Calculo Diferencial e Introduccion a Las Derivadas M1

Clculo diferencial e introduccin a las derivadas parcialesAlbert Gras i MartTeresa Sancho Vinuesa

PID_00183892

FUOC PID_00183892 2 Clculo diferencial e introduccin a las derivadas parciales

FUOC PID_00183892 Clculo diferencial e introduccin a las derivadas parciales

Indice

Sobre estos materiales de trabajo .................................................... 5

1. Anlisis de datos de procesos fsicos: hagamos un experimento ............................................................. 71.1. Consejos sobre la representacin grfica de funciones ................ 8

1.2. Funciones de primer grado: la ecuacin de una recta ................. 9

2. Funciones reales de variable real ................................................ 102.1. La funcin y = y(x) o y = (x) ....................................................... 10

3. A veces se conoce la funcin matemtica ................................. 123.1. Desplazamiento en funcin del tiempo ....................................... 12

3.2. Funciones de segundo grado: la ecuacin de una parbola ......... 13

3.3. Recapitulemos .............................................................................. 14

3.4. Velocidad de cada por la pendiente ............................................ 14

3.5. Valor medio de una magnitud ..................................................... 16

3.6. Velocidad media ........................................................................... 16

3.7. Velocidad instantnea .................................................................. 19

3.8. Clculo de la velocidad instantnea ............................................ 20

3.9. Definicin de derivada de una funcin en un punto .................. 21

3.10.Recapitulacin ............................................................................. 21

4. La derivada como un cociente de diferenciales ...................... 224.1. Diferencial y derivada de una funcin ......................................... 23

4.2. Sobre el concepto de lmite .......................................................... 24

4.3. Continuidad, derivabilidad .......................................................... 25

5. Aceleraciones ................................................................................... 285.1. Derivadas de orden superior ......................................................... 29

5.2. Propiedades de las funciones derivadas y derivadas

de las funciones elementales ........................................................ 29

6. Representacin de una funcin como un polinomio ............ 326.1. Cmo calcula una calculadora de bolsillo o un ordenador

una exponencial; por ejemplo, el valor e1.23? ............................. 32

6.2. La frmula de Taylor .................................................................... 33

7. Nociones sobre funciones de varias variables ......................... 367.1. Funciones de ms de una variable ............................................... 36

Recapitulacin: qu hemos aprendido en este mdulo? .......... 43

Resolucin de actividades .................................................................. 45

FUOC PID_00183892 Clculo diferencial e introduccin a las derivadas parciales


Sobre estos materiales de trabajo

El objetivo principal de este mdulo es introducir el concepto de derivada de una funcin y explorar

algunas de sus aplicaciones. Daremos tambin unas nociones sobre funciones de varias variables y el

concepto de derivada parcial.

En este mdulo trabajaremos con funciones reales de variable real. Una gran cantidad de fenmenos tra-

tados por la fsica, las ingenieras, las ciencias experimentales, la economa y las ciencias sociales se mo-

delizan en trminos de funciones matemticas. Conocer bien las propiedades de estas funciones permite

describir adecuadamente los procesos correspondientes. Las funciones reales de variable real son, ade-

ms, la herramienta de trabajo bsica del anlisis matemtico.

Recordaremos los conceptos generales ms importantes sobre las funciones existentes de variable real y

veremos cmo interpretarlos y reconocerlos grficamente. Haremos tambin un recorrido por las pro-

piedades de las funciones de mayor inters para un futuro ingeniero (funciones polinmicas, racionales,

trigonomtricas, exponenciales y logartmicas).


1. Anlisis de datos de procesos fsicos: hagamos un experimento

Empezaremos por ver un ejemplo de cmo modelizar (o representar) matemticamente los datos de una

situacin fsica.

Ejemplo 1: Medimos cmo se enfra un caf

Con instrumentos electrnicos de adquisicin de datos,1 hemos obtenido medidas, cada 30 segundos,

de la temperatura de un caf que se est enfriando; los datos se muestran en la tabla 1. Cuando introdu-

cimos la sonda en el caf, esperamos un minuto hasta que tomamos la primera medida de la temperatura

(de la misma manera que, cuando nos medimos la temperatura corporal con un termmetro, esperamos

unos instantes antes de tomar la lectura). Este experimento de enfriamiento del caf ha durado slo unos

ocho minutos; no hemos esperado a que el caf se enfre mucho.

Tabla 1. Temperatura de un caf que se enfra durante unos minutos.

A1

Representad grficamente los datos de la tabla 1.

1. Si tenis curiosidad por saber cmo se hacen experimentos con sensores, mirad el apartado de ExAC (Experimentacin asistida porcalculadora grfica) de http://www.fisica-basica.net/propostes-experimentals/propostes-experimentals.htm#exac

Tiempo (s) Temperatura (C)

60 54.7

90 54.4

120 54.1

150 53.5

180 52.4

210 52.1

240 51.4

270 50.7

300 50.0

330 49.5

360 49.0

390 48.4

420 48.1

450 47.5


1.1. Consejos sobre la representacin grfica de funciones

Las representaciones grficas de funciones matemticas o de tablas de datos se tienen que hacer con cui-

dado para que, cuando se observen las grficas, nos podamos hacer rpidamente una idea de lo que se

quiere mostrar:

1) Hay que indicar qu magnitudes se representan (en el ejemplo anterior, la temperatura T en funcin

del tiempo t).

2) Los ejes de coordenadas tienen que expresar las unidades correspondientes a la magnitud que se

represente (en el ejemplo anterior, grados centgrados y segundos).

3) Hay otros elementos que afectan a la visualizacin y la claridad de una representacin grfica. Por

ejemplo, mientras que las unidades del eje t de la figura 1s se han marcado de 100 en 100, la escala de T

va de unidad en unidad.

Observad en la figura 1s que los puntos que representan los datos de la 1 estn bastante alineados y,

por este motivo, se podran describir matemticamente por la ecuacin de una lnea recta, como la que

muestra la ec.(1):

T(t) 0.02 t 56.0 (1)

El valor de las constantes de la ec.(1) se ha elegido de manera que la temperatura se mide en C y el

tiempo en s.

A2

Representa la recta anterior, ec.(1), en la misma grfica donde habis representa-do los datos de la tabla 1.

Ms adelante volveremos sobre el problema de cmo encontrar la funcin matemtica que represente

unos datos experimentales determinados. Una vez disponemos de la funcin que ajusta unos datos,

como la recta en el caso anterior, tenemos la opcin de interpolar2 entre los valores conocidos y de ex-

trapolar a valores que se salen del intervalo tabulado (mirad la siguiente actividad).

A3

a) Comparad el valor de la temperatura que da la ec.(1) para algunos valores deltiempo con los valores de la tabla 1 (por ejemplo, para t 90 s, t 360 s, etctera).b) Calculad tambin qu temperatura predice la ec.(1) para t 190 s o parat 500 s y t 3 000 s, tres valores que no aparecen en la 1. Tienen sentido losvalores que se obtienen?

2. Interpolar es calcular un valor que se encuentra entre dos valores de una tabla. Extrapolar es calcular un valor que est ms all (porencima o por debajo) de los valores extremos de una tabla.


1.2. Funciones de primer grado: la ecuacin de una recta

La expresin (1) es un caso particular de la ecuacin de una recta, o funcin afn, que matemtica-

mente se suele escribir as:

y ax b (2a)

O bien as:

y y1 m(x x1) (2b)

donde:

x es la variable independiente;

y es la variable dependiente;

a, b, m, x1, y1 son constantes.

La variable independiente y la variable dependiente en una funcin afn estn elevadas a la potencia 1.

Siempre que la relacin entre dos variables sea de proporcionalidad directa:

(y constante) proporcional a (x constante)

la representacin analtica de esta relacin ser la de las ecs.(2a) y (2b), y la representacin grfica ser

una recta. Como caso particular, podemos ver escrita esta relacin de proporcionalidad tambin as:

y kx (2c)

donde k es una constante.

A4

Qu significa proporcionalidad directa? Poned algn ejemplo sencillo de pro-porcionalidad directa.

Y qu tipo de rectas se pueden representar con ecuaciones como la (2a) y la (2b)o la (2c)?

A5

a) Representad las expresiones (2a), (2b) y (2c) para algunos valores positivos onegativos de los parmetros que vosotros mismos podis elegir. (Tomad valoressencillos, como 2, 3, 5, etctera.)b) Como la ec.(2a) y la (2b) representan la misma funcin lineal, las constantesa y b, y las constantes m, x1 e y1 tienen que estar relacionadas. Encontrad esta re-lacin.

Por lo tanto, como hemos visto en el caso del caf que se enfra, si tenemos datos experimentales de c-

mo varan determinadas magnitudes, podemos encontrar las funciones matemticas que las represen-

tan. El caso ms sencillo se da cuando hay una relacin afn entre estas magnitudes y la representacin

grfica es una lnea recta.


2. Funciones reales de variable real

De la misma manera que hemos visto en el caso del caf que se enfra, algunos fenmenos fsicos, socia-

les y econmicos, algunos procesos industriales, etctera, se pueden modelizar por medio de funciones

matemticas. A veces, las funciones se conocen en forma tabular, como en el ejemplo del caf. En otros

casos, se conoce la expresin matemtica que describe el fenmeno; entonces, a partir del valor de la

variable independiente y mediante la realizacin de clculos elementales, se obtiene el valor de la varia-

ble dependiente. Tendremos, por ejemplo, funciones como las siguientes:

y (x)T (t)y (t) (3)z (y)I ()

O en otra notacin equivalente para las mismas funciones (3):

y y(x)T T(t)y y(t) (3)z z(y)I I()

Las variables independientes en los ejemplos anteriores son, respectivamente, x, t, t, y, , mientras quelas variables dependientes son, respectivamente, y, T, y, z, I. As, por ejemplo, en la expresin z (y), ser la funcin matemtica cuya expresin analtica indica qu operaciones hay que hacer con el valor

de y para obtener el valor correspondiente de z. Y anlogamente en los otros casos.

2.1. La funcin y = y(x) o y = (x)

En la mayora de los casos, cada variable tiene un nombre y un significado fsico concreto; por lo tanto,

tiene unas unidades en las que se mide. Hay que tener en cuenta estas unidades al operar con las varia-

bles y al hacer las representaciones grficas correspondientes. En algn momento, sin embargo, y si-

guiendo la tradicin matemtica, cuando queramos generalizar algunas definiciones, conceptos,

algoritmos, etctera, nos referiremos a la funcin abstracta:

y (x) (4)

o bien, equivalentemente, a la funcin:

y y(x) (4)


La funcin y(x) representar cualquiera de las funciones que podamos definir en fsica, en ingeniera,

etc. Y sta es la potencia de las matemticas, que permiten analizar funciones y sus propiedades en abs-

tracto sin tener que preocuparse de si son una buena representacin de alguna situacin real o no lo

son.


3. A veces se conoce la funcin matemtica

Hemos visto que, si hacemos un experimento y medimos determinadas magnitudes, podemos encontrar

la funcin matemtica que describe los datos experimentales. A menudo, sin embargo, tenemos la situa-

cin contraria: conocemos la funcin matemtica, y queremos representarla grficamente y analizar la

situacin fsica que representa.

3.1. Desplazamiento en funcin del tiempo

Ejemplo 2: Cada por una pendiente

Imaginemos un objeto que cae por una pendiente (un desnivel, un tobogn, etctera), como en la figura 1.

Figura 1: Un objeto que cae por un desnivel que tiene una longitud (AC) de 4 m.

El anlisis de un fenmeno resulta a menudo ms fcil si se simplifica la situacin real. En este caso se

puede suponer, por ejemplo, que, en lugar de un objeto, lo que cae es una masa puntual sin dimensio-

nes, que denominamos partcula.3

Esta descripcin del objeto que cae como un objeto simplificado (una masa puntual) y la descripcin de

la pendiente (un plano inclinado con sus irregularidades o imperfecciones) por una lnea recta inclinada

son los primeros pasos hacia una modelizacin matemtica del fenmeno o del proceso que estamos

analizando. Los modelos contienen a menudo diversas hiptesis adicionales que simplifican el proble-

ma, como cuando despreciamos el efecto del rozamiento del objeto con el plano inclinado o con el aire.

La funcin matemtica que describe en cada instante la posicin del punto que cae por la pendiente se llama

ecuacin del movimiento. (As, hablamos, por ejemplo, de la ecuacin del movimiento de un satlite que

se enva a Marte, o de la ecuacin del movimiento de un haz de electrones que viaja por un tubo de rayos

catdicos y que contribuye a formar la imagen en la pantalla de un televisor convencional.)

Supongamos que alguien ha hecho el experimento de cada por una pendiente que mide 4 m de longi-

tud, y ha encontrado que la ecuacin del movimiento que da la distancia recorrida por la masa puntual

en funcin del tiempo es:

s 8.8 t2 (5)

3. Incluso, si nos imaginamos que cae una bola, y no una masa puntual, el problema se complica un poco porque la bola puede dar vueltas!


donde s es el desplazamiento de la masa puntual sobre la trayectoria, es decir, sobre el recorrido de la

partcula que se mueve. En la ec.(5), t se mide en segundos y s se mide en centmetros.

A6

Contestad las siguientes cuestiones:4

1) Por qu es s 0 cm cuando t 0 s?(Fijaos en que s puede representar la magnitud distancia recorrida o la unidadde tiempo, segundo o segundos, segn el contexto. Las magnitudes suelen re-presentarse en cursiva, como s 8.8... en la ec.(5), y las unidades, en letra normal,como ... 0 s).2) Qu distancia, s, recorre el punto entre los instantes t 1 s y t 2 s?s se lee delta (de) s o incremento (o variacin) de la variable s y representala diferencia entre dos valores de s. En general:

s s2 s13) Dibujad la representacin grfica de la funcin (5). (Recordad los consejos so-bre representacin grfica del apartado 1.1.)

En una grfica donde representamos unos cuantos puntos de una funcin, podemos unir a mano los

puntos con el fin de tener una idea de la curva que se representa: en el caso de la actividad anterior,

ec.(5), cuando unimos los puntos de la grfica obtenemos una parbola que pasa por el origen de co-

ordenadas (figura 6s).

3.2. Funciones de segundo grado: la ecuacin de una parbola

La funcin matemtica que describe la ec.(5) se llama parbola. Una parbola es la grfica que resulta

de representar un polinomio de grado 2. En el caso ms general, este polinomio tiene la forma:

y(x) ax2 bx c (6)

O, en el caso del movimiento de la partcula por la pendiente, figura 1, donde la variable independiente

es el tiempo y la variable dependiente el espacio recorrido:

s(t) at2 bt c (6)

En las ecs.(6) y (6), a, b y c son constantes. En el caso que estamos analizando, ec.(5), las constantes son

a 8.8 cm/s2, b c 0.

Aunque matemticamente podemos dar cualquier valor a la variable t, los valores negativos no tienen

sentido en el problema de la pendiente (t 3 s seran 3 segundos antes de poner en marcha el cronme-tro o de empezar a caer el objeto). Adems, un valor como t 7 s da un espacio recorrido de 431.2 cm,mayor que la longitud de la pendiente (hemos supuesto en el pie de la figura 1 que slo mide 4 m!).

4. Nota: Podis reconocer la ec.(5) como un caso particular de un movimiento determinado que se estudia en fsica.


Es decir, que una funcin matemtica puede ser una representacin de un proceso, pero siempre sujeta

a determinadas restricciones. En este ejemplo, el intervalo de validez de la variable t comienza en t 0y acaba en el momento que la partcula llega al pie del plano inclinado, hecho que ocurre, segn la ec.(5)

cuando s 4 m, es decir, en el instante t 6.7 s

Como funcin matemtica, la ec.(5) tiene la forma cualitativa de la figura 2, donde las flechas indican

que la funcin crece sin lmite a derecha o a izquierda.

Figura 2: La funcin matemtica s ( t ) A t2. si la constante A es positiva.

A7

a) Trazad a mano algunas parbolas que se podran describir con la ec.(6); consi-derad tambin qu ocurre segn el signo del parmetro a.

b) Representad cualitativamente algunas parbolas que no se podran describircon la ec.(6).

3.3. Recapitulemos

En el experimento del caf que se enfra, tenemos una tabla de valores de la temperatura en funcin del

tiempo, que hemos representado, y hemos encontrado la funcin que mejor se ajusta a los datos. Hemos

obtenido una lnea recta y una funcin, por lo tanto, afn.

En el caso de la cada de un objeto por una pendiente, nos han dado la funcin que describe el movi-

miento en funcin del tiempo, una funcin cuadrtica (el mayor exponente de x es 2), y hemos hecho

la representacin y obtenido una parbola.

Las rectas y las parbolas (o las funciones de primero y segundo grado) son funciones sencillas pero que

aparecen frecuentemente en las matemticas aplicadas.

3.4. Velocidad de cada por la pendiente

Ahora nos planteamos la siguiente pregunta: Cae el objeto por la pendiente siempre a la misma velocidad?

La respuesta es no. Sabemos por experiencia propia que el objeto se desliza cada vez ms y ms

rpidamente!

2400cm/8.8cm/s


Y cmo podemos encontrar la velocidad5 en cada instante del punto que cae? Por ejemplo, qu velo-

cidad tiene en el instante t 4 s?

Dado que la velocidad de un objeto en movimiento se define como el espacio que recorre el objeto

por unidad de tiempo, podemos calcular la posicin del mvil en dos instantes (figura 3), en el ins-

tante t 4 s y, por ejemplo, en el instante t 6 s, y dividir el incremento de desplazamiento s por elcorrespondiente incremento de tiempo,

(7)

El smbolo es una manera de representar valores medios. La ec.(7) es la expresin de la velocidad me-

dia del objeto durante el intervalo de tiempo t.

Figura 3: Incremento de desplazamiento s para un incremento de tiempo t, a partirde un instante inicial t1 y una distancia inicial recorrida s1.

A8

Calculad en m/s y en km/h la velocidad media del objeto descrito por la ec.(5)cuando est cayendo entre 4 s y 6 s.

El resultado que obtenemos6, 3.17 km/h, es la velocidad media del objeto durante los 2 s que vandel instante t 4 s al t 6 s.

Ya hemos calculado la velocidad media del objeto que cae durante los 2 s que van de los 4 s a los 6 s.

Qu pasa si consideramos un incremento de tiempo ms corto?

5. En este curso no distinguiremos entre rapidez o celeridad y velocidad; hablaremos slo de velocidad. Tcnicamente, la rapidez oceleridad nos da el espacio recorrido por unidad de tiempo, mientras que la velocidad incluye, adems, la direccin y el sentido delmovimiento. La celeridad o rapidez es el mdulo del vector de velocidad. Como slo consideraremos distancias recorridas en unadireccin dada o a lo largo de una trayectoria, no es necesario hacer esta precisin.

6. El smbolo se lee aproximadamente igual a.

s

vt

v

v


A9

Calculad ahora (tambin en km/h) la velocidad media del objeto que cae, en los0.6 s que van de t 4 s a t 4.6 s.

Observa que ahora obtenemos 2.74 km/h, un valor diferente del valor medio obtenido antes,3.17 km/h, para otro intervalo temporal. Es decir, la velocidad media del mvil no es constante: vara

segn en qu intervalo de tiempo la calculemos!

Eso no es ninguna sorpresa: ya sabemos que el objeto cae por la pendiente cada vez ms deprisa, y, por

lo tanto, segn el intervalo de tiempo que consideramos, estaremos calculando valores medios de con-

juntos de velocidades diferentes.

3.5. Valor medio de una magnitud

Hagamos un inciso: Qu significa el trmino medio o media? Por ejemplo, qu entendemos cun-

do decimos que:

a) El nmero medio de hijos por pareja es de 1.8 hijos.

b) La calificacin media que ha obtenido un alumno en las asignaturas de primer curso de Telecomu-

nicacin es de 7.6 puntos.

c) La velocidad media del objeto que cae por el plano inclinado, entre t 4 s y t 4.6 s, es de 2.74 km/h.

A10

Qu significa el valor medio? Aplicad la definicin que deis de valor medio a losejemplos a), b) y c) anteriores.

Como el concepto de valor medio es importante, conviene que lo tratemos un poco ms.

A11

Aplicad el concepto de valor medio que se ha discutido en la actividad A10 paraexplicar qu significan las velocidades calculadas en las actividades A8 y A9.

3.6. Velocidad media

Por lo tanto, la velocidad media que hemos calculado en la actividad A9 es la velocidad que tendra el

cuerpo que cae desde el instante t 4 s y durante el intervalo de tiempo de 0.6 s, si se tratara de un mo-vimiento uniforme durante el intervalo t 0.6 s.

En general, dados dos puntos (t1, s1) y (t2, s2) de la trayectoria (figura 4) con s2 s1 s1 y t2 t1 t1, elclculo de la velocidad media en el intervalo de tiempo t t2 t1 se efecta as:

(8)

v

2 1

2 1

s s sv

t t t


Si trazamos la recta secante que corta la grfica de la funcin s(t) (figura 4), en los dos puntos (t1, s1) y

(t2, s2), el clculo de la velocidad media, definida mediante un cociente, corresponde al clculo de la tan-

gente del ngulo que forma la recta secante a la trayectoria7 con una recta horizontal (figura 4). La tan-

gente trigonomtrica de este ngulo, tan , se llama pendiente de la recta secante.

Figura 4: Recta secante que corta a la curva por los puntos que definen los incrementos de desplazamiento y de tiempo. El ngulo es el que forma la recta secante con una recta horizontal que pasa por el punto inicial del intervalo.

Como ya sabis, la tangente de un ngulo en un tringulo rectngulo se define como el cociente del ca-

teto opuesto al ngulo, por el cateto contiguo (figura 5):

(9)

Figura 5: Tringulo rectngulo, catetos a y b e hipotenusa c. La tangente del ngulo es

Por lo tanto, podemos decir que, para el tringulo de la figura 4, que tiene como catetos s y t, la pen-diente de la secante, ec.(8), es la velocidad media del objeto en el intervalo t:

(10)

7. Nota: en este mdulo el trmino trayectoria se utiliza como sinnimo de ecuacin del movimiento, aunque este uso no es totalmentepreciso. Es decir, cuando hablamos de trayectoria nos referimos a la curva que describe la ecuacin del movimiento s(t).

tanab

tan .ab

tanv


Ya sabemos que las funciones trigonomtricas (seno, coseno, tangente, etctera) no tienen dimensiones:

se calculan como cocientes de longitudes. Pero en el caso de la velocidad media de un mvil, los

catetos tienen dimensiones diferentes (espacio y tiempo) y, por lo tanto, el cociente tiene dimen-

siones de longitud/tiempo, es decir, de velocidad. Ms correctamente, pues, la ec.(10) se tendra que

escribir as:

(10)

No utilizaremos esta notacin tan recargada; sin embargo, hay que tener presente que las magnitudes

en fsica e ingeniera suelen tener dimensiones.

A la vista del significado grfico de la velocidad media, ya podemos interpretar cualitativamente, en el

caso de la cada por la pendiente, lo que hemos encontrado en las actividades A8 y A9: si el intervalo de

tiempo que consideramos para calcular el valor medio es menor, la velocidad media tambin es menor

(figura 6). La secante nmero 3 tiene ms pendiente que la secante 2, y sta ms que la 1, porque estamos

considerando intervalos de tiempo cada vez mayores, t2 t1, t3 t1, t4 t1, en un proceso en el que lavelocidad del objeto aumenta constantemente.

Figura 6: Tres secantes que pasan por el punto (t1, s1). Para una funcin creciente como la representada,cuando el valor del incremento de tiempo aumenta, la pendiente de la secante tambin aumenta.

A12

a) Escribid la expresin de la pendiente de las tres rectas secantes de la figura 6con los datos que se dan. Por ejemplo, la secante 1 es la que va del punto (t1, s1)al punto (t2, s2), etc.

b) Definid a qu llamamos pendiente de una recta.

Recordemos que la pendiente de las rectas secantes de la figura 6 representa la velocidad media del ob-

jeto cuando se mueve entre los dos instantes que definen la secante. Y esta velocidad media sera la que

unidades de

tan unidades de

sv

t


tendra que tener el objeto para moverse a velocidad constante durante el intervalo t y para tardar elmismo tiempo en recorrer s que en el movimiento real.

3.7. Velocidad instantnea

Como hemos visto en las actividades A8 y A9, la velocidad media de un objeto depende del instante t en

que la calculamos y del intervalo t que utilizamos para calcularla. Ahora bien, cul es la velocidad ins-tantnea, es decir, la velocidad que tiene en un instante determinado el objeto que cae por la pendiente?

Con el fin de llegar al concepto de velocidad instantnea, podemos pensar qu pasa si el intervalo de

tiempo que utilizamos en el clculo de la velocidad lo hacemos cada vez ms corto. En la figura 6 se ve

que las rectas secantes, trazadas desde el mismo punto (t1, s1), para incrementos de tiempo cada vez me-

nores, se acercan cada vez ms a la recta que es tangente a la curva en el punto (t1, s1).

Por ello, la velocidad instantnea del objeto que cae por la pendiente, en el instante t1, en que el objeto

est en el punto de desplazamiento s1, se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en aquel

punto (figura 7).

Figura 7: Recta tangente a la curva en el punto (t1,s1). La pendiente de esta recta es la velocidad instantneacalculada en t1.

Podemos escribir, simblicamente, para la velocidad instantnea v:

(11a)

Es decir, recordando la ec.(8):

(11b)

0lim tv v

0lim t

sv

t


A13

Supongamos que alguien ha medido (no importa cmo) la velocidad del objetoque cae por la pendiente en el instante t1 3 s, y el resultado es de 52.8 cm/s.Qu significa este valor?

La velocidad instantnea o velocidad en un instante se definir, pues, como aquella velocidad a la que

se desplazara un mvil por unidad de tiempo, a partir de aquel instante, si la velocidad se mantuviera

constante (es decir, si la posicin cambiara uniformemente con el tiempo).

Como sabemos, la representacin grfica de la velocidad instantnea es la de una recta tangente a la fun-

cin de desplazamiento en aquel instante de tiempo.

3.8. Clculo de la velocidad instantnea

Cmo podemos calcular analticamente, y no grficamente, la velocidad instantnea? Haremos opera-

tiva la definicin que hemos dado en la ec.(11b):

(11b)

Por ejemplo, calculemos la velocidad instantnea del objeto que cae por la pendiente en el instante

t 0.8 s. Tenemos que calcular el lmite para t 0 de la funcin de velocidad media obtenida para uninstante determinado y un incremento de tiempo determinado, (t, t). En primer lugar, escribiremosla expresin general de la velocidad media a partir de t 0.8 s y para un t genrico. Despus, calculare-mos el lmite de esta expresin cuando el incremento de tiempo tiende a cero.

A14

a) La posicin del cuerpo cuando t 0.8 s, s(0.8 s) ...b) La posicin del cuerpo en un t genrico posterior, t 0.8 t, s(0.8 t) ...c) El desplazamiento del cuerpo durante el incremento de tiempo t, s s(0.8t) s(0.8 s) ...d) La velocidad media calculada a partir de t 0.8 s, durante el intervalo t:

(0.8,t) s/t ...e) La velocidad en el instante t 0.8, v (0.8) ...

Por lo tanto, el objeto cae en el instante t 0.8 s a 14.08 cm/s, o sea, a unos 0.51 km/h.

Anlogamente, podemos calcular la velocidad del objeto en cualquier instante t: en primer lugar obte-

nemos la funcin (t, t) y despus calculamos el lmite cuando t tiende a cero.

0lim t

sv

t

v

v

v


A15

Repetid la actividad A14 para un instante t cualquiera, en lugar del instante par-ticular t 0.8 s. Comprobad en el foro de debate que el resultado coincide con elde vuestros compaeros.

3.9. Definicin de derivada de una funcin en un punto

En general, se define la derivada de una funcin s(t) en un punto determinado t, y la representamos con

el smbolo s', como el lmite del cociente incremental s/t cuando el intervalo de la variable indepen-diente tiende a cero:

(12)

Pero este procedimiento es el que se ha utilizado para calcular la velocidad instantnea, es decir:

v s' (13)

Por lo tanto, la velocidad instantnea es la derivada respecto al tiempo de la funcin espacio recorrido.

3.10. Recapitulacin

En la descripcin matemtica de procesos fisicoqumicos y de procesos de inters en ingeniera, especial-

mente los procesos que evolucionan en el tiempo, resulta conveniente introducir el concepto de valor

medio de una funcin, de valor instantneo, de lmite y de pendiente o derivada.

Ahora nos planteamos un nuevo problema: el de calcular incrementos de la funcin; y resultar conve-

niente la introduccin de un nuevo concepto: el de diferencial de una funcin.

0' lim t

ss

t


4. La derivada como un cociente de diferenciales

El problema que nos planteamos en este apartado es cmo calcular la evolucin o el cambio de una fun-

cin cualquiera, y(x), si conocemos el valor que tiene en un punto determinado, x. Discutiremos, en pri-

mer lugar, el caso concreto de un objeto que se desplaza y que caracterizamos con la funcin que da el

espacio recorrido en funcin del tiempo.

La cuestin es, pues: Conocido el valor s1 = s(t1), cunto vale la funcin en un instante posterior t1 t?En la figura 8 tenemos la representacin de la funcin s(t). Qu pasar si, a partir del punto (t1, s1), nos

movemos por la recta tangente en este punto y no por la curva que define la funcin? Si conocemos el

valor de la funcin en el punto t t1, s1 s(t1), y el valor de la pendiente de la funcin en el mismo punto,s'(t1), y queremos saber el valor de la funcin en el punto t1 t, entonces si nos movemos un incremen-to de tiempo t por la recta tangente, obtenemos el valor s1 AB, en lugar del valor exacto s1 s.

Esta idea nos permite introducir un nuevo concepto, el de diferencial de una funcin. Definimos la

diferencial de la posicin (ds) a partir de un instante t cualquiera (y de la posicin correspondiente s), y

para un intervalo arbitrario t. As, el diferencial de la funcin es lo que se desplazara el objeto a partirde este instante t y durante el intervalo de tiempo t si lo hiciera con velocidad constante. La expresinmatemtica de este concepto es la siguiente:

ds v t (14)

donde v es la velocidad instantnea del mvil en el punto t.

Figura 8: Para un incremento t de la variable independiente, podemos obtener dos incrementos de la variable dependiente: uno si nos movemos por la recta tangente, ds, y otro si nos movemos por la propia funcin, s.

Para la variable independiente, podramos escribir siempre t cuando hablamos de diferenciales, pero,por razones de simetra, haremos:

t dt (15)


Es decir, para la variable independiente, el concepto de diferencial y de incremento es equivalente.8 Es-

cribiremos la (14) as:

ds v dt (16)

Una vez introducido este nuevo concepto de diferencial, a partir de la misma definicin (14) o (16), ve-

mos que la definicin de velocidad instantnea se puede expresar operativamente como un cociente de

diferenciales:

(17)

En la figura 8 se representa grficamente qu significa la diferencial y qu significa el incremento de una

funcin. Si trazamos la recta tangente a la curva s(t) en el punto (t1, s1) y avanzamos desde este punto

un incremento de tiempo t hasta el punto t1 t t1 dt, vemos que:

Sobre la recta tangente estamos en el punto B, y el aumento de la variable s es ds (el valor de la dife-

rencial de s): la funcin pasa de la ordenada s1 (o punto A) a la ordenada s1 ds (punto B):

ds AB (18a)

Sobre la curva s(t) estamos en el punto C, y el aumento de la variable s es s: la funcin pasa de laordenada s1 (o punto A) a la ordenada s1 s (punto C):

s AC (18b)

Por lo tanto, si conocemos la curva s(t) y queremos calcular un incremento s, lo podemos obtener demanera exacta: s s(t t) s(t). Pero si no conocemos la funcin s(t) y en cambio s conocemos laderivada en un punto (es decir, si conocemos cmo vara la funcin en un punto), slo podemos calcular

el diferencial de la funcin, ds, que es una aproximacin al valor de s, ds s' dt.

4.1. Diferencial y derivada de una funcin

De una funcin podemos calcular, pues, la derivada y la diferencial. Estas magnitudes tienen dimensio-

nes y significado fsico bien diferentes.

A16

En vista de la figura 8 y de la definicin de funcin tangente, ec.(9), explicad ycomentad la expresin (17), v ds/dt.

8. Otra manera de ver que es lcito hacer t dt es aplicar la definicin (14) a la funcin t t (o, en trminos matemticos generales, a lafuncin y t). La ec.(14), aplicada a y t, da dy 1 t t; pero como y t, podemos sustituir y por t en el primer miembro de laigualdad dy t, y obtenemos dt t.

dd

sv

t


Los conceptos de velocidad media, de velocidad instantnea y de diferencial que hemos introducido

para poder conocer detalles de un movimiento son de carcter general. Son aplicables a cualquier otra

funcin matemtica. Para una funcin cualquiera, y y(x), escribiremos:

(19a)

(19b)

dy y ' dx (19c)

Como hemos visto, la derivada de una funcin en un punto tiene el significado geomtrico siguiente:

es la tangente trigonomtrica del ngulo que forma con el eje X la tangente geomtrica a la curva en ese

punto.

Por otra parte, la diferencial de una funcin, para un incremento dado de la variable independiente, ex-

presa el incremento del valor de la funcin que obtendramos si la pendiente de la funcin se mantu-

viera constante en todo el incremento de la variable independiente.

Tenemos, pues, tres maneras de representar simblicamente la derivada de una funcin, ecs.(19a y 19b):

(20)

4.2. Sobre el concepto de lmite

Mientras que la expresin (19b) no es ms que un cociente de dos magnitudes diferenciales, el concepto

de lmite de un cociente, como el de la expresin (19a), es un concepto diferente de un cociente.

Consideremos un ejemplo sencillo: la funcin y(x) 1/x. Si damos algunos valores a x, como 10,100, 1 000, ..., obtendremos, respectivamente, y 0.1, 0.01, 0.001... Por lo tanto, podemos escribir que:

(21)

Ahora bien, si tabulamos la funcin y(x), nunca aparecer en la tabla de valores de la funcin el valor

y 0. Con la definicin de lmite nos hemos inventado un concepto nuevo, que origina valores de lafuncin que en algunos casos, como en el de la ec.(21), pueden no ser valores que toma la funcin.

(Recordad tambin el comentario que hicimos en la solucin de la actividad A13 sobre el significado de

la velocidad instantnea, otro concepto til que hemos introducido.)

De hecho, tendramos que decir que todas las definiciones, leyes, modelos, etctera, que utilizamos en

matemticas, fsica e ingeniera son conceptos mentales. Quin ha visto alguna vez una recta ma-

temtica ideal, un punto material, una fuerza, una onda electromagntica? Los conceptos y las

0' lim x

yy

x

d'

dy

yx

0d

' lim tan d x

y yy

x x

1lim lim 0x xy x


definiciones nos sirven como herramientas para describir y entender mejor el mundo donde vivimos,

para desarrollar modelos matemticos e imgenes mentales de los procesos que observamos.

4.3. Continuidad, derivabilidad

En el ejemplo (21), el valor de la funcin nunca coincide con el valor del lmite. En general, sin embargo,

ste no ser el caso, y el valor de la funcin y el del lmite coincidirn. Calculemos, por ejemplo, el lmite

de la funcin y 1/x para x tendiendo a 5:

(21)

La funcin s toma este valor, y 0.2, en x 5. Como ya sabemos de otros cursos de matemticas, loslmites de una funcin en un punto se pueden tomar por un lado o por el otro del mismo (lmite por la

derecha y lmite por la izquierda); por ejemplo, para valores crecientes de x que acaben en x 5, o paravalores decrecientes de x que acaben tambin en x 5. Y si la funcin tiene el mismo lmite por los doslados y ste es un valor finito, decimos que existe el lmite de la funcin en este punto. Adems, si el

valor de este lmite coincide con el valor de la funcin en este punto, decimos que la funcin es conti-

nua en este punto, x 5.

Por tanto, una funcin es continua en un punto x a cuando los lmites de la funcin (momento en elque nos acercamos al punto a por ambos lados) coinciden:

(22)

Y, adems, el valor de este lmite coincide con el valor de la funcin en este punto a:

limx a y(x) y(a) (23)

Por ejemplo, si calculamos los lmites laterales (por la izquierda y por la derecha) cuando x tiende a 0 de

la funcin definida a trozos:

(24)

tenemos que:

limx0 (x) 2 y limx0 (x) 1

A17

Representad grficamente la funcin definida a trozos (24).

5 5 1lim lim 0.2x xy x

lim ( ) lim ( ) lim ( )x ax a x ay x y x y x

2 2 2 si 0( ) 4 si 0

1 si 0

x x x

x x

x x


Puesto que los lmites laterales no coinciden, la funcin no es continua en este punto. En este caso se

dice que la funcin presenta una discontinuidad de salto en x 0.

Pero qu ocurre con la funcin:

(25)

en el punto x 0?

A18

Representad grficamente la funcin definida a trozos (25).

En este caso, los lmites laterales coinciden:

limx0 (x) 2 y limx0 (x) 2

Esto significa que existe el lmite en este punto y vale 2. Puesto que (0) = 4, podemos decir que lafuncin no es continua en el punto x 0. En este caso, decimos que la funcin presenta una disconti-nuidad evitable en este punto.

Por ejemplo, la funcin:

(26)

es continua en cualquier punto, excepto en aquellos que anulan el denominador, es decir, el punto x 3;por ejemplo, en el punto x 0, vale y(0) 1/3; en el punto x 1, vale y(1) 1/2; en el punto x 2, valey(2) 1. De hecho, cuando nos vamos acercando a x 3 por la izquierda, los valores de la funcin cadavez son mayores, y cuando lo hacemos por la derecha, cada vez son menores. Observamos que, en este

caso, los lmites laterales tienden a y a , y decimos que la funcin presenta una discontinuidadasinttica en este punto:

(27)

De hecho, siempre que el valor del lmite de una funcin en un punto sea o , diremos que la fun-cin presenta una discontinuidad asinttica.

A19

Representad grficamente la funcin (26).

2 2 2 si 0( ) 4 si 0

2 si 0

x x x

x x

x x

1( )

3y x

x

3

3

lim ( )

lim ( )x

x

y x

y x


Una propiedad de las funciones que se puede demostrar, y que es bastante intuitiva, es que si una fun-

cin es derivable en un punto, entonces es continua en aquel mismo punto. La proposicin inversa

no es cierta: toda funcin continua en un punto no es necesariamente derivable en aquel punto, como veremos

a continuacin.

A20

Representad grficamente la siguiente funcin:

(28)

(Recordad que la funcin mdulo, o valor absoluto, , es el resultado de calcularx 2 y cambiarle al resultado el signo a positivo si resulta negativo.)

En un punto cualquiera de la funcin de la ec.(28) (salvo el punto x 2), sta es continua y derivable.En el punto x 2, la funcin es continua y vale y(2) 1, como se puede comprobar fcilmente tomandolos lmites para x 2 y x 2. Sin embargo, la derivada de la funcin no existe, como comprobarisen la actividad siguiente.

A21

Comprobad que la funcin (28) no es derivable en el punto x 2. Por ejemplo,podis escribir la funcin para x > 2 as:

(29)

Calculad su derivada y mirad cunto vale cuando os aproximis al punto 2 (desdevalores superiores a 2).

Anlogamente, escribid la expresin (28) para x < 2 y calculad la derivada; luegoaproximaos a x 2 desde valores inferiores a 2.Veris que obtenis valores diferentes de la pendiente de la curva en aquel punto,segn por el lado que os aproximis.

El resultado de la actividad anterior, en que la funcin es continua en x 2 pero no es derivable en esepunto, se puede entender grficamente de manera sencilla: la representacin de la funcin (28) que vi-

mos en la actividad A20 muestra que las pendientes de la funcin (28) son siempre positivas y crecientes,

conforme nos aproximamos al punto x 2 por la izquierda, mientras que las pendientes son decrecientesy negativas conforme nos alejamos del punto x 2 por la derecha. Como la pendiente no es la mismacuando nos acercamos al punto x 2 por los dos lados, decimos que la funcin no es derivable en estepunto, a pesar de ser continua.

A22

Recapitulemos: elaborad un esquema muy breve de lo que hemos visto y hemosaprendido hasta ahora. En particular, recordad la definicin y el significado gr-fico de cmo calcular y para qu sirve:

a) la derivada,b) la diferencial.

Volveremos ms adelante a otras aplicaciones de los conceptos de derivada y de diferencial. A continua-

cin, nos planteamos si podemos caracterizar un proceso con derivadas de orden superior.

1( )

1 2y x

x

2x

1 1( )

1 2 1y x

x x


5. Aceleraciones

Una de las tareas del ingeniero es avanzar en la resolucin de los problemas tcnicos que se le presenten.

Para ello, hay que aprender a plantear preguntas, resolver problemas e inventar conceptos y tcnicas

analticas, o aprovechar las existentes.

Por ejemplo, en la vida diaria hablamos a menudo de aceleracin y de frenazo: las aceleraciones o fre-

nazos de un coche, las desaceleraciones de los valores de las acciones en bolsa, las aceleraciones en el

ndice de precios (Se ha acelerado el coste de la vida...), etc. Cmo tratamos las aceleraciones?

Volvamos al ejemplo 2 del apartado 3: el objeto que cae por una pendiente. Sabemos que, en gene-

ral, el movimiento de cada es acelerado: el objeto cae ms rpidamente a medida que pasa el tiem-

po. Cmo caracterizamos esta propiedad? La fsica introduce el concepto de aceleracin: En un

movimiento que tiene una trayectoria9 s(t) y una velocidad instantnea v(t), llamamos aceleracin

a la variacin de la velocidad que se da por unidad de tiempo. Anlogamente a como hicimos con

la velocidad, podemos definir conceptos como la aceleracin media y la aceleracin instantnea.

A23

a) Cul ser la expresin de la aceleracin media y de la aceleracin instantnea?(Recordad los apartados 3.6 y 3.7: velocidad media y velocidad instantnea.)

b) Calculad, por ejemplo, la aceleracin que tiene un vehculo que pasa de unavelocidad de 40 km/h a 60 km/h en 3 segundos.

c) Calculad la aceleracin instantnea que tiene el objeto que cae por la pendien-te de la figura 1. (Recordad el resultado v 17.6 t de la actividad A15.)

Una vez hemos definido el concepto de derivada de la funcin velocidad, y anlogamente a como hici-

mos en el caso de la funcin espacio recorrido, podemos introducir el concepto de diferencial para la

funcin velocidad:

dv a dt (30)

que tiene la misma interpretacin y las mismas propiedades que cualquier diferencial.

Los mismos conceptos que hemos utilizado para calcular velocidades y la operativizacin de stas se pue-

den repetir para el caso de las aceleraciones. Por ejemplo, podemos obtener aceleraciones instantneas

a partir del clculo de aceleraciones medias, (t, t), y su lmite cuando t 0:

(31)

9. Aclariment: en aquest mdul el terme trajectria es fa servir acom a sinnim dequaci del moviment , tot i que aquest s no s del totprecs. s a dir, quan es parla de trajectria ens estem referint a la corba que descriu lequaci del moviement s(t).

a

0 0d

lim ( , ) lim 'dt t

v va a t t v

t t


Adems, si recordamos la definicin (17) de velocidad instantnea como la primera derivada del espacio

recorrido respecto al tiempo, podemos escribir la expresin anterior de la aceleracin como la derivada

segunda del espacio recorrido respecto al tiempo dos veces:

(32)

5.1. Derivadas de orden superior

Y por descontado, este proceso de derivacin puede continuar sin ms lmite que el que imponga la

funcin que estamos derivando: puede que en algn momento del proceso de derivacin la funcin

deje de ser derivable o que se anule; en este segundo caso, todas las derivadas posteriores se anularn.

As, para una funcin cualquiera y y(x), podremos tener un nmero ilimitado de derivadas:

y ', y '', y ''', y IV, yV, (33a)

que tambin podemos escribir as:

(33b)

Slo en el caso de la primera derivada podemos hablar de cociente de diferenciales, con el significado

geomtrico que hemos visto en el apartado 4.

En el caso particular de los movimientos de los objetos, no suele ser necesario hablar ms que de velo-

cidades (primera derivada del desplazamiento respecto al tiempo) y aceleraciones (segunda derivada del

desplazamiento respecto al tiempo dos veces). Pero en otros problemas, puede ser conveniente trabajar

con derivadas de orden superior. E incluso veremos en el apartado 6 que a veces puede ser til calcular

infinitas derivadas.

5.2. Propiedades de las funciones derivadas y derivadas de las funciones

elementales

El clculo de derivadas de funciones, por lo tanto, aparece repetidamente en las aplicaciones de las

matemticas a la resolucin de problemas de la ciencia o de la ingeniera. Por ejemplo, si queremos

calcular la velocidad a la que se enfra el caf del ejemplo con el que empezamos este tema, ec.(1),

tendramos que calcular dT/dt. Obtendramos dT/dt 0.02 C/s 1.2 C/minuto. El caf se enfraal ritmo de 1.2 C cada minuto.

Aprovechemos que hemos desarrollado un procedimiento para calcular derivadas (actividades A14 y

A15) y apliqumoslo a otros ejemplos.

2

2d d d

' ''d d d

s sa v s

t t t

2 3 ( ) ( ) ( )

2 3 ( ) ( ) ( )d d d d d d

, , , , ... ...d d d d d d

iv v n

iv v ny y y y y yx x x x x x


A24

Calculad la funcin derivada de una funcin potencial de tercer grado, y Ax3.(Seguid el mismo procedimiento que en la actividad A15.)

De manera anloga a como hemos procedido en las actividades A15 y A24, se pueden demostrar las pro-

piedades generales de las derivadas de las funciones que se recogen en la tabla 2, as como las frmulas

de las funciones derivadas de las funciones elementales que se recogen en la tabla 3.

A25

Completad la tabla 2 con los enunciados verbales de las propiedades que faltan.

Tabla 2. Propiedades de las derivadas de las funciones

A26

Completad algunas filas de la tabla 3 con los enunciados verbales de las propie-dades que faltan. (Completad al menos hasta la funcin coseno.)

Tabla 3. Derivadas de algunas funciones elementales, y y(x)

Funcin, y Derivada, y '

A y A y ' La derivada de una funcin multiplicada por una constante es el producto de esta constante por la derivada de la funcin.

y z y ' z ' La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada funcin.uv u 'v uv 'u/v (vu ' uv ')/v2

Funcin,y y(u) con u u(x).

Es decir, y y(u(x))

Derivada,

y x y ' 1

y um y ' mum1u 'La derivada de una potencia de una funcin de x es igual al exponente, por la base elevada al exponente, menos una unidad, por la derivada respecto a x de la funcin.

y eu y ' u ' euy au y au u ' ln a

y ln u

y loga u

y sin u y ' u ' cos uy cos u y ' u ' sin u

y tan u

y arcsin u

y arccos u

y arctan u

d'dy

yx

d d dd d dy y ux u x

'' uyu

'' log eauy u

2 2'

' (1 tan ) 'cos

uy u u

u

2

''

1

uy

u

2

''

1

uy

u

2'

'1

uy

u


Tenis que memorizar las frmulas de las tablas 2 y 3, pero la mejor manera de hacerlo es mediante la

resolucin de ejercicios.

A27

Calculad la funcin derivada de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

Nota: Haced todos los ejercicios de derivacin a mano, aunque podis utilizar lacalculadora Wiris para comprobar que todo va bien.

A28

a) Calculad la derivada nsima de la funcin y ex.b) Calculad la derivada nsima de la funcin . Si tenis dificultades,comentadlas en el espacio del foro.

Ahora veremos una primera aplicacin de las derivadas mltiples de una funcin.

2 2sin( ) e x xx

3 4( ) ln (sin ) cos 2

2x

g x xx

2

12 2

( )1

ex

x xh x

xx

sin2x

y


6. Representacin de una funcin como un polinomio

Calculad el valor de la funcin y y(x) siguiente para x 0.2:

(34)

Obtendris, por supuesto, que y(0.2) 1.25. Ahora suponed que podemos expresar la funcin 1/(1 x)como una suma de potencias de x del siguiente tipo:

(35)

Calculad, a partir de la expresin anterior, el valor de la funcin en x 0.2, tomando algunos trminosdel polinomio.10

A29

Cuntos trminos de la suma (35) tenis que considerar para llegar a un valor y > 1.24 para x 0.2?

Habis visto en la actividad anterior que cada vez que inclus un trmino ms en el polinomio de la

ec.(35), os acercis ms al valor exacto 1.25 de la funcin (34). De hecho, se puede demostrar que, si

calculis la suma de infinitos trminos, las dos funciones (34) y (35) coinciden. Por lo tanto, una suma

infinita de trminos puede dar un valor finito.

Para un valor negativo de x, la serie (35) es un ejemplo de serie alternada, es decir, una serie donde los

signos de los sumandos son, alternativamente, positivos y negativos.

A30

Cuntos trminos tenis que considerar en la suma de la ec.(35) para llegar a unvalor y > 0.99 para x 0.01?

Fijaos en que cuando el valor de la variable es pequeo, como en la actividad A30 (x 0.01), con pocostrminos de la suma infinita (35) ya nos acercamos rpidamente al valor exacto de la funcin.

6.1. Cmo calcula una calculadora de bolsillo o un ordenador una exponencial;

por ejemplo, el valor e1.23?

Alrededor de un punto determinado, cualquier funcin que cumpla algunas propiedades bsicas (que

sea derivable, por ejemplo) se puede desarrollar en una serie de infinitos trminos que se llama frmula

10. Tal vez reconoceris en la ec.(35) la suma de una serie geomtrica de razn x.

11

yx

2 3 4 51( ) 1

1y x x x x x x

x


de Taylor. En el apartado siguiente veremos su aspecto general. De momento, calcularemos la funcin

exponencial mediante este desarrollo en serie de Taylor, que no vamos a demostrar por ahora:

(36)

A31

a) Calculad con una calculadora de bolsillo (o con Wiris) el valor de, porejemplo, e1.23.

b) Cuntos trminos de la suma infinita (36) tenis que considerar para llegar aun valor y > 3.4?

Haced lo mismo para el valor x 0.1 Cuntos trminos necesitis para tener trescifras exactas del resultado?

Repetiremos aqu lo que hemos dicho despus de la actividad A30: podis comprobar fcilmente, tanto

en la expresin (35) como en la (36), que si el valor de la variable x es pequeo, con pocos sumandos

que sumis, ya tenis una buena aproximacin al valor exacto de la funcin que da, por ejemplo, la

calculadora de bolsillo.

Hagamos un inciso sobre la exactitud de los clculos

Es cierto que las matemticas son una ciencia exacta? Por ejemplo, si calculis el valor de 1/3, cul

es su valor exacto?

1/3 0.3333333333...

Nunca podremos escribir el resultado con un nmero finito de cifras decimales.

En muchas ocasiones, sobre todo en aplicaciones de las matemticas a la fsica y a la ingeniera, nos en-

contramos con valores aproximados como resultado de una medida experimental o de un clculo.

En una serie alternada, como la de la ec.(35) para x < 0, se puede demostrar que si nos detenemos en un

trmino determinado, el error que se comete en una suma es menor que el trmino siguiente (en valor

absoluto), aquel que no incluimos en la suma. Por ejemplo, si calculamos el valor de la serie para x < 0

y nos detenemos en el trmino x6, el error que se comete es menor que

A32

a) Qu error cometemos si calculamos y(0.5) con el desarrollo en serie deTaylor (35) y nos detenemos en el trmino nmero 3?

b) Y si nos detenemos en el trmino nmero 7?

6.2. La frmula de Taylor

La expresin que permite obtener desarrollos en serie de funciones (que sean derivables) es sta:

(37)

2 3 4 5e 1

1! 2! 3! 4! 5!x x x x x x

7 .x

2 3

( ) ( ) '( ) ''( ) '''( )2! 3!h h

x h x h x x x


No deduciremos la frmula anterior, pero aprenderemos a utilizarla.

Este desarrollo indica que si conocemos el valor de la funcin (x) y de todas sus derivadas en un punto

determinado, x, podemos calcular el valor exacto de una funcin en un punto vecino cualquiera, x h,si somos capaces de sumar la serie infinita.

Ya hemos visto en las actividades A30, A31 y A32 que si no conocemos el valor de todas las derivadas

de la funcin en el punto x, el precio que pagamos es que el clculo del valor de la funcin en el punto

x h ya no ser exacto.

Tambin hemos comprobado en los ejercicios anteriores que, si el incremento h es pequeo, si cogemos

unos cuantos trminos de la suma infinita (serie), ya obtenemos una buena aproximacin a la funcin.

La frmula de Taylor permite demostrar expresiones como la serie (35) o (36).

El desarrollo en serie de Taylor en torno al origen, es decir, en el punto x 0, es muy habitual:

(37)

(Si comparis la (37) con la (37), veris que primero se ha hecho x 0 en la (37), y luego se ha reempla-zado el valor h por x porque es ms habitual escribir el desarrollo de esta forma.)

El desarrollo (37) dice que toda funcin infinitamente derivable en el cero se puede escribir como una

serie que contiene el valor de la funcin y sus derivadas calculadas en el origen de coordenadas, y cada

trmino de la suma se multiplica por una potencia de x creciente.

A33

Comprobad que la expresin (37) os permite calcular los primeros 4 trminos dela expresin (34). (Y, anlogamente, se hara el clculo del resto de la serie.)

Y ahora deduciremos otra frmula de Taylor; esta vez para una funcin trigonomtrica.

A34

Obtened los primeros cinco trminos del desarrollo en serie de la funcin y sin xen torno al punto x 0.

Hemos obtenido una serie alternada; por lo tanto, el error que se comete si nos detenemos en un trmino

cualquiera de la serie es menor que el trmino siguiente, aquel que no incluimos en la suma.

Otra serie interesante es la que da el valor de la funcin coseno desarrollada entorno del punto x 0:

(38)

2 3

( ) (0) '(0) ''(0) '''(0)2! 3!x x

x x

2 4 6 8cos 1 .

2! 4! 6! 8!x x x x

x


A35

Calculad el valor del coseno de 0.1 radianes con tres cifras decimales exactas apartir de la serie alternada (38).

Y las series infinitas no slo se pueden sumar; por ejemplo, tambin se pueden derivar o integrar. Ve-

moslo!

A36

a) Derivad la expresin (36) y comprobad que el resultado tiene sentido, es decir,que obtenis la expresin de la derivada de la funcin ex.

b) Derivad la expresin (38) y comprobad, a la vista del resultado de la actividadA34, que el resultado tiene sentido, es decir, que obtenis la expresin de la deri-vada de la funcin cos x.

El radin

Puesto que ahora nos hemos encontrado por primera vez con el clculo de valores concretos de las fun-

ciones trigonomtricas, haremos un inciso. Contestad en la actividad siguiente qu es un radin y por

qu 2 radianes equivalen a 360.

A37

a) Por qu una circunferencia tiene 360?

b) Algunas calculadoras de bolsillo tienen tres modos para trabajar las funcionestrigonomtricas: DEG, RAD, GRA. El ngulo que subtiende una circunferenciacompleta en el primer caso es de 360, en el segundo 2 6.283185... radianes yen el tercero, 400. Cmo es posible que hablemos de valores tan diferentes paraun mismo ngulo?

c) Cmo se define un radin? Qu dimensiones tiene, es decir, en qu unidadse tienen que medir los ngulos?


7. Nociones sobre funciones de varias variables

Hemos repasado algunas cuestiones bsicas asociadas a las funciones reales de variable real, (x), y he-

mos trabajado diversos aspectos del concepto de derivacin. A veces es necesario trabajar con funciones

de ms de una variable. Veremos algunas de sus propiedades bsicas; despus, introduciremos el concep-

to de derivada parcial y mencionaremos algunas de sus propiedades.

7.1. Funciones de ms de una variable

Ya sabemos qu representa una funcin como sta:

y(x) ax b (39)

que podemos escribir en la forma:

Ax By 0 (40)

Y conocis de la asignatura de lgebra lineal ecuaciones como la siguiente:

Ax By Cz 0 (41)

A38

Qu objeto geomtrico representan las funciones (39) a (41), grficamente?

En tres dimensiones, el objeto geomtrico ms sencillo es una superficie plana. Podemos expresarla

como una funcin lineal, ec.(41), donde las potencias de todas las variables son 0 o 1.

En general, una funcin de dos variables tiene la forma z (x, y). Las funciones del tipo:

z (x, y) (42)

donde x e y, son variables independientes, y z, es la variable dependiente o funcin, representan super-

ficies en un espacio de tres dimensiones. Es decir, en un sistema de coordenadas X, Y, Z obtenemos una

superficie tridimensional.

Por ejemplo, en la figura 9 se representa la siguiente funcin:

(43) 2 22 2 4z x y


Figura 9: Representacin grfica de la funcin (43).

Se trata de un paraboloide elptico; es un ejemplo de funcin cuadrtica porque la potencia mxima de

las variables independientes es 2.

La ecuacin de un plano se puede escribir en la forma (42) si despejamos la variable z. Obtenemos:

(x, y) Ax By D

Una forma sencilla de graficar un plano es encontrar los puntos donde el plano corta los tres ejes de

coordenadas, y luego unir estos puntos y formar el tringulo correspondiente. Este tringulo es parte del

plano, y nos dar una idea adecuada de qu aspecto tiene el plano.

A39

Encontrad los puntos de corte del plano siguiente con los ejes de coordenadas:

Representad el resultado grficamente (representad el plano).

Las funciones del tipo:

w (x, y, z)

son superficies cuatridimensionales (que no podemos representar en un espacio 3D).

Cmo son los dominios de funciones de ms de una variable?

Recordemos que el dominio de una funcin de una variable y (x) consiste en todos los valores de xque podemos introducir en la funcin y obtener como resultado un nmero real. Se trata de un intervalo

(o intervalos) de la recta real, es decir, de un espacio unidimensional.

12 3 4z x y


El dominio de una funcin de dos variables, z (x, y), sern las regiones del espacio bidimensional for-mado por parejas de coordenadas (x, y) que podramos introducir en la funcin y con las que podramos

obtener un nmero real.

A40

Determinad el dominio de las siguientes funciones:

a)

b)

c) (x, y) In (9 x2 9y2)

Anlogamente, el dominio de funciones de tres variables w (x, y, z) sern regiones del espacio tridi-mensional.

Derivadas parciales

Se puede introducir el concepto de derivada parcial de una funcin de ms de una variable. Recordemos

el significado de derivada de una funcin.

La derivada '(x) de una funcin de una variable (x) representa el ritmo de cambio de la funcin con-

forme cambia x.

Cuando tenemos una funcin de ms de una variable, hemos de decidir cul de ellas deseamos cam-

biar para ver cmo se modifica la funcin. Pero podemos cambiar las variables de infinitas maneras.

Adems, cada variable puede cambiar a un ritmo diferente; por ejemplo, una de las variables podra

cambiar mucho ms rpidamente que la otra. Y estos cambios pueden tener efectos diferentes sobre

la funcin.

Empezaremos por la situacin ms sencilla, en la que slo cambiamos una variable independiente,

mientras dejamos constantes las dems.

Comenzaremos con un ejemplo, la funcin (x, y) 2x2y3, y determinaremos el ritmo al que cambia lafuncin en un punto (a, b) si mantenemos constante el valor de y y permitimos que x vare, o bien si

mantenemos constante el valor de x y permitimos que y vare.

En el primer caso, si mantenemos constante el valor de y, significa que siempre tendr el valor y b,pero permitimos que x vare. Por tanto, podemos definir una nueva funcin de la manera siguiente:

g(x) (x, b) 2x2b3, que es una funcin de una variable que ya sabemos tratar. Sabemos determinar elvalor de la funcin y de su derivada en el punto x a:

g '(a) 4ab3 si mantenemos y b constante.

Llamamos g '(a) la derivada parcial de (x, y) respecto a x en el punto (a, b), y lo representaremos de la

siguiente forma:

x(a, b) 4ab3

( , )x y x y ( , )x y x y


O tambin:

Ahora calculemos la variacin de la funcin para x fijo, x a. Podemos definir una funcin de y y deri-varla como ya sabemos hacer para funciones de una sola variable. Resulta:

h(y) (a, y) 2a2y3 h '(b) 6a2b2

La escribiremos en una forma anloga a la anterior:

y(a, b) 6a2b2

Estas dos derivadas parciales se denominan tambin derivadas parciales de primer orden. Podemos de-

finir de manera anloga derivadas parciales de cualquier orden.

Fijaos que las derivadas parciales no se pueden representar con una sola prima ', como las derivadas

llamadas totales (las derivadas de funciones de una sola variable). Siempre hay que especificar con res-

pecto a qu variable se est derivando.

En general, para el ejemplo que hemos visto, escribiremos:

x(x, y) 4xy3 y y(x, y) 6x2y2

En resumen, el clculo de derivadas parciales de funciones de ms de una variable es muy similar al del

clculo de derivadas de funciones de una variable: basta con tomar la variable y como constante cuando

derivemos respecto a x, x(x, y), y viceversa cuando calculemos y(x, y).

La definicin formal de la derivada parcial es similar a la que dimos para funciones de una sola variable,

ec.(12):

Y en cuanto a las notaciones que se suelen emplear, dada la funcin z (x, y), ya hemos visto algunasde las siguientes:

Fijaos en que las derivadas parciales se representan como cociente con una letra similar a una delta, y

no con una d:

3( , ) 4

x a

y b

f x yab

x

0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) limx yh h

x h y x y x y h x yx y x y

h h

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x x x x

y y y y

zx y x y z D

x x xz

x y x y z Dy y y

d( ) '( )

d

( , ) ( , ) y ( , )x y

x xx

x y x y x yx y


Y ahora resolveremos algunos ejercicios.

A41

Calculad las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

a)

b) w x2y 10y2z3 43x 7 tan (4y)

c)

d)

Y algunos ejercicios ms.

A42

Calculad las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

Por tanto, debemos recordar que cuando calculemos una derivada parcial respecto a una variable, hay

que tratar las otras variables como constantes.

Derivacin implcita

Tanto para funciones de una variable como de varias variables, se puede dar el caso de que, dada una

expresin implcita de una funcin (4x 3 y 0, por ejemplo), necesitemos tener su derivada (derivadaimplcita).

Por ejemplo, si deseamos calcular la derivada dy/dx de la funcin 3y4 x7 5x, sta se puede calcular sinnecesidad de aislar la funcin y(x) (lo que a veces es imposible o muy difcil,) siempre que pensemos que

y es funcin de x y tratemos las funciones de y por la regla de la cadena, y aadamos un trmino dy/dx

al resultado.

En el ejemplo anterior, derivamos ambos miembros respecto a x y escribimos:

Esta expresin tambin puede escribirse as: 12y3y ' 7x6 5.

4( , ) 6 10x y x y

7 2 4739( , ) ln ( )h s t t s st

2 354( , ) cos ex y yx yx

29

5u

zu v

2

sin ( )( , , )

x yg x y z

z

2 21n (5 3 )z x x y

3 6d12 7 5d

yy x

x


Y si despejamos la derivada que buscamos, resulta:

Tambin podemos escribirlo as:

.

Obviamente, el resultado queda tambin como una funcin implcita, porque no podemos despejar la

derivada en funcin slo de x.

La derivacin implcita funciona de la misma manera con funciones de varias variables. Si tenemos una

funcin de tres variables, x, y, z, tomaremos z como funcin de las otras dos variables:

z z(x, y)

Y siempre que derivemos z respecto a x, usaremos la regla de la cadena y multiplicaremos el resultado por:

Y de la misma manera, cuando derivemos z respecto a y, multiplicaremos el resultado por:

Veamos un ejemplo.

A43

Calculad:

para las dos funciones siguientes:

a) x3z2 5xy5z x2 y3b) x2 sin (2y 5z) 1 y cos (6zx)

Interpretacin de las derivadas parciales

Las interpretaciones de las derivadas de funciones reales de una variable tambin valen para funciones de

diversas variables, con ligeras modificaciones, porque ahora estamos tratando con ms de una variable.

La primera interpretacin es la ms importante. De la misma manera que con funciones de una sola

variable, las derivadas parciales representan el ritmo de cambio de la funcin para cambios de la va-

riable respecto a la cual derivamos, de manera que se mantienen constantes las otras variables.

6

3d 5 7d 12

y xx y

6

35 7

'12

xy

y

zx

zy

yz zx y


A44

Determinad si la funcin:

es creciente o decreciente en el punto (2, 5).

Como hemos visto en la actividad anterior, la funcin es creciente cuando crece x y la variable y perma-

nece constante; y la funcin es decreciente cuando crece y y la variable x permanece constante.

Eso no es extrao. La figura siguiente muestra un ejemplo de una funcin que tiene un comportamiento

en el que crece para una variable y decrece para la otra. La funcin crece a lo largo del eje Y y decrece a

lo largo del eje X.

Figura 10: Paraboloide hiperblico

La segunda interpretacin del significado de las derivadas es el siguiente: '(a) representa la pendiente

de la recta tangente a la funcin y (x) en x a.

De la misma manera, x(a, b) y y(a, b) representan las pendientes de las rectas tangentes, pero para unas

curvas particulares, las que resultan de intersectar la funcin (x, y) con los siguientes planos:

la derivada parcial x(a, b) es la pendiente de la curva que resulta de cortar la funcin (x, y) con el

plano y b en el punto (a, b); la derivada parcial y(a, b) es la pendiente de la curva que resulta de cortar la funcin (x, y) con el

plano x a en el punto (a, b).

A45

Calculad las pendientes de la funcin z 10 4x2 y2 en el punto (1, 2) y elabo-rad un esquema de la funcin y del significado de las pendientes.

Con este ejercicio terminamos esta breve introduccin al concepto de derivadas parciales. Son muchas

las aplicaciones de las mismas, como se ir viendo en las diferentes asignaturas de la carrera.

Tras la introduccin del concepto de derivada y el breve acercamiento a las derivadas parciales, estudia-

remos en el prximo mdulo la operacin inversa a la derivacin: la integracin.

2

3( , )x

x yy


Recapitulacin: qu hemos aprendido en este mdulo?

A46

Confeccionad un esquema de lo que habis aprendido en este mdulo (expresio-nes, conceptos, trminos, etctera).

Comentad, tambin, qu os ha resultado ms sencillo y ms difcil de entender.Aadid a la lista aquellos conceptos, aplicaciones, herramientas, etctera, queconsideris que todava no entendis o no manejis con soltura.


Resolucin de actividades

A1

Obtendris una representacin grfica parecida a la de la figura 1s.

Figura 1s. Representacin de los datos de la tabla 1.

A2

Figura 2s. Representacin de los datos de la tabla 1 (los puntos) y de la recta que se les ajusta, ecuacin(1).

A3

Resulta, de la ecuacin (1),

a)

t (s) T (C), ecuacin (1) T (C), tabla 1

90 54.4 54.4

360 48.8 49.0


b)

Los valores, interpolados y extrapolados, t = 190 s y t = 500 s, y los calculados a partir de la recta de la ecuacin (1), respec-tivamente, parecen razonables a la vista de los valores de la tabla.

El valor para 3 000 s no es razonable: un caf no se enfriar ms que la temperatura ambiente, y si no estamos en Siberiano deberamos estar a 4 bajo cero!

A4

Hay proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando en el caso de que una magnitud se duplique, por ejemplo, laotra tambin lo hace. Es decir, las dos magnitudes aumentan o disminuyen de manera que la relacin entre ellas se man-tiene constante, es decir, y/x = k = constante.

Ejemplos: el coste de comprar barras de pan, gasolina, etc. es proporcional a la cantidad de barras o de litros que se compran.

A5

Las expresiones (2a), (2b) y (2c) pueden representar rectas de pendiente diferente, positiva o negativa, y que abarcan diversoscuadrantes del plano XY.

a) En el primer caso, ecuacin (2a), podemos asegurar que para x = 0 es y = b, es decir, la recta corta el eje de ordenadas enel punto (0,b), figura 3s.

Anlogamente, si y = 0 resulta x = b/a, es decir, la recta (2a) corta el eje x en el punto (b/a,0).

Figura 3s. Rectas que pasan por el punto P (0,b) y tienen dos valores diferentes de la pendiente, una negativa y otra positiva. Cortan el eje x en el punto (b/a,0).

En la ecuacin (2b) si x = x1 entonces resulta y = y1, es decir, la recta pasa por el punto (x1,y1), figura 4s.

Figura 4s. Rectas que pasan por el punto (x1,y1) y tienen dos pendientes diferentes, una positiva y otra negativa.

t (s) T (C), ecuacin (1) T (C), tabla 1

120 53.6 54.1

190 52.2 (no est)

210 51.8 52.1

300 50.0 50.0

390 48.2 48.4

500 46 (no est)

3000 4 (no est)


La ecuacin(2c) es siempre la de una recta que pasa por el origen.

Atencin!

No necesitamos calcular ms de dos o tres puntos para hacer la representacin grfica, porque se trata de una recta.

b) Igualamos las dos expresiones de la funcin y(x),

y = ax + b = y1 + m(x x1) = y1 + mx mx1

Y como la igualdad ax + b = y1 + mx mx1 tiene que ser vlida para cualquier valor de x, podemos tomar x = 0 y obtenemos,

b = y1 mx1

y si sustituimos este valor de b en la igualdad,

ax + b = y1 + mx mx1

obtenemos,

a = m

A6

1) Como hemos empezado a contar el tiempo en el instante t = 0 (el instante en que, por ejemplo, ponemos en marcha elcronmetro), entonces el espacio recorrido en el instante t = 0 es nulo. Podemos suponer (si no nos dicen otra cosa) que eneste instante la masa puntual est en el punto A del plano inclinado, figura 1. (Igualmente valdra la ecuacin (5) si en t= 0 la masa inicia el movimiento en cualquier otro punto como el B, figura 1, que sera la nueva posicin inicial y s = 0.)

2) Para t = 1 s, s = 8.8 12 = 8.8 cm, y para t = 2 s, s = 8.8 22 = 35.2 cm. Por lo tanto, el espacio recorrido entre t = 1 s y t = 2 spor la partcula que cae es,

s = s(t = 2 s) s(t = 1 s) = 35.2 cm 8.8 cm = 26.4 cmComo sabemos, s se lee delta (de) s o incremento (o variacin) de la variable s y representa la diferencia entre dosvalores de s. En general,

s = s2 s13) Primero calculamos algunos valores de la funcin s(t), mirad la tabla 1s.

Tabla 1s. Algunos valores de la funcin s(t), ecuacin (5).

Cuando representamos los valores de la tabla 1s obtenemos la grfica de la figura 5s.

t (s) s (cm)

0 0

1 8.8

2 35.2

3 79.2

4 140.8

5 220.0

6 316.8

7 431.2


Figura 5s. Representacin grfica de algunos puntos de la funcin s(t), ecuacin (5), dados por la tabla 1s.

Y cuando unimos los puntos para apreciar mejor la forma cualitativa de la funcin, obtenemos:

Figura 6s. Curva (trazada a mano) que une los puntos de la representacin grfica de la funcin s(t), ecuacin (5).

A7

a) Tenemos diferentes casos posibles, figura 7s. Si a < 0, las parbolas tienen un mximo, y si a < 0, tienen un mnimo. Lafuncin es cuadrtica en la variable x.

Figura 7s. Algunas parbolas posibles descritas por la ecuacin (6).


b) Las parbolas de la figura 8s no responden a ecuaciones del tipo (6) sino a ecuaciones del tipo,

x = py2 + qy + r

donde p, q y r son constantes. Ahora y ser la variable independiente y x, la variable funcin o variable dependiente. Lafuncin es cuadrtica en la variable y.

Figura 8s. Algunos ejemplos de parbolas que no se podran describir con una ecuacin como la (6), y(x) = ax2 + bx + c, pero s con la ecuacin x = py2 + qy + r.

A8

Resulta,

= s/t = (8.8 62 8.8 42) cm / (6 4) s = (316.8 140.8) cm / (6 4) s = 88 cm/s = 0.88 m/s.11

Para calcular esta velocidad en km/h podemos pasar de metros a km,

1 m = 103 km

y de segundos a horas,

1 hora = 60 minutos 60 segundos/minuto = 3.600 segundos

Es decir,

Fijaos que al hacer las operaciones de cambio de unidades de esta manera controlamos en cada momento si estamos ha-ciendo bien los cambios porque debemos tratar las unidades como si fuesen cifras, simplificndolas, multiplicndolas, di-vidindolas, etc. Si nicamente nos fijamos en las unidades de la ltima expresin, podemos simplificarlas as,

Fijaos tambin que si la constante (8.8) de la ecuacin del movimiento tiene una cifra decimal significativa, s(t) = 8.8t2, notiene mucho sentido que demos los resultados de los clculos de con tres cifras decimales, 3.168 km/h. Tendra ms sen-tido escribir, por ejemplo, 3.17 km/h. Pero no nos detendremos en esta cuestin.

11. Podemos escribir 8.8 62 o bien 8.8 62.

v

3m m km 3600 s km0.88 0.88 10 3.168s s m h h

v

m ms s km

ms kmh h

v


A9

Resulta,

= s/t = (8.8 4.62 8.8 42) cm / (4.6 4) s = (186.2 140.8) cm / (4.6 4) s= 75.67 cm/s = 0.76 m/s = 2.736 km/h

A10

Para calcular el valor medio de una magnitud que toma varios valores, sumo los valores de la magnitud y divido por el nmerode valores. De esta forma calculamos el valor, pero hay que explicar tambin el significado y la utilidad del valor que se obtiene.

La media de una magnitud (como el nmero de hijos) no tiene por qu ser uno de los valores que puede tomar esta mag-nitud. (Una familia puede tener 0, 1, 2... hijos, nunca 1.8.)

Entonces, qu significa el valor medio? El valor medio de una magnitud que toma un conjunto de valores diferentes es elvalor que tendra esta magnitud si todos los valores de la magnitud fuesen iguales. Utilizamos el valor medio como unarepresentacin de un conjunto de datos, como un valor que nos dice algo de la magnitud correspondiente.

Aplicad esta definicin a los ejemplos anteriores (hijos, calificaciones). Por ejemplo, si tenis seis asignaturas y una califica-cin media de 7.6, probablemente las calificaciones sern variadas: 6.4, 8.2, 7.7, etc. El valor medio es el valor de las califi-caciones que tendrais si las calificaciones fueran iguales en las seis asignaturas: todas con 7.6 puntos.

Hay que distinguir entre dar una definicin operativa de una magnitud (cmo calculamos la media, por ejemplo) y saberexplicar el significado de esta magnitud, su utilidad.

A11

Es importante verbalizar con precisin. Se debe decir, por ejemplo, que la velocidad media del objeto en movimiento en los2 s que van de los instantes t = 4 s al t = 6 s corresponde a la velocidad que tendra que tener el objeto para ir entre los puntoss(t = 4 s) y s(t = 6 s), siempre a la misma velocidad (la velocidad constante que hemos calculado como valor medio) y tar-dando el mismo tiempo (2 s) que en el movimiento real (que no es a velocidad constante).

El movimiento de la partcula se llama no uniforme, o acelerado, porque su velocidad no es constante.

A12

a) Secante 1

secante 2

secante 3

b) Pendiente de una recta: Es la tangente del ngulo que forma esta recta con una recta horizontal.

A13

Hay que poner de manifiesto la razn por la que se ha hecho la suposicin de velocidad media constante: nuestra percep-cin de la velocidad necesita del transcurso del tiempo, lo que entra en contradiccin con el concepto de velocidad instan-tnea. El concepto de velocidad instantnea es, por lo tanto, un objeto mental que no pueden percibir directamente lossentidos; para explicar su significado, hay que recurrir a un movimiento hipottico que permita interpretar la velocidadinstantnea como una velocidad media, que s que es perceptible por los sentidos.

v

2 1

2 1tan

s st t

3 1

3 1tan

s st t

4 1

4 1tan

s st t


A14

a) s(0.8 s) = 8.8 0.82 = 5.632 cmb) s(0.8 + t) = 8.8 (0.8 + t)2 = 5.632 + 14.08 t + 8.8 (t)2c) s(0.8 + t) s(0.8 s) = 14.08 t + 8.8 (t)2d) (0.8t) = s/t = 14.08 + 8.8 te) (0.8) = limt 0 (0.8, t) = 14.08 cm/sEn cada paso del clculo conviene interpretar grficamente lo que se est haciendo mediante marcas en la curva del movi-miento, como las que hicimos en la figura 4, y expresar tambin verbalmente lo que se est haciendo.

A15

Se obtendr v(t) = 17.6 t.

A16

Del tringulo rectngulo que forman dt y ds en la figura 8, tan = ds/dt. Como la velocidad instantnea de un objeto es v = s',entonces v = ds/dt.

La velocidad es el espacio recorrido por unidad de tiempo.

A17

Podis comparar vuestra grfica con la siguiente:

A18


vv v


A19


A20


Ejercicio de recapitulacin parcial. Hay que acostumbrarse a hacer esquemas y resmenes de los temas, a expresar verbal-mente los conceptos, etc.

Funciones reales de variable real: 1.er grado: y = ax + b (Recta)2. grado: y = ax2 + bx + c (Parbola)

Pendiente de una recta: Es la tangente trigonomtrica del ngulo que forma la recta con la horizontal, tan.Velocidad media: = s/t grficamente, pendiente de la recta secante.Velocidad instantnea: v = ds/dt = limt 0 grficamente, pendiente de la recta tangente.

Diferencial: ds = v dt valor aproximado del incremento de la funcin, definido como el crecimientosobre la recta tangente trazada en el punto inicial del intervalo.

Funcin continua: Una funcin es continua en un punto a si el lmite de la funcin cuando x tiende a a es(a).

Funcin derivable: Una funcin derivable es continua (pero la inversa puede no ser cierta).

v

v


A21

Si , , y

Por lo tanto (para x > 2),

y para x = 2,

Por otra parte, para x < 2, escribiremos,

as siempre ser 2 x > 0. Por lo tanto (para x < 2),

Es decir, la funcin no es derivable en x = 2 porque la derivada toma valores diferentes segn nos aproximemos a este puntopor un lado u otro.

A23

a) (ser la aceleracin media)

(ser la aceleracin instantnea)

b) Con los datos del problema, slo podemos calcular la aceleracin media,

c) Como ya hemos calculado en la actividad A15 que v(cm/s) = 17.6 t(s), y se trata de una relacin lineal, entonces la deri-vada o pendiente es dv/dt = 17.6 cm/s2 y el objeto cae con aceleracin constante; por tanto, la aceleracin media del objetoque cae coincide con la aceleracin instantnea y vale a = 17.6 cm/s2.

A24

Haremos como en las actividades A15 y A16, paso a paso. La funcin es,

y = Ax3

y el valor de la funcin para un incremento de la variable independiente,

y + y = A (x + x)3El incremento de la funcin es,

y = (y + y) y = A (x + x)3A x3 = 3Ax2x + 3A x x2 + A x3y el cociente incremental,

y/x = 3Ax2 + 3A x x + A x2

1( )

1 2y x

x

2x 2 2x x 1 1

( )1 2 1

y xx x

21

'( )1

y xx

21

'(2) 12 1

y

2 2x x

1 1( )

1 2 3y x

x x

2 21 1

'( )3 3

y xx x

21

'(2) 13 2

y

va

t

dd

va

t 0lim t vt

260 40 km/h km 1000m m

6.67 6.67 1.853 s hs 3600ss s

va

t


Cuando tomamos el lmite del cociente incremental para x 0, obtenemos la derivada,dy/dx = 3Ax2

Observad que este resultado es un caso particular de la derivada de una potencia. Para la expresin siguiente de la tabla dederivadas,

y = Axm

Resulta,

y ' = mAxm 1

que coincide con el clculo anterior para m = 3.

La derivada de una constante por una funcin es igual a la constante por la derivada de la funcin. Este resultado se obtienede la derivada de un producto,

y = y ' =

si tenemos en cuenta que la derivada de una constante es cero.

A25

A26

A27

Conviene que cuando se est aprendiendo a derivar, se especifiquen paso a paso las reglas o propiedades de derivacin quese usan. Veamos cmo.

a)

La derivada de una exponencial es el producto de ella misma por la derivada del exponente.

La derivada de una suma es la suma de derivadas.

La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera funcin por la derivada de la segunda funcin, sumado

Calculo Diferencial e Introduccion a Las Derivadas M1

Documents

Transcript of Calculo Diferencial e Introduccion a Las Derivadas M1