los cordones a lo largo de todo su trazado. Permite

que los cordones deslicen en su interior durante el enfilado y el tesado y permite,

también, su inyección con lechada de cemento u otro material. La vaina más común es

la corrugada cilíndrica y metálica con espesores de pared entre 0,3 mm. y 0,4 mm. Su

diámetro interior va de los 51 mm. (en el caso de tendones de 3 a 5 cordones) hasta 130

mm. (en el caso de tendones de 37 cordones).

Los valores más habituales que proponen los fabricantes de armaduras activas para el


coeficiente de fricción angular µ (rad-1) y para el coeficiente de fricción parásito k (m-1)

se exponen en la tabla 2.3.

Por otro lado, en los tendones lubrificados el cordón de pretensado se imprime con

grasa, mientras que en los llamados tendones “unbonded” es cada uno de los 7 alambres

trenzados del cordón que se imprime con grasa.

Finalizado el tesado de un tendón, se procede al clavado hidráulico de cuñas, que al

tomar la fuerza del tendón, se introducen unos milímetros más adentro de sus

alojamientos, hasta lograr un equilibrio de tensiones y deformaciones. Dicho

desplazamiento se conoce como “penetración de cuña” y tiene un valor de 4 a 6 mm.

CORDÓN DIÁMETRO

(mm)

SECCIÓN

(mm2)

MASA

(g/m)

fpmáxk

(N/mm2)

fpk

(N/mm2)

P0 s/EHE

(kN)

Y 1860S7 16,0 (0,6”) 150 1.170 1.860 ~ 1.674 209,3

Y 1860S7 15,2 (0,6”) 140 1.095 1.860 ~ 1.674 195,0

Y 1860S7 13,0 (0,5”) 100 781 1.860 ~ 1.674 139,5

Y 1770S7 15,7 (0,6”) 150 1.180 1.770 ~ 1.593 198,8

Tabla 2.2.- Características de los cordones de pretensado más corrientes.

TIPO DE TENDÓN µ (rad-1) K (m-1)

Tendones sin lubrificar 0,22 0,0025

Tendones lubrificados 0,15 0,0018

Tendón tipo “unbonded” 0,07 0,0007

Tabla 2.3.- Valores más habituales de los coeficientes µ y k para las armaduras activas

2.2.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared

Las acciones básicas que solicitan la pared de un depósito de agua son las siguientes:


- Empuje hidrostático.

- Empuje de tierras.

- Pretensado.

- Acción térmica, sismo, viento y efectos diferidos (retracción, fluencia y

relajación).

El empuje hidrostático qh (x) actúa sobre el lado interior del muro y sobre la solera. La

presión sobre la pared es triangular, con un máximo en la base de valor:

qh (x=0) = γω·Hω (2.1)

siendo γω el peso específico del agua y Hω la altura del agua. Yges (1991) aconseja

adoptar la carga hidrostática en toda la altura del muro, suponiendo que por fallos en el

sistema de aliviaderos nos quedamos sin el resguardo (que en general, será del orden de

0,50 m.). Aunque en realidad, esta hipótesis al tener un carácter accidental y estar

acompañada de un coeficiente de mayoración de las acciones unitario, en general, será

menos desfavorable que tener el nivel de agua en la posición normal.

El empuje de tierras qt (x) se aplica exclusivamente sobre el lado exterior de la pared.

La ley de cargas es triangular, con el máximo en la base de valor:

qt (x=0) = γt·tg2(45º-ø/2)·Ht (2.2)

siendo γt el peso específico natural de las tierras, Ht la altura de tierras y ø el ángulo de

rozamiento interno de las mismas.

El pretensado horizontal tiene como misión comprimir circunferencialmente la pared,

de manera que se compensen parcial o totalmente las tracciones originadas por la carga

de agua y, en menor medida, las debidas a otras solicitaciones (gradiente térmico,

retracción...). Se materializa con armaduras postesas ancladas en los contrafuertes. Se

trata de un conjunto discreto de cargas puntuales de valor Pk/Rtendón, situadas

respectivamente a una altura xi de la solera, y siendo Pk la fuerza total de pretensado en

una sección y Rtendón el radio de la circunferencia que describe el tendón de pretensado.


Debido al hecho de llevar a cabo la operación de pretensado de forma puntual y

discreta, aparecen momentos flectores verticales y esfuerzos cortantes adicionales.

La acción térmica, el sismo, el viento y los efectos diferidos, en general no se

calcularan, y solo se tendrán en cuenta adoptando mayores cuantías geométricas de las

armaduras, o bien, incrementando la compresión anular de la pared con más pretensado.

De acuerdo con la Instrucción EHE, la clasificación de acciones será la siguiente:

- Empuje hidrostático: acción permanente, dado que se admite el nivel del

líquido prácticamente constante.

- Empuje de tierras: acción permanente de valor no constante.

- Pretensado y sus efectos: acción de pretensado.

En cuanto a los coeficientes parciales de seguridad, se deben escoger en función del

nivel de control adoptado. En el caso de depósitos de hormigón armado, en los que es

muy posible que sean contratados a constructores locales, adoptaremos un control de

ejecución de nivel normal. En cambio, en el caso de depósitos pretensados, dónde se

hace necesaria una tecnología mucho más compleja, impondremos un control de

ejecución de nivel intenso.

La combinación de acciones, según la Instrucción EHE, quedará de la siguiente manera:

2.2.3.1.- Depósitos de hormigón armado

i) Cálculo de la pared del depósito en Estado Límite Último de flexión y de esfuerzo

cortante:

C1: 1,50x(Empuje hidrostático)

C2: 1,60x(Empuje de tierras)

Estamos considerando que con el depósito lleno de agua no actúa el empuje de tierras,


lo cual nos deja en una posición conservadora, pero en la misma línea propuesta por

Jiménez Montoya et al (1987) y la norma británica BS 8007 (1987).

ii) Cálculo de la pared del depósito en Estado Límite Último de tracción simple:


No se mayora la acción debido a que se adopta una tensión en el acero de tan sólo σs =

130 ó 100 N/mm2.

iii) Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio de fisuración:


C5: 1,00x(Empuje de tierras)

Dado que la determinación del ancho de fisura en elementos sometidos al mismo tiempo

a flexión y tracción no está resuelta de manera satisfactoria, sólo se calculará la

fisuración provocada por la flexión, y al final sumaremos la armadura necesaria por

tracción.

2.2.3.2.- Depósitos de hormigón pretensado

i) Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio (armadura

activa horizontal):

C6: 1,10x(Pretensado a tiempo inicial)

C7: 0,90x(Pretensado a tiempo final) + 1,00x(Empuje hidrostático-tracción simple)

Es necesario garantizar que se cumple este Estado Límite de Servicio preconizado por la

Instrucción EHE.


ii) Cálculo de la pared del depósito en Estado Límite Último de flexión (armadura

pasiva vertical) y de esfuerzo cortante:

C8: 1,35x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a

tiempo inicial ó a tiempo final)

C9: 1,50x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a


Interesa que los esfuerzos adicionales de pretensado en el tesado de cada uno de los

tendones no superen el valor final de los mismos al terminar la fase de tesado. De ahí la

necesidad de tener una buena secuencia de tesado.

iii) Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio de fisuración:

C10: 1,00x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a


C11: 1,00x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a

tiempo inicial ó a tiempo final).

2.2.4.- Preliminares al cálculo de la solera

El modelo más simple de comportamiento de la solera es el elástico formulado por

Winkler, según el cual, se adopta la hipótesis de que la flecha en un punto es

proporcional a la carga actuando sobre el terreno, e independiente de las cargas

aplicadas en otras zonas, y donde el coeficiente de proporcionalidad es el módulo de

balasto del terreno k. Ello nos permite tratar el suelo como si fueran unos muelles de

constante de rigidez vertical Kx = k·A, siendo k el módulo de balasto del terreno y A el

área de influencia del muelle.

Para poder analizar la solera considerando su interacción con el terreno, deberemos

discretizarla en una estructura de nudos y barras apoyada sobre unos muelles, y para


simplificar el problema proponemos:

- Cuando la solera sea rectangular, hacer dos discretizaciones, una para el lado

largo, y la otra para el lado corto, adoptando una anchura de cálculo unidad.

- Cuando la solera sea circular, hacer una única discretización, tomando como

longitud el diámetro y la anchura de cálculo unidad. Luego extender los

resultados obtenidos al resto de la solera.

Por su parte, Girkmann estudió el comportamiento de una placa circular de radio R

descansando sobre un medio indeformable, solicitada por una carga uniforme q en toda

su superficie y por un momento Ms y un axil de tracción Ns en su perímetro. Observó

que ante este estado de carga, la placa tiende a despegarse del medio indeformable

según un anillo perimetral de radio interior B. Es decir, que solo un anillo central de

diámetro 2·B queda apoyado sobre el terreno, y su valor es:

2·B = q

MR s·4·2 − (2.3)

2.2.5.- Acciones a considerar en el cálculo de la solera

Las acciones básicas que solicitan la solera de un depósito de agua son las siguientes:

- Peso propio de la solera.

- Carga hidrostática y empuje hidrostático contra la pared.

- Empuje de tierras contra la pared.

- Pretensado de la pared.

- Acción térmica, sismo y efectos diferidos (retracción y fluencia).

- Subpresión del agua.

El peso propio es una parte de la carga uniforme q que recibe la solera. Su valor es de:

qs = γhormigón·hs (2.4)


siendo γhormigón el peso específico del hormigón, de valor 25 KN/m3, y hs el espesor de la

solera.

La carga hidrostática es la otra parte de la carga uniforme q que recibe la solera. Su

valor es de:

qh(x=0) = qω = γω·Hω (2.5)

siendo γω el peso específico del agua y Hω la altura de agua. Por otro lado, el empuje

hidrostático que solicita la pared provoca un momento flector de eje vertical en su base

que se transmite a la solera, y el esfuerzo cortante también se transmite a la solera en

forma de axil de tracción. Proponemos la siguiente nomenclatura:

Mx(x=0) provocado por el empuje hidrostático = Msh

Qx(x=0) provocado por el empuje hidrostático = Nsh

El empuje de tierras que solicita la pared también produce un momento flector en su

base que se transmite a la solera. Igualmente el esfuerzo cortante en la base debido al

empuje de tierras se transmite a la solera en forma de axil de compresión. Proponemos

la siguiente nomenclatura:

Mx(x=0) provocado por el empuje de tierras = Mst

Qx(x=0) provocado por el empuje de tierras = Nst

El pretensado horizontal de la pared también provoca esfuerzos adicionales de flexión y

cortante en la base del muro que se transmiten a la solera. En este caso, proponemos la

siguiente nomenclatura:

Mx(x=0) provocado por el pretensado horizontal de la pared = Msp

Qx(x=0) provocado por el pretensado horizontal de la pared = Nsp

Igual como pasaba en el cálculo de la pared del depósito, solo vamos a considerar la

acción térmica, el sismo y los efectos diferidos en la solera adoptando mayores cuantías


geométricas de las armaduras.

Finalmente respecto la subpresión del agua, se adoptarán las medidas más convenientes

para evitar que las filtraciones del depósito pasen al terreno de cimentación y generen

nuevos esfuerzos sobre la solera.

En cuanto a los coeficientes parciales de seguridad de la solera, al tratarse siempre de un

elemento de hormigón armado y del que es susceptible no ser especialmente meticuloso

en su construcción, proponemos adoptar un control de ejecución de nivel normal.

La combinación de acciones, según EHE, quedará de la siguiente manera:

i) Cálculo de la solera del depósito en Estado Límite Último de flexión y de esfuerzo

cortante:

C12: 1,50x(Peso propio) + 1,50x(Carga hidrostática) + 1,50x(Msh) + 1,00x(Msp)

C13: 1,50x(Peso propio) + 1,60x(Mst) + 1,00x(Msp)

ii) Cálculo de la solera del depósito en Estado Límite Último de tracción simple:

C14: 1,00x(Nsh) + 1,00x(Nsp)

iii) Comprobación de la solera del depósito en Estado Límite de Servicio de fisuración:



2.2.6.- Estado Límite de Servicio de fisuración

Se trata de un Estado Límite de Servicio, que en el caso de los depósitos adquiere una

enorme trascendencia, ya que de su correcto cumplimiento depende la funcionalidad y

durabilidad del mismo.


Respecto a la fisuración por solicitaciones normales, la Instrucción EHE nos impone

que las tensiones de compresión en el hormigón cumplan:

σc ≤ 0,60 fckj (2.6)

siendo fckj la resistencia característica a j días (edad del hormigón en el momento

considerado).

Respecto a la fisuración por solicitaciones de tracción, EHE nos obliga a satisfacer la

inecuación:

wk ≤ wmáx (2.7)

siendo:

wk la abertura característica de fisura.

wmáx la abertura máxima de fisura permitida.

2.2.6.1.- Cálculo de la abertura característica de fisura wk

La abertura característica de fisura se calculará mediante la siguiente expresión:

wk = β·sm·εsm (2.8)

siendo:

β: coeficiente del cuantil 95% en la distribución gaussiana de anchos de fisura,

que vale 1,64

sm: separación media entre fisuras, en mm:

sm = 2·c + 0,2·s + 0,4·k1·eficazs

eficazc

AA

,

,.φ (2.9)

con:


c: espesor del recubrimiento, en mm.

s: separación entre ejes de barras, en mm. Si s>15ø se introduce en la

fórmula s=15ø. (2.9.a)

k1: coeficiente que vale 0,125 para flexión simple.

ø: diámetro de las barras en mm. Si se emplean barras de distintos

diámetros, se toma el diámetro de la mayor.

Ac,eficaz: área de hormigón allí donde las barras influyen en la abertura de

fisuras:

Si s≤15ø, entonces Ac,eficaz = b(ancho unitario) · h/4 (2.9.b)

Si s>15ø, entonces Ac,eficaz = 15ø · h/4 (2.9.c)

As,eficaz: área total de las armaduras situadas dentro del área Ac,eficaz.

εsm: alargamiento medio de las armaduras:

εsm = s

s

Eσ

−

2

21s

srkσσ ≥ 0,4

s

s

Eσ (2.10)

con:

σs = s

k

AdM

··88,0 (2.10.a)

Es: módulo de deformación longitudinal de las barras de acero; Es =

200.000 N/mm2.

k2: coeficiente de valor 0,5 (pues las cargas son de larga duración).

σsr = 6· 2hb ·

s

ctm

Adf

··9,0 (2.10.b)

con:

Mk: momento flector por unidad de anchura bajo la

combinación para la que se comprueba la fisuración.

d: canto útil de la sección; d = h – c – ø/2 (2.10.b.1)

As: área total de la armadura de tracción existente en el


ancho unitario de cálculo.

b: ancho unitario de la sección.

h: canto total de la sección.

fctm: resistencia media a tracción del hormigón, en N/mm2;

fctm = 0,30· 3 2ckf (2.10.b.2)

2.2.6.2.- Evaluación de la abertura máxima de fisura permitida wmáx

El ancho máximo de fisura permitido por la Instrucción EHE en los casos de

estanqueidad no está contemplado. Se hace necesario seguir las recomendaciones que

figuran en la mayor parte de tratados de depósitos y preconizadas por los especialistas

en el tema.

Así, para Jiménez Montoya et al (1987), en los depósitos de hormigón armado

sometidos a alternancias humedad-sequedad, o expuestos a heladas o agentes agresivos,

la abertura máxima de fisuras debe limitarse a wmáx = 0,1 mm. En depósitos

permanentemente sumergidos puede admitirse wmáx = 0,2 mm.

Para la norma británica BS 8007 (1987), cuando la superficie del depósito de hormigón

armado esté expuesta a unas condiciones muy severas debe diseñarse para una abertura

máxima de fisura de 0,2 mm. Mientras que en los casos de apariencia estética crítica,

donde se consideren inaceptables la eflorescencia y oxidación de la superficie, se

adoptará una abertura máxima de fisura de 0,1 mm.

Vilardell (1990) basando su estudio en criterios tensionales y constructivos en depósitos

de hormigón pretensado con unión pared-solera monolítica, acepta que la pared fisure,

limitando el máximo ancho de fisura a 0,2 mm. para la cara exterior y a 0,1 mm. para la

cara interior de la pared.

Todo ello, nos lleva a plantear las siguientes consideraciones:


2.2.6.2.1.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de depósitos de

hormigón armado

i) Cara exterior de la pared:

Si el depósito se encuentra enterrado, o bien es superficial, pero está protegido de la

radiación solar directa con árboles u otro sistema, y no son de esperar heladas

importantes, entonces adoptaremos para la cara exterior de la pared wmáx = 0,2 mm.

Si el depósito es superficial con la cara exterior de la pared claramente expuesta a

agentes climáticos severos. O se quiere evitar por razones estéticas el que no haya

ningún tipo de fluorescencia, entonces adoptaremos wmáx = 0,1 mm.

ii) Cara interior de la pared:

Si el depósito se encuentra tapado con una cubierta, que además con una capa de grava

reflectante minimiza los efectos térmicos, y el líquido contenido no es químicamente

agresivo, entonces adoptaremos para la cara interior de la pared wmáx = 0,2 mm.

Si el depósito no tiene cubierta y hay numerosas variaciones de nivel con una clara

exposición a unas acciones climáticas severas. O bien, el líquido contenido es

químicamente agresivo o de elevada temperatura, entonces adoptaremos para la cara

interior de la pared wmáx = 0,1 mm.

2.2.6.2.2.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de depósitos de

hormigón pretensado

Para depósitos de hormigón pretensado, la pared debe estar permanentemente

comprimida anularmente, e incluso con una tensión de compresión residual mínima σres,

que en general se fija entre 0,5 i 2,0 N/mm2, una vez desarrolladas todas las pérdidas de

pretensado y con el depósito lleno. Con ello se quiere evitar a toda costa la fisuración

vertical de la pared.


Por su parte, los esfuerzos verticales de flexión en las paredes (debidos a la acción de

los tendones de pretensado, presión hidrostática del agua y fenómenos reológicos)

originan una fisuración horizontal, que debe solucionarse con armadura pasiva vertical.

En este último caso, se exige un ancho de fisura que seguirá los mismos criterios que

hemos establecido para el caso anterior de depósitos de hormigón armado.

2.2.6.2.3.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la solera de depósitos

i) Cara superior de la solera:

En la cara superior de la solera se adoptará un valor de la abertura máxima de fisura de

wmáx = 0,2 mm, a no ser que, por diferentes razones, la solera se encuentre expuesta a

acciones climáticas severas, o el líquido contenido sea químicamente agresivo o de

elevada temperatura, que entonces adoptaremos wmáx = 0,1 mm.

ii) Cara inferior de la solera:

En la cara inferior de la solera se adoptará un valor de la abertura máxima de fisura de

wmáx = 0,2 mm, a no ser, que el terreno de cimentación sea químicamente agresivo, que

entonces adoptaremos wmáx = 0,1 mm.

2.2.6.3.- Particularidades del Estado Límite de Servicio de Fisuración en los

depósitos

La determinación de la abertura de fisura en elementos superficiales sometidos al

mismo tiempo a flexión y tracción, como es el caso de las paredes y solera de un

depósito, no está satisfactoriamente resuelta. Por esta causa, la abertura de fisuras se

determina solamente considerando la flexión simple, aplicando las fórmulas del

apartado 2.2.6.1 anterior.

En depósitos de hormigón armado y en concordancia con la norma británica BS 8007


(1987), se determina independientemente las armaduras de flexión y tracción simple, y

se suman. La armadura de flexión se determina en función del Estado Límite Último y

de la abertura máxima admitida para la fisura; y la de tracción simple, adoptando un

valor muy bajo para la tensión admisible del acero, que se fija en:

- σs = 100 N/mm2 para el caso de wmáx = 0,1 mm.

- σs = 130 N/mm2 para el caso de wmáx = 0,2 mm.

En depósitos de hormigón pretensado las armaduras activas horizontales son las

encargadas de absorber los esfuerzos de tracción simple; mientras que las armaduras

pasivas verticales deben absorber los esfuerzos de flexión que también se determinan en

función del Estado Límite Último y con los criterios de máxima abertura de fisura

permitida, que ya han sido expuestos anteriormente.

2.2.7.- Armaduras mínimas en depósitos

Llombart y Antón (1985) exponen claramente que muchos fallos de estanquidad en los

depósitos con costosas impermeabilizaciones “a posteriori” se deben a la existencia de

fisuras horizontales en las paredes. Y haciendo un riguroso análisis estructural llegan a

mostrar que diferentes efectos no tenidos en cuenta pueden ocasionar esfuerzos de

flexión del orden de tres veces superiores a los que se determinan con la sola

consideración de la presión que el agua ejerce sobre la pared.

De ahí la necesidad de disponer unas cuantías mínimas de las armaduras con objeto de

prevenir posibles fisuraciones debidas a la retracción del fraguado, variaciones de

temperatura e incluso otras acciones que en general no serán contempladas en el cálculo

del depósito.

Nada dice la Instrucción EHE sobre armaduras mínimas en depósitos, de ahí que

seguiremos las recomendaciones expuestas por Jimenez Montoya et al (1987) para

hacer la siguiente propuesta de cuantías mínimas, siempre referidas a la sección total de

hormigón :


- Paredes en depósitos de hormigón armado:

o Para armadura vertical con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020


o Para armadura horizontal con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020

o Para armadura horizontal con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015

- Paredes en depósitos cilíndricos de hormigón armado:



o Para armadura horizontal con wmáx = 0,1 mm; ρmín = 0,0020


- Paredes en depósitos cilíndricos de hormigón pretensado:





- Solera en cualquier tipo de depósito:

o Para armadura superior con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020

o Para armadura superior con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015

o Para armadura inferior con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020

o Para armadura inferior con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015

En depósitos pretensados la pared debe estar permanentemente comprimida

anularmente, de ahí que la armadura horizontal mínima que hemos reflejado sea de un

valor mucho menor, y coincidente con la que figura en EHE para muros

convencionales.


2.2.8.- Elementos de diseño en depósitos de agua

2.2.8.1.- Diseño de las paredes

Referente al espesor de pared a considerar en un depósito de hormigón armado, Jiménez

Montoya et al (1987) aconseja que en los casos más frecuentes de altura de agua Hω ≤

6,0 m, se adopte un valor en el entorno de:

- Para depósitos rectangulares: h = 0,10·Hω (2.11)

- Para depósitos cilíndricos h = 0,05·Hω+0,01·R (2.12)

En cualquier caso, se desaconseja por razones constructivas que este espesor sea menor

de 30 cm, ya que de otra manera no entraría el tubo de la bomba de hormigonado.

Referente al espesor de pared a considerar en un depósito cilíndrico de hormigón

pretensado, Vilardell (1994) expone los valores más habituales de proyecto:

- Cuando la unión es monolítica y el volumen comprendido entre 2.000 y

15.000 m3: 15 cm ≤ h ≤ 30 cm.

- Cuando la unión es articulada flexible o articulada fija, y el volumen

comprendido entre 15.000 y 60.000 m3: 30 cm ≤ h ≤ 45 cm.

Aunque en el caso de hormigón moldeado, también debe mantenerse el mínimo

constructivo de 30 cm. para poder entrar la bomba de hormigonado. Por contra, en el

caso de hormigón proyectado, el espesor acostumbra a oscilar entre los 18 y los 22 cm.

2.2.8.2.- Diseño de la solera

Realizada la excavación para la solera, pondremos una capa de 10 cm. de hormigón de

limpieza del tipo HM-15. Para evitar las subpresiones del agua del terreno sobre la

solera, previamente al hormigón de limpieza habremos dispuesto una capa de gravas o


zahorra drenante protegidas con geotextil de 20 cm. de espesor, colocando en dicha

capa unos tubos dren con salida de los mismos a la arqueta de llaves.

Sobre el hormigón de limpieza se hormigonará la solera, que como mínimo tendrá 20

cm. de espesor y estará armada con dos capas de armadura en forma de malla.

A la solera se le debe dar una pendiente de al menos el 1% hacia la arqueta de llaves

para facilitar las limpiezas. Esta pendiente se debe dar con el hormigón de la solera y no

echando un mortero posteriormente.

En depósitos rectangulares y cilíndricos de hormigón armado, con la unión pared-solera

monolítica, tenemos tres opciones diferentes para solucionar la solera:

- Solera de espesor constante. Es una solución habitual cuando la solera es de

pequeñas dimensiones y no existen pilares centrales. En general se adoptará:

hs≈0,10-0,12·Hω (2.13)

- Muros perimetrales del depósito y pilares centrales con zapata independiente

del resto de la solera. Se dispondrá una junta de dilatación y estanqueidad

entre zapata y solera. Se adoptaran las siguientes medidas: el canto de la

zapata hz expuesto en (2.13) y el espesor de la solera hs=0,20 m.

- Muros perimetrales del depósito y pilares centrales con zapata unida

solidariamente al resto de la solera. Se evita la junta de estanqueidad. La

continuidad se materializa por medio de una cuña estructural dispuesta a 30º

que permite pasar del mayor canto de la zapata al menor espesor de la solera.

En depósitos de cualquier tipo con la unión pared-solera articulada flexible o articulada

fija, se dispondrá una solera de espesor constante hs=20 cm. En el caso de que existan

pilares centrales, estos tendrán una zapata de canto el valor mencionado en (2.13), y se

podrá independizar o no del resto de solera.


En la junta de hormigonado existente entre la solera y el arranque del muro, se

dispondrá una junta de estanqueidad tipo “water-stop”, así como dos elementos

hidroexpansivos a ambos lados de la junta, a fin de evitar al máximo la pérdida de agua

por este punto débil.

2.2.8.3.- Diseño de la cubierta

Existen varios tipos de cubierta de uso extendido en depósitos de agua, que pueden

clasificarse principalmente según tres grupos:

i) Cubiertas constituidas por forjados unidireccionales:

Se apoyan en el contorno superior de la pared del depósito y en pilares interiores. La

unión de las jácenas con la pared se suele materializar con un apoyo elástico, que

independiza en gran medida el comportamiento de la cubierta del de la pared. Existen

asimismo referencias sobre depósitos con apoyo directo de la jácena sobre la pared.

ii) Cubiertas constituidas por losas continuas:

Estas losas pueden ser armadas o pretensadas. Las condiciones de sustentación suelen

ser parecidas a las indicadas para el caso anterior. El reparto de las cargas según dos

direcciones permite reducir el número de pilares.

iii) Cubiertas laminares de hormigón armado:

Cuando el radio del depósito no es muy grande, se suele disponer una sola cúpula

(usualmente de tipo esférico o cónico) que únicamente se apoya en el contorno superior

de la pared.

Así, en función entre otros del diámetro del depósito, del proceso constructivo y de las

condiciones térmicas, la unión entre la cubierta y la pared puede diseñarse con un apoyo

flexible o bien monolítica, incorporándose muchas veces un anillo de borde pretensado


para controlar la tensión circunferencial y minimizar los efectos de flexión de borde.

Cuando la cubierta es un forjado plano, su análisis se suele llevar a cabo según la teoría

de vigas o de placas. En el caso de cubierta laminar, su análisis es más complejo.

Cuando la cubierta sea de pequeñas dimensiones, podrá apoyar exclusivamente sobre

los muros perimetrales del depósito. En el caso de grandes cubiertas, será necesario

disponer unas vigas principales soportadas por pilares interiores, con un cerramiento a

base de un forjado, que por ejemplo, puede resolverse con placas prefabricadas.

Yges (1991) propone por razones económicas disponer los pilares interiores separados

una distancia de 10 m. Unir su cabeza con unas vigas principales, y mediante otras vigas

secundarias y unas losas armadas de 3,0 m. de luz solucionar la cubierta. El mismo

autor recomienda emplear una sobrecarga para el cálculo de la cubierta de 4,0 KN/m2.

Lo que en todos los casos será muy importante es minimizar la expansión térmica de la

cubierta mediante grava reflectante u otra protección contra la radiación solar.

2.2.8.4.- Otros elementos de diseño

Conviene disponer juntas de retracción (con armadura pasante y junta de estanqueidad

tipo “water-stop”) cada 7,50 m, tanto en el alzado de los muros como en la solera.

También conviene disponer juntas de dilatación (con armadura interrumpida y junta de

estanqueidad) aproximadamente cada 20 ó 25 m, a fin de facilitar los movimientos de la

estructura. En los depósitos cilíndricos, uno de los esfuerzos predominantes debidos a la

presión el líquido es el esfuerzo horizontal de tracción. Por motivos estructurales, la

armadura horizontal deberá ser continua en las juntas verticales.

En los depósitos cerrados es obligatoria la existencia de accesos para que el personal

pueda realizar las tareas de limpieza, inspecciones y pruebas. Los registros tienen que

ser lo suficientemente grandes como para que pueda entrar el personal sin problemas

(por ejemplo, 600x900 mm).


También pueden acumularse gases nocivos o inflamables, y por ello deben instalarse los

dispositivos de ventilación adecuados para limitar hasta niveles aceptables posibles

acumulaciones peligrosas.

2.3.- DEPÓSITOS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO

2.3.1.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión

2.3.1.1.- Determinación del momento flector

Trataremos la pared del depósito como una placa triempotrada, en la solera y en las dos

paredes laterales, y con el borde superior libre. Aparecen momentos flectores en las

direcciones vertical y horizontal, y para determinar sus leyes proponemos hacer uso de

las tablas de placas de Bares (1970) que adjuntamos al final del presente apartado.

Para resolver la primera combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático), ya

mencionada en el anterior apartado 2.2.3.1, usaremos la tabla 2.5, y procederemos así:

- Hallar el valor de γ función de los lados de la placa.

- Calcular el valor de la máxima carga mayorada en la base:

qhd = γf·qh = 1,50·γω·Hω (2.14)

- Buscar en la tabla, los momentos flectores horizontales, tanto los máximos

negativos (Mx1d, Mx7d), como los máximos positivos (Mx6d, Mx10d).

- Buscar en la tabla, los momentos flectores verticales, tanto los máximos

negativos (My28d), como los máximos positivos (My14d,My18d).

Que no nos confunda el distinto criterio de ejes y signos empleado, claramente distinto


al del resto de la tesina, y que no se ha cambiado para facilitar el correcto uso de las

tablas.

Para resolver la segunda combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras),

usaremos las tablas 2.5, 2.6 ó 2.7, en función de cuál sea la altura de tierras, y

procederemos igual que en el caso anterior, pero dónde el máximo valor de la base será:

qtd = γf·qt = 1,60·γt·tan2(45-ø/2)·Ht (2.15)

2.3.1.2.- Cálculo de la armadura de flexión

Para conocer la armadura de flexión en la posición vertical interior, se busca la

envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la unión de las

combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el lado

interior), y se calcula la armadura necesaria Av1 con el método parábola rectángulo.

Para conocer la armadura de flexión en la posición vertical exterior, se busca la

envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la unión de

las combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el lado

exterior), y se calcula la armadura necesaria Av3 con el método parábola rectángulo.

Para conocer la armadura de flexión en la posición horizontal interior, se busca la

envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado interior en la unión de


interior), y se calcula la armadura necesaria Ah1 con el método parábola rectángulo.

Finalmente, para conocer la armadura de flexión en la posición horizontal exterior, se

busca la envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado exterior en la

unión de las combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley

en el lado exterior), y se calcula la armadura necesaria Ah4 con el método parábola

rectángulo.


2.3.2.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante

Emplearemos los mismos criterios y tablas de Bares (1970) del caso anterior, buscando

los valores máximos para Rxd y Ryd.

Adoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo cortante pueda ser absorbido por la

contribución del hormigón Vcu, sin necesidad de disponer ningún tipo de cerco o

armadura de cortante. Lógicamente, ello nos va a permitir acotar inferiormente el

espesor de pared del depósito.

Recordemos que la contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante es,

según EHE:

Vcu = ( ) dbfckl ....100..12,0 03 ρξ (en N/m) (2.16)

siendo:

ξ = d

2001+ siendo d el canto útil de la sección en mm. (2.16.a)

ρl: cuantía geométrica armadura long traccionada; ρl = db

As

·0

(< 0,02) (2.16.b)

fck: resistencia característica expresada en N/mm2.

b0: ancho unitario de la sección en mm.

d: canto útil en mm.

2.3.3.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple

Se trata de resolver el Estado Límite Último de tracción simple, recogido en la

combinación C3: 1,00x(Empuje hidrostático).

De una forma simplificada puede admitirse que los esfuerzos de tracción que se

originan en las paredes del depósito, como consecuencia de la presión hidrostática son:


Napd = 1,00.βp.1/2.γω·2ωH .b, en la pared de lado a. (2.17)

Nbpd = 1,00.βp.1/2.γω. 2ωH .a, en la pared de lado b. (2.18)

y se distribuyen según los porcentajes βp indicados en la tabla 2.4 propuesta por Jiménez

Montoya et al (1987).

Tabla 2.4.- Valores del coeficiente de distribución del esfuerzo de tracción en depósitos

rectangulares (Jiménez Montoya et al, 1987)

También se expuso que la no mayoración de esta acción se debe al hecho de adoptar una

tensión en el acero de tan solo σs = 130 ó 100 N/mm2.

Con todo ello obtendremos una armadura de:

Ah3 = ωσ H

óNN

s

bpdapd

· (2.19)

2.3.4.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración

Se trata de resolver este Estado Límite de Servicio, según las combinaciones C4:

1,00x(Empuje hidrostático) y C5: 1,00x(Empuje de tierras), que ya hemos mencionado


en el anterior apartado 2.2.3.1.

Para resolver la combinación de acciones C4: 1,00x(Empuje hidrostático) usaremos los

mismos momentos flectores horizontales y verticales que ya hemos encontrado en la

combinación C1, pero en este caso, sin mayorar.

Análogamente, para resolver la combinación de acciones C5: 1,00x(Empuje de tierras)

usaremos los momentos flectores horizontales y verticales sin mayorar de la

combinación C2.

Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical interior, se busca la

armadura Av2 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del

lado interior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura

wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.

Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical exterior, se busca la

armadura Av4 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del lado

exterior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤

0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.

Para conocer la armadura de fisuración en la posición horizontal interior, se busca la

armadura Ah2 necesaria para que la envolvente de momentos flectores horizontales del

lado interior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura

wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm según el criterio de fisuración adoptado.

Finalmente, para conocer la armadura de fisuración en la posición horizontal exterior, se

busca la armadura Ah5 necesaria para que la envolvente de momentos flectores

horizontales del lado exterior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una

abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.


2.3.5.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito

2.3.5.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior

1) La armadura necesaria por flexión es Av1.

2) Con la armadura Av2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm según

el criterio de fisuración adoptado.

3) La armadura mínima Avmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó

0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.

Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara interior será el

máx(Av1;Av2;Avmín1).

2.3.5.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior


2) Con la armadura Av4 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según




Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara exterior será el


2.3.5.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior

1) La armadura necesaria por flexión es Ah1.


2) Con la armadura Ah2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según


3) La armadura mínima Ahmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó


4) La armadura necesaria por tracción simple es Ah3.

Entonces, la armadura horizontal que deberemos disponer en la cara interior será el

máx(Ah1;Ah2;Ahmín1) + Ah3/2.

2.3.5.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior

1) La armadura necesaria por flexión es Ah4.

2) Con la armadura Ah5 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según


3) La armadura mínima Ahmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó



Entonces, la armadura horizontal que deberemos disponer en la cara exterior será el

máx(Ah4;Ah5;Ahmín2) + Ah3/2.

2.3.5.5.- Armadura de cortante

Se tomará un espesor de pared que nos garantice que tan sólo con la contribución del

hormigón ya se puede absorber el esfuerzo cortante sin necesidad de disponer cercos.


Tabla 2.5.- Tabla de Bares (1970) para distribución hidrostática en toda la altura


Tabla 2.6.- Tabla de Bares (1970) para distribución hidrostática en 2/3 de la altura


Tabla 2.7.- Tabla de Bares (1970) para distribución hidrostática en 1/3 de la altura


2.4.- DEPÓSITOS CILÍNDRICOS DE HORMIGÓN ARMADO

2.4.1.- Campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared

Tal como plantea Timoshenko y Woinowsky-Krieger (1959) todos los problemas de

deformación simétrica de láminas circulares cilíndricas se reducen a la integración de la

ecuación:

ZR

hEdxdD

dxd

=+

ωω ··

22

2

2

2

(2.20)

La aplicación más sencilla de esta ecuación se obtiene cuando el espesor h de la lámina

es constante. En este caso la ecuación anterior toma la forma:

DxZx

dxxd )()(4)( 4

4

4

=+ ωλω (2.21)

siendo:

ω(x): ley de corrimientos radiales.

λ: constante llamada coeficiente cilíndrico de forma, en m-1;

λ = 42 ··4·

DRhE = ( )

422

2

·1·3

hRν− (2.21.a)

con:

E: módulo de deformación longitudinal del hormigón, en N/mm2;

E = 3 8.8500 +ckf (2.21.a.1)

h: espesor de la pared.

R: radio interior del depósito.

ν: coeficiente de Poisson, que en el hormigón es de valor medio 0,20.


D: rigidez a flexión de la lámina, en N.m; D = ( )2

3

1·12·ν−

hE (2.21.a.2)

Z(x): presión de revolución que solicita a la pared.

La solución general de la ecuación (2.21) es:

ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + f(x) (2.22)

dónde C1, C2, C3 y C4 son constantes de integración que dependen de las condiciones de

contorno, y f(x) es una solución particular, que cuando Z(x) es una ley rectangular,

triangular o trapecial vale: f(x) = hERxZ

·)·( 2

; y en el caso de:

- empuje hidrostático: f(x) = hE

RxH·

)··( 2−− ωωγ (2.22.a)

- empuje de tierras: f(x) = hE

RxHtg tt

·)·)·(2/º45(· 22 −−φγ

(2.22.b)

Una vez conocida la ley de desplazamientos radiales ω(x), se determinan fácilmente la

ley de giros θx(x) y las leyes de esfuerzos en la lámina mediante las expresiones:

i) En el caso de empuje hidrostático (con el nivel de agua Hω coincidente con la altura

total de la pared H):

θx(x) = dx

xd )(ω = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) +

C3.λ.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) + hER·· 2

ωγ (2.23)

Nφ(x) = R

xhE )(·· ω− =

−

RhE· · [C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) +


C4.e-λx.sin(λx) - hE

RxH·

)··( 2−ωωγ ] (2.24)

Mx(x) = -D· 2

2 )(dx

xd ω = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) – C2.eλx.cos(λx) – C3.e-λx.sin(λx) +

C4.e-λx.cos(λx)] (2.25)

Mφ(x) = ν.Mx(x) (2.26)

Qx(x) = -D· 3

3 )(dx

xd ω = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) +

C3.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C4.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (2.27)

ii) Y en el caso de empuje de tierras (con el nivel de tierras Ht coincidente con la altura

total de la pared H):

θx(x) = dx

xd )(ω = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C3.λ.e-λx.

(-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) - hE

Rtgt

·)·2/º45(· 22 φγ −

(2.28)

Nφ(x) = R

xhE )(·· ω− =

−


C4.e-λx.sin(λx)+hE

RxHtg tt

·)·)·(2/º45(· 22 −−φγ

] (2.29)

Mx(x), Mφ(x) y Qx(x) tendrán la misma expresión que para el caso de empuje

hidrostático. Todo ello con el convenio de signos de la figura 2.1

Por otra parte conviene aclarar que en el caso de tener el nivel de agua o el nivel de

tierras por debajo la coronación de la pared, el problema se complica con la resolución

de un sistema lineal de dies ecuaciones con dies incógnitas, que desarrollamos en el

tercer capítulo de la tesina.


Figura 2.1.- Esfuerzos actuantes en una lámina con simetría de revolución y criterio de

signos adoptado (Timoshenko et al, 1959)


Para calcular los esfuerzos que solicitan la pared de un depósito cilíndrico tendremos

que encontrar, en primer lugar, las constantes de integración C1, C2, C3 y C4, que

dependen de las condiciones de contorno. Ello nos conduce a un sistema lineal de cuatro

ecuaciones con cuatro incógnitas que desarrollamos ampliamente en el capítulo 3.

Seguidamente tendremos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones del

apartado anterior.

Ahora bien, en algunos casos prácticos podremos simplificar enormemente la resolución

del problema haciendo nulas las constantes C1 y C2. Ello será posible solo cuando el


espesor de la pared sea pequeño en comparación tanto con el radio como con la altura

del depósito y podamos considerar la lámina como infinitamente larga. No hemos

encontrado en el estado del conocimiento una acotación clara que nos permita saber en

que casos podremos hacer esta simplicación con errores despreciables, y en que casos

conviene no hacerla. Es por ello, que uno de los resultados de la presente tesina será

conocer de manera precisa el campo de validez para la hipótesis anterior.

Y suponiendo además que el borde inferior de la pared está empotrado en una

cimentación absolutamente rígida, que es lo habitual en depósitos de hormigón armado,

las otras dos constantes son:

i) En el caso de empuje hidrostático:

C3 = hEHR

··· 2

ωωγ (2.30)

C4 = )1·(·· 2

λγ

ωω −H

hER

(2.31)

ii) En el caso de empuje de tierras:

C3 = hE

HRtg tt

··)·2/º45(· 22 φγ −

− (2.32)

C4 = )1·(·

)·2/º45(· 22

tt H

hERtg

−−

λφγ

(2.33)

2.4.2.1.-Determinación del momento flector

Para resolver la primera combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático) ya

mencionada en el anterior apartado 2.2.3.1, podemos hacer uso de la ley de momentos


flectores (2.25) y las constantes C3 y C4 que ya conocemos, obteniendo:

Mxd(x) = 1,50· ))·cos()·1()·sin(··()1·(6

···2

222

xeHxeHRh xx λ

λλ

νγλ λ

ωλ

ωω −− −+−

− (2.34)

y su valor máximo que se da en el empotramiento vale:

Mxdmáx = Mxd(x=0) = 1,50· )1·()1·(6

···2

222

λνγλ

ωω −

−H

Rh (2.35)


procederemos de forma análoga:

Mxd(x)=1,60· ))·cos()·1()·sin(··()1·(6

)·2/º45(···2

2222

xeHxeHRtgh x

tx

tt λ

λλ

νφγλ λλ −− −+

−−

(2.36)


Mxdmáx = Mxd(x=0) = 1,60· )1·()1·(6

)·2/º45(···2

2222

tt H

Rtgh−

−−

λνφγλ

(2.37)





interior), y haciendo uso de las ecuaciones (2.34) y (2.36) que nos proporcionan los

diferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av1 con el método

parábola rectángulo.





exterior), y haciendo uso de las mismas ecuaciones (2.34) y (2.36) que nos

proporcionan los diferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av3 con

el método parábola rectángulo.


2.4.3.1.- Determinación del esfuerzo cortante

Para resolver la primera combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático),

podemos hacer uso de la ley de esfuerzos cortantes (2.27) y las constantes C3 y C4 que

ya conocemos, obteniendo:

Qxd(x) = 1,50·Qx(x) = (2.38)

=1,50· )))sin()·(cos()·1())sin()cos(·(··()1·(6

···2

232

xxeHxxeHRh xx λλ

λλλ

νγλ λ

ωλ

ωω +−++−

−−−


Qxdmáx = Qxd(x=0) = 1,50· )21·()1·(6

···2

232

ωω

λνγλ

HRh

−−

(2.39)



Qxd(x) = 1,60·Qx(x) = (2.40)

)))sin()·(cos()·1())sin()·(cos(··()1·(6

)·2/º45(····60,1 2

2232

xxeHxxeHRtgh x

tx

tt λλ

λλλ

νφγλ λλ +−+−

−− −−



Qxdmáx = Qxd(x=0) = 1,60· )12·()1·(6

)·2/º45(···2

2232

λνφγλ

−−

−t

t HRtgh

(2.41)

2.4.3.2.- Cálculo de la armadura de cortante

En depósitos cilíndricos también adoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo

cortante pueda ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu, con lo que no será

necesario disponer cercos, y además, acotaremos inferiormente el espesor de la pared.



combinación C3: 1,00x(Empuje hidrostático).

Podemos hacer uso de la ley de esfuerzos de tracción (2.24) y las constantes C3 y C4 que

ya conocemos, obteniendo:

Nφd (x) = ( )

−+

+−− )()sin()cos(·)sin(··.·00,1 xHxxHxeR x

ωωλ

ω λλλλγ (2.42)

Démonos cuenta que justo en el empotramiento el valor del esfuerzo de tracción es

nulo, y en general, el valor máximo se dará algo por debajo la mitad de la pared del

depósito.

Empleando una tensión en el acero de σs = 100 ó 130 N/mm2 obtendremos una

armadura de:

Ah1 = s

dNσϕ (2.43)


2.4.5.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio de fisuración


1,00x(Empuje hidrostático) y C5: 1,00x(Empuje de tierras), que ya hemos mencionado

en el anterior apartado 2.2.3.1

Para resolver la combinación de acciones C4: 1,00x(Empuje hidrostático) usaremos los

mismos momentos flectores verticales que ya hemos encontrado en la combinación C1,

pero en este caso, sin mayorar.

Análogamente, para resolver la combinación de acciones C5: 1,00x(Empuje de tierras)

usaremos los momentos flectores verticales sin mayorar de la combinación C2.



interior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤




exterior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤



2.4.6.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior









2.4.6.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior








2.4.6.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior


2) La armadura mínima Ahmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín = 0,0015 ó 0,0020

según el criterio de fisuración adoptado.

Entonces, la armadura horizontal que deberemos disponer en la cara interior será el

máx(Ah1/2; Ahmín1).


2.4.6.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior


2) La armadura mínima Ahmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín = 0,0015 ó 0,0020


Entonces, de manera análoga al caso anterior, la armadura horizontal que deberemos

disponer en la cara exterior será el máx(Ah1/2; Ahmín2).


Definiremos un espesor de pared tal que los valores del esfuerzo cortante Qxd(x) que nos

proporcionan las ecuaciones (2.38) y (2.40) sean inferiores a la contribución del

hormigón, y por tanto, evitemos disponer cercos.


2.5.- DEPÓSITOS CILÍNDRICOS PRETENSADOS

2.5.1.- Unión pared-solera

Uno de los aspectos principales que debe plantearse el ingeniero durante el proyecto de

depósitos cilíndricos de hormigón es el diseño de la unión entre la pared y la solera. El

comportamiento estructural del depósito está muy relacionado con el diseño de esta

unión. La elección del tipo de unión depende de la experiencia del proyectista, de la

tradición constructiva del país, de la geometría y de las acciones actuantes.

2.5.1.1.- Unión monolítica

Es una solución ampliamente aceptada en depósitos, donde la unión se caracteriza por la

continuidad de movimientos (desplazamiento radial y giro meridional) entre el borde

inferior de la pared y el perímetro de la solera.

Ventajas de la unión monolítica:

- Facilidad constructiva: de la que, por ejemplo, se aprovechan los depósitos

de hormigón proyectado, al poder hormigonar de manera continua la unión.

- Estabilidad: rigidez ante acciones horizontales como terremotos o fuertes

vientos.

- Importantes garantías de estanqueidad.

- Poco mantenimiento: se evitan las operaciones de control de los aparatos de

apoyo.

Inconvenientes de la unión monolítica:

- A partir de ciertas alturas de pared, la fuerza necesaria de pretensado y los

esfuerzos de flexión vertical empiezan a ser importantes.


- Poca eficacia del pretensado de los tendones próximos a la unión, donde la

fuerza de pretensado apenas comprime anularmente a la pared.

- Unión muy sensible a las acciones indirectas: acción térmica, retracción y

fluencia, con lo que pueden aparecer fisuras a cortas edades en la zona de la

lámina cercana a la base.

Recomendaciones de su uso:

- Se recomienda usar la unión monolítica pared-solera para depósitos con

capacidades V < 10.000 m3.

- También se podría usar en el rango comprendido entre 10.000 m3 < V <

15.000 m3, si empleamos unos criterios de tensión de compresión residual

mínima menos exigentes (del orden de σres= 0,5 N/mm2), y una función de

pretensado óptima.

2.5.1.2.- Unión articulada flexible

La pared descansa sobre la solera por medio de unos apoyos de neopreno, que pueden

estar centrados o desdoblados. Permite un movimiento relativo del pie de la pared con

respecto a la solera.

Ventajas de la unión articulada flexible:

- Comportamiento estructural óptimo: los esfuerzos de flexión no son

relevantes y la fuerza de pretensado se traduce casi íntegramente en

comprimir anularmente a la pared.

- Se requiere poca armadura: es una consecuencia del punto anterior.

Inconvenientes de la articulada flexible:

- Mayor complejidad constructiva.

- Falta de tradición y experiencia, especialmente en el caso de constructores


locales.

- No puede contener líquidos que por sus características químicas pudieran

degradar a los aparatos de apoyo.

- Necesidad de un control y mantenimiento de los aparatos de apoyo para

garantizar la estanqueidad del depósito.


- La unión articulada flexible es la solución más recomendable cuando la

capacidad del depósito supera la barrera de los 25.000 m3.

2.5.1.3.- Unión articulada fija

La pared se introduce en una muesca de la solera con lo que tiene coartado su

desplazamiento horizontal.

Ventajas de la unión articulada fija:

- Comportamiento estructural superior a la unión monolítica, aunque por

debajo de la articulada flexible.

- Menor coste global que la unión articulada flexible.

- Facilidad para adaptarse a los depósitos cilíndricos prefabricados.

- Recomendable para almacenar fluidos a altas o bajas temperaturas.

Inconvenientes de la articulada fija:

- Mayor complejidad constructiva que la unión monolítica.

- Falta de tradición y experiencia.


- La unión articulada fija es la solución más recomendable cuando la


capacidad del depósito supera la barrera de los 10.000-15.000 m3, pero

siempre por debajo de los 25.000 m3.

2.5.2.- Función óptima de pretensado

La carga de agua genera un estado de tracciones en la pared del depósito, que ya hemos

visto anteriormente sigue la función (2.24), con las constantes de integración C1, C2, C3

y C4 que se obtienen resolviendo el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que

planteamos en el tercer capítulo de la tesina.

Por su parte, el pretensado horizontal tiene por misión principal comprimir

circunferencialmente la pared, a fin de compensar las tracciones originadas por la carga

de agua, reduciendo así su fisuración vertical.

Ahora bien, no existe una relación biunívoca entre la ley de tracciones y la fuerza de

pretensado Pk aplicada. Es decir, si en un determinado tramo de pared, la integral de la

ley Nφ(x) vale N0, no se compensarán totalmente las tracciones solo por el hecho de

adoptar Pk= N0. No olvidemos que los tendones más bajos son poco eficaces para

comprimir la pared, y por tanto, se requiere un volumen de pretensado superior a la

integral de los axiles anulares hidrostáticos.

Llegado a este punto, se hace necesario definir una función óptima de pretensado, es

decir, una función que defina el mínimo volumen de pretensado necesario para obtener

el estado de tensiones anulares deseado. Para ello, seguiremos las recomendaciones de

Vilardell (1994), que propone descomponer la función óptima de pretensado en dos

funciones:

- Función Hidrostática de Pretensado (FHP): es aquella función que compensa

las tracciones anulares hidrostáticas en toda la pared y durante la vida útil de

la estructura.

- Función Uniforme de Pretensado (FUP): es aquella función que genera


adicionalmente una tensión de compresión circunferencial mínima en la

pared (llamada σres), con el objeto de evitar, cuando el depósito está lleno,

fisuración vertical debida a otras acciones, tales como las reológicas, la

acción térmica o el sismo.

2.5.2.1.- Definición de la Función Hidrostática de Pretensado (FHP)

La fuerza de pretensado total en la función FHP, independientemente del tipo de unión

en la base, es:

Ptot,FHP = 2·· 2

ωωγ HR (2.44)

siendo γω el peso específico del fluido, R el radio interior del depósito, y Hω la altura

libre de agua.

La forma que tiene esta función FHP es:

i) En el caso de unión monolítica y unión articulada fija:

Es un trapecio truncado verticalmente en su base. La base inferior mide B, la base

superior mide c1·B, y la altura del tramo inferior truncado mide (1-e1)·Hω. El área de

toda esta figura será precisamente Ptot,FHP. Los valores de los coeficientes c1 y e1, se

obtienen de la tabla 2.8.

ii) En el caso de unión articulada flexible:

Es un trapecio normal. La base inferior mide B, la base superior mide c1·B, la altura del

trapecio es lógicamente Hω y su área Ptot,FHP. El valor del coeficiente c1 se obtiene de la

tabla 2.9.


UNIÓN VOLUMEN (m3) c1 e1

Monolítica 2.000 0,01 0,75

Monolítica 5.000 0,01 0,78

Monolítica 8.000 0,01 0,81

Monolítica 15.000 0,01 0,86

Articulada fija 15.000 0,01 0,82




Tabla 2.8.- Valores propuestos por Vilardell (1994) para los parámetros c1 y e1 de la

F.H.P en unión monolítica y articulada fija.

TIPO DE UNIÓN VOLUMEN (m3) c1

Articulada flexible 15.000 0,04




Tabla 2.9.- Valores propuestos por Viulardell (1994) para el parámetro c1 de la F.H.P en

unión articulada flexible.

2.5.2.2.- Definición de la Función Uniforme de Pretensado (FUP)

La fuerza de pretensado total en la función FUP es:

Ptot,FUP = β·σres·h·Hω (2.45)

siendo β un coeficiente corrector, σres la tensión de compresión circunferencial adicional

mínima, h el espesor de la pared y Hω la altura libre de agua.


Hay que tener en cuenta que cuando la unión en la base es fija, no es posible obtener un

estado uniforme de tensiones, debiéndose definir un tramo inicial de pared de altura

Hinf, en la que se admiten compresiones inferiores a σres. Con todo ello, se recomiendan

los valores de la tabla 2.10.

UNIÓN DOMINIO VOLUMEN

(m3):

σres

(N/mm2):

Hinf: COEFICIENTE

β:

Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 7 < 2.000 1,0 0,05·Hω 0,53·(D/Hω) +

0,15

Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 7 2.000 a

8.000

0,5 0,05·Hω 0,53·(D/Hω) +

0,15

Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 7 8.000 a

15.000

1,0 0,10·Hω 0,28·(D/Hω) +

0,38

Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 < 2.000 1,0 0,05·Hω 0,42·(D/Hω) +

0,12

Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 2.000 a

8.000

0,5 0,05·Hω 0,42·(D/Hω) +

0,12

Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 8.000 a

15.000

1,0 0,10·Hω 0,17·(D/Hω) +

0,62

Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 > 15.000 0,5 0,10·Hω 0,17·(D/Hω) +

0,62

Articulada

flexible

3 ≤ D/Hω ≤ 9 Cualquiera 0,5 a 2,0 0 0,03·(D/Hω) +

0,96

Tabla 2.10.- Diferentes valores propuestos por Vilardell (1994) para la función F.U.P.

En las uniones articuladas flexibles el rango de validez para la tensión residual se mueve

entre 0,5 y 2,0 N/mm2; aunque como criterio general se adopta un valor de la tensión

residual de σres = 1,0 N/mm2, aumentandose en el caso de prever gradientes térmicos

importantes.

La forma que tiene esta función FUP es:


i) En el caso de unión monolítica y unión articulada fija:

Es un rectángulo en el tramo superior de pared y un triangulo en el tramo inferior, de tal

manera que la función es nula en el pie de la pared. La base total del triangulo mide B’,

y su altura a1·Hω; mientras que el rectángulo tiene un ancho de a5·B’. El área de toda esta

figura será Ptot,FUP. Los valores de los coeficientes a1 y a5, se obtienen de la tabla 2.11.

UNIÓN DOMINIO Hinf: a1: a5:

Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 5 0,10·Hω 0,27 0,21




Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 5 0,10·Hω 0,25 0,28






Tabla 2.11.- Valores propuestos por Vilardell para los parámetros a1 y a5 de la F.U.P en

unión monolítica y articulada fija.

ii) En el caso de unión articulada flexible:

Es un rectángulo con una ligera concentración de fuerza de pretensado cerca del apoyo.

En concreto, a 0,03·Hω se dispone un valor de 0,15·Ptot,FUP; en el resto del rectángulo

dispondremos 0,85·Ptot,FUP.

2.5.3.- Eficacia del pretensado

El empuje hidrostático del agua genera un estado de tracciones en la pared del depósito


que sigue la ley Nφ(x) (ecuación 2.24). Para hacer frente a ella, aplicamos fuerzas

puntuales de pretensado, cuya magnitud y distribución vendrán fijadas por la función

óptima de pretensado. Esta función óptima determina un volumen total de pretensado

de: Ptot,FHP + Ptot,FUP, que siempre será superior a la integral de Nφ(x).

Por su parte, cuando se aplica una fuerza de pretensado Pk en la ordenada xi, se genera

un estado de esfuerzos de compresión en la pared del depósito, que sigue una ley

análoga a Nφ(x); en concreto, sigue las leyes Nφ(x)=Nφ1(x)∪Nφ2(x) que exponemos en

el apartado 3.5 del tercer capítulo. Repitiendo la misma operación para cada tendón y

superponiendo los resultados, podremos encontrar la ley de axiles anulares de

compresión originados por el pretensado, que llamaremos Nφpret(x).

Llamamos eficacia del pretensado a la relación entre la integral de los axiles anulares de

compresión originados por el pretensado y la fuerza total de pretensado aplicada, o sea:

Eficacia = FUPtotFHPtot

pret

PP

dxxN

,,

)(

+∫ ϕ

(2.46)

A mayor eficacia, más se garantiza que el pretensado se invierta en comprimir

anularmente la pared y menor será el comportamiento de flexión de la misma, que en

definitiva, es lo que interesa.

Se ha encontrado una relación entre la eficacia y la esbeltez D/Hω del depósito. Cuanto

mayor es la esbeltez de un depósito, menor es la eficacia. De ahí, la necesidad de limitar

la esbeltez a valores de D/Hω ≤ 7 en el caso de unión monolítica, y D/Hω ≤ 9 en el caso

de unión articulada fija y unión articulada flexible.

Boixereu (1988) ha encontrado las siguientes relaciones D/Hω que minimizan el coste

del depósito:

- Para depósitos de V=1.000 m3 el valor óptimo de D/Hω es aproximadamente

de 3,7.



de 4,5.


de 5,5.

Por otra parte, los máximos valores de la eficacia se encuentran claramente en los

depósitos con unión articulada flexible.

2.5.4.- Pérdidas del pretensado

Supongamos un tendón de pretensado situado en la ordenada xi. Si los cordones son del

tipo Y 1860S7 se le puede tirar con una fuerza máxima de P0 = (209,3 ó 195,0 ó

139,5)·n KN; mientras que si los cordones son del tipo Y 1770S7, la fuerza máxima será

de P0 = 198,8·n KN, siendo n el número de cordones que constituyen el tendón.

Ahora bien, esta fuerza no se mantiene indefinida en el tiempo, pues existen pérdidas

que rebajan su valor, y que debemos ser capaces de evaluar correctamente. Para ello

seguiremos la vigente Instrucción EHE.

2.5.4.1.- Pérdidas instantáneas

Las pérdidas instantáneas son aquellas que se producen durante la operación de tesado y

en el momento del anclaje de las armaduras activas.

2.5.4.1.1.- Pérdidas de fuerza por rozamiento

Se deben al rozamiento de los cordones con la vaina. Suelen ser las pérdidas más

importantes, y se evaluan con la siguiente expresión:

∆P1(α) = ( )RkeP ···0 1· ααµ −−− (2.47)


siendo:

P0: fuerza de tesado en el anclaje.

µ: coeficiente de fricción angular, en rad-1. Para una orientación sobre sus

valores ver la tabla 2.3.

α: valor del ángulo girado por el tendón entre el anclaje y la sección considerada,

en rad.

k: coeficiente de fricción parásito, en m-1. Para una orientación sobre sus valores

ver la tabla 2.3.

R: radio de la circunferencia descrita por el tendón ≈ radio del depósito, en m.

2.5.4.1.2.- Pérdidas por penetración de cuñas

Aparecen al liberar la fuerza del gato y transferir la tensión del acero al hormigón

mediante el elemento de anclaje. La transferencia produce, inevitablemente, un cierto

deslizamiento de éste (penetración de cuña), que provoca una distensión en el tendón.

Se trata de un triangulo de pérdida de fuerza situado en el anclaje, cuya base mide:

∆P2(α=0) = 2· ( )Rk ppeP ···0 1· ααµ −−− (2.48)

y cuya altura es R·αp, o sea, la longitud de influencia de la penetración de cuña.

Y precisamente el valor de αp, se obtiene de manera iterativa de la siguiente ecuación:

a = pp

p

AERP··2··2 α∆

(2.49)

siendo:

a: penetración de la cuña. Se adopta entre 4 y 6 mm.

Ep: módulo de deformación longitudinal de la armadura activa; Ep = 190.000


N/mm2.

Ap: sección de la armadura activa.

2.5.4.1.3.- Pérdidas por acortamiento elástico del hormigón

Son pérdidas debidas al acortamiento elástico de la lámina al dar tensión sucesivamente

a los tendones. Se pueden estimar mediante la siguiente expresión que figura en la

Instrucción EHE:

∆P3 = cj

ppcp E

EAn

n ··

·21· −σ (2.50)

Aunque en general, como valor medio se puede adoptar:

∆P3 = 0,025·P0. (2.51)

2.5.4.2.- Pérdidas diferidas

Las pérdidas diferidas surgen como consecuencia del comportamiento reológico de los

materiales en el tiempo, interviniendo en su valoración parámetros de difícil

cuantificación. Se evalúan con la siguiente expresión de EHE:

∆Pdif = p

c

pc

c

p

prcspcp A

IyA

AA

n

En·

)·1·(·

1··1

·8,0···2

ϕχ

σεσϕ

+

++

∆++ (2.52)

Al estar frente un elemento estructural con atmósfera húmeda (que se traduce en menor

retracción y fluencia), y al hecho de que hasta el momento de puesta en tensión de los

tendones ya se ha desarrollado una parte de la retracción; en general, como valor medio

se puede adoptar:

∆Pdif = 0,10·(P0 - (∆P1∪∆P2) - ∆P3) (2.53)


Figura 2.2.- Variación de la fuerza de pretensado en un tendón

Si a la fuerza de tesado en el anclaje P0 le restamos las pérdidas instantáneas,

obtendremos la que llamaremos fuerza de pretensado inicial Pki. De ella nos interesa su

valor más grande. O sea,

Pki = P0 - mín(∆P1∪∆P2) - ∆P3 (2.54)

Es fácil comprobar que el valor de mín(∆P1∪∆P2) coincide con el valor de ∆P1 (α=αp).

Y si a la fuerza de tesado en el anclaje P0 le restamos las pérdidas instantáneas y las

pérdidas diferidas, obtendremos la que llamaremos fuerza de pretensado final Pk∞. De

ella nos interesa su valor más pequeño. O sea,

Pk∞ = 0,90 · [P0 - máx(∆P1∪∆P2) - ∆P3] (2.55)

En general, se cumplirá que el valor de máx(∆P1∪∆P2) coincide con el valor de ∆P1 en

la sección más alejada del anclaje.

A la ley de compresiones anulares que genera la fuerza de pretensado inicial en la


superposición de todos los tendones le llamaremos Nφpret,i(x), y a la generada por la

fuerza de pretensado final Nφpret,∞(x).

2.5.5.- Optimización de la secuencia de tesado

Durante el proceso de tesado de los tendones circunferenciales, puede darse la

circunstancia de que los esfuerzos máximos de flexión generados superen el valor final

de los mismos al final de la fase de tesado. Este fenómeno puede ocasionar diferencias

ostensibles entre el valor crítico de los esfuerzos durante la construcción y el valor final

de los mismos en servicio.

Llombart y Antón (1985) definen un criterio óptimo generalizado, consistente en tesar

inicialmente el tendón más próximo al borde superior. A continuación, proponen tesar

el tendón en cuya sección el momento flector vertical acumulado sea mínimo. Ahora

bien, este criterio se suele incumplir con frecuencia en la práctica, debido a la

incomodidad que representa para los operarios.

Boixereu (1988) refleja que en depósitos de pequeña capacidad (entre 500 y 8.000 m3)

con unión monolítica, el orden de tesado que minimiza los momentos flectores

verticales y las operaciones de tesado, consiste en tesar al 100% de arriba a abajo en un

contrafuerte y posteriormente en el otro.

De todas formas, el tesado óptimo será aquel que en ninguna fase de tesado se superen

los esfuerzos máximos alcanzados en la fase de tesado total del depósito. Para ello

deberemos analizar cuidadosamente las leyes de esfuerzos Mx(x)=Mx1(x)∪Mx2(x),

Qx(x)=Qx1(x)∪Qx2(x) generadas por cada una de las fuerzas puntuales de pretensado

que exponemos en el apartado 3.5 del siguiente capítulo.

2.5.6.- Optimización del número de contrafuertes

El trazado en planta de los tendones tiene que presentar el suficiente número de anclajes


para evitar pérdidas excesivas en la fuerza de pretensado. Es por ello que el número de

contrafuertes (recrecido localizado de la pared donde se anclarán los tendones) suele

aumentar con el diámetro del depósito.

Los depósitos pequeños, de hasta 1.000 m3 de volumen, suelen ejecutarse con 1 solo

contrafuerte donde se anclan todos los tendones. Boixereu (1988) sugiere que en

depósitos de pequeña capacidad (entre 500 y 8.000 m3) se dispongan dos contrafuertes

con trazado de los tendones de 360º, y anclajes alternos entre alturas consecutivas. Para

depósitos de mayor capacidad, una solución ampliamente aceptada consiste en disponer

cuatro contrafuertes, con el trazado de los tendones a 180º y alternando los anclajes en

alturas consecutivas.

Figura 2.3.- Diferentes posibilidades de disposición de los contrafuertes y trazado de los

tendones de pretensado

2.5.7.- Posición de los tendones de pretensado

Siempre deberemos disponer los tendones de pretensado lo más al exterior del núcleo

central de la pared que sea posible. Ello es para minimizar los efectos del llamado


empuje al vacío que podrían romper el recubrimiento de hormigón. Así pues, el valor de

“e”, o sea, la distancia entre el c.g. de las armaduras activas y el c.g. de la sección,

vendrá acotado por el Estado Límite de Servicio, que analizaremos en el siguiente

apartado.

Por otra parte, no se aceptaran separaciones entre tendones adyacentes superiores al

triple del espesor de la pared.

2.5.8.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio (armadura

activa horizontal)

En este apartado abordaremos la resolución de la combinación de acciones C6 y C7 que

ya mencionamos en 2.2.3.2

Gracias a la función óptima de pretensado podemos determinar el volumen total de

pretensado a disponer en la pared del depósito: Ptot,FHP + Ptot,FUP.

Ahora bien, para cada uno de los tendones de la pared, se deberá garantizar que se

cumple el Estado Límite de Servicio preconizado por la Instrucción EHE. Así pues:

σ(x=xi) = 2,, )·(·6·10,1)(·10,1

hexxN

hxxN iipretiipret =

+= ϕϕ > -0,60·fckj (2.56)

σ(x=xi) = 2,, )·(·6·90,0)(·90,0

hexxN

hxxN ipretipret =

−= ∞∞ ϕϕ +

hxxN i )( =ϕ < 0 (2.57)

siendo:

σ(x = xi): valor de la tensión en la pared del depósito en la posición del tendón

situado en la ordenada x=xi.

Nφpret,i(x = xi): valor del axil de compresión generado por la superposición de las

fuerzas de pretensado inicial Pki, en el tendón de ordenada xi.


Nφpret,∞(x = xi): valor del axil de compresión generado por la superposición de

las fuerzas de pretensado final Pk∞, en el tendón de ordenada xi.

Nφ(x = xi): valor del axil de tracción generado por el empuje hidrostático, en el

tendón de ordenada x = xi.

h: espesor de la pared.

e: distancia del c.g. de las armaduras activas al c.g. de la sección.

fckj: resistencia característica del hormigón para la edad j correspondiente al

momento de puesta en carga de las armaduras activas.

Y en el caso que no se cumpla el Estado Límite de Servicio tendremos que incrementar

el volumen de pretensado respecto a lo marcado por la función óptima con sus valores

de Ptot,FHP + Ptot,FUP.

De esta manera podremos encontrar el valor más adecuado de “e”, y por tanto,

determinar la posición de los tendones de pretensado en el sentido radial.


pasiva vertical)

Los esfuerzos verticales de flexión en las paredes, así como los esfuerzos de cortante,

son debidos a la acción de los tendones de pretensado, presión hidrostática del agua y

fenómenos reológicos. Originan una fisuración horizontal, que debe solucionares con

armadura pasiva vertical.


Para resolver la combinación de acciones C8: 1,35x(Empuje hidrostático) +

1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) ya

mencionada en el anterior apartado 2.2.3.2, procederemos así:


Mxd(x) = 1,35·Mx(x) del apartado 3.2 + ∑=

n

i 1

1,00·Mx(x) del apartado 3.5 para los n

tendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.58)

Para resolver la combinación de acciones C9: 1,50x(Empuje de tierras) +

1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final)


i) En el caso de tener el nivel de tierras Ht = H:

Mxd(x) = 1,50·Mx(x) del apartado 3.3 + ∑=

n

i 1

1,00·Mx(x) del apartado 3.5 para los n


ii) En el caso de tener el nivel de tierras Ht < H:

Mxd(x) = 1,50·Mx(x) del apartado 3.4 +∑=

n

i 11,00·Mx(x) del apartado 3.5 para los n






interior), y haciendo uso de las ecuaciones (2.58) y (2.59) ó (2.60) que nos proporcionan

los diferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av1 con el método

parábola rectángulo.





exterior), y haciendo uso de las mismas ecuaciones (2.58) y (2.59) ó (2.60) que nos

proporcionan los diferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av3 con

el método parábola rectángulo.


2.5.10.1.- Determinación del esfuerzo cortante

Para resolver la combinación de acciones C8: 1,35x(Empuje hidrostático) +

1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final),

procederemos así:

Qxd(x) = 1,35·Qx(x) del apartado 3.2 + ∑=

n

i 1

1,00·Qx(x) del apartado 3.5 para los n


Para resolver la combinación de acciones C9: 1,50x(Empuje de tierras) +

1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final)


i) En el caso de tener el nivel de tierras Ht = H:

Qxd(x) = 1,50·Qx(x) del apartado 3.3 + ∑=

n

i 1



ii) En el caso de tener el nivel de tierras Ht < H:

Qxd(x) = 1,50·Qx(x) del apartado 3.4 +∑=

n

i 1




2.5.10.2.- Cálculo de la armadura de cortante

En depósitos cilíndricos pretensados también adoptaremos el criterio de que el máximo

esfuerzo cortante pueda ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu, con lo que

no será necesario disponer cercos, y además, acotaremos inferiormente el espesor de la

pared.

Recordemos que la contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante es,

según EHE:

Vcu = dbAP

fc

kckl ..·15,0..100..12,0 0

3

− ∞ρξ (en N/m) (2.64)

2.5.11.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio de

fisuración


1,00x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a

tiempo inicial ó a tiempo final) y C11: 1,00x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos

adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) que ya hemos

mencionado en el anterior apartado 2.2.3.2

Para resolver la combinación de acciones C10 usaremos los mismos momentos flectores

verticales que ya hemos encontrado en la combinación C8, pero en este caso, sin

mayorar.

Análogamente, para resolver la combinación de acciones C11 usaremos los momentos

flectores verticales sin mayorar de la combinación C9.



interior en la unión de las combinaciones C10 y C11 produzca una abertura de fisura wk

≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.




exterior en la unión de las combinaciones C10 y C11 produzca una abertura de fisura wk

≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado.


2.5.12.1.- Armadura activa de la pared en la posición horizontal

1) Se busca la función óptima de pretensado, con lo que podremos determinar el

volumen total de pretensado a disponer en la pared del depósito: Ptot,FHP + Ptot,FUP, así

como la distribución de los tendones en altura.

2) Se comprueba que cada uno de los tendones cumple el Estado Límite de Servicio

según las ecuaciones (2.56) y (2.57).

2.5.12.2.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical interior




3) La armadura mínima Avmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015

ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado.




2.5.12.3.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical exterior








2.5.12.4.- Armadura pasiva de la pared en la posición horizontal

Se busca la armadura mínima Ahmín que cumpla la cuantía establecida de ρmín = 0,0008,

tanto para la cara exterior como para la cara interior. Recordemos que en un depósito

pretensado la pared debe estar permanentemente comprimida anularmente, de ahí que la

armadura horizontal mínima sea un valor pequeño, y coincidente con la que figura en

EHE para muros convencionales


Definiremos un espesor de pared tal que los valores del esfuerzo cortante Qxd(x) que nos

proporcionan las ecuaciones (2.61) y (2.62) ó (2.63) sean inferiores a la contribución del

hormigón, y por tanto, evitemos disponer cercos.


2.5.13.- Análisis de la interacción pared-solera-terreno en uniones

monolíticas

Cuando la unión pared-solera es articulada flexible o articulada fija, el giro de la pared

es prácticamente independiente del de la solera. Ante esta situación, variaciones en el

espesor de la solera o la rigidez del terreno no afectan apenas al comportamiento

estructural de la misma. Cuando la unión es monolítica, el comportamiento de la pared

del depósito es mucho más sensible a variaciones en el espesor de la solera o la rigidez

del terreno.

Suponer que el terreno es indeformable equivale a definir un empotramiento perfecto

del giro en la base de la pared. Esta condición de contorno conduce a resultados poco

precisos en relación a los esfuerzos realmente existentes en la pared.

Un aumento del espesor de la solera conlleva un aumento del grado de empotramiento

de la pared en su base, disminuyendo la integral de axiles anulares, y aumentando los

esfuerzos de flexión (momento y cortante) en la base. Por tanto, considerar un

empotramiento perfecto de las paredes del depósito en la base nos conduce a un

sobredimensionamiento de la armadura pasiva vertical.

Con un modelo de interacción que contemple el comportamiento conjunto pared-solera-

terreno, el momento flector puede llegar a disminuirse hasta un 80% del

correspondiente a la hipótesis de contorno de empotramiento perfecto, mientras que el

esfuerzo cortante puede disminuirse hasta un 45%.

Un método desarrollado para los casos de empuje hidrostático y pretensado

circunferencial (en la función FHP), de uso muy extendido, consiste en idealizar la

unión en la base de la pared con un empotramiento perfecto, y aplicarle un coeficiente

reductor que contemple la interacción pared-solera-terreno, acercando los resultados a la

realidad. Así pues:


i) Para el empuje hidrostático:

ω

)(realxM = ηh· ω)( ontoperfectempotramiexM (2.65)

ω

)(realrQ = ξh· ω)( ontoperfectempotramiexQ (2.66)

ii) Para el pretensado circunferencial (en la función FHP):

FHPPk

realxM ,)( = ηp· FHPPk

ontoperfectempotramiexM ,)( (2.67)

FHPPk

realxQ ,)( = ξp· FHPPk

ontoperfectempotramiexQ ,)( (2.68)

siendo:

ηh = C

shBeA )·(· (2.69)

ξh = F

shEeD )·(· (2.70)

ηp = I

shHeG )·(· (2.71)

ξp = L

shKeJ )·(· (2.72)

con:

A = 99,14

·26,1

·10·46,397,0·27,21

48,0

he k

−

−

−+ (2.73) D = 19,0

·81,3

·20,052,0·58,121

21,0

he k

++ −

(2.76)

B = 142 )·10·38,410·55,3( −−− +− h (2.74) E = 14 )·10·51,415,0( −−+− h (2.77)

C = 34,0·66,008,3 h+− (2.75) F = 18,0·76,033,2 h+− (2.78)

G = 91,26

·32,2

·10·90,363,0·78,3

0966,0

he k

−

−

−

−

(2.79) J = 88,14

·86,1

·10·96,152,0·05,4

0638,0

he k

−

−

+

−

(2.82)

H = 142 )·10·62,810·09,1( −−− +− h (2.80) K = 13 )·10·29,136,0( −−+− h (2.83)

I = 30,0·90,057,3 h+− (2.81) L = 0539,0·51,005,1 h+− (2.84)

con:


h: espesor de la pared expresado en cm.

hs: espesor de la solera expresado en cm.

k: módulo de balasto de la explanada expresado en kp/cm3. De manera

muy orientativa podemos adoptar los siguientes valores:

para una explanada de calidad mala k≈1,0 kp/cm3; para una explanada

de calidad media k≈2,5 kp/cm3; y si la explanada es de calidad buena

k≈5 a 10 kp/cm3.

2.5.14.- Cálculo del campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared en

uniones monolíticas con análisis de interacción pared-solera-terreno

Debemos ser capaces de evaluar el campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared

del depósito, en el caso desechar una unión monolítica perfecta y suponer un

comportamiento conjunto pared-solera-terreno:

i) Pared solicitada por el empuje hidrostático:

Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado en el apartado 3.2.1 del siguiente

capítulo, obteniendo el campo de desplazamientos y esfuerzos correspondiente a un

empotramiento perfecto. Al valor del máximo momento flector y esfuerzo cortante de la

base le aplicaremos la reducción establecida en las ecuaciones (2.65) y (2.66).

ii) Pared solicitada por el empuje de tierras:

Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado en los apartados 3.3.1 ó bien 3.4.1,

del siguiente capítulo, obteniendo el correspondiente campo de desplazamientos y

esfuerzos, y sin aplicar ningún tipo de reducción.

iii) Pared solicitada por el pretensado:

La solución no es tan inmediata, debido a la discontinuidad de las cargas puntuales a lo

largo de la pared. El procedimiento más rápido para conocer el comportamiento de la


pared consiste en:

iii.1) Para los tendones correspondientes a la función FUP no se aplicará

ninguna reducción, y se tendrá que resolver el sistema de ecuaciones planteado

en el apartado 3.5.1 del siguiente capítulo para cada tendón individual, y

superponiendo posteriormente los resultados. En este caso, aceptamos una unión

pared-solera perfecta.

iii.2) Para los tendones correspondientes a la función FHP se superpondrán dos

estados: en primer lugar se calculará la pared suponiendo la unión perfectamente

empotrada y resolviendo el mismo sistema del apartado 3.5.1; y seguidamente,

se superpondrá a lo anterior, el estado de tener la pared con ambos bordes libres

y solicitada en su borde inferior por:

∆M = (ηp-1)· FHPPkontoperfectempotramiexM ,

)( (2.85)

∆Q = (ξp-1)· FHPPkontoperfectempotramiexQ ,

)( (2.86)

Para encontrar los desplazamientos y esfuerzos de este segundo estado, será necesario

conocer el desplazamiento radial:

ω(x) = C1.eλxcos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) (2.87)

con la resolución del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas:

====∆==∆==

0)(0)(

)0()0(

ω

ω

HxQHxM

QxQMxM

x

x

x

x


∆

∆

=

00

··2/··2/

·3

2

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

λ

λ

DQDM

CCCC

aaaaaaaaaaaaaaaa

a11 = 0 a12 = -1 a13 = 0 a14 = 1

a21 = 1 a22 = -1 a23 = -1 a24 = -1

a31 = eλHω.sin(λHω) a32 = -eλHω.cos(λHω) a33 = -e-λHω.sin(λHω) a34 = e-λHω.cos(λHω)

a41 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω)) a42 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω))

a43 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω)) a44 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω))

Démonos cuenta que con la superposición de estos dos estados, los esfuerzos que

tendremos en la base serán precisamente:

Mx(x=0) = FHPPkrealxM ,

)( = ηp· FHPPkontoperfectempotramiexM ,

)( (2.88)

Qx(x=0) = FHPPkrealxQ ,

)( = ξp· FHPPkontoperfectempotramiexQ ,

)( (2.89)

2.6.- ANÁLISIS DE LA SOLERA

2.6.1.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de flexión


En el caso de que los muros perimetrales y los pilares centrales tengan la zapata

independiente del resto de la solera, está se calculará por los procedimientos habituales

de cálculo de zapatas en muros o pilares.


Cuando la solera sea de espesor constante la discretizaremos por medio de una

estructura de nudos y barras apoyada sobre un lecho elástico. La discretización más

simple, ya hemos visto anteriormente que puede consistir en una viga de ancho unidad.

Asignaremos a las barras de la estructura sus correspondientes características mecánicas

de área e inercia.

En cuanto a las coacciones, los dos nudos del extremo estarán simplemente apoyados,

mientras que los nudos centrales, que según Girkmann son los únicos que permanecen

apoyados sobre el terreno (ver apartado 2.2.4) estarán descansando sobre un muelle de

rigidez vertical Kx = k·A, siendo k el módulo de balasto del terreno y A el área de

influencia del muelle. Y finalmente, las acciones a contemplar serán:

1) Para resolver la primera combinación de acciones C12: 1,50x(Peso propio) +

1,50x(Carga hidrostática) + 1,50x(Msh) + 1,00x(Msp), ya mencionada en el anterior

apartado 2.2.5, aplicaremos sobre la estructura:

- qsd = γf·qs = 1,50·qs aplicado en todas las barras. (2.90)

- qωd = γf·qω = 1,50·qω aplicado en todas las barras. (2.91)

- Mshd = γf·Msh = 1,50·Msh aplicado en los dos nudos extremos. (2.92)

- Mspd = γf·Msp = 1,00·Msp aplicado en los dos nudos extremos. (2.93)

2) Para resolver la segunda combinación de acciones C13: 1,50x(Peso propio) +

1,60x(Mst) + 1,00x(Msp), aplicaremos sobre la estructura:

- qsd = γf·qs = 1,50·qs aplicado en todas las barras. (2.94)

- Mstd = γf·Mst = 1,60·Mst aplicado en los dos nudos extremos. (2.95)

- Mspd = γf·Msp = 1,00·Msp aplicado en los dos nudos extremos. (2.96)

La resolución de esta estructura con el uso de las combinaciones C12 y C13 nos

permitirá encontrar los momentos flectores de la solera del depósito.



Para conocer la armadura de flexión en la cara superior, se busca la envolvente de la ley

de momentos flectores de la cara superior en la unión de las combinaciones C12 y C13

(dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en la cara superior), y se calcula la

armadura necesaria As1 con el método parábola rectángulo.

Para conocer la armadura de flexión en la cara inferior, se busca la envolvente de la ley

de momentos flectores de la cara inferior en la unión de las combinaciones C12 y C13

(dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en la cara inferior), y se calcula la

armadura necesaria As4 con el método parábola rectángulo.

2.6.2.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de esfuerzo cortante

Haciendo uso de la discretización de la solera mencionada en el apartado anterior,

buscaremos el máximo valor del esfuerzo cortante Qsdmáx, y comprobaremos que puede

ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu sin necesidad de cercos.

2.6.3.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de tracción simple


combinación C14: 1,00x(Nsh) + 1,00x(Nsp), que ya mencionamos en el apartado 2.2.5.

El esfuerzo de tracción que se origina en la solera del depósito será:

Nsd = γf·Nsh+ γf·Nsp = 1,00·Nsh+ 1,00·Nsp (2.97)

La no mayoración de esta acción se debe al hecho de adoptar una tensión en el acero de

tan solo σs = 100 ó 130 N/mm2. Con todo ello obtendremos una armadura de:


As3 = s

sdNσ

(2.98)

2.6.4.- Comprobación de la solera en Estado Límite de Servicio de fisuración


1,00x(Peso propio) + 1,00x(Carga hidrostática) + 1,00x(Msh) + 1,00x(Msp) y C16:

1,00x(Peso propio) + 1,00x(Mst) + 1,00x(Msp), que ya hemos mencionado en el anterior

apartado 2.2.5.

Para resolver la combinación de acciones C15 usaremos los mismos momentos flectores

que ya hemos encontrado en la combinación C12, pero en este caso, sin mayorar.

Análogamente, para resolver la combinación de acciones C16 usaremos los momentos

flectores sin mayorar de la combinación C13.

Para conocer la armadura de fisuración en la cara superior, se busca la armadura As2

necesaria para que la envolvente de momentos flectores de la cara superior en la unión

de las combinaciones C15 y C16 produzca una abertura de fisura de wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm.


Para conocer la armadura de fisuración en la cara inferior, se busca la armadura As5

necesaria para que la envolvente de momentos flectores de la cara inferior en la unión

de las combinaciones C15 y C16 produzca una abertura de fisura de wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm.


2.6.5.- Disposición de las armaduras en la solera del depósito

2.6.5.1.- Soleras rectangulares

2.6.5.1.1.- Armadura de la solera en la cara superior


1) La armadura necesaria por flexión es As1.

2) Con la armadura As2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm.


3) La armadura mínima Asmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó


4) La armadura necesaria por tracción simple es As3

Entonces, la armadura que deberemos disponer en la cara superior de la solera será el

máx(As1;As2;Asmín1) + As3/2.

2.6.5.1.2.- Armadura de la solera en la cara inferior


2) Con la armadura As5 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según





Entonces, la armadura que deberemos disponer en la cara inferior de la solera será el

máx(As4;As5;Asmín2) + As3/2.

2.6.5.1.3.- Armadura de cortante

En soleras rectangulares definiremos un espesor de solera tal que los valores del


esfuerzo cortante que se obtienen con la combinación de acciones C12 y C13 sea menor

que la contribución del hormigón Vcu, y por tanto, evitemos disponer cercos.

2.6.5.2.- Soleras circulares

2.6.5.2.1.- Armadura radial de la solera en la cara superior







Entonces, la armadura radial que deberemos disponer en la cara superior de la solera

será el máx(As1;As2;Asmín1) + As3/2.

2.6.5.2.2.- Armadura radial de la solera en la cara inferior







Entonces, la armadura radial que deberemos disponer en la cara inferior de la solera será


el máx(As4;As5;Asmín2) + As3/2.

2.6.5.2.3.- Armadura circunferencial de la solera en la cara superior

Coincide con la armadura mínima Asmín1 que cumple la cuantía de ρmín,flexión = 0,0015 ó


2.6.5.2.4.- Armadura circunferencial de la solera en la cara inferior

Coincide con la armadura mínima Asmín2 que cumple la cuantía de ρmín,flexión = 0,0015 ó


2.6.5.2.5.- Armadura de cortante

Igualmente en soleras circulares definiremos un espesor de solera tal que los valores del

esfuerzo cortante que se obtienen con la combinación de acciones C12 y C13 sea menor

que la contribución del hormigón Vcu, y por tanto, evitemos disponer cercos.


CAPÍTULO 3

HERRAMIENTAS PARA FACILITAR EL CÁLCULO

DE DEPÓSITOS CILÍNDRICOS

3.1.- INTRODUCCIÓN

Al estudiar los depósitos cilíndricos de hormigón armado ya planteamos las leyes de

desplazamientos radiales ω(x), giros θx(x) y esfuerzos Nφ(x), Mx(x), Mφ(x) y Qx(x).

Recordemos que se trata de las ecuaciones (2.22), (2.23), (2.24), (2.25), (2.26) y (2.27)

para el caso de empuje hidrostático, y de las ecuaciones (2.22), (2.28), (2.29), (2.25),

(2.26) y (2.27) para el caso de empuje de tierras.

Seguidamente y para simplificar la resolución del problema, se hicieron unas hipótesis


consideradas aceptables en depósitos convencionales de hormigón armado, como eran

suponer la lámina infinitamente larga, con lo que las constantes C1 y C2 eran nulas; y

que la pared estaba empotrada en una cimentación absolutamente rígida.

En el siguiente capítulo se quiere abordar aquel mismo problema, pero de una manera

más generalista, sin suponer nulas las constantes C1 y C2 y contemplando todos los

posibles casos de unión pared-solera.

Queremos dar todas las herramientas que ayuden al técnico a calcular la pared de un

depósito cilíndrico (armado o pretensado), en el caso más general y con las máximas

facilidades.

3.2.- PARED SOLICITADA POR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO

Figura 3.1.- Esquema de la acción del empuje hidrostático contra la pared

Ya conocemos el campo de desplazamientos radiales ω(x) para esta hipótesis de carga:

ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) -

hE

RxH·

)··( 2−ωωγ (3.1)


3.2.1.- Unión monolítica

El empotramiento entre la pared y la solera nos lleva a plantear las siguientes

condiciones de contorno:

====

====

0)(0)(

0)0(0)0(

ω

ω

θω

HxQHxM

xx

x

x

x

Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4):

−=

00

··/·

·/··

·2

2

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

λγ

γ

ω

ωω

hER

hERH

CCCC

aaaaaaaaaaaaaaaa

a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0

a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a24 = 1




3.2.2.- Unión articulada flexible

La pared apoya sobre la solera mediante apoyos de neopreno. En este caso, las

condiciones de contorno son:

====

======

0)(0)(

)0(·)0()0(·)0(

1

2

ω

ω

ωθ

HxQHxM

xKxQxKxM

x

x

x

xx



=

00

·/···

··/··

·2

1

22

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

hERHK

hERK

CCCC

aaaaaaaaaaaaaaaa

ωω

ω

γ

λγ

a11 = -K2 a12 = -(2.D.λ + K2) a13 = K2 a14 = (2.D.λ - K2)

a21 = K1- 2.D.λ3 a22 = 2.D.λ3 a23 = K1 + 2.D.λ3 a24 = 2.D.λ3




Siendo:

K1 la rigidez al desplazamiento radial, en N/m·m, que vale:

K1 = sntGba···· si hay un único apoyo centrado en la pared. (3.2)

K1 = sntGba

·····2 si hay dos apoyos separados una distancia d entre ejes. (3.3)

Por su parte, K2 es la rigidez al giro, en N·m/m y vale:

K2 = snt

Gba···75

··3

5

si hay un único apoyo centrado en la pared. (3.4)

K2 = sntEdba n

···2··· 2

si hay dos apoyos separados una distancia d entre ejes. (3.5)

con:

a: dimensión en planta del neopreno según la dirección radial.


b: dimensión en planta del neopreno según la dirección circunferencial.

d: distancia entre ejes en el caso de disponer dos neoprenos.

n: número de capas de neopreno.

t: espesor de una de las capas de neopreno.

G: módulo de rigidez tangencial del neopreno (G≈0,90 N/mm2).

En: módulo de deformación del neopreno (En≈600 N/mm2).

s: separación entre ejes de neoprenos en la dirección circunferencial.

3.2.3.- Unión articulada fija

La pared se introduce en una muesca de la solera, con lo que tiene coartado su

desplazamiento horizontal. En este caso, las condiciones de contorno son:

====

====

0)(0)(

0)0(0)0(

ω

ω

ω

HxQHxM

xMx

x

x

x


=

000

·/··

·

2

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211 hERH

CCCC

aaaaaaaaaaaaaaaa ωωγ

a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0

a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0 a24 = 1




Sea cual sea la unión pared-solera que tengamos, una vez resuelto el sistema, y por


tanto, conocidas las cuatro constantes de integración C1,C2,C3 y C4, ya nos queda

totalmente determinado el campo de desplazamientos y el campo de esfuerzos en la

totalidad de la pared solicitada por el empuje hidrostático, solo con aplicar las

ecuaciones que ya conocemos:

ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) -

hE

RxH·

)··( 2−ωωγ (3.6)

θx(x) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) +

.λ.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) + hER·· 2

ωγ (3.7)

Nφ(x) =

−


C4.e-λx.sin(λx) - hE

RxH·

)··( 2−ωωγ ]

Mx(x) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) - C2.eλx.cos(λx) - C3.e-λx.sin(λx) + C4.e-λx.cos(λx)] (3.8)

Mφ(x) = ν.Mx(x) (3.9)

Qx(x) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) +



3.3.- PARED SOLICITADA POR EMPUJE DE TIERRAS CON Ht=H

Figura 3.2.- Esquema de la acción del empuje de tierras contra la pared con el nivel

del terreno llegando hasta la coronación del muro

El campo de desplazamientos radiales ω(x) para esta hipótesis de carga ya es conocido:

ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) +

hE

RxHK tat

·)··(· 2−γ

(3.11)

siendo Ka el coeficiente de empuje activo de Rankine que vale: Ka = tg2(45º-ø/2)


El empotramiento pared-solera nos lleva a plantear las siguientes condiciones de

contorno:


====

====

0)(0)(

0)0(0)0(

tx

tx

x

HxQHxM

xx

θω


−

=

00

··/··

·/···

·2

2

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

λγ

γ

hERK

hERHK

CCCC

aaaaaaaaaaaaaaaa

at

tat

a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0

a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a24 = 1

a31 = eλHt.sin(λHt) a32 = -eλHt.cos(λHt) a33 = -e-λHt.sin(λHt) a34 = e-λHt.cos(λHt)

a41 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) a42 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt))

a43 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt)) a44 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt))


La pared apoya sobre la solera mediante apoyos de neopreno. Las condiciones de

contorno son:

====

======

0)(0)(

)0(·)0()0(·)0(

1

2

tx

tx

x

xx

HxQHxM

xKxQxKxM

ωθ



−

−

=

00

·/····

··/···

·2

1

22

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

hERHKK

hERKK

CCCC

aaaaaaaaaaaaaaaa

tat

at

γ

λγ

a11 = -K2 a12 = -(2.D.λ + K2) a13 = K2 a14 = (2.D.λ - K2)

a21 = K1- 2.D.λ3 a22 = 2.D.λ3 a23 = K1 + 2.D.λ3 a24 = 2.D.λ3





La pared se introduce en una muesca de la solera. Las condiciones de contorno son:

====

====

0)(0)(

0)0(0)0(

tx

tx

x

HxQHxM

xMxω


−

=

000

·/···

·

2

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211 hERHK

CCCC

aaaaaaaaaaaaaaaa tatγ

a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0

a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0 a24 = 1





También en este caso, sea cual sea la unión pared-solera que tengamos, una vez resuelto

el sistema, y por tanto, conocidas las cuatro constantes de integración C1,C2,C3 y C4, ya

nos queda totalmente determinado el campo de desplazamientos y el campo de

esfuerzos en la totalidad de la pared solicitada por el empuje de tierras con Ht=H, solo

con aplicar las ecuaciones que ya conocemos:

ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) +

hE

RxHK tat

·)··(· 2−γ

(3.12)

θx(x) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C3.λ.e-λx.


RK at

··· 2γ

(3.13)

Nφ(x) =

−



RxHK tat

·)··(· 2−γ

] (3.14)

Mx(x) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) - C2.eλx.cos(λx) - C3.e-λx.sin(λx) + C4.e-λx.cos(λx)] (3.15)

Mφ(x) = ν.Mx(x) (3.16)

Qx(x) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) +



3.4.-PARED SOLICITADA POR EMPUJE DE TIERRAS CON Ht <H

Figura 3.3.- Esquema de la acción del empuje de tierras contra la pared con el nivel

del terreno por debajo la coronación del muro

Tenemos que subdividir la pared en dos anillos: el anillo inferior 1 hasta dónde llega el

nivel de tierras Ht, y el anillo superior 2, situado por encima. El campo de

desplazamientos radiales será:

ω1(x) = C1.eλxcos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) +

( )

hERxHK tat

···· 2−γ

(3.18)

ω2(x) = C5.eλxcos(λx) + C6.eλx.sin(λx) + C7.e-λx.cos(λx) + C8.e-λx.sin(λx) (3.19)




contorno:

====

====

11

11

1

1

)()(0)0(0)0(

QHxQMHxM

xx

tx

tx

xθω

========

0)(0)(

)()(

2

2

12

12

ω

ω

HxQHxM

QHxQMHxM

x

x

tx

tx

======

)()()()(

21

21

txtx

tt

HxHxHxHx

θθωω

que supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas

(C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1):

−

=

λγ

λγ

γ

··/··0000000

··/··

·/···

·

2

2

2

1

1

8

7

6

5

4

3

2

1

1010109108107106105104103102101

910999897969594939291

810898887868584838281

710797877767574737271

610696867666564636261

510595857565554535251

410494847464544434241

310393837363534333231

210292827262524232221

110191817161514131211

hERK

hERK

hERHK

QMCCCCCCCC

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa

at

at

tat

a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0

a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0


a35 = 0 a36 = 0 a37 = 0 a38 = 0 a39 = 2··21λD

− a310 = 0



a45 = 0 a46 = 0 a47 = 0 a48 = 0 a49 = 0 a410 = 3··21λD

−

a51 = 0 a52 = 0 a53 = 0 a54 = 0 a55 = eλHt.sin(λHt)

a56 = -eλHt.cos(λHt) a57 = -e-λHt.sin(λHt) a58 = e-λHt.cos(λHt) a59 = 2··21λD

− a510 = 0

a61 = 0 a62 = 0 a63 = 0 a64 = 0 a65 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt))


a66 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt)) a67 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt))

a68 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt)) a69 = 0 a610 = 3··21λD

−

a71 = 0 a72 = 0 a73 = 0 a74 = 0 a75 = eλHω.sin(λHω)

a76 = -eλHω.cos(λHω) a77 = -e-λHω.sin(λHω) a78 = e-λHω.cos(λHω) a79 = 0 a710 = 0

a81 = 0 a82 = 0 a83 = 0 a84 = 0 a85 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω))

a86 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω)) a87 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω))

a88 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω)) a89 = 0 a810 = 0

a91 = eλHt.cos(λHt) a92 = eλHt.sin(λHt) a93 = e-λHt.cos(λHt) a94 = e-λHt.sin(λHt)

a95 = -eλHt.cos(λHt) a96 = -eλHt.sin(λHt) a97 = -e-λHt.cos(λHt) a98 = -e-λHt.sin(λHt)

a99 = 0 a910 = 0

a101 = eλHt.(cos(λHt)-sin(λHt)) a102 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt))

a103 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin(λHt)) a104 = e-λHt.(cos(λHt)-sin(λHt))

a105 = -eλHt.(cos(λHt)-sin(λHt)) a106 = -eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt))

a107 = -e-λHt.(-cos(λHt)-sin(λHt)) a108 = -e-λHt.(cos(λHt)-sin(λHt)) a109 = 0 a1010 = 0



contorno son:

====

======

11

11

111

121

)()(

)0(·)0()0(·)0(

QHxQMHxM

xKxQxKxM

tx

tx

x

xx

ωθ

========

0)(0)(

)()(

2

2

12

12

ω

ω

HxQHxM

QHxQMHxM

x

x

tx

tx

======

)()()()(

21

21

txtx

tt

HxHxHxHx

θθωω


(C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1):


−

−

=

λγ

γ

λγ

··/··0000000

·/····

··/···

·

2

21

22

1

1

8

7

6

5

4

3

2

1

1010109108107106105104103102101

910999897969594939291

810898887868584838281

710797877767574737271

610696867666564636261

510595857565554535251

410494847464544434241

310393837363534333231

210292827262524232221

110191817161514131211

hERK

hERHKK

hERKK

QMCCCCCCCC


aaaaaaaaaa

at

tat

at

a11 = -K2 a12 = -(2.D.λ + K2) a13 = K2 a14 = (2.D.λ – K2) a15 = 0

a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0

a21 = K1- 2.D.λ3 a22 = 2.D.λ3 a23 = K1 + 2.D.λ3 a24 = 2.D.λ3 a25 = 0

a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0

a31 hasta a1010 quedan igual que en el caso anterior.



====

====

11

11

1

1

)()(

0)0(0)0(

QHxQMHxM

xMx

tx

tx

x

ω

========

0)(0)(

)()(

2

2

12

12

ω

ω

HxQHxM

QHxQMHxM

x

x

tx

tx

======

)()()()(

21

21

txtx

tt

HxHxHxHx

θθωω


(C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1):


−

=

λγ

γ

··/··00000000

·/···

·

2

2

1

1

8

7

6

5

4

3

2

1

1010109108107106105104103102101

910999897969594939291

810898887868584838281

710797877767574737271

610696867666564636261

510595857565554535251

410494847464544434241

310393837363534333231

210292827262524232221

110191817161514131211

hERK

hERHK

QMCCCCCCCC


aaaaaaaaaa

at

tat

a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0

a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0

a31 hasta a1010 quedan igual que en el caso anterior


el sistema, y por tanto, conocidas las ocho constantes de integración

C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7 y C8, ya nos queda totalmente determinado el campo de

desplazamientos y el campo de esfuerzos en los dos anillos solicitados por el empuje de

tierras con Ht ≤ H, y por tanto, en la totalidad de la pared, solo con aplicar las

ecuaciones que ya conocemos:

ω1(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) +

hE

RxHK tat

·)··(· 2−γ

(3.20)

θx1(x) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C3.λ.e-λx.


RK at

··· 2γ

(3.21)

Nφ1(x) =

−

RhE· ·[C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) +


RxHK tat

·)··(· 2−γ

] (3.22)


Mx1(x) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) - C2.eλx.cos(λx) - C3.e-λx.sin(λx) + C4.e-λx.cos(λx)] (3.23)

Mφ1(x) = ν.Mx1(x) (3.24)

Qx1(x) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) +




(-cos(λx)-sin(λx)) + C8.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) (3.27)

Nφ2(x)=

−

RhE· ·[C5.eλx.cos(λx)+C6.eλx.sin(λx)+C7.e-λx.cos(λx)+C8.e-λx.sin(λx)] (3.28)


Mφ2(x) = ν.Mx2(x) (3.30)




3.5.- PARED SOLICITADA POR EL PRETENSADO

Figura 3.4.- Esquema de la acción del pretensado contra la pared

Cuando la acción es el pretensado, el problema se resuelve fácilmente estudiando

independientemente cada uno de los tendones, y superponiendo posteriormente los

resultados.

Subdividimos la pared en dos anillos: el anillo inferior 1 hasta la posición xi del tendón

de pretensado, y el anillo superior 2, situado por encima. El campo de desplazamientos

radiales será:






contorno:

====

====

11

11

1

1

)()(

0)0(0)0(

QxxQMxxM

xx

ix

ix

xθω

====

−==

==

0)(0)(

)(

)(

2

2

12

12

ω

ω

HxQHxM

RPQxxQ

MxxM

x

x

tendón

kix

ix

======

)()()()(

21

21

ixix

ii

xxxxxxxx

θθωω

siendo Pk la fuerza de pretensado aplicada en la ordenada xi, y Rtendón el radio de la

circunferencia descrita por el tendón de pretensado. Todo ello supone tener el siguiente

sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas (C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1):

−=

0000

)···2/(

00000

·3

1

1

8

7

6

5

4

3

2

1

1010109108107106105104103102101

910999897969594939291

810898887868584838281

710797877767574737271

610696867666564636261

510595857565554535251

410494847464544434241

310393837363534333231

210292827262524232221

110191817161514131211

λDRP

QMCCCCCCCC


aaaaaaaaaa

tendónk

a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0

a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0

a31 = eλxi.sin(λxi) a32 = -eλxi.cos(λxi) a33 = -e-λxi.sin(λxi) a34 = e-λxi.cos(λxi)

a35 = 0 a36 = 0 a37 = 0 a38 = 0 a39 = 2··21λD

− a310 = 0

a41 = eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi)) a42 = eλxi.(-cos(λxi)+sin(λxi))

a43 = e-λxi.(-cos(λxi)+sin (λxi)) a44 = e-λxi.(-cos(λxi)-sin (λxi))

a45 = 0 a46 = 0 a47 = 0 a48 = 0 a49 = 0 a410 = 3··21λD

−

a51 = 0 a52 = 0 a53 = 0 a54 = 0 a55 = eλxi.sin(λxi)


a56 = -eλxi.cos(λxi) a57 = -e-λxi.sin(λxi) a58 = e-λxi.cos(λxi) a59 = 2··21λD

− a510 = 0

a61 = 0 a62 = 0 a63 = 0 a64 = 0 a65 = eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi))

a66 = eλxi.(-cos(λxi)+sin(λxi)) a67 = e-λxi.(-cos(λxi)+sin (λxi))

a68 = e-λxi.(-cos(λxi)-sin (λxi)) a69 = 0 a610 = 3··21λD

−

a71 = 0 a72 = 0 a73 = 0 a74 = 0 a75 = eλHω.sin(λHω)

a76 = -eλHω.cos(λHω) a77 = -e-λHω.sin(λHω) a78 = e-λHω.cos(λHω) a79 = 0 a710 = 0

a81 = 0 a82 = 0 a83 = 0 a84 = 0 a85 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω))

a86 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω)) a87 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω))

a88 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω)) a89 = 0 a810 = 0

a91 = eλxi.cos(λxi) a92 = eλxi.sin(λxi) a93 = e-λxi.cos(λxi) a94 = e-λxi.sin(λxi)

a95 = -eλxi.cos(λxi) a96 = -eλxi.sin(λxi) a97 = -e-λxi.cos(λxi) a98 = -e-λxi.sin(λxi)

a99 = 0 a910 = 0

a101 = eλxi.(cos(λxi)-sin(λxi)) a102 = eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi))

a103 = e-λxi.(-cos(λxi)-sin(λxi)) a104 = e-λxi.(cos(λxi)-sin(λxi))

a105 = -eλxi.(cos(λxi)-sin(λxi)) a106 = -eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi))

a107 = -e-λxi.(-cos(λxi)-sin(λxi)) a108 = -e-λxi.(cos(λxi)-sin(λxi)) a109 = 0 a1010 = 0



contorno son:

====

======

11

11

111

121

)()(

)0(·)0()0(·)0(

QxxQMxxM

xKxQxKxM

ix

ix

x

xx

ωθ

====

−==

==

0)(0)(

)(

)(

2

2

12

12

ω

ω

HxQHxM

RPQxxQ

MxxM

x

x

tend

kix

ix

======

)()()()(

21

21

ixix

ii

xxxxxxxx

θθωω


(C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1):


−=

0000

)···2/(00000

· 3

1

1

8

7

6

5

4

3

2

1

1010109108107106105104103102101

910999897969594939291

810898887868584838281

710797877767574737271

610696867666564636261

510595857565554535251

410494847464544434241

310393837363534333231

210292827262524232221

110191817161514131211

λDRP

QMCCCCCCCC


aaaaaaaaaa

tendónk

a11 = -K2 a12 = -(2.D.λ + K2) a13 = K2 a14 = (2.D.λ – K2) a15 = 0

a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0

a21 = K1- 2.D.λ3 a22 = 2.D.λ3 a23 = K1 + 2.D.λ3 a24 = 2.D.λ3 a25 = 0

a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0




======

==

11

11

1

1

)()(

0)0(0)0(

QxxQMxxM

xMx

ix

ix

x

ω

====

−==

==

0)(0)(

)(

)(

2

2

12

12

ω

ω

HxQHxM

RPQxxQ

MxxM

x

x

tendón

kix

ix

======

)()()()(

21

21

ixix

ii

xxxxxxxx

θθωω


(C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1):


−=

0000

)···2/(00000

· 3

1

1

8

7

6

5

4

3

2

1

1010109108107106105104103102101

910999897969594939291

810898887868584838281

710797877767574737271

610696867666564636261

510595857565554535251

410494847464544434241

310393837363534333231

210292827262524232221

110191817161514131211

λDRP

QMCCCCCCCC


aaaaaaaaaa

tendónk

a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0

a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0



el sistema, y por tanto, conocidas las ocho constantes de integración

C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7 y C8, ya nos queda totalmente determinado el campo de

desplazamientos y el campo de esfuerzos en los dos anillos solicitados por el

pretensado, y por tanto, en la totalidad de la pared, solo con aplicar las ecuaciones que

ya conocemos:

ω1(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) (3.34)



Nφ1(x)=

−



Mφ1(x) = ν.Mx1(x) (3.38)







Nφ2(x)=

−



Mφ2(x) = ν.Mx2(x) (3.44)




CAPÍTULO 4

EJEMPLOS DE CÁLCULO DE DEPÓSITOS

4.1.- INTRODUCCIÓN

En el presente capítulo se presentan cuatro ejemplos de aplicación de los distintos

criterios empleados en el cálculo de depósitos de agua, a fin de reforzar y clarificar al

máximo las ideas expuestas en los dos capítulos anteriores.

Se trata de calcular de manera detallada y con todos los pasos necesarios la pared de un

depósito rectangular de hormigón armado, la pared de un depósito cilíndrico de

hormigón armado, la pared de un depósito cilíndrico de hormigón pretensado, y

finalmente la solera de un depósito rectangular.

Se ha seguido el mismo desarrollo y consideraciones que figuraban en la exposición

teórica anterior, a fin de establecer una total correspondencia entre la teoría y la

práctica.


4.2.- EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA PARED DE UN DEPÓSITO

RECTANGULAR DE HORMIGÓN ARMADO

4.2.1.- Enunciado

Se pide calcular las paredes de un depósito rectangular enterrado de hormigón armado

de medidas:

a = b = 8,00 m, para una altura de agua de Hω = 4,00 m. y un resguardo de 0,50 m.

La altura del relleno de tierras también es de Ht= 4,00 m., y sus características

geotécnicas son las siguientes:

- Peso específico de las tierras: γt = 19 KN/m3

- Angulo de rozamiento interno de las tierras: ø = 27,50º

Dado que el resguardo solo representa un 10% de la altura tortal de la pared,

proponemos simplificar el cálculo suponiendo que tanto el nivel de agua como el nivel

de tierras llegan hasta la coronación del muro, con lo que H = Hω = Ht = 4,0 m.

El líquido contenido por el depósito es químicamente agresivo, lo que nos lleva a

plantear la siguiente hipótesis de abertura máxima de fisura permitida:

- Por la cara interior, debido a la agresividad del líquido adoptaremos wmáx = 0,1

mm.

- Por la cara exterior, dado que el depósito está enterrado y por tanto, no habrá

solicitaciones térmicas importantes, wmáx = 0,2 mm.


Figura 4.1.- Cálculo de la pared de un depósito rectangular de hormigón armado

4.2.2.- Datos preliminares

Proponemos un espesor de pared de h = 0,35 m.

Adoptaremos un hormigón del tipo HA-30/P/20/IV.

Esto supone tener:

fck = 30 N/mm2

fcd = c

ckfγ

= 50,1

30 = 20 N/mm2 = 20.000.000 N/m2.

Adoptaremos unas armaduras pasivas del tipo B 500 S.

Esto supone tener:

fyk = 500 N/mm2

fyd = s

ykfγ

= 15,1

500 = 435 N/mm2 = 435.000.000 N/m2.


Adoptaremos un recubrimiento de c = 40 mm.


- Empuje hidrostático: qh (x=0) = γω·Hω = 10.000 · 4,00 = 40.000 N/m2.

- Empuje de tierras: qt (x=0) = γt·tg2(45º-ø/2)·Ht = 19.000 · tg2(45-27,5/2) · 4,00

= 27.985 N/m2.

4.2.4.- Armaduras mínimas en las paredes

- Cara interior: Avmín1 = Ahmín1 = 0,0020 · 100 · 35 = 7,00 cm2 = 1ø12c/16 cm.

- Cara exterior: Avmín2 = Ahmín2 = 0,0015 · 100 · 35 = 5,25 cm2 = 1ø10c/15 cm.


- Combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático)

γ = )( ωHb

a=

= 00,400,8 = 2,0 (Tablas de Richard Bares) (*)

qhd = γf·qh = 1,50 · 40.000 = 60.000 N/m2.

ω

dxM 1 = -0,01610 · qhd · a2 = -0,01610 · 60.000 · (8,00)2 = -61.824 N·m/m. (hor, int.)

ωdxM 6 = +0,00690 · qhd · a2 = +0,00690 · 60.000 · (8,00)2 = +26.496 N·m/m (hor, ext)

ωdyM 28 = -0,0845 · qhd · 2

ωH = -0,0845 · 60.000 · (4,00)2 = -81.120 N·m/m. (vertical, int.)

ωdyM 14 = +0,0159 · qhd · 2

ωH = +0,0159 · 60.000 · (4,00)2 = +15.264 N·m/m. (vert, ext.)

- Combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras)


γ = )( ωHb

a=

= 00,400,8 = 2,0 (Tablas de Richard Bares)

qtd = γf·qt = 1,60 · 27.985 = 44.776 N/m2.

t

dxM 1 = -0,01610 · qtd · a2 = -0,01610 · 44.776 · (8,00)2 = -46.137 N·m/m. (hor, lado ext.)

tdxM 6 = +0,00690 · qtd · a2 = +0,00690 · 44.776 · (8,00)2 = +19.773 N·m/m (hor, int.)

tdyM 28 = -0,0845 · qtd · 2

tH = -0,0845 · 44.776 · (4,00)2 = -60.537 N·m/m. (vertical, ext.)

tdyM 14 = +0,0159 · qtd · 2

tH = +0,0159 · 44.776 · (4,00)2 = +11.391 N·m/m. (vertical, int.)

(*) Conviene no olvidar que en las paredes de depósitos rectangulares se cambia la

ordenada vertical x por la y, así como el convenio de signos empleado para el resto de la

tesina, a fin de facilitar el correcto uso de las tablas de Bares (1970).

- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la unión

de las combinaciones C1 y C2 nos da:

- En la parte superior: tdyM 14 = +11.391 N·m/m

µ = cd

tdy

fdbM

·· 214 =

000.000.20·)05,035,0·(00,1391.11

2−= 0,0063→ ωmín = 0,04

sup1vA =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·30,0·00,1·04,0 ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø12c/20 cm.

- En la parte inferior: ωdyM 28 = -81.120 N·m/m

µ = cd

dy

fdbM

·· 228

ω

= 000.000.20·)05,035,0·(00,1

120.812−

= 0,045→ ω = 0,047


inf1vA =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·30,0·00,1·047,0 ·10.000 = 6,48 cm2 = 1ø12c/17 cm.

- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la unión


- En la parte superior: ωdyM 14 = +15.264 N·m/m

µ = cd

dy

fdbM

·· 214ω

= 000.000.20·)05,035,0·(00,1

264.152−

= 0,0085→ ωmín = 0,04

sup3vA =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·30,0·00,1·04,0 ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø10c/14 cm.

- En la parte inferior: tdyM 28 = -60.537 N·m/m

µ = cd

tdy

fdbM

·· 228 =

000.000.20·)05,035,0·(00,1537.60

2−= 0,034→ ωmín = 0,04

inf3vA =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·30,0·00,1·04,0 ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø10c/14 cm.

- La envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado interior en la

unión de las combinaciones C1 y C2 nos da:

- En la parte del empotramiento: ωdxM 1 = -61.824 N·m/m

µ = cd

dx

fdbM

·· 21ω

= 000.000.20·)05,035,0·(00,1

824.612−

= 0,034→ ωmín = 0,04


emphA 1 =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·30,0·00,1·04,0 ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø12c/20 cm.

- En la parte central: tdxM 6 = +19.773 N·m/m

µ = cd

tdx

fdbM

·· 26 =

000.000.20·)05,035,0·(00,1773.19

2−= 0,011→ ωmín = 0,04

centhA 1 =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·30,0·00,1·04,0 ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø12c/20 cm.

- La envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado exterior en la


- En la parte del empotramiento: tdxM 1 = -46.137 N·m/m

µ = cd

tdx

fdbM

·· 21 =

000.000.20·)05,035,0·(00,1137.46

2−= 0,026→ ωmín = 0,04

emphA 4 =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·30,0·00,1·04,0 ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø10c/14 cm.

- En la parte central: ωdxM 6 = +26.496 N·m/m

µ = cd

dx

fdbM

·· 26ω

= 000.000.20·)05,035,0·(00,1

496.262−

= 0,015→ ωmín = 0,04

centhA 4 =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·30,0·00,1·04,0 ·10.000 = 5,52 cm2 = 1ø10c/14 cm.




γ = )( ωHb

a=

=00,400,8 = 2,0 (Tablas de Richard Bares)

qhd = γf·qh = 1,50 · 40.000 = 60.000 N/m2.

ω

dxR 7 = +0,1282 · qhd · a = +0,1282 · 60.000 · 8,00 = +61.536 N/m.

ωdyR 28 = +0,4584 · qhd · Hω = +0,4584 · 60.000 · 4,00 = +110.016 N/m.


γ = )( ωHb

a=

= 00,400,8 = 2,0 (Tablas de Richard Bares)

qtd = γf·qt = 1,60 · 27.985 = 44.776 N/m2.

t

dxR 7 = +0,1282 · qtd · a = +0,1282 · 44.776 · 8,00 = +45.922 N/m.

tdyR 28 = +0,4584 · qtd · Hω = +0,4584 · 44.776 · 4,00 = +82.101 N/m.

Adoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo cortante (en nuestro caso ωdyR 28 =

+110.016 N/m) pueda ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu:

Vcu = ( ) dbfckl ····100··12,0 03 ρξ (en N/m)

siendo:

ξ = d

2001+ = 3002001+ = 1,816

ρl = db

As

.0

= 30·100

13,1·15/100 = 0,00251


fck= 30 N/mm2.

b0 = 1.000 mm. (ancho unidad).

d = 300 mm.

→ Vcu = ( ) 300·000.1·30·00251,0·100·816,1·12,0 3 = 128.140 N/m.

Al ser ωdyR 28 = 110.016 N/m ≤ Vcu = 128.140 N/m, no precisamos cercos y el espesor

adoptado de pared es correcto.



aHω =

00,800,4 = 0,50 → βp = 0,20

En la pared lado a, Napd = 1,00.βp.1/2.γω·2ωH .b = 1,00·0,20·1/2·10.000·(4,00)2·8,00 =

128.000 N.

Con lo que adoptando una tensión en el acero de σs = 100 N/mm2, obtendremos una

armadura de:

Ah3 = ωσ H

N

s

apd

·=

00,4·100000.128 ·

1001 = 3,20 cm2.



ω1xM = ω

dxM 1 /γf = -61.824/1,50 = -41.216 N·m/m. (horizontal, lado interior).


ω6xM = ω

dxM 6 /γf = +26.496/1,50 = +17.664 N·m/m. (horizontal, lado exterior).

ω28yM = ω

dyM 28 /γf = -81.120/1,50 = -54.080 N·m/m. (vertical, lado interior).

ω14yM = ω

dyM 14 /γf = +15.264/1,50 = +10.176 N·m/m. (vertical, lado exterior).


txM 1 = t

dxM 1 /γf = -46.137/1,60 = -28.836 N·m/m. (horizontal, lado exterior).

txM 6 = t

dxM 6 /γf = +19.773/1,60 = +12.358 N·m/m. (horizontal, lado interior).

tyM 28 = t

dyM 28 /γf = -60.537/1,60 = -37.836 N·m/m. (vertical, lado exterior).

tyM 14 = t

dyM 14 /γf = +11.391/1,60 = +7.119 N·m/m. (vertical, lado interior).



- En la parte superior: tyM 14 = +7.119 N·m/m

sup1vA = 1ø12c/20 cm.

La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·203,63·0,00009276 = 0,03 mm ≤ 0,1 mm

→ OK!!

Por tanto, sup2vA = 1ø12c/20 cm.

- En la parte inferior: ω28yM = -54.080 N·m/m

inf1vA = 1ø12c/17 cm.

La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·192,98·0,00060806 = 0,19 mm > 0,1 mm

→ NO!!

Debemos incrementar la armadura, y proponemos inf2vA = 1ø12c/17 cm + 1ø8c/17 cm, y


en este caso, la nueva abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·151,75·0,00042154 =

0,10 mm ≤ 0,1 mm → OK!!



- En la parte superior: ω14yM = +10.176 N·m/m



→ OK!!


- En la parte inferior: tyM 28 = -37.836 N·m/m



→ OK!!

Por tanto, inf4vA = 1ø10c/14 cm.

- La envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado interior en la


- En la parte del empotramiento: ω1xM = -41.216 N·m/m

emphA 1 = 1ø12c/20 cm.


→ NO!!


Debemos incrementar la armadura, y proponemos emphA 2 = 1ø12c/18 cm + 1ø6c/18 cm, y


0,10 mm ≤ 0,1 mm → OK!!

- En la parte central: txM 6 = +12.358 N·m/m

centhA 1 = 1ø12c/20 cm.


→ OK!!

Por tanto, centhA 2 = 1ø12c/20 cm.

- La envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado exterior en la


- En la parte del empotramiento: txM 1 = -28.836 N·m/m

emphA 4 = 1ø10c/14 cm.


→ OK!!

Por tanto, emphA 5 = 1ø10c/14 cm.

- En la parte central: ω6xM = +17.664 N·m/m

centhA 4 = 1ø10c/14 cm.


→ OK!!

Por tanto, centhA 5 = 1ø10c/14 cm.


4.2.9.- Disposición de armaduras en la pared del depósito

i) Armadura de la pared en la posición vertical interior:

- En la parte superior = máx( sup1vA ; sup

2vA ;Avmín1) = máx (1ø12c/20 cm; 1ø12c/20

cm; 1ø12c/16 cm) ≈ 1ø12c/15 cm.

- En la parte inferior = máx( inf1vA ; inf


cm + 1ø8c/17 cm; 1ø12c/16 cm) ≈ 1ø12c/15 cm + 1ø8c/15 cm (refuerzo inferior

interior).

ii) Armadura de la pared en la posición vertical exterior:



cm; 1ø10c/15 cm) ≈ 1ø10c/15 cm.



cm; 1ø10c/15 cm) ≈ 1ø10c/15 cm.

iii) Armadura de la pared en la posición horizontal interior:

- En la parte del empotramiento = máx( emphA 1 ; emp

hA 2 ;Ahmín1) + Ah3/2 = máx

(1ø12c/20 cm; 1ø12c/18 cm +1ø6c/18 cm; 1ø12c/16 cm) + 3,20/2 cm2 ≈ 1ø12c/15 cm

+ 1ø6c/15 cm (refuerzo lateral interior).

- En la parte central = máx( centhA 1 ; cent

hA 2 ;Ahmín1) + Ah3/2 = máx (1ø12c/20 cm;

1ø12c/20 cm; 1ø12c/16 cm) + 3,20/2 cm2 ≈ 1ø12c/15 cm.

iv) Armadura de la pared en la posición horizontal exterior:

- En la parte del empotramiento = máx( emphA 4 ; emp

hA 5 ;Ahmín2) + Ah3/2 = máx


(1ø10c/14 cm; 1ø10c/14 cm; 1ø10c/15 cm) + 3,20/2 cm2 = 1ø12c/15 cm.

- En la parte central = máx( centhA 4 ; cent

hA 5 ;Ahmín2) + Ah3/2 = máx (1ø10c/14 cm;

1ø10c/14 cm; 1ø10c/15 cm) + 3,20/2 cm2 = 1ø12c/15 cm.



CILÍNDRICO DE HORMIGÓN ARMADO

4.3.1.- Enunciado

Se pide calcular la pared de un depósito cilíndrico enterrado de hormigón armado de

medidas:

R = 8,00 m, para una altura de agua de Hω = 4,00 m.

La altura del relleno de tierras también es de Ht= 4,00 m., y sus características

geotécnicas son las siguientes:



Dado que el resguardo solo representa un 10% de la altura total de la pared, proponemos

simplificar el cálculo suponiendo que tanto el nivel de agua como el nivel de tierras

llegan hasta la coronación del muro, con lo que H = Hω = Ht = 4,0 m.




mm.




Figura 4.2.- Cálculo de la pared de un depósito cilíndrico de hormigón armado


Proponemos un espesor de pared de h = 0,30 m.


Esto supone tener:

fck = 30 N/mm2

fcd = c

ckfγ

= 50,1

30 = 20 N/mm2 = 20.000.000 N/m2.


Esto supone tener:

fyk = 500 N/mm2

fyd = s

ykfγ

= 15,1

500 = 435 N/mm2 = 435.000.000 N/m2.



4.3.3.- Características mecánicas

ν: coeficiente de Poisson; ν = 0,20.

E: módulo de deformación longitudinal del hormigón; E = 3 8.8500 +ckf =

3 830·8500 + = 28.576,79 N/mm2 = 28.576.790.000 N/m2.

D: rigidez a flexión; D = ( )2

3

1·12·ν−

hE = )20,01·(12

)30,0·(000.790.576.282

3

−= 66.976.852 N·m

λ: coeficiente cilíndrico de forma; λ = ( )4

22

2

·1·3

hRν− = 4

22

2

)30,0·()00,8()20,01·(3 − = 0,8409 m-1


- Empuje hidrostático: qh (x=0) = γω.Hω

- Empuje de tierras: qt (x=0) = γt.tg2(45º-ø/2).Ht


- Cara interior: Avmín1 = Ahmín1 = 0,0020 · 100 · 30 = 6,00 cm2 = 1ø12c/18,8 cm.

- Cara exterior: Avmín2 = Ahmín2 = 0,0015 · 100 · 30 = 4,50 cm2 = 1ø10c/17,5 cm.

4.3.6.- Cálculo de la pared del depósito en Estado Límite Último de flexión


Mxd(x) = 1,50·Mx(x) = 1,50· ))·cos()·1()·sin(··()1·(6

···2

222

xeHxeHRh xx λ

λλ

νγλ λ

ωλ

ωω −− −+−

−



Mxdmáx = Mxd(x=0) = 1,50· )1·()1·(6

···2

222

λνγλ

ωω −

−H

Rh

Se tantea con diferentes valores de la ordenada vertical x, encontrando el máximo

momento flector positivo y el máximo momento flector negativo:

Mxd(x=0) = ω,infxdM =

)20,01·(6)8409,0/100,4·(00,8·000.10·8409,0·30,0·50,1

2

222

−− = +29.813 N·m/m (vertical, interior)

Mxd(x=1,65) = ω,supxdM = -9.059 N·m/m, (vertical, lado exterior).


Mxd(x) = 1,60· ))·cos()·1()·sin(··()1·(6

)·2/º45(···2

2222

xeHxeHRtgh x

tx

tt λ

λλ

νφγλ λλ −− −+

−−


Mxdmáx = Mxd(x=0) = 1,60· )1·()1·(6

)·2/º45(···2

2222

tt H

Rtgh−

−−

λνφγλ

Se tantea con diferentes valores de la ordenada vertical x, encontrando:

Mxd(x=0) = txdM inf, =

)20,01·(6

)00,48409,0/1·(00,8)·º45(·000.19·8409,0·30,0·60,12

22

º5,27222

−

−−tg = -22.248N·m/m (ver, ext).

Mxd(x=1,65) = txdM ,sup = +6.761 N·m/m, (vertical, lado interior).



- En la parte superior: txdM ,sup = +6.761 N·m/m


µ = cd

txd

fdbM

·· 2sup, =

000.000.20·)05,030,0·(00,1761.6

2−= 0,0054→ ωmín = 0,04

sup1vA =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·25,0·00,1·04,0 ·10.000 = 4,60 cm2 = 1ø12c/24,6 cm.

- En la parte inferior: ω,infxdM = +29.813 N·m/m

µ = cd

xd

fdbM

·· 2inf,

ω

= 000.000.20·)05,030,0·(00,1

813.292−

= 0,024→ ωmín = 0,04

inf1vA =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·25,0·00,1·04,0 ·10.000 = 4,60 cm2 = 1ø12c/24,6 cm.



- En la parte superior: ω,supxdM = -9.059 N·m/m

µ = cd

xd

fdbM

·· 2sup,

ω

= 000.000.20·)05,030,0·(00,1

059.92−

= 0,0072→ ωmín = 0,04

sup3vA =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·25,0·00,1·04,0 ·10.000 = 4,60 cm2 = 1ø10c/17 cm.

- En la parte inferior: txdM inf, = -22.248 N·m/m

µ = cd

txd

fdbM

·· 2inf, =

000.000.20·)05,030,0·(00,1248.22

2−= 0,018→ ωmín = 0,04


inf3vA =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·25,0·00,1·04,0 ·10.000 = 4,60 cm2 = 1ø10c/17 cm.



Qxdmáx = Qxd(x=0) = 1,50· )21·()1·(6

···2

232

ωω

λνγλ

HRh

−−

Se sustituye el valor de x=0 en la anterior ecuación, obteniendo:

Qxd(x=0) = ωxdQ =

)20,01·(6)00,4·28409,0/1·(00,8·000.10·8409,0·30,0·50,1

2

232

−− = -60.747 N/m.


Qxdmáx = Qxd(x=0) = 1,60· )12·()1·(6

)·2/º45(···2

2232

λνφγλ

−−

−t

t HRtgh

Se sustituye el valor de x=0 en la anterior ecuación, obteniendo:

Qxd(x=0) = txdQ =

)20,01·(6

)8409,0/100,4·2·(00,8)·º45(·000.19·8409,0·30,0·60,12

22

º5,27232

−

−−tg = +45.333 N/m.

Adoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo cortante (en nuestro caso ωxdQ = -

60.747 N/m) pueda ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu:


siendo:


ξ = d

2001+ = 2502001+ = 1,894

ρl = db

As

.0

= 25·100

13,1·8,18/100 = 0,0024

fck= 30 N/mm2.


d = 250 mm.

→ Vcu = ( ) 250·000.1·30·0024,0·100·894,1·12,0 3 = 109.718 N/m.

Al ser ωxdQ = 60.747 N/m ≤ Vcu = 109.718 N/m, no precisamos cercos y el espesor




Nφd (x) = 1,00·Nφ(x) = ( )

−+

+−− )()sin()cos(·)sin(··.·00,1 xHxxHxeR x

ωωλ

ω λλλλγ

Se tantea con diferentes valores de la ordenada vertical x, encontrando el máximo

esfuerzo de tracción simple:

Nφd (x=2,05) = +125.059 N/m.


armadura de:

Ah1 = s

dNσϕ =

100059.125 ·

1001 = 12,51 cm2.




ω,infxM = ω

,infxdM /γf = +29.813/1,50 = +19.875 N·m/m, (vertical, lado interior).

ω,supxM = ω

,supxdM /γf = -9.059/1,50 = -6.039 N·m/m, (vertical, lado exterior).


txM inf, = t

xdM inf, /γf = -22.248/1,60 = -13.905 N·m/m, (vertical, lado exterior).

txM ,sup = t

xdM ,sup /γf = +6.761/1,60 = +4.226 N·m/m, (vertical, lado interior).



- En la parte superior: txM sup, = +4.226 N·m/m

sup1vA = 1ø12c/24,6 cm.


→ OK!!

Por tanto, sup2vA = 1ø12c/24,6 cm.

- En la parte inferior: ω,infxM = +19.875 N·m/m

inf1vA = 1ø12c/24,6 cm.


→ NO!!

Debemos incrementar la armadura, y proponemos inf2vA = 1ø12c/20 cm, y en este caso, la


nueva abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·191,68·0,00031205 = 0,10 mm ≤ 0,1

mm → OK!!



- En la parte superior: ω,supxM = -6.039 N·m/m



→ OK!!


- En la parte inferior: txM inf, = -13.905 N·m/m



→ OK!!

Por tanto, inf4vA = 1ø10c/17 cm.


i) Armadura de la pared en la posición vertical interior:


2vA ;Avmín1) = máx (1ø12c/24,6 cm;

1ø12c/24,6 cm; 1ø12c/18,8 cm) ≈ 1ø12c/15 cm.


2vA ;Avmín1) = máx (1ø12c/24,6 cm; 1ø12c/20


cm; 1ø12c/18,8 cm) = 1ø12c/15 cm.

ii) Armadura de la pared en la posición vertical exterior:



cm; 1ø10c/17,5 cm) ≈ 1ø10c/15 cm.



cm; 1ø10c/17,5 cm) ≈ 1ø10c/15 cm.

iii) Armadura de la pared en la posición horizontal interior:

- máx(Ah1/2; Ahmín1) = máx(12,51/2 cm2; 1ø12c/18,8 cm) = 6,25 cm2 ≈

1ø12c/15 cm.

iv) Armadura de la pared en la posición horizontal exterior:

- máx(Ah1/2; Ahmín2) = máx(12,51/2 cm2; 1ø10c/17,5 cm) = 6,25 cm2 ≈

1ø12c/15 cm.



CILÍNDRICO DE HORMIGÓN PRETENSADO

4.4.1.- Enunciado

Se pide calcular la pared de un depósito cilíndrico semi-enterrado de hormigón

pretensado de 12.000 m3 de capacidad y una altura de agua de Hω = 8,00 m.

La unión entre la pared y la solera será monolítica. Se propone un espesor de pared de h

= 0,25 m, y un espesor de solera de hs = 0,18 m.

Se impone la obligación de que la pared tenga una tensión de compresión

circunferencial de σres = 0,5 N/mm2.

La altura del relleno de tierras es de Ht= 4,00 m., y sus características geotécnicas son

las siguientes:



La explanada sobre la que apoya el depósito es de muy buena calidad, con un

coeficiente de balasto de k = 8,0 Kp/cm3.




mm.




Figura 4.3.- Cálculo de la pared de un depósito cilíndrico de hormigón pretensado


El radio del depósito será de: R = ωπ H

V·

= 00,8·

000.12π

= 21,9 m.


Esto supone tener:

fck = 35 N/mm2

fcd = c

ckfγ

= 50,1

35 = 23,33 N/mm2 = 23.330.000 N/m2.


Esto supone tener:

fyk = 500 N/mm2

fyd = s

ykfγ

= 15,1

500 = 435 N/mm2 = 435.000.000 N/m2.


Adoptaremos como armaduras activas cordones de 0,5” del tipo Y 1860 S7.

Esto supone tener:

Dcordón = 13,0 mm.

Acordón = 100 mm2.

P0 = 139,5 KN (máxima fuerza que se puede aplicar a un cordón).

fpmáxk = 1.860 N/mm2

fpk ≈ 1.674 N/mm2

fpd = s

pkfγ

= 15,1674.1 = 1.456 N/mm2 = 1.456.000.000 N/m2.

Finalmente, adoptaremos un recubrimiento de c = 40 mm.

4.4.3.- Características mecánicas

ν: coeficiente de Poisson; ν = 0,20.

E: módulo de deformación longitudinal del hormigón; E = 3 8.8500 +ckf =

3 835·8500 + = 29.778,88 N/mm2 = 29.778.880.000 N/m2.

D: rigidez a flexión; D = ( )2

3

1·12·ν−

hE = )20,01·(12

)25,0·(000.880.778.292

3

−= 40.390.195 N·m

λ: coeficiente cilíndrico de forma; λ = ( )4

22

2

·1·3

hRν− = 4

22

2

)25,0·()9,21()20,01·(3 − = 0,55674 m-1


- Empuje hidrostático: qh (x=0) = γω.Hω

- Empuje de tierras: qt (x=0) = γt.tg2(45º-ø/2).Ht

- Pretensado horizontal.



- Cara interior, armadura vertical: Avmín1 = 0,0020 · 100 · 25 = 5,00 cm2 = 1ø10c/15,8

cm.

- Cara exterior, armadura vertical: Avmín2 = 0,0015 · 100 · 25 = 3,75 cm2 = 1ø10c/21 cm.

- Caras interior y exterior, armadura horizontal: Ahmín = 0,0008 · 100 · 25 = 2,00 cm2 =

1ø8c/25 cm.

4.4.6.- Cálculo de la armadura activa de la pared en la posición horizontal

Se debe buscar la función óptima de pretensado para poder determinar el volumen total

de pretensado a disponer en la pared del depósito. La función óptima de pretensado se

descompone en dos funciones:

i) Función Hidrostática de Pretensado (FHP):

Ptot,FHP = 2·· 2

ωωγ HR= ( )

200,8·9,21·000.10 2

= 7.008.000 N = 7.008 KN.

La forma de esta función es la de un trapecio truncado verticalmente en su base, donde:

- La base inferior mide B.

- La base superior mide c1·B = 0,01·B (ver tabla 2.9)

- La altura del tramo truncado mide (1-e1)·Hω = (1-0,83)·8,00 = 1,36 m.

El área de esta figura me permite encontrar el valor de B:

B·1,36 + 2

·01,0 BB + ·(8,00-1,36) = 7.008 → B=1.487 KN

ii) Función Uniforme de Pretensado (FUP):

Ptot,FUP = β·σres·h·Hω


La tabla 2.10 nos recomienda que en un depósito como el planteado:

- σres = 1,0 N/mm2. En nuestro caso prevalece el enunciado que fija un valor de σres =

0,5 N/mm2.

- Hinf = 0,10·Hω = 0,10·8,00 = 0,80 m.

- β = 0,28·(D/Hω) + 0,38 = 0,28·(2·21,9/8,0) + 0,38 = 0,28·5,5 + 0,38 = 1,92

Entonces,

Ptot,FUP = 1,92 · 500.000 · 0,25 · 8,00 = 1.920.000 N = 1.920 KN.

La forma de esta función es un rectangulo en el tramo superior de pared de ancho a5·B’

= 0,15·B’ (ver tabla 2.12), y un triangulo en el tramo inferior de base B’ y altura a1·Hω =

0,32·8,00 = 2,56 m.

El área de esta figura me permite encontrar el valor de B’:

256,2'·B + 0,15·B’·(8,00-2,56) = 1.920 → B’=916 KN

4.4.7.- Pérdidas del pretensado

Proponemos usar tendones de pretensado compuestos por cinco cordones de 0,5”. Cada

tendón se podrá tesar con una fuerza máxima de P0 = 139,5·n = 139,5·5 = 697,5 ≈ 700

KN.

Adoptaremos tendones lubrificados, con lo que según la Tabla 2.3 podemos adoptar:

- µ = 0,15 rad-1

- k = 0,0018 m-1

Dado que se trata de un depósito de una capacidad superior a los 8.000 m3, proponemos

disponer cuatro contrafuertes, con el trazado de los tendones a 180º y alternando los

anclajes en alturas consecutivas.

Calculemos las pérdidas del pretensado:


i) Pérdidas de fuerza por rozamiento:

∆P1(α) = ( )RkeP ···0 1· ααµ −−−

En nuestro caso,

∆P1máx = ∆P1(α=π/2) =

−

−− 9,21·2

·0018,02

·15,01·700

ππ

e = 180 KN.

ii) Pérdidas por penetración de cuña:

∆P2(α=0) = 2· ( )Rk ppeP ···0 1· ααµ −−−

a = pp

p

AERP··2··2 α∆

5 mm = 0,005 m = ( )

− −−

000.000.11·100·5·000.000.190·2

·9,21·1·700·2 9,21··0018,0·15,0p

ppe ααα

→ αp=0,4128 rad

→ ∆P2(α=0) = ( )9,21·4128,0·0018,04128,0·15,01·700·2 −−− e = 105 KN.

iii) Pérdidas por acortamiento elástico del hormigón:

∆P3= 0,025·P0 = 0,025·700 = 17 KN.

iv) Pérdidas diferidas:

∆Pdif = 0,10·(P0-(∆P1∪∆P2)-∆P3)

Así pues,


La fuerza de pretensado inicial será Pki = P0 -mín(∆P1∪∆P2) - ∆P3

dónde: mín(∆P1∪∆P2) = ∆P1(α=0,4128) = ( )9,21·4128,0·0018,04128,0·15,01·700 −−− e = 53 KN

→ Pki = 700 – 53 – 17 = 630 KN.

La fuerza de pretensado final será Pk∞ = 0,90·[P0 - máx(∆P1∪∆P2) - ∆P3] = 0,90·[700 -

180 - 17] = 453 KN.

4.4.8.- Posición en altura de los tendones de pretensado

La Función Hidrostática de Pretensado (FHP) precisa de: 453008.7 = 15,5 ≈ 16 tendones.

Para conocer la distribución de los tendones en altura haremos uso del perfil trapecial

truncado de base inferior B=1.487 KN que ya conocemos, y obtenemos:

Nº de tendón: Ordenada x (m): Nº de tendón: Ordenada x (m):

1 0,15 12 2,60

2 0,45 13 3,00

3 0,75 14 3,40

5 1,05 16 3,90

6 1,35 17 4,40

7 1,65 18 5,00

9 1,95 19 5,80

10 2,25 21 6,95

Tabla 4.1.- Posición de los tendones en altura para la función F.H.P.

La Función Uniforme de Pretensado (FUP) precisa de: 453920.1 = 4,2 ≈ 5 tendones.

Para conocer la distribución de los tendones en altura haremos uso del perfil

rectangular-triangular de base B’=916 KN que ya conocemos, y obtenemos:


Nº de tendón: Ordenada x (m): Nº de tendón: Ordenada x (m):

4 0,95 15 3,80

8 1,80 20 6,70

11 2,35

Tabla 4.2.- Posición de los tendones en altura para la función F.U.P.

Tanto el número de tendones requeridos como la separación entre unidades

consecutivas (<3·h) indican que los tendones adoptados (con cinco cordones de 5”) es

adecuada.

4.4.9.- Cálculo de los coeficientes reductores en la interacción pared-solera-

terreno

En el caso de considerar que la unión pared-solera no es un empotramiento perfecto,

podemos hacer un análisis de interacción de la pared y la solera con el terreno.

- Para el empuje hidrostático: ω

)(realxM = ηh· ω)( ontoperfectempotramiexM

ω)(realrQ = ξh· ω

)( ontoperfectempotramiexQ

- Para el pretensado circunferencial (en la función FHP):

FHPPk

realxM ,)( = ηp· FHPPk

ontoperfectempotramiexM ,)(

FHPPkrealxQ ,

)( = ξp· FHPPkontoperfectempotramiexQ ,

)(

siendo:

ηh = C

shBeA )·(·

ξh = F

shEeD )·(·

ηp = I

shHeG )·(·

ξp = L

shKeJ )·(·


con:

A = 99,14

·26,1

·10·46,397,0·27,21

48,0

he k

−

−

−+ = 99,14

)0,8·(26,1

)25·(10·46,397,0·27,21

48,0

−

−

−+ e = 1,41

B = 142 )·10·38,410·55,3( −−− +− h = 142 ))25·(10·38,410·55,3( −−− +− = -21,53

C = 34,0·66,008,3 h+− = 34,0)25·(66,008,3 +− = -1,11

→ ηh = C

shBeA )·(· =11,1)18·(53,21·41,1

−−e = 0,59

D = 19,0

·81,3

·20,052,0·58,121

21,0

he k

++ −

= 19,0

)0,8·(81,3

)25·(20,052,0·58,121

21,0

++ −e = 1,16

E = 14 )·10·51,415,0( −−+− h = 14 ))25·(10·51,415,0( −−+− = -6.20

F = 18,0·76,033,2 h+− = 18,0)25·(76,033,2 +− = -0.97

→ ξh = F

shEeD )·(· = 97,0)18·(20,6·16,1

−−e = 0,80

G = 91,26

·32,2

·10·90,363,0·78,3

0966,0

he k

−

−

−

−

= 91,26

)0,8·(32,2

)25·(10·90,363,0·78,3

0966,0

−

−

−

−

e = 0,97

H = 142 )·10·62,810·09,1( −−− +− h = 142 ))25·(10·62,810·09,1( −−− +− = -30,82

I = 30,0·90,057,3 h+− = 30,0)25·(90,057,3 +− = -1,21

→ ηp = I

shHeG )·(· = 21,1)18·(82,30·97,0

−−e = 0,38

J = 88,14

·86,1

·10·96,152,0·05,4

0638,0

he k

−

−

+

−

= 88,14

)0,8·(86,1

)25·(10·96,152,0·05,4

0638,0

−

−

+

−

e = 1,32

K = 13 )·10·29,136,0( −−+− h = 13 ))25·(10·29,136,0( −−+− = -2,55

L = 0539,0·51,005,1 h+− = 0539,0)25·(51,005,1 +− = -0,44

→ ξp = L

shKeJ )·(· =44,0)18·(55,2·32,1

−−e = 0,65


4.4.10.- Cálculo del campo de esfuerzos en la pared

i) Pared solicitada por el empuje hidrostático:

Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado en el anterior apartado 2.4.3.1.i, y

aplicaremos a la base la reducción establecida con los coeficientes ηh y ξh. Disponemos

de todos los datos para resolverlo, y obtenemos los siguientes resultados:

- Ley de esfuerzos axiles de tracción Nφ(x); de la que destacamos:

Nφ(x=0) = 0 N/m

Nφmáx = Nφ(x=3,50) = +899.141 N/m

- Ley de momentos flectores Mx(x); de la que destacamos:

ω

inf,xM = ηh·Mx(x=0) = 0,59·100.077 = +59.045 N·m/m (vertical, lado interior).

ωsup,xM = -27.168 N·m/m (vertical, lado exterior).

- Ley de esfuerzos cortantes Qx(x); de la que destacamos:

ωxmáxQ = ξh·Qx(x=0) = 0,80·(-127.538) = -102.030 N/m

ii) Pared solicitada por el empuje de tierras con Ht<H:

Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado en el anterior apartado 2.4.3.3.i.

Disponemos de todos los datos para resolverlo, y obtenemos los siguientes resultados:


txM inf, = Mx(x=0) = -23.569 N·m/m (vertical, lado exterior).


txM sup, = +7.427 N·m/m (vertical, lado interior).


txmáxQ = Qx(x=0) = +37.269 N/m

iii) Pared solicitada por el pretensado a tiempo inicial:

Dado que nos encontramos en un caso en el que se considera la interacción de la pared-

solera con el terreno, será preciso, tal como se ha explicado en el anterior apartado

2.4.16. resolver la unión de tres estados diferentes: FUP con empotramiento perfecto +

FHP con empotramiento perfecto + FHP con el borde inferior solicitado por ∆M y ∆Q.

Todo ello, considerando los tendones solicitados por la fuerza de pretensado inicial Pki.

Disponemos de todos los datos para resolverlo, y obtenemos:


PkixM inf, = Mx(x=0) = -20.030 (FUP) - 56.320 (FHP) = -76.350 N·m/m (vertical, lado

exterior). PkixM sup, = +22.500 (FUP) + 45.700 (FHP) = +68.200 N·m/m (vertical, lado interior).


PkixmáxQ = Qx(x=0) = +30.040 (FUP) + 121.410 (FHP) = +151.450 N/m

iv) Pared solicitada por el pretensado a tiempo final:

Estamos en un caso análogo al anterior, pero considerando los tendones solicitados por

la fuerza de pretensado final Pk∞. Disponemos de todos los datos para resolverlo, y

obtenemos:



∞Pk

xM inf, = Mx(x=0) = -14.400 (FUP) - 40.500 (FHP) = -54.900 N·m/m (vertical, lado

exterior). ∞Pk

xM sup, = +16.180 (FUP) + 32.860 (FHP) = +49.040 N·m/m (vertical, lado interior).


∞Pk

xmáxQ = Qx(x=0) = +21.600 (FUP) + 87.300 (FHP) = +108.900 N/m

4.4.11.- Comprobación de los axiles anulares

Una vez dibujadas las leyes de Nφ(x) y de Nφpret,∞(x), se observa que las tensiones que

provocan los axiles anulares son superiores a 0,5 N/mm2 en toda la altura de la pared,

excepto en el primer 4% de la misma. Por tanto, el pretensado propuesto cumple con la

tensión residual establecida de σres = 0,5 N/mm2 y con que se permitan valores menores

de esta tensión residual en un tramo de Hinf = 0,10·Hω.

4.4.12.- Secuencia de tesado

El hecho de ir calculando los campos de desplazamientos y esfuerzos para cada tendón

de pretensado de manera individual, nos permite escoger la secuencia de tesado más

conveniente, que nos garantice que los máximos esfuerzos correspondientes a una etapa

genérica de tesado, no superen los valores de los esfuerzos una vez finalizada la puesta

en tensión de todos los tendones.

4.4.13.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio (armadura

activa horizontal)

Debemos ser capaces de encontrar la posición “e” de los tendones en el sentido radial, y


para ello resolveremos las combinaciones de acciones C6 y C7:

σ(x=xi) = 2,, )·(·6·10,1)(·10,1

hexxN

hxxN iipretiipret =

+= ϕϕ > -0,60·fckj

σ(x=xi) = 2,, )·(·6·90,0)(·90,0

hexxN

hxxN ipretipret =

−= ∞∞ ϕϕ +

hxxN i )( =ϕ < 0

para cada uno de los 21 tendones, quedándonos con aquel que aporte un valor de la “e”

más pequeño.

En nuestro caso esto sucede con el tendón número 13, que está situado en la ordenada

xi=3,00 m.

σ(x=3,00) = 225,0)·000.218.2·(6·10,1

25,0)000.218.2·(10,1 e−+

− = -0,60·35.000.000 → e =

+0,048 m.

σ(x=3,00) = 25,0283.874

25,0)·000.595.1·(6·90,0

25,0)000.595.1·(90,0

2 +−

−− e = 0 → e = +0,016 m.

Por tanto los tendones de pretensado se desplazaran del eje hacía el exterior en una

magnitud igual a e = +0,016 m = 1,6 cm.


pasiva vertical)

- Combinación de acciones C8: 1,35x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos

adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final)

p

xdM +ωinf, = 1,35· ω

inf,xM + 1,00· ∞PkxM inf, = 1,35·59.045 + 1,00·(-54.900) = +24.811 N·m/m

(vertical, interior). p

xdM +ωsup, = 1,35· ω

sup,xM + 1,00· ∞PkxM sup, = 1,35·(-27.168) + 1,00·49.040 = +12.363 N·m/m

(vertical, interior).


- Combinación de acciones C9: 1,50x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionales

debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final)

pt

xdM +inf, = 1,50· t

xM inf, + 1,00· PkixM inf, =1,50·(-23.569) +1,00·(-76.350) = -111.703 N·m/m

(vertical, exterior).

pt

xdM +sup, = 1,50· t

xM sup, + 1,00· PkixM sup, = 1,50·7.427 + 1,00·68.200 = +79.340 N·m/m

(vertical,interior).



- En la parte superior: ptxdM +

sup, = +79.340 N·m/m

µ = cd

ptxd

fdbM

·· 2sup,

+

= 000.330.23·)05,025,0·(00,1

340.792−

= 0,085→ ω = 0,09

sup1vA =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.330.23·20,0·00,1·09,0 ·10.000 = 9,65 cm2 = 1ø16c/20,8 cm.

- En la parte inferior: pxdM +ω

inf, = +24.811 N·m/m

µ = cd

pxd

fdbM

·· 2inf,+ω

= 000.330.23·)05,025,0·(00,1

811.242−

= 0,026→ ωmín = 0,04

inf1vA =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.330.23·20,0·00,1·04,0 ·10.000 = 4,30 cm2 = 1ø12c/26 cm.




- En la parte inferior: ptxdM +

inf, = -111.703 N·m/m

µ = cd

ptxd

fdbM

·· 2inf,

+

= 000.330.23·)05,025,0·(00,1

703.1112−

= 0,12→ ω = 0,13

inf3vA =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.330.23·20,0·00,1·13,0 ·10.000 = 13,94 cm2 = 1ø16c/14,4 cm.




p

xdmáxQ +ω = 1,35· ωxdmáxQ + 1,00· ∞Pk

xdmáxQ = 1,35·(-102.030) + 1,00·108.900 = -28.840 N/m.

- Combinación de acciones C9: 1,50x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionales

debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final)

pt

xdmáxQ + = 1,50· txdmáxQ + 1,00· Pki

xdmáxQ = 1,50·37.269 +1,00·151.450 = +207.354 N/m.

La contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante es, según EHE:

Vcu = dbAP

fc

kckl ···15,0··100··12,0 0

3

− ∞ρξ (en N/m)

siendo:

ξ = d

2001+ = 2002001+ = 2,00

ρl = db

As

.0

= 20·100

94,13 = 0,007

fck= 35 N/mm2

Pk∞ = -453.000 N

Ac = 1.000·250 = 250.000 mm2



d = 200 mm.

→ Vcu = 200·000.1·000.250

)000.453(·15,035·007,0·100·00,2·12,0 3

−

− = 193.771 N/m.

Al ser ptxdmáxQ + = 207.354 N/m ≈ Vcu = 109.718 N/m, no precisamos cercos y el espesor





p

xM +ωinf, = 1,00· ω

inf,xM + 1,00· ∞PkxM inf, = 1,00·59.045 + 1,00·(-54.900) = +4.145 N·m/m


p

xM +ωsup, = 1,00· ω

sup,xM + 1,00· ∞PkxM sup, = 1,00·(-27.168) + 1,00·49.040 = +21.872 N·m/m


- Combinación de acciones C11: 1,00x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos


pt

xM +inf, = 1,00· t

xM inf, + 1,00· PkixM inf, =1,00·(-23.569) +1,00·(-76.350) = -99.919 N·m/m

(vertical exterior).

pt

xM +sup, = 1,00· t

xM sup, + 1,00· PkixM sup, = 1,00·7.427 + 1,00·68.200 = +75.627 N·m/m

(vertical interior).




- En la parte superior: ptxM +

sup. = +75.627 N·m/m

sup1vA = 1ø16c/20,8 cm.

La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·173,34·0,0019915 = 0,57 mm > 0,1 mm →

NO!!

Debemos incrementar la armadura, y proponemos sup2vA = 1ø16c/6 cm, y en este caso, la


mm → OK!!

- En la parte inferior: pxM +ω

inf, = +4.145 N·m/m


Por motivos constructivos proponemos la misma armadura que en la parte

superior: inf2vA = 1ø16c/6 cm.



- En la parte inferior: ptxM +

inf, = -99.919 N·m/m

inf3vA = 1ø16c/14,4 cm.


→ NO!!

Debemos incrementar la armadura, y proponemos inf4vA = 1ø16c/8 cm, y en este caso, la


mm → OK!!



i) Armadura activa de la pared en la posición horizontal:

Dispondremos 5+16 tendones de 5 cordones de 0,5” del tipo Y 1860S7 repartidos según

las funciones FHP y FUP, y situados con una excentricidad de +1,6 cm. respecto al eje

de la pared.

ii) Armadura pasiva de la pared en la posición vertical interior:



cm; 1ø10c/15,8 cm) = 1ø16c/6 cm.


2vA ;Avmín1) = máx (1ø12c/26 cm; 1ø16c/6 cm;

1ø10c/15,8 cm) = 1ø16c/6 cm.

iii) Armadura pasiva de la pared en la posición vertical exterior:


4vA ;Avmín2) = máx (0 cm2; 0 cm2; 1ø10c/21

cm) ≈ 1ø10c/8 cm.



cm; 1ø10c/21 cm) = 1ø16c/8 cm.

iv) Armadura pasiva de la pared en la posición horizontal interior:

- Ahmín = 1ø8c/25 cm.


v) Armadura pasiva de la pared en la posición horizontal exterior:

- Ahmín = 1ø8c/25 cm.


4.5.- EJEMPLO DE CÁLCULO DE LA SOLERA DE UN DEPÓSITO

RECTANGULAR DE HORMIGÓN ARMADO

4.5.1.- Enunciado

Se pide calcular la solera del depósito rectangular del apartado 4.2 anterior. Recordemos

que se trataba de un depósito enterrado de medidas:

a = b = 8,00 m, para una altura de agua de Hω = 4,00 m.

La altura del relleno de tierras también era de Ht= 4,00 m., y sus características

geotécnicas:



Supondremos que la explanada sobre la que apoya la solera es de calidad media con un

coeficiente de balasto de k = 20.000 KN/m3.

Recordemos que el líquido contenido por el depósito es químicamente agresivo, lo que

nos lleva a plantear la siguiente hipótesis de abertura máxima de fisura permitida:

- Por la cara superior, debido a la agresividad del líquido adoptaremos wmáx = 0,1

mm.

- Por la cara inferior, dado que no habrán solicitaciones térmicas importantes,

wmáx = 0,2 mm.


Figura 4.4.- Cálculo de la solera de un depósito rectangular de hormigón armado


Proponemos un espesor de solera de hs = 0,40 m.


Esto supone tener:

fck = 30 N/mm2

fcd = c

ckfγ

= 50,1

30 = 20 N/mm2 = 20.000.000 N/m2.


Esto supone tener:

fyk = 500 N/mm2


fyd = s

ykfγ

= 15,1

500 = 435 N/mm2 = 435.000.000 N/m2.


4.5.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la solera

- Peso propio de la solera: qs = γhormigón·hs = 25.000 · 0,40 = 10.000 N/m2.

- Carga hidrostática: qω = γω·Hω = 10.000 · 4,00 = 40.000 N/m2.

- Empuje hidrostático contra la pared: ω28yM = -Msh = 54.080 N·m/m

ω28yR = Nsh =

50,1016.110

=fγ= 73.344 N/m (tracción)

- Empuje de tierras contra la pared: tyM 28 = -Mst = 37.836 N·m/m

tyR 28 = Nst =

60,1101.82=fγ

= 51.313 N/m (compresión)

- Pretensado de la pared: en este caso no lo hay, pues se trataba de una pared de

hormigón armado.

4.5.4.- Armaduras mínimas en la solera

- Cara superior: Asmín1 = 0,0020 · 100 · 40 = 8,00 cm2 = 1ø12c/14 cm.

- Cara inferior: Asmín2 = 0,0015 · 100 · 40 = 6,00 cm2 = 1ø12c/19 cm.

4.5.5.- Discretización de la solera

La discretización de la solera se resuelve empleando un programa de cálculo de pórticos

planos convencional, adoptando una viga de ancho unidad de longitud l = 8,00 + 0,35/2

+ 0,35/2 = 8,35 m. y apoyada sobre un lecho elástico de Winckler.


i) Coordenadas de los nudos:

1 (y=0,000; x=0,000) 6 (y=4,675; x=0,000)

2 (y=0,675; x=0,000) 7 (y=5,675; x=0,000)

3 (y=1,675; x=0,000) 8 (y=6,675; x=0,000)

4 (y=2,675; x=0,000) 9 (y=7,675; x=0,000)

5 (y=3,675; x=0,000) 10 (y=8,350; x=0,000)

ii) Características mecánicas de las barras:

- Barras 1 a 9:

( )

==

==

==+=+=

=

43

2

2233

005333,040,0·00,1·121

40,040,0·00,1

/000.790.576.28/79,576.28830·85008·8500

20,0

mI

mA

mNmmNfE ck

ν

iii) Coacciones de los nudos:

- Nudos 1, 10 (apoyo simple):

==

=

010·1

020

g

x

y

KK

K

- Nudos 2, 9 (muelles):

=

=+=

=

0

/750.16)200,1

2675,0·(00,1·/000.20

0

3

g

x

y

K

mKNmmmKNK

K

- Nudos 3 a 8 (muelles):

===

=

0/000.2000,1·00,1·/000.20

03

g

x

y

KmKNmmmKNK

K


iv) Combinación de hipótesis de carga:


- qsd = γf·qs = 1,50 · 10.000 · 1,00 = 15.000 N/m, en barras 1 a 9.

- qωd = γf·qω = 1,50 · 40.000 · 1,00 = 60.000 N/m, en barras 1 a 9.

- Mshd = γf·Msh = 1,50 · 54.080 = 81.120 N·m/m, en nudos 1 y 10 (con su signo).

- Mspd = γf·Msp = 0.



- Mstd = γf·Mst = 1,60 · 37.836 = 60.537 N·m/m, en nudos 1 y 10 (con su signo).




- qωd = γf·qω = 1,00 · 40.000 · 1,00 = 40.000 N/m, en barras 1 a 9.

- Mshd = γf·Msh = 1,00 · 54.080 = 54.080 N·m/m, en nudos 1 y 10 (con su signo).




- Mstd = γf·Mst = 1,00 · 37.836 = 37.836 N·m/m, en nudos 1 y 10 (con su signo).


4.5.6.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de flexión

La resolución de la solera discretizada con el uso de las combinaciones C12 y C13 nos

da los siguientes momentos flectores:

bordesdM sup, = -81.120 N·m/m, (cara superior).

centrosdM sup, = 0 N·m/m, (cara superior).


bordesdM inf, = +60.537 N·m/m, (cara inferior).

centrosdM inf, = +69.850 N·m/m, (cara inferior).

- La envolvente de la ley de momentos flectores de la cara superior en la unión de las

combinaciones C12 y C13 nos da:

- En la parte del borde: bordesdM sup, = -81.120 N·m/m

µ = cd

bordesd

fdbM

·· 2sup, =

000.000.20·)05,040,0·(00,1120.81

2−= 0,033→ ωmín = 0,04

bordesA 1 =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·35,0·00,1·04,0 ·10.000 = 6,4 cm2 = 1ø12c/17,7 cm.

- En la parte central: centrosdM sup, = 0 N·m/m

centsA 1 = 0,0 cm2

- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales de la cara inferior en la unión


- En la parte del borde: bordesdM inf, = +60.537 N·m/m

µ = cd

bordesd

fdbM

·· 2inf, =

000.000.20·)05,040,0·(00,1537.60

2−= 0,025→ ωmín = 0,04

bordesA 4 =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·35,0·00,1·04,0 ·10.000 = 6,4 cm2 = 1ø12c/17,7 cm.

- En la parte central: centrosdM inf, = +69.850 N·m/m, (cara inferior).


µ = cd

centrosd

fdbM

·· 2inf, =

000.000.20·)05,040,0·(00,1850.69

2−= 0,029→ ωmín = 0,04

centsA 4 =

yd

cd

ffdb ···ω

= 000.000.435

000.000.20·35,0·00,1·04,0 ·10.000 = 6,4 cm2 = 1ø12c/17,7 cm.

4.5.7.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de esfuerzo cortante


da el siguiente valor del esfuerzo cortante máximo:

Qsdmáx = 129.240 N/m.

Adoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo cortante pueda ser absorbido por la

contribución del hormigón Vcu:


siendo:

ξ = d

2001+ = 3502001+ = 1,756

ρl = db

As

.0

= 35·100

13,1·14/100 = 0,0023

fck= 30 N/mm2.


d = 350 mm.

→ Vcu = ( ) 350·000.1·30·0023,0·100·756,1·12,0 3 = 140.407 N/m.

Al ser Qsdmáx = 129.240 N/m ≤ Vcu = 140.407 N/m, no precisamos cercos y el espesor


adoptado para la solera es correcto.

4.5.8.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de tracción simple

- Combinación de acciones C15: 1,00x(Nsh) + 1,00x(Nsp)

Nsd = γf·Nsh+ γf·Nsp = 1,00·73.344 + 1,00·0 = +73.344 N/m.


armadura de:

As3 = s

sdNσ

= 100

344.73 ·100

1 = 7,33 cm2.

4.5.9.- Comprobación de la solera en Estado Límite de fisuración


da los siguientes momentos flectores:

bordesM sup, = -54.080 N·m/m, (cara superior).

centrosM sup, = 0 N·m/m, (cara superior).

bordesM inf, = +37.836 N·m/m, (cara inferior).

centrosM inf, = +46.570 N·m/m, (cara inferior).

- La envolvente de la ley de momentos flectores de la cara superior en la unión de las

combinaciones C4 y C5 nos da:

- En la parte del borde: bordesM sup, = -54.080 N·m/m


bordesA 1 = 1ø12c/17,7 cm.

La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·209,38·0,000533 = 0,18 mm > 0,1 mm →

NO!!

Debemos incrementar la armadura, y proponemos bordesA 2 = 1ø12c/16 cm + 1ø6c/16 cm, y


0,10 mm ≤ 0,1 mm → OK!!

- En la parte central: centrosM sup, = 0 N·m/m

centsA 1 = cent

sA 2 = 0 cm2.

- La envolvente de la ley de momentos flectores verticales de la cara inferior en la unión


- En la parte del borde: bordesM inf, = +37.836 N·m/m

bordesA 4 = 1ø12c/17,7 cm.


→ OK!!

Por tanto, bordesA 5 = 1ø12c/17,7 cm.

- En la parte central: centrosM inf, = +46.570 N·m/m

centsA 4 = 1ø12c/17,7 cm.

La abertura de fisura es: wk = β.sm.εsm= 1,64·209,38·0,0004501 = 0,15 mm ≤ 0,2 mm →

OK!!

Por tanto, centsA 5 = 1ø12c/17,7 cm.


4.5.10.- Disposición de las armaduras en la solera del depósito

i) Armadura de la solera en la cara superior:

- En la parte del borde = máx( bordesA 1 ; borde

sA 2 ;Asmín1) + As3/2 = máx (1ø12c/17,7

cm; 1ø12c/16 cm + 1ø6c/16 cm; 1ø12c/14 cm) + 7,33/2 ≈ 1ø12c/15 cm + 1ø10c/15 cm

(refuerzo lateral superior).

- En la parte central, al no haber flexión y tener centsA 1 = cent

sA 2 = 0 cm2, estamos en

un caso particular, donde la armadura a disponer será = máx(Asmín1; As3/2) = máx

(1ø12c/14 cm; 7,33/2) ≈ 1ø12c/15 cm.

ii) Armadura de la solera en la cara inferior:

- En la parte del borde = máx( bordesA 4 ; borde

sA 5 ;Asmín2) + As3/2 = máx (1ø12c/17,7

cm; 1ø12c/17,7 cm; 1ø12c/19 cm) + 7,33/2 ≈ 1ø12c/15 cm + 1ø8c/15 cm.

- En la parte central = máx( centsA 4 ; cent

sA 5 ;Asmín2) + As3/2= máx (1ø12c/17,7 cm;

1ø12c/17,7 cm; 1ø12c/19 cm) + 7,33/2 ≈ 1ø12c/15 cm + 1ø8c/15 cm.


CAPÍTULO 5

ELECCIÓN ÓPTIMA DE UN DEPÓSITO DE AGUA

5.1.- INTRODUCCIÓN

Iniciamos la segunda parte de la tesina, que consiste en dar la posibilidad a una persona

sin conocimientos ingenieriles a que pueda escoger aquel depósito que más se adecue a

sus necesidades particulares.

El punto de partida es la necesidad de construir un depósito, que en general, lleva

implícito un dato básico: su volumen. Conocido este, lo siguiente que nos planteamos es

como será el depósito más económico que tenga aquel volumen. O también, cómo será

el depósito que ocupe menos espacio, o incluso una combinación de ambas.

Es evidente que tenemos muchas opciones para conseguir un depósito con un volumen

dado. Podemos emplear un depósito rectangular de hormigón armado, cilíndrico de

hormigón armado, cilíndrico de hormigón pretensado, cilíndrico de hormigón


pretensado y proyectado, y también prefabricado con forma rectangular o cilíndrica. Y

no solo esto, una vez elegida la tipología, nos faltará conocer sus dimensiones

geométricas óptimas.

Por tanto, para dar solución al problema que planteamos se hace necesario estudiar una

población lo más amplia posible de depósitos e ir acotando para cada volumen concreto

aquella tipología que resulte más competitiva con los actuales precios del mercado.

Para conocer las dimensiones geométricas y el armado de todos los depósitos de la

muestra empleada, se han seguido los criterios establecidos en los anteriores capítulos

referentes al cálculo de depósitos. En cuanto al precio de las diferentes unidades de obra

se ha consultado a empresas constructoras de ámbito regional y estatal, a fin de

establecer unos precios de mercado lo más acordes con la realidad.

En la muestra se han calculado y valorado un total de 672 depósitos diferentes, de los

cuales, la mitad, o sea, 336 se han analizado con cubierta, y los otros 336 sin cubierta.

Se ha buscado un amplio espectro de volúmenes, desde 100 hasta 50.000 m3, y con

alturas de agua muy habituales comprendidas entre los 2,0 y 8,0 m. La muestra de

depósitos se ha repartido de la siguiente manera:

- Depósito de volumen 100 m3:

42 depósitos analizados: 7 rectangulares de hormigón armado con alturas de

agua de Hω = 2,0; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0; 7,0 y 8,0 m; 7 cilíndricos de hormigón

armado con alturas de agua de Hω = 2,0; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0; 7,0 y 8,0 m; y

finalmente 7 cilíndricos de hormigón pretensado con alturas de agua de Hω =

2,0; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0; 7,0 y 8,0 m. Que lógicamente se duplican por el hecho de

que el depósito puede tener cubierta o no tenerla.


42 depósitos analizados: con el mismo reparto de tipologías y alturas de agua.










- Depósito de volumen 1.000 m3:





















En la presente tesina no se han valorado los depósitos pretensados con hormigón

proyectado, puesto que se trata de una tecnología empleada por unas empresas muy

concretas, con un precio que puede presentar oscilaciones en función de condicionantes

de mercado de las propias empresas; y porqué entendemos que una vez conocidas las

dimensiones óptimas podremos consultar el precio del depósito proyectado y

compararlo con las demás ofertas disponibles. En cualquier caso, hemos podido

comprobar que el precio de los depósitos pretensados con hormigón moldeado y con la

unión articulada flexible (que es tal como lo hemos planteado en la tesina) tiene un

precio muy similar a los mismos depósitos resueltos con hormigón proyectado.

Tampoco se han valorado los depósitos prefabricados por dos motivos, en primer lugar

y al igual que en el caso anterior, por tratarse de elementos cuyo precio presenta

oscilaciones en función de los condicionantes de mercado de las propias empresas de

prefabricados. Y en segundo lugar, por entender que una vez conocidas las dimensiones

óptimas del depósito será cuando debamos consultar el precio del mismo depósito

prefabricado y compararlo con las diferentes ofertas disponibles de otros constructores.

5.2.- PRECIOS DE MERCADO ADOPTADOS

Después de consultar con diferentes empresas constructoras de ámbito regional y

estatal, se han podido establecer unos precios de mercado para las diferentes unidades

de obra relacionadas con la construcción de depósitos muy ajustados a la realidad.

Conviene tener en cuenta que son precios correspondientes al año 2005.


A los precios de ejecución material se les incrementará un 13% en concepto de gastos

generales y un 6% en concepto de beneficio industrial; quedando por tanto, el precio de

ejecución por contrata (anterior al IVA).

1.- Excavación de tierras de consistencia floja o de tránsito: 2,0·1,19 = 2,38 €/m3

2.- Relleno localizado de tierras procedentes de excavación. Extendidas y compactadas:

3,8·1,19 = 4,52 €/m3

3.- Suministro y vertido de grava limpia de río o zahorra artificial drenante. Extendida y

compactada: 17,25·1,19 = 20,53 €/m3

4.- Impermeabilización de trasdós de muro con pintura brea-epoxi: 3,51·1,19 = 4,18

€/m2

5.- Suministro y colocación de membrana drenante de polietileno en trasdós de muro

con fijación mecánica: 9,03·1,19 = 10,75 €/m2

6.- Suministro y vertido de hormigón de limpieza tipo HM-15: 50,0·1,19 = 59,50 €/m3

7.- Suministro y vertido de hormigón para armar del tipo HA-30: 70,0·1,19 = 83,30

€/m3

8.- Suministro y vertido de hormigón para estructuras pretensadas del tipo HP-35:

80,0·1,19 = 95,20 €/m3

9.- Suministro y vertido de hormigón proyectado para estructuras pretensadas del tipo

HP-35 con espesores de entre 18 y 22 cm.: 380,0·1,19 = 452,00 €/m3

10.- Suministro y colocación de encofrado visto en paramentos planos: 30,0·1,19 =

35,70 €/m2

11.- Suministro y colocación de encofrado trepante visto en paramentos planos de altura


superior a los 6,5 m: 50,0·1,19 = 59,50 €/m2

12.- Suministro y colocación de encofrado visto en paramentos curvos: 50,0·1,19 =

59,50 €/m2

13.- Suministro y colocación de encofrado trepante visto en paramentos curvos de altura

superior a los 6,5 m: 65,0·1,19 = 77,35 €/m2

14.- Suministro y colocación de cimbra: 9,5·1,19 = 11,30 €/m3

15- Suministro y colocación de armaduras pasivas en barras corrugadas: 0,9·1,19 = 1,07

€/kg

16.- Suministro y colocación de armaduras activas para pretensado en el caso de tener

un contrafuerte. Incluye las cabezas de anclaje, las operaciones de tesado, los andamios

para el gato, la grúa, los dos operarios y las diferentes ayudas necesarias: 4,54·1,19 =

5,40 €/kg


dos contrafuertes. Incluye las cabezas de anclaje, las operaciones de tesado, los

andamios para el gato, la grúa, los dos operarios y las diferentes ayudas necesarias:

4,96·1,19 = 5,90 €/kg


tres contrafuertes. Incluye las cabezas de anclaje, las operaciones de tesado, los


5,38·1,19 = 6,40 €/kg


cuatro contrafuertes. Incluye las cabezas de anclaje, las operaciones de tesado, los


5,80·1,19 = 6,90 €/kg


20.- Junta de estanqueidad e hidroexpansiva a disponer en los arranques de muros:

24,80·1,19 = 29,50 €/ml

21.- Junta de dilatación provista de junta de estanqueidad: 18,07·1,19 = 21,50 €/ml

22.- Suministro y colocación de neopreno zunchado para soporte de muro o cubierta:

27,31·1,19 = 32,50 €/dm3

5.3.- ANÁLISIS DE PAREDES Y SOLERA EN LA MUESTRA DE

DEPÓSITOS

5.3.1.- Depósitos rectangulares de hormigón armado

Todos los depósitos rectangulares que se han estudiado en la muestra están planteados

con dos celdas. Ello es una buena práctica que se aconseja para poder seguir dando

servicio en caso de tener que reparar o limpiar una de ellas. Se ha intentado buscar una

geometría lo más cuadrada posible, como garantía de tener el mínimo perímetro a

igualdad de superficie, de ahí que una misma celda tenga una dimensión

aproximadamente doble a la otra.

El espesor mínimo de pared adoptado por razones constructivas es de 30 cm. Un

espesor menor impediría el paso de la bomba de hormigonado. Se ha considerado que el

depósito se encuentra enterrado hasta la mitad de la pared. Y el resguardo adoptado en

todos los casos es de 50 cm.

En cuanto a la fisuración se ha supuesto que el líquido contenido por el depósito no es

químicamente agresivo y que no se encuentra excesivamente solicitado por factores

ambientales extremos, con lo que hemos adoptado una abertura máxima de fisura de

wmáx = 0,2 mm, tanto en la cara exterior como en la interior.


Para el cálculo de la pared se han hecho las siguientes consideraciones, que entendemos

son suficientemente generalistas:

- Peso específico del agua: γω = 10 KN/m3.

- Peso específico de las tierras del relleno: γt = 19 KN/m3.

- Angulo de rozamiento interno de las tierras del relleno: φ = 27,5º

- Sobrecarga sobre el relleno: q = 4,0 KN/m2.

- Tensión admisible sobre el terreno de cimentación: σadm = 2,0 kp/cm2.

- Coeficiente de rozamiento hormigón-suelo: µ = 0,577.

- También se considera el axil que transmite la reacción de la cubierta al muro.

Con todo ello se han calculado los momentos flectores de eje horizontal y eje vertical,

así como el máximo esfuerzo cortante haciendo uso de las tablas de Bares (1970).

También se ha buscado el valor de la tracción que genera el empuje de agua, y por

supuesto, se ha impuesto una abertura de fisura inferior al máximo admisible de 0,2

mm. Todo combinado y con los coeficientes de seguridad establecidos en el segundo

capítulo de la tesina, pudiendo encontrar las dimensiones geométricas y armaduras

necesarias de la pared.

Para los depósitos de pequeño tamaño se considera una única solera por razones

funcionales y económicas. Mientras que para los de mayor tamaño, se dispone una

zapata en el muro perimetral, y una solera de 20 cm. de espesor en la parte central, ya

mucho menos solicitada. El conjunto del muro perimetral con su zapata debe verificar la

estabilidad al deslizamiento y al vuelco con los coeficientes que marca Jiménez Salas et

al (1981) de 1,50 y 2,0 respectivamente. Para soportar la cubierta también serán

necesarios pilares y zapatas interiores.

Una vez establecida la geometría y armaduras de cada depósito se deben cubicar con

todas las unidades constructivas que lo componen y buscar su precio final. Hemos

considerado los siguientes capítulos:

- Movimiento de tierras, drenaje y preparación del terreno.

- Pilares y zapatas interiores.


- Zapatas de los muros perimetrales.

- Solera interior del depósito.

- Alzados de los muros perimetrales.

- Vigas principales de cubierta.

- Cubierta del depósito.

Dada la repercusión que supone para el depósito el disponer de cubierta, especialmente

en los de gran superficie, se han separado dos situaciones: los depósitos que tienen

cubierta y aquellos que no la tienen.

En el Anejo de Cálculo adjuntamos el cálculo de todos los depósitos rectangulares de la

muestra, así como la cubicación y coste de los mismos. Se trata de un total de 224

depósitos rectangulares analizados, con un volumen comprendido entre 100 y 50.000

m3, y una altura de agua entre 2,0 y 8,0 m.

5.3.2.- Depósitos cilíndricos de hormigón armado

Los depósitos cilíndricos planteados no se han dividido en dos celdas como sucedía en

el caso rectangular, por ser una práctica muy poco habitual en la tipología cilíndrica. El

espesor mínimo de pared adoptado por razones constructivas también es de 30 cm. Se

ha considerado que el depósito se encuentra enterrado hasta la mitad de la pared. Y el

resguardo adoptado en todos los casos es de 50 cm.

En cuanto a la fisuración también se ha supuesto que el líquido contenido por el

depósito no es químicamente agresivo y que no se encuentra excesivamente solicitado

por factores ambientales extremos, con lo que hemos adoptado una abertura máxima de

fisura de wmáx = 0,2 mm, tanto en la cara exterior como en la interior.

Para el cálculo de la pared solo se han considerado los esfuerzos debidos a la carga

hidrostática, puesto que los valores del empuje de tierras que hemos obtenido es muy

reducido, y en general, quedan por debajo la armadura mínima. Se han hecho las

siguientes consideraciones, que entendemos son suficientemente habituales:


- Peso específico del agua: γω = 10 KN/m3.

- Tensión admisible sobre el terreno de cimentación: σadm = 2,0 kp/cm2.

- Coeficiente de rozamiento hormigón-suelo: µ = 0,577.

- También se considera el axil que transmite la reacción de la cubierta al muro.

Para poder resolver el depósito cilíndrico ha sido necesario encontrar las cuatro

constantes de integración C1, C2, C3 y C4 que permiten hallar el campo de

desplazamientos y esfuerzos en una lámina cilíndrica como la planteada. La

simplificación que puede hacerse en muchos casos de considerar nulas las dos primeras

constantes, aquí no ha sido posible contemplarla, pues son muchos los depósitos

analizados con geometrías poco convencionales, que no cumplen los requisitos para

poder realizar aquella simplificación.

Una vez resuelto el sistema lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, ya es

inmediato conocer el valor del momento flector y esfuerzo cortante en el arranque, así

como el esfuerzo axil de tracción. Que combinado con el cálculo de la abertura de fisura

nos permite dimensionar la pared del depósito siguiendo lo establecido en el segundo

capítulo de la tesina.

En toda la muestra de depósitos cilíndricos armados se ha dispuesto una zapata en el

muro perimetral, y una solera de 20 cm. de espesor en la parte central. El conjunto del

muro perimetral con su zapata debe verificar la estabilidad al deslizamiento y al vuelco

en las mismas condiciones que hemos enunciado para el caso rectangular.






- Zapatas de los muros perimetrales.

- Solera interior del depósito.





También se han separado dos situaciones: los depósitos que tienen cubierta y aquellos

que no la tienen.

En el Anejo de Cálculo adjuntamos el cálculo de todos los depósitos cilíndricos de

hormigón armado de la muestra, así como la cubicación y coste de los mismos. Se trata

de un total de 224 depósitos cilíndricos analizados, con un volumen comprendido entre

100 y 50.000 m3, y una altura de agua entre 2,0 y 8,0 m.

5.3.3.- Depósitos cilíndricos pretensados con hormigón moldeado.

El espesor mínimo de pared adoptado por razones constructivas en toda la muestra de

depósitos cilíndricos de hormigón pretensado ha sido de 30 cm. Ello es así porqué un

espesor menor no permite el paso de la bomba de hormigonado. A fin de mantener la

coherencia con las tipologías anteriores, también se ha considerado que el depósito se

encuentra enterrado hasta la mitad de la pared y con un resguardo de 50 cm.

En cuanto a la fisuración también se ha supuesto que el líquido contenido por el

depósito no es químicamente agresivo y que no se encuentra excesivamente solicitado

por factores ambientales extremos, con lo que hemos adoptado una abertura máxima de

fisura de wmáx = 0,2 mm, tanto en la cara exterior como en la interior.

Para el cálculo de la pared se ha buscado la Función Hidrostática de Pretensado (FHP) y

también la Función Uniforme de Pretensado (FUP), adoptando una tensión de

compresión circunferencial adicional mínima de σres = 1,0 N/mm2. Se han valorado las

pérdidas de pretensado suponiendo que los cordones son del tipo lubrificado.

Para todos los depósitos de la muestra se ha hecho el cálculo en el caso de tener uno,

dos, tres o cuatro contrafuertes, escogiendo para cada caso la solución más económica.

También se ha valorado manera diferente la armadura activa en función del número de


contrafuertes, ya que de ello depende directamente el número de cabezas de anclaje y

operaciones de tesado.

En toda la muestra de depósitos cilíndricos pretensados se ha supuesto que la unión

pared-solera es del tipo articulada flexible. Por tanto, los esfuerzos en el arranque serán

casi despreciables y hemos podido disponer una solera de tan solo 20 cm. de espesor. A

excepción lógicamente de las zapatas de los pilares interiores que soportan la cubierta

que tendrán un canto mayor por cuestiones de punzonamiento.






- Solera del depósito.




También se han separado dos situaciones: los depósitos que tienen cubierta y aquellos

que no la tienen.

En el Anejo de Cálculo adjuntamos el cálculo de todos los depósitos cilíndricos de

hormigón pretensado de la muestra, así como la cubicación y coste de los mismos. Se

trata de un total de 224 depósitos cilíndricos analizados, con un volumen comprendido

entre 100 y 50.000 m3, y una altura de agua entre 2,0 y 8,0 m.

5.3.4.- Depósitos cilíndricos pretensados con hormigón proyectado

Una posible alternativa para resolver un depósito cilíndrico pretensado es emplear

hormigón proyectado, en lugar del hormigón moldeado contemplado en nuestra muestra


de depósitos.

En este caso, no existen limitaciones constructivas al espesor de pared, y en general se

emplean espesores comprendidos entre los 18 y 22 cm. También es habitual disponer

una unión monolítica entre la pared y la solera

Ahora bien, en la presente tesina no se han valorado los depósitos pretensados con

hormigón proyectado, puesto que se trata de una tecnología empleada por unas

empresas muy concretas, con un precio que puede presentar oscilaciones en función de

condicionantes de mercado de las propias empresas; y porqué entendemos que una vez

conocidas las dimensiones óptimas podremos consultar el precio del depósito

proyectado y compararlo con las demás ofertas disponibles.

Por otra parte, queremos destacar la similitud de precio existente entre el depósito

pretensado de hormigón moldeado planteado con unión articulada flexible, y otro

depósito de la misma capacidad pero resuelto con hormigón proyectado y unión

monolítica. Veámoslo:

i) Depósito cilíndrico pretensado con hormigón moldeado (coste de 1 m2):

- Hormigón de pretensado HP-35: 0,30 m3 · 95,20 €/m3 = 28,6 €

- Armaduras pasivas, barras corrugadas: 44 kg/m3 · 0,30 m3 · 1,07 €/kg = 14,1 €

- Encofrado curvo visto: 2,0 m2 · 59,50 €/m2 = 119,0 €

Total: 162 €

ii) Depósito cilíndrico pretensado con hormigón proyectado (coste de 1 m2):

- Hormigón proyectado HP-35: 0,20 m3 · 452,0 €/m3 = 90,4 €

- Armaduras pasivas, barras corrugadas: 85 kg/m3 · 0,20 m3 · 1,07 €/kg = 18,2 €

- Encofrado curvo visto: 1,0 m2 · 59,50 €/m2 = 59,5 €

Total: 168 €


Vemos que suponiendo una armadura activa análoga en los dos casos, obtenemos un

precio francamente similar.

5.3.5.- Depósitos prefabricados

Tampoco se han valorado los depósitos prefabricados por dos motivos, en primer lugar

y al igual que en el caso anterior, por tratarse de elementos cuyo precio presenta

oscilaciones en función de los condicionantes de mercado de las propias empresas de

prefabricados. Y en segundo lugar, por entender que una vez conocidas las dimensiones

óptimas del depósito será cuando debamos consultar el precio del depósito prefabricado

y compararlo con las diferentes ofertas disponibles de otros constructores.

5.4.- ANÁLISIS DE LOS PILARES Y ZAPATAS INTERIORES EN

LA MUESTRA DE DEPÓSITOS

5.4.1.- Pilares interiores

Los pilares son los encargados de soportar la cubierta transmitiendo sus cargas a las

zapatas interiores, que conviene independizar del resto de la solera del depósito. En los

depósitos rectangulares se disponen alineados en filas separadas 5,0 m. y con una

separación entre ellos de unos 10,0 m. Ello significa que las vigas principales de

cubierta tendrán una luz de 10,0 m. y las placas de cubrición de 5,0 m. En el caso

cilíndrico se disponen en alineaciones circulares y con separaciones análogas al caso

anterior.

Se propone usar unos pilares cuadrados de 0,45 m. de lado en todos los casos, armados

con 8 ø12 y cercos ø8c/20 cm. Ello equivale a tener una cuantía de 55 kg/m3; valor que

lógicamente emplearemos en la cubicación de los diferentes depósitos de la muestra.


5.4.2.- Zapatas interiores

En cuanto a las zapatas interiores, se han dimensionado para que con la carga axil que le

transmite la cubierta por medio del pilar, así como la carga de agua con el depósito

lleno, transmitan una tensión al terreno de cimentación inferior a la tensión admisible

que hemos establecido en σadm = 2,0 kp/cm2.

Adjuntamos en el Anejo de Cálculo la justificación del dimensionamiento de las zapatas

interiores, con su cubicación de hormigón, armaduras y encofrado.

Por su parte, la solera interior es un elemento estructural muy poco solicitado, para el

que hemos adoptado un espesor constante de 20 cm. La armadura mínima a disponer en

sus dos caras es de malla ø10c/15x15 cm, lo que supone una cuantía de 91 kg/m3.

5.5.- ANÁLISIS DE LA CUBIERTA EN LA MUESTRA DE

DEPÓSITOS

5.5.1.- Placas de cubierta

Las placas de cubierta pueden construirse en un taller de prefabricación y transportarse

posteriormente a la obra. Son las responsables últimas del cubrimiento del depósito. Su

luz de cálculo es de 5,0 m, y apoyan sobre las propias paredes del depósito y sobre las

vigas principales. Su espesor es de 15 cm.

Han sido calculadas para soportar su propio peso, una capa de grava de 10 cm, así como

una sobrecarga de uso de 100 kp/m2. En el Anejo de Cálculo adjuntamos toda la

justificación de la que se desprende la siguiente cubicación:

- Hormigón para armar HA-30: 0,15 m3/m2


- Armaduras pasivas en barras corrugadas: 18,60 kg/m2

- Encofrado plano visto (laterales placa): 0,36 m2/m2

5.5.2.- Vigas principales de cubierta

Las vigas principales de cubierta apoyan sobre las paredes perimetrales del depósito y

en los pilares interiores. Sobre ellas descansan las placas. Su luz de cálculo es de 10,00

m. Proponemos que sean unas vigas de sección rectangular de 45 cm. de anchura y 70

cm. de canto.

En el Anejo de Cálculo adjuntamos toda la justificación de la que se desprende la

siguiente cubicación:

- Hormigón para armar HA-30: 0,32 m3/ml

- Armaduras pasivas en barras corrugadas: 53 kg/ml

- Encofrado plano visto (laterales y fondo viga): 1,85 m2/ml

- Cimbra: 0,55·H m3/ml

5.6.- RESUMEN DE LA MUESTRA DE DEPÓSITOS ANALIZADOS

A continuación exponemos el resumen de toda la muestra de depósitos analizados. Para

cada volumen de depósito (100, 200, 300, 400, 500, 750, 1.000, 2.500, 5.000, 7.500,

10.000, 15.000, 20.000, 25.000, 35.000 y 50.000 m3) se expone, al final de este apartado

y en unas hojas de cálculo, el coste total de cada depósito para:

- 14 tipologías de depósito rectangular de hormigón armado: 7 para el caso

con cubierta y otras 7 para el caso sin cubierta.

- 14 tipologías de depósito cilíndrico de hormigón armado: 7 para el caso con


cubierta y otras 7 para el caso sin cubierta.

- 14 tipologías de depósito cilíndrico de hormigón pretensado: 7 para el caso

con cubierta y otras 7 para el caso sin cubierta.

Por tanto, estamos mostrando el análisis de un total de 672 depósitos. Cualquier lector

sin conocimientos ingenieriles podrá encontrar el tipo de depósito que más se adecue a

sus necesidades concretas. Podrá conocer de manera rápida y sencilla la mejor tipología

constructiva, su coste y la superficie ocupada por el mismo.

De entre ellas hacemos un resumen de las tipologías más económicas para cada

volumen:

i) Depósito de volumen 100 m3 con cubierta:

El depósito de menor coste para la capacidad de 100 m3 con cubierta es claramente el

rectangular con 3,0 m. de altura de agua (2 celdas de 5,50x3,0 m); y también, aunque en

menor medida, los cilíndricos de hormigón armado de 2,0 y 3,0 m. de altura de agua

(R=4,0 y 3,30 m. respectivamente). Sería impensable plantearse para este caso

tipologías de hormigón pretensado.

ii) Depósito de volumen 100 m3 sin cubierta:

El depósito de menor coste para la capacidad de 100 m3 sin cubierta es claramente el

cilíndrico de hormigón armado con 2,0 m. de altura de agua (R=4,0 m); y también,

aunque en menor medida, los rectangulares de 2,0 y 3,0 m. de altura de agua (2 celdas

de 7,50x3,50 y 5,50x3,0 m. respectivamente). Tampoco nos podemos plantear para este

caso tipologías de hormigón pretensado.

iii) Depósito de volumen 200 m3 con cubierta:

Para los depósitos de menor coste correspondientes a la capacidad de 200 m3 con

cubierta tenemos un amplio abanico de opciones muy competitivas: rectangulares de 2,0

y 3,0 m. de altura de agua (2 celdas de 10,0x5,0 y 8,50x4,0 m. respectivamente); y


cilíndricos de hormigón armado de 3,0 y 4,0 m. de altura de agua (R=4,70 y 4,0 m.

respectivamente). El caso pretensado no es aplicable en este caso.

iv) Depósito de volumen 200 m3 sin cubierta:

El depósito de menor coste correspondiente a la capacidad de 200 m3 sin cubierta es el

rectangular de 2,0 m. de altura de agua (2 celdas de 10,0x5,0 m). También los



v) Depósito de volumen 300 m3 con cubierta:

El depósito de menor coste correspondiente a la capacidad de 300 m3 con cubierta es el

rectangular de 3,0 m. de altura de agua (2 celdas de 10,0x5,0 m). También los



vi) Depósito de volumen 300 m3 sin cubierta:

Los depósitos de menor coste correspondientes a la capacidad de 300 m3 sin cubierta

son los cilíndricos de hormigón armado de 2,0 y 3,0 m. de altura de agua (R=7,0 y 5,70

m. respectivamente). También son competitivos, aunque un poco menos, los

rectangulares de 2,0 y 3,0 m. de altura de agua (2 celdas de 15,0x5,0 y 10,0x5,0 m.


vii) Depósito de volumen 400 m3 con cubierta:

El depósito más claramente competitivo des del punto de vista económico para la

capacidad de 400 m3 con cubierta es el cilíndrico de hormigón armado con 4,0 m. de

altura de agua (R=5,70 m); también, aunque menos el de 5,0 m. de altura de agua

(R=5,10 m). En este caso, la tipología rectangular es más cara que la cilíndrica, y el

caso pretensado mucho más.


viii) Depósito de volumen 400 m3 sin cubierta:


capacidad de 400 m3 sin cubierta es el cilíndrico de hormigón armado con 2,0 m. de

altura de agua (R=8,0 m). Cualquier otra solución queda economicamente más alejada.

ix) Depósito de volumen 500 m3 con cubierta:


capacidad de 500 m3 con cubierta es el cilíndrico de hormigón armado con 5,0 m. de

altura de agua (R=5,70 m), también, aunque menos el de 6,0 m. de altura de agua

(R=5,20 m). En este caso, la tipología rectangular es bastante más cara que la cilíndrica,

y el caso pretensado mucho más.

x) Depósito de volumen 500 m3 sin cubierta:

Los dos depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para

la capacidad de 500 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 2,0 y

3,0 m. de altura de agua (R=9,0 y 7,50 m. respectivamente). Cualquier otra solución

queda económicamente más alejada.

xi) Depósito de volumen 750 m3 con cubierta:

Los depósitos más claramente competitivos des del punto de vista económico para la

capacidad de 750 m3 con cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 3,0, 4,0 y

5,0 m. de altura de agua (R=9,0, 8,0 y 7,0 m. respectivamente). En este caso, las

tipologías rectangular y pretensada son soluciones más caras.

xii) Depósito de volumen 750 m3 sin cubierta:


capacidad de 750 m3 sin cubierta es el cilíndrico de hormigón armado con 3,0 m. de

altura de agua (R=9,0 m). En este caso, las tipologías rectangular y pretensada también


son soluciones más caras.

xiii) Depósito de volumen 1.000 m3 con cubierta:


capacidad de 1.000 m3 con cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 4,0 y

5,0 m. de altura de agua (R=9,0 y 8,0 m. respectivamente). En este caso, las tipologías

rectangular y pretensada son soluciones más caras, si bien se aprecia un acercamiento de

los depósitos pretensados a precios más razonables.

xiv) Depósito de volumen 1.000 m3 sin cubierta:


capacidad de 1.000 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 3,0 y

4,0 m. de altura de agua (R=10,50 y 9,0 m. respectivamente). En este caso, las


xv) Depósito de volumen 2.500 m3 con cubierta:


capacidad de 2.500 m3 con cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 4,0 y

5,0 m. de altura de agua (R=14,50 y 13,0 m. respectivamente). La tipología rectangular

es una solución claramente más cara. Por contra, ya nos encontramos por primera vez,

que el depósito cilíndrico de hormigón pretensado de 8,0 m. de columna de agua

(R=10,0 m) puede competir con los dos cilíndricos anteriores.

xvi) Depósito de volumen 2.500 m3 sin cubierta:


capacidad de 2.500 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 3,0, 4,0

y 5,0 m. de altura de agua (R=16,50, 14,50 y 13,0 m. respectivamente). En este caso, las



xvii) Depósito de volumen 5.000 m3 con cubierta:

Los mejores depósitos des del punto de vista económico para la capacidad de 5.000 m3

con cubierta son los cilíndricos de hormigón armado con 4,0 y 5,0 m. de altura de agua

(R=20,0 y 18,0 m. respectivamente). Pero incluso se presentan como mejores soluciones

los depósitos cilíndricos de hormigón pretensado con 7,0 y 8,0 m. de columna de agua

(R=15,50 y 14,50 m. respectivamente). La tipología rectangular es una solución

totalmente inasumible.

xviii) Depósito de volumen 5.000 m3 sin cubierta:


capacidad de 5.000 m3 sin cubierta es el cilíndrico de hormigón armado con 4,0 m. de

altura de agua (R=20,0 m). En este caso, las tipologías rectangular y pretensada son

soluciones más caras.

ix) Depósito de volumen 7.500 m3 con cubierta:

Para los depósitos con cubierta de capacidad 7.500 m3 solo tenemos dos posibilidades

en cuanto al coste, la solución cilíndrica de hormigón armado con 6,0 m. de altura de

agua (R=20,0 m), y las soluciones cilíndricas pretensadas con 6,0 y 7,0 m. de altura de

agua (R=20,0 y 18,50 m. respectivamente). La tipología rectangular es una solución

totalmente inasumible.

xx) Depósito de volumen 7.500 m3 sin cubierta:



5,0 m. de altura de agua (R=24,50 y 22,0 m. respectivamente). En este caso, las



xxi) Depósito de volumen 10.000 m3 con cubierta:

Para los depósitos con cubierta de capacidad 10.000 m3 la solución claramente más

competitiva es la solución cilíndrica pretensada de 8,0 m. de altura de agua (R=20,0 m).

También, pero en menor medida, la solución cilíndrica de hormigón armado con 5,0 m.

de altura de agua (R=25,50 m). La tipología rectangular es una solución totalmente

inasumible.

xxii) Depósito de volumen 10.000 m3 sin cubierta:



5,0 m. de altura de agua (R=28,50 y 25,50 m. respectivamente). Ya nos encontramos

por primera vez que la tipología pretensada en los depósitos sin cubierta empieza a ser

competitiva. Así, también nos podríamos plantear usar depósitos cilíndricos pretensados

de 4,0 y 5,0 m. de altura de agua (R=28,50 y 25,50 m. respectivamente).

xxiii) Depósito de volumen 15.000 m3 con cubierta:


capacidad de 15.000 m3 con cubierta es el cilíndrico de hormigón pretensado con 8,0 m.

de altura de agua (R=24,50 m). En este caso, las tipologías rectangular y cilíndrica de

hormigón armado son soluciones más caras.

xxiv) Depósito de volumen 15.000 m3 sin cubierta:



5,0 m. de altura de agua (R=35,0 y 31,0 m. respectivamente). También nos podemos

plantear usar depósitos cilíndricos pretensados de 5,0 y 6,0 m. de altura de agua

(R=31,0 y 28,50 m. respectivamente).


xxv) Depósito de volumen 20.000 m3 con cubierta:


la capacidad de 20.000 m3 con cubierta son los cilíndricos de hormigón pretensado con

7,0 y 8,0 m. de altura de agua (R=30,50 y 28,50 m. respectivamente). En este caso, las

tipologías rectangular y cilíndrica de hormigón armado son soluciones más caras.

xxvi) Depósito de volumen 20.000 m3 sin cubierta:


capacidad de 20.000 m3 sin cubierta son el cilíndrico de hormigón armado con 4,0 m. de

altura de agua (R=40,0 m), y el cilíndrico pretensado con 6,0 m. de altura de agua

(R=33,0 m).

xxvii) Depósito de volumen 25.000 m3 con cubierta:





xxviii) Depósito de volumen 25.000 m3 sin cubierta:


capacidad de 25.000 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón pretensado de 5,0 y

6,0 m. de altura de agua (R=40,0 y 36,50 m. respectivamente); y también, en menor

medida, los cilíndricos de hormigón armado de 4,0 y 5,0 m. de altura de agua (R=45,0 y

40,0 m. respectivamente).

xxix) Depósito de volumen 35.000 m3 con cubierta:






xxx) Depósito de volumen 35.000 m3 sin cubierta:

El depósito más competitivo des del punto de vista económico para la capacidad de

35.000 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón armado de 4,0 y 5,0 m. de altura

de agua (R=53,0 y 47,50 m. respectivamente); y también, los cilíndricos de hormigón

pretensado de 5,0 y 6,0 m. de altura de agua (R=47,50 y 43,50 m. respectivamente).

xxxi) Depósito de volumen 50.000 m3 con cubierta:


capacidad de 50.000 m3 con cubierta es el cilíndrico de hormigón pretensado con 8,0 m.

de altura de agua (R=45,0 m). En este caso, las tipologías rectangular y cilíndrica de

hormigón armado son soluciones mucho más caras.

xxxii) Depósito de volumen 50.000 m3 sin cubierta:


capacidad de 50.000 m3 sin cubierta son los cilíndricos de hormigón pretensado de 5,0,

6,0 y 7,0 m. de altura de agua (R=56,50, 52,0 y 48,0 m. respectivamente); y también, los


respectivamente).

En cuanto al coste del depósito óptimo por metro cúbico de volumen, pasamos en el

caso de depósito con cubierta de 202 a 38 €/m3 para el caso de 100 y 50.000 m3 de

capacidad respectivamente. Y para el caso de no tener cubierta, pasamos de 169 a 22

€/m3 para el caso de 100 y 50.000 m3 de capacidad respectivamente.


5.7.- RELACIONES D/Hω ÓPTIMAS EN DEPÓSITOS

CILÍNDRICOS

Ya tuvimos ocasión de comentar en el segundo capítulo de la tesina que Boixereu

(1988) encontró las siguientes relaciones D/Hω que minimizan el coste de un depósito

pretensado con hormigón proyectado:

- Para depósitos de V=1.000 m3 el valor óptimo de D/Hω es de 3,7.



En nuestro caso, aprovechando la enorme muestra de depósitos analizada también

hemos podido extraer unas relaciones D/Hω óptimas, que han resultado ser muy

similares tanto en los depósitos cilíndricos de hormigón armado como en los de

hormigón pretensado. Se sigue una función monótona en el caso de depósitos con

cubierta, con resultados muy similares a los planteados por Boixereu (1988). Cosa que

no ocurre así, en el caso de depósitos sin cubierta, dónde los resultados son mucho más

confusos e imprevisibles. Resumimos en la tabla 5.1 los valores numéricos obtenidos:

VOLUMEN (m3): RELACIÓN D/Hω ENCONTRADA: 100 2,20 200 2,00 300 2,50 400 2,85 500 2,28 750 2,80

1.000 3,20 2.500 4,00 5.000 4,43 7.500 5,29 10.000 6,14 15.000 7,57 20.000 8,71 25.000 9,71 35.000 11,43 50.000 13,71

Tabla 5.1.- Valores óptimos de la relación D/Hω en depósitos cilíndricos con cubierta


5.8.- ESTUDIO DEL NÚMERO DE CONTRAFUERTES ÓPTIMO

También es de un enorme interés conocer cuál es el número de contrafuertes óptimo

para un depósito cilíndrico de hormigón pretensado dado. También comentamos en el

segundo capítulo de la tesina que Boixereu (1988) sugiere que en depósitos de pequeña

capacidad (entre 500 y 8.000 m3) se dispongan dos contrafuertes, y que en depósitos de

mayor capacidad, una solución ampliamente aceptada consiste en disponer cuatro

contrafuertes.

En nuestro caso, aprovechando la enorme muestra de depósitos analizada, también

hemos querido conocer el número óptimo de contrafuertes de un depósito cilíndrico

pretensado, con los siguientes resultados:

- Para depósitos de 100 m3: 1 contrafuerte.

- Para depósitos de 200 hasta 1.000 m3 (ambos inclusive): 2 contrafuertes.

- Para depósitos de 2.500 hasta 10.000 m3 (ambos inclusive): 3 contrafuertes.

- Para depósitos de 15.000 hasta 50.000 m3 (ambos inclusive): 4 contrafuertes.

5.9.- ESTUDIO DEL CAMPO DE VALIDEZ PARA LAS

FÓRMULAS SIMPLIFICADAS EN DEPÓSITOS CILÍNDRICOS

En el segundo capítulo de la tesina se explicó de manera detallada que para calcular los

esfuerzos que solicitan la pared de un depósito cilíndrico tenemos que encontrar, en

primer lugar, las constantes de integración C1, C2, C3 y C4, que dependen de las

condiciones de contorno. Ello nos conduce a un sistema lineal de cuatro ecuaciones con

cuatro incógnitas.

También se comentó que en algunos casos prácticos se puede simplificar enormemente


la resolución del problema haciendo nulas las constantes C1 y C2. Pero que ello sólo será

posible cuando el espesor de la pared sea pequeño en comparación tanto con el radio

como con la altura del depósito y podamos considerar la lámina como infinitamente

larga.

Ya mencionamos que no hemos encontrado en el estado del conocimiento una acotación

clara que nos permita saber en que casos podremos hacer esta simplificación con errores

despreciables, y en que casos conviene no hacerla. Es por ello, que con toda la muestra

de depósitos analizada estamos en condiciones de solucionar este vacío y poder precisar

el campo de validez para la hipótesis anterior, que ha resultado ser la siguiente:

0 ≤ D/Hω ≤ 6


CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES

6.1.- INTRODUCCIÓN

En este capítulo se exponen las conclusiones que se derivan de los distintos estudios

desarrollados a lo largo de este trabajo. Las conclusiones responden al cumplimiento de

los objetivos principales que han guiado el desarrollo de esta tesina.

Éstos se han dirigido, por una parte, hacía el desarrollo ordenado de toda la información

necesaria que necesita un técnico para poder calcular un depósito de agua, en cualquiera

de sus tipologías, con la confianza de estar amparado por las principales normativas,

recomendaciones y estudios realizados hasta el momento sobre depósitos, con la


seguridad de estar siguiendo el mismo la misma filosofía de cálculo de la vigente

Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999) y también con la tranquilidad de estar

diseñando una estructura que no tendrá problemas de funcionalidad o durabilidad con el

tiempo.

En segundo lugar, hemos querido facilitar a la persona sin conocimientos técnicos una

herramienta sencilla para que pueda escoger el depósito que más se acomode a sus

necesidades particulares, pudiendo conocer datos tan relevantes como la tipología con

sus dimensiones más acertadas, su precio o la ocupación del mismo en planta.

Finalmente, con una muestra de 672 depósitos analizados era obligado llegar a otras

conclusiones más específicas, como son las relaciones D/Hω óptimas en depósitos

cilíndricos, el número de contrafuertes óptimo o el campo de validez para las fórmulas

simplificadas en el cálculo de la pared de un depósito cilíndrico.

6.2.- CONCLUSIONES RELATIVAS AL CÁLCULO

Destacamos la importancia de construir los depósitos con un hormigón de buena calidad

y reducida permeabilidad, a fin de garantizar la durabilidad del mismo. De ahí que se

impongan unos valores de resistencia característica mínima de:

fck ≥ 30 N/mm2 en depósitos de hormigón armado

fck ≥ 35 N/mm2 en depósitos de hormigón pretensado

Uno de los elementos básicos sobre el que se edifica toda la teoría de depósitos es la

abertura máxima de fisura permitida wmáx. Desgraciadamente no hay normativa que

evite la siempre peligrosa subjetividad. Pero haciendo un compendio de toda la

información disponible en el estado del conocimiento, entendemos razonable escoger

como norma general un valor de wmáx = 0,2 mm, excepto en el caso de tener el depósito

expuesto a efectos climáticos severos o a la contención de líquidos agresivos, que


entonces adoptaremos wmáx = 0,1 mm.

El escoger uno u otro valor de abertura máxima de fisura no es un tema baladí. La

cuantía de armaduras a disponer puede ser muy diferente según la abertura considerada.

También la tensión admisible del acero para los esfuerzos de tracción simple depende

de esta abertura. Así tenemos que:

- Si wmáx = 0,2 mm escogeremos una tensión admisible de σadm = 130 N/mm2.

- Si wmáx = 0,1 mm escogeremos una tensión admisible de σadm = 100 N/mm2.

Y finalmente, las armaduras mínimas necesarias para prevenir posibles fisuraciones

debidas a la retracción del fraguado, variaciones de temperatura e incluso otras acciones

no contempladas en el cálculo, dependen del valor de la abertura de fisura. Así tenemos

que:

- Si wmáx = 0,2 mm escogeremos una armadura mínima de ρmín = 0,0015.

- Si wmáx = 0,1 mm escogeremos una armadura mínima de ρmín = 0,0020.

En los depósitos cilíndricos de hormigón pretensado, la pared debe estar

permanentemente comprimida anularmente, e incluso con una tensión de compresión

residual mínima σres, que se fija entre 0,5 y 2,0 N/mm2 (en la tabla 2.10 se concretan

estos valores). Y para los esfuerzos verticales de flexión en las paredes (debidos a la

acción de los tendones de pretensado, presión hidrostática del agua y fenómenos

reológicos), que originan una fisuración horizontal, se dispondrá armadura pasiva

vertical con todos los criterios que hemos enunciado anteriormente.

Las paredes de los depósitos rectangulares de hormigón armado se tratan como placas

triempotradas, en la solera y en las dos paredes laterales, y con el borde superior libre.

Aparecen esfuerzos en las direcciones vertical y horizontal, cuyas leyes se determinan

con las tablas de Placas de Bares (1970).

El tratamiento de estos esfuerzos no es muy convencional; de entrada se busca la

armadura de flexión necesaria calculada en Estado Límite Último. También la necesaria

por fisuración de flexión con el criterio de abertura máxima de fisura que hayamos


establecido y calculada en Estado Límite de Servicio. En general, esta última será más

restrictiva, y junto con la armadura mínima necesaria, se escoge de entre ellas, el valor

de armadura mayor, a la que sumaremos la de tracción obtenida con el método clásico

de dividir el esfuerzo por una tensión admisible del acero muy reducida de valor 130 ó

100 N/mm2. En cuanto al esfuerzo cortante, se intenta que el espesor de pared sea tal,

que con la contribución del hormigón se evite disponer cercos.

Las paredes de los depósitos cilíndricos llevan detrás toda la teoría de láminas circulares

cilíndricas. Y para conocer las leyes de esfuerzos en la lámina es necesario encontrar

previamente las constantes de integración de la ley de corrimientos radiales ω(x). Ello

supone tener que resolver de entrada sistemas de ecuaciones lineales con cuatro

ecuaciones y cuatro incógnitas en los casos normales de empuje hidrostático y empuje

de tierras; y de diez ecuaciones con diez incógnitas en el caso de tener las tierras por

debajo la coronación del depósito y también en el caso de buscar los esfuerzos que

provoca el pretensado sobre la pared. Se ha realizado un enorme esfuerzo en la presente

tesina, en concreto en el tercer capítulo, encaminado a facilitar la resolución de estos

sistemas de ecuaciones que cubren todas las posibilidades de unión pared-solera que

puede presentar el depósito.

Para encontrar los esfuerzos en la pared de los depósitos cilíndricos de hormigón

armado hay que buscar previamente las constantes de integración de la ley ω(x) con la

resolución de los sistemas lineales de ecuaciones mencionados, si bien, en general,

podrá simplificarse su resolución en aquellos casos en que pueda considerarse la lámina

infinitamente larga.

En cualquier caso, una vez conocido el campo de esfuerzos en la pared, se procede de la

misma manera que en el caso de depósitos rectangulares mencionado anteriormente: al

máximo de la armadura de flexión, armadura necesaria por fisuración y armadura

mínima se le suma la de tracción obtenida con el método clásico de dividir el esfuerzo

por la tensión admisible del acero.

En cuanto a los depósitos cilíndricos de hormigón pretensado, se empieza estudiando el

tipo de unión pared-solera (monolítica, articulada flexible y articulada fija), que sin


duda condiciona los esfuerzos sobre la pared. Seguidamente se define una función

óptima de pretensado que defina el mínimo volumen de pretensado necesario para

obtener el estado de tensiones anulares deseado, la cual se descompone en dos

funciones: la Función Hidrostática de Pretensado (FHP) y la Función Uniforme de

Pretensado (FUP).

Este volumen de pretensado obtenido con la función óptima hay que comprobarlo con el

Estado Límite de Servicio preconizado en EHE: tenemos que garantizar que la máxima

tensión de compresión en el momento del tesado y con el depósito vacío es menor que

0,60·fckj; y que a tiempo infinito y con el depósito lleno la pared sigue comprimida.

El pretensado horizontal tiene por misión principal comprimir circunferencialmente la

pared, a fin de compensar las tracciones originadas por la carga de agua, reduciendo así

su fisuración vertical. Pero la fisuración horizontal debida a los esfuerzos verticales de

flexión en las paredes debe solucionarse con armadura pasiva vertical. Y esta última

armadura será el valor máximo de entre la armadura de flexión necesaria calculada en

Estado Límite Último, la necesaria por fisuración con el criterio de abertura máxima de

fisura establecido y la armadura mínima necesaria.

Finalmente, para el cálculo de la solera de un depósito precisamos de un sencillo

programa de pórticos que nos permita discretizarla en un conjunto de nudos y barras,

que apoyada sobre un lecho elástico que simula el terreno se encuentra sometida a las

acciones que la solicitan. El tratamiento de los esfuerzos y disposición de armaduras

sigue una total analogía con lo establecido en el estudio de las paredes.

6.3.- CONCLUSIONES RELATIVAS A LA ELECCIÓN ÓPTIMA DE

UN DEPÓSITO DE AGUA

A la vista de la extensa muestra de depósitos analizada, podemos concluir de la


siguiente manera:

- Queda claro que los depósitos rectangulares sólo pueden competir con

volúmenes muy bajos, por debajo de los 500 m3.

- Por su parte, los depósitos cilíndricos de hormigón armado tienen un campo

de validez mucho más amplio: podemos llegar hasta 10.000 m3 con muy

buenas garantías en el caso de tener cubierta, y hasta 50.000 m3 en el caso de

no tenerla. La tipología cilíndrica armada se muestra una buena opción en

rangos elevados de volumen cuando no hay el coste de la cubierta que

penaliza superficies de ocupación grandes.

- Y finalmente, los depósitos cilíndricos pretensados tienen un campo de

validez comprendido entre los 2.500 y 50.000 m3 en el caso de tener

cubierta; y entre los 10.000 y 50.000 m3 en el caso de no tenerla. La tipología

pretensada es más competitiva en depósitos con cubierta, ya que elevadas

alturas de pared, para las cuales el pretensado compensa, supone tener menos

superficie, y por tanto, menores costes de cubierta.

Completamos las conclusiones con la tabla 6.1 referida a la elección óptima de un

depósito de agua des del punto de vista de su competitividad económica. En general,

para cada volumen de depósito, hay varios ejemplos con precios óptimos muy similares,

que también reflejamos, para aumentar las opciones de elección.

VOLUMEN

(m3)

DEPÓSITO CON CUBIERTA DEPÓSITO SIN CUBIERTA

100 Rectan: Hω=3,0 m (2 celd: 5,50x3,0)

Cilin armado: Hω=2,0 m (R = 4,0)



Rectan: Hω=2,0 m (2 celd: 7,50x3,50)

Rectan: Hω=3,0 m (2 celd: 5,50x3,0)

200 Rectan: Hω=2,0 m (2 celd: 10,0x5,0)








300 Rectan: Hω=3,0 m (2 celd: 10,0x5,0)







400 Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 5,70)











1.000 Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 9,0)






Cilin preten: Hω=8,0 m (R = 10,0)




5.000 Cilin preten: Hω=7,0 m (R = 15,50)
















15.000 Cilin preten: Hω=8,0 m (R = 24,50) Cilin armado: Hω=4,0 m (R = 35,0)





















50.000 Cilin preten: Hω=8,0 m (R = 45,0) Cilin preten: Hω=5,0 m (R = 56,50)





Tabla 6.1.- Elección óptima de un depósito de agua desde un punto de vista económico

Por otra parte, también es interesante conocer el coste del depósito óptimo por metro

cúbico de volumen. Para ello adjuntamos las figuras 6.1 y 6.2 .

Figura 6.1.- Gráfica del coste del depósito óptimo con cubierta por m3 de volumen.

COSTE DEL DEPÓSITO CON CUBIERTA

0

50

100

150

200

250

0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000

VOLUMEN (m3)

CO

STE

(€/m

3)


Figura 6.2.- Gráfica del coste del depósito óptimo sin cubierta por m3 de volumen.

6.4.- CONCLUSIONES ESPECÍFICAS

6.4.1.- Relaciones D/Hω óptimas en depósitos cilíndricos Los resultados que hemos obtenido en cuanto a la relación D/Hω que presentan los

depósitos cilíndricos con cubierta de menor coste quedan reflejadas en la figura 6.3.

Figura 6.3.- Valores óptimos de la relación D/Hω en depósitos cilíndricos con cubierta

COSTE DEL DEPÓSITO SIN CUBIERTA

020406080

100120140160180

0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000

VOLUMEN (m3)

CO

STE

(€/m

3)

VALORES ÓPTIMOS D/Hω

0,002,004,006,008,00

10,0012,0014,0016,00

0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000

VOLUMEN (m3)

REL

AC

IÓN

D/Hω


6.4.2.- Estudio del número de contrafuertes óptimo

En depósitos cilíndricos de hormigón pretensado se puede llegar a la siguiente

conclusión en cuanto al número de contrafuertes óptimo:

VOLUMEN (m3) Nº CONTRAFUERTES ÓPTIMO

0 – 100 m3 1

200 – 1.000 m3 2

2.500 – 10.000 m3 3

15.000 – 50.000 m3 4

Tabla 6.2.- Número de contrafuertes óptimo en depósitos cilíndricos pretensados

6.4.3.- Estudio del campo de validez para las fórmulas simplificadas en depósitos

cilíndricos

Para encontrar los esfuerzos en una lámina circular cilíndrica, como son las paredes de

un depósito cilíndrico de hormigón armado o pretensado, es necesario resolver la

ecuación correspondiente al campo de desplazamientos:

ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + f(x) (6.1)

dónde C1, C2, C3 y C4 son constantes de integración que dependen de las condiciones de

contorno. Para encontrarlas se hace necesario resolver un sistema de cuatro ecuaciones

con cuatro incógnitas, que hemos desarrollado ampliamente en el tercer capítulo de la

tesina. Ahora bien, en algunos casos particulares se puede simplificar la resolución del

problema haciendo nulas las constantes C1 y C2. En el estado del conocimiento actual

solo se menciona esta posibilidad, en el caso de que se pueda considerar la lámina como

infinitamente larga.

Estamos en condiciones de concretar la afirmación anterior de forma numérica, y

después de los resultados obtenidos en nuestro estudio, podemos asegurar que las


fórmulas simplificadas que nos permiten prescindir de la resolución de un sistema lineal

de 4 ecuaciones con 4 incógnitas para resolver los esfuerzos en una lámina cilíndrica

presentan el siguiente campo de validez:

0 ≤ D/Hω ≤ 6 (6.2)

Por tanto, cualquier depósito cilíndrico que cumpla esta relación; en concreto, hasta un

volumen de 10.000 m3 si seguimos la relación D/Hω óptima que hemos establecido,

tendrá unas constantes C1 y C2 prácticamente nulas, y podremos resolver su campo de

desplazamientos y esfuerzos de una manera muy simple sin apenas cometer errores.

Calculo eleccion de un deposito de agua

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