Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1 - George B. Thomas Jr. - Parte 2

5/6/2018 Clculo Diferencial e Integral - Volume 1 - George B. Thomas Jr. - Parte 2

1/32

1-8 PROPRIEDADES DOS LJMITES.RAZAO DE VARIAgAO DE UMA FUNQAO CAP. 1 ",,)I isto e , j (x + Ax) cleve ter sentido. Mas, no presente caso, isto naoacarreta qualquer restrieao a Ax, porque a eq. (3)e definida paratodo x + Ax real, - 00 < x + .6.x < + OJ. _Ha ainda uma se-gunda restri9ao a .6 .x , isto e : .6.x .deve ser d ij er en te d e z er o. Por que?. Porque 0 membro esquerdo da eq. (4) se tornaria % - 0 que naotem sentido - quando ali tomassemos .6.x =0. Chegamos assima um ponto cruciante: Desejamos .saber 0 que ocor~a eq. (4)quando se toma .6.x cada vez mais pr6ximo de zero, todavia, naopodemos tomar .6.x =O,pOl'que entao teriamos uma expressao semsentido no lade esquerdo da equacao.

Dois 'fates devem ser salientados agora. 0 primeiro e que adivisf io na eq. (2) deve efetuar-se antes de fazermos .6.x tender parazero. Assim e que, na eq. (4), por mais pequeno que seja .6.x, desdeq ue ' n iio s ej a .z er o, a divisao indicada da' a expressao do membro di-reito da referida equacao. o segundo fato e que a expressao a di-reita de (4), que depende tanto de x como de .6.x e que, por isso,indicaremos como uma funcao F de' x e .6.x,~------F (z, tlx) = 3x 2 - 34 3x .6.x + ( .6.X)2, (5 )i,---....,

I ! ! I . ( 1 \ ) So 0 raio de um circulo varia de Tar -+ - 1 : : . 1 ' , qual a taxa media deV'~I'III~lto(Ilt ttt'at), do circulo em re lacao ao raio ? Qual a taxa instantanea dessaV M h ! J ,o ' r

14 . o_ volume Y (m'') de uma estera de raio r (m) e V = : 71'1'3, Deterrni-H I I I I t " lx n de varia9~0 de V em relacao a r.

III. 0 raio rea altura h de um cone sao iguais em qualquer instante. De-l ,cWll!lilH n taxa de varia cao do volume 17 = ~71'r2 h em relacao a h.

1~8P:ropl'iedades dos limites.linin, flU19fiO

.,o calculo da derivada dey = J (x) , (1)

iII v o l V 0 06,1cul0 de um limiteJ ' (x ) = lim j (x + .6 .x) - j (x)

. ~"'->o .6.x (2)

I" d Inmo itustrado nos paragrafos precedentes. No pr6ximo capituloi 1 1 1 t , n h ( 1 .( r m o s algumas regras que tornam extremamente facil ao h t, tl ll lJ it o dUB derivadas de im im era s f un co es, sem necessidade deI I r , 1 , \ 1 1 1 , , 1 , ' 0 1 - 1 culoulos exigidos pela aplicaeao, direta da eq. ( 2 ) . NaoM e d v r I n c r tanto, perder de vista que essas regras baseiam-seli n IIl,'6pl'it1 Oqua9do de definicao (2), devendo portanto ser de-dll l l l ld'~H It flsa,difini


2/32

, ~---

36 RAZAO DE VARIAg~O DE UMA FUNQAOA Fig. 1-23 ilus tra a signif icaQao geometr ica de e O. Vemos que F(t) =t2 (

esta entre 9 - E e 9 -I - E para t compreendido entre 3 - 0 e 3 - I- O.

. CAP. 1 1-8 PROPRffiDADES DOS LIMITES 37

EXlIlMPJ.O 2. Procuremos 0 l imite deme~te superior a 3. Mas quando t e ligeiramente injeriora t (digamos, t = 2,9999),entao [t J =2. Isto e, 0sendo urn rnimero positive arbitrario menor do que 1,o < 0 < 1, entao

t2 - 9F(t) =--t - 3[ t J . = 2 se 3 - 0 < t < 3.,

-enquanto que[t J =3 se 3 < t < 3 - I- I).

qUl \ndo i t onde pa ra 3 . A funQiio e def in ida para qua lquer valor de t, ezce to t = ';S a ub a ti tu il 'O l o B t >=3 para calcularmos F (3) obtemos Dai, se tomarmos E i gual, digamos, a 0,01, n ii o p o de re m o s aehar urn 0 > quetorne .l [ t J - 3 1 < E pam, 0 < It - 3 1 < o .

lim F (t) =Lt~3

Na realidade, niio existe' 0 limite L neste caso , j a que , quando t estaproximo de3, alguns valores funcionais de't sao 2, enquanto que outros sao 3; consequente-. mente, esses valores niio tendem para urn unico L. lsto"e,

quo nllo te rn sentido. Mas a dcfinicao de

n lt o e x ig e que a funQao F se ja def in ida em t = 3. 0 que interessa e 0 que ocorreqlll iUdo t tende para 3. Fatorando t2 - 9 obtemos/,F (t) = (~c) ~+3) = t + 3 quando t ~ 3.t-3/

lim ttl nao existe.t-+3F(t)

F(t) = [I)F(t)+1

Assiro, para todos 09 valeres de t dijerentes de 3 ,F (t) = t + 3.

r---II I

-I II II2 3-0 3 3+0

1J

lim t2 - 9 = lim (t + 3) = 6.t~3 t - 3 t->3 FIGURA 1-24

~lIF IG U RA 1 -2 5

QUllndo t Ga M mui to pr6ximo de 3, F (t) esM muito pr6ximo de 6. Dai podermosllfirmlU' quo 1

Moa t r l lmoa ago ra que as cond iceea do. definieao de limite sao satisfeitasCllto. l Idu t oroo.mos L = 6. Para tanto, seja E urn n um e ro p o si ti ve arbitrsrio (pre-~It l l l ' I iDZmonte pequeno) . Entao

t2 - 9F (t) - L =t-3- = (t + 3) -- 6 = t - 3,

I lTIxistem, todavia, 08 chamados' j.imites laterais" ou "limite a dir,,'t ""II it ~ d " !. "IJ1._ em '() .. esguer a_ Como os nomes indicam, 0 limite a direita L e urnnun '10 tal que os valores funcionais de F (t) estao pr6ximos d;'L+~qJJ~~do tI lramente 84nexio~a 3 (i.e, esta a direita de 3), e 0 limite a esguerda L-~ um nn me ro tal que F (t) esM pr6xima de L- quando t e ligeiramente interior'

.Q a . 1 ' 1 " 0 nosso exemplo, "IF (t) - L I < E L+ = lim ttl = 3,t->3+( p tw o . tornar ,< It - 3 1 < E. L- = lim ltl =2.t-->3-\,1,,0-6 upenae que

A( ,t ul p od cmos tomar 0 - E OU a q ua lq ue r num ero positive monor .J~ lUMl ' l , 3. D tormlnur 0 Itrnitc d ,F ' (Pig. 124 dclinido por

]I' (t) I ' l l "mi l lol ' il\U 11 '0 o n u d o o m t" ,( J l I I ~ ' l ( l n t 1 , ( I 1 u l , plll 'll a , 'A pt'11I\1I11'I\ Vhl l i l l p ni ll ll ' 1 \ lllll 'II()tI" (1 1 '11 I, II , l \~ H b ( ) li t011VI l(lI"I~ t l ll l ll l C \l I ll ~ l it , /f I I, ) I ( I I I H I , (I 1 1 , ' 1 1 " " 1 1 d " :I 1(III"''' Ih t ~ I K I I I I HIt 1 1 1 ( Ir,


3/32

CAP. ] l-tl - - - - - - - - - -ROPRIEDADES DOS LIMITES 41lim l~(t) = = - e x > . Assim,

1 1lim - = e x> , lim - =+ e x > .lo t 1->0 t2t I ' IOW! < 1 1 ' ! ' I : 1 n 9 0 : 0 entre "limite a direi ta" e "limite it esquerda",

1 1 1 11c I I IIO t! C l' 1:

1 1 1 1 1 II ' (I tico. Dar:

.if' (

. t3- 8 . t2 +2t +4lim ? = hmt->2 t/: + t - 6 t->2 t + 3lim (t2 + 2t + 4)lim(t+3)

11 m ( l . . ) =I 0- t - e x > ,

lim t2 + lim 2t + lim 4limt + l im 3

~ I ll , ql1l~f1( lO B trata do infinito como 0 l imite de uma fun


4/32

I1/ II I

~.lim/ )~'"" ' K " lim/ \'"

t + 1 [ 1t2 + 1 Let t =h't2-2t+3

2t2 + 5t - 3

PROBLEMAS DIVERSOS 43" RAZAO DE VARIAQAO DE UMA FUNQAO CAP. 1

PROBLEMAS 4. De urn exemplo, diferente dos do texto, duma fimQao cujo dominio pc ssaser 0 conjunto dos reais, - co < X < ex> .1 1 \ I n l 1 IJ llmltes nos problemas 1 -7 .

- . .L .! .~ . Ibn t L 2j II I Orwi - 1

1 1 ) ) . 1 -1~1m-U~+5u+6

1/ -f 2

x2 + 42; + 3x +3

5. DEFINI o . Um mimero real niio-racionale ohamado numero irracional.

Com essas de finicoe s em vista, dete rmine a lguns pontos do gra fico da funcaoque faz corresponder 0 racional p/q (reduzido a expre ssao mais s imple s) a l/q, efaz corresponder a zero cada irracional. Esta funcao e denominada "funeao--regua" em razao da semelhanea do seu grafico com uma regua comum que apre-sente as subdivisoes correspondentes a decfmetros, centimetros, millmetros. . e tc .,por me io de t racos de di fe rentes tamanhos. A borda da regua e 0 eixo -z. Por

I que e apropriada esta terminologia?6 . Pode -se de fini r tangente a uma curvaC num ponto P de Ccomo uma

reta que tern apenas um ponte comum com C? I lus tre com graficos sua dis-cuesao.

Ua -5U+6V- 2

H, I lU rmln umsvisinhanca de t = 3, isto e, um domlnio 0 < It-31 < 0,I, I (1111, t il nd e t Be restr inge a Elssedomini 0, a diferenca entre t2 + t e 12 seja1 1que (a) 10 ' (b) 100' (c) E (e rpodendo ser qual-

Q'O'l l lSTOES DE l R EV I SAO E EXERClcIOS

7. De fina cuidadosamente 0 conceito de inclinacao da tangente - a umacurva num ponto desta.

8. Defina velocidade media; velocidade instantanea.9. Qual 0 conceito mais geral que engloba ambos os conceitos de incli-

naeso da tangente a uma curva e de velocidade instantanea ?10. Defina derivada duma funQao num ponto do seu domfnio. Ilustre sua

definieao aplicando-a it func;ao j definida por j (x) = x2, no ponto x = 2.

Qt I~f) ,doto-0+, as funQoes l/x , 1 /x2, 1 /Vx tornam-se tOdas infinitas.l'ouO l X u l i a rapldamente ? menos rapidamente ?JO . J dUzl \ do te o rem a I , que : .Il, lim tl ()2,j'" J HI t,l. fI, pllra qualquer inteiro positive n,I )n'l) I In ( h lt fl ) - 1 0 0 " ,II) 1 I1 11 /1 (t) _ l! (0), se F e um pol inomioI~

11. Uma funeao j, cujo domlnio e 0 conjunto dos reais, tern a propriedadede que j (z + h) = (z) . j (h) pa ra todo x e todo 1 , 1 ; e j (0) ; > ' ! ' O.

(a) Mostre que j (0) = 1. [Sugestiio: Faca h = z = 0.1(b) Se j. possui derivada no ponto 0, mostre que j possui derivada pa ra todo

z real, e que l' (x) =j (x) . jf (0).()

12. DEl exemplos de funcoes, definidas para todo x re al , que niio possuaderivada (a) em um ponto; (b) em varios pontos; (c) em infinitos pontos. .

1 3, Seja F uma fU~Qao cujos va16res sao todos menores do que , ou iguaisi\ uma oarta ' constante M: F (t) .s M. Prove que, se lim F (t) =L, entao,t-->ct o S . ' 3 1 , (SU(Jost40: Pode-se usar uma prova indireta para mostrar que L > Md f' 1 ~ 1 \ , l?O~ M, poderemos tomar t (L - M) como um mimero posi -I l ly!) I I Ji pU O il .l ' d f ln l9 lt o d e limite e ohegar a uma contradicao.]

I. ,Illi 11 / u np r Jo . Qu 6 domtnio duma funQao? Que e contradomnio?( ) ( I HI I n to UU t il ll ; f u n 9 1l o 6 0 coniunto 0. $ x . $ 2 . 0 contradominio s1,

p ;n O BL 1 11 MA S D I V ER SO S06 pontoB A . (8 , 1), B (2, 10), c (-4,6),

'I (I I I, IU I,a ' (I II ) I I ' 1 11 11 11 1 I l I N I I , 1 / , e n , 1M , l/Q , n .


5/32

II O A . 1I nl ll Vhl Ihp u jllil liMA Ti'ITN 0 rM D L1 llM A S D fV ;m RS OS"II) l I I I I , l 't ! t l1 l l1 H t tU I r (10 ,tHO') p ueea A, B, C, D , E formam um parale-

II I "11111 Y P H I' 1 1 6 Y )(d dO ~ " I; Ince pontos sao c o li ne a re s ? (Por qull' f)

A 01' ~t In (0 , Q ) 1) l't n 0 it r til que p a s a a po r dois quaisquer dos cinco) 1 11 11 1 ,1 1 ' " I I U I? ( P IH ' quO?)

( F ) I (I IHl 'mino lif! q U I 1 Q O a das retas AB, CD, AD, CE, BD.) 1 )1 1 11 1 \1 '1 1 \1 1 "\ 0 ( 18 crdonadaedoa pontos em que < 8 . S retas AB, CD, AD,

I ( la I Ii IlOI1t'(l1 'ptnm 0 e lx o- x e 0 eixo-y.'. 'I), lnil 1\ lt 'bl2y - 3x - 4 e 0 ponto,,(l, -3).

ums equll._9ao da reta pelo pon to dado e perpendicular a

11. Dadas as -duas retasL1: aIX + bl y + ci = 0;

sendo kuma con stante, qual $ . 0 l ugar geometr ico cuja equaeao enIX + blY ~ ci + k (a2x + b2 Y + C2) =o?

12. Determine as coordenadas do ponte da reta y =3x +1 eqiiidistantedos pontos (0, 0) .e (~3, 4). Determine uma equacao da ret~i perpendicular a 5x,- ( f 5 = 1e tal "-que a are:: do tr iangu lo formado pelo eixo-z, pelo eixo-y e po r L seja. igual a 5.

14. Dada a equacao y =(x2 + 2)f(x2 - 1), pede-se exprimir x em termosde y, indicando os valores de y para os quais x ~ real. / -.

)15. Exprimir a area A e a circunferencia C de urn cfrculo como funcoesdo raio r. Exprimir A em funeao de C.

I ) b or m l n I manor distdncia do ponte a reta,I)nl ll l' lnino, no gl' lt fioo, os pontos A (6, 4), B ( 4, - :-3), C( - 2, 3).o b " l t \ ) I R t l l o ABC e reMngulo? Po r que?I II It ' ~8 ;; () lo s ? P O l ' quO?

II Ilhll r o J i l p l t o lotl'idngulo ABC, a origem esta si tuada . in te rnamente ,II~,,,,II II11mI I fill s O b r o um doe la de s? .

II ) N il ( r o ~ Hubstitu!do por C' (-2, y), tal que 0 angulo e'BA seja reto ,1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 I I I 7 /, 0 I II n f i d o , d e C'.Il . I l n i l ( ! I ' l u l n . o qua91:1ee das retas pela origem e tangentes ao circulo deI I r l l l l , , , " (II, I I) 1 \1 0 2 .

tI. I flll,(lo J 'l ( ti ll , 1 1 1 ) e P 2 ( X 2, Y 2) doi s pontos qua isquer , determine as coorde-n II~,. till ,p o nL o m 6dio d o se gm en to PIP2. .

fl. A M IIt o ' B O O O O Il d o uma reta com 0 eixo-z. e com 0 eixo-y sao, respeetiva1 1 1 1 HI,", t b. l)o't rmlne uma equa9ao dessa reta.

7. I), (\1\ II r ta L: ax + by + C = 0, determine : (a) seu coefi ci ente angular ;II) ~IU l \ b l lJ ' " O O V l t o com 0 e ixo-y; (e) sua in te rs eccaocom o'e ixo-x;' (d) a ret a pelaIII 1111 , V l ! ~ p n l l u l o I 1 1 M ' 0, L. '

M . M()II~t'o(j11 n distdnoia de um pon to PI (Xl , YI) a uma reta ax+by+c=OI h t h . . or

16. Em cads uma das funcoeeubaixo, qual e 0 maior dominic dex e ocorrespondente contradominio de y?I I 1 .(c) y = --=---:::::

1+~x. 1(b) y = 1 + x2 ;

17 . Sem utilizar 0 s imbolo de valor absolu to , determine 0 dominic de z:para 0 qual Ix + 1 1 < 4.18. Se y =2x + 12 - X I, determine x como funcdo de y.

19. Para que conjunto de valores de y a equaeao y =x + 12 - X I definex como funQ~o un.ivoca de y? Exprima x em funQao de y nesseconjunto.

20. Se y =X + (I/x), exprima x como funQao de y, detel'IlliiIando 0 con-junto de valores de yem que x e real.

21. (a) Se J (x) =x2 +2x - 3, determine: J (-2); J (-1); J (Xl); J (Xl+.1x).(b) Se J (x) = z - (I/x), mos tre que J ('ilx) = - J (x) = J (-x).

22. Esboce 0 gr afico de cada uma das equacces abaixo :{a ) y= Ix-21 +2; (b)Y=X2_1.(0) Determine 0 ponto da curva representativa da equaeao (b) em que

a ta~gente a curva faz angulo de 45 com 0 eixo-z positivo.23. Esboce 0 grafico da funyao y = Ix +21 + x para. 0 dominio -5.s x.s 2.

Qual 0 contradominio? .24. Mostre que a expressao M (a, b) = (a + b)/2 + la - bl/2 e igual a a

se a ; :: : b, e igual It b Be b ;:: :a. Em outras palavras, M (a, b) da 0 maior dos doi sndmeros a e b. Determine uma expreseao analoga que de 0 menor dos doisnume r o e .

25. Para cada uma das seguintes funcoes j (z), esboce primeiro 0 graficodo 7 / . . f ( : I ) , depois 0 grlifioo de y "" If (x)l, e finalmente 0 grafico dey =j (x)/2+I IJ (m)I/2.

l a x r + bY l + cl. va 2 +b259, 1952 , do

"1,1 II 1; L2 : 7 J - ttl + 1;um d tals olrouloa. Pode-se utilizar 0

(b) . J (X) - X 2 ; ,(d ) J ( m ) , . 4 . - t l ) 2 .

II', u ro n oieMnoio. ntr 0.8 r tas para - ( O J - 2)(III-I l)iI II

III.JI

1 1 1 1 M Ii) IN tl..til I I;',

4 5 ,


6/32

RAZAO DE VARIAgAO DE UMA FUNQAO,6 CAP. 126. Formula de inierpolactio de Lagrange. Sejam (Xl, Y I ) , . (X 2 , Y 2 ) , . . . ,

( . ' II , JIlt) n pontos do plano, dois quaisquer deles sempre com abscissas diferentes.Determine urn polinomio 1 (z), de grau (n - 1), que tome os valores YI em Xl,' l J Q om X2, ... , u e xn, istoe, 1(Xi) = 1/i (i = 1, 2, ... , n). [Sugestfio: 1(x) =.. 71.1 P t (x) + Y 2 c P 2 (x) + ... + Yn cP n (z ), onde cP k (x) e urn polinomio tal queC P / ~ (Xi) = 0 se i;e k; e t {J k ( xk ) = IJ .

27. Seja 1(x) =ax + b e fJ (z) =ex + d. Que condicoes devem a, b, c,II v r if ic a r para que ] [g (x)l e g [] (x)l sejam idantieaa?28 . Seja 1 (z) = x/e x - 1). Determine:] ( lfx), 1 (~x), 1 (j (x, 1 ( 1/ 1 (x) ).29. Se] (x)'= (ax + b)/(cx + d) e d = -a, mostre que] (j (z) = x, iden-(, I nmente ,30. Usando a definicao de derivada, calcule ]' (z) em:

(a) ] (x) = (x - 1)/(x + 1); '(b) X3!2; (c) ii/a.:n . Empre gue a definic ao de derivada para calcular

(0 10 . 0 . n l t u r a maxima? Qual e esta altura maxima? ..

~7. ri o (I f,ll'ossttoP e 0 volume V de urn certo gas estao relacionados pelar"'IIIII.I! P l/V, d t rmin : (a) a : 'taxa media de variacao de P em relacao ai( I I) II tIl ItU vl1l'il19lto de P om l'elaQuo a V quando V = 2.

11 11 , 0 ve lum V (I) do I ig ul 1 c xi et n t, e em urn ta n que e, t se g ap6s se terlnln J dn 0 0 )1 l l lOIl1)O, V - 2000 - 40 t -I - O,2t2. Corn que velooidade 0 vo-I lI lJ Hl d lllll" ~ I! ll I tlill do t ~O ?

' 1 , H J () 'm I / ( : . 1 ~ 71 ( I I I I I I I I u I' " I(I i , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ti l J (II ( 1 \ ) (l lIml cl j ( a - )lJ ( 1 1 ) J ( ' 1 / i i I ) , J ( I ) ) , I / J ( . ) .

PROBLEMAS DIVERSOS 47

,t 40. Calcule as coordenadas do ponto de interseccao das re tas 3x + 5y =1,(2 + c) x +5c2y = 1, e determine a posicao-limite desse ponto quando c tendepara 1.

41. Dete rmine : ( a) l imll>oo (vn2 + 1 - n), (b) limn->co (vn2 + n - 1 ' 1 ) .42. Dado E > 0, determine 0> 0 tal que vt2-1 < E quando 0 < It-II < Il.43. Dado E > 0, determine M tal que

quando t> M.44. Mestre que I inu-sn t sen (l/t) existe e e igual a zero, embora sen (1 /1 )

nao possua l imi te quando t tende para zero.45. Prove que, se 1(t) for l imi tada (i sto e , If (t) Ia 1 (t) (J (t) - O .46 . Prove que se ] (t) possui limite finite quando t tende para a, entao exls -

tern numeros m, M, e h > 0 tais que m < 1(t) < M se 0 < It - a I< h.47. Propr iedades das desiqualdades. Se a e b sao dais reais quaisquer , dl~ -mos que a e menor do que b, e escrevemos a < b, se e s6 se b - a e positivo. S

a < b tambem dizemos que b e maior do que a. Demonstre as seguintea pro-priedades das desigualdades:

(a) Se a < b, a c < b c para qualquer real c.(b) Se a < b e c < d, a + c < b + d. E verdade tambem que a - 0


7/32

DERIVADAS DAS FUN(;OES AI:GEBRICAS\2~1Poljnfirrrios e suas derivadas. Um termo iinico da forma

( 'r r' , o nd e c e constante en e um inteiro positivo ou nulo, e chamadour monomio em x. Urn polin6mio e a soma de urn numero finitodn monom i o s , Por exemplo,j (x) =x3 - 5x + 7, g (x) = (x 2 + 3)3, h (x) = 4x , c p (x) = = 5

H t) cases especiais de polinomios em x, e1s = 2g t2,v =Vo + g t

H 0 po l inomio s em t. Se os val ores de uma funcao satisfazem uma(q '11l~9lto y = j (x), onde j (x) e urn polinomio em x, d iz- se que j eIIfM jun~ao polinomial.

D duziremos algumas f6rmulas que nos permitirao achar Iacil-)llt nl,(l as derivadas de furicoes polinomiais. Em cada caso estabe-Ilfll " mos 0. f6rmula a partir da def~ni9ao basics:

~~(l j auma fun~ao j dejinida por y = j (x). Se existe e e jinitoII Umi tc dy = r / : : " y (Ia)im Tx Ax - ->O x1 I ' / ; ( / I / , 1 ' , ] i (fondo I/

t (e) ... lim j (x + ~x) - j (x) ( 1 b )L l .A I - ~O ~x( 1 ' l b l f ( , o (h(lllllI/iIl/OIl" H H i lim it derivada d~ y em rela~ao a x, e d i z emoer/'/I J ,W I ?"'tllli'd!}! l 'In

I, I t f 1 ' h I I U l l l , Iltl 1 I r 1 l 1 1 t I I I I! /l f ,wn!f r Z I " O . 0 1 4 1 1 i C i,o n cl o m L l ' i '0II (,I '" 1 1 1 1 1 , 1 1 , 1 1 0 ' 1 1 1 1 1 II I' I', I dil l I l( lIm (I 1 1 Iii I t l l " I H ~ " I I ( 1(1

2-1 40OLINOM:IOS E SUAS DERIVADASao eixo-z JFig. 2-1). Para dernonstra-lo anallticamente, seja

y =c,ondo c 6 uma constante. Entao, quando x =Xl, e tambem quan Iox '"" ~t:l+ Ax, y tern 0 mesmo valor c; donde

v =c e y + ~y = c;POl' conseguinte~y = o .

Dividindo por ~x, temos/ : : " y = 0~x

y L Y = C I(XI.C) 1 (Xl + .1x,c)

cdy = lim ~y = o .dx .6. :>:->0 Ax . FIGURA 2-1

2', A derivada, em relaciio a z, de xn e ' nxn-1 se n 6 um i n t m ; 7 ' ( )posit ioo. Para demonstra-lo, seja

Y = : : t ;n,n inteiro positivo. Pelo teorema do binomio,

y + ~Y ': =( '+ Ax)n = { ~ 2 ~ ~ :x + ( ~ X ) 2 s o : - ~ ;x3 + 3x2 ~x + 3x ( ~ X ) 2 + ( ~ X ) 8 0 n Il,x~ + nxn-1 ~x + ( te rm os e m x e ~x) ( ~ X ) 2 til n H ,

~\I J tl'Llindo y =xn: .r . H 'Ih I,2,' ~x + ( ~ X )2 . ' H II~y = I: 3 X 2 ~x + (8 + Ax) . (~x)~ 8' 1~ :I ,n. ,rl-l Ax + (t ,('m08 m x A) (Aw)~ H I ?I i :I .I'vtiilldo ) lOI ' ,Ali i:

1 1 1 11 I,1 1 ',I I IH 1~ I1 1 a,ll~ I H I n : I ,1 1 1 1 " , 1 1 ) ,I HI I /1 : t o


8/32

DERIVADAS DAS F-UNgOES ALGEBRICAS

I I ' U I 6 ndo ~x tender para zero:

{I

l ' ~v 2xun -=t.t ll 0 ~x 3x2nxn-1

J i : m particular, 0 caso n = 1 nos diz quedx = 1.d x

C.\P. 2 2- 1 POLINOMIOS E SUAS DERIVADASComo u possui derivada

se n = 1,se n=2,se n = 3,se n> 3.

du . ~u- = hm -,dx 11:-->0 ~x(') l imite do membro direito da eq. (4c), quando Ax tende a zero, e!l mplesmente

lim k: ~u = k du .11 " , - >0 Llx dx

(2)

Como ambos os membros da eq, (4c) sao iguais,o membro esquerdodeve ter 0 mesmo limite. Mas este limite e tambem igual a dy/dx,de acordo com a definicao dederivada. Tudo isto pode resumir-ana equacao seguinte, estabelecida, tomando limites em (4c):

dy = lim ~ ' ! J _ = lim k ~u = k du .dx 11 " , - >0 ~x 11",- ->0 ~x dx'

(JOlt) OS resultados para n = 1, 2, 3 nao sao senao casos especiaisdo r su lta do geral , temosdy =. nxn-1 se y =xn ,dx '

Como y =ku, isto e 0 mesmo quef~ Ilt it:o positivo qualquer.

Assim: "Para acharmos a derivada de x elevado a po ienc ia n,"wUiplicarn08 pelo expoenle n a vqridvel x elevada a poiencia n - 1."8 . ,e U =j (x) e uma jun~ao di jerencidvel de & : , e kuma cons-ta nt , en ta o

d (ku) =k du .dx . d ;c

us = le u1A . = j (x)

IIhllli/llind til por x + Ax, teremos 'Y +,Ay =k (u+ Au),-"o m l u + Au ~ j (x + .;\x) .,

A V - 1 0 A t , , ;d l i d o pO I

d(ku) __ k du ddx - dx' c.q.,l]m particular, se k e constante e n inteiro positivo, as eqs. (8 )(2 ) conjuntamente dizem-nos que

(3)

(4a) or xemplo, se

(4b)~ - 8 5 r o 4 ,

1. A , tt r i v a d a d a s o m a d o u m num 1 '0 Jinito d j~tn~ 8 d 1 ; J t' , 1 '1 '#11 H f U /W 1 J Z a 80ma d 8u a8 d r i v ( ~ d a 8 ,

I 'O i l It " 1 11 8 i l l ' i lttln 'I~t 0 . { ) : m , h ~ d d iH 'tOl'.tnOH,V 1 . H V,

l I u d 1 , I I tl .0 rllll (\ ( 1 1 C ( , ' 11 I t t v H ( 1 I III I (1( rlYfl.dfl J(40) t i l 'I~ If f ' 1 1 1 1 II1 /" II I II

5 1


9/32

1 1 1 1 \ 1 I II f 11 t 1 1 1 \ l l m l tI'

Subtraindo y=U+Vobtemos

t :.y = t :.u + Is ,donde t:.y _ t: .u + t: .v ,t:.x - t:.x t:.x

t:.x tende , para zero, vem:dy t: .y l'_ = lim - = 1mdx 6z...... t :.x ll..,......

Quando( t:._ 'U t:.v )-+ ,D . x t :.xI(u + v) _ du + dv ,dx -dx dxa derivada da soma de dois- (6) exprime 0 resultado queA equa9ao .

A / a soma de suas denvadas,termos e ,result ado para urn numero. d - para estabeleeer 0Podemos proeeder por III ucaoIi 'to de termos, P. ex., sequalquer, In'! , y =UI + U2 + U3 ,, . e d podemos fazerfun"oes diferenCl,.vels e z,sendo Ul, U2 , e U3 " ,U = Ul + U2 , V = U3 ,

. a de dois term os,e apliear 0 resultado ja estabeleeldo para a somdy _ d (UI + U2) + dU 3 .dx - dx dx

de dois termos, temosComo 0 primeiro termo e uma somad (UI+ U2 ) = dU I + d U2 ,dx dx dx

de forma que d (UI+ U2 + U3) _ dU l + d U 2 + d ~,d x -d x dx d xd _, a algum inteiro n, queFinalmente, estabelecen 0, par

) dU I dU 2 + + dU n ,d (UI+ U2 + .' , + Un - + - ... dd x = dx dx x

1 \ 1 1l l I d N 1 \ . 1 1 0 I III ~ I I ~ 1 1 1 1 1 1 1 11 M

1 1 1 1 1 11 1 - ~ I l n~ , " l U l l ,

rI III I ' I I , Q + ... + Un+l )dx + dUn'I". (7)d xI N l 0 1 )( I'mit concluirmos que, se 0 teorema e verdadeiro para uma1 0 0 n l ~ d n Ml'mos, se-lo-a tambem para uma soma de (n + 1) termos;( omo 0 teorema ja foi estabelecido para a soma de dois termos,pc imos concluir pela sua validade para urn numero n, qualquer,finito, de termos.

EXEMPLO 1. Calcule dy /dx para y = xS + 7x 2 - 5x + 4.Pe lo resultado que acabarnos de ee tabelecer , podernos ea lcula r as der ivadas

de cada t (\ rmo e adicionar as resul tados:II. Jdy = d (r3 ) + d (7 x2) + d ( -5 x) + d (4 )dx dx dz dx dx= 3x 2 + 1 4x - 5xD + 0

= 3x 2 + 1 4x - 5.EXEMPLO 2. Qual 0 coefi ciente angula r da curva

y =x3 - 6x + 2noponto de interseccao com 0 eixo-x?o coeficiente angular no ponto (x, y) ~ dado por

A curva corta 0 eixo-y em z = O . Por conseguinte , seu coef ic iente a llgula r na-qnele ponto e

rn = (3x 2 - 6)~-o = -6.Derivada sequnda, A derivada, em relacao a x, de dy/dx e eha-

mada a d e ri va d a s eg u nd o . de V m relacso a x. Denota-se por y".Assim

'I 1 =d 1 J' _ J L ( dy )Y dx ct.' do )


10/32

DERIVADAS bAS I"UNgOES ALGEBRICAS CAP. :!c 'I 1\ iii gunda derivada de 'u em relacao a x A - . t A. 'y< c -~ operayao que conslste(m omar duas vezes seguidas a derivada duma funcao d t d. y , enoa a por

d ~(d ~ . . . ) ,tmnbem indicadn pela notac;iio

d 2dx2 ( ).N~IAt l1notftQao, escr d . I. evemos a envac a segunda de Jj em relaC;iio a x:

d 2y )0'dx2

M I ~ i A g ralmento, 0 resnltado de diferenciarmos urna fu - j( )II, . ' . < nc;ao 1J = XII t1l !)Off ! suceservarnsnto, e indicado por y e n ) j ( n ) ( ) I n ' d : _, x , ou a lh z".I'l III 3 SI '(_O . e y = x 3 - 3x 2 + 2, entao

Y ' = ! ! J L _ . , 2dx - . ,3 ' - Gx , d YI1 . ' ' ' ' 6 6= rl x2 = X - ,

Na rnecanica, se s =f (t) da a posicao deurn m6vel no tempo i, entaoa primeira deriva.da dsldt da a velocidade, elit eeawnda derioada d2s/dt2 da a acelera~ii()

do m6vel no instante t ..

III )Q Ml'll) 4 ,. '7, m !10I'PO se move em linha reta segundo a lei8 = t3 - 4t2 - 3t.

l l d n l 1 l n n M I t l l ' 1 L 9a O m ca da instante em que a velocidade e zero.Nolll,'I!II. v ole i dl \d e' v 0 a a c le l'~ 9iio a si io :

dva - di .. 6t - 8.\ I'll )1 hll4 dll ~ " 1'0 lllllldo

U t U H I. iI ( 1 -I l) (t - I I ) 0 ,

,. .

i,-./ ')c) " ',. V

2- 1 POLINOMIOS E St;AS DERIVADAS 55ou seja, ' quando

1t =. - ~ ou3 t =3.Os valOres correspondentes do. aceleraeao sao:

1t = - - ~ a = - 10'3 '

t =3~a = 10.

Nos problemas 1 a 5,.8 representa a posicao de urn movel no instante t.~termihe a velocidade dv/d t e a ace le raeao d 2v/d t2Ii s = t2 - 4t + 3 ? ;l ''1 (4/";' = 3 + 4t - t2 - 4 ~ +(b/{~2t3 - 5t2 + 4t - 3 \ : ; 1 ::'-Iot~lrb/s~=2t + 3)2 I

/., '\ " . "3. 8 =gt 2/2 , + vot .+ so : ( g, v o , 80 constantes) .? ~ -I - & 1 H'tt il u le y' = dy/dx e y" = dy' /dx. ~'t.3_~X~t I . f x .,~ . 1 i . .. X4 - 7x 3 + 2X 2 + 5 ,

")1\ ~ (,(\X.l '- 'I> J .c .{ X - 2~1::J)"I . 71 - 5x3 - 3x 5,8. 1 1 - 4, m 2 - 8x + 1nos prob lemas 6-15.

n. 12y "" 6x4 - 18 x 2 - 12 xy = 3x 7 - 7x 8 + 21x2

\I , Vu. y = x2,(X3 - 1)Ii v14. y = (z - 2) (x +3)oj v15 . y = (3 x - 1) (2 x + 5)

1 2 .

, 1 6 . llull ll( rj,foult\ pro jo tada ve rt ic al~ente pa ra cima' com a velooidadede 4.1)m/MI% I ( , I n I I '~)(,\ll'l\ 8 - 49t - (9,~/2) t2 ao' cabo de t seg, (a) Qual aaltura 1I111~ tn lJ l L 11K i ll If (h) ua l t:I velocidadeda particula na altura igual a78 In om HmL", j (I I,0 pMI (111111,1 ~tn EOUtrajeto para baixo?

17. (~ I I 'ml"I ' II 1, 1 1lf


11/32

(1 )

2-2 FUNQOES RACIONAIS E SUAS DERIVADAS 5 7

I, '

DElnVADAS DAS FUNQOES ALGEBRICAS CAP .. ~

2~2Fun~oes racionais e suas derivadas. No paragrafo pre-ocdente vimos como determinar rapidamente a derivada de urn poli-1101010, apl icando certas formulas. s imples . . Primeiro determinamosft derivada de urn monomio em x,

A fim de demonstrarmos este resultado, sejay = uu,

ddx (cxn) = cnxn-1 ,(j em seguida provamos que a derivada da soma de um mimero finitod t o , i s Mrmos e a soma de suas derivadas.

Neste paragrafo deduziremos formulas para determinacao dederlvadas, em relacao h x, de

produtos: y =uvquocientes: y =u!vpotencias: 1 1 = un,

onde 11, e if sao funcoes diferenciaveis quaisquer de x. Ate 0 mo-m o n ' t o 1 , ( , e v poderao ser polin6mios em x, p. ex.; mas apos apren-1 rmos Q diferenciar outras funeoes como sen x, log x, etc. , as mesmasfOl':tnulas basicas se aplicarao tambem a eombinacoes destas funcoes.o produto de dois polinomios em x e ainda um polin6mio em x;da ti se 11, ,e v 'sao polin6mios em x; uv tambem 0 serlL Igualmente,R n'~ um inteiro positivo e u e urn pol inomio, entaoun e um poli-1 I 0 m i o . P. ex." se

u =x 2 + 1, I v = x 3 + 3, uv =x 5 + x 3 + 3x 2 + 3,

sendo u. e v funeoes diferenciaveis de x. Se dermos a x urn acres-cimo ~x denotaremos os correspondentes aerescimos de y, 'U, o V, -.por ~y -~u e ~v. (Tais "aerescimos" pod em ser positivos ou nega-, ,tivos.) Entao os novos valores das variaveis satisfarao a eql.lQ9ti()

y + ~y = (u+ ~u) (v + ~v) = uv + u~v + v~u + Au~v.Subtraindo y = UV,ob t emo s

~y = u ~v + v ~u + ~u ~v .D iv id in do p or Ax :

~y tl Av + v Au + Au ~v ,~x = ~x Ax Axli'inalmente, ao tender Ax para zero, Au e Av t amb em tend ra o

parD. Z 1'0, porquelim ~u =lim ( A U A X ) = lim Au lim Ax = du . O .Ax Ax d x

p (z)f (x) = Q (x) ,ond 1 (w ) 6 Q (x ) silo polinomios em x, e chamada f 1 t n r;aO rac ional ., p ulr wtlJ l 'aztlo (quooiente) justifica a denomina900rac ional .

1 , A d riv a d a d o pr ' odutf i 1 1 =u v d e d ua s fu nr ;o es d ife re nc id ve isttfJ da da p or '

1 . Av I' (. ~ v + A'll +.A. ~ v )n-= im u- v- I.l.U =Ax . Ax ~x ~x. Av I' Au, I' A Av:::::im ~l ~x + im Ii Ax + im 1411, Ax -

c:: lim ' 1 , 1 lim A A v + lim Ii lim ~ - + U rn Au 11m ~I J-x ux ~m

I' 1 . 1 , = X2 + 1, n =2, 1 . f n = X4 + 2x2 + 1.

quociente u/v de dois polinomios na o e , entretanto, em geral,1 1 m po l in6mio em x. Uma funeao f ! ) J l h > E l valores satisfazem uma! ! ' lI [~9 I l oda fo rma

(iv du dv-tt-:-+v-+O'T""'"dx dtl) df H t o 0 ,

r i l l ,II J Ifll!I I q l1 I Mj lHh!1wl (I ,

N t 1 1 1 1 l H l H Ijlt I iii d l U ' v l I , t h d . 1 1 1 1 1 1 U " t l t l l . I f 1/ ,I IIi II I 1 1 1 1 1 do 1 ' ' ' 1 1 1 1'1 M l I I ~ I I rlml11' II'tI, III I I U I I II I I i I l I l i O ' f l J " ~ ff l i l tlo I, 1 '1 1 1 ,


12/32

DERIVADAS DAB FUN


13/32

(1 0 DERIVADAS DAS FUNgOES ALGEBRICAS CAP. 2 2-2 FUNgOES RACIONAIS E'SUAS DERIVADAS 61olld u e n satisfazem as hipoteses; demos a x urn acrescimo ~x, eH O J l \1 l 1 . ~y e ~u os correspondentes acrescimos de y e u. Entao e dada por (5)v + ~ y = (u + ~u)n =

=un + nun-1 Au + n (n; 1) un-2 (.6.U)2 + ... + (.6.u)nH IMr a indo a equaeao original obtemos:

.6.y = nu n-1 .6.u + (termos em u e .6.'11.).6.U)2.l1'vidindo por l : f. . l J :

.6.y =n un -1 .6 .u + (termos em u e .6 .u ) ( .6 .U )2 .~.6 .x ~

Il. . se n e inteiro negativo.Notemos, inicialmente, que a formula (5) e uma extensao da

(4) ao.caso de n ser inteiro negativo. Para demonstra-lo, combinemosos resultados das eqs. (3) e (4) como segue. Seja

1y = = u-m=-,um

) ( 1 ! ~ d e finiQfio de derivada, enquantolim (.6.U)2 =im ( .6 .1 . 6. u) =~x ~x

. .6.u . A du= Inn ~x lim uu= dx . 0 = O.

onden = - meum inteiro negativo de forma que m e positive.Entao, aplicando a formula (3) para a derivada dum quociente, vem

d ( u : ) ('um d ( 1 ) \ _ 1 d (um)dy = \' dx// dx' -_ _;- -- ( um ) 2dx dx (6); ' 1 \ 1 1 1 nd o .6.x tender para zero,lim .6.u = du.6 .x dx em qualquer ponto onde u seja diferenciavel e diferente de zero .As derivadas que aparecem do lado direito de (6) podem ser. todascalculadas por formulas ja demonstradas, ou seja

d (1) = 0dx '

. ~y . [ . 6 . u ( ) (.6.u) 2 ]hm- = lim nu n-1,- + ... -'-.- =~ .6 .x ~. 6 . n (.6.u) 2=lim nu n-1 .6.x + lim ( ... ) .6.x =

du= nun-1- + 0dx '

porque 1 e uma constante, ed (um) =mum-1 du ,dx dx

posto rque m e inteiro positivo. Po r tanto ,

/j

dydx ,=dm .urn . 0 - 1 . mum-1 --d x " du= - rnu-m -1 - , dx

dy . d'u- =nun-1--,dx dx c.q.d.Substituindo - m par n, recafmos na formula (5).

EXEMPLO 1. y "" x 2 + i/x2, X ;e O . Po de mo s esorever, ,J)y =x2 +x-2

Milt ow n 7 J O n t o cnul 7 , ( , - (J (z) B e j a d iJ er en cid ve l, e d ij er en teIftl ()I It r i I " t v a d n d ~ .. 2x2-1~. (-2) -,(I. (l :n

Entiio

/


14/32

CAP. 2 2-3 ~RELAgOES IMPLICITAS E SUAS DERIVADASERIVADAS DAS l!'UNgOES ALGEBRICASx2 + 1'~I,', MPO 2 Y = -- ',x 2"e 1. Apl icando a formula, eq. (3), para a," " .' 2 l'x - I ' " ~

tl I' vl.\dn do uma frac;iio, temos:Calcule ds/dt nos problemas 9 a 15.

13. 2t8= 3t2+114. s = (t + rt?15. s = (t2 + 3t)3

(!J s = t;~ 110. s = (2t + WII. 8 = (t2 - t)-2@8 = t 2 (t + It!16. Sem consultar 0 livro, enuncio c demonstr~ a formula da derivads do

produto de duas funcoes difereneiaveis u e v.17. Idem idem para a derivada do.quociente de duas funcoes diferencidveis

u e v.

dydx = (x2 - 1) ",2x - ( ;1 :2 + 1) . 2x. (x2 _ 1)2-4x= (;2 _ 1)2

J;', , 'I n )O M l'L O 3. Y = (x2 + 1)3 (x3 ~'1)2. Poderiamos' naturalmente desenvolver ', fIr He ,obtendo' y como pol inomio em x. Mas nao e necessario, Utiliza-

1 ' lu HUM a fOrmula (1) da derivada de urn produto:J . ) '

dll '= (x2, +' 1)3, . ! ! : _ (x3 _ 1)2 + (x3 -' 1)2 . ! ! : _ (i2 + 1)3..~. . l8. Idem idem para a derivada, em relaeao a z, de un, sendo ~t fUlI!,llIodifercnciavel de x, e n illteiro positivo.

'2-3.Rela~o~sirnplfcitas e suas derivadas. As fun90es ]que tratamos ate agora tem sido da forma y ~ j (z), isto e, dando j/expllcitamente em fU f l ( ;ao de x : Frequentemente, entretanto, encon-traremos equa90es tais como

~ I In rlv lld a s a serem calculadas sao do tipo da eq. (4),d I ~', d ~ ~-- (x3 _ 1)2 =/'2 (x3 .",. 1) - (x3 _ 1)a x ' \&:Au, dx 1 /1

= 2 (x 3 _ 1) (3X2=i~.X2 + y2 =1,

1/ 2 =x,xy'= 1,

x2 + xy + y2 = 3,'d ", -, d '- (x2 + 1)3 =3 (x2 + 1)2,~, (X2 + 1)dx , dx --.- .u '=3 (.,2 + I )2' ,2x =~~

Huh~'b t l ' l 1 n d o (lsses valores nas equacoes anteriores: .._ :) ,~,d1l ... (x2~ I)~6x~(x3 _ 1) + (x3 -'lf6x,(x2 + 12) =~ . . ~

_ 6 :1 ; (x2 + 1)2,(x3 _ 1). (i (x2 + 1) +-(x3 _ 1) ) = r{ _~

envolvendo x e y de tal forma que niio nos dao '! J explicitam nt ntermos de, z.' Nab obstante, cada uma das equaeoes citadas dof inUIl1a 'rela9ao 'entre x ~ 1/. Quando se substitui x por um dado nnmr rode urn dom'inio, a equacao resultante nos da: um ou mala Vll lOl 'OI . ide y associados aquele valor de 'x. Dizemos entso que t\ ( lUo,Q odeterminay como uma oumais j un r; i5 es i mpl ic it a s de (c. U l : ; u l 1 ' h n o n trestringe-se 0 dominio de x de modo que y seja real.

Nos exemplos citados, as equ f \ gOeE l pod em 6 r r tiolvidr H I tmodo a dar y explici tamente em Mrmos de X i tal 'uito I P l' ttl, I(l(t l- l 0 m a equaeao

2.()t {..k; ; : c'JPROBLEMAS r

' ( u .l u lo d l l /d f I J em eada um dos problemas ~1 a 8).'I. V m 3 /8 - : r ; 2 / 2 -I - x _ 1 5 . 11 = (z + 1)2 (xt - 1)-3 x G + 4xy O - B V O - 2." ," ' V 2x + It:. . 1/ ( : \ 1 - 1 )3 (: v + 2 )4 , 6. y ':" x 2 _ 1\l

( II I 'I )D 7. 2x -I - 5 IIUIIIIH 1 1 p o n. , II 11 - l . l x - 2II " a , ) 8. e ' - J . . ) 2I 11 II ,II I, ! 1 1 1 m

6 3


15/32

" 2- 3 RELAgOES IMPLlCITAS E suss DERIVADASERIVADAS DAS FUNgOES ALGEBRICAS CAP. 2

1 1 1 1 p ; O l ' .i ln o s a leitura de tratados mais adiantados de Calculo como ,I ,{ " Tretuise on Advanced Calculus, Franklin, pag. 50 (John Wiley,N n w 0 1 ' 1 - , 1940)].T D 'M l J LO 1. Calcule dy/dx, y estando ligado a x pela equaoao (1).8011!~ao, Diferenciemos ambos os membros da equacao em relacao a x:

tante, vern _ ( d ~ ' ) (dy dx) (0 - : 1 1 T h2x - ct - 'X - + y - + 2y - =0,\_ dJi/ dx dx \ '_:5/e x + 2y) ~~ = - (2x +'y),

(~~ ) (1, 2 ) =- : .o metodo da diferenciacao implicita permite-nos mostrar tambem

que se u e f t i,nr ;ao di jerenc idue; de x e se

e onde x + 2y ,t. 0, teremos-Em particular, no ponto (1, 2), temos

( d (y3) . dx ) dy5x4 + 4 x ~ + y3 dx - 15y4 dx =0,.5x4 + 4 (3Xy2~~ + y3) - 15y4 ~~ . =0,(12xy.2 _ 15yl) dy = _ (5x4 + 4y3)dx '

t MIl'll nto, ern todos os pontes onde y =up/q,12xy2 - 15y4 ,t. 0, c o m p e q inteiros e q > 0, entao~I dy p du.- =- u (p/q) -l -dx q dx

c['8de que u ~ 0 se p!q < 1.Note-se que se trata da regra ja conhecida para achar a d o d . .

'V d o , d u", apenas aqui aplicada ao caso ern que n = v ! e qua lqu rnumero racional. Naturalmente, 0 dominio de x deve s e r r e s' tr .i n-ide de tal forma que ? I P / q seja bern def inido. P. ex., se u =1 - xM

1T J / q = '2' entao deve ser I x I ~ 1 para quey = (1 - X2)1/2

dy 5x4 + 4y3d;;- = 15y~ - 12xy2Nohol li08 que a regra

d y5 =5y4 d !Jdx dx

aplica9~od~ste metodo a qualquer uma dasIlljlW Q~ Ii l' lucionadas acima dar-nos-a uma expressao de dyjdx emM",li10H do m d 11 , 1, to nAo deve acarretar-nos nenhum embaraeoPO I'(j\I I , A d H [ a rmce 0 C O fic iente angular da tangente a uma curva1 1 1 1 1 1 1 'J)o nL f) ( , 1 /1) d Ot m sma, te remo s ape nas de substituir x e yJ l O l ' 7 1 ])'1 Pl'()iiSft final d d V / d x .

, ~ I j l\ 1 'O U ,],1 ' 8 1 i l ' i l , ; l t l o l.t r6 0 se p i q < 1 e necessaria a fim d e e vita r di viHlto

IUI' III 1'0, qu nao tern sentido.1 m s tn ,b 1 r r e su l t ado , so ja

II II I) I~M"IIO:' , (1\1 nil " () ( (I f l()n~(1111!~1I1llt du tl1l\j.( fit u , urva X2 + X1 J +I J l Y '1 1 1 0 H on l , l I ( I , ~ ) ., "I II I I! I' (f ll , I ) f l l l ' l l l l l ' 1 ~ '1 I 11 l 1 1 i li lO H OM " ,( ' r ,h "o N I II 1 11 11 \1 l iN n u m , ' , 1 ' 1 ( , ' 0 Ii a , {l

j 1 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1 ' IWI 1 ' 1 / 1111 IIl',"llli,I '. it II II J I" tI , f U I ' f i l i II!!, 1 1 I 1 1 j 1 1 l 1 1 1 1 , 0 Ill'll ( \ O t l ~ .,

' ) l 'I I 'N I I I I I ,I 1 ( iI ) IIlpl\lll,I1I1I1I1I,(I lHl"l l)(nl ~1 u u m hr OH d ll, '!jllH! ~I ( I~plI,,,"d,, '1 " r 1"1 \I I I I 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 d n H I I I ' , \ I H d O l ' V I II d ( y a 1 I (1 '1 I I "

6 5

"".""": ~


16/32

DERIVADAB DAB FUNGOES ALGEBRICAS6 CAP. 2p e q sao inteiros, tais formulas sao validas), obtemos

dy du .qyq- - =P1lP-1 __ .dx dxDai, se y 0, temos

dy _ P1),fJ-1 d udx - qyq-I dxMas

de forma que

P d u- u(p/q)- - .q , dx

A restrioao imposta, y r! - 0, e a mesma que a re stricao u r!- 0, mas aqui naose cogitou sobre se p/ q e ou nao inferior a L Essa restrieao nao ,e necessariase p/ q =1 , porque , entao , temos s implesmente y = ue

dy = du,. .dx dxp casoe tipico do ca so

rh > 1,e, neste c aso, veremos que 0 coe fieien te angular da curva e 0 para x =o .. Po-demos apl ic ar d ire tamente a de finicao de tangente a eurva no ponto (0, 0) comoa posicao-1imite da seeante por (0, 0) e por urn outro ponto PI ( Xl , Y I) da curva ,quando PI tende para a origem. Entao 0 eoe fieien te angular de OPl e

YI - 0 Xl3/ 2' IIm = --- = -- = Xl 2.XI - 0 XlQuando PI t ende para 0, temos

tt 10 - 1 1 m m 1 1 m ll/~ - O iI I ! 0

2-3 RELAgOES lMPLfc ITAS E StJAS DERrvADAS 67 Iisto e , 0 eoefieiente angular da tangente ,a curva em '0 e 'zero.mula que aeabamos de deduzir, obtemos' -,

y = x3/ 2,dy 3 '- =--x /2dx 2 '

Apl icando a f6r -

o que, em X = 0, e Igual a z ero.Num sentido mais estrito a eurva nao tem

I rlvada em x =0, uma vea que a curva nao( 18t A esquerda da origem. Signifiea isso quem I .t l - 0, s6 podemos ealcular 0 limite a direita: FIGURA 2-2

lim . j (x + .1x) - j (x),:lx-+o+ Ll x

N 0 obstante, eostuma-se dizer que a . ( F'h01 ' 11 ! 6 1 j i l1 l no , origem.( -' curva ver ig. 2-2) possui tangen:to, ja que as seeantes que podem t d .ponM ),l d o. urva tend em ,todas a ra ' . . se r rsea as da orige a

p fll '! l. ( ) " 0 longo da eurva. " puma unlfa Pos1ciio-limite quando P tendo

PROBLEMASlanl I' t l 1 J / d x , nos problemas '1 ' a 23 .

U -I 1 /2 - 1 G2x y + y2 = X + yII g .14. y= V;+ ~ + y;;

I.

If. u , m l/ 1 1 1 t 2 @ 2 x2 - 1y ,= - x2 + 14 . u " I lI g (I )0.. 16. (x + y) 3 + (x - y)3 = x4 + v41 1 . IIU 17. (3 x + 7)6 = 2y36. w gl +y'/ft 18. y - = (x + 5)4 (x 2 _ 2)37. x 1 / 2 + V l/~ .. ], 19.

1 1. - +- = 1y, X8.) x 3 - x y + y3 _ 1 20 .--~ , 1/ = (x 2 + 5X)3e x2 = x - y 21 . 1 /2"" x2 ~ X+ Y'@ X - "= \ _'_'_ x2y2 = x2 + y2',-v'x2 + 1 .22.U. 71 "" 'XVX2+ 1 2 3 . V 'x 2 + 3, y= xI /I- 1 lJ2 + _ !_x2


17/32

6 8 b :E ; k r vADM! DAS FUNgOES ALGEBRICAS CAP. 2sabemos que

I' 2-4 INCREMENTO DE UMA FUNQAO 6 9"24. (a) -Difcreneiando implicitamente x2 - y2= 1, mostre que dy /dx = x/yo(b) Diferenciando dy/d i =xl v implicitamente, mostre que

y2 _ x2=-3y

D. ya inclinacso da secante PQ =D. xtende para 0 valor-limite

27. x2/3 + y2/3 = 1

dy =l'x)dxu como y2 - x2 = - 1 peia equacao original,

quando D. x tende para zero. Portanto, a diferenea~Q: I. . . ,~

" . . c". I~

I~\ ~J t! d

~=0I ' 1 J

Use 0 metodo do probl. 24 para ealcular dy/dx e d 2y/dx 2 em cada urn dosroblemas 25 a 28.

D .y d yD .x - d x

25.x2 + y2 = 126. x3+y3=1

e numericamente pequena quando I D .x I e pequeno. Denotemos porE est a diferenea:

28. xy + y2 = 129. Uma particula de massa m move-se ao longo do eixo-z.e dada por dx/d t e a posicao x satisfaz a equacao

m (i J 2 - vfi) =k (x5 - x2),

A veloeidadeD .y d y-.---=fD. x dx . ( 1 . )

Entao, dizer que

nde k, vo e x o sao constantes. Mostre, diferenciando a equacao implicitamentem relaeao a t, que, sendo v ~ 0, e

lt: : . .y d y if ( )rm -,-=-= x.1z-+Q D .x dx (2 )e equivalente a dizer que"

dvm = - kx.dt lim f = O ..1z-+Q (8 )Determine as retas tanqente e normal as seguintes curvas, nos pontos Po

.. .. .. .. . . .,__-' indicados. (Diz-se que uma reta e normal a uma curva num ponto Po se for alperpendicular a tangente.)

Em outras palavras, podemos deduzir das equaeoes (1), (2) e (3 ) qtlO

30 . x2 + xy - y2 = 1, Po (2, 3)si, x2 + y2 = 25, Po (3, -4)6 ). x2y2 = 9, Po (-1,3)33. x -y =2, Po (3,1)x - 2y -"?3 . (y - X) 2 = 2x + 4, Po (6 , 2 ).

D .y dy--=-+ED .x dx '

2~4Incremento de uma fun~ao. Neste paragrafo veremosOInO determiner a varia


18/32

70 CAP. 2

y = x2 , (parte principal de l1y) = 2 x I 1x ,tern tambern significacao geometrica, tal como ilustrada na Fig . 2-4. 0 qua-drado original, de lados z por x, tern area y =x2 Se cada urn dOBlados eaumen tado para x + I1x, entao a area sofre urn acrescimo l1 y =2 x I1 x + (l1x?Quando I1 x e pegueno em relacao a z, a maior parte da variacao de y e dadapelos dois .retangulos x I1x , e apenas uma parte muito pequena dessa variacaoe represen tada pelo quadrado I 1 x . I1x. Assim, se 0 quadrado original tern lado

DERIVADAS DAS FUNgOES ALGEBRICAS71

Comparando a Fig. 2-3 com a Fig. 1-21 do paragrafo 1-7, vemos(Iua 0 primei ro termo do membro direitoda eq. (4c) e igual a variacaoAv sofrida pol' y em consequencia de uma variac;ao ~xno valor deIll, se 0 ponto (x, y) se movesse ao longo da tangente. I


19/32

dyAy"" -x =AYtgd x (5)

A "REGRA DE CADEIA" PARA DERIVADAS 737 2 DERIVADAS DAS FUNgOES ALGEBRICAS CAP. 2

,jI Para cada uma das equacoes y =j (x) , ooolie y + Ay =j (x + Ax), calcu-

lando yea parte princ ipal de Ay, para os valore s ind icados,6. y = V;, x = 4, A x = 0,5 ,7. y = ,..:;;, x = 8, y = -0,58. y =x-I, x = 2, Ax =0,19. y =~, x = -4, A x = -0,2

""Droxima


20/32

7 4

HIl , (lOr olil/I 'U I I M l o l f l U h R M l i U I mill! J l r h u o l r Q Q VI \ l oX' d III POl ' ftltn 0 )l~!l~~! l 1 1 i 1 I 1 1 ~ , I I I I "I I OI IUI IQ 0 ( IUO I I : l H < l i t 1/ , 'b r H l O U

1/ (til I ')" a (t~ I 1 )1 I IJ (t~ I j) - 1 .(I r'l,llllllllill H I I I I IQ n tl

CAP. 2 2- 5 7 G, DERIVADAS DAS FUNgOES ALGEBRICAS

A "REGRA DE CADEIA" PARA DERIVADASpara det~rminar a posicao de (x, V ) em relacao a t. Tais equacoeschamam-se equacoes porameiricos, e te o partimetro, Eliminandoentre as equacoes (1), obtemos uma equacao da forma

Dividindo (4a) por b.t(40), y = F (x). (2)

e tomando limites quando A t -t O. Como x = . t (t) e funcao diferen-ciavel de t, temosE natural, agora, que se pergunte que relacao existe entredy/dx ~ F' (z), da eq. (2), e dy/dt =g' (t) e dx/dt =l' (t), das eqs.(1). A resposta a esta pergunta encontra-se na seguinte regra deoadeia para derivadas.

Se y=F (x ) e funcao diferenciavel de x, e x=f (t) e fUIl9ao dife-renciavel de t, entao y =F [ f ( t ) ] = g (t) e funcao diferenciavel de t e

,1 A l' ( L l X A ) dxIIll ux = 1m _'-, ut = - . 0 = O .Llt--->o Llt--->o A t dt 'Portante, b.x tende para zero com !1 t e,

lim E = lim E- =O .Llt->O fu>->O0' ultimo termo da eq. (4c) tern, pois, zero por limite, e

dy = lim b.y = lim dy b.x + lim ( E b.x) = dy dx + 0dt Llt->O A t, AHO d x ,A t Llt->O b.t dx d t Io.q.d.

g' (t) = F ' (x) f ' (t); (3a)O U J em outras palavras,

(ab)

Esta e a chamada "regra de cadeia" da diferenciacao, porque 0cdlculo da derivada, em r e lacao a t, de

EXIlJMPLO 1. Use a "regra de cadeia" para calcular d1l ldt :11 = x3 _ 3x 2 + 5x ~= F (x), :x = t 2 + t '" /(t).

So lur/io. \ \' \ ody J 4 .? f -4 .dx = 3x 2 - 6x + 5 = 3 (t2 + t)2 - 6 (t2 + t) + 5,d xde - 2 t + 1.

y = F[j(t)]fl desenvolve segundo as etapas seguintes. Primeiro, diferenciar afun9io "externa"

y = F (~)om l 'e l a< ; lI o a x. Segundo, diferenoiar a fun9ao "intern a" I I I ( '( m nu q uo l\ cq . ( ab ) f ioa

~_!hL.~_ci t d i l l d t- [ : ' I (1 2 -I - t)~ - 0 (t Q + ' t) + lI J (2t 1 ),

x = f (t)In r la 9a :o a t.o produt o dessas derivadas da dy/dt.

1 1 1 ' 1 l L es tabe lecer 0 resultado, demos a t um acrescimo A t ; ; 6 . 0 e 'dOM't m B os correspondentes acrescimos de x e de y por b.x e b.y.l~n.t 0, omo V = F (x ) e fuor;ao diferenciavel de x, podemos escrever,d 11 ol'd co m as eqs. 4a, 4b, 4c do paragrafo 2-4,

b ..v . .. ~ ~ A x + E b.x, (4a) I U I I)MII I I) II jl I : .I ~ , I) I /I ( , I I)Il(t I I)' II (I I t) I I ~ It),

1 'I I I . , . , ,II, 1 1 t ~ 1 f 1 1 i 1 1 1 1 1 1 " I I H I I I I " " , 1 1 1 1 I , , , U H Il lt , iiI I , h l l l . /o o m o o . (4b) / \


21/32

,/

'']6 DERIVADAS .DAB,FUNgOES ALGEBRICAS AS DIFERENCIAIS dx E dy-6 77AP. 2',ObseriJa~iio l.Ate 0 memento nao cogitamos de definir dy e dx

comoentes separados; apenas usamos 0 simbolo completo dy/dx paradesignar lim (Lly/Llx) quando L lx ~ O. Estabelecida, entretanto, itq. (3), estamos em condicoesde definir (como0 farernos no proximo

'paragrafo) dy e dx como quantidades distintas, cuja relacao e a deri-vada de y em relacao a x. Entao, a eq. (3b) e a forma da "regrade cadeia" mais facilmente memoriaavel, ja que sugere0 cancelamentode dx nas duas frac;oesa direita.

'bbserva~iio 2. Se dx/dt ~ O,poderemos dividir ambos os mem-bros da eq. (3b) por dx/dt, escrevendo-a na forma equivalente

II u ~ f (x).Observar;ao 3. A "regra de cadeia" e tambem freqiientementeexpressa mediante outras letras para representar as variaveis. 0caso mais comum e 0 de y ser funeao de u, e u func;aode x.y = F (u),, i Temos entao(6)

J~ temos uma ilustracao desta formula no caso da derivada , em relacao az, deEnt:io(5) dy_ =nun-1du

PROBLEMAS

A forma (5) acima e particularmente util quando tivermos de lidaro o m e qu ac oe s parametricas

edy d y du . du_ = _ ' _ = nun-1 -.dx du. dx d x

x = f (t), y = g (t),porque nos permite calcular a derivada de y em relacao a x direta-m nte a partir' dessas equacoes.EXlll,MPLO 2. As equaeoes parametricas

Nos problemas 1 a 4, cada par de equacoes re presenta uma curva sob formaparametrrca. Determine, em cada easo, a equl\c;ao da curva na forma 11 = P (s),eliminando t; calcu le a segu ir d 1 l/ d t, d y /d x e dx/d t , e verifique que satisfaz m Ii"regra-de cadeia", eq. (3b).= 2t + 3; y = t2 - 1r ptcl80ntam uma curva cuja equacao, na forma y = (z), podeser obtida substi-

' C ul nd o -s e , n il , 2. equaeao, 0 valor 1. x = 3t + 1, 11 = t2 t3. x = - r = - t , y = t2t t24. x = T+t' y = ~ + t .x-3t=--.2d o . pl 'hl lOiraj iato e ,

1Y =4- (x - 3)2 - 1. 5. Se u:rp ponte desoreve 0 clrculo x2 + y2 = 25, e se d x/d t "" 4 quando ponte atinge (3, 4), calcule dy/d t af.Em oada um doe problemas 6 a 10. calcule dy/dx, (a) usando 11 " l 'o g r l \ (lu

adcta" e (b) exprimindo primeiro 1 1 em funQllo de x e diferenoiando om Ho~ulcln.n l o u l u . n d o , 11 , partir das equa~oes ,or iginais.dxde = 2. dyde = 2t. I, 11 - t i , 2 -I- S'u - 7; U'" 2x -I- 1 9 . 1 1 - w 2 - W-I; w - 8m

1 0 : 1 1 , - 2 v u - I - ~ ; v - (:I I 2 ) ~ / 1 1\ fl. (11 )d4 u - V 2x -I - 1l i1 1 _ d U /d t . . . ~ . . . t = x - 3 , 'dx dx/d t 2 2

PO t Ol't (J l n d o , u a q u o. Q lt o q u d n 1 1 o m M l'm OB de x,d U(1

,/


22/32

DERIVADAS DAS FUNQOES ALGEBRICAS8 CAP. ~ntso, X variavel independente e y = F ( X ) , adotaremos as seguintesdeJ in i t ;oes :

(a ) dx , ch am ado "d ife renc ia l d e x" , p od e ser qua lq uer n um erorea l, i .e , dx e ou tra var id ve l in dep enden te , eu jo d om in io eda do po r - 00 < dx < + 00; e

(b) d y , ch am ado "d ife ren c ia l d e y", e ju n9Q O de x e de dx , da da po idy = F' (x ) d x, (1)

onde F' (x ) e a der iva da em x da [unciio F., V~-se, de (1), que as diferenciais dx e dy tern as propriedadess guintes:(1) se dx = 0, dy = 0; e(2) se dx r!0, entao

dy . = diferencialde y em termos de x e dxdx diferencial de x=F' (x ) dx =F' (x )dx (2)

l\ dorivada de y em relacaoa x.Nilo h a nada de misterioso neste ultimo resultado, uma vez que

dol t b radamente definimosdy pela eq. (1), de forma que a eq. (2)i ( m H v rdadeira. Na verdade, estabelecemo-lo assim!

J. x ., soy =x3 =F (z)F' (x) =3x2

dll = F' (x) dx = 3x2dx.( o i l ta l ft 1 61 ' l1 0B t o .mbem esc rev e r

n u L 0

. dll ;"'3x2dx '11( 1 OMIJ ldOl ' tu f lOS a y l d : u como f rn91lo 0 m ultip llcamo s am bo s o s rnem bro s PO l '

I I , u ht,(lI llO H H lW U I\ ) Ilt

1 1 /I' ( . )

dy = F' (x)dx = dx.

2-6 AS DIFERENCIAIS dx E dy 7()entao

F' (x) = 1e

Isto e , a junl ;{ io F ( x) =x tern sua diferencial, dada pela eq. (1), igual a diferenoialda vari dve l independent e x . Este nao e um resultado profundo; rnostra simples-mente que, no caso em que (a) e (b) se aplicam, ambos, a diferenoial e a mesmn,quer seja dada por (a), quer por (b); isto e , as duas regras saoconsistentes.A interpretaeao geometrica de dy tornar-se-a clara se nos refo-rirmos a Fig. 2-6, onde, em cada parte, indicamos uma curva y = F(x)e urn segmento de reta PT tangente a curva em P. A diferencialdx =PR, em cada caso, e considerada positiva se R estH. a direitade P [como em (a) e (c)] e negativa quando R esta a esquerda de P,

y

y

~ o * - - - - - - - - - - - - - ~ ~ ~ X(e)11 ' lGUUA 2-6

y

o (b)y

o (d)

o " , 1 1 1 , 1 1 1l< ill} 6 p O A i tt v( ') B '1 ' o F i L a M i r n a d R [ om o o m (1 1 ) I (d ) Il Iol l lnj,lvn H ~I f lUd. I1bM 0 do n, ] J J : m qunlql l r O l 1f lO t 01 n () 1J < J ,I IO

nlu'v' Hill 1tI'I /f 'l


23/32

o DERIVADAS DAS FUNgOES ALGEBRICAS CAP.2,), 2-6 AS D:rFERENCIAIS dx E d;y 816 a quantidade da variaeao de y ao longo dessa tangente, ' decorrente< 1 1 1 variacao dx em x. Temos entao:

(a) dy/dx e a taxa de variacao de y, por unidade de variaeaoem x; e

Equaf;oes parametricas. ;Suponhamos agora que z nao seja maisa variavel independente, -e sim que x e y sejam funcoes de t. Seja

(b) dy e a quantidade de variaQao de y para dx unidades devariacao em x ao longo da tangente a . curva em P.

J ? rtanto , se fizermos dx = ~x, entao dy sera ~Ytg da Fig. 1-21, que11 parte principal de ~y. Em problemas relacionados com incre-m ntos deveremos, portanto, tomar dx =~x e usar dy como apro-

~ima9[o de ~y.

Y = = F (z), x = (t)y =F [J (t) 1 = g (t),

(3 )

sendo t a variavel independente. A fim de mantermos eonsi s t enc i acom nossas definicoes anteriores, devemos ter agora as definieoes:(a)' dt e arbitrario, i.e, outra variavel indepenclente, cujo do-

minio e - co < dt < + ex > ; mas(1,001)1/- 2 (1,001)4/3+ 3.

(b) .d =l'(t) dt, e(c) dy =g' ( t) d t.

(4a)(4b)

EX IDMPLO . Ache uma aproximac ao ra zoave l do va lor de

y/

S~lUl;iio. / Em .'zo = 1

A notacaoe a mesma usada para estabelecer a eq. (3a) do pan'i.g .2.0de forma que podemos fazer a substituiego"Yo

a funcao definida porF (x) =x7 - 2x4/3 + 3 g' (t) = F' (x) i' (t)~o+---~X~o----~----.x em (4b), obtendotern' por valor

FIGURA 2-7 Y o =F (1) =2. dy =F' (x) f ' ( t ) dt,o que, levando em conta (4a), implicaA . 'to.nSente ao gr9.f ico de F em (1 ,2) permanece ra proxima a curva para valoresII til pr6xiroos de zo . Quando x varia de X o = 1 a zo + dx= 1,001, a. variaceod o 1 1 0.0 lon(Joda tangente sera

F' (zu) =!2:I

dy =F' (x) dx. ( 4 1 0 )Qual e a significacgo de (4c), e em que difere (4c) de (I)? n

ponderemos primeiro a ultima pergunta: Em (4c), dy .,. . ( / (t) dtexpresso em termos de t edt; dx = = = j' (t) dt e igualmente expl' 00 1Mrmos de t edt; enquanto que, em (1), dx e variavel indep nd l\'t(dy e expresso em termos de, x e dx, diretamenbe, Aasim,'a s ig llH . .ca9ao da equaeao (4c) e que, a partir dela, p o d em o s escr v l'

F ' (x) = dy ( em t el 'm o a de t I dt) 'sdx ( em t J rm o s .de t edt)' e dx

dy =F' (zo) dx.0000

F' (z) =7x6 - - ! XI/3till p o r v alo l'

1 1 1 1 1 o. 1 , q ua n do f u. ze m o s dx "" 0,001, temos 0'jd 13Y - 8' (0,001 )'" 0,0043.

i B C O e ,d 'lvnda de V om r ol al 'l li to n IV _ ~ 'o n(Jifil d l J)' dif .(no inl d ' tj O (II 0 ,1 1 1 1 1 mlo u 1 1 0 tl\ varw.9lt II I u . t moe :

1 1 0 I fl U M O ~ 3 !/IU 7' a il ( l ' i J I' n o 'w i s 8 ~alln p r Sllll/! om t r ml iN I II I (l I (lH r (In t 1'11/1111/tI, t ( 1 1 . " [ 1 1 1 IIfl o III 0 , I~(11. (til (1 ~ I I O I i I I ' I H l I l l t l i q l l e 1 1 1 ( , I I < t i l l ) II I1 m ! I ~ I I I 1 1 1 1 I I I H II I 1 1 0 j I I I ( ~ "I I II , d e / 1 ' / . 1

/ ~


24/32

I . J )iDERIVADAS DAS FUNQOES ALGEBRICAS 2-7 F6RMUL~S DE DERIVAQAO

Soluciio. y' = dy = .dy/dt _ 1- 3t2dx dxidt - 1 - 2t 'd [ 1 - 3t2Jd2y " dy' dy'/dt dt I=2t

d.o;2 = Y = d;: = dx/dt = (1 - 2t)(1 - 2t) . (-6t) - (1 - 3t2) (-2)

(1 - 2t)3

Derioadasd IeJ. d O : - = 0-x

Jl. d (le u) = k d udx d x

Jf r . d ( 1 . i J + V ~ = = d u + d v(t dx dxI V . rl 1 / , 1 ) 2 , flu a u1 ' ( ' :t ~v-ti m " I k lJr f ( ' I / , ) lin ( / ' 11IJ 1~V , 'I I d , 1 l tl wd,11 Il Y

2 - 6t + (1/ ,2'(1 - 2 1 ) 8

Dijerenc ia isI'. dI e = 0II'. d (le u) - l e d ? ) '

Ill', d (u - I - v) - d?~ I ( / ' vIV', d ( 1W ) ' I H l lJ I uri",

l i . J sta propriedade das diferenciais que nos permite tratar aI I ( r l vu d n como a relacao de dy para dx , quer seja z a variavel inde-V nd nte ou nao, possibilitando tirarmos plena vantagem da no-L U \ . l L t o de Leibniz.

E impor~ante notar que, par~ obtermos a derivada segunda do 7/em r;la9ao a z, quando a denvada primeira dy /dx = V '. e expressae~. termos de t, podemos diferenciar y' em relacao a t, desde qu odividamos 0 resultado por dx/dt.

EXEMPLO. Calcule d2yjdx2 se x = t - t2 e y = t _ t3.

1'111" I

. 2-7 F6rnlUlas de derivacdo com.notacao' diferencial. A Rf~rmulas de derivadas a esquerda do quadro abaixo ja foram dodu -zidas no inicio deste capitulo. Multiplicando eada uma POl' d : 1 ; 1obtemos as f6rmulas diferenciais correspondentes.

CAP. 2

OJnO Ilusbracao, se

dy dxdt = 2t, dt = 3t2,dy =2t dt, dx =3t2 dt,dy 2t dt 2dx = 3t2 dt = 3t'

eliminarmoa t antes de passarrnos a s derivadas:

dy 2 2 2-- -x-/3 - -- --,dx - 3 - 3x1/3 - 3tI) 1 ' 1 1 1 o a t d . de acerdo corn 0 resultado anterior.

, DO 'r iv ad a s eq u nd a . A derivada segunda de y em relaeao a xro l iu,t rpretada como 0 resultado obtido diferenciando-se y duasV ~()fl soguidas em relacao a x; i.e,

d 2y d [ d ]- =- - (y ) .dx 2 dx dxIt J ) ( ) H A , j , v 1 tamMm def inir a diferencial segunda, d2y, de tal formaq'll( h J . r lvadn segunda de y em relacao a z seja igual a d 2y divididopO I ' ( (1 ) ~ , As coisas se .compl icam, ent re tanto, r io caso das e qua co e s1 ) 1 1 1 " 1 n ' 1 1 1 '1 0 t H

x -j(t), Y =F(x) =F[j(t) 1 = g(t).111111)I~ Ii OnH ()H m ais simples alcular as derivadas segunda, ter-(II I"~, (ltl(" uaaudo l ' gl'o,S como

f f j j _ , d ll!r lt' I J - - Irl d : 1 J ! d tII il 11 " till' d ll 'l rl /. ," 1 ~ r/ " fil l '!"/' /


25/32

84 DERIVADAS DAS FUN~i)ES ALGEBRICAS CAP. 2' 2- 8 CONTINUIDADE 8 0Reteremos estas formulas para referencia futura: Qualquer pro-blema que envolva diferenciais, como, p. ex., 0 de determinar dyquando y e uma funQao de x, dada,pode ser tratado, seja

(a) calculando a derivada d y J d x e multiplicando-a por d x, ou(b) aplicando diretamente as formulas I' ';.:_VI'a.

Dadas as fUngoes 'abaixo, x = j (t)~ Y = g (t),(a) Exprima dx e dy em termos de t edt .(b) Use 0 resuItado de (a) pa d t .. . ra e errnmar, no ponto correspondent 1\t =2, 0 coeflc lente angular do Iugar dos pontos (x, V) .(c) Use os resultados de (b) para determinar uma equagao da tangenbO 1 \

eurva no ponte correspondente a t =2.P. ex., se

dy- =3x2 + lOx - 7,dx 1\14. . 1 1 t - 1 t + 1= t +~ Y = t --. 17.' x=-- Y=--t + i ' t - 115. x = V2t2 + 1, y = (2t + 1)2 18. 1 Y = vt2 + 12= t2 'L6 . x = v2t + 5, y = (4t)J/3

y =3 + 5x2 - 7x + 4,entaoe dy = . (3x2 + lOx - 7) dx; ,I '

9. v145 12. ~0,12610 . (2, ' 1 ) 0 13 . ( 0 1)4 /3 + ( ,01)2 - ~, ! 8,01II. . . y ' 1 7

19. Determine d2y/dx2 a partir das equaQoes parametricas do m 'o b !. ] .'1 ,.20. Dete rmine d2y/di;2 a partir das equaQoes parametricas do PI'obl. 17.21. Dadas as equa,goes ,parametricas x =j (t), . (t)y =g ,most!, 'H I

dx d2y d2x dyd2y _ a t d if - d if a tdx2 -:- (dx/dt)3

2 2 . '[I1'l'L\nklln, Treat'iae all, Advanced Calculus (Wiley, 1940), pag, I l t D ) . H O J I IV-[/' (x), x = j (t); .F [j (t)] = g (t).

' 1 01 10 11 1 1 1( 10 I I va1'lttv I lndependente por um indica d iII (111 '1111 II,1 H ti~ lu l!lIl fJ l ' e f o.a c om e Bo gU I M, ,rlM Il I? " ( . n ) ' ( r l : v )9 , (d 2y), => 0" (l) . (d t)2, (d 2X ~1 _ i" (I) . (tW.

I\hr',II'i III Iitlj(Ull , ! l 1 I . "( ll ~1 /) 1 - ( rP 1 /) () ) + P ' (x) (d 2x)i.

I N " I /# H I " ' 1 ' 1 1 1 1 / "' (1 " 1 '1 1 ( 1 0 o " d a ' l " " , ( ) [ / ' ,. . " " , O t - (al)]' (t), D dll~1r dll! Ifllll1 / 11 II ) / 1 " ( ,, ) J" (t.) I / I' " ( , ) [J ' (t)] 2 J ..H ('01 t Illin ul. Ant ad p a s F i A r m A0 ,9 O , P J i . C H 9 0 1 - 1 ( ' In (I II..1 1 1 1 1 1 \ I I fl, {( 1 1 1 1 , H , I M l l 1 l c l . n , , ' o . n O B 0 1 1 ' 0 lit nd l Jor ( o n t . i n w l r t a d l

II I 1111111 l l lJ I I ~ 10 . 11 ' ltIOfj < ' l l H n ,t~ ~ innd nd ~ m.niH b ( ~M I ( nd o I(II!I I 1 11 11 '1 11 11 1 1 1 , 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 " .

1)/'.11 (/ H 7WUI, j w n q r t o I , ( l f V n i t l l ' 't 1 1 1 m , lit. 1 / ' / 1 I 1 1 1 4 (, / , I , 1 /1 ( , III

QU calculando diretamente:dy =d (x3 +5x2 - 7x +4) == d (x3) + d (5x2) + d (-7x) + d (4) = (III')= 3x2 dx + lOx dx - tdx + 0 = (VI'a)= (3x2 + lOx - 7) dx.

Note-se que a expressao de dijerencial (dy , p.ex.) num dos mem-bros de urna equaeao, exige uma dijerencial (dx, p. ex.) no outromembro. Assim, nunea poderemos ter dy=3x2, mas sim dy=3x2dx.o termo "diferenciar" tanto significa achar a derivada comoachar a diferencial, e ambas as operacoes podem ser designadas como"diferenciacao' .

PROBLEMASCalcular dy nos problemas 1 a 8.1. y = x3 - 3x2 + 5x - 7 5. y =XVI - x2

y2 = (3x2 + 1)3/2 6. x+l2. y= x2 - 2x + 4xy2 + x2y =4 7. (1-x)33. y=2-3x

2x 8. 1 + x - x24. y = 1,+ x2 Y = I-xUse diferenciai s para obter aproximacoes razoave is de:

Jll /1 , /illllIlIll,i, r m r ,I l U l , ' 1 ' 1 1 I

''m I m l m ' J lu m ' / ' I "111 '1 /1 , I l lt l l I , II! l i l l l l l l f f lit tit J I / 1 1 ' 1 / 1 , 1 1 l 1 /1 ~ I

I ii


26/32

86 DERIVADAS DAS FUNgOES ALGEBRICAS CAP. 2Se uma Jun~ao e continua em todos o s pontes de urn intervalo

a ~ x ~ b (ou a < x < b, etc.), enu i o diz-se que ela e continua nesseintervalo.Como exemplo de funQao continua, investiguemos

f (x) =x2para um certo valor x =c. A condicao (a) ~ certamente satisfeita, pois

j (c) =c2em x =c. AMm disso, a diferenea

j (x) - f (c) =x2 - c2 = (x - c) (x + c)tern como limite zero quando z - c tende para zero, pois, quando z -+ c temos

lim [j (x) - f (c)] = lim (z - c) lim (z + c)=0 . 2c =0,

Portanto, a funcao j definida por j (z) =x2 6 continua para qua lquer x =c; isto~, ~ continua para todo z, - 00 < x < + 00.

o grafieo de uma funeao continua num intervalo a :: :; x : :: ; bconsiste numa curva "suave" naquele intervalo. ~ste fato tern im-portancia pratica na representaeao das funcoes por meio de curvas.Torna possivel, p. ex., esbocar uma curva construindo-se uma tabelade pares de valores (x, y) , determinando-se alguns desses pontos,e traeando-se, em seguida, por esses pontos uma curva continua(isto e , "suave", sem quebras nem interrupcoes). Seja, p. ex., 0caso da funcao y = x2

Construimos primeiro uma tabela de valores

---------14o 1

2O,5o 0,25 1Em seguida determinamos esses pontos no grafico, e por eles fazemospassar uma curva continua (no sentido acima explicado), tal comon o , Fig. 2-8. Prosseguindo 0 estudo, poderiamos uti lizar-nos, daourva aseim traeada para obter 0 valor de x2 correspond nlj a, lim

(Iltl~l('( I r 11110 constante da tabua. P. "tll\ T i i l ~ , f ..f{ , II vnl( T'III ( )(tltl'o,~ e indicado no. f l (n ln I I , I II , I, 11111 111111 1 1 1 1 1 1

I l\lnv d O . x 2 ~ 2,6. l i l l , 1 1 i 1 ' 1 I ' 1 1 1 1 II I' I J III II II lit II t , t I fl. nit r 1 > ' ~ I ' 1 Ii 1 '111" I" I II t

II CONTINUIDADE 7~nados exatamente. Mas dara valOres aproximados, e essa apro-xlmaQoo sera tanto maior quanto menos distantes estive rem um dooutro os pontos que tiverem sido determinados com exatidao,Y,

FIGURA 2-8 FIGURA 2 - 1 . 1

], 1 1 0. m lhor apreciarmos 0 conceito de continuidade v j l 1mQH1 i 1 ~ I I I 1 R mplo s de descontinuidade. '

A fouQlto d f in id a PO l ' F (t) =1ft e de s con t fnua em t " ' " 0 , P I'qt'l,II, n 10 ~I( P 1 '1 "he nenhuma das condi90es (a) e (b) (v r 'i. 2P) ,1 1 II~ II III ), Pl' S nt a 0 que so chama um a descontim,idad i r l i / init(I'II.lI, I 0,

flllll 0 limn! r iut iro", a eab 1',N ( t ) - ma l 'illi) iro o ntldo ' In t _ [ t l ,

I / ldo

III Jlfll ,I I" 111111 d

" e l l :i ) n , r l l , aJ' O po L V iiH 1 1 1 1 0 II r 1\ tin

{(II n n , II II I I' " ,(J (II J I l l " I I I' , , , 1 11 11 ,1

/


27/32

H H DERIVADAS DAS FUNgOES ALGEBRICAS CAP. 2 28 CONTINUIDADI~ H I IJI1HLn, Iu IlQ llo te rn um valor perfeitamente definido para cada x noI I IL I I ' vn , I (~ 0 : S ; , x :s ; 1. Mas, qualquer que seja 0 valor c escolhido

(b) tOda funcao racional

[t'(t)"Buracos" em todos1 yJ r' ( l) . . [/ J os ponlos racionaisII, r---

1IIIr I ponios irracionaisI I2 3- b 3 3+5 0 x1

FIGURA 2-10 FIGURA 2-11

F (x)f (x) =G (x) ,onde F (x) e G (X ) sao polinomios em x, e continua para todox, desde que 0 denominador G (x) nao se anule.

Assim, p. ex., os graficos dey = 2x2 - X + 3, x2 - 1y=---X2 + 1

slio curvas continuas no dominio - 00 < x < + 00 Por outro lado, 0 grafico de

I IOMf l { h1't rvalo, ex istem pontes x que estao arbitrariamente pr6ximosdo l lUMil ouiosvalores funcionais j (x) diferem de f (c) por uma uni-dILU. Isto e , if (x) - f (c) I na o e arbitrariamente pequeno paraI , o d t l 0 n u m a certa vizinhanca (pequena) de c. Esta funcao edmHlollt,iuuo, em todos os pontos do intervalo (0, 1). Nao se lhepmh L l ' O , 9 1 1 1 ' 0 grafico. Pode-se apenas dizer que tal grafico consisteII , j , odoR pontos racionais sabre 0 eixo-x, de 0 a 1, com o s pontosh " ' n o i ( ) uil :l levados uma unidade acima do eixo-x. (Ver Fig. 2-11.)( o llM il:l' t , p oi s, de dois segmentos de reta paralelos, cada urn dosqll.nifl R apr s nta, por assim dizer, "cheio de buracos" !1 > I 1 n t d ss s exemplos, poe-se naturalmente a pergunta: ComopodOI 'O) ; 'MS dis r se tul ia dada funcao e continua? Quando tra-IIu n ml 0 RU grMico, como deveremos proceder? Ligando todos os

)HIIlII()f1 pm ' Ulna curva continua (sem quebras nem interrupcoes) como/ Il l 1 1 \0 1 1 1\ 0 1 1 1 3 da fungtto y = X2 , ou, ao contrario, _deveremos terII I ld,~d() Imrt\ n e t o unir to do s os pontos, como no caso da fun900II I/t (e m C j , U Q o s p o nto s do 3. quadrante nao tern ligacao com osd" I," t(1mYI'I1Jlbo)?

(IrlO J I t studamoe a diferenciacao, 0 teorema que demonstra-lnll\tHl II.dll~III',, 0 qu !1 gura que t6da fungM que possui derivada1 1 1 1 1 1 , 1 1 0 , 1 1 to 6 1 ~ 1 c o n t1 n uI 1 , p o rm it e -n o s eoncluir que

( I I , ) to 1 0 pol inOmi1() a . II b ,1 1 -1 ',- - , 1 ) . + a

x2 + 1y = 3 4x - x (J)s o afasta para 00 quando x se aproxima de urn dos tr~s valOr a

x = - 2, x =0, x = tt-2, 'para o s quais 0 denominador se anula. Mas, nos intervalca- 00 < x < - 2, -2 < x < 0 , < x < + 00, 0 grafico consl s t o dcurvas continuas separadas, porque 0 denominador nso se anulnneeses intervalos, 1 1 ; conveniente e instrutivo 0 leitor esbocargrafico da eq. (1) com base na discussao acima.

.Demone t r emos agora 0 t e o r ema a que nos re fe rim o s h l1 p o uc"TlilOnJDMA 1. Se a jun t;ao j P088U i d e ri v ad a J i ni ta

j' (c) _ Ji m t (0 + ~x) - f (0)~ _ . o ~x , (2 )tlW , ' I ' I o t r t o ! o o n t i n u a m I I : - n 1iMmlltt'ft,('llo. P I~ I'{ \'< 1 11 lk ltn 0 llrnl't om (2), d n s l i t ' i n qn

J (I , /\ ) Im bo l1 ( IH I,U H, no m 1l0H ]1 ru 'l \ to (1 0 ~ \ > 1 ' ( , Im oII (10, Mo d l l I l W ( IIIOli I ~ l'It!h11 1 1 1 ,~ 1 1 0 1 , \ ~ c) H)' V ( I H .l O (H II ' . ' I' clI ( , 1 1 1 1 1 1 , ,0

I I1 1 1 1 1 1 1 1 1 I /

1 I 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1 I (If I) I, 1 1 1 1 1\


28/32

P O DERIV ADAS DAB FUNQOES ALGEBRICAS CAP. 2I.JtiVGl' proximo de zero. A eq. (2) pode entao escrever-se

f ' (c ) =lim f (x ) - f (c) .z-->c X - C

Suponhamos entao que f' (c) exista e seja finita.pl 'OVil l ' que rex) - f (c) tende para zero quando x -t c.d0001' l ' e imediatamente de

lim [f (z) - fCc)] =im [ ( X - c ) f(x ) - f(c) ] =1 1 1 . .- . 0 " , _ . " X - C

QueremosOra, isto

= lim (x - c) ~ . lim f (x) - j (c) =% _ _ x- c=0 . l' (c ) = 0, c.q.d.

A.cabamos de mostrar que a diferenciabilidade implica a conti-lu idi1 de . A reciproca, entretanto, nem sempre e verdadeira, comoo po de ve l' facilmente do exemplo

f (x) = [z],I l ! ( l u i 1(x) ~ continua no ponto x =0, mas nao possui derivada ato fato de f (z) = I : r ; I nao possui r

der ivada em :r ; =0 decorre de queyf(O+~:r;)-f(O) I ~ x l~ : r ; = ~ = =

_ { +1, sa ~x > 0-1, sa ~


29/32

92 CAP. 2. PROBLEMAS 9 :1ERIVAOAS DAB FUNQOES ALGE13RICAS /Ob8erva~fio. Uma funQoo que satisfaz a condicao (iii) acima e

uniformemente continua no intervalo a S; x :::;b, e 0 teorema nos disqu e uma funcao continua num intervalo jechado e ai uniiormemeniecontinua. A funyao j (z) = l/x, por outre lado, e continua no inter-valo aberto 0 < x < 1, mas nao e uniformemente continua at

urn nrime ro p o sitiv e i'i = lj (xo, ) ta l que se x p e rtence a o dom tnio ( I II !! x - zu I < 0 (zo, E), entaoIf (z) - J (xo) I < E.

Finalmente, Iazendo ::fa variar, pode oco rrer que tcdo s esscs nr imeros fj (ru, Isejam no minimo tao grandee quanto um certo mimero posit ive k = lc (E). )':llt,(lo,dado E > 0, poder iamos conside ra r uma faixa de largura eonstante 2k om )'odorde qualquer zo do dominio, e teriamosaremos a segu ir uma interp retaeao ffsica que podera esclarecer melho r Itdis ti tl l, li io ent re os conce itos "fun


30/32

D tV A D A Q . A i 3 : r r 'O N Q < S l I l S ALGEBRICAS CAP . 2 PROBLEMAS 9 5rU I I 9 Q j ( ) .. :u~ tom maximo para 0 < x < I? Minimo ? Justi-

, M P O R br ..'t o ~,~h 'BQ qu umu fun91l0 definida por y = f (z) e negativa para x =0 e

1IIINlblvn (I\l,'(\ fIj 1. Por que rasao e verdadeiro que a equacao f (z) = 0 ternI I 1 1 1 1 1 1 1 um n l ' o . i l l ontre x 0 e x = I? Ilustre sua resposta com urn esboco

lun.H. / 1 . , . t u n o 0 f (x) . . ~ ; e continua para x =O? f: af diferenciavel f,III" Ifill" uu r oposta.

7. Mostre que a fun


31/32

I( 1I1ijilVAilAH llAH l i ' U N Q O . l l l S ALGii:l:lRICAS CAP . 2I., 1 / 23. 'xy'= 11 , .1 . 11 ( t l J ~ -I - tlJ -I - 1)3 2 4 . Vx y = 1-,Ill. 1 ~ 25. (x + 2y)2 + 2xy2 =61 VIVa -I- x-I ~

~-6. m R - 1 26. 1 - x1--- y = 1 :+ x2til -11 7 . 1 1 .!Jt + lix ) 3 / 2 27. y2 = _x_,_3 x+ lIII. S 28. x2y + xy2 =6 (x2 + y2)/- (2x 2 + 5x)3/2I', I A l I l Q + Vxy ... 2 29. xy + 2x + 3y = 120 . Q + y ~ ; ; . xy 30. y = u2 - 1, x = u2 + 1lil. m Q / 3 -I - y2/8 _ 0,2/3 : 3 1 . y = V2 t + t2, t = 2x + 3: 1 2 . ,t/~ + y 1 l2 _ 0,1/2 32. t y = 1 + t2X=1+t2 '

~ jy,)f t= _x_.tit - - - ' - 33. y = x2 + t2JI; I ,1+ x2'

PROBLEMAS

42. Aplique a delinicao de der iv ada para calcular dy/dx para y =V~e verifique 0 resultado ap licando a formula da derivada de potencia.

43. Calcule 0 valor delim " , [ 2 : _ - - - = 3 - ' . : ( x::._:_+_:Ll=;x:.c_), - 2 _ - _ : [ c = 2 _ - - = 3 c : : , x , _ ] 2

.6.",-.0 Llxe espee if ique a funCao f da qual essa expressau e derivada .

44 . Coefieiente angular da curva x2y + xy2 = 6 em (1, 2).45. Urn recipiente ciltndrico de. altura 6 e m e raio r cm tern volume

V = 6 71"r2 (em"). Qual a diferenca entre AV e sua parte principal, quando :IIvaria '? Qual a s igni fioacao geomet ri ca da par te principal?

46. Enehendo-se com agua urn recipiente hemisferico de 10 em de rate o.t6um a altura x em, 0 volume d'agua e dado po r v =71" l10 - (x /3)] x2 Deto r rn lna taxa de aumento do volume por eentimetro de aumento na altura do Hquido.

47. Urn onibus comporta 6Cl passageiros. Se 0 numero x de p seotls porviagem esta relacionada com 0 preco da passagem (p cruzeiros) pelu 101p = [3 - (x/40)]2, expr ima a receitatotal por viagem como fun9 ito de x. Quo.lo mimero Xl de passagei roaporwiagem que anulara a rece it a margina l? QUll,o preco da passagem cor responden te ?

8.. UL l'miM 0 ooeficiente angular de y =x/(x2 + 1) na origem. "EserevaI" I' t I l I \ l l O l t o do . t nngante a tS ~. lO s or ov o .u ma - equl19lio da tangente A curva x2 - 2xy + y2 + 2x +I 'V - 0 - 0 o m ( 2, 2 ).

48. Domonstre, por inducao matematica, a eq, (2) do pardg , 2-2.49 . Dado y = x - x 2, determine a taxa de variaQao de y2 em I' l a9 l to 1\

x 2 (exp ressa em termos de z).

! l i n , l O il rmln 0 do modo que a reta por (0, 3 ) e (5, -2) seja tangente Atllll'v~II 0/ ( 1 ).

1 ' 1 7 . qll ill ( ;) (J o r ie i n te ,mgular de y =2x2 - 6x + 3 em x =2? Deter-,III un II ' t'LIII"Ol b b . curve at ' ,

50 . Se x = 3 t e y = t2 + t, . o a loule d I J/ d !, & r ; /d t , d y /d x . :m llm in I , o b ll n dny' como fungi lo de z , e o alo ule d l l / a x d ir eta m en te . O o nf rO l~ to o s 1 " 8111t1\d.O~.

51 . Uma p al't( cu la la n9 ad o. v e r tio a lm an to p ~ro . Oiml,\ om 0. v 10 (j't\l( IIIla m/s g. atlnge a altura. 8 - a t :- 4,0 t2 10 cabo d I, 'a g. uul d ov e n o1 ' Ii 'Vnl.oeldade inlciul pa ra qu 0. p l l r t t o l l i a o . t h l J o . 44 m o . n t 8 d I n 1 0 1 l i l ' H ( ( l l 'b~LlJIl'~l'hld B O nd nee ?

62. t "min 1\ t l i X o , do ' \I'lliQlto do Vw Y mOl l 'o lo . Q ( ) fI' /( II110 POllI,o tl

: 1 M . l Ilt( nnln OR pon tes da curva y '" 2x8 - 3x2 - 12x + 20 onde a tan-1 1 1 1It 1 ) 1 1 1 " 1 1 1 1 0 , o iO - W . t, ( " J t l n ln ~ R d o l' iv ad o .e d o :Ii) 1 / ( ~ , 2 m ) C i

(I I J ( ' V r- t Ii , V rQ - 5;I ( 1 / - 1 )U I'~" (I( 1ll,l'n ( I i, I ) , II 10 f, LI ' II ( 1 I 1 U

J) I Il I 'U Ir Il l 0 1 11 1( 1 1' t i l l 1 11 11 1O I l I I, " ). ( I I)( \ ' " '1 '1 t i l H l l l ( l I l 1 l h 1 1 11 I, ~I , 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 II I

(b) .j (t) - v3t2 - 2t;x2 - 1(d) j(x) - a;2+ l'

(I , I h l t ,lll'lHluc 1 1 1 1 1 1 (I IU I t ( ]" t.\ng nt ,\ o u r v u . 1/ - 2 / V;':: '"'l noIllIldll III, I U / I I I I ,,II ,)ft/,l1tlllih l , / t l l ,

, . . I Q ~ I I " I lilt I 1 1 1 1 1 1 \l II ti t I ' ~ P C I I ' ( I , J 1\0 '11111 ~ 1 1 1 I 1 ' V I (Ij~ d " . , I t I /1 . JI I, ,


32/32

DERIVADAS DAB FUNQOES ALGEBRICAS CAP. 2 PROBLEMAS 99

III S ( 2 X - 1 ) dy07. eJ'(x)= sen' (x2) e s = t x+'1 ,ealeuledx'SS. Caloule y' = dy/dx e y" = dy'/dx se y = x2 - 3x + 5.59. Se 8 representa a dista noia pere orrida por urn eorpo no tempo t, deter-m i n [ \ o.oeler8.!)Roa = d2s/dt2 para 8 =250 + 40 t - 4,9t2.60. Oalcule d'ly/dx2 para y =x V2x - 3.t. Calcule d'ly/dx2 para y3 + y = x no ponto (2, 1).62. 80 x "" t - t2, Y = t - l3, calcule dy/dx e d2y/dx2 em t = 1.G 3 . Prove 0. r egra de Le ibn iz :

70. Calcule a di ferenc ial dy para:(a) y = x2/(I + z); (b) x2 - y2 = 1; (c) xy + y2 =171. Dada uma funl;RO t que sat is fa l;a a s condicoes aba ixo para todo x e y;(a) / (z + y) =/ (z) . / (y); (b) / (x) =1+ xg (x) , onde l im g (x) "" 1.l z--M)Prove que (a) existe a derivada /' (x); (b) /'(x) =/ (z),72. Seja f{x) =x2 + 1. Dado E> 0, determine -~ > 0 tal que 1/ (Xl)-- J (X2) I < E para IXl - x2 1 < ~ e Xl, X2 perteneentes ambos 0.0 intervalo

-2 .s x .s 2. Indique com pre cisao 0 que isto s ign if ie s quan ta a eontinuidadedo. funcao,

d 2(uv) d2u du dv d2v(u ) dx 2 =dx2 V + 2 dx dx + U dx2 'd D (Uti) d3u d2u du du d2u d3v(b ) dxs =dx3 U + 3 dx2 dx + 3 dx dx2 + U dx3 'd" (uv) dnu dn-I U dv() dxn = dxn . v + n dxn-1 dx + ...

73. Dadas uma funl;RO J definida parafodo x real e uma constante posi-tiva E; t ai s que IJ (x + h) - J (x) I ~ ch2 para todo h real, prove que (a) J euniformemente continua, (b) 1'(x) =0 para todo x.

74. Diz-se que uma funeao J sat is faz uma condieao de Lipsch itz de ordemm no intervalo fechado a .s x .s b se existe uma constante C tal que

8 t rnce do membro direito do. equaeao supra podem ser obtidos dosI ,MI I O M do d eenvolvimento binomial (a + b)n, substituindo an-k bk por( , 1 1 101 ~ / r l lf ,t I -l o ) . (dlov/dxk ) para k = 0, 1, 2 , ... , n, e interpretando dOujdxO como

I) l 1 1 ' I ~ D I J l o u. 'M. Oi\l()ule d8y/dx8 para:(I) V - V2x - 1; (b) y = 3x ~ 2; (c) y = ax3 + bx2 + ex + d., / S . So J (x) - (x - a )n 0 (z), sendo g (z) urn polinomio e g (a ) ~ 0, most re

(l1'IIl J ( I ,) 0 - J ' (a) - ...... r- (a); mas f < n ) (a) = n! g (a) ~ 0.

para todo XI, X2 pertencentes a [a, bJ . Prove que uma fun 0 em [a, bJ eai uni formemente cont inua .

75. Suponha que [a , b ] e 0 intervale [-1, 1] e que j (x) = V1=7.Dete rmine va l6tes de C e m que satisfa eam as condic oes do problema 74. [Su-oe8Uio: Mostre que se Y2 > ui > 0 e Y2 - Y I =h, entiio j.yy;- ' V " i h j .s ' \ I " h . J

n (n - 1)' . (n - k + 1)d"-:-k u dku d"v .+ ---+"+u-k! dxn-k dxk dxn

-:

tl " ~O 7 1 . . 2 X 2 - 3x + 5, calcule ! ! . . y para x =3 e ! ! . . x = 0,1. ObtenhaW II r~l~' o.)Jt x lmado d ! ! . . y , calculando sua parte principal.

(,'!. not rmln um valor aproximado de V26 considerando a funcaoV 1)1\1'11" ~Ii Ax - 1. De termine tambem urn va lor aproximado

~ I l ( 1 l ld l q ll o 11 f U f l 9 ltO m prcga d () cs va le re e do x e Ax).

, ,

Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1 - George B. Thomas Jr. - Parte 2

Documents

Transcript of Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1 - George B. Thomas Jr. - Parte 2